（应用数学专业论文）一类广义非线性混合拟变分包含组.pdf

摘要 关于变分不等式的理论和数值解法学者们已进行了大量的研究，取得了一系列的重 大成果，而对变分不等式组、变分包含组的研究相对较少。 本文较为系统地研究了一类广义非线性混合拟变分包含组的解的存在性，参数解的 灵敏性，给出了一些求广义非线性混合拟变分包含组的近似解的迭代算法，并讨论了由 迭代算法产生的迭代序列的收敛性，所得结果统一推广了许多已有的变分不等式、变分 包含、变分不等式组问题。主要内容如下： 简单介绍了广义非线性混合拟变分包含组的背景、研究现状和数学模型，给出了 一些基本的概念和引理。 讨论了广义非线性混合拟变分包含的解的存在性和参数问题的解的存在性： 利用预解算子技巧，建立了广义混合拟变分包含组与不动点问题、预解方程组问 题之间的等价关系，利用这些等价关系和不动点定理证明了广义非线性混合拟变分包含 组的解的存在性，进一步给出了求解广义非线性混合拟变分包含组问题的迭代算法，并 给出了由算法产生的迭代序列的收敛性。 分析了参数广义非线性混合拟变分包含组的解的灵敏性。 关键词：广义非线性混合拟变分包含组存在性算法收敛性灵敏性分析 a b s t r a c t m u c ha u e n f i o nh a sb e e n p a i d o nt h er e s e a r c ho f t h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi n t h el a s td e c a d e s m l i l et h er e s e a r c h eo nt h es y s t e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dt h e s y s t e m o f v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa l eq u i t ei n d e q u m e i nt h i s p a p e r w e i n t r o d u c ean e w s y s t e m o f g e n e r a l i z e dn o n l i n e a r m i x e d q u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n ds t u d yc o n s i d e r a b l ys y s t e m a t i c a l l yt h ee x i s t e n c eo f t h e s o l u t i o n s ，t h es e n s i t i v i t yo f t h ep a r a m e t r i cs o l u t i o n s ，a n dt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r s o l v i n gt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，t h e c o n v e r g e n c eo f t h ei t e r a t i v es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m sp r o p o s e da r ea l s o g i v e n t h er e s u l t sg e n e r a l i z e ，u n i f ya n d e x t e n da 妇g en u m b e ro fk n o w nr e s u l t sr e l a t e d t ov a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，v a r i a t i o a li n c l u s i o n s ，a n dt h es y s t e mo f v a r i a t i o a li n e q u a l i t i e s d e t a i l sa r ca sf o l l o w s t h e b a c k g r o u n d ，p r e s e n t r e s e a r c hs i t u a t i o na n dm a t h e m a t i c a lm o d e l so f t h e s y s t e m o fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa r ei n t r o d u c e d b r i e f l y s o m eb a s i c d e f i n i t i o na n di c m m a st ob eu s e di nt h i sp a p e ra r ea l s op r e s e n t e d b o t ht h ee x i s t e n c eo ft h e g e n e r a l i z e d n o n l i n e a rm i x e d q u a s i v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sa n d t h a to f p a r a m e t r i cg e n e r a l i z e d n o n l i n e a rm i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sa r ed i s c u s s e d b yu s i n gt h ei m p l i c i tr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，w ee s t a b l i s ht h ee q u i v a l e n c e b e t w e e nt h es y s t e mo f g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，ac l a s s o ff i x e dp o i n tp r o b l e m sa n dt h es y s t e mo fr e s o l v e n te q u a t i o n s t h e nw e p r o v et h e e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s f o rt h e s y s t e m o f g e f i e r a l i z e d n o n l i n e a rm i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s f i n a l l y ，an u m b e ro fi t e m t i v ea l g o r i t h m sa r eg i v e nf o r s o l v i n gt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s n 璩 c o n v e r g e n c eo f t h e i t e r a t i v es e q u e n c e g e n e r a t e db yt h ep r o p o s e di t e r a t i v ea l g o r i t h m sa r e a l s og i v e n 砷es e n s i t i v i t ya n a l y s i sf o rt h es y s t e mo f p a r a m e t r i cg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i sd i s c u s s e d p a r t i c u l a r l y k e y w o r d s ：t h es y s t e mo fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s e x i s t e n c e a l g o r i t h m sc o n v e r g e n c es e n s i t i v i t ya n a l y s i s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 ，本人签名：查连垦 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位仍然为 西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保 存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名：查垒垦 导师签名：窆l 三至! e t 期兰型! 