（计算数学专业论文）holder连续条件以及不可导情形非线性算子的迭代法分析.pdf

摘要 缡要 本文研究了h 6 1 d e r 连续条件以及不可导情形下的n e w t o n 型遮代的收敛性， 改进了h e m n d e z 豹结果，使褥限制祭件减弱，全文共分三誊 第一章是综述部分，主要介绍n e w t o n 型遮代的研究鬻豢以及常用收敛条伟， 并给出本文的主要结果 焦二章主簧磋宠了h 6 1 d e r 连续祭咎下n e w t o n 迭代豹彀敛犍，凌h e r n n d e z 结论的基础上，充分利用中心h 6 1 d e r 连续信息，使得限制条件减弱，唯一性区域放 宽，且保持1 + a 阶的收敛速度最后以例子同h e m a n d e z 的结果作了比较 第三章主要辑究了 线性算子不霹导债形tn e w t o n 墅迭我静收敛佳。通避 将不可导算予f 分为可导部分日和不可导部分g ，借助h e m ：i n d e z 采用的修正 迭代公式，分析了n e w t o n 型迭代的收敛性相比h e r n a n d e z 的结果，我们的定遐 所鬻条件较弱，并且其有较好的误差估计公式 关键词：h 6 1 d e r 连续，n e w t o n 迭代，b a n a c h 空阅，不可导辣子 焱b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d yt h ec o n v e r g e n c ea n de r r o re s t i m a t ef o rt h en o n l i n e a ro p e r - a t o r s ，u n d e rt h eh o l d e rc o n t i n u o u so rn o n d i f f e r e n t i a lc o n d i t i o n w ei m p r o v et h er e s u l t o fh e m f i n d e za n dd e r i v em i l d e rc o n d i t i o n t h ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rg i v e ss o m ei n t r o d u c t i o n so l lt h eb a c k g r o u n do ft h er e s e a r c hf o r n e w t o n l i k ei t e r a t i o na n dt h ec o n v e r g e n c ec o n d i t i o n si nc o m m o nu s e 。t h em a i nr e s u l t s o ft h i sp a p e ra r el i s t e da tt h el a s t t h es e c o n dc h a p t e ri n v e s t i g a t e st h ec o n v e r g e n c eo fn e w t o n si t e r a t i o nu n d e rt h e c o n d i t i o n o f h o l d e r c o n t i n u o u s 。b a s e o u r s e l v e s o n t h er e s u l t o f h e r n n d e z 。t a k e f u l la d v a n t a g eo ft h ei n f o r m a t i o no ft h ec e n t e rh s l d e rc o n t i n u o u sc o n d i t i o n ，t h e nw ea c h i e v e m i l d e rc o n d i t i o n ，w i d e rr e g i o nf o rt h eu n i q u e n e s s ，a n dk e e pt h ec o n v e r g e n c eo r d e rw i t h 1 + a a tt h el a s t ，w ep r o p o s ea ne x a m p l ef o rt h ec o m p a r eb e t w e e no u rr e s u l t sa n d h e m f i n d e z s ， t h et h i r dc h a p t