（机械设计及理论专业论文）立式合模机构力学性能分析.pdf

浙江工业人学颀十学位论文 立式合模机构力学l 土, 1 4 - 厶月p 匕分析 摘要 立式合模机构以下简称合模机构，为快速生产设备，能够通过模具实现不同 形状产品连续生产的重要机械制造设备，主要有立式橡注机、立式压铸机和立式 注塑机等，其核心部件为合模机构。作为主要承载部件的合模机构，其结构直接 影响到生产效率、工艺性能、制品精度及机器自重与造价。由于合模机构的工作 合模力大、温度高、承受循环交变载荷等，致使合模机构中的零件易于破坏。目 前在企业中已经发现导柱疲劳断裂现象。因此有必要对合模机构进行力学性能分 析，对关键零件进行疲劳寿命计算，并通过合模机构结构优化设计，提高其使用 寿命。 本文对合模机构的工作状况作了研究，针对影响合模机构萨常使用的破坏现 缘和立式合模机构的结构特点，研究探索出适合合模机构的快速建模分析方法。 通过橡胶注射机合模机构的数值分析，找出了机构失效原因，并通过实验验证了 数值分析的正确性。最后在该快速分析模型的基础上，对合模机构的基本零件进 行了基于i f 交实验的优化计算，得到了令人满意的结果。 论文研究的内容主要包括： 1 、研究了国内外立式合模机构分析研究的发展现状，介绍了合模机构的传 统设计手段、分析方法，指出了采用有限元法进行数值分析的必要性。 2 、根据立式合模机构的结构特点和工作状况，探索合模机构快速建模力法， 得到了适合合模机构特点的简易模型，有效提高了计算效率，为相关企业建立与 合模机构有关的c a e 仿真规范打下了基础。 3 、合模机构的力学性能分析。采用c a e 数值模拟仿真技术，根扔：建立的立 式合模机构简易模型，利用h y p e r m e s h 进行有限元i j i 处理，采用m s c p a t r a n m a r c 对合模机构进行接触非线性力学分析，应用强度理论剥合模机构的关键零件进行 了校核。 4 、根据有限冗分析结果，计锋应力i 峤位。通过应力一寿命法计算合模机构关 键l i ；f t ：的疲劳寿命，解释了实际】：羁川一合栈机构零件失效j ，i 勺原因。 浙江下业人学颂： ：学位论义 5 、实验验证。设计实验方案，完成了橡注机在不同工况下，其合模机构关 键部位的应变和位移的数拂：采集。根掘测得的实验数据与数值计算结果进行比较 分析，验证了橡注机合模机构力学分析的正确性及本文关于立式合模机构分析的 快速建模方法的有效性。 6 、基于正交实验的优化分析。对合模机构的关键部件按照f 交试验方法安 排试验，用数值仿真技术获得所有优化分析所需的的试验数据。从试验数据的级 差分析结果，研究试验范围内参数对合模机构关键部件的应力幅值影响关系，从 而得到一组最优的设计方法，合理优化了合模机构，提高了合模机构的使用寿命。 本文探索出了立式合模机构力学分析的快速建模方法，为立式合模机构进行 力学分析提供了高效的分析途径，解决了工程实际关于合模机构失效急需解决的 问题。而合模机构关键部件的优化为橡注机合模机构结构优化设计提供了依据， 提高了橡注机的使用寿命。 关键词：数值分析，快速建模，接触，疲劳寿命，优化设计 浙江t 业大学坝。j ：学位论义 m e c h a n i c a lp r o p e r t i e sa n a l y s l so f v e r t i c a l c l a m pm e c h a n i s m a b s t r a c t v e r t i c a lc l a m pm e c h a n i s m ，c l a m pm e c h a n i s mf o rs h o r t ，i sak i n do fi m p o r t a n t f a s t p r o d u c t i o n d e v i c e i tc a nr e a l i z ec o n t i n u o u sp r o d u c t i o nf o rd i f f e r e n ts h a p e p r o d u c t sb ym o l d ，i n c l u d i n gv e r t i c a l r u b b e ri n j e c t i o n ，v e r t i c a l p l a s t i ci n j e c t i o n ， v e r t i c a ld i e - c a s t i n ga n dc l a m pm e c h a n i s ma sak e yp a r t a sam a i nl o a d e dc o m p o n e n t ， i ta f f e c t st h ep r o d u c t i o ne f f