二l 堕 日期丝堕型! ；【 第一章绪论 第一章绪论 本章首先简述了广义非线性混合拟变分包含组的理论背景及其研究状况，其 次介绍了广义非线性混合拟变分包含组理论的一些基本定义及本文的数学模型。 最后说明了全文的主要内容及具体安排 1 1 广义非线性混合拟变分包含组的背景及研究状况 1 9 7 9 年，意大利学者b a k u s h i n s k y 开创了变分不等式组的研究的先河此后。 变分不等式组的研究开始受到广泛关注 1 9 9 8 年，z h u 闭研究了一类特殊的变分不等式组：设是实自反的b 瑚c h 空间，x 是它的对偶空间k c x 是一非空闭凸集，对给定的映射a ，b ：x 斗， f ，g ：k 斗j ，求( x ，y ) k x k 满足 f ( 爿x ，v 一石) ( j ) ，v x ) 【( 取，v x ) ，v x ) 其中( ，) 是r 中的元和x 中的元的对偶积在该文中，作者给出了两个上述问题 的正解的存在性结果- 众所周知，当x = 掣时，有x = 彤，而对偶积( x ：对就是向 量善和向量x 的点积x ”x 因此文献【2 】所讨论的问题可视为一类含有某种线性 性的变分不等式组 2 0 0 0 年，v e r m a 3 1 引入并讨论了如下的非线性变分不等式组：求 ( x + , y ) e h x h 使得 f ( 尸一( y ) + 善一y * , x - - x * 1 2 o 陋( 工) + y * - - x * , x - - y 。) o 对所有x e k 都成立其中k c h 是一非空闭凸集，a ：h h 为一单值映射， p ，r 为两个正常数 c h e n 嗍推广了v e n n a 的结果，引入了如下广义非线性交分不等式组：设日为 一类广义非线性混合拟变分包含组 一实h f l b e r t 空间，其上的内积和范数分别为( ) 和l i i | ，s ：h h 和t ：h 一日是 两个非线性单值映射，庐：日_ 尺u + o 。 是真凸下半连续函数，求( x ，) e 日h 使得 f ( 筇( y + x - - y x - - x ) 删( x ) 一删( 石) i ( r 丁( 苫+ ) + y - - x , x - - _ y ) 加( y ) 一力( x ) 对所有x h 成立，其中b y 0 为常数文中，作者讨论了上述变分不等式组的解 的存在性，给出了求其近似解的迭代算法，并在适当的条件下给出了算法的收敛性 分析 r e ni s 进一步推广了v e r m a 和c h e n 等的结果，i j i x t 如下的疗维广义非线性 交分不等组：令l ：h 斗h ( f - l ，2 ，丹) 为非线性映射，谚：h 峥r u 伸) ( f = 1 , 2 ) 为真凸下半连续函数，( x l ，x 2 ) h ”使得 p 墨而+ 五而，茗一而) 局磊( 而) 一向磊( 工) ( p 正而+ x 2 一屯，x 一屯) p j 破( 而) 一p 2 旃( x ) ( f 吸一+ 一。一毛，x 一一，) 风一。屯，( 矗一。) 一岛一，丸( x ) ( 户k 。薯+ 一而，x - x j m 。( 矗) 一岛盛( 工) 对所有的x h 成立作者在文中讨论了该类一维广义非线性变分不等式组的解的 存在性及迭代逼近，并在适当的条件下证明了迭代算法产生的迭代序列的收敛性 显然文献【3 - 5 】所研究的问题不但不含有任何线性条件，而且讨论的问题也 比文献【2 】所讨论的问题一般的多，因而所得结果也比文献【2 】广泛的多 关于参数变分不等式组的解的灵敏性分析问题，读者可参看文献【6 】，文中， 冀小明应用预解算子方法，研究了下述的参数广义变分不等式组的参数解的存在 性及灵敏性分析问题：设日为一实h i l b e r t 空间，q 和肘是圩得非空闭子集，参数 丑和分别在其中取值，s ：日n 和t ：h x m 一日是两个非线性映射， 谚：日啼矗u 佃 o = l ，2 ) 是真凸下半连续函数，对任给的g a 肘，求 ( 石，y ) = 万( 国，2 ) ，y ( 国，名) ) e h 使得 第一章绪论 f ( 筇( y ，街) + x 一y * , x - - x * ) 厕( x ) 一厕( x ) l ( ( z ，五) + y * - - x * , x - - y ) 鹏( y ) 一鹏( x ) 关于集值变分不等式组问题的研究可参看文献【7 】李克俊1 7 1 研究了一类如 下的集值变分不等式组：求( x ，y ) h x h ，“a ( x ) ，v t ( y ) 使得 f ( 厂( “，v ) + p g ( x ，y + ) , x - - x + p c ( x ) 一删( x ) 0 