（基础数学专业论文）一类推广的bernstein多项式及其应用问题研究.pdf

一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 研究生：孙晓坤 指导教师：王晶昕 学科专业：基础数学 摘要：我们讨论b e r n s t e i n 多项式的种推广，咀【0 ，1 】上的一类函数h ( x ) 取代经 典b e r n s t e i n 基函数和b e r n s t e i n 多项式中的z ，由此得到的基函数保有大部分性 质，诸如非负性，单位分解性等但新的b e r n s t e i n 多项式收敛于生成函数，当日 仅当h ( x ) ；z 研究h ( x 1 分别为折线函数、二次样条函数、三次抛物线时，b e r n s t e i n 多项 式曲线的导数性质、凸包性质、凸性等，并得到结论这种推广的b e r n s t e i n 多项式 失去了一些经典b e r n s t e i n 多项式的性质最后应用这种推广的b e r n s t e i n 多项式 去生成自由曲线曲面 关键词：b e r n s t e i n 多项式；b e r n s t e i n 基函数；折线函数；二次样条函数；三次抛 物线 1 引言 多项式逼近是数值分析中的最重要的方法之一，因为多项式便于计算，便 于求导数，求积分，因此多项式逼近在数学分析和数值逼近理论中一直占有十分 重要的位置而且，人们不断地从各个角度研究其逼近的方法和应用1 8 0 2 年， w e i e r s t r a s s 给出了用多项式函数列逼近连续函数的一个重要结果，这就是著名的 w e i e r s t r a s s 定理： w e i e r s t r a s s 定理( 【1 1 ) ：设f ( x ) c a 加 ，那么对于任意给定的e 0 都存 在多项式p ( z ) ，使得 。m 。a 。x 。i f ( x ) 一p ( x ) l 0 ) ，使得当o 2 曼6 且 | t 一。l 巧时有i ，( t ) 一，( z ) l 0 ) ，使得当o 2 曼6 且 | t 一。l 巧时有i ，( t ) 一，( z ) l e 因此 j ( z ) 一f ( x ) i = i 虬( z ，t ) 【，( t ) 一f ( x ) d t + o ( 1 ) 1 j 0 5 ( z t ) l f ( t ) 一f ( x ) l d t + d ( 1 ) j o = ( z ，t ) l f ( t ) 一f ( x ) t d t + o ( 1 ) s 虬+ o ( 1 ) se + o ( 1 ) 结论由此得证口 特别地，当选定( 2 1 2 ) 中的核函数 ( z ，) = q 。”( 1 一。) ，0 t 1 0 、令 。( 6 ) 2 2 。d 。i 。a 。, x 6 i ，( z ) 一，( ) l ， j o y j 0 、令 。( 6 ) 2 2 。d 。i 。a 。, x 6 i ，( z ) 一，( ) l ， j o y j 6 若f ( x ) 连续，显然有u ( d j 趋于0 当k ( ，；z ) 为逼近函数时，下列两个定理说明了它逼近f ( x 1 的情况 定理2 3 1 ( 3 】) 若连续函数f ( x ) 有连续模u ( d ) ，则 f ( x ) 一b 。( ，；z ) i ；u ( n 一) 定理2 3 2 ( 3 ) 若u 1 ( d ) 是导数，7 ( z ) 的连续模，则 l f ( x ) 一b 。( ，；z ) i i 。n i 1 l ( n 一 ) 3 由f ( x ) 的性质得到的b 。( ，；z ) 的性质( f 3 ) ) ( 1 ) 若，( z ) 在 0 ，1 上有界，则b 。( ，；z ) 也有界且对v x o ，1 ，若m 茎 f ( x ) m ，则必有m 墨k ( ，；。) 曼m ( 2 ) 若，( z ) 单调不减，则k ( ，；z ) 单调不减 ( 3 ) 若f ( x ) 是凸函数，则b 。( ，；z ) 也是凸函数 ( 4 ) 若f ( x ) 是有界变差函数，b 。( ，；z ) 也是有界变差函数，且b 。( ，；z ) 的全变 差不大于，) 的全变差 ( 5 ) 若f ( x ) 是l i p s c h i t z 函数，则日。