（信号与信息处理专业论文）含噪量子多址信道的信道容量研究.pdf

南京邮电大学硕士研究生学位论文 摘要 摘要 随着以量子力学基本原理为基础的量子通信和量子信息学的迅速发展，作为量子信息 技术的自然拓展，量子多址通信已成为人们日益关注的热点问题。而含噪多址量子信道的 容量研究是实现量子多址通信的基础。 与经典信息论相似，量子信息论中的最基本问题也是信道容量，因为它从根本上限定 了量子信道在可利用资源条件下的信息传输效率问题。然而，量子通信与经典通信最大的 区别在于量子信道不仅仅能传输经典信息，还能传输量子信息。因而量子信道存在两种信 道容量：经典容量和量子容量。因此，对于含噪多址量子信道来说，根据其发送的信息性 质不同，它的与量子信息相关的容量可以分为经典量子( c l a s s i c a l q u a n t u m ) 容量和量子量 子( q u a n t u m - q u a n t u m ) 容量。本文根据单用户量子信道的容量理论和y a r d 等人提出的纠缠 产生定理，利用量子f a n o 不等式、量子数据处理不等式等相关知识，求证出含噪量子多 址信道的信道容量区域定理，并把定理应用到三类最基本的多址量子噪声信道( 量子比特翻 转信道、量子相位翻转信道和量子退极化信道) 中，对所得的容量区域进行仿真、分析与比 较。计算和仿真结果验证了此容量定理的有效性。 量子信道噪声是影响量子多址通信质量的重要因素。在光通信中，量子高斯噪声是最 常见、最基本的噪声。由于目前量子高斯信道的量子容量未得到最终的精确结果，因而对 其经典容量的研究是现阶段的主要工作。本文在借助经典多址高斯信道信道容量的计算思 路的基础上，根据多址量子信道、量子高斯态和单用户量子高斯信道经典容量的相关知识， 从理论上推导出多址量子高斯信道的经典容量。 关键词：含噪多址量子信道，信道容量，量子高斯态，量子高斯信道 南京邮电大学硕士研究生学位论文abstract a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n sa n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，q u a n t u m m u l t i p l e a c c e s sc o m m u n i c a t i o n s ，a sae x t e n s i o no ft h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，b e c o m e ah o t s p o ti nt h ef i e l do fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y ，a n dc a p a c i t yo fn o i s ym u l t i p l e a c c e s s q u a n t u mc h a n n e l si st h eb a s i so ft h eq u a n t u mm u l t i p l ea c c e s sc o m m u n i c a t i o n s s i m i l a rt ot h ec l a s s i c a li n f o r m a t i o nt h e o r y ，c h a n n e lc a p a c i t y ，w h i c hr e s t r i c t st h ei n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o nr a t eu n d e rt h ef i n i t ea v a i l a b l er e s o u r c e s ，i sa l s ot h em o s tb a s i ca n di m p o r t a n ti s s u e i nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y u n l i k ec l a s s i c a lc h a n n e l s ，n o to n l yt h ec l a s s i c a li n f o r m a t i o n b u ta l s ot h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nc a nb et r a n s m i t t e dt h r o u g hq u a n t u mc h a n n e l s t h e r e f o r e ，t h e r e a r et w ok i n d so fc a p a c i t i e s ，c l a s s i c a lc a p a c i t ya n dq u a n t u mc a p a c i t y t h ef i r s tc a p a c i t yi st h e o v e r a l ls u p r e m er a t ew h i c hi sa c h i e v a b l ew h e nq u a n t u mc h a