（计算数学专业论文）外部问题的混合谱和拟谱方法.pdf

s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 摘要 科学和工程中的许多问题可归结为外部问题，例如：流体力学中大量存在的障碍问题 等。求解此类问题的最简单的方法是设定一个人工边界，加上人工边界条件，然后在有 限子区域中用通常的数值方法求解，例如，有限差分方法、有限元方法或者有界区域上 的谱方法等。然而，这种区域截断的办法必然会带来相应的误差。因此，需要研究直接 计算外部问题的高精度算法。 本文研究t - - 维外部问题的f o u r i e r - 广义l a g u e r r e i 垂i 数的混合谱和拟谱方法以及三维外 部问题的球面调和广s o _ , a g u e r r e i 蚕l 数的混合拟谱方法。 论文由以下四个部分组成。在第一章中，我们简单地回顾了外部问题数值方法的研究 进展情况，同时概述了本文研究工作的动机、困难和所得到的主要结果等。 在第二章中，我们介绍了广x l a g u e r r e i 函数的一些基本性质，同时建立了f o u r i e r - 广 义l a g u e r r e 函数的混合正交逼近理论，并针对二维线性和非线性外部问题构造了相应的混 合谱格式，证明了格式的收敛性，数值结果表明了该算法的有效性和高精度。 第三章中，我们建- o r _ t f o u r i e r - 广s o _ , a g u e r r e i 函数的混合插值逼近理论，并针对二维线 性和非线性外部问题构造了相应的混合拟谱格式，证明了格式的收敛性，数值结果同样 表明了该算法的有效性和高精度。与相应的谱方法相比较，拟谱方法在实际计算中更简 单、更省时。 第四章中，我们建立了球面调和广s ( l a g u e r r e i g i 数的混合插值逼近理论，并由此构建 了三维外部问题的混合拟谱方法，证明了该方法的收敛性，数值结果显示了该算法的有 效性并与理论分析相一致。 关键词：f o u r i e r - 广x l a g u e r r e 昆合交逼近，f o u r i e r - 广义l a g u e r r e 混插值逼近，球面调 和- 广义l a g u e r r e 混合插值逼近，谱方法，外部问题。 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n a b s t r a c t m a n yp r a c t i c a lp r o b l e m sa r i s i n gi ns c i e n c ea n de n g i n e e r i n g a r es e to ne x t e r i o rd o m a i n s ，s u c h a ss o m ep r o b l e m sw i t ho b s t a c l e si nf l u i dd y n a m i c sa n ds oo n t h es i m p l e s tm e t h o dt od e a lw i t h t h e mi st os e ts o m ea r t i f i c i a lb o u n d a r i e s ，i m p o s ec e r t a i na r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h e n r e s o l v et h e mn u m e r i c a l l y , w h e r e a st h e s et r e a t m e n t sm a yc a u s ea d d i t i o n a le r r o r s t h u si ts e e m s r e a s o n a b l et os o l v es u c hp r o b l e m sd i r e c t l y t h em a i np u r p o s eo ft h i sw o r ki st od e v e l o pt h em i x e ds p e c t r a lm e t h o d sf o re x t e r i o rp r o b - l e m s w ef i r s ts t u d yt h em i x e ds p e c t r a la n d p s e u d o s p e c t r a lm e t h o d sf o rt w o d i m e n s i o n a le x t e r i o r p r o b l e m s ，u s i n gf o u r i e ra n dg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s t h e n ，w ep r o p o s et h em i x e dp s e u - d o s p e c t r a lm e t h o df o rt h r e e d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m s ，u s i n gs p h e r i c a lh a r m o n i ca n dg e n e r - a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s t h i sw o r kc o n s i s t so f f o u rp a r t s i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h e h i s t o r yo fn u m e r i c a lm e t h o d sf o r e x t e r i o rp r o b l e m s w ed e s c r i b et h em o t i v a t i o n ，t h ed i f f i c u l t i e sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sw o r k i nc h a p t e r2 ，w er e c a l ls o m eb a s i c p r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s w ee s t a b l i s h s o m eb a s i cr e s u l t so nt h em i x e df o u r i e r - l a g u e r r eo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n a se x a m p l e s ，w e p r o p o s et h em i x e ds p e c t r a ls c h e m e sf o rt w o d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m s t h ec o n v e r g e n c e so f p r o p o s e ds c h e m e sa r ep r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h i sa p p r o a c h i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nt h em i x e df o u r i e r - l a g u e r r ei n t e r p o l a t i o n a s e x a m p l e s ，w ep r o p o s et h em i x e dp s e u d o s p e c t r a ls c h e m e sf o rt w o - d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m s t h ec o n v