e rc o n s i d e r sc o n v e r g e n c eo fn e w t o n - l i k ei t e r a t i o nf o rt h en o n d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r d e v i d et h en o n d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri n t ot w o p a r t s ：d i f f e r e n t i a lp a r t ha n dt h en o n d i f f e r e n t i a lp a r tg ，m a k eu s eo ft h em o d i f i e di t e r a t i o nf o r m u l au s e db y h e r m i n d e z ，w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i o n 。c o m p a r e dw i t ht h er e s u l to f h e r n d n d e z ，o u rt h e o r e m sn e e dm i l d e rc o n d i t i o na n dd e r i v eb e t t e rf o r m u l af o re r r o re s t i m a t e k e yw o r d s ：h 6 1 d e rc o n t i n u o u s ，n e w t o ni t e r a t i o n ，b a n a c hs p a c e ，n o n d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r t 1 致谢 本文是在导师王兴华教授的悉心指导下完成的，在此谨向王兴华 教授致以衷心的感谢! 导师的博学、严谨和敬业令我敬佩和难忘，也 搜我爱益莲浅。 在这两年半的求学过程中，也得到了李冲老师、杨士俊老师、韩 丹夫老师、灵庆标老师、程晓救老师等的关心芹口指导，谨向各位致以 诚挚的谢意! 同时也借此机会感谢徐爱民、武敏、崔峰、谢聪聪、王承竞、摩 培培、兰莉葡、鸯洪欢、黄振坤等在霹论爨土鼹有益讨论默及乎蠢生 活上的关心。 还有贾云涛硕士那一丝不苟的治学态度、富有启发性的言语对于 我鹳学拳论文以及毕业论文的摸篱零有藩莫走镌帮动。而且在论文的 排版过程中也得到过他的不少帮助，在此一并谢过。 最后，也尤其感激家人以及我的女朋友施钱燕在背后默默的关心 和支持，是他们的付出才使得我能顺别完成学业! 一- - 2 0 0 6 年3 胃手求是飘 第一章综述 1 1 引言 第一章综述 人类为了认识自然、改造自然、利用自然，从未知领域到已知领域架起了无 数座金桥，方程的求解就是其中璀璨的一座它的发展经历了相当漫长的岁月从 我国大约公元5 0 年到1 0 0 年编写的九章算术具体给出一次方程、二次方程 和正系数三次方程根的求解方法，到公元1 8 2 4 年挪威数学家a b e l 证明五次以上 般方程没有根式解，人们一直在探索和研究方程的求解问题随着微积分学的 发展，有些需要求解的方程越来越复杂，使得通过代数运算求解变得不可能 但是计算机的飞速发展使得我们可以通过数值方法求得近似解，对于形如 f ( x 、= 0 的非线性方程，迭代法在数值计算算法中居于核心地位 以下我们约定x ，y 为b a n a c h 空间，f ：d c x y 为非线性算子，d 为开凸 集 在迭代法中，n e w t o n 法的应用最为广泛， z 。+ 1 = x 。f ( z 。) 一1 r ( x 。) ，扎= 0 ，1 ，( 1 2 ) 这里f ( z ) 表示f 在x 点的f r 6 c h e t 导数经( 1 2 ) 式得到的迭代序列 z 。) 通常能 很快收敛到方程( 1 1 ) 的解矿，达到二阶收敛速度 为了追求更高的收敛速度，不少学者对n e w t o n 法进行了高阶推广的研究，其 中最重要的是e u l e r 族迭代和h a l l e y 族迭代e u l e r 族迭代 删) ， ( 1 _ 3 ) 其实就是基于e u l e r 级数的k 阶部分和导出的，这里巧1 为f 在z 某个领域内的 。 旷吁 土一 。倒 z r e 蹄 | _ = “ 坼 啦 第一章综述 逆，当k = 1 时就得到n e w t o n 迭代( 1 2 ) 而h a l l e y 族迭代 z 。