n n e l st r a n s m i tc l a s s i c a li n f o r m a t i o n t h eo t h e ro n ei sm a x i m a la c h i e v a b l er a t ew h e nc h a n n e l ss e n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n f o ra t w o - s e n d e rq u a n t u mc h a n n e l ，i t sc a p a c i t yc o n c e m i n gt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o nc o n s i s t so ft h e c l a s s i c a l - q u a n t u mc a p a c i t ya n dt h eq u a n t u m q u a n t u mc a p a c i t y b a s e do nt h ec l a s s i c a lc h a n n e l s t h e o r ya n ds o m eq u a n t u ml e m m a sa n di n e q u a l i t i e s ，c a p a c i t yt h e o r e mo ft h en o i s ym u l t i p l e a c c e s sq u a n t u mc h a n n e l sa r ed e d u c e di nt h i st h e s i s a n dt h et h e o r e mi s a p p l i e dt ot h e c o m p u t a t i o no fc l a s s i c a l q u a n t u mc a p a c i t ya n dq u a n t u m q u a n t u mc a p a c i t yo ft h es i m p l e s tn o i s y m u l t i p l ea c c e s sq u a n t u mc h a n n e l s ，s u c ha sq u a n t u mb i t f l i pc h a n n e l s ，p h a s e f l i pc h a n n e l sa n d d e p o l a r i z i n gc h a n n e l t h e n ，t h e s ec a p a c i t yr e g i o n sa r es i m u l a t e da n da n a l y z e d u l t i m a t e l y ，t h e r e s u l t sv e r i f yt h ec a p a c i t yt h e o r e m f u r t h e r m o r e ，q u a n t u mg a u s s i a nn o i s ei st h em o s tf a m i l i a ra n di m p o r t a n ti n t e r f e r e n c ei nt h e q u a n t u mo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n s q u a n t u mc a p a c i t yo ft h eq u a n t u mg a u s s i a nc h a n n e l si sn o t a c c u r a t e l yk n o w nn o w h e n c e ，t h ec l a s s i c a lc a p a c i t yi sp r e s e n tt a s k a c c o r d i n gt oc l a s s i c a l c a p a c i t yo fm u l t i p l e a c c e s sg a u s s i a nc h a n n e l s ，a sw e l la sq u a n t u mg a u s s i a ns t a t e sa n dc l a s s i c a l c a p a c i t yo ft w o - s i d eq u a n t u mg a u s s i a nc h a n n e l s ，t h e c l a s s i c a l c a p a c i t yo fm u l t i p l e a c c e s s q u a n t u mg a u s s i a nc h a n n e l si sd e d u c e di nt h i st h e s i s k e yw o r d s ：q u a n t u mn o i s ym u l t i p l ea c c e s sc h a n n e l ，c h a n n e lc a p a c i t y ，q u a n t u mg a u s s i a n s t a t e ，q u a n t u mg a u s s i a nc h a n n e l i l 南京邮电大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期： 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留 本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权 南京邮电大学研究生部办理。 