垂径定理推论.ppt

垂径定理,（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E.,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,CDAB,垂径定理,如图,小明的理由是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,夯实基础,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,我学习，我快乐,Rammingfoundation,判断下列图形，能否使用垂径定理？,垂径定理三种语言,定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,判断：,()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,练一练：试金石,E,变形2、CE=8,DE=2,则AB=。,D,C,变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是。,变形3、CD=10,AB=8,则DE=。,3,8,2,若CD为圆O的直径，弦ABCD于点E,到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,如图，两个圆都以点O为圆心，求证:AC=BD,O,A,B,C,D,活动4,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,你可以写出相应的命题吗?,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,知二推三,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,填空：如图，在O中（1）若MNAB，MN为直径；则（），（），（）；（2）若ACBC，MN为直径；AB不是直径，则（），（），（）；（3）若MNAB，ACBC，则（），（），（）；（4）若弧AM弧BM，MN为直径，则（），（），（）。,我能行！,更上层楼,Upperformationbuilding,判断,垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧(),弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心(),圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分(),平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(),圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,直径,两条直径,不是直径,（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（2）平分弦的直线，必定过圆心。,（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。,不是直径,直径,1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.,2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,1、如图，在O中，AB为O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。,2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,变式1.已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB求证：AC=BD,证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.,如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,3,4,5,2,如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。,10,4,6,8,16,变式2连接OC，OD，设OC=OD，求证：AC=BD,练习1:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,O,2:在圆O中，直径CEAB于D，OD=4，弦AC=，求圆O的半径。,A,B,C,D,E,O,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,2.已知：如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,D,1.P为O内一点,且OP=2cm,若O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于()A.1cmB.2cmC.CmD.,2.已知:O中弦ABCD且AB=9cm,CD=12cm,O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为()A.1.5cmB.10.5cm;C.1.5cm或10.5cmD.都不对;,C,2,3,解：（1）,OAB+AOC=90,已知：如图，O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半径OA.,x,x-1,3,课堂学习检测一、基础知识填空1圆是_对称图形，它的对称轴是_；圆又是_对称图形，它的对称中心是_2垂直于弦的直径的性质定理是_3平分_的直径_于弦，并且平分_,二、填空题4圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=_cm5如图，CD为O的直径，ABCD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=_cm,6如图，O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=_cm，AOB=_7如图，AB为O的弦，AOB=90，AB=a