+ 1 = h f , k ( x 。) ， h f , e ( x 1 = z + 5 k ( x ) ， 5 1 ( x ) = 一f ) 。f ( z ) ， 如( 。) = q j ( z ) 一1 6 ，( z ) ， 奶( z ) = ，+ ；f 忙) j = 2 ，一，k ， f ( 。1 ( z ) 如一。+ l ( t ) 毛一t + 2 ( 。) - - 砖一1x ) ( l 4 ) 则是基于f 在2 7 的一个p a d e 逼近的零点导出，= 1 时同样得到n e w t o n 迭代( 1 2 ) 这两族迭代的表达式中都出现f 直至阶的导数值信息 f ( z 。) ，f ( z 。) ，f ( ) ( z 。) ) ，而基于此信息集，它们都达到了最大收敛阶七+ i ，故除了n e w t o n 法之外这两族迭代是非常具有代表性的 迭代法的收敛速度，其实指的就是数值解误差的下降速度，一般情况下取决 于我们采用的方法和所需求解方程的性态单纯的追求迭代法的收敛速度是片面 的，我们需要的是以同样的计算代价获得尽量高的收敛速度，也就是计算效率的 问题为了评价迭代法的计算效率，j ft r a u b ( 1 ) 在1 9 6 4 年提出了效率指标的概 念在t r a u b 的效率指标定义f ，只要知道求解具体方程f 的函数值及其各阶导 数所需的相对代价，就可以对各种不同迭代法的计算效率进行量化比较 对n e w t o n 迭代收敛性的研究也非常多，其中最著名的当属k a n t o r o v i c h 定理 ( 【2 ) ，相应条件称为k a n t o r o v i c h 条件 定理11 ：d c x 且f ：d y ，d 为开凸集，若有z o d 使得 i ) 存在点x o d 使得f o = f ，( z o ) 。存在，且j i v o f ( x o ) l i 珥 i i ) i i f o f 7 ( z ) f 7 ( ) 】| | k i i x g | ，z ，y d ， i i i ) h = z t ks1 2 ， i v ) 可j 丽d ，其中t * 一b 避k 那么从z o 点出发，经( i2 ) 产生的序列 z 。) 收敛到f 在b ( x o ，t + ) 的唯一解z + 并且有误差估计式 z + 茎一1 x t , l t 壶( 2 t 0 廿；，= 0 ，1 ，2 z 。 茎 ”芸，= ， 这里b ( x ) = z x l l l x z o | i r ) ，取；习 一2 一 z x | | i s z o | | 茎， ( 1 5 ) 第一章综述 合理的假设和明确的结论使得k a n t o r o c i c h 定理得到广泛应用，并且促进了人们 对n e w t o n 迭代收敛性的研究 k a n t o r o v i c h 条件自从提出就一直引领着n e w t o n 迭代收敛性的研究方向在 之后的收敛性研究过程中，出现了诸多成果，但是其中虽为典型的是s m a l e 在 1 9 8 6 年国际数学家大会上提出的点估计思想( 3 】) s m a l e 从解方程算法的计算 复杂性角度出发，突破k a n t o r o v i c h 框架的束缚，建立仅依赖于f 在一点z 的信 息的判据和用以判断是否为逼近零点的准则这里的逼近零点是指这样的初值 2 3 0 ，从它出发的n e w t o n 序列 z 。 使得不等式 l | z 。一z + i i 曼( ；) 2 “一1 i i z o z + | | ，n = 0 ，1 ，- ( 1 6 ) 成立，这样f 的零点就算被有效地确定，称这样的初值o 为伴随矿的逼近零 点为此，s m a l e 大胆假设f 在z 解析并且在z 的t a y l o r 级数收敛球内这种解析 性不被破坏，并令 7 ( f 1 。) 一p i 堕掣一 1 2 如果f 解析并且f 7 ( z ) _ 1 存在，那么7 ( f ，z ) 就存在在此基础上引入判据 。( f 1 z ) = 7 ( f ，x ) l l f ( z ) _ 1 f ( 2 3 ) 1 i 或6 ( 只z ) = ，y ( 只2 y * ) l l x z + | | ，并得到 定理l ，2 ：假如f ( 矿) = 0 且f ( 矿) _ 1 存在且忪一3 7 * | | 茎丽3 - 丽, ? ，那么z 就是与 2 3 + 相伴的逼近零点 这个定理说明从6 ( f z ) ( 3 一v 亍) 2 可以得出。