i c i e n c y ，p r o c e s s i n gp r o p e r t i e s ，p r e c i s i o no fp r o d u c t ，t h e g r o s sw e i g h ta n dc o s to ft h em a c h i n e b e c a u s et h ec l a m pm e c h a n i s ms e r v e s i nt h e p o o rc o n d i t i o n ，s u c ha s t h eh e a v yc l a m p i n gf o r c e h i g ht e m p e r a t u r ea n da l t e r n a t i n g l o a d ，i th a sh i g hd e m a n do ns t r u c t u r ep r o p e r t i e so fc l a m pm e c h a n i s m a tp r e s e n t ， t h e r eh a sf o u n ds o m ep i l l a r sb r o k e nw i t h i nw o r k i n ga b o u t1y e a ri ns o m ee n t e r p r i s e s s oi ti sv e r yi m p o r t a n tt oc a r r yo nm e c h a n i c sp r o p e r t i e sa n a l y s i s ，c a l c u l a t ef a t i g u el i f e o ft h ek e yp a r t o p t i m i z et h es t r u c t u r eo ft h ec l a m pm e c h a n i s ma n di m p r o v ei t s s e r v i c el i f e f o c u s e do n d e s t r o yp h e n o m e n o n u n d e r p r o p e r c o n d i t i o na n ds t r u c t u r e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ev e r t i c a lc l a m pm e c h a n i s m ，t h ew o r k i n gc o n d i t i o no fc l a m p m e c h a n i s mi ss t u d i e da n df a s tc a l c u l a t i o nm e t h o ds u i t e df o rc l a m pm e c h a n i s mi s r e s e a r c h e di n t h i sp a p e r t a k er u b b e ri n j e c t i o na sa ne x a m p l e ，f a s tc a l c u l a t i o no f c l a m pm e c h a n i s mi se s t a b l i s h e d t h er e a s o n so fd e s t r o yi sf o u n d e do u ta n dn u m e r i c a l a n a l y s i si sp r o v e dt h r o u g ht h ee x p e r i n a e n t b a s e d o nf a s tc a l c u l a t i o nm o l d ，t h e o p t i m i z a t i o nm e t h o dw a su s e dt oo p t i m i z et h ep a r to fc l a m pm e c h a n i s m ，a n ds a t i s f i e d r e s u l ti so b t a i n e d f i n a l l 3 ，t h er e s e a r c hi nt h i sp a p e ri n c l u d e sf o l l o w i n gp a r t s ： t h er e s e a r c h sc o n t e n ti nt h i sp a p e ri n c l u d i n gf o l l o w i n gp a r t s ： 1 i nt h i sp a p e r ，t h er e s e