（应用数学专业论文）粘弹性轴向运动弦线横向振动的非线性动力学分析.pdf

摘要 摘要 首先，本文较系统地介绍了轴向运动弦线的横向振动的研究背景，研究现状。 采用了h a m i l t o n 原理建立系统运动方程然后具体描述了本文研究的两个模型： k e l v i n 微分型模型和满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型，得到了两个模型无量 纲后的控制方程。 其次，对于k e l v i n 微分型模型，引入一个快变量、一个慢变量和无量纲的记帐 式小参数凸并且考虑倍频组合共振，然后对模型的控制方程直接运用多重尺度方 法得到零阶近似方程和一阶近似方程。研究有界解，必须求出可解性条件。通过 一阶近似方程的右面必须与所有齐次方程( 也就是零阶近似方程) 的解正交这一 准则得到可解性条件。研究可解性条件的非平凡解，得到关于实振幅和相位角的 实常微分方程组。研究模型的稳态响应，令实振幅和相位角的导数为零，就得到 了关于实振幅的齐四次方程。求出的正根，得到倍频参数组合共振稳态响应的幅值， 同时得到共振的存在性条件。并用许多三维图例真观地来描绘倍频参数共振稳态响 应的幅值与解谐参数速度幅值，轴向运动未扰速度之间的关系。 再次，对于k e l v i n 微分型模型进行了稳定性分析，把关于复振幅的常微分方程 略去非线性项后对平凡解的稳定性进行了讨论。由受扰动的平凡解必为非平凡解 这一判据，得到了线性系统的平凡解同时也是原非线性系统平凡解的不稳定区域。 把关于实振幅和相位角的实常微分方程组进行线性化后对非平凡解的稳定性进行 了讨论。计算l 土3 在不动点处的j a c o b i 矩阵a 。然后计算出a 的特征方程，并给出 了非平凡解的稳定区域具体的系数等价条件。然后分情况讨论了非平凡解的第一 极限环和第二极限环的稳定区域，这也是原非线性系统非平凡解的稳定区域。 然后，对于k e l v i n 微分型模型进行了数值模拟。运用m a t h e m a t i c a 软件得 到直到四阶的g a l e r k i n 截断的近似常微分方程组。采用变步长的r u n g e - k u t t a 算 法来求出常微分方程组的数值解，分别考察无量纲的速度y j 和妇，粘弹性阻尼系 数加以及弹性系数点名的p o i n c a r e 截面映射的分岔图。 再后，对于满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型同样采用的多重尺度法研究 和式组合共振，并且假设所研究的为一种标准线性固体。最终得到了和式参数组 合共振稳态响应的幅值，同时得到共振的存在性条件。并用许多三维图例直观地来 描绘倍频参数共振稳态响应的幅值与解谐参数，激励幅值，运动速度之间的关系。 还证明了严格共振时不存在第二非平凡解。 随后，对于满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型进行了数值模拟。运用 m a t 髓m a t i c a 软件得到直到四阶的g a l e r k i n 截断的近似积分微分方程组。采 用升维法将此积分微分方程组化为高维的常微分方程组。然后采用变步长的 r u n g e - k u t t a 算法来求出最后的常微分方程组的数值解，分别考察无量纲的速度y ， 激励l 陪簋b ，粘弹性阻尼系数a 和日以及弹性系数岛的p o i n c a r e 截面映射的分岔 图。 最后，对本文所做的工作和得到的结果进行了总结，并且提出了对进一步深入 研究工作的展望。 关键词：轴向运动弦线，横向振动，多尺度法，稳定性，g a l e r k i n 截 断，p o i n c a r e 截面映射，分岔图 a b s t r a c t f i r s t l y ，t h i sp a p e rs y s t e m a t i c a l l y i n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n d n o w a d a y sr e s e a r c hp r o g r e s so ft h et r a n s v e r s ex q l o m t i o no f a l la x i a l l yt r a v e l i n gs t r i n g t h ee q u a t i o no fm o t i o ni se s t a b l i s h e db yt h eh a m i l t o np r i n c i p l e t h e nt w om o d e l s ， w h i c ha r ed i s c i i s s e da n ds t u d i e di nt h i sp a p e r , a r ee s t a b l i s h e d 1 1 1 e ya r ev i s c o e l a s t i c t r a v e l i n gs t r i n gc o n s t i t u t e db yk e l v i nm o d e la n db yt h eb o l t z m a n ns