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摘要 摘要 非线性现象是自然界中普遍存在的一种重要现象。非线性科学是随着研究非 线性现象问题而形成的一门科学，它的研究主体是孤立子、混沌和分形。许多实 际的非线性问题最终都可归结为非线性系统来描述。随着对非线性问题的重视， 关于非线性系统的研究成为当今国内外学术研究的重点和热点问题。 在非线性系统中，非线性波动方程的孤立子理论研究是其中一个重要和热点 内容。对于孤立子相关性质的研究在揭示波的传播规律、准确解释自然现象和确 定物理材料属性等方面均具有极大的科学研究和应用价值。 在过去的几十年中，关于非线性波动方程的孤立子理论研究，特别是孤立波 的研究发展迅速，创造了求解非线性波动方程的孤立波的许多方法：有反散射方 法、达布变换方法、贝克隆变换方法、分离变量法、双线性方法、p a i n l e v e 截断展 开法、c k 直接法等。近来，随着计算机技术的发展，关于孤立波的研究越来越多 的依赖于计算机软件的应用，随之产生了一系列求解非线性波动方程的新方法， 并且这些方法逐渐的被应用到离散的非线性微分一差分系统中来研究离散系统的 孤立波问题。这类方法已成为近来求解非线性波动方程解的重要研究内容。 本文第一、二章首先介绍了非线性波动方程及孤立子理论的研究背景、研究 进展和发展现状和意义，总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。随后 介绍了本文研究非线性波动方程孤立波所用的方法及涉及的相关的概念、定理。 第三章研究了一类非线性波动方程的奇异孤立波。通过把一些经典的方法进 行改进，推广到非线性项更复杂的非线性波动方程双s i n e g o r d o n 方程，获得 丰富的孤立波( 扭结解，反扭结解，周期孤立波) ，并发现了一种新型的不连续解， 应用守恒律方程理论，证明其为不连续孤立波；进一步研究充分非线性近似双 s i n e g o r d o n 方程得到了方程的紧孤立子，尖峰孤立子，多重紧孤立子，多重尖峰 孤立子和不连续孤立波；特别引入非线性强度概念，研究充分非线性k l e i n g o r d o n 型方程，应用改进的广义映射r i e c a t i 方程方法求解得到丰富精确解及多重紧孤立子 和奇异的不对称紧孤立子。 第四章讨论了变系数广义k d v 方程的广义孤立子问题。应用辅助方程法，构 造辅助方程求得变系数广义k d v 方程的多种精确解，如三角函数解，孤立波形式 江苏大学博士学位论文：一类非线性波动方程的孤立波研究 解，孤立波解，j a c o b i 和w e i e r s t r a s s 椭圆函数解，并且还发现了一种奇异的扭结解 不对称扭结解；这种方法还提供了根据不同的参数值分类方程解的方法。这 种方法与其它方法比较，具有计算量小，得到的结果丰富的优点，可以广泛的应 用到其它许多变系数非线性方程的求解问题中；随后我们又应h j 指数函数法研究 该方程，借助计算软件m a t h e m a t i c a 得到了变系数广义k d v 方程的广义孤立子和周 期孤立波。 第五章从定性角度研究了非线性双s i n e g o r d o n 方程行波解。通过研究该方程 的相图分岔，分析其动力学性质，从中寻找同宿轨和周期轨，根据相图分岔理论， 我们可以得到方程的孤立波和周期尖波的解析表达式，并得到周期尖波的极限与 同宿轨对应的孤立波极限保持一致，它们的极限就是尖峰孤立子；进一步给出不 同参数条件下方程的尖峰孤立子和反尖峰孤立子，周期孤立波，扭结解和反扭结 解的表达式，通过数值模拟给出了部分解的图像。 第六章研究非线性微分一差分系统。本章对t a n h 函数展开法进行推广，在经典 t a n h 展开法基础上，通过增加负幂形式的项，并且多项式的元素不再仅仅是双曲正 切函数，而是满足一个r i c c a t i 方程，提出广义t a n h s e c h 法应用到非线性微分一差分 s i n e g o r d o n 方程，求得该方程的孤立波。该方法可看作是双曲函数及一些相应扩 展形式的概括，这种方法得到比其它方法更多的非线性微分一差分s i n e g o r d o n 方 程的孤立波，说明广义的t a n h s e c h 法在求解非线性微分一差分方程方面的有效性。 此外，改进原有的f - 展开法来研究非线性微分一差分s i n e g o r d o n 方程，得到了该方 程大量不同类型的孤立波，极大地丰富了孤立波的种类和数量。 第七章是对研究内容的总结和展望。 关键词：非线性波动方程；非线性强度；奇异孤立波；非线性微分一差分系统； 紧孤立子；尖峰孤立子；不连续孤立波；分岔； n o n l i n e a r i t yi su n i v e r s a la n di m p o r t a n tp h e n o m e n o n i nn a t u r e n o n l i n e a rs c i e n c e ， w h i c hh a ss o l i t o n , f r a c t a la n dc h a o st h e o r i e sa si t sm a i np a r t s ，i st h es u b j e c to fs t u d y i n g t h en o n l i n e a r i t y m o s tn o n l i n e a rp r o b l e m sc a nb ed e s c r i b e db yn o n l i n e a re q u a t i o n s w i t ht h er e c o g n i t i o no ft h en o n l i n e a rp r o b l e m s , t h es t u d yo nn o n l i n e a rs y s t e m sh a s b e c o m et h em a i nt o p i co fd o m e s t i ca n da b r o a d i nt h en o n l i n e a rs y s t e m s ，t h es o l i t o nt h e o r yo ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n si st h e i m p o r t a n tt o p i c t h es t u d yo fp r o p e r t i e s o ft h es o l i t a r yw a v e si so fg r e a tv a l u ei n s c i e n t i f i cr e s e a r c h e sa n da p p l i c a t i o n st oe x p l a i nt h ew a v ep r o p a g a t i o na n dn a t u r a l p h e n o m e n aa sw e l la st od e t e r m i n et h ep h y s i c a la t t r i b u t e so fm a t e r i a l s d u r i n gt h ep a s t5 0y e a r s ，t h es t u d yo ns o l i t o nt h e o r yo fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n , e s p e c i a l l yt h es t u d yo ns o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，d e v e l o p e dq u i c k l ya n dc r e a t e dm a n y m e t h o d so