( ，；z ) 也是l i p s c h i t z 函数 2 4 多元b e r n s t e i n 多项式 多元b e r n s t e i n 多项式是单元b 。( ，；x ) 最直接的一种推广 7 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 设( x l ，x 2 ) 是定义在【0 ，1 o ，1 上的_ 元有界函数，构造 。) = q v 吲k 。元v毫) 球1 一训z ；( 1 为关于，的二元b e r n s t e i n 多项式且当，是连续函数时，仿照一元的情形可以证 明b 。：( ，；z 1 ，z 2 ) = f ( x 1 ，x 2 ) _ 。，m _ o 。) 而且，二元b e r n s t e i n 多项式 的向量值形式就是张量积b 4 z i e r 曲面 类似的，当，扛1 ，z 2 ，一，z k ) 是n 维体 ( 1 ，z 2 ，茁k ) 10 3 ：i 1 ，i = 1 ，2 ，- ，后) 上连续函数时，列应的b e r n s t e i n 多项式b 札m ( ，；z 1 ，z 一，z k ) = 翟：。嚣四眯：，( 詈，卺) 。 ( 1 一。) “一z ：( 1 一z m ) “。一致 收敛于，( 。，z k ) ( 当所有的啦一o o 时) 3b e r n s t e i n 多项式的一种推广 3 1 想法与问题 b e r n s t e i n 多项式的各种推广都是基于各种目的的考虑而做出的，例如研究 多元b e r n s t e i n 多项式可以生成多维体的表面，例如f 8 1 中定义q - b e r n s t e i n 多项式， 并推广至参数曲线的形式 实际上，如果牺牲了经典的b e r n s t e i n 多项式的一些优越性质，可以得到更广 泛的推广和应用在这一部分，我们要考虑的就是这样一种形式的推广 考察b e r n s t e m 基甬数知道，( 1 2 ) 式中的参变量z 可以看作是函数h ( x ) iz 于是， ( z ) z 的情形的研究就是一个值得关注的问题首先，对于函数( x ) ， b 。( ，；峨z ) 是甭收敛于，( z ) ? 其次，b 。( ，； ；。) 的性质与z ( x ) 以及h ( x ) 有什么 关系? 再次，这类b e r n s t e i n 多项式的意义和用途是什么? 在此，我们要求h ( x ) 满足h ( 0 ) = 0 ，h ( 1 ) = 1 3 2 推广后的b e r n s t e i n 多项式的收敛性问题 以 ( z ) 代替( 1 2 ) 式中的z ，定义基函数鼠，。( h ；。) 为 玩，。( h ：z ) = c ： ”( z ) 【l 一 ( z ) ( 3 2 1 ) 8 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 因此有结论 l i mb n ( ； ；z ) = ) l i m b n ( ； ；z ) = h 2 ( x ) 可见当 扛) z 时，对丁任意的f ( z ) c i o ，坫 f k ( ，；疋z ) ) 不一定收敛 于，( z ) 于是可以得到结论： 命题3 2 1 若，( 。) c 0 ，1 】，k ( ，； ；z ) 定义如( 32 2 ) 式，则b 。( ，； ；z ) = ，扛) 的充要条件是h ( x ) i z 命题3 2 2 若，扛) c o ，1 足以1 ，h ( z ) ，h 2 ( z ) ，为基底的函数则 b 。( ，；h ；z ) = ，( 。) 3 3 b e r n s t e i n 多项式玩( ，：h ；z ) 的性质 这种新的b e r n s t e i n 多项式口。( ，；h ；x ) 也保有一些原有的性质，如有界性：若 ，扛) 有界，则f k ( ，； ：。) 有界；端点性质：k ( ，； ；0 ) = ，( o ) ，k ( ，| ；1 ) = ，( 1 ) ； 单调性：若，扛) 与h ( z ) 在【o ，1 上苹调，则b 。( ，；是；) 也单调。 但是，h ( z ) 表示不同类型的函数时，b 。( ，；托z ) 的导数、凸包性、凸性等性 质需要分别探讨 一h ( x 1 为折线函数 设氕( z ) 为折线函数，不失一般性，定义 c z ，= f ：；：。，z + 。2 。