研究生签名：导师签名：e l 期： 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 1 1 课题研究背景 第一章绪论 当今社会正在步入高度信息化的时代，更高速的信息传输、更快速的信息处理与更大 容量的信息存储是人类永远追求的目标。在这样一个信息时代，信息科学在改善人类生活 质量和推进社会文明发展中发挥着重要的作用，呈现出无可比拟的优越性。人类为了安全、 有效、可靠地分享信息，表现出了对信息需求的日益增加，这样就促进人们不断地致力于 信息技术的研究和开发。然而，由于现有的信息系统的信息功能已经开拓到接近极限的程 度。因此，信息科学的进一步发展必须借助于新的原理和新的方法。于是，由量子力学和 信息科学相结合而形成的新型的交叉学科一量子信息学便应运而生。以量子力学基本原理 为基础的量子通信和量子信息学将为未来信息科学革命性变革提供基本原动力，为信息科 学在未来的发展提供新的原理和方法。 量子信息学( q u a n t u mi n f o r m a t i o n ) 是上世纪8 0 年代以后发展起来的，是物理科学与信 息科学交叉融合产生的新兴学科领域，主要利用微观粒子作为载体，凭借着量子力学所特 有的一些性质：不确定性、相干性、纠缠等，可以完成一些经典的通讯、计算、密码学无 法实现的任务。量子信息学涉及到经典信息论、计算机科学、量子物理学等诸多学科，它 可以解决许多经典信息所不能完成的信息处理功能。由于量子信息学潜在的巨大应用价值 及其重大的科学意义，不仅引起各国政府和科技界的广泛关注，而且受到信息产业界和军 事部门的高度重视，因而量子信息学已成为国际上研究的热点。不可否认，信息科学正在 进入一个由经典信息跨入量子信息的新阶段。 量子信息论的一个最基本问题是在限定的可利用的资源条件下的信道容量问题l l j 。与 经典情况不同，量子信息论中存在两种容量，他们取决于所要传输信息本身的性质。一方 面可以用量子态传送经典的数字序列或波形，即用量子手段传输经典信息，此时的容量称 为量子信道的经典容量；另一方面可以直接传送量子态，即用量子手段传输量子信息，称 之为量子信道的量子容量1 2 j 。 在经典信道中，s h a n n o n 已证明了信道容量c 是对应于最佳输入分布时的平均互信息 聪矽的最大值，由平均互信息i ( ) ( ；函数特性得到信道容量c 是存在且可求的【3 1 。有关量 子多址信道模型及容量也取得了一定的进展，1 9 9 7 年，a l l a h v e r d y a n 和s a a c k i a n 首次提出 量子多址信道模型f 4 】，在此模型基础上，a w i n t e r 研究了两个发送端同时传输经典信息时 i 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 的量子多址信道的容量【5 1 ，得到量子多址信道的容量完全与经典信道容量计算形式相似。 所不同的是，冯诺依曼熵( v o nn e u m a n ne n t r o p y ) 替代了经典信道容量中的香农熵( s h a n n o n e n t r o p y ) ，表明了量子多址信道容量的研究可以借鉴经典多址的方法。然而，在当时获取含 噪量子多址信道的信道容量区域还是存在巨大困难。 当s c h u m a c h e r ，l l o y d 和n i e l s e n 在含噪量子信道容量讨论中引入相干信息，并证明相 干信息在量子信息论中扮演类似经典信息论中的互信息i ( x ：y ) 的角色后 6 1 ，2 0 0 5 年，y a r d 等人研究了在任意量子信道下二个发送者一个接收者间两种不同的容量区域f 7 1 ，其中一种 是适合于一个发送者传输经典信息，另一个发送者传输量子信息时的容量区域，即经典 量子容量区域；另一种是两个发送者同时传输量子信息时的容量区域，即量子量子容量区 域。 本文借鉴经典信道容量及其有噪信道编码定理【3 】，利用经典一量子纠缠产生编码定理和 量子一量子纠缠产生编码定理，并借助几个辅助定n t 7 1 ，求证了y a r d 等人给出的多址含噪 量子信道的信道容量区域定理，并将该定理应用到三个最基本的多址含噪量子信道( 量子比 特翻转信道，量子相位翻转信道，量子退极化翻转信道) 中，获得相应的信道容量区域，计 算结果验证了容量定理的有效性。最后从经典量子容量区域和量子量子容量区域两个不 同的着眼点出发，对计算得到的信道容量区域进行仿真、分析和比较。 在经典世界里，自然界的噪声通常都是高斯噪声，因而高斯态和高斯信道具有相当重 要的信息论意义。高斯信道描述的是模拟波形信道，高斯信道容量是指信道噪声为高斯噪 声时信道的最大信息传输能力【3 】。