为伴随矿的逼近零点，同时他 也指出当6 ( ez ) ( 5 一，而) 4 时，牛顿迭代收敛这个结果在我们已经知道一 个或者多个零点的时候非常有用，但是我们更希望通过点本身的信息来判断它 是否为逼近零点为此，借助“( fz ) 的定义，s m a l e 又给出了。鲁棒定理 定理1 - 3 ：存在正实数o o 和u o 使得：如果o ( 只z ) 1 为正整数时，我们说f 在z o 点满足关于百丽的k 阶1 一 条件，假如f 7 ( z o ) 可逆并存在满足 的k + 1 阶连续导数 定义1 6 ：我们说f 在z o 点满足关于百丽的。阶7 一条件，假如f 在百丽 解析，f 7 ( z o ) 可逆并满足 一( t o ) 。1 f “( x o ) l i 墨i 吖，i = 2 ，3 对于女 j l ，若f 在z o 满足关于百丽的k 阶- 7 一条件，则f 在z o 必满足 关于百丽的j 阶7 一条件 4 藩 f f 第一章综述 取初值z o d ，假设百丽d 并_ 日f 满足关于百丽的1 一条件，令 卢= 卢( f 1z o ) = l i r ( x o ) _ 1 f ( x o ) q = o ( 只x o ) = 卢- 7 王兴华( 【8 】) 在弱条件上关于n e w t o n 迭代得到 定理：当。 3 2 互时，由 坤) = p t + 篙 定义的算子h ： 0 ，l r ) 一r 有两个相异零点0 r l r 2 ，当r 1srsr 2 时，f 在百丽上有唯一零点。+ 百丽或者。= 3 2 压，r = r l 时亦成立 1 2 收敛条件的更改以及变形n e w t o n 迭代 对于迭代法的收敛性的分析，是迭代公式得以应用的前提和条件随着数值 计算应用范围的日益广泛，迭代法所面临的条件也干变万化，经典k a n t o r o v i c h 条件有时并不满足，就算k a n t o r o v i c h 条件得到满足，有时也会让经典n e w t o n 迭 代过程付出可观的代价出于各自利益的考虑，修改k a n t o r o v i c h 条件，重新构建 n e w t o n 迭代收敛定理，或者同时将n e w t o n 选代公式变形，以取得更广泛的应用， 就成为迭代法研究领域的一个新课题 1 2 1 l i p s c h i t z 型条件 在k a n t o r o v i c h 定理中，我们了解到在b ( x o ，r ) 上满足常数l 的l i p s c h i t z 条 件 i i f ( z ) 一f 7 ( ) isl i l z g m z ，y b ( x o ，r ) ( 1 7 ) 在n e w t o n 型迭代法研究过程中，考虑比较多的还有以下几种较弱的l i p s c h i t z 条 件( 【1 2 】) ： ( 1 ) 内切球上的巾心l i p s c h i t z 条件 一( z ) f 7 ( f ) | | l i i x y l l ：z b ( x o ，) ，v b ( x ，r l i x 一* 0 1 1 ) ， ( 1 8 ) 第一章综述 ( 2 ) 半径上的中心l i p s c h i t z 条件 f 7 ( 。) 一f ( g ) i isl i i x 一m z b ( x o ，r ) ，y = x 0 + t ( z x o ) ，( 1 9 ) ( 3 ) 中心l i p s c h i t z 条件 f 7 ( 。) 一f ( x o ) l i 冬l i i x z o | i ，z b ( x o ，r ) ( 1 1 0 ) g u t i 6 r r e z 和h e m f i n d e z ( 1 3 ) 将k a n t o r o v i c h 条件中的l i p s c h i t z 条件弱化为中 心l i p s c h i t z 条件得出n e w t o n 迭代的收敛定理而王兴华( b 2 ) 则在f 7 ( 跏) _ 1 f 7 满足内切球上的正可积函数l ( u ) 平均的巾心l i p s c h i t z 条件下给出了n e w t o n 迭 代的收敛性定理 定理1 8 ：设f 在闭球s ( x o ，r ) 上有连续导数，f 7 ( z 。) _ 1 存在， f l l x x 0 i i + l l u 一2 1 1 i i f ( z o ) 一1 f ( z ) 一f b ) 川茎l ( u ) d u ， v x b ( z o ，r ) ，甄瓦可 r 。