ly 一 ( r “+ ，工) ，x y ) + f 驴( 工) 一，( y ) o 其中a , t ：h 畸c b ( h ) 为两个集值映射，：h r u 佃 是真凸下半连续函数， f ，g ，h ：日_ h 为单值映射作者在文中利用预解算子技巧给出了求解该类集值变 分不等式组的迭代算法，并证明了算法产生的迭代序列的强收敛性 遗憾的是，关于变分包含组问题的研究，作者尚未见到相关文献本文g , i a t 一类新的带松弛单调映射的广义非线性混合拟变分包含组问题，较深入的研究了 该类广义非线性混合拟变分包含组的解的存在性、参数解的灵敏性，给出了一些求 解该类广义非线性混合拟变分包含组的解的迭代算法，并给出了算法的收敛性分 析 1 2 基本概念和引理 本节介绍一些将在文中用到的基本概念和引理 令月为一实h i l b e r t 空间，其上的内积和范数分别为( ) 和f | i i ，2 ”为h 的所 有非空子集组成的集合对任意的a ，b e 2 ”，定义占：2 ”专 o ，+ m ) 如下： , f f a ，曰) = s u p i l x 一_ y 8 ：x e 4 ，y e b 则( 2 ”，占) 是一个完备的度量空间 令e f ，g ：h 呻2 ”为三个集值映射，l p ，g ：h 辛，：h x h - 何均为单 值映射且g 可逆令m ：h x h 斗2 8 为集值映射，满足对每个固定的，e h ，肼( ，f ) ： h 哼2 ”为最大单调映射且对所有的t e h ，都有r a n g e ( g ) r 、d o r a ( m ( 、f ) ) a 4 一类广义非线性混合拟变分包含组 考虑以下问题：求x ，y h ，“丘，v f x ，w g x ，玎e 母，f f y ，面e ( 使得 f g ( 功d o m m ( - ，w ) a ig ( y ) n d o m m ( - ，劝彩 1 t ( y ) ep ( “) 一n ( v ，w ) + m ( g ( x ) ，w ) l t ( x ) p ( 玎) 一( 可，面) + 彳( g ( y ) ，诼) 在以后各章中我们将从各个角度讨论这一模型，适当的选择r ，p ，n 该模型可衍 生出许多变分包含组、变分包含问题，本节我们只列举一部分 ( i ) 若m ( - ，t ) = 鲫( ，f ) ，其中a 痧( ，f ) 为函数( - ，f ) 的次微分，庐( ，t ) ：日寸r u 州满足对每个固定的f h ，声( ，t ) ：日叶且u 佃) 为h 上的真凸下半连续函数 且对所有的t h ，都有i m ( g ) f l d o m ( a 烈，f ) 1 a 则模型( 1 - 1 ) 等价于求 x 胃，y ，“e x ，v ef x ，w eg x ，孑互y ，矿ef y ，面g 使得 i g ( x ) n d b 棚( a 烈- ，忉) o i g ( y ) n d 。用( a 认，订) ) o 1 ( p ( “) 一( v w ) 7 1 ( y , z - g ( 功) 妒( g ( 工) ，w ) 一( z ，w ) ( 1 - 2 ) 【( p ( 丽) 一s ( v ，面) 一r ( x ) ，z g ( y ) ) 妒( g ( y ) ，访) 一妒( z ，话) ( i i ) 若q s ：胃寸为两个单值跌射，g ：日呻2 8 为上的恒等映射，且对 所有的墨y 都有( 工，y ) = 一印，则模型( 1 1 ) 等价于求工，y 匝e x ， v f x ，万e e y ，可，y ，诼g 使得 lg ( 曲r 、d o m m ( ，a ig ( y ) r 、d o m m ( - ，y ) 0 1 r ( y ) p ( 秘) 一( q v i 溉) + f ( g ( 曲，x ) 0 - 3 ) l 丁( 工) p ( 万) 一( j ：矽一印) + j h ( g ( y ) ，y ) ( i i i ) 若9 2 j ，n = f = g = o ，e ( x ，丑) = x ( 对所有化五) 何q ) ，则模型( 1 1 ) 等 价于求( 五力= ( 五) “五) ) e h x h 使得 f 丁( y ) ，( 工) + ，( x ) 【r ( x ) p ( y ) + f ( y ) ( 1 4 ) 第一章绪论 0 v ) 对固定的y e h ，则模型( 1 - 2 ) 等价于求x e 日，“e x ，v f x ，w g x 使得 僻：鬈篱嚣岫。咖， m s ， l r ( y ) p ( “) ( v ，w ) + f ( g ( d ，w ) 、。 