而在量子领域，相应的角色是量子高斯态和量子高斯信 道。然而，到现在为止，量子高斯信道的量子容量问题还没有得到明确的计算结果。因此， 目前关于量子高斯信道的主要工作是计算它的经典容量。而根据h o l e v o 和w e m e r 给出的 理论得到：对于量子高斯信道上传输的量子态，若一阶矩和二阶矩给定，则使量子互信息 达到最大值的是量子高斯态。量子高斯信道的经典容量是可以计算得出的1 8 。 本文对量子高斯态和量子高斯熵做了详细地描述，并给出单用户量子高斯信道的经典 容量、单模热噪声信道和单模压缩信道的纠缠辅助容量的计算方法。在借助经典多址高斯 信道信道容量计算的思路的基础上，根据多址量子信道、量子高斯经典容量的相关知识， 推导出多址量子高斯信道的经典容量。 为了计算简便且不失一般性，本论文均采用两输入一单输出的多址量子信道模型，文 中不再另行说明。 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文第一章绪论 1 2 论文概述 本论文结构安排及主要内容如下： 第二章：介绍量子力学理论基础，这是一切量子通信与量子信息科学的理论基础，主要包 括量子力学的几大假设、量子力学的基本概念、量子力学的基本原理、量子测量 等。 第三章：介绍量子信息论的基础理论，量子信息论是经典信息论与量子力学相结合的新兴 交又学科，主要包括量子纠缠理论、量子熵与信息量、量子信道容量理论等。在 量子信道容量理论的讨论过程中，简单地求证了双边量子信道，即单用户量子信 道的信道容量。 第四章：首先介绍了香农第二定理和经典多址接入信道等经典信道理论；其次介绍了含噪 量子信道的表示方法、给出了含噪多址量子信道的信道容量定理；最后在经典信 道理论的基础上求证了含噪多址量子信道的信道容量定理并把定理应用到三个 最基本的含噪多址量子信道中，对计算结果进行仿真和分析。 第五章：借鉴经典的高斯信道的容量理论，求出单用户量子高斯信道的经典容量，即h o l e v o 容量，和两个单用户高斯信道的纠缠辅助容量，即输入功率受限的最大量子互信 息。在此基础上，根据多址量子信道的经典信道容量的相关知识，详细地推导出 多址量子高斯信道的经典容量。 第六章：工作总结。 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学理论基础 第二章量子力学理论基础 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科。量子力学不仅是近代物理学 的基础理论之一，而且在其他学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。量子力学是物 理理论发展的一个数学框架。量子力学本身并不能告诉我们物理系统服从什么定律，但它 通过量子力学基本假设，提供了研究这些定律的数学和概念的框架。 2 1 量子力学基本假设 量子力学基本假设是量子力学理论的基石。它们不是由其他的定理或公理推导出来， 是对大量实践的抽象总结。整个量子理论系统的框架都是建立在几个基本假设基础之上 的，这几个基本假设就是量子力学的基本原则。经过近一个世纪实践的考验，证明作为量 子力学理论基础的这些基本假定是正确的【9 1 。 假设l 状态空间假设： 任一孤立物理系统都有一个称为系统状态空间的复内积向量空间( 即h i l b e r t 空间) 与 之相联系，系统完全由状态向量所描述，这个向量是系统状态空间的一个单位向量。 该假设建立起了量子力学适用的场合，即h i l b e r t 空间。在量子通信的研究中，量子 比特( q u b i t ) 被视为最基本的量子力学系统。 假设卜量子态演化假设： 一个封闭量子系统的演化可以由一个酉变换来刻画。即系统在时刻f 1 的状态| 缈) 和系 统在时刻，2 的状态i 缈t ，可以通过一个仅依赖于时间和t 2 酉算子u 相联系： i 伊 = u l 缈) 。 该假设描述了封闭量子系统的量子状态在两个不同时刻的关系。这样，我们可以通 过酉变换算子来研究量子系统的演化。 假设l 量子态测量假设： 量子测量由一组测量算子 w 坍 描述，这些算子作用在被测系统状态空间上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是i 炉，则结果m 发生 的可能性由 毁。) = ( 沙l 孵i y ) ( 2 1 1 ) 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子力学理论基础 给出，且测量后系统的状态为： 。丽w 丽ol y 丽) ( 2 2 ) ( y i 吲i ) 、7 测量算子满足完备性关系( c o m p l e t e n e s sr e l a t i o n ) ： 暇既= ， ( 2 1 3 ) ( 本文中如无明确说明，均以( ) 表示共轭转置，( ) 表示共轭，( ) t 表示转置。) 该假设给出了一个描述测量统计特性的规则，即分别得到不同测量结果的概率以及 描述测量后系统状态的规则。在许多应用中，系统测量后的状态如何意义不大，人们主 要关心的是系统得到不同结果的概率。 假设仁复合系统假设： 复合物理系统的状态空间是子物理系统状态空间的张量积，若将子系统编号为l 到厅， 子系统f 的状态置为i ) ，则整个系统的状态为i ) i ) o l ) ，“o ”表示张量积运算。 