u p g r p o s i t i o n p r i n c i p l e s e c o n d l y , t h em e t h o do ft h em u l t i p l es c a l e si sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h en o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a lg o v e r n i n ge q u a t i o no ft h ek e l v i nv i s c o e l a s t i cm o d e lc i o s e d - f o n n s o l u t i o n sf o rt h ea m p l i t u d eo fn o n t r i v i a lr e s p o n s eo ft h et w o - t o - o n ep a r a m e t r i c r e s o n a n c ea n dt h ec o r r e s p o n d i n ge x i s t e n c ec o n d i t i o n sa r cd e r i v e df r o mt h es o l v a b i l i t y c o n d i t i o n s e f f e c t so fr e l a t e dp a r a m e t e r s0 1 1t h es t e a d y s t a t er e s p o n s e sa n de x i s t e n c e b o u n d a r i e sf o r t h et w o - t o o n ep m m n e t r i cp a r a m e t r i cr e s o n a n c 宅a r en u m e r i c a l l y d e m o n s t r a t e d t h i r d l y , i ti sc o n t i n u e dt oi n v e s f i g a t e 也ed y n a m i cs t a b i l i t yo ft h ek e l v i n v i s c o e l a s t i cm o d e l 刀，ed y n a m i cs t a b i l i t yo ft h et r i v i a la n dn o n t r i v i a ls o l u t i o n si s s t u d i e dr e s p e c t i v e l yb yt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y n 砖s t a b l ea n dt h ei n s t a b l e r e g i o n sa r en u m e r i c a l l yp r e s e n t e d f o u r t h l y , t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h eg o v e r n i n ge q u a t i o no f t h ek e l v i nv i s c o e l a s t i cm e d e l b yu s i n gt h em a t h e m a t i cs o f t w a r em a l h e m a t i c 久t h e g a l e r k i nt r u n c a t i o n su n t i lf o u r t ho r d e ra r ei n v e s f i g a t e d t b ep o i n e a r em a p p i n g b i f u r c a t i o n f i g u r eo fa l lp a r a m e t e r sa r es t u d i e db yu s i n gt h es t e p l e n g t h - v a r i e d r u n g e k u t t aa l g o r i t h m f i f c h l y , t h em e t h o do ft h em u l t i p l es c a l e si sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h en o n l i n e a r p a r t i a l d i 毹r e n t i a l - i n t e g r a lg o v e r n i n ge q u a t i o no ft h ev i s c o e l a s t i cm o d e lc o n s t i t u t e db y t h eb o l t z m a a ns u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e c l o s e d - f o r ms