nt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o i l so ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s u c ha s ，i n v e r s e s c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n , b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n , v a r i a b l e s e p a r a t i o n a p p r o a c h , b i l i n e a r m e t h o d , t r u n c a t e d p a i n l e v e e x p a n s i o n ， c l a r k s o n - k r u s k a l sd i r e c tm e t h o da n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to f c o m p u t e r , t h es t u d yo ns o l i t a r yw a v es o l u t i o nm o r ea n dm o r ed e p e n d e n t so nc o m p u t e r s o f t w a r e t h e nas e r i e so fn e wm e t h o d sa r eo b t a i n e da n du s e dt os t u d yt h ed i s c r e t e s y s t e m ss o l i t a r yw a v es o l u t i o no fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l d i f f c r e n c el a t t i c es y s t e m s t h e s e m e t h o d sh a v eb e c o m et h em a i nc o n t e n do fs t u d y i n go nn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i nc h a p t e r1a n d c h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h es t u d yb a c k g r o u n d , s t u d yd e v e l o p m e n t a n ds i g n i f i c a n c eo fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na n ds o l i t o nt h e o r y t h em e t h o d sk n o w nu p t ot o d a yf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na r es u m m a r i z e da n da n a l y z e d t h e n t h ec o n c e r n e de o n c 宅p t sa n dt h e o r i e sw h i c hu s e di nt h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r3 ，t h es i n g u l a rs o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fak i n do fn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n sa r es t u d i e d b yi m p r o v e ds o m ec l a s s i c a lm e t h o d s ，w es t u d ys o l u t i o n so f n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hc o m p l e xn o n l i n e a rt e r m s ( d o u b l es i n e - g o r d o ne q u a t i o n ) a n df i n da b u n d a n ts o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ( k i n ks o l u t i o n , a n t i - k i n ks o l u t i o n ，p e r i o d i c w a v es o l u t i o n ) a n dak i n do fn e wd i s c o n t i n u o u ss o l u t i o n t h e nw ep r o v et h a tt h e d i s c o n t i n u o u ss o l u t i o ni sd i s c o n t i n u o u ss o l i t a r yw a v es o l u t i o nb yc o n s e r v a t i o ne q u a t i o n t h e o r y t h ef u l l yn o n l i n e a ra p p r o x i m a t ed o u b l es i n e g o r d o ne q u a t i o ni si n v e s t i g a t e d a n do b t a i n e dc o m p a c t o ns o l u t i o n , p e a k o ns o l u t i o n , m u l t i - c o m p a c t o n ，m u l t i - p e a k o n s o l u t i o na n dd i s c o n t i n u o u ss o l i t a r yw a v es o l u t i o n b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to f m 江苏大学博士学位论文：一类非线性波动方程的孤立波研究 n o n l i n e a ri n t e n s i t y , t h ef u l l yn o n l i n e a rk l e i n - g o r d o n - t y p ee q u a t i o ni sr e s e a r c h e dt of i n d m a n ye x a c ts o l u t i o n sa n dm u l t i - c o m p a c t o na n ds i n g u l a rn o n s y m m e t r i c a lc o m p a c t o n s o l u t i o n sb yu s i n gt h ei m p r o v e dg e n e r a l i z e dr i c e a t ie q u a t i o nm e t h o d i nc h a p t e r4 ，t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n so fg e n e r a l i z e dk d v e q u a t i o nw i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t