该假设给出了把不同量子系统状态空间组合成复合系统状态空间的方法。 2 2 量子力学基本概念 2 2 1 量子态矢量及量子比特 量子力学是建立在h u b e r t 空间上的数学模型。量子态是h u b e r t 空间中的一个矢量， 常用狄拉克( d i m c ) 符号表示【l o 1 1 1 1 。i 矿称为右矢，它的共轭转置 o ( 当且仅当i 驴 _ 0 时取等号) ，则定义函数( ，) 为内积( i n n e rp r o d u c t ) ， 矢量i 伊 和i 炉的内积记为q o l 沙 。 通过内积，我们可定义正交归一化条件：嘲l m 即当，l 所时满足 = o ，此时称矢量i n 与i 胗正交( o r t h o g o n a l ) ；而刀= 聊时服从归 一化( n o r m a l i z a t i o n ) 条件 = l 。 6 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学理论基础 j l - 积( o u t e rp r o d u c t ) 表示是利用内积表示线性算子的一个有用方法。设i 炉、l j ；f ， 是内 积空间l 壬，中的向量，i 缈 是内积空间m 中的向量，定义外积f 妒 上的作用就被定义成l 妒 与一个复数 相乘。 外积的重要性可以从标准正交向量的完备性关系体现。令i 为向量空间v 中的任意 标准正交基，于是任意向量i 诊可写成i v ) = eif ) ，协是一组复数。由于 = l v ) ( 2 2 5 2 ) j ，i 最后一个等式对所有l 诊成立，故有li ) ( i l = i ，h i x - - - ( 2 1 3 ) 的完备性关系。 利用完备性关系，可将任意线性算子表示成外积形式。例如，设彳是从空间v 到w 的一个线性算子，l v i 是v 的一个标准正交基，1 w 户是w 的一个标准正交基，两次应用 完备性关系得到： a = 1 w a i y = i 一) ( h 哆) ( h l ( 2 2 6 2 ) = ( 一哆) l _ ) ( v l 这就是彳的外积表示。从式中可以看出，相对于输入基1 1 ，i 和输出基1 w 户，a 的第f 列第，行元素是哪阻i p 。 若要将向量空间合在一起，构成更大向量空间，则需要用到张量积运算【1 3 】。设v 和 w 分别是m 维和刀维的h i l b e r t 向量空间，定义v 张量w 是一个m x r 维空间，张量积 运算符号记为“o ”。张量积的定义相当抽象，但转到称为k r o n e c k e r 积的矩阵表示就会 具体得多。设彳是一个m x n 维矩阵，b 是一个p x q 维矩阵，则有矩阵表示： 彳ob = a 11 b4 2 b 4 以b i ra 2 2 ：a 2 n bl ( 2 2 7 ) ：1 1 b 2 召曰1 这个表示中，彳m 拶的项代表p x q 子矩阵，其元素正比于曰，全局比例常数为矩阵彳 中的元素彳姗，a o b 为m p 行n x q 列的矩阵。 7 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学理论基础 另一个重要的矩阵函数是矩阵的迹。彳的迹定义为它的对角元素之和，即 t r ( a ) - 鸣。 f 对于任意单位向量l 缈) 和任意算子a 。采用g r a m - s c h m i d t 过程把i 沙) 扩展成一个以 l ) 为首个元的标准正交基i f ) 乃( 彳i ) ( i ) = ( fi 彳i ) ( y i f ) = ( 少l 彳ly ) ( 2 2 8 ) f 2 2 3 密度算子 前面我们已经用量子态矢量的语言描述了量子力学，而另一种描述量子力学的工具是 密度算子( d e n s i t yo p e r a t o r ) 或密度矩阵【1 4 】。当量子系统较为复杂时，例如，自由度( h i l b e r t 空间的位数) 数目较大，我们很难掌握态矢量的全部信息，尤其是它的相位，我们较易获得 并且最关心的信息是量子系统处于各种状态的概率。对于这种情况，使用密度算子可以很 方便地描述状态不完全已知的量子系统。 设量子系统以概率p ，处在一组状态中的某一个，记为i 炉，是一个指标。系统的密 度算子p 定义为： p - e p , i ) 似i ( 2 2 9 ) f 密度算子的算子类可以由如下定理描述：一个算子p 是和某个系综锄，l 炉) 相关联 的密度算子，当且仅当它满足j 查( t r a c e ) 条件和半正定条件，即p 的迹，( p ) ( 算子p 的主对 角线元素之和) 等于1r p 是半正定算子。 若量子态l 伊) 确实发生，或者说i 伊) 出现的概率为i ，这时密度算子p = i 力( 缈i 。这样 的状态称为纯态c o u r ts t a t e ) 。 密度算子语言和状态向量语言给出的是相同的结果，不过有时以某一种观点处理问 题会比另一种观点容易得多。 密度算子最重要的应用是作为描述复合系统子系统的工具，这个描述由约化密度算 子( r e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o r ) 提供，它是分析复合量子系统不可缺少的工具。