o l u t i o n sf o rt h ea m p l i t u d eo f n o n 仃i v i a lr e s p o n s eo ft h es u r n m a t i o nt e s o n a n c ea n dt h ee o r r e s p o n d i n ge x i s t e n c e c o n d i t i o n sa r ed e r i v e df r o mt h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n s e f f e c t so fr e l a t e dp a r a m e t e r so n t h es t e a d y - s t a t er e s p o n s e sa n de x i s t e l i c eb o u n d a r i e sf o rt h es u m m a t i o np a r a m e t r i c r e s o n a n c ea r en u m e r i c a l l yd e m o n s t r a t e d s i f l y , t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sa p p l i e dd i r e c t l yt ot h eg o v e r n i n ge q u a t i o no f t h e k e l v i nv i s c o e l a s t i cm o d e l b yu s i n gt h es o f t w a r e 眦h e l 讧a t i c a 也eg a l e r k i n t r u n c a t i o n su n t i lf o u r t ho r d e ra r ei n v e s t i g a t e d n ep o i n c a r em a p p i n gb i f u r c a t i o nf i g u r e o f a l lp a r a m e t e r sa r es t u d i e db yu s i n gt h es t e p l e n g t h - v a r i e dr u n g e - k u t t aa l g o r i t h m f i n a l l y , t h es u m m a r yo ft h ew o r ka n dr e s u l t so ft h et h i sp a p e ri sg i v e n , a n dt h e f u r t h e rw o r ki ss u g g e s t e d k e y w o r d ：a x i a l l ym o v i n gs t r i n g , t r a n s v e r s ev i b r a t i o n , m e t h o do fm u l t i p l e s c a l e s ，s t a b i l i t y , g a l e r k i nt r u n c a t i o n , p o i n c a r em a p p i n g , b i f u r c a t i o nf i g u r e 玎 p o s 口珊l a d u 舶限t h e s i s o fs h a n g h a i u n i v e r s i t y 圭塑查堂塑圭兰垡堡奎整妻丝塑塑垩垫整堡塑塑墨垫些! 丝! 丝垫查兰坌堑 。 第一章前言 1 1 研究背景 在动力传送带、磁带、纸带、塑料膜片、纺织纤维、带锯、空中缆车索道、 高楼升降机缆绳、单索架空索道等多种工程系统元件中，我们都可以发现轴向弦 线的横向运动。尽管以上的工程系统元件各有各的特点和用途，但是与轴向运动 弦线的横向振动相关的振动和噪声会在一定程度上艰制这些元件的效用。比如说， 在磁带驱动系统中，其振动能够导致磁带的信号调制和加速老化；在带锯系统中， 刀片的振动能削弱切割质量和效率。对轴向运动弦线轴向振动机理的透彻研究对 于优化设计这些相关的工程系统元件有着至关重要的作用。因此，对轴线弦线横 向运动的分析是一个极其重要的工程问题。 弦线系统是一个忽略了抗弯刚度的一维连续系统，而且其重力与弦内张力相 比足够小，以至于弦线在平衡状态时是笔直的。许多小型而柔软的工程元件，比 如说皮带，窄带，链条，磁带，绳索，电缆以及细线，如果忽略他们的抗弯刚度 并且此时他们的平衡状态都是接近于笔直的话，那么这些元件就能模型化为弦线 系统。然而，如果这些元件的抗弯刚度不可以忽略，那么它们必然模型化为梁系 统；如果这些工程元件有曲线状的平衡状态的话，那它们必然模型化为电缆系统， 也就是松弦线系统；丽对于那些必须要考虑宽度的工程元钵来说，其模型就会是 膜系统，板系统甚或是壳系统。 轴向运动的弦，梁，缆，膜和板都属于轴线运动系统一类。更广泛地，他们 都属于包含了平动和转动的陀螺系统。事实上，轴向运动系统中带有的c o r i o l i s 加 速度项给控制方程带来了一个斜对称的陀螺项。