一， 其中t f 0 ，1 1 是参数特别地，t = j 时 对( 3 3 1 ) 式求一阶导数得 姒垆 蓑，一 当z 【0 ， 时 当z 【j ，1 时 可阱看出当t j 时， 鸭。o ) h 也一o ) 即k ( 。) 在x = j 1 处不可导点 ( j ，h t ( ；) ) 成为折线的失点这使得b n ( ，；kz ) 在z = j 点处也不可导 1 司时：曲线b 。( ，；kz ) 不再保有凸包性质( 见f i g u r e1 中第一个图形) 1 0 l33 时时 ，三l j e 旧睦 | ) z z 扛 当当 k 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 f i g u r e1 ：不具有凸包性的b 3 ( ，； ；。)疡( ，：危；z ) 不是凸函数 函数( x ) = 护在【0 ：1 上显然是凸函数但_ b 。( ，； ；z ) 不一定是凸函数例 如t = ：时，f i g u r e1 中第二个图形指明岛( ，；k x ) 不是凸函数所以，f ( x ) 是 凸函数并不能保证b 。( ，； ；z ) 也是凸函数 二h ( x 1 为二次样条函数 样条函数和多项式函数一样，也是极好的曲线曲面设计工具 设h ( x ) 为 0 ，1 上的二次样条函数，样条曲线经过( 0 ，o ) ，( i 1 ，j ) ，( 1 ，1 ) 三点， 且在x = i 1 处光滑由此定义 m ) ：fa x 2 + b x l e x 。十d x + e 其中a ，6 ，c ，d ，e 均为待定的系数 ( 33 2 ) ；三 妻i 整理得 ；三； 主多 1 1 当。叭】时 3 、 当z 睦，1 】时 、 时时 1 o 1 2 z z当当 拍 呱卜 一 卅卅 一 一 时 q p 2 2 一一 ，f， b = 当 0 地 h 别特 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 因( 3 3 3 ) 式定义的二次样条函数在【o ) 01 t 是光滑的，所以h ( z ) 存在一阶导 数 扛，2 ：。( 。1 一- ，b ，) 。x + + b 。, 一。，耋：i ：；筹! 再求二阶导数 = 二瓣髫鬻 可见除去b = 1 的特殊情形，h ( z ) 在。= ；处不存在二阶导数 于是，b 。( ，； ；z ) 在 0 ，1 上存在一阶导数 联( m ；。) = n 蟛) ，h 协) 胪( z ) 【卜忍( z ) r ” ( 3 删 但不是 0 ，1 上的二阶可导函数 此时，玩( ，；h ；z ) 也不一定具有i _ 【i 包性质，例如当b = j 3 ，控制点为( 0 ，1 ) ，( j 1 ，2 ) ，( 1 ，；) 时生成的b 2 ( f ；k 。) ( 见f i g u r e2 第一个图) 弋 1 粤叫迥型：! f i g u r e2 ：不具有凸包性质的b 2 ( ，；h ；x )b a ( f ； ；。) 不是凸函数 b = ；时，同样取f ( x ) = z 2 ，考察b 3 ( ，； ；。) 的图形( 如f i g u r e2 的第二个 图) ，就可知道 ( z ) 是二次样条时，不能从f ( x ) 的凸性推得b 。( ，；h ；x ) 的凸性 三h ( x 1 为三次抛物线 我们所要考虑的第三种情形是h ( x ) 为满足某种条件的三次抛物线 设f o 1 1 上的三次抛物线h ( x ) 满足条件：( 1 ) h ( 0 ) = 0 ，h ( 1 ) = l ；( 2 ) h ( o ) = h 7 ( 1 ) 于是定义 h ( x 1 = a x 3 + b x 2 + c z ， 1 2 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 因此有结论 l i mb n ( ； ；z ) = ) l i m b n ( ； ；z ) = h 2 ( x ) 可见当 扛) z 时，对丁任意的f ( z ) c i o ，坫 f k ( ，；疋z ) ) 不一定收敛 于，( z ) 于是可以得到结论： 命题3 2 1 若，( 。) c 0 ，1 】，k ( ，； ；z ) 定义如( 32 2 ) 式，则b 。( ，； ；z ) = ，扛) 的充要条件是h ( x ) i z 命题3 2 2 若，扛) c o ，1 足以1 ，h ( z ) ，h 2 ( z ) ，为基底的函数则 b 。