假设有物理 系统a 和b ，其状态由密度算子p 朋描述。针对系统么的约化密度算子定义为： p 月兰 p 加 ( 2 2 1 0 ) 8 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子力学理论基础 其中是一个算子映射，称为在系统b 上的偏j 迹( p a r t i a lt r a c e ) ，定义为： i 口1 ) ( 口：i o l b , ( b 2 1 ) = l a , ( b 2 1 ) ( 2 2 1 1 ) 其中l 口l 和i 砚 是状态空间a 中的两个向量，i b l 和i b 2 是状态空间b 中的两个向量。 等式右边的迹运算是系统b 上的普通迹运算，因此t r l b l 。 2 2 4 厄米算子和酉算子 量子理论研究中常会遇到一些特殊算子，如厄米算子( h e r m i t eo p e r a t o r ) 、酉算子 ( u n i t a r yo p e r a t o r ) 等【1 2 1 。这些特殊算子的定义方便了量子理论的推导与运算，是量子力学 及相关理论的重要基础概念。 设a 是h i l b e r t 空间v 上的线性算子，则v 上将存在唯一的线性算子a t 使得对所有 向量i v 、i 驴v 均有下式成立： ( 协a 1 w ) ) - - ( a h i ) ( 2 2 1 22 ) 这个线性算子被称为a 的伴随算子( a d j o i n to p e r a t o r ) 或厄米共轭。习惯上，如果i 诊 是向量，那么定义i 诊t 兰 ， 都是非负实数的算子。 投影算子( p r o j e c t i v eo p e r a t o r ) 也是厄米算子的重要子类。设w 是刀维向量空间v 的 k 维子空间，采用g r a m s c h i m d t 过程，可以为v 构造一个标准正交基1 1 ，l r ，使 得i l ，i j | 是w 的一个标准正交基。定义： k p - l i ) ( i i ( 2 2 1 3 ) i = l 是到w 上的投影算子。结合纯态、混合态及投影算子的定义可知，当混合态中仅有一个 a 不等于零，则式( 2 2 9 ) 中的密度算子就将转化为式( 2 2 1 3 ) 中的纯态的投影算子。可见， 从某种意义上说纯态是混合态的一个特例。 由这些特殊算子的定义，还能得到一系列性质和推论。例如，由厄米共轭定义可知 ( 彳b ) = 矿a ，( 彳) = 彳；任意投影算子p 满足尸2 = 尸：投影算子的特征值全都是非0 即 1 ；酉算子的所有特征值的模都是1 ，等等。 9 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学理论基础 2 3 量子力学基本原理 量子力学对已知世界的描述是最精确和完整的，也是理解量子计算与量子信息的基 础。作为量子信息理论和量子通信的基础，量子比特的属性由量子力学基本原理决定。本 节简单介绍与量子计算和量子信息相关的一些量子力学基本原理。更加详细的内容可参阅 参考文献 1 5 ，1 6 1 。 2 3 1 量子态叠加原理 量子信息中使用的量子态与经典信息中使用的经典物理态有一些不同的地方。可以 说，经典物理态是量子态的一个子集，是量子态的一类特例。对经典物理态的测量，其结 果通常是确定的；而对量子态的测量并不一定是完全确定的，即可能是某一些测量结果的 概率分布。这是因为量子态可以是测量算符的一些本征态的叠加。从逻辑上讲，态叠加原 理( s u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e ) n - i 以由量子力学的第一条基本假设推演出来，因此通常人们并不 把它作为量子力学的基本假设。态叠加原( s u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e ) 的内容为：如果 l ) ，l ) ，l ) 是量子系统的可能的态，那么它们的任意线性叠加态 l y ) = q1 ) ，( f = l ，2 ，聆) ( 2 3 1 ) f 也是系统的一个可能的态。 量子力学中的态叠加原理在量子信息中有着广泛的应用，也给量子信息赋予了与经典 信息截然不同的丰富内容。当然，这也体现了量子力学中的态叠加原理与经典物理中的叠 加原理的不同：两个相同的态的叠加在经典物理中代表一个新的态，但在量子物理中仅表 示同一个态；经典物理中的叠加是几率的叠加，而量子物理中的叠加是几率幅的叠加，是 同一个量子体系的各个可能状态的线性叠加，叠加的态是同一个量子体系的一个新态，具 有新的特性。 2 3 2 海森堡不确定性原理 海森堡不确定性原理( h e i s e n b e r gu n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ) 根源于微观粒子的波粒二象性。 自由粒子的动量不变，自由粒子同时又是一个平面波，它存在于整个空间。也就是说自由 粒子的动量完全确定，但它的位置完全不确定。又如，单色正弦波频率完全确定，但延续于 全部的时域。频率缈确定，相对于粒子的能量壳缈完全确定，但时间完全不确定。