整个系统可以模型化为分布式的 参数系统，并且可以由偏微分方程来描述。运动均匀弦线系统是最简单的一个连 续陀螺系统。对于轴向运动弦线的横向运动的分析在工作原理上能够应用到其他 更复杂的分布式陀螺系统，尽管这种推广会碰到更多的技术上的困难。因此，对 于轴向弦线横向振动的研究有着极其重要的理论价值。 在工程实际中，轴向运动系统的一个广泛的实例是皮带系统。而皮带的材料 一般是带有金属的或者陶制的内核的加固材料，比如说内核为钢或者玻璃的复合 材料橡胶。这些材料中的绝大多数为粘弹性材料，其动力学行为也是典型的 粘弹性材料的动力学行为。其表现之一为，材料受到应力或应变的时候会发生流 动。这种流动是伴随着能量的消耗。这种消耗是出于材料内部机制的损耗( 比如 说，耦合破损和耦合构造反应，位错等等) 。韦占弹性材料的动力学行为中还包括蠕 变。动态加载不仅会导致蠕变，而且还会影响到材料的取向，也就是会使材料的 刚度增加。粘弹性特征总体上会导致抑制噪声并产生辅助系统中的振动。另一方 面，粘弹性特征也能引起皮带的导致温度上升的剧烈滑动。所以为了准确地描述 和研究这种皮带材料所具有的蠕动和阻尼的性质，更真实地反映现实世界中的物 体及其动力学行为，我们必须在粘弹性本构的基础上进行建模。本文将对粘弹性 本构材料的轴线运动弦线横向非线性振动的动力学行为进行了研究。 p o s t g r a d u a t g t h e s i s o f s h a n g h a i l r n p c e r s i t y 上海大学硬士学位论文粘弹性轴向运动弦线横向振动的非臻性动力学分析 1 2 研究现状 1 2 1 轴向运动弦线的线性运动 由牛顿第二运动定律“1 ，或者采用对运动介质广义形式的h a m i l t o n 原理。1 ( 本 文采用的就是这个方法，见第二章) 可以推导出轴向运动弦线的线性运动的控制 方程为 丝o t 2 化器器 一尸器= f 似卿 ( 1 ，) 其中p 为弦线的线密度，p 为初始张力，c 为弦线的运动速度，有且仅有横向位移 矾x 刀随时间t 和轴向位置j 变化。其无量刚化形式为 粤o t 砌塑o x o t 一( 1 謦= 瓜，) 。 、 7 融。 。、。7 其中 善= 芋一孚，r 普括，7 7 括 善。了，甜2 了，2 了、石，2 万y 2 。、； 如果两端固定，则边界条件为齐次的。如下 都( o ，r ) = 0 ，甜p ，) = 0 ( 1 ，2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) s k u t c h 首先研究了没有激励的运动弦线，并且得到了该系统的基频，使用的 是两个波反向传播的方法。1 。s a c k 对于一端受简谐横向位移激励时运动弦线横向 振动的响应进行了研究，并且通过共振关系得到了该系统的固有频率“1 鸭= 芋( 卜等孵 s ， w i c k e r t 和m o t e 确定了轴向运动弦线对一般激励的响应1 ”，采用的足连续陀 嫖系统模态分析f ；方法。式担2 ) n - - 写作无穷维陀螺系统 m 箬+ g 譬+ k 甜：f ( 1 6 ) a a f 7 其中质量算子m 为恒等算子，陀螺算予g 和刚度算子k 分别为 g = 2 v 导o x ，k = 4 一v 2 垮o x ( 1 7 ) _ 进一步可将式( 1 6 ) 用状态变量表示，在给定的边界条件例如( 1 4 ) t ，可导出 系统的本征值和本诬函数。同样可以得到对任意作用力的满足任意初始条件的响 应( 通过模态分析的方法) 。另外如果利用g r e e n 函数可得出响应的积分表达式。 随后他们又改进了模态函数的选取阱。这一工作不仅完全解决了两端同定约束的均 匀运动弦线的振动响应问题，而且是研究更为复杂的约束和耦合问题的基础，同 时也为通过近似解析方法来研究轴向运动弦线横向非线性振动打下了基础。 2 p o s t g r a d u a t e t h e s i so fs h a n g h a i u n e r s r r y 上海丈学硕士学位论文粘弹性轴向运动弦线横向振动的非线性动力学分析 在式( 1 1 ) 中取p - p ( o = p o + p j c o s a 2 可知，轴向张力的涨落可导致小位移的轴 向运动弦线出现线性参数振动。m a h a l i n g a m 首先推出了可以用m a t h i e u 方程来描 述轴向张力存在周期性涨落豹弦线产生的横向振动“，但蚀没有进行更深入豹研 究。m o t e 首先研究了此问题”1 。n a g - a l e s w a r a n 和w i l l i a m s 对静止弦线的本征函数 进行4 阶g a l e r k i n 展开，这一研究为确定参数共振不稳定区的提供了个更好的 数值方法“0 1 。u l s o y 等通过建立考虑带与轮耦合以及阻尼因素的数学模型来研究了 带张紧轮的动力传输带物理模型的参数振动的稳定性。他们还通过对空间和时间 进行有限差分迸行了数值求解，实验结果证实存在轴向力周期涨落导致参数振动 的不稳定性“。a r i a x a m a m 和a s o k a n t h a n 研究了链驱动模型的动力稳定性，得到 的同样是带有轴向力周期涨落的动力学方程，并对这个控制方程进行了2 阶 g a l e r k i n 截断，然后利用接触变换解耦，最后基于平均法进行稳定性分析，得到了 亚谐共振、和型组合共振、差型组合共振的稳定性条件及j 共振时的响应“。 