e r g e n c e so fp r o p o s e ds c h e m e sa r e p r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h i s a p p r o a c h i np a r t i c u l a r , i ts i m p l i f i e sa c t u a lc o m p u t a t i o na n ds a v e sal o to fc o m p u t a t i o n a lt i m e i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nt h em i x e ds p h e r i c a lh a r m o n i c g e n e r a l i z e d l a g u e r r ei n t e r p o l a t i o n ，w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h er e l a t e dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d s a sa n e x a m p l e ，w ep r o v i d et h em i x e dp s e u d o s p e c t r a ls c h e m ef o ram o d e lp r o b l e mo u t s i d eab a l l t h e c o n v e r g e n c eo fp r o p o s e ds c h e m ei sp r o v e d n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h es p e c t r a la c c u r a c y o ft h i sa p p r o a c h k e yw o r d s ： m i x e df o u r i e r - g e n e r a l i z e dl a g u e r r eo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n ，m i x e df o u r i e r - g e n e r a l i z e dl a g u e r r ei n t e r p o l a t i o n ，m i x e ds p h e r i c a lh a r m o n i c g e n e r a l i z e dl a g u e r r ei n t e r p o l a t i o n ， s p e c t r a lm e t h o d , e x t e r i o rp r o b l e m s s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：日期： j 口d 窖s 多口 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： j o o g 5 o 导师签名： 日期： s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h el a g u e r r ea p p r o x i m a t i o nh a sb e e nw i d e l yu s e df o rn u m e r i c a ls o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so ni n f i n i t ei n t e r v a l s ，s e e ，e g ，【3 ，6 ，1 1 ，1 3 - 1 6 ，1 9 r e c e n t l y , m o r ea n d m o r ea t t e n t i o n s w e r ep a i dt oi t sa p p l i c a t i o n st on u m e r i c a ls o l u t i o n so fe x t e r i o rp r o b l e m s w eu s u a l l yu s e dt h e f o l l o w i n gg e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a l s ， c ；a p ( z ) = 了t lzo t e 肚或( x l + o t e - b x ) ， q 一1 ，卢 0 ，z = 0 ，l ， 。 二 w h i c ha r em u t u a l l yo r t h o g o n a la s s o c i a t e dw i t ht h ew e i g h tf u n c t i o n 矿e 一廊f o ri n s t a n c e ，g u o ， s h e na n dx u 【l l 】p r o p o s e dt h em i x e df o u r i e r - l a g u e r r es p e c t r a lm e t h o df o rt w o - d i m e n s i o n a l e x t e r i o rp r o b l e m s ，b yt a k i n gt h ea b o v ep o l y n o m i a l sw i t hq=2a n dp = 1a st h eb a s i sf u n c - t i o n s m e a n w h i l e ，z h a n ga n dg u o 【2 5 】d e v e l o p e dt h em i x e ds p h e r i c a lh a r m o n i c - l a g u e r r es p e c - t r a lm e t h o df o rt h r e e d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m s h o w e v e r , t h o s em e t h o d sa l en o ta p p r o p r i a t e f o rs o m ei m p o r t a n tp r o b l e m s ，s u c ha se x t e r i o rp r o b l e m so fv a r i o u sn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s t h e m a i nr e a s o ni st h a tt h ec o r r e s p o n d i n gg a l e r k i nv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n so fc o n s i d e r e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sm i g h tn o tb ew e l l - p o s e di nt h es o b o l e vs p a c e sw i t ht h ea b o v ew e i g h tf u n c t i o n s t o r e m e d yt h i sd e f i c i e n c y , o n em a yu s ev a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n st or e f o r m u l a t eo r i g i n a lp r o b l e m st o c e r t a i na l t e r n a t i v ef o r m u l a t i o n sw h i c ha r ew e l l - p o s e di nt h ew e i g h t e ds p a c e s w h e r e a s ，b e c a u s e o ft b ee x i s t e n c eo ft h ef a c t o re 一鼬i nt h ew e i g h tf u n c t i o n s 。