( ，；h ；z ) = ，( 。) 3 3b e r n s t e i n 多项式玩( ，：h ；z ) 的性质 这种新的b e r n s t e i n 多项式口。( ，；h ；x ) 也保有一些原有的性质，如有界性：若 ，扛) 有界，则f k ( ，； ：。) 有界；端点性质：k ( ，； ；0 ) = ，( o ) ，k ( ，| ；1 ) = ，( 1 ) ； 单调性：若，扛) 与h ( z ) 在【o ，1 上苹调，则b 。( ，；是；) 也单调。 但是，h ( z ) 表示不同类型的函数时，b 。( ，；托z ) 的导数、凸包性、凸性等性 质需要分别探讨 一h ( x 1 为折线函数 设氕( z ) 为折线函数，不失一般性，定义 c z ，= f ：；：。，z + 。2 。一， 其中t f 0 ，1 1 是参数特别地，t = j 时 对( 3 3 1 ) 式求一阶导数得 姒垆 蓑，一 当z 【0 ， 时 当z 【j ，1 时 可阱看出当t j 时， 鸭。o ) h 也一o ) 即k ( 。) 在x = j 1 处不可导点 ( j ，h t ( ；) ) 成为折线的失点这使得b n ( ，；kz ) 在z = j 点处也不可导 1 司时：曲线b 。( ，；kz ) 不再保有凸包性质( 见f i g u r e1 中第一个图形) 1 0 l33 时时 ，三l j e 旧睦 | ) z z 扛 当当 k 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 f i g u r e1 ：不具有凸包性的b 3 ( ，； ；。)疡( ，：危；z ) 不是凸函数 函数( x ) = 护在【0 ：1 上显然是凸函数但_ b 。( ，； ；z ) 不一定是凸函数例 如t = ：时，f i g u r e1 中第二个图形指明岛( ，；k x ) 不是凸函数所以，f ( x ) 是 凸函数并不能保证b 。( ，； ；z ) 也是凸函数 二h ( x 1 为二次样条函数 样条函数和多项式函数一样，也是极好的曲线曲面设计工具 设h ( x ) 为 0 ，1 上的二次样条函数，样条曲线经过( 0 ，o ) ，( i 1 ，j ) ，( 1 ，1 ) 三点， 且在x = i 1 处光滑由此定义 m ) ：fa x 2 + b x l e x 。十d x + e 其中a ，6 ，c ，d ，e 均为待定的系数 ( 33 2 ) ；三 妻i 整理得 ；三； 主多 1 1 当。叭】时 3 、 当z 睦，1 】时 、 时时 1 o 1 2 z z当当 拍 呱卜 一 卅卅 一 一 时 q p 2 2 一一 ，f， b = 当 0 地 h 别特 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 因( 3 3 3 ) 式定义的二次样条函数在【o ) 01 t 是光滑的，所以h ( z ) 存在一阶导 数 扛，2 ：。( 。1 一- ，b ，) 。x + + b 。, 一。，耋：i ：；筹! 再求二阶导数 = 二瓣髫鬻 可见除去b = 1 的特殊情形，h ( z ) 在。= ；处不存在二阶导数 于是，b 。( ，； ；z ) 在 0 ，1 上存在一阶导数 联( m ；。) = n 蟛) ，h 协) 胪( z ) 【卜忍( z ) r ” ( 3 删 但不是 0 ，1 上的二阶可导函数 此时，玩( ，；h ；z ) 也不一定具有i _ 【i 包性质，例如当b = j 3 ，控制点为( 0 ，1 ) ，( j 1 ，2 ) ，( 1 ，；) 时生成的b 2 ( f ；k 。) ( 见f i g u r e2 第一个图) 弋 1 粤叫迥型：! f i g u r e2 ：不具有凸包性质的b 2 ( ，；h ；x )b a ( f ； ；。) 不是凸函数 b = ；时，同样取f ( x ) = z 2 ，考察b 3 ( ，； ；。) 的图形( 如f i g u r e2 的第二个 图) ，就可知道 ( z ) 是二次样条时，不能从f ( x ) 的凸性推得b 。