轴向运动速度的变化也导致参数振动。若弦线平移的速度c 为时间的函数 d 乃，系统的动力学方程为 d 第十而d c 瓦o u + 2 巾) 淼卜( p 一) 器= 凇) ( 1 8 ) 故产生参数振动。m o t e 首先分析了速度变化对振动稳定性的影响“。p a k d e m i r t i 等研究了轴向速度周毅变化时弦线横阿振动的稳定性o “，采用c o a l e r k i n 方法将偏 微分方程截断为常微分方程组，然后用数值方法计算f l o q u e t 乘子判断稳定性，并 把含小参数时经典的解析结果“”与得到的数值结果进行比较；他们的研究发现由 于陀螺项的存在。偶数阶g a l e r k n 截断得到较好的结果，奇数阶g a l e r k i n 截断去 的的数值结果不是很理想。他们分别对2 阶、4 阶、6 阶和8 阶截断进行的比较， 高阶截断给出较好的结果。p a k d e m i f l i 和b a t a n 用同样的方法对轴向匀加速运动时 弦线横向振动的稳定性进行了研究m 1 。w i c k e r t 得到了一般的陀螺系统在两端支承 有扰动的情况下的近似解，并应用于匀加速轴向运动弦线“”。p a k d e m i r l i 和u l s o y 研究了轴向速度为在固定值上附加有小周期性涨落情形的运动弦线的参数振动 “”，对于主共振问题，分别用直接对偏微分方程进行多尺度展开的方法和先模态 离散化再进行多尺度展开的方法得到稳定区域边界：对于组合共振问题，采用后 种方法在模态离散化的基础上再用多尺度法分鄹得到和型组合共振和差型组合 共振的稳定区域边界。o z k a y a 和p a k d e m i r l i 采用l i e 群理论解析地求解轴向加速 运动弦线问题“”。除了轴向张力涨落变化和轴向运动速度变化外，其它因素例如 弦长的周期性变化也能产生参数振动啪】。 1 2 2 轴向运动弦线的非线性运动 1 9 6 6 年m o t e 首先研究了轴向运动弦线的非线性振动问题“。早期的一系列 工作揭示了轴向运动弦线的线性振动模型的局限性以及非线性模型的必要性。就 定性现象而言，只有非线性振动理论才能解释实验中出现的跳跃现象。“和空间的 回旋运动“2 “；就数量关系而言，线性振动理论得到的幅频响应等结果只适用于横 向位移较小或轴向速度较小的情况，而对于横向位移较大或轴向速度较大的情形， 则模型必须加以修正o ”“。 现在来考察运动弦线在平面内的横向振动。长度，、横截面积为a 、弹性模量 为占、单位长度质量为肼静态轴向张力为岛、以速度c 刃运动的均匀弦线，它受 3 p o s t g r a d u a t e t i d e s i s o f s h a n g h a i u n i v e r s y 上海大学硕士学位论文枯弹性轴向运动弦线横向振动的非线性动力学分析 横向和横向分布力r ，】：刁和f v ( x , y , t ) 作用，其横向和纵向位移分别为u ( x , x t ) 和所x 刀。 则其动力学方程为 ，l 护0 2 u + 面d c 面o u + z c 器 _ 白一肛2 学+ f e 4 一p ) ( 1 + 丛o v ) 2 型o u ：o 鲨u ( 1 + 型o v 塑) o 至 v ：e ，一b ) l 堕丛鳖_ 垦坠j 掣型：乃 ( ( 筹 2 + ( ，+ 割2 q ( 矿0 2 v + 啬嚣+ 2 c 嘉卜晒一印2 ) 豢+q 矿+ 面丽丽广哗一崧+ ( e a e o ) 鲤耋：歉塑鍪：昂 一 ! 堡一型：一些芏! 丝喜丝：昂 2 + ( ，+ 剐5 上式中不受分布力作用且轴向运动为匀速的特例由【3 2 ，3 3 给出。在这种特殊情形， 若弦线以静态方式伸展0 巨z ) 、弦线端点的相对运动已知、且f 嚣o u1 远小于1 ， 式( 1 9 ) 可退化为1 维连续体方程，其无量刚化形式为 m 箬+ g 罢+ k “= 占n d ) + 咖，x , t ) (110)ot 。西 、7 、7 其中阮j 砂为与端点已知运动有关的量，_ 鲫表示非线性算子，e y e d 、量。 g a l e r k i n 方法在以往的轴向运动弦线非线性研究中被广泛采用。g a l e r k i n 方法 的主要思想是将横向位移按静止弦的模态函数展开，如果引入的是轴向运动弦线 模态。1 ，那么可以得到更好的结果。在边界位移产生参数激励的轴向运动弦线模型 中，m o c k c n s t u r m 等研究了线性振动的稳定性和非线性振动的极限环“3 ，在数值模 拟方面，他们利用了2 阶运动弦线模态g a l e r k i n 截断来进行离散化，并且采用平 均法进行近似解析分析；对于线性振动情形，分别得到了亚谐共振和组合共振的 不稳定区域边界；对于非线性振动情形，得到了极限环的存在性和稳定性条件； 在线性参数振动亚谐共振的情形下，仅仅使用1 阶运动弦线模态g a l e r k i n 截断就 可以得到4 阶静止弦的模态截断的结果。对于若干非线性连续系统的研究表明 “。