满足z “l ( “) 也= 1 ，丁满足z 7 三( “) ( r 一“) 扎= t 扣 ( t ) = 卢一t + z 工( u ) ( 一“) d u , o t t 的较小零点 - n 三( “) “d u ， j o 如果卢= l i f ( z o ) - 1 f ( z o ) l i b ，r r 1 ，则n e w t o n 迭代( 1 2 ) 对所有礼有正 确定义，且收敛到( 1 1 ) 的一个解矿 z 8 b ( x l ，t 1 一p ) b ( x o ，r ) 并对所有n ”o 芝0 ，成立最优误差界 i i x * - x 。l l ( r ，一k ) ( 訾掣) 2 。， i i 厍覃2 鼋p l i “善+ i , - 豆x 萧q l 曼l l 茁+ 一z n | | r l t n ) ( 专制) 2 。 t n + 1 = t 。一h ( t 。) h 似。) ，t o = 0 n = 0 ，l ，一 郭学萍( 1 4 】) 再进一步弱化卜述定理，将条件改为正可积函数三( “) 平均的中心 6 第章综述 l i p s c h i t z 条件，并证明了n e w t o n 迭代的收敛性，然而却牺麟了n e w t o n 法的二阶 抉逮毂敛匏特点，只褥到一玲收敛速疫 箍于n e w t o n 迭代本国只用到阶导数信息，一般的文献都仅考虑p 的 l i p s c h i t z 条件h u a n g ( 1 5 】) 证明了当= 阶导数满足l i p s c h i t z 条件时n e w t o n 迭代 的牧敛往，两gu t i 6 r r e z ( 【1 6 ) 荽f l 将其络栗推广戮二酚导数满足中心l i p s c h i t z 条 件的情形 ，2 。2 h 6 1 d e r 连续条转 所谓的f 7 在b ( x o ，r ) 上满足( 1 ， ) 一h 6 1 d e r 连续条件是指 f 7 ( z ) 一p ( 们f l 茎- r 1 ) x r i p , z ，y b ( z o ，r ) ，a 0 ，1 】( 1 1 1 ) l i p s c h i t z 袈傅楚当a = 1 孵瓣一个楚剿 舆体关于h 6 1 d e r 连续条件的分丰斤我们放在第二章进行+ h 6 1 d e r 连续条件比 l i p s c h i t z 条件瑟弱，在分析的时候也比l i p s c h i t z 条件要复杂的多，主要原因在于 燕函数豹建立魄较嚣难，矮饶痃弼器定往茬这不秘l i p s c h i t z 条件下瓣鄂耱效果 但是，如果将条件弱化为中心h 6 1 d e r 连续条件那么就可以借鉴l i p s c h i t z 条 件下的方法，研究n e w t o n 迭代的收敛性 | | f ( z ) 一f 7 ( z o ) | | 曼1 日i l 茁一蛳| f , x z b ( x o ，r ) ，a o ，l 】 ( 1 1 2 ) 定理l 。9 ：设f 程百丽内有连续导数f 7 ，p ( o ) 一1 存在，且f + ( ) 一，在 虿丽上满足o - 1 2 ) 式，魏象记壤一焉粤器擎，当r 满怒 ( 1 1 3 ) ( 】( 1 一筹川h 刊( 1 1 4 ) 贝q n e w t o n 序列( 12 ) 收敛到f 在百丽的解+ 先建立几个弓l 瑕： 7 一 第一幸综述 引理11 0 ：设f 在b ( x o ，r ) 内有连续导数f ，f 7 ( z o ) - 1 存在，且f ( z o ) 。f 在 b ( x o ，r ) 上满足( 1 1 2 ) 式，那么对满足 一墨1 的r ，f 在b ( z 。，r ) 中可逆，并且 i i f ( 矿1 州z 。) l l f 南 引理1 , 1 1 ：在引理( 1 1 0 ) 的条件下，记k ，= 鼍坚景妒，当r 满足 则 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 怕( 1 一等驯f x l - x o l is r j ( 】t 1 7 ) z 。+ ，一z 。i i 丁；j ；：；x 1 1 z 。一z 。一，凡= 1 ，2 ，- ， ( 1 1 8 ) h x n + 1 - - x 0 忙( 1 + 州等) 1 ) l l x l - - x 0 m n _ 1 ，2 ，( 1 1 9 ) 证明：由( 11 6 ) 1 1 7 ) 知 ( 1 ) 7 0 r 1 1 ，( 2 ) l i x l x o l l r ， z 2 一z 1 | | = 愀z ，) 一1 f ( 圳剑f 协，) 一1 f 扑| | f ，( ) - 1 f ( z - ) l l ( 1 2 0 ) sf 而1 ，m 旷i f 协o ) f ( x ) 1 1 。