t h er e l a t e dt r a n s f o r m a t i o n ss o m e t i m e s l e a dt oc o m p l i c a t e dr e s u l t i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e e e n f l y , g u oa n dz h a n g 【1 5 】c o n s i d e r e dt h es p e c t r a lm e t h o df o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f d e g e n e r a t et y p e ，b yu s i n gt h ef o l l o w i n gs c a l e dg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n s 召a ，所( z ) = e - ；肛4 a 所( 功= 万tzo t e 触磋( + a e - b z ) ， 口 一1 ，p 0 ，( 1 1 ) w h i c ha l em u t u a l l yo r t h o g o n a lw i t ht h ew e i g h tf u n c t i o nx a b ya d j u s t i n gt h ep a r a m e t e ra p r o p e r l y , w ec a nd e r i v es i m p l ea l t e r n a t i v eg a l e r k i nv a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o n s 。w h i c hc o u l db ea p p r o x i m a t e d d i r e c t l ya n di m p l e m e n t e de a s i l y m o r e o v e r , t h ea d j u s t a b l ep a r a m e t e r0o f f e r sg r e a tf l e x i b i l i t yt o m a t c ht h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so fe x a c ts o l u t i o n sa ti n f i n i t y i ti sn o t e dt h a ts h e n 【2 0 1u s e ds u c h s y s t e mw i 廿lo t = 0a n d 口= lf o rs o l v i n go n e - d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b e s i d e s ，w a n g ， g u oa n dz h a n g 【2 2 】s t u d i e dt h em i x e ds p e c t r a lm e t h o df o rt h r e e - d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m s ， b yu s i n gt h es y s t e m ( 1 1 ) a n dt h es y s t e mo fs p h e r i c a l h a r m o n i cf u n c t i o n s i na c t u a lc o m p u t a t i o n s ，t h ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o di sm o r ep r e f e r a b l e i nt h i sc a s e ，w eo n l y n e e dt oe v a l u a t et h eu n k n o w nf u n c t i o n so nf i n i t ei n t e r p o l a t i o np o i n t sa n ds os a v eal o to fw o r k i n p a r t i c u l a r , t h i sm e t h o da v o i d sn u m e r i c a li n t e g r a t i o n so v e ru n b o u n d e dd o m a i n s ，w h i c ha l er e q u i r e d i nt h es p e c t r a lm e t h o df o re x t e r i o rp r o b l e m s f u r t h e r m o r e ，i ti sm u c he a s i e rt od e a lw i t hn o n l i n e a r 1 s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n p r o b l e m s s o m ea u t h o r sc o n s i d e r e dt h ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o rs y m m e t r i cs o l u t i o n so fc e r t a i n s p e c i f i ce x t e r i o rp r o b l e m s ，w h i c ha l er e d u c e dt oo n e d i m e n s i o n a lp r o b l e m so nt h eh a l fl i n e ，s e e 【1 2 ，2 1 t h i sw o r ki sd e v o t e dt od e v e l o pt h em i x e ds p e c t r a lm e t h o d sf o re x t e r i o rp r o b l e m so u t s i d ea d i s ca n da b a l l ，b yu s i n gt h es c a l e dg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n sd e f i n e db y ( 1 1 ) i nc h a p t e r s2a n d3 ，w es h a l le s t a b l i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nt h em i x e df o u r i e r - l a g u e r r e o r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o na n dg a u s s t y p ei n t e r p o l a t i o n ，w h i c hs e r v ea st h em a t h e m a t i c a lf o u n d a - t i o no fs p e c t r a la n dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d sf o rt w o d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m s a se x a m p l e s ， w ed e s i g nt h em i x e ds p e c t r a la n dp s e u d o s p e c t r a