州，先离散化再近似解析分析所得到的结果没有直接对偏微分方程进行近似解析 分析所得到的结果好。在边界位移导致轴向运动弦线非线性受迫振动的模型中， m o o n 和w i c k e r t 直接对描述系统运动的偏微分方程应用平均法，导出了可解性条 件和平均化方程，并将解析方法得到的振动幅值与基于1 阶运动弦线模态g a l e r k i n 截断得到的数值结果以及轴向平移速度的关系与实验结果进行比较，3 者基本吻合 4 p o s t g r a d u a t et h e s i so fs h a n g h a i u n i v e r s 吖 上海大学硕士学位论文粘弹性轴向运动弦线横向振动的非线性动力学分析 在计及耗散因素的研究中，通常认为阻尼力与弦线上一点的绝对速度 芝兰+ c 半或相对速度祟成正比。为了更合理地模型化工程中的运动弦线横向振 d(ixd 动的阻尼因素，研究者引入了粘弹性材料这种更为接近现实情况的材料。f u n g 等 研究了粘弹性运动弦线在轴向力涨落扰动下的瞬态响应。1 ，弦线为满足b o l t z m a r m 叠加原理的积分型粘弹性材料，其松弛函数为3 参数固体；用g a l e r k i n 方法导出 描述系统运动的非线性微分一积分方程组，采用差分法求得瞬态响应的数值解并分 析有关参数对运动的影响；数值结果还表明1 阶至4 阶的各阶g a l e r k i n 截断得到 的响应幅值定性上的一致性r 这也是迄今为止唯一一篇研究了满足b o l t z m a n n 叠加 原理的积分型粘弹性材料的轴向运动运动弦线的横向非线性振动的文章( 不包括 本人已发表的文章) 。z h a n g 和z u 研究了粘弹性本构的轴向运动弦线非线性自由振 动和受迫振动“，弦线的材料为一种微分型粘弹性材料咄e i v i n 粘弹性固体。 系统的动力学方程仍可以写作式( 1 1 0 ) 的形式，在自由振动的情形行她蕾d ；d ，而在 受迫振动的情形讹蕾砂= 体砂；他们采用的方法是直接对描述连续系统振动的偏微 分方程进行多尺度法分析；在自由振动的情形，得到了非线性振动的频率和幅值， 结果表明粘弹性的阻尼因素对频率的影响不大，而对振动的幅值有显著影响；在 受迫振动的情形，得到了近共振和共振对的稳态响应，结果表明粘弹性的阻尼因 素可以减小稳态响应幅值。他们还研究了k e l v i n 粘弹性固体轴向运动弦线非线性 参数振动的动态响应1 和稳定性，轴向张力的周期性涨落产生参数激励，系统 的动力学方程的形式仍可以写作式( 1 1 0 ) ；采用多尺度法得到了和式组合共振的稳 态响应及其存在条件；基于线性化稳定性分析的理论得到了参数空间中的稳定性 区域边界，并分析了系统中各参数对稳定性区域的影响。h o u 和z u 研究了标准线 性固体粘弹性轴向运动弦线的自由振动m 1 、标准线性固体和m a x w e l l - k e l v i n 模型 粘弹性轴向运动弦线非线性参数振动的响应及其稳定性“5 1 。 1 3 本论文的研究意义与主要工作 由以上的分析，轴向运动弦线的横向振动的研究工作已经有了一个广泛的基 础，并且也取得的很多成果。但是对于建立在粘弹性本构的材料基础上的模型的 研究，目前的工作还不是很多，而且大多数都还是起步性的工作。迄今为止，只 有一篇文章研究了满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型粘弹性本构材料的轴向运动 弦线横向非线性振动的动力学行为。所以在这个领域中，还有很多的空白有待研 究。本文分别研究了k e l v i n 微分型粘弹性本构模型和满足b o l t z m a n n 叠加原理的 积分型粘弹性本构的模型的动力学行为。所以本文的研究对于轴向运动弦线的横 向非线性振动的理论与数值方面都有一定的价值和意义。 主要研究内容分八章。 第一章前言 较系统地介绍了轴向运动弦线横向振动的研究背景，研究现状以及本文的 主要研究内容。 第二章两个模型的描述 首先采用h a m i l t o n 原理建立系统运动方程，然后具体描述了本文研究的 两个模型：第一个模型为k e l v i n 微分型粘弹性材料本构的轴向运动弦线横向非线 p 0 s t g r a d u a ：惩t h e s i s q f s h a n g h a ! u n i v e r s i t y 上海大学硕士学位论文枯弹性轴向运动弦线横向振动的非线性动力学分析 性参数振动的模型，主要考虑了轴向运动的速度有随时间变化的周期性涨落，从 而引起参数振动：第二个模型为满足b o l t z m a r m 叠加原理的积分型粘弹性材料本构 的轴向运动弦线横向非线性参数振动的模型，主要考虑了初始弦内张力有随时间 变化的周期性涨落，从而引起参数振动。最终得到了两个模型无量纲后的控制方 程。 第三章k e i v i n 微分型模型的理论分析 对k e l v i n 微分型模型的控制方程直接运用多重尺度展开，即引入一个快 变量和一个慢变量，由此偏微分方程中的导数有了展开式。应用链求导规则并令 小参数缃同次幂相等得到了原运动方程零阶近似方程和一阶近似方程。由于零阶 方程是齐次的所以可以引用之前研究轴向运动弦线横向运动线性系统的结果， 得到零阶近似方程的解的形式，各阶固有频率和本征函数。