a r c hd e v e l o p m e n to nc l a m pm e c h a n i s mi si n v e s t ig a t e d ， f o r m e rd e s i g na n da n a l y s i sm e t h o d so nm o l ds t r u c t u r ea r ei n t l o d u c e d ，a n dt h e nt h e f e m0 1 1c l a m pm e c h a n i s ms t r u c t u r e sc o n t a c ta n dn o n - l i n e ra n a l y s i si sp u tf o r w a r d 2 a c c o r d i n gt os t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c sa n dw o r kc o n d i t i o no fv e r t i c a lc l a m p 浙江丁业人学坝j ：学位论义 m e c h a n i s m f a s tc a l c u l a t i o nm e t h o do fc l a m pm e c h a n i s mi ss t u d i e d ，a n de 确c i e n c 3 ， c a l c u l a t i o nm o d e li so b t a i n e d t h i sm e t h o di m p r o v e sc o m p u t i n ge f f i c i e n c ya n ds e tp f o u n d a t i o no fc a es i m u l a t i o nf o rc o r r e l a t i o ne n t e r p r i s e 3 m e c h a n i c sp r o p e r t i e sa n a l y s i s b a s c do ns i m p l i f i e dm o d e l ，i ta d o p t s i c a 阜 n u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n o l o g y ，f o r et r e a t m e n to ff e mw i t hh y p e n n e s hs o f i w a r b a n dm s c p a t r a n m a r ct oc o n d u c tc o n t a c ta n dn o n 1 i n e ra n a l y s i sf o rm e c h a n i c ； p r o p e r t i e so fc l a m p m e c h a n i s ma n dc h e c kt h ek e yp a r t sw i t hs t r e n g t ht h e o r y 4 a c c o r d i n gt ot h er e s u l to ff e m ，s t r e s sa m p l i t u d ei sc a l c u l a t e d ，a n df a t i g u el i o ft h ek e yp a r ti nt h ec l a m pm e c h a n i s mi sc a l c u l a t e dt h r o u g ht h es t r e s s - l i f em e t h o d e x p l a i n sw h a t c a u s e sd e s t r o yo fc l a m pm e c h a n i s m 5 e x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o n u n d e rt h ed i f f e r e n tw o r kc o n d i t i o n s ，t h es t r a i na n d d i s p l a c e m e n td a t ao nk e yp o s i t i o no fc l a m pm e c h a n i s ma r ec o l l e c t e d f r o mt h et e s t p r o j e c t c o m p a r e dw i t hn u m e r i c a lr e s u l t ，t h ev a l i d i t y o ft h em e c h