含时骚扰理论的应用.doc

含时微扰理论的应用蔡朝阳摘 要 通过对含时微扰理论在量子力学中的重要性的阐述，结合跃迁概率公式的总结和探讨，试图应用其理论及数学运算来深入和全面地对含时微扰理论的应用进行探究和归纳，从而使我们能够由体系的定态波函数近似地计算出有微扰时的波函数，并可以计算无微扰体系在微扰的作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率。关键词 含时微扰 跃迁概率 应用举例0 引言在量子力学中，含时微扰理论是重要的内容之一，计算无微扰体系在微扰的作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率的体型在近些年各个高校的考研题中也是屡见不鲜。我就是要通过对含时微扰理论重要性的深刻理解，及其相公式的灵活把握，辅以必要的数学运算，总结并探究出含时微扰理论的各种应用。1含时微扰理论在量子力学中的重要性 运用量子力学的基本理论可以求解一些简单的问题。例如粒子在一维无限深方势阱中的运动，线性谐振子的本征值和本征函数。对于具体物理问题的薛定谔方程，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确解，而只能求近似解。求近似解一般可以分两大类：一类用于体系的哈密顿算符不含有时间，即定态微扰理论，求解的是定态薛定谔方程。另一类用于体系的哈密顿算符含有时间，即含时微扰理论。体系哈密顿算符H ( t ) 由H (0)和H( t )两部分组成：H ( t ) = H (0)+ H( t )其中H (0)与时间无关，仅微扰部分H( t )与时间有关。由于H ( t )与时间有关，体系的波函数要由含时间的薛定谔方程准确解出，通常是很困难的。2 含时微扰理论公式的推导设体系的哈密顿算符H (t) 可分成和两部分， （1）为无微扰部分，与时间无关，其本征值和本征函数都已知，为微扰部分，它是时间的函数，他们满足的薛定谔方程为 （2） 本征函数为已知 （3） 的定态波函数是： 将的本征态按的定态波函数展开： （4）代入（2）式得 利用，消去上市左边第二项和右边第一项后，上式简化为 （5） 以左乘（5）两端并对全空间积分，可得将代入后，有 （6）式中 （7）是微扰矩阵元， （8） 是体系从能级 跃迁到 的玻尔频率。引入微扰参数则 代入（6）式，得 由等式两边的同幂次系数相等得 （9）由（9）可知不随时间改变，它由无微扰时体系的初始状态决定。设微扰在时开始引入，这时体系波函数处于的第个本征态，则由，当时，则 （10）一级近似：由于由于在时，体系处于态，在时刻发现体系处于态的概率是。所以体系在微扰的作用下由初态跃迁到终态的概率是。表示体系从时的态到时跃迁到的第个本征态的几率。通常称为跃迁几率振幅，称为跃迁几率，记作3 含时微扰理论的应用3.1线性谐振子的跃迁几率的计算3.1.1 若在时，电荷e质量为m的线性谐振子处于基态，时，附加一个外电场之中(为常数)，试求谐振子处于第一激发态的几率。 解：取电场方向为轴正方向，则有 当经过很长时间以后，即当时，。 3.1.2 若在时，电荷e质量为m的线性谐振子处于基态，时，受到微扰之中(为常数)，试求谐振子处于激发态的几率。解： 所以只有m=1项有跃迁 谐振子处于激发态的几率为当时 3.2基态氢原子在微扰作用下跃迁几率的计算基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。 解： 对于2p态，可取三值，其相应的状态为 氢原子处在2p态的几率也就是从跃迁到的几率之和。 由 (取方向为Z轴方向) 其中 = 0 = 0 由上述结果可知， 当时， 其中3.3一维无限深势阱在微扰的作用下跃迁几率的计算3.3.1 若在时，一维无限深势阱处于基态，时，受到微扰 (为常数)，试求跃迁到第一激发态的几率。解： 微扰矩阵元为其中 由于所以则跃迁到第一激发态的概率为：3.3.2（03年南开考研真题）若粒子在时，一维无限深势阱处于基态，受到微扰电场 求从初态到激发态的概率。解： 令 所以只能向偶数态跃迁，其中3.4自旋的体系中含时微扰理论的应用3.4.1设有一个自旋是的粒子，相应的磁矩是，粒子置于旋转磁场中，磁场是： （常数）粒子与磁场的作用能是：又设粒子原先处于态的讨论情况和跃迁几率。解：一个具有自旋的体系，所受的微扰是随时间变化的，但不同于光照射，要用最普遍的随时间变化的跃迁公式,计算中的算符可用角动量表象。