由于讨论的是倍频组 合共振，所以把以前的结果和假设一并代入一阶近似方程。最终得到只含有一阶 变量( 以1 为下标的变量) 的一阶近似方程，并把方程左边整理成零阶近似方程 的形式。为得到有界解，必须满足可解性条件。可解性条件是方程右面必须与所 有齐次方程( 也就是零阶近似方程) 的解正交，于是求解出可解性条件，这是一 个关于复振幅的常微分方程。显然此方程有平凡解。为求出非平凡解，必须把复 振幅写成极坐标的形式，即实振幅和相位角分离的形式。然后分离实部与虚部， 即分离出包含关于实振幅和相位角的实常微分方程组。为了研究模型的稳态响应， 实振幅和相位角必须是常数，即他们的导数必须为零。把这个条件运用到实常微 分方程组上，并且消去相位角，就得到了关于实振幅的齐四次方程。求出的正根， 就是倍频参数组合共振稳态响应的幅值，同时得到共振的存在性条件。由于幅值表 达式中含有许多未定的参数，第三章的最后用许多三维图例直观地来描绘倍频参数 共振稳态响应的幅值与解谐参数，速度幅值，轴向运动未扰速度之间的关系。 第四章k e i v i n 微分型模型的稳定性分析 首先对平凡解的稳定性进行了讨论：把从第三章中得到的关于复振幅的常 微分方程略去非线性项，然后引入一个变换把实部和虚部分离，再由受扰动的平 凡解必为非平凡解这一判据，得到了线性系统的平凡解的不稳定区域，由l y a p u n o v 线性化稳定性理论，这也是原非线性系统平凡解的不稳定区域。 其次对非平凡解的稳定性进行了研究：把从第三章得到的关于实振幅和相 位角的实常微分方程组进行线性化，计算出在不动点处的j a c o b i 矩阵a 。然后计 算出a 的特征方程，并给出了非平凡解的稳定区域具体的系数等价条件。然后分 情况讨论了非平凡解的第一极限环和第二极限环的稳定区域。由l y a p u n o v 线性化 稳定性理论，这也是原非线性系统非平凡解的稳定区域。 以上两个部分在末尾处都用许多三维图例直观地来描绘系统在某些参数 下的不稳定区域和稳定区域。 第五章k e l v i n 微分型模型的数值模拟 首先运用m a t h e m a t i c a 这一强大的符号运算软件得到k e l v i n 微分型模 型直到四阶的g - a l e r k i n 截断的近似常微分方程组。采用变步长的r t m g e k u t t a 算法 来求解常微分方程组的数值解。分别考察无量纲的速度y 和抛，粘弹性阻尼系数 6 p o s t g r a d l m 玎e t 璃s i s o f s a n g h a 】：i i n e r s r r y 上海大学硕士学位论文粘弹性轴向运动弦线横向振动的非线性动力学分析 e v 以及弹性系数的p o i n c a r e 截面映射的分岔图。数值模拟中考察的是各阶常微 分方程的中点无量纲化后的位移和速度。并对每一组分岔图进行了讨论。 第六章满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型的理论分析 对满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型的运动方程直接运用多重尺度展 开，即引入一个快变量和一个慢变量，由此偏微分方程中的导数有了展开式。应 用链求导规则并令小参数枷同次幂相等得到了原运动方程零阶近似方程和一阶 近似方程。由于零阶方程是齐次的，所以可以引用以前研究轴向运动弦线横向运 动线性系统的结果，得到零阶近似方程的解的形式，各阶固有频率和本征函数。 由于讨论的是和式组合共振，所以把以前的结果和假设一起代入一阶近似方程， 并且假设所研究的为一种标准线性固体，同时代入这种固体的松弛函数表达式。 最终得到只含有一阶变量( 以1 为下标的变量) 的一阶近似方程，并把方程左边 整理成零阶近似方程的形式。为得到有界解，必须满足可勰性条件。可解性条件 是方程右面必须与所有齐次方程( 也就是零阶近似方程) 的解正交，于是求解出 可解性条件，这是一个关于复振幅的常微分方程。显然此方程有平凡解。为求出 非平凡解，必须把复振幅写成极坐标的形式，郎实振幅和相位角分离的形式。然 后分离实部与虚部，即分离出包含关于实振幅和相位角的实常微分方程组。为了 研究模型的稳态响应，实振幅和相位角必须是常数，即他们的导数必须为零。把 这个条件运用到前面的实常微分方程组，并且消去相位角，就得到了关于实振幅 的齐四次方程。求出其正根，就是和式参数组合共振稳态响应的幅值，同时得到共 振的存在性条件。由于幅值表达式中含有许多未定的参数，第三章的最后用许多三 维图例直观地来描绘倍频参数共振稳态响应的幅值与解谐参数，激励幅值，运动速 度之间的关系。并且证明了严格共振时不存在第二非平凡解。 第七章满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型的数值模拟 首先运用m a t h e m a t i c a 这一强大的符号运算软件得到满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型模型直到四阶的g a l e r k i n 截断的近似积分微分方程组。其次采 用升维法将此积分微分方程组化为高维的常微分方程组。