注1 2 1 作者尚未见到模型( 1 - 2 ) 一( 1 - 5 ) 的相关文献 ( 、，) 若t = 0 ，则模型( 1 - 1 ) 等价于求x h ，i 1 取v f x ，w g x 使得且 ；篡篙n ( v ：w ) ：) w ) w m e ， i o e p ( “) 一，w ) + m ( g ( 工) ，) ”w 模型( 1 - 6 ) 称作广义非线性混合拟变分包含黄小平【9 】9 引入并讨论了这一问题 ( 、，1 ) 若7 = 0 ，f ，q ：h _ h 为单值映射，且y ) = f x o y 对所有工，y e h ， 则模型( 1 - 1 0 ) 等价于求x h ，“e x ，1 ，f x ，_ ，g x ，满足 9 0 篡鬻茹川 m ， i p ( “) 一( f v q w ) + f ( g ( x ) ，w ) 、1 。7 模型( 1 7 ) 称作完全广义非线性混合变分包含a h m a d ，k a z r n i 和s a l a h u d d i n 【10 】对 这问题进行了深入的研究 下面我们给出一些基本定义和引理 定义1 2 1 称集值映射e ：h _ 2 ”是关于常数善 0 万一l i p s c h i t z 连续的。如 果 , f l e x ，e y ) s 毒h x - q f ，对所讯，y 日 注1 2 2 类似的可定义集值映射f ，g ：h 哼2 ”分别关于常数玑卢 0 的 占一l i p s c h i t z 连续性 定义1 2 2 【9 】称单值映射g ：h - - , h ( i ) 是强单调的，如果存在常数 0 使得 ( g ( x ) - g ( y ) ，x y ) p 肛一卅2 ，对所有x ，y e 何 ( i i ) 是l - l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数， o 使得 慨x 卜g ( y ) i g l l l x - y ，对所衔，y e h 注1 2 3 类似的可定义单值映射t ：日斗h 的r l i p s c h i t z 连续性，单值映 一类广义非线性混合拟变分包含组 射p ：一日的盯一l i p s c h i t z 连续性和g “的q - l i p s c h i t z 连续性这里 r ，盯，q 均为正常数 定义1 2 3 【9 】称单值映射：h h 斗日是 ( i ) 关于第一变元r l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数r 0 使得 j i n ( u ，) 一n ( v ，) l l - 0 使得 ( n ( u ，z ) 一( v ，z ) ，x 一y ) 一d i p y l l 2 ， 对所有( 工，y ) h ，u f ( x ) ，v f ( y ) 注1 2 4 类似的可定义关于第二变元的s l i p s e h i t z 连续性 定义1 2 4 称单值映射p ：寸日关于是e 一松驰单调的，如果存在常数 e 0 使得 ( p ( “) 一尸( 齑) ，x - y ) - 一p 0 x j ，0 2 ，x c 所有u e e x ，齑e 母 定义1 2 5 设m ：h xh 2 ”为关于第一变元的最大单调映射称如下定义的 映射 。= ( ，+ 卢肘( ，w ) ) ，对所有的w h ， 为m ( ，w ) 的预解算子 注1 2 5 预解算子是一个单值非膨胀映射，即对所有的毛ye 日，有 i 防、帅( x ) 一杉。( y ) l l - o 为常量 证明假设0 ，“，v ，w ) 满足 g ( x ) = 杉，呻 g ( 力一p ( p ( ) 一( v ，w ) 一r ( y ) ) 由杉。= ( ，+ p m ( ，w ) ) 。知 r ( j ，) = p ( “) 一n ( v ，w ) + ，( ，w ) ( g ( x ) ) 于是显然有 丁( y ) 尸( ) 一n ( v ，w ) + f ( ，w ) ( g ( x ) ) 所以( x ，v ，w ) 为广义非线性混合拟变分包含问题( 1 5 ) 的解 反之，假设( x ，”，v ，w ) 为广义非线性混合拟变分包含问题( 1 5 ) 的解，则 t ( y ) e p ( u ) - n ( v ，”+ m ( ，w ) ( 窖( 功) 从而有 g ( x ) 一p ( p ( “) 一( v ，w ) 一7 ( y ) ) p m ( ，w ) ( g ( 砷) + g ( x ) 进而有 占o ) 2 g ( 曲一p ( p ( “) 一( v ，川一r ( y ) ) 第二章一类广义非线性混合拟变分包含 9 引理2 1 