ls c h e m e sf o rt w om o d e lp r o b l e m s ，o n ei sf o r al i n e a lm o d e lp r o b l e m , a n o t h e ri sf o rt h es t r o n g l yd a m p e dn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n b yt a k i n g s u i t a b l eb a s ef u n c t i o n s ，t h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a la l g o r i t h m sl e a dt ol i n e a rd i s c r e t es y s t e m sf o r u n k n o w nc o e f f i c i e n t so fe x p a n s i o n so fn u m e r i c a ls o l u t i o n s w i ms y m m e t r i ca n ds p a r s em a t r i c e s t h e r e b y , w ec o u l dr e s o l v et h e me f f i c i e n t l y e s p e c i a l l y , b e n e f i t i n gf r o mt h er a p i dc o n v e r g e n c eo f t h em i x e do r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o na n dg a u s s t y p ei n t e r p o l a t i o n ，t h es u g g e s t e dm e t h o d sp r o v i d e a c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o n sw i n lt h es p e c t r a la c c u r a c y t h en u m e r i c a lr e s u l t sc o i n c i d ev e r yw e l l w i t ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i s a sw ek n o w , t h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no fm i x e dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o rt h r e e - d i m e n s i o n a le x t e r i o rp r o b l e m sw i t hab a l lo b s t a c l ei st h em i x e ds p h e r i c a lh a r m o n i c g e n e r a l i z e d l a g u e r r ei n t e r p o l a t i o n g u o ，w a n ga n dw u 【2 1 】d e v e l o p e dt h eg e n e r a l i z e dl a g u e r r ei n t e r p o - l a t i o n ，w h i l ec a oa n dg u of 3 】i n v e s t i g a t e dt h ei n t e r p o l a t i o no nt h es p h e r i c a ls u r f a c e ，a l s os e e s w a r z t r a u b e r 【1 9 t h er e l a t e da p p r o x i m a t i o nr e s u l t si n 【3 ，2 1 】p r o d u c et h ep o s s i b i l i t yo fd e s i g n - i n gal a r g ec l a s so fr e a s o n a b l em i x e dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d sf o rt h r e e d i m e n s i o n a lu n b o u n d e d d o m a i n s i nc h a p t e r4 ，w ep r e s e n tt h em i x e dp s e u d o s p e c 仃a lm e t h o df o rt h r e e d i m e n s i o n a le x t e r i o r p r o b l e mw i t hab a l lo b s t a c l e w ei n t r o d u c et h em i x e ds p h e r i c a lh a r m o n i c - g e n e r a l i z e dl a g u e r r e i n t e r p o l a t i o na n dd e r i v et h eb a s i ca p p r o x i m a t i o nr e s u l t s 。w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l e si nd e s i g n i n g a n da n a l y z i n gt h er e l a t e dp s e u d o s p e c 廿a lm e t h o d s a sa ne x a m p l eo fa p p l i c a t i o n s ，w ep r o p o s et h e m i x e dp s e u d o s p e c t r a lm e t h o df o ram o d e le x t e r i o rp r o b l e ma n dp r o v ei t sc o n v e r g e n c e b yc h o o s - i n gs u i t a b l eb a s ef u n c t i o n s ，w ea l s od e r i v es o m el i n e a ld i s c r e t es y s t e m sf o ru n k n o w nc o e f f i c i e n t s o fe x p a n s i o n so fn u m e r i c a ls o l u t i o n s ，w i t hs y m m e t r i ca n ds p a r s em a t r i c e s t h e r e f o r e ，w ec o u l d r e s o l v et h e me f f i c i e n t l y t h en u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h i sa p p r o a c h 2 c h a p t e r 2m i x e df o u r i e r - g e n e r a l i z e dl a g u e r r es p e c t r a lm e t h o d 2 1g e n e r a l i z e dl a g u e r r eo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n w ef i r s tr e c a l ls o m er e s u l t so nt h eo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o nu s i n gt h es c a l e