微扰算符 ： （1）设法来表示体系的初末状态，因为有自旋，所以波函数适宜用旋量式，按题意粒子的自旋的初态是正的自旋，因此若设定轨道运动为 末态方面，由于自旋只可能有两种，因而只会有两种指定的末态。此外，因为微扰是磁场，它引起的附加能量只与自旋有关，与轨道运动无关，轨道波函数是不变的，所以，所述两种末态波函数是： （3a） （3b）在能量方面，若一开始粒子就在磁场之中，则除轨道运动能量外应考察自旋轨道相互作用： （4）但是轨道能量，同理，末态的总能量是： （5a） （5b）根据（3）的两个式子，配合（1）和（2），可算得矩阵元。先对第一种跃迁进行计算，即kk情形，假定是归一化的。再根据与时间有关的微扰跃迁振幅公式 （7）此式中将此结果连同（6）代入（7）式，得：跃迁几率 （8）这是指粒子处在原状态的几率，是与时间平方成正比的。再计算第二种跃迁几率， 的情形同样可以用（7）来计算跃迁振幅，此式中的频率跃变（实际上是能量跃变）代入（7）式最后一式是虚指数积分，时间很长以后，近似地用函数表示跃迁几率 （10）3.4.2 设量子体系的哈密顿量为 ，（ 是实常量） 求：（1）求体系能量的本征值和本征函数。（2）如果t=0时，体系处于 态，求 t0 时体系所处的状态。（3）若t=0时体系处于基态，当一个小的与t有关的微扰 在t=0加上后，求t时体系跃迁到激发态的几率。解：（1）体系能量的本征值和本征函数为 （2） ） 所以，当求t0时体系所处的状态为 （3）基态能量本征值 激发态能量的本征值 所以玻尔频率 微扰矩阵元 根据与时间有关的微扰跃迁振幅公式 则跃迁到激发态的概率为总结： 以上通过对含时微扰理论在量子力学中的重要性和跃迁概率的公式的阐述，结合公式的总结和探讨为含时微扰理论公式的应用提供了可靠的理论依据，读者在运用过程中可放心使用。此外在深刻理解含时微扰理论基础之上，对一些常见的典型题目包括线性谐振子、基态氢原子、一维无限深势阱在微扰作用下跃迁几率的计算作了简单总结，以此来帮助大家理解和运用含时微扰理论，希望能够起到抛砖引玉的作用，也希望大家能够举一反三，灵活应用。朝阳：总体还可以，你再仔细核实公式的准确性（和出处仔细比对），不能有差错。公式的格式部分还是不规范。参考文献：1 Calculation of transition probability of Landau system due tolight by timedependent pertubation theory M.Oxford:Pergamon,19762周世勋 陈灏 .量子力学教程(第2版)M.北京：高等教育出版社, 2009.63曾谨言量子力学M科学出版社2003第一版4张永德量子力学M科学出版社2002第一版5 吴强、柳盛典量子力学习题精解科学出版社2003第一版致 谢感谢指导教师石凤良的关心、指导和教诲。刘维生老师追求真理、献身科学、严于律己、宽已待人的崇高品质对学生将是永远的鞭策。作者在撰写毕业论文（设计）期间的工作自始至终都是在石凤良老师全面、具体的指导下进行的。石凤良老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使学生受益匪浅，终生难忘。感谢石凤良老师、祝玉华老师、和田广志老师的关心和帮助。感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助。The application of time-dependent perturbation theoryCai Zhaoyang Directed by Prof. Shi FengliangAbstract By discussing about the significance of the time-dependent perturbation theory in quantum mechanics and the demonstration of transition probability formula ，we try to apply the theory and mathematical operations to study the application of perturbation theory in-depth and comprehensive manner ，so that we can calculate a wave function of perturbation from the systems stationary wave function appr