20 ，“，v ，w ) 为广义非线性混合拟变分包含问题( 1 - 5 ) 的解当且仅当 x 为如下定义的极值映射丘日一2 ”的不动点： 爿( x ) = uuu 卜g ( x ) u e e ( x ) w f ( x ) w 6 ( j ) + ，：，w ( g ( x ) 一p ( p ( “) 一( v ，们一7 ( y ) ) ) ( 2 - 2 ) 其中x h ，州：f x ，v f x ，w g x ，是日上的恒等映射，户 o 为常量 证明令( x ，“，v ，w ) 为( 1 - 5 ) 的解，由引理2 1 1 知下式成立 g ( x ) = j 爹 g ( x ) 一p ( p ( “) 一( v ，w ) 一r ( y ) ) 进而有 x = x - g ( 工) + 蟛“) g ( x ) 一p ( p ( 甜) 一( v ，一7 ( y ) ) uuu 卜一g ( z ) + 夥。( g ( x ) 一p ( j p ( 材) 一( v ，w ) 一r ( ，) ) ) 。e 占( x ) v e f ( j ) 雌g ( j ) 所以x 为集值映射a ( x ) 的一个不动点 反之，设x h 为集值映射a ( x ) 的不动点，由a ( x ) 的定义知，存在l , l e e ( x ) ， v f ( x ) ，w g ( y ) 使得 也即是 x = x g ( 工) + j 7 ，” 占( z ) 一p ( p ( ”) 一n ( v ，们一r ( y ) ) g ( x ) = t ，) g ( x ) 一p ( p ( “) 一( v ，w ) 一r ( y ) ) 所以由引理2 1 1 知( x , u ，v ，叻为广义非线性混合拟变分包含( 1 5 ) 的解口 t r o t2 1 i 设雎d ，p ，p ，盯，孝，聃i 均为正常数，则有下列条件之一成立 i _ 2 1 ，a ) 2 - l p + p i i = 1 ， d l + p 2 , 0 p ( 西+ r 班压丽= 丽或p ( + 枷s 一2 p ( d - e ) - 1 1 0 一类广义非线性混合拟变分包含组 j 1 ，d 去慨，乒瓣， o 使得0 蟛一( = ) 一n ( z ) i i 口忙- y l i ( 2 - 3 ) 对所有( x ，y ，：) h x h x h 都成立若假设2 1 1 成立：并且有最= 2 a + b 1 ，其中 口；i x 1 - - 2 - 2 9 + 1 2 ， b = c 妒+ j + l + 2 以e d ) + p 2 ( c 蟛+ r 叩) 2 ， 则对所有的y h ，存在相应的工h ，却e x , ve 厅，w e g x 使得下式成立： g ( 工) = ，箩 ”【g ( x ) 一p ( 尸( z o 一n w ) 一z i 力) 也即在题设条件下对所有的j ，h ，广义非线性混合拟变分包含( 1 5 ) 均有解 证明由引理2 1 2 知：只须证x h 为( 2 2 ) 式定义的集值映射a ( x ) 的一个不 动点任取而，x 2 h 且x i x 2 由一( 工) 的定义知：对任意的玛e 爿( ) ，鸭a ( x 2 ) ， 存在相应的“= “( 葺) e ( 葺) ，v l - - - - v ( x ! ) f “) w l = “而) e g ( 而) ，缸2 = ( 而) e ( 屯) ， 屹= v ( x 2 ) e f ( 而) ，= w ( x 2 ) e g ( 屯) 使得 第二章一类广义非线性混合拟变分包含 旦 ：- 烈g ( 五x 2 卜) + 荔等美0 蒿) - 州n v l ，( v 墨蚴，i 鸭= 屯。 g ( 乇) 一p ( p ( t l ：2 ，w 2 ) 一r ( y ) ) 由e ，f ，g 的8 - l i p s c h i t z 连续性可得： l q 一“：j l j ( e ( 五) ，e ( t ) ) 善】f 葺一x 2 1 i l i v , 一屹0 占( f ( ) ，( 而) ) 叩l l x , - x 2 i( 2 - 5 ) 8 w i 一 l 蔓参( g ( 一) ，c ) l - p l l 工。