从以上 1 0 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子力学理论基础 两个大冢熟悉的例子n - j 见，动量p 与位置x 不能同时确定；能量e 与时i 司，也不能l 一时确定。 c 凹幽掣趔 ( 2 3 2 ) 式( 2 3 2 ) 就是海森堡不确定性原理。 根据算符x 与动量p 的对易关系 x ，纠= i h ，代入上式中得 缸卸昙7 i ( 2 3 3 ) 又能量算符e 与时间算符t 的对易关系为 e ，f 】= i h ，故有 a e a t 丢7 i ( 2 3 4 ) 2 3 3 量子不可克隆原理 根据量子态叠加原理，w o t t e r s 和z u r e k 于1 9 8 2 年提出了一个未知的量子态不可被 完全精确复制的理论，即量子不可克隆原理。这里的克隆是指保持原来的量子态不被改 变，而在另一个系统中产生一个完全相同的量子态。克隆不同于量子态传输，传输是指 量子态从原来的系统中消失，而在另一系统中出现。关于量子态的克隆，有如下三条定 理，它们构成了量子不可克隆原理。 定理l ： 如果l 缈 和i 炉是两个不同的非正交态，不存在一个物理过程可以作出i 炉和l 炉两者的 完全拷贝。 定理2 ： 一个未知的量子态不能被完全拷贝。 这里进行简单证明。假设1 6 【 是一个未知的量子态，有一个以酉阵u 表述的物理过 程能完全拷贝它，即 。 u ( 1 口) l o ) ) = l 口) l 口) ( 2 3 5 ) 这个物理过程必定不依赖于l a 态本身的信息，从而和l a 态本身无关。对于一个任 意态胗幸l 驴应有： u ( 1 ) l o ) ) = i ) i ) ( 2 3 6 ) 从而对于i 户= l 口 + 垆，将有： 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子力学理论基础 u ( 蚓o ) ) = u ( ( 1 口) + l ) ) | o ) ) = i 口) i 口) + l ) i ) ( 2 3 7 ) l y l y ) 这已不是态i 户的拷贝，所以这样的物理过程不可能存在。定理2 证毕。 定理3 ： 要从编码在非正交量子态中获得信息，不扰动这些态是不可能的。 虽然有研究证吲1 7 】【1 8 1 ，不保证复制必定成功的概率量子克隆是可能的，但以上不可克 隆原理明确否定了精确复制未知量子态的可能性。表面上，量子克隆与复制和经典克隆与 复制相互矛盾，其实本质上是一致的。在经典情况下，由于测量是针对宏观客体进行的( 如 电压信号) ，任何结果都可在误差范围内通过测量精确获得，因而可以精确克隆和复制。但 从量子物理的观点来看，所有的宏观操作都是近似的，因为客体本身的涨落总是存在的， 只是在经典情况下这种影响太小而可以忽略。当客体小到必须考虑其量子效应时，这些涨 落起着重要作用，正是这些涨落导致了量子信息的不可克隆性。因此，从某种意义上来说， 经典克隆与复制可以认为是量子情况下的经典极限。 量子不可克隆原理使得量子比特和经典比特有着根本性的差异。由于经典比特可以复 制，在实际通信时可通过复制信息位以增加冗余信息达到信息正确传输的目的，而量子信 息处理和量子通信则无法采取此类方法进行。同时，它使得量子检测在概念上与经典检测 有所区别，定理3 表明用非正交量子态编码的经典信息是不能用任何测量方法完全提取出 来的，这是在量子通信的编码部分必须考虑的。 2 3 4 量子测量塌缩原理 任一量子态在 k ) ) 为基矢的表象中可以表示为 k ) ) i ) = l 刀) ，= ( y i 刀) ，i 1 2 = l ( 2 3 8 ) 打疗 其中，i 1 2 是测量结果为的概率。也可以说，测量时，i y ) 量子态坍塌到l 刀) 基矢的 概率为1 1 2 。实质上量子态的测量是讲测量前的系统状态投影到被测力学量所章程的整个 系统空间的子空间中。测量过程可以分为三个步骤。首先将系统量子态进行谱分解，即将 被测量子态按所测力学量的本征态矢展开。然后进行量子态的坍缩，将量子态坍缩到某一 特定的本征态上。最后以坍缩后的量子态为初态，在新的算子作用下进行新一轮的量子态 1 2 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学理论基础 演化。 2 4 量子测量 量子测量理论联系着量子理论计算和量子实验测量，是两者之间必经的桥梁，是量子 理论的基础和支柱f 9 1 。 2 4 1 测量算符 测量是了解量子系统的实验手段。量子测量由一组测量算子 鸠) 描述，这些算子作 用在被测系统状态空间上，指标朋表示实验中可能的测量结果。若是在测量前，量子系统 的最新状态是i 沙) ，则结果m 发生的概率由 p ( 肼) = ( 5 c ，i m 册 乙l ) ( 2 4 1 ) 给出，且测量后的系统状态为 测量算子满足完备性方程 丝哟 厄瓦砑 m 0 m m = l ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 完备性方程表达了概率之和为l 的事实： 1 = p ( 所) = ( i a 乙a 乙l ) ( 2 4 4 ) j 行 m 该方程对所有的l 妙) 成立，等价于完备方程。 最简单但是最重要的测量是沿计算基矢的测量。