a n i c sm o d e lo e c l a m pm e c h a n i s ma n d t h ee f f i c i e n c yo ft h ef a s tc a l c u l a t i o nm e t h o do fc l a m p m e c h a n i s ma n a l y s i sa r ev e r i f i e d 6 o p t i m i z a t i o n a n a l y s i sb a s e do nt h eo r t h o g o n a le x p e r i m e n tt h e o r y a c c o r d i n g t ot h eo r t h o g o n a le x p e r i m e n tt h e o r y , a l lt h ee x p e r i m e n t sa r es c h e d u l e d ，a n d a l l e x p e r i m e n t a ld a t an e e d e df o ro p t i m i z a t i o n - a n a l y s i sa r eo b t a i n e d b a s e do nt h e s ed a t a a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h et e s tp a r a m e t e r sa n ds t r e s sa m p l i t u d eo fk e yp a r t ， o p t i m u ms c h e d u l ei so b t a i n e d ，w h i c ho p t i m i z e dt h ec l a m pm e c h a n i s ma n dp r o l o n g e d l i f e t i m e t h ef a s tc a l c u l a t i o nm e t h o do fc l a m pm e c h a n i c sa n a l y s i si sp u tf o r w a r di nt h i s p a p e r w h i c hp r o v i d e sa ne f f i c i e n ta p p r o a c hf o rv e r t i c a lc l a m p m e c h a n i c sa n a l y s i s ， s o l v e st h ep r o b l e mo fc l a m pm e c h a n i s mf a i l u r ei nt h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c e t h e o p t i m i z a t i o no ft h ec l a m pk e yp o s i t i o np r o v i d e sg i s t f o rs t r u c t u r eo p t i m i z a t i o no f c l a m pm e c h a n i s m a n di m p r o v e st h es e r v i c el i f eo fc l a m pm e c h a n i s m k e yw o r d s ：n u m e r i c a la n a l y s i s ，c o n t a c t ，f a t i g u el i f e ，o p t i m u md es i g n 1 v - 姥。矗；。 摘要i a b s t r a c t i i i 第一章绪论1 1 1 立式合模机发展历史1 1 2 国内外研究现状2 1 3 选题意义3 1 4 研究目的4 1 5 研究内容4 第二章c a e 数值计算理论基础5 2 1 接触问题介绍5 2 2 接触界面条件6 2 2 1 符号和定义6 2 2 2 法向接触条件8 2 2 3 切向接触条件9 2 3 接触问题的求解方案1 0 2 3 1 接触l u j 题求解的一般过程1 0 2 3 2 接触界面的定解条件和校核条件1 1 2 3 3 接触问题的虚位移原理1 3 2 3 4 拉格朗f 1 乘子法1 4 2 3 5 罚函数法1 7 2 3 6 直接约束法1 9 第三章立式合模机构快速建模方法2 2 3 1 概述2 2 3 1 】通用c a e 分析建模方法2 2 3 1 2 快速建模方法的特点2 2 3 2 求解域定义2 2 3 2 1 憋体模型2 3 3 2 2 零件模型2 4 3 2 3 简易模型2 5 3 ，3 问题性质确定2 6 3 3 1j 6 f e 静态假设2 6 3 3 2 接触模型假设。