( ，；h ；x ) 的凸性 三h ( x 1 为三次抛物线 我们所要考虑的第三种情形是h ( x ) 为满足某种条件的三次抛物线 设f o 1 1 上的三次抛物线h ( x ) 满足条件：( 1 ) h ( 0 ) = 0 ，h ( 1 ) = l ；( 2 ) h ( o ) = h 7 ( 1 ) 于是定义 h ( x 1 = a x 3 + b x 2 + c z ， 1 2 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 其中系数a ，b ：c 未定根据条件( 1 ) ( 2 ) 解方程纽 i ( 1 ) = n + b 十c = 1i o = 2 c c ic = ，( o ) = 九，( 1 ) = 3 n + 2 b + c 毋 16 = 3 3 c 这里，选取c 为参数，因此h ( x 1 可以转化为 h ( x ) = 2 ( c 一1 ) x 3 + 3 ( 1 一c ) x 2 + c 。( 3 3 5 ) 当c = 1 时、h ( x ) iz 再考虑这样的条件：( 3 ) 满足上述的条件( 1 ) 或条件( 2 ) 的h ( x ) 过点( j ，i ) 那么分别根据条件组( 1 ) 、( 3 ) 和( 2 ) 、( 3 ) 有 和 解这两组方程，都会得到 。a ：= 。2 c 一- 。c 即是说下列条件是等价的： ：器，二一”，鲁 ：；：j 三：甘 ： 茜1 二_ i 1 姐， 也就是由这三组条件中的任意一组均可以得到( 3 3 5 ) 式而且通过解 ”x ) = 1 2 ( c 一1 ) x + 6 ( 1 一c ) = 0 可以求得z = ；是 ( z ) 拐点 显而易见，h ( z ) 是三阶可导的，且h ( 2 ( z ) i0 ，4 因此，k ( ，；h ；z ) 在 f 0 ，1 l 可导，月，它的一阶导数的表达式同( 3 3 4 ) 式对b 。( ，；圮z ) 求导等于是对 复合函数求导，得到的结果十分麻烦，所以下面我们给出2 4 阶的导数 二阶导数： n 一1 b ：( ，； ；z ) = n ，( ；) g 一，h ”( z ) 胪( z ) 1 一h ( z ) r “ u 茸0 n 一2 + n m 一1 ) 2 ，( ；) 四一。z ) 1 2 h 。( z ) 1 一 ( z ) r “ 1 3 c 土2卜 = b；2 + 蚪 6 4 t u + = 1 8 c ，、【 = = 2 c+ + b 一4 b 一 + + 璺8 o ，、l 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 三阶导数： n 一1 b 孙h ；z ) = n 蟛) 晖一，州z ) 酽( z ) 【l 一 ( 圳“。 n 一2 + n ( n 1 ) 2 f ( v ) c ：_ 2 3 舡) 州z ) ( 。) 1 一h ( 。) r 2 n 一3 + n ( n 一1 ) ( n 一2 ) 3 蝶) 一s ) 附( z ) 1 一 ( z ) r 一” 四阶导数： b 警( ，； ；。) = n ( n n 一2 1 ) 2 联) q 一。驯 十( ”) 2 州z ) 1 一h ( 圳一一。 目= 0 n 一3 + n ( n 一1 ) m 一2 ) 3 ，( ；) 晖一。4 ( h ，) 2 h ”h ”( z ) 【1 一h ( z ) n _ 3 “ v = 0 。 n 一4 + n ( n 一1 ) ( ”2 ) ( n 一3 ) 4 ，( 。v ，c ：一a ( w h ”( z ) 1 一九( 圳一4 一” v = 0 。 与前两种情形相同，这时的b t 。( ，； ；x ) 也不一定具有凸包性质，取c = 盘，选 定控制点同二次样条时的控制点曲线f 毛( ，； ；z ) 如f i g u r e3 所示 、 悖也u 殳! ：! f i g u r e3 ：不具有凸包性质的b 2 ( ，；九；。) b 3 ( f ； ；z ) 不是凸函数 c = 2 ，仍取f ( x ) = z 2 ，b 3 ( ，；h ；z ) 也不是凸函数( 见f i g u r e3 中第二个图 形1 ： 从上述的讨论中可以看出，b e r n s t e i n 多项式b 。