除非特别声明，单个量子比特的测量 都被认为是在基 | o ) ，1 1 ) 。 2 4 2 投影测量 投影测量( p r o j e c t i v em e a s u r e m e n t ) 是量子力学最常见最重要的测量，它是上述的一般测 量算符的一个类别。所谓投影测量，其实是讲量子态投影到一个可观察量( 厄米算符) 的本 征矢量空间去进行测量。厄米算符的本征值是个实数，是个观察量。投影测量定义为如下 的形式：厄米算子m 是被测系统状态空间上的一个可观测量，该观测量具有谱分解： 1 3 南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章量子力学理论基础 肘= m p m ( 2 4 5 ) 其中是特征值m 的本征空间m 上的投影。测量的可能结果对应于测量算子的特征值m 。 测量状态l 缈) 时，得到结果m 的概率为 p ( 研) - - ( 1 l c , l p oi y ) ( 2 - 4 6 ) 给定测量结果m ，测量后量子系统的状态立即为 辔 ( 2 4 7 ) 厄 挣。h 投影具有非常好的特性，特别地，很容易计算投影测量的平均值。由定义： e ( m ) = m p ( m ) = 肌( y l 乞l y ) = ( y l ( 朋巴) i 沙) = ( i m l 少) 由于投影测量的特性，投影测量也可以理解为在一组正交基 i 聊) ) 所张成的空间中进行 到子空间的投影，即 己- - i m ( m i ( 2 4 9 ) 当投影算子己作用于量子态时，将量子态投影到i 朋) 子空间。 2 4 3p o v m 测量 量子力学假设，即假设3 ，涉及到两个要素。首先，它给出了描述测量结果统计特性 的规则，也就是说不同的结果以各自的概率出现；其次，它给出测量后量子坍塌的状态。 对于一些实际的应用来说，测量后系统的状态是没有太大的用处。然而在一些应用中，需 要对测量结果状态进行分析，应用这样的测量方法，称之为半正定算子值测量( p o s i t i v e o p e r a t i o n - v a l u e dm e a s u r e ，p o v m ) 。 根据公式( 2 4 1 ) ，当用测量算子坂对量子系统进行测量时，测量后得到m 概率为 p ( m ) 。假设定义新的算子 瓦= 帆坂 ( 2 4 1 0 ) 1 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章量子力学理论基础 那么是一个半正定算子，并且满足已= ，和p ( m ) = 缈i ei y ) 。因此，算子玩能够 和决定测量的输出结果，通常已成为p o v m 算子，所有已的集合为p o v m 测量。 下面举一实例。设a l i c e 交给b o b 一个量子比特，该量子比特处于态l ) - - i o ) 瓣 i ) = ( i o ) + 1 1 ) ) 虿。由于非正交态不能可靠区分，b o b 刁 , , g l z , 匕, - l 一g l z i j 的是 i ) 还是l ：) ，但他可以进行一项只在某些时候区分状态但永远不误判状态的测量。考虑 一个p o v m 测量，它包含以下三个p o v m 算子： 置= 焘i 1 ) ( 1 i e ：4 ( i o - 1 1 ) ) ( ( o i - 0 1 )( 2 4 1 1 ) 1 + 2 2 、 历= l 一巨一岛 容易证明，这些都是半正定算子，且满足完备性关系瓦= ，因而是一些合法的p o v m 算子。 假设b o b 获得的态为i y ) = 1 0 ) ，他利用p o v m 算子( 巨，易，e ) 进行检测。如果选 择岛，则 ( y 。) = ( o l 禹j 1 ) ( 1 i i o ) = 。( 2 4 1 2 ) 因而，如果他利用巨进行检测，当存在结果时，则b o b 能够肯定他接收的状态为i ：) ； 类似的，如果他利用岛进行检测，当存在结果时，那么他可以肯定接收到的为1 ) ；然而， 他有时也可能用马检测，则他就不能正确地判断到底是接收了哪个态，这是b o b 进行绝对 诈确检测的代价。 2 5 本章小结 本章主要介绍量子力学理论，这是一切量子通信与量子信息科学的基础，主要包括量 子力学的几大假设、量子力学的基本概念、量子力学的基本原理、量子测量等。量子力学 是物理理论发展的一个数学框架。量子力学本身并不能告诉我们物理系统服从什么定律， 但它通过量子力学基本假设，提供了研究这些定律的数学和概念的框架。 1 5 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章量子信息论基础 第三章量子信息论基础 在当今“信息社会”中，人们在各种生产、科学研究和社会活动中，无处不涉及到信 息的交换和利用，如迅速获取信息、正确处理信息、充分利用信息。可见，信息是非常重 要的。那么，什么是信息呢? 根据香农( s h a n n o n ) 信息的定义，信息是指各个事物运动的状 态或存在方式的不确定性的描述，它是信息论中最基本、最重要的概念，也是一个既抽象 又复杂的概念。信息论( i n f o r m a t i o nt h e o r y ) 是在信息可以量度的基础上，研究有效和可靠传 递信息的理论，它涉及信息的产生、存储、传输和处理。