即川i 茎臼州_ 1 f ( x o + r ( x l - x o ) ) - f ( 酬x 1 - - x o i l 茎j ( 1 旷圳“ = 型等产慨z 。i i ， 第一章综述 故 由( 1 1 6 ) 知i z ，i i f 剁篙慨一z 。i i s 毋黼慨一z 。i i ( 】2 2 ) k g l l i x l 一茁。忆 旧x o l i ，而 茎i i x 2 一z 1 | i + l i x l 一x o | | ( 1 + a 1 ) i x l z o | | ( 1 + k 1 ( 1 一i 翌箐每) ) 1 i 。1 一x o l l r ， = i i f ( z 2 ) 一1 f ( z 。) | | si i f ( 。z ) 一1 f 7 ( x o ) l l | i f 7 ( z o ) 一1 f ( z 2 ) 兰仁而1 7 l i f t r 、蛳) 。，( x 2 ) i | 茎雨1 f l i i f ( x o ) 一1i f 7 扛1 + r ( z 2 一z ，) ) 一 f 7 ( 。o ) + f ( z o ) 一f 7 ( 1 ) 川d r | | z 2 一x l | | 茎f 而1 f2 7 0 r l d r n x 2 一x , i i 甓斋一9 2 1 i i ， l i x 3 一z 2 | | + ix 2 一x l l l4 - i i x l 一x o l l s ( 1 + k ，+ 蜘等嘉) l i z ，一x o l l ( 1 + 9 1 1 ( 1 一r 2 i 7 0 i r 万1 ) ) l l z l 一x o l l r 假设当n = k l ( 22 ) 时( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 成立，那么当n = 时同上类推可得亦成 立证毕 在两引理下，定理很容易证明，此略这里条件虽弱，但是却得不到1 + p 阶的 收敛速度 第二章我们就利用递推关系法分析n e w t o n 迭代法的收敛性以及误差估计 1 - 2 3 不可导情形 对于上面两种情形，我们都要求f 在d 上连续可导那么当f 不可导时又 是什么样的一种情形呢? 这时经典n e w t o n 迭代( 1 2 ) 显然是行不通的，n e w t o n 迭 代就必然需要变形，以避免求导这类变形n e w t o n 迭代可以写成 z 。+ 1 = z 。一b ( z 。) 一1 f ( x 。) ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 1 2 3 ) 9 第一蠢综述 一般的分辑方法是稳尹分藏霹导帮分释不可警部分 f ( z ) = 日( 嚣) + a ( z )( 1 2 4 ) 然矮对b ( z ) ，日( z ) ，a ( x ) 分别作类似l i p s c h i t z 或h 6 1 d e r 连续蜉或者更弱一些的 祭馋限铡麴a r g y r o s ( 1 7 ) 令t 0 d 饺褥b ( x 。) 可逆，基满足 ) | | 雪( 。) 一2 f 口 o _ h j 露( 善 ) l | a l ( r o + | | 矗蟊秘j 良 ( 2 ) j | j 日( 勋) 一1 ( 曰( 茹十t ) 一b 白) ) ls a 2 ( r o 十埔矗，r o ) + c ，t f 氓】j ， ( 3 ) 1 i b ( z o ) 一1 ( g ( z 十 ) 一g ( z ) ) i i a 3 ( r o + l l h t o ) = a ( r o 十l l 托l i ) a ( r o ) ， v 茹b ( x o ，r o ) b ( x o ，r ) d ，l i h l l r 一a 1 ，如，a 3 ： 0 ，r f 0 ，r 一r 为双 参数非负连续函数髓满足a 1 o ，0 ) = a 2 ( o ，0 ) = a 3 ( o ，0 ) = 0 ，a 为 0 ，蛔上的非 嶷递增连续函数，a ( o ) 一0 ，e 巍菲受鬻数。 r i i * - v l i ，| z 一暂” 如果令口0 ) = 群7 ( ) ，a l ( x ，p ) = f似+ g ) 如，a 3 ( x ，y ) 一f 沁+ y ) d u ，f o = 忙一x o mb 一0 则所用变形n e w t o n 迭代即为h a n ( 1 8 ) 所考虑的问题， 嚣。