- x 2 t l 由n 关于第一变元的r l i p s c h i t z 连续性和关于第二变元的s l i p s c h i t z 连续性， 并结合( 2 5 ) 可得： i i ( m ，w 1 ) 一n ( v 2 ，w 】) 0 ，忆一y 2j i ，碍0 葺一恐i ( 2 6 ) f i j v ( 屹，w 1 ) 一( v 2 ，w 2 ) 0 s j 0w i - w ：l l - , a h - - x 20( 2 7 ) 因为e ，f 为8 - l i p s c h i t z 连续的集值映射，n 关于f 和第一变元松弛l i p s c h i t z ，并 且关于第一变元r l i p s c h i t z 连续，单值映射p 关于映射e 松弛单调，且 仃一l i p s c h i t z 连续，所以 i k 一而+ p ( ( v ，w i ) 一n ( v 2 ，) ) 一p ( p ( h ) 一p ( 毪) ) 8 2 l k - , , 2 1 1 2 + p 2j f v ( v 1 ，w 1 ) 一n ( v 2 ，m ) i j 2 + 户2 i l p ( 如) 一p ( u 。) 1 1 2 - 2 p 2 ( ( k ，w 3 - n ( v ：，w 1 ) ，p ( u ) 一p ( 如) ) + 2 p ( n ( v - ，m ) 一 ，( v 2 ，w 1 ) ，x 1 一屯) 一2 p ( e ( u 1 ) 一p ( 毪) ，_ 一也) ( 1 + 2 p ( e - d ) + p 2 ( 西+ ，可) 2 ) l i x , 一而f 1 2 ( 2 8 ) 由g 的2 一l i p s e h i t z 连续和一强单调性可得： i i x , 一一g ( 五) + g ( 屯) 0 1 2 一+ z 2i i x , 一x , l i ( 2 9 ) 由( 2 3 ) - ( 2 9 ) 得： 慨一9 s 恢- - x 2 - - g ( x i ) + g ( x 2 ) 1 i + l l v 一 g ( 薯) 一p ( 以m ) 一( v l ，w 1 ) 一? ( 力) 一杉。 g ( ) 一p ( 尸( ) 一n ( v i ，w 1 ) 一r ( y ) ) 圳 一类广义非线性混合拟变分包含组 + “ g ( 而) 一p ( j p ( “- ) 一( h ，w 1 ) 一r ( y ) ) 一u g ( x o p ( p ( ”：) 一n ( v 2 ，吃) 一丁( j ，) ) 0 - 2 f , 一屯一g ( x o + g ( x 2 ) l + a 1 1 w l 一啦8 + p 8 ( v 2 ，) 一( v 2 ，w 2 ) 8 + 4 气一毛+ p ( n ( v l ，w 1 ) 一( v 2 ，w 。) ) 一p ( p o 。) 一p ( ：) 州 - 0 为常量 注2 2 1 引理2 2 1 和引理2 2 2 的证明完全类似于引理2 1 1 引理2 1 2 下面我们给出参数广义非线性混合拟变分包含( 2 1 0 ) 的解的存在性定理 定理2 2 1 设 ( i )集值映射e ，f ，g ：日q 寸2 8 分别关于常数六r ， 06 - - l i p s c h i t z 连续； ( i i )单值映射p ：目q 斗目关于集值映射ep 一松弛单调，并且关于第一变元 o - 一l i p s c h i t z 连续： ( i i i ) 单值映射：何日q 寸日关于集值映射f 和第一交元d 一松驰l i p s c h i t z 且关于第一变元，- l i p s c h i t z 连续，关于第二变元j l i p s c h i t z 连续： ( i v )单值映射g ：日一日为一强单调且，一l i p s c h i t z 连续的； ( v ) 存在口 o 使得l l 哆( z ) 一“挪( z ) l 口肛一y 0 ( 2 1 2 ) 对所有的( x ，弘z ，五) 仨h x h x h x f 2 都成立如果假设2 1 1 成立并且有 岛= 2 a + b o 为常量 引理3 1 - 2 ( x ，y ，v ，w ，玎，矿，叻为广义非线性混合拟变分包含组( 1 - i ) 的解当 且仅当j ，h 为如下定义的集值映射b ：h 2 8 的不动点： 口( y ) = l j1 3l j 【y - g ( y ) f t e o ) “f ( 力咧，) + ，罗厣( g ( y ) 一p ( p ( 刃一( - ，回一r ( x ) ) ) ( 3 1 ) 其中x h ，y h ，“e x , v f x ，w g x ，玎g y , 矿f y ，诼g 步并且 o ，“，v ，w ，y ，瓦矿，w - ) 满足g ( = 夥“ g o ) 一户( p ( ) 一( v ，w ) 一r ( ) ，) ) 下面我们给出广义非线性混合拟变分包含组解的存在性分析 定理3 1 1 令 ( i ) 集值映射e ，f ，g ：h _ 2 ”分别关于常数孝。