2 6 3 4 边界条件2 6 浙江t 业人学坝i - 学位论文 3 4 1 接触边界条件2 7 3 4 2 摩擦模型定义2 9 3 4 3 载荷工况2 穹 3 5 小结2 9 第四章合模机构力学分析算例3 q ； 4 1 绪论3 0 4 2 简易模型数值计算3 q 4 2 1 几何模型简化3 q 4 2 2 单元类型选择3 l 4 2 3 简易模型网格划分3 i 4 2 4 材料本构定义3 3 4 2 5 边界条件3 3 4 2 7 数值计算结果3 5 4 3 安全评定3 6 4 4 疲劳寿命计算3 7 4 4 1 交变应力幅值确定3 7 4 4 2 循环次数计算3 8 4 4 3 橡注机使用寿命曲线4 0 4 5 j 、结4 1 第五章合模机构实验4 2 5 】实验目的4 2 5 2 实验方法4 2 5 2 1 实验原理4 2 5 2 2 实验设备4 5 5 2 3 实验步骤4 6 5 2 4 实验数据计算转换公式4 6 5 3 实验平台4 7 5 3 1 实验平台搭建4 7 5 3 2 测试点的和冒以及编号4 8 5 4 实验数据与分析结果对比4 9 5 5 小结5 2 第六章合模s j l $ , o 优化设计5 3 6 1 优化设计概述5 3 6 2 合模机构结构优化5 5 6 2 1 试验指标、因子和水平5 5 6 2 2 试验指标的 i f l 定5 7 6 3 3 设计变啭及其h 义值范幽的确定5 7 6 2 4 确定试验方案5 8 一 塑坚! 些叁兰丝! ：堂! 兰笙兰一一 6 2 5 风诎二- u i ：才i o 表示p 点和s 一面分离，g ，= 0 表示p 点已和s 矗面接触。而g ， o 处u 表示p 点已侵入s 一面，也即矿“和i 圩已相互贯穿。因为上式对于接触丽上的任一点都应 成立，所以不可贯入性的要求可以一般性地表示为 7 9 = g ( 7 x 一，) = ( 7 x 一一7 x 一) 7 门0 0 ( 2 2 1 3 ) 2 法向接触力为压力 此条件足接触面l n j 动力学方面的条件。在不考虑接触面i u j 的粘附或冷焊m 情况 如果两个物体的接触回是绝对光滑的，或者相互i _ 日j 摩擦, - - j 以忽略，这时分耐r 可以采用无摩擦模型，即认为接触面之i 日j 的切向摩擦力为0 ，亦即 掣= f 暑0 ( 2 2 1 5 ) 或写成分量形式，即 i tf ? = 1f ? 童0 心1 2 1 6 ) 这时两个物体在接触面的切向可以自由的相对滑动。 2 有磨擦模型库仑( c o u o m b ) 摩擦模型 如果接触面i 日j 的摩擦必须考虑，则应采用有摩擦的模型。在工程分析中，库 仑摩擦模型因其简单和实用而被广泛地应用。库仑摩擦模型认为切向接触力，即 摩擦力e 一的数值不能超过它的极限值叫i ，可l ，们i 即 旧怿卢小剐i ( 2 2 17 ) 其中，是摩擦系数： l ：4 旧ll 。尉1 分另。为切向和法向接触力的数值。 当l i i f r i | i i , j ，接触l f i i 之l l i j 无切i f i 】4 ：1 1 1 x ；j 。f l - j 动，u l j i = r ? 一，；f = o 封i 旧i ( 2 2 1 8 ) 或写成分量形式 、，= 。j 。一，= ( 1 ( i = l ，2 ) 当i f ? l | r l ( 2 2 1 9 ) 上式中 浙江t 业入学硕l ? 学位论义 ，代表接触点对q 、的从接触点棚对于主接触面的滑动速度； i ? 一卜夕是沿e ? 方向的分量( 1 = 1 ，2 ) 。 当l7 鼻，i = w f 时，接触面间将发生切向相对滑动，这时应有 可= 卜? 一，? 0 当阿l = 声，l 砖l ( 2 2 2 0 ) 并且 。，f = ( 卜? 一。) 0 ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 1 ) 式表明切向相对滑动速度卜，和作用于从接触点的摩擦力e ，的方向相 反，摩擦力起着阻止相对滑动的作用。 有时为了更好地描述摩擦现象，( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 2 0 ) 式中的摩擦系数可以 分别用静摩擦系数、和动摩擦系数胁代替，而且一般情况下是心 从。不过 为了简便起见，通常仍假设1 、= z ，= ，即不区别静、动摩擦系数。 2 3 接触问题的求解方案 2 3 】接触问题求解的一般过程 接触过程通常是依赖于时| 日j ，并伴随材料非线性和几何非线性的演化过程。 