然后采用变步长的 r t m g e - k u t t a 算法来求解最后得到的常微分方程组的数值解，分别考察无量纲的速 度y ，激励幅值b ，粘弹性阻尼系数a 和a 的p o i n e a r e 截面映射的分岔图。并且数 值模拟中考察的是各阶常微分方程的中点无量纲化后的位移和速度。并对每一组 分岔图进行了讨论。 第八章结论与展望 对本文所做的工作和得到的结果进行了总结，并且提出了对进一步深入研 究工作的简单的展望。 7 第二章两个模型的描述 2 1 物理模型 第二章两个模型的描述 一个典型的轴向运动的弦线如图所示 y r r r 、 彳磊 l r l x 一 、l 其中c 御为时间7 的已知函数，表示为弦线的轴向运动速度；l 为皮带的跨度，且 弦线两端在固定的小孔中运动；图中的矿仪刀为在横向方向上的位移。另外，弦 线的密度为p 、横截面积为一、弦内张力为n 。 在此物理模型中，我们作了以下几个简化假设： 1 ) 只有y 方向的横向振动在考虑范围中，忽略x 方向上的纵向振动或认为 其与y 方向的横向振动相比足够小。 2 ) 假设弦线的弯曲刚度是可以被忽略的。 3 ) 在下述的积分型粘弹性本构的模型中，弦线的轴向运动速度c 定长且均 匀的；而在下述的微分型粘弹性本构的模型中，弦线的轴向运动速度c 仞 仍为时间丁的已知函数。 4 ) 假设弦线范围内的l a g r a a g e 应变分量是一个有跟量。 5 ) 粘弹性弦线处于均匀的初始张力下。 2 。2 运动方程 现在采用h a m i l t o n 原理建立系统运动方程。 弦线的势能为 一厂1、 坼= i ：l t 6 l + 亡e a e ：i d x ( 2 1 ) 其中占l “矽表示轴向l a g r a n g e 应变分量，e + 为粘弹性模型中刻画粘弹性材料性质 的粘弹性模量算子，式( 2 1 ) 积分中第一项由张力引起，第二项由轴向变形引起。 应变与横向位移v ( x , o 的关系是 t i f ，a 矿、2 气2 互l 别 ( 2 2 ) 8 第二章两个模型的描述 系统动能为 耻譬j ：睁c 翻2 彬卜 根据h a m i l t o n 原理 ( 2 3 ) 5 r 奴一g ) d r = o ( 2 4 ) 式( 2 2 小入式( 2 1 ) ，然后将式( 2 1 ) 和( 2 3 ) 代入式( 2 4 ) ，得到 艿“悟 ( 翔2 砌等豢2 - 罡吐韵2 + 扩文嗣4 ) d x d 丁= 。 ( 2 5 ) 进行分部积分并令积分号中项为零，得到 p 豢+ ：印淼+ ( 户2 一习豢+ p 万d c 而o v = 等( 羽2 豢 边界条件为 v ( o ，力= o , v ( z ，力= o ( 2 6 ) ( 2 7 ) 2 3 k e l v i n 微分型粘弹性本构的模型 在运动皮带的机械装置中，皮带的运动速度c 是，的函数，而初始张力r 也 可能不是常数，而是，的函数。所以以前有学者就研究了由于初始张力矿中带有 周期性涨落项而产生参数振动的模型，即假设速度为常量印，初始张力，+ 在常量 的基础上有一个扰动项，表达式如下 t = 毛+ 五c o s r o t( 2 8 ) 但是在工程实际中，假设j 虫1 t ( 2 8 ) 式的弦内初贻张力有扰动足不太符食常理和 实际的，往往初始张力可以测得，但是随着时间的推移，弦内张力不是在初始张 力的基础上加上一个简单地由简谐表达的涨落项。而皮带的运动速度硎在机械带 动的周期往复运动中主要由外部机械连动装置决定的可能性较大，所以如果假设 运动速度c 刃的表达式为在常量c o 的基础上有一个简谐表达的扰动项，会比较合 理。即假设运动速度c 仞的表达式 爿j = c ( ) = c 0 + q c o s q t ( 2 9 ) 并且考虑k e l v i n 粘弹性模型。该模型是由一个线性弹簧和一个线性阻尼器并 联而成的。其线性微分算子定义为如下 瓜+ 刁嘉 ( 2 1 0 ) 式中玎线性鞋【尼器的动力粘性系数。 9 第二章两个模型的描述 将式( 2 9 ) ，( 2 ，l o ) 代入式( 2 6 ) ，得到 p 似+ z p ( c o + c l e o s q t k 似力+ ( 麻+ 譬+ 2 鳓叩。s q r + 等r e 2 c o s 硷r 一韵口川一俨。o s i n f 2 t v a x = e + g 哼) + p g 2 以；1 i j ( 2 1 1 ) 将( 2 1 0 ) 代入式( 2 ，1 1 ) ，并且假设无量纲参数为如下 v = 争r 皤 i ，国= 铜i 序等，e + z 帆+ ，。c o s 耐) l ，。+ 陬+ 譬+ 2 y o y ic o s 耐+ 譬c o s 2 e x - 1 v 。一 嘶s i n 叱：( v ) 。 ( 2 1 3 ) 荆= 三疋+ 瓦嚣) k 峨鲁以u 眨 边界条件无量纲化后得到 巾，f ) ：o ，讹，r ) ：0( 2 1 5 ) 2 3 满足b o l t z m a n n 叠加原理的积分型粘弹性本构的模型 如粜我们不考虑k e l v i n 微分型粘弹性模型，而是由b o r z m a n n 叠加原理弓i 入 一个积分型的粘弹性模型，其茸+ 的定义如下 e = + c ：应。仃一丁) d t ( 2 - 1 6 ) 其中e 倒为应力松弛函数，疡为t = 0 时的目刀的取值