+ l = 轧一h 7 ( 茹。) 一1 f ( x 。) ，扎= 0 ，l ，2 ，- ( 1 2 5 ) 瓣耩嚣条锌为 ( 1 ) i h ( z o ) 一1 ( h 。十h ) 一嚣7 ( z ) ) l l 茎f 五( 珏十l z 一* 0 1 1 ) d “， ，0 巾 ( 2 ) i i h 7 ( z o ) 一1 ( g ( z + h ) g ( z ) ) i | 曼f ( u + l i x x o i i ) d u 这里工，z 为 o ，r 】上正的递增函数 对于1 2 3 ) ，如巢令嚣z 。) 一( f ( ) 一f ( 一，) ) ( 如一z 。一1 ) ，剩为熟知的弦 雾法遣可班看成是转变形n e w t o n 透代 第三章我们考虑的问题就是当弦割法与h a n 等所采用的方法合在一起时的 收敛性分析和误差估计 1 3 主要结果 对予l i p s c h i t z 型条徉+ fn e w t o n 鍪i 逮 游牧簸性，己羟毒大蘧文章谤述这里 主要分析h 6 l d e r 连续条件下的n e w t o n 送代以及不可导情形下的变形n e w t o n 迭 代的收敛性以及误藏估计 一l o 第一章综述 。3 1h s i d e r 连续祭佟下 记f 。= f ( z 。) “工( x ) ，n = 0 ，l ，h d ( x o ，7 0 ，7 ，a ) ( a ( 0 ，1 1 ) 为满足如 下条件f 的集合 ( c 1 ) f 为d 上的一阶f r & h e t 可微算子， ( c 2 ) 茗。d 显f ( x o ) 程岛点可遂，鄂r o 移在， ( c 3 ) l t o ( f 7 f 。) 一f ( 秽) ) | 曼7 | $ 一挈| | 1 ， ( c 4 ) f t o ( f ( ) 一( o ) ) i s1 b f f z x o lj 3 ， x ，y d ，7 0 ，吖0 定义 a o = 7 矿 1 ，缱一蚀加茎l ，( 1 ，2 5 ) p ( x ) = i ( i z ) ，q ( x ) = ( 1 + a ) 为方程 ( 茁) = ( 1 + ) 1 ( 1 一z ) 1 + 1 。1 ，a ( 0 ，1 在0 ，l 遂土貔零患 f 1 2 7 ) f l ，2 8 ) 定理1 1 2 ：令d x 且f ：d y ，假设对于 ( 0 ，1 】，f 蜘( z o ，7 0 ，7 ， ) i r o f ( = o ) l i r a o ，a ，p ，q 如上定义，假设满足 p ( a o ) m q ( n o ) 1 n 。f o = 1 ，取i 页丽jcd 砌，= 等等等焉岩叩， 那么由( 1 2 ) 产生的序列在s ( x o ，r ( a ) ) 内有正确定义，并_ 月，收敛到( 1 1 ) 的个 解矿方程的解在嚣( 蜘，l 磊”) nd 内啦当p ( n o ) ”1 q ( a o ) 1 n o f 时，至 少有1 狳魏收敛蘧蔗，恧当p ( a o ) 1 + 嵌“# ) 1 8 0 一，时电至少有一玲收敛速 菠，显 f l z + z n i i ! ij ：j i j 。；：；i i 。二i 7 硒d 1 + 1 “一1 1 7 3 2 ”一1 i i z 2 z l f i 遮熙5 一p ( n 1 ) 1 + 1 q ( n 1 ) 1 ，= ( 1 一0 1 ) 1 肚，a 1 一a o p ( a o ) g ( n o ) 矿 第一章综述 1 3 2 不可导情形下的收敛性定理 令 对于变形n e w t o n 迭代公式 z1 ，x 0 d y n = a x 。+ ( 1 一a ) z 。一1 ，ac 0 ，1 ) ， ( 1 2 9 ) z 。+ 1 = z 。一( h 7 ( z 。) 十 s h ，x n ；g 】) 一1 f ( z 。) ，n 0 ， 建立条件 ( 1 ) 忙一1 一z o | | = o z ， ( 2 ) 坛1 存在，并且有l i 坛1 f ( x o ) l i q ， ( 3 a ) i i l 0 1 ( 月( z ) 一h ( ”) ) i i 茎u l ( 1 l x y 1 1 ) ；z ，y d ， ( 3 b ) i i l 0 1 ( 。，u ；g 】一f y ，u ；c 1 ) l | u 2 ( i i z 一| | ，| i uv i i ) ；z ，y ，“， d ， ( 4 ) 存