特别是接触界面的区域和形状以及接触界面上运动学和动力学的状态也是事前未 知的，这些特点决定了接触问题通常采刖增量方法求解。 接触面条件( 不可贯入条件，法向接触力位压力条件和切向摩擦力的条件) 都 是不等式约束，也称之为单边约束。拉格朗同乘子法或罚函数法将约束条件引入 泛函的广义变分原理，以及引入单元交界而上约束条件的修证变分原理适用于接 触问题，接触问题需要采用“试探一校核”的迭代方法进行求解。每一增量步的 “试探一校核”过程可一般性地表述如下： ( 1 ) 根掘前一步的结果和本步给定的载荷条件，通过接触条件的检查币口搜寻， 假设1 1 匕步的第1 次迭代求解时的接触i f i i 的区域和状态( 这盯! 指物体 和b 在藏触而 上有无相对滑动。无槲刈滑动的拨触称为“粘结”，有， i ：l x , ：l 滑动的接触状念称为“滑 浙江丁业大学硕士学位论义 动”) 。 ( 2 ) 根据上述关于接倒：面区域和状态所作的假设，对于接触的每一点，将运： 动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程并进行方程的 - 求解。 i ： ( 3 ) 利用接触面上和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式约束条； 件作为校核条件对求解的结果进行检查。如果物体表面( 包括原假设中尚未进入接： i 触的部分) 的每一点都不违反校核条件，则完成本步的求解并转入下一增量步的计： 算：否则回到步骤( 1 ) 再进行搜寻和迭代求解，直至每一点的解都满足校核条件， 然后再转入下一增量步的求解。 2 3 2 接触界面的定解条件和校核条件 现假设物体a 和b 在t 时刻的解已经求得，需求解t + t 时刻的解。在2 2 2 和2 2 3 小节讨论的接触条件，除将各表达式中左上标乞改为1 ，+ a t 外，还应将； 它们改写成适合增量分析的形式。这时需要着重指出的是： i ( 1 ) t + t 时刻的不可贯入性条件( 2 2 1 3 ) 式应表示成 i ，g ，= ( “x a _ 1 + 由x 打) h ，2 ：0 ( 2 3 1 ) 其中 + x 一= x 月+ 1 一+ x 月= x 占+ 付 ( 2 3 2 ) 式中的一和一是t 到t + a t 时间| 日j 隔内的位移增量，即 l l 。= l & u a t “。l l i “- 7 - - | l l “一ll l 。 0 2 3 3 、) 将( 2 3 2 ) 和( 2 2 3 ) 式代入( 2 3 1 ) 式则不可贯入性条件可以改写为 。+ 加g = ( 一一矗) + 丹片+ ( x 彳一x 占) + 出力疗 = 0 一名+ g ，0 ( 2 3 4 ) 其中 这罩 “：= _ u 。”色n “：= ”n “b n “ lg q2 t tx a l x “) t n “ ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 浙江工业大学坝i ：学化论文 ：和：一分别是从、主接触点在法向的位移增量； 。g 一主、从接触点在t 时刻的位置在h 门疗方向度量的距离。在小位移分析中， 忽略位形变化的影响则可以近似地认为 + ，”疗= q 片= o 一 相应地认为 gn2 9n = ( i x a 一| x 8 ) f n 6 而在一般情况下，h 门一是依赖于位移而变化的。在以后的讨论中，采取近似 计算的方法，即在每一次迭代过程中，对h g ，进行微分或变分时，假定h 玎口 是常量，而在迭代求解后，根据新的位移值计算出新的加刀8 来代替原有的数值， 以进行下一次迭代的计算。 ( 2 ) 粘结接触时无相对滑动条件( 2 2 1 8 ) 式可改写为 一, u 7 = “? 一“? = o 当l + 一，i i + 刀l ( 2 3 7 ) 其分量形式( 2 2 1 9 ) 式可改写为 万= 甜7 一“j “- - o ( 1 = l ，2 ) 当i ，+ ，i i i + 曰i ( 2 3 8 ) 其中，“? 和”? 分别是从、主接触点在t 至，t + a t 时i j i 日j 隔内的切向位移增量， 即是“一和“b 的切向分量。一a t 是从接触点相对主接触点的相对切向位移增量。一u t 是瓦沿p 岁方向的分量( j = i ，2 ) 。 ( 3 ) 滑动接触”“时相对滑动条件( 2 2 2 0 ) 和( 2 2 2 1 ) 式可改写为 百= “? 一“? o 当i f + e ，l | + 硝l ( 2 3 9 ) 并且 万+ 1 = ( “? 一? ) “e 。 