玎，夕 08 - l i p s e h i t z 连续； 竺 二耋墨斐堡丝望鱼型至坌鱼宣丝 ( i i ) 单值映射p ：h _ h 关于集值映射e 是e 一松弛单调，f l o - 一l i p s c h i t z 连续的； ( i i i ) 单值映射n ：h x h 斗h 关于集值映射f 和第一变元d 一松驰l i p s c h i t z ，并且 关于第一变元，一l i p s c h i t z 连续，关于第二变元s l i p s c h i t z 连续； ( i v ) 单值映射g ：日_ + h 为l - 强单调且，一l i p s c h i t z 连续的；g “为q - l i p s c h i t z 连续的单值映射；设t ：h 斗h 为r l i p s c h i t z 连续的单值映射； ( v ) 且存在d o 使得0 杉“5 ( z ) 一h 力( z ) 0 口肛一y l 对所有( x ，y ，z ) h x 日x h 都成立若假设2 1 1 成立并且有 鼠= 2 a + 6 i ，( 3 - 2 ) q ( a + b ) 1 ， ( 3 - 3 ) p x _ 、 ( 1 - 2 a - b ) ( q 一a - b )( 3 - 4 ) 其中口= 扛而， b = c 咿+ p j 卢+ l + 2 p ( p d ) + 户2 ( a 考十，1 7 ) 2 ， 则( 3 - 1 ) 式定义的映射b ( y ) 为一致集值晚一引医缩映射其中 b = 2 口+ 6 + 口( p 砷2 ( 1 - q ( a + b ) ) - 1 ( 3 - 5 ) 进一步有广义非线性混合拟变分包含组( 1 - 1 ) 的解集s 非空 证明由定理2 2 1 以及单值映射g 的可逆性知，对任意的m ，y 2 e h 且m 虬， 存在相应的一e h ，= 封( 五) e ( _ ) ，v l = v ( _ ) e f ( 而) m = “而) g ( x 0 ， x 2e h ，“2 = u ( x 2 ) e ( x 9 ，v 2 = v ( x 2 ) f ( 屯) ，w 2 = w ( x 2 ) g ( x d 使得 篡嚣：出篡：嬲篇r o v e u ) ) b s ， 【恐= g “。帕 g ( 恐) 一p ( p ( “：) 一( 吃，) 一 p 。u 记 毛= g ( 五) 一p ( p ( u , ) - n ( v t ，) 一r ( 咒) ) 由g 。1 的q - l i p s c h i t z 连续并结合( 2 5 ) - ( 2 9 ) 可得 i i x , 一t 忙g l 旧“”( 气) 一彤m “ g ( 如) 一p ( p ( u z ) 一n ( v z ，w 2 ) 一7 ( 儿) ) 8 曼三童! ：墨韭垡丝塑鱼垫壅坌皇鱼丝一旦 - q l l , l x 2 一g ( 玉) + g ( 而) l + 口g0 一w 洲+ g p l ( v 2 ，w i ) 一( v 2 ，w 2 ) 0 + 口0 一而+ p ( ( h ，w 1 ) 一( v 2 ，w 1 ) ) 一p ( p ( u 。) - p ( u ：) ) 1 l + q p l v ( y , ) - r ( y ：) ) l s q ( a + 6 ) 6 x 。一x ：i i + q p c l l y , - y 2 i ( 3 - 7 ) 从而有 i i x , 一x 2 1 f g 肚【1 一g o + 6 ) 1 - lf l y , 一y 2 1 l ( 3 8 ) 由曰( y ) 的定义知，对任意的 b ( y 1 ) ，2 b ( y 2 ) ，存在巧= 万( m ) e ( m ) ， 砭= 可( m ) f ( 咒) ，霸= v v ( y , ) g ( h ) ，玩= 玎( 此) e e ( y 2 ) ，砭= f ( y 2 ) f ( y 2 ) ，吒= w ( y 2 ) g ( y 2 ) 使得 p 。y l g ( 舅) + 了啪擘( m ) 一p ( p ( i ) 一( _ ，霹卜7 ( 郴) i ， ( 3 9 ) i 屯= 儿一g ( y 2 ) + ，等、吗 g ( 儿) 一户( j p ( 瓦) 一( 砭，吗) 一r ( 而) ) ”。 由e ，f ，g 的占一l i p s c h i t z 连续性知： i l 巧一瓦i i 占( e ( m ) e o 吐) ) 善i i 一一乃0 ， 8 巧一砭l l 占( f ( m ) ，f ( 儿) ) s 露m - y , i l ， ( 3 一l o ) 0 羁一呒0 艿( g ( m ) ，g ( 乃) ) s 卢0 m y 2