( ，；啊) 的导数、凸包性 质、函数的凸性受到h ( x 1 的影响发生了变化这使得它虽不能用于构画被逼函数， 但可以作为自由曲线曲面设计工具 1 4 一类推广的b e r n s t e i n 多项式及其应用问题研究 最后要注意的是三次抛物线h ( x ) 在区问端点处的一阶导数c 与控制多边形 的关系： 若函数h ( x ) ec o ，1 ，满足h ( o ) = 0 ，h ( 1 ) = 1 ， 7 ( o ) = ( 1 ) = c ，c 为参数 则多项式 p ( z ) = f m 彤( $ ) 【1 一h ( z 妒一 2 0 必有p ( o ) = p o ，p ( 1 ) = p 。以及p ( o ) = n c ( p 1 一p o ) ，p ( 1 ) = n c ( p 。= 一1 ) 即是说多项式p ( x 1 的端点处切线分别与控制多边形的起始边和终边重合 事实上，n = 1 时，p ( z ) = p o 【1 一h ( 。) 】+ p l h ( ) ， p 7 扛) = 一p o t , 7 ( z ) + p l h 7 ) 则有p 7 ( o ) = 一- p o c + p 】c = c ( p 1 一p o ) = p ”) n = 2 时，p ( z ) = p o l l 一 ( 。) 2 + 2 p ，h ( z ) 1 一h ( z ) + p 2 h 2 ( ? ) p 7 ( 。) = 一2 p o l l 一 ( z ) h 7 ( z ) + 2 p ( z ) 1 一 ( z ) 】一h ( x ) h7 ( z ) ) + 2 p 2 h ( x ) h ( z ) ， 因此p 7 ( o ) = 一2 p o c + 2 p l c = 2 c ( p l p o ) ，p ( 1 ) = 一2 p l c + 2 p 2 c = 2 c ( p 2 一p i ) n 次时 p ( z ) = p o l l h ( z ) “+ n p l h ( x ) 1 c ：p k h ( z ) 1 一 ( z ) “一+ 凡( 。) 一1 + + + n p n 一1 h “一1 ( z ) 1 一九( z ) 】+ p ，。h ” p ( z ) = 一r 印o 1 一h ( z ) 】”一1 ( z ) 4 - n p l h 7 ( 。) 1 1 一h ( z ) 一1 一( n 一1 ) h ( z ) 【1 一h ( z ) ”一2 h ( z ) ) + + c ：p k k h 一1 ( x ) h ( z ) 1 一 ( z ) “一。 一( r k ) h 2 ( z ) 【1 一危( z ) 】女“一。一1 h 7 ( z ) ) 十- + n p 。一， ( n 一1 ) ，一2 ( z ) h ( z ) 1 一 ( z j 】一h ”一1 ( 。) h 7 ( 。) ) + n p h n - i h ( z ) ， 因此f ( o ) = n c ( p 1 一p o ) ，p ( 1 ) = n c ( p n 一一1 ) 】5 一类推广的b e r n s t c i n 多项式及其应用问题研究 4 b 。( ，；凡；z ) 的应用 在这一部分中，针对h w ) 的不同情形，我们主要关注一下b 。( ，； ；z ) 的应用 4lh ( x ) 为折线函数的情形 在本节中，选定f ( x ) = z 2 + z + 1 ，z 【0 ，1 ( 见f i g u r e4 中第一个图形) 这时 1 2 1 1 1 1 1 0 f i g u r e4 ：f w ) = 一z 2 + z + 1 h i ( x ) b 3 ( 加) = ( 1 - x ) 3 + 芸m 叫2 + 萼z 2 ( h ) 村， b 3 ( m ；。) = 1 - h ( z ) 】3 + 等 ( 。) 1 一h ( z ) 2 + 竽九2 ( 。) 卜 ( 圳+ 胪( 。) 比较这两条曲线和曲线生成的曲面分0 t j 1 和 f 1 两种情况考虑 当0 t i 时，令1 = i 1 ( 图见f i g u r e4 ) ， 州。卜n z ， 4 【i z 一 当z 0 ，；】时 i 1 ，当z j 1 ，1 时 f i g u r e5 中给出曲线b 3 ( ，；。) 和b 3 ( ，；k z ) ， 在下面的图f i g u r e6 中，作出曲面= b 3 ( ，；h ；z ) b s ( f ；k y ) 和曲面= b 3 ( ，；z ) b 3 ( ，；y ) ，可见二者存在极大的差别 再令t 2 = j ，这时比较t 1 时的b s ( f ； ；z ) 与t 2 时的b a