0 ( 2 3 1o ) 为了以后的具体应用，( 2 3 9 ) 式的摩擦力条件、利用( 2 3 1 0 ) 式可以表示成以下 分量形式 h f ，+ h 只“，f 7 - - 0 ( i = 1 ，2 ) ( 2 3 11 ) 浙江t 业人学埘i ：l ：学位论义 一 ； 其中m 是相对切向位移的数值，并且有 万= 万 = 匠了+ 伍) 2 j 佗 2 3 3 接触问题的虚位移原理 将物体a 和b 作为两个求解区域，各自在接触面上的边界可以视为给定面为 边界。这样一来，和t + a t 时间位形内平衡条件相等效的虚位移原理可以蓑示 ： 为i f + i + a i c 吣移& d v 一，+ 7 睨_ t + a t _ t + a 切v c ：a , b 【 j 岬，i + a t 乃r c 已；d v 一似贬一m ，纠v l ri + a i 哗= 【j 岬， 乃已；一，+ 贬一，+ 哗j = 0 其中 h 出巧时间t + a t 位形的欧拉应力； 巧+ ，e 。是相应无穷小应变的变分： h y 物体在t + a t 时刻的体积： ”作用于t + a t 时刻位形上外载荷的虚功： h 彬作用于t + a t 时刻位形上。般i l l l ，上- 【虚- 助, ，如果惯性力的影响可以忽略， 则彤= o ，问题转变成静态接触问题； h 彤作用于t + at 时刻接触面上接触力虚功，它们分别表示 ，+ 7 = 善a , h = 萋z 1 bf l m + a t ，t 7 鲥劣+ 、。、 h p l ：j u ：。d v ，+ 彬= 萋4 1 1m 彬= 萋a b ，：一m p o o ，r 丑。d y 、ji，u2l 、， 口j 14：i 3c 、厶l 浙江1 ：业人学硕i j 学位论义 m 彬：参肜：a , b 叫i 础+ a i 尸驯似豳 = 。s l h af l 6 “? h a d s + 。s ? h a f 6 p h a d s = 、。s ! f ；6 “jt h 如d s 七、。s ? | h 矗f j b 0 ”j b | 一d s = l ，- s ! h f ；0 6 “j i 一6 “：、一d s 式中 7 + 出v 7 物体r 在位形中的体积： ，+ s ，物j 体r 存付形的寿而粳 h p 物体r 在位形的质量密度； 艿甜r 现时位移分量“山杉的变分： “f s 。r 上接触力f 沿总体坐标x ，y ，z ( 汪x ，y ，z ) 分量； ”形h 上接触力h f 沿局部坐标( j = 1 ，2 ，3 ( = ) ) 分量； 万2 ，j 与万矽；的意义相同，( ，= 彳，b ；i = 工，y ，z ；，= 1 ，2 ，3 ( - - ) ) 。接触界面“的 区域和状态通过求解d ，j 的校核和搜寻，认为是已经给定的。接触力h f 爿和h f 封则 是未知量，需要通过求解确定，同时它的具体表达形式取决于如何将接触面上的 定解条件引入求方程的方法。 注：在( 2 3 1 6 ) 式中利用了总体坐标系x ，y ，z 和局部坐标系q ，e 2 ，e 3 之i 铷的 转换关系，即f = c ，甜，= m ，f “，= 厅够，其中是9 ，( ，= l ，2 ，3 ) 在总体 坐标( = x ，y ，= ) 方向的分量。 2 3 4 拉格朗日乘子法 对于包含接触面的接触问题，泛函可以表示为 i i = l l l i 七i l t | j 其中i i 。原问题中不包括接触约束条件的总位能： h 九，+ ，时刻拉格朗日乘子； 五，( j = 1 ，2 ) ) ，+ ，时刻拉格朗同乘子在j ( j = 1 ，2 ) ) 方向的分量； “：和“：分别是从、主接触点在法向的位移增量( “代表位移) ： “了和“夕( j = l ，2 ) 分别是从、主接触点在j ( j = 1 ，2 ) ) 方向的位移增量； 。； 主、从接触点在t 时刻的位置在7 + 一片( b 为接触体，n 为法向标志符号) ； 方向度量的距离。 为了得到接触问题的求方程，令占，= 0 ，即 ； 6 i | = 6 l lu + 6 l l j = 0 t 2 3 1 9 ) 其中8 h , 即是( 2 3 1 3 ) 式的日驴3 项之和，即 6 l l 。= 、l + t 厶t 。6 i e 厶d v t h 矗w l j l h a w | = 篓 ，。，+ ，f ：巧+ ，p ：”d 一，+ 陟7 一h 彬7 6 f i t 1 。= 婶l k 、。+ 婶i l 、。 其中 ( 2 3 2 0 ) ( 艿) 。= + 叭r 九( j 材：一万“j ：) + + 五( 以? 一万“? ) + + 五( 万“? 一如硝出 = j 州h 和“? 一砌矿幽( j = l ，2 ，3 ( = ) ) ( 2 3 2 2 ) 其中 h a f 时f j ，+ a t 位形的欧拉应力； 4 + ，e ，足相应无穷小应变的变分： 浙江t 业人学硕：i ? 