dg e n e r a l i z e d l a g u e r r ef u n c t i o n s l e ta = ( 0 ，o 。) a n dx ( x ) b e ac e r t a i nw e i g h tf u n c t i o n w ed e f i n e 工：( 人) = 口iui sm e a s u r a b l eo naa n d 删x a 0 ，w ed e f i n et h es p a c e 域( a ) a n di t sn o r m r i x ab ys p a c ei n t e r p o l a t i o na sm 【l 】 f o rx ( 2 7 ) 三1 ，w ed r o pt h es u b s c r i p txi nt h en o t a t i o n sa su s u a l i np a r t i c u l a r , o 破( a ) = 口i 可 破( a ) a n dv ( 0 ) = o ) t h es c a l e dg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n sg i v e nb y ( 1 1 ) s a t i s f yt h ef o l l o w i n gr e c u r r e n c e r e l a t i o n s ( c f 【1 5 】) ： 允召a 国( z ) = 一卢z 兰 1 所 ) 一 p 叠。卢( z ) ， ( 2 1 ) ( f + 1 ) z 簿f ( 茁) + ( p z 一2 1 一o t 一1 ) 召口国( z ) + ( 1 + q ) 召! f ( z ) = 0 ， ( 2 2 ) 鼠召。，卢 ) 一以雄f ( z ) = p ( 召a 所 ) + 硪f ) ) ， ( 2 3 ) 召n p 0 ) = 召a + 1 刃( z ) 一召! ：1 棚扛) ， ( 2 4 ) 一z 倪召郇( z ) =支篙黧0 蒙嚣鬻嘣l 、r - ( a , f l k 卜亿5 ， ；( z + 口) 召：p ( z ) + ( 口+ 1 ) 召a 所0 ) 一；( z + ，。，( z ) p 一7 l e t 历a = 矿t h es e t0 f 召n 所( z ) i sac o m p l e t e 磁( a ) o r t h o g o n a ls y s t e m ，n a m e l y , ( 召。一，舔p ) a = 研郇况 m ， 3 ( 2 6 ) s h a n g h a in o r m a lu n i v e r s i t ym a s t e rd i s s e r t a t i o n w h e r e 国mi st h ek r o n e c k e rs y m b o l ，a l l d 前a 卢= 帮h e n c e ，f o ra n yv 瑶。( a ) ， ( z ) = 伊仞( z ) ，= 丽1 ( u ，译p ) 孙 ( 2 7 ) n o w , f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rn ，淼( a ) s t a n d sf o rt h es e to fa l la l g e b r a i cp o l y n o m i a l so f d e g r e e a t m o s t n l e t ( z ) = + 1 ) 2a n d ， q ，卢( a ) = e 一；肪矽i 矽氟( a ) ) ，o q ，p ( a ) = t ，q ，卢( a ) l 可( o ) = o ) t h e o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n0 r t v , a ：o 砩( a ) _ o q n , o ( a ) i sd e f i n e db y ( 晚( o 丘知，p 口一秽) ，以矽) 私+ ( o 丘如卢t ，一u ，) 玩a = 0 ，v o q p ( a ) f o r d e s c r i p t i o no fa p p r o x i m a t i o nr e s u l t s ，w ei n t r o d u c et h en o n u n i f o r m l yw e i g h t e ds o b o l e v s p a c ea t ，口( a ) ， a t ，卢( a ) = 口i 口i sm e a s u r a b l e o naa n d i l v l l 趣a 0 ，t h es p a c ea t ，口( a ) i sd e f i n e db ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 【1 】 a c c o r d i n gt ol e m m a 2 2o f 2 2 ，w eh a v et h a ti fv 0 4 ( a ) a n di n t e g e rr 2 ，t h e n t l o r b , ，一毗i i 私c + 去) 一1 - 詈m 雹，芦a ， ( 2 8 ) p r o v i d e dt h a tm 雹。口ai sf i n i t e 2 2f o u r i e ro r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n w en o wt u r nt ot h ef o u r i e ro r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o n l e ti = ( 0 ，2 0 r ) a n d ( ，) b et h e s o b o l e vs p a c ew i t hn o r m | 1 i ir fa n ds e m i n o r n li l r j f o ra n yn o n n e g a t i v ei n t e g e rm ，h t ( z ) d e n o t e st h es u b s p a c eo fh m ( j ) ，c o n s i s t i n go fa l lf u n c t i o n sw h o s ed e r i v a t i v e so fo r d e ru pt om 一1 h a v et h ep e r i o d2 7 r f o ra n yr 0 ，t h es p a c e 缉( ，) i sd e f i n e db ys p a c ei n t e r p o l a t i o na si n 【l 】i n p a r t i c u l a r , l ；( j ) = 霹( n l e tmb ea n yp o s i t i v ei n t e g e r , a n d ( j ) = s p a n e p | i l i m ) w ed e n o t eb y ( ，) t h es u b s e to fv m ( ，) c o n s i s t i n go fa l lr e a l - v a l u e df u n c t i o n s t h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n 砌： 瑶( ，) 一v k ( ，) i sd e f i n e db y ， ( 嘞移( 口) 一口( p ) ) 妒( 口) 硼= 0 ，w ( n j j i tw a ss h o w ni n 【2 】t h a tf o ra n y 铘( j ) ，i n t e g e rr 0a n d p r ， 0 户k 移一u 忆j c m p r i v lr j ( 2 9 ) 4 2 3m i x e df o u r i e r - 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