学位论义 v 物体在，+ a t 时刻的体积； h 作用于t + a t 时刻位形上外载荷的虚功： h 作用于，+ a t 时刻位形上惯性力的虚功，如果惯性力的影响可以忽略， 则彬= 0 ，问题转变成静态接触问题： ( 以，) 五= f + 雌5 + 九( “a 一 ：+ ；，) + 艿似 ( “? 一“? ) + 万。+ 由如( “：a 一甜多) j + 由凼 ( 2 3 2 3 ) ( 万弘z ) 。和( 艿以z ) 五分别是万。对于位移增量和拉格朗同乘子进行变分而引起的部 分。考虑到占“夕和万”夕和甄，( i ，= 1 ，2 ，3 ( = ) ) 变分的任意性，因而从万= o 可以得 到 5 1 1 , ，+ ( 万以_ ) 。= 0 ( 2 3 2 4 ) ( 醌，) 。= 0 ( 2 3 2 5 ) 将( 2 3 2 0 ) 、( 2 3 2 2 ) 、( 2 3 2 3 ) 、( 2 3 2 4 ) 、( 2 3 2 5 ) 和( 2 3 13 ) 、 ( 2 3 1 6 ) 式进行对比，可以认识到用拉格朗f i 乘子法求解接触问题时，应有 ，+ 出彬= - ( 5 h , z ) 。= + 叭一，+ 出丑，( 万酊一万“? ) h 加d s ( = 1 ，2 ，3 ( = ) ) ( 2 3 2 6 ) 从而可得到接触面”掣和掣上的接触应力为 h f = h 由丑，“= h 由丑， ( = 1 ，2 ，3 ( = ) ) ( 2 3 2 7 ) 以上各式是对于粘结接触状态的结果。如果用于无摩擦接触情况，由于切向 运动不受约束，因此 = 五= 0 ，这时 ，+ 。形：- ( 5 1 t ) 。= + 叭一h 九( 万：一砌：) ，曲d s ( 2 3 2 8 ) 如果用于有摩擦的滑动摩擦状态，因为 l + f l - “i f + 刷l 或它的进一步表达式 舢“= “爱一u - ，( j = l ，2 ) ( 2 3 11 ) 浙江t 业人学l i ! ；ii j 学位论义 式中 “，位移向量在j ( = x ，y ) 方向的分量； 副位移向量在法向的分量。 将( 2 3 1 1 ) 式代入( 2 3 2 7 ) 式，则得到 h 丑，= 九云，- ( = 1 2 ) 将上式代回( 2 3 2 6 ) 式，则得到对于摩擦滑动接触状态的虚功表达式，即 i i + 出峨= 一( 万仉z ) 。= + 叭一h 扎 ( j “? 一6 “夕) 一“( 巩石) q 万材；一占“) h 争 2 3 3 中 从以上的讨论可见，对于滑动接触状态不管有无摩擦，都只有一个独立自勺拉 格朗f 1 乘子扎，求解时只需要补充一个方程，即法向不可贯入性约束条件，即 z ，：一材：一；= o 。 用拉格朗同乘子法引入接触界面约束条件可以得到精确的满足，不足之处 是：( 1 ) 增加了方程的自由度数；( 2 ) 求解方程的系数矩阵中包含零对角元素，栌来 求解的不便。自 一缺点带来的另一问题是使的包含惯性项的接触问题的有限元方 程和显式时间积分的求解格式不协调。 2 3 5 罚函数法 根据罚函数将附加约束条件引入泛函求解的原理，对于接触问题，可以将泛 函和它的变分表达如下： = 玑+ 以r ( 2 3 3 1 ) 其中以，是用罚函数引入接触定解条件的附加泛函。现在仍首先讨论粘结接触状 态，这时引入约束条件的附加泛函和它的变分表达如下： ，= 口( “：一“：+ 7 虿) 2 + 口n ( “? 一“? ) 2 - i - 口n ( “：i 1 一“? ) 2 。+ d s ( 2 3 3 2 ) 万刀。，= ，+ ，、 口 ，( “j ：一材：+ 五 ，) ( 万“：一万甜：) + 口。( ”? 一“? ) ( 万“? 一万“? ) + 口：( “? 一“! ) ( 万”；一万z ，! ) “d s ( 2 3 3 3 ) 浙江t 业人学坝i + 学位论义 式中 口法向罚参数： 口，( j = 1 ，2 ) 罚参数在局部坐标系中分量。 从万以= 6 h , ，+ 万州= 0 可以得到接触问题的求解方程。将万= 0 和已将( 2 3 1 6 ) 式代入后的( 2 3 1 3 ) 式进行比较，可以得知，用罚函数法求解粘结接触问题时， 应有 ，+ 加彬= 一万以。= ，+ 叭 一口( 材：一“b + 7 虿) ( 砌a 一如：) 一 口。( “? 一“? ) ( 万“? 一占“? ) 一口：( “? 一“? ) ( 万“：a 一万”? ) h d s ( 2 3 3 4 ) 因此接触界面上的接触力应表达为 ，+ 山砖_ ，曲硝= 嘞( “：一材：+ 虿) = 一a a i + a s 乳 ( 2 3 3 5 ) h = 一h - - - - a 小| j - a “? )( j = l ，2 ) ( 2