sa r ed i s c u s s e d t h em a n ye x a c ts o l u t i o n s ，s u c ha s ，t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n , s o l i t a r yp a t t e r ns o l u t i o n s ，s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，j a c o b ia n dw e i e r s t r a s se l l i p t i e f u n c t i o ns o l u t i o n sa r eg i v e nb yt h ea u x i l i a r ye q u a t i o nm e t h o d as p e c i a ls i n g u l a rk i n k s o l u t i o n - n o n s y m m e t r i c a lk i n ks o l u t i o ni so b t a i n e d t h i sm e t h o da l s oa p p l i e sam e t h o d t oc l a s s i f yt h es o l u t i o n sd e p e n d e dv a r i o u sp a r a m e t e r s b yc o m p a r e dw i t ho t h e rm e t h o d ， t h i sm e t h o dh a st h em e r i t so fs h o r tc o m p u t a t i o na n da b u n d a n tr e s u l t s ，w h i c hc a nb e a p p l i e dt o s o l v e o t h e re q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s t h e nw eu s et h e e x p - f u n c t i o nm e t h o d t oi n v e s t i g a t et h i se q u a t i o na n do b t a i ng e n e r a l i z e ds o l i t a r yw a v e s o l u t i o na n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n sb yu s i n gm a t h e m a t i cs o f t w a r em a t h e m a t i e a i nc h a p t e r5 ，t h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fd o u b l es i n e g o r d o ne q u a t i o na r e i n v e s t i g a t e db yq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d b ys t u d y i n gt h eb i f u r c a t i o no ft h i se q u a t i o n a n dd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，w eg i v et h ee x p r e s s i o n so ft h es o l i t a r yw a v es o l u t i o na n d p e r i o d i cs o l i t a r yc u s pw a v es o l u t i o na c c o r d i n gw i t ht h eb i f u r c a t i o nt h e o r y t h el i m i to f p e r i o d i cs o l i t a r yc u s pw a v es o l u t i o na n ds o l i t a r yw a v es o l u t i o nb o t he q u a lt ot h ep c a k o n s o l u t i o n t h e nt h ee x p r e s s i o n so fp e a k o na n da n t i - p e a k o ns o l u t i o n ，p e r i o d i cs o l i t a r y w a v es o l u t i o n , k i n ka n da n t i - k i n ks o l u t i o na r eg i v e na tv a r i o u sp a r a m e t e r sc o n d i t i o n s s o m ef i g u r e sa r ep r e s e n t e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i nc h a p t e r6 ，t h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c es y s t e m sa r ed i s c u s s e d b y i n t r o d u c i n gn e g a t i v ep o w e rt e r m sa n de n l a r g i n gt h es c o p eo ft h ec o m b i n a t i o nf u n c t i o n t ob o t hh y p e r b o l i cf u n c t i o n sa n dt r i a n g u l a rf u n c t i o n s ，w h i c hs a t i s f i e dar i c c a t ie q u a t i o n t h e g e n e r a l i z e d t a n h - s e e hm e t h o di s a p p l i e d t os o l v e t h e n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c es i n e - - g o r d o ne q u a t i o n c o m p a r e dw i t ho t h e rm e t h o d , m a n ym o r e s o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c es i n e - g o r d o ne q u a t i o nc a nb eo b t a i n e db y g e n e r a l i z e dt a n h - s e e hm e t h o d t h i sp r o v e st h ee f f i c i e n c yo ft h i sm e t h o di ns o l v i n gt h e n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n s 。t h e n , t h ef - e x p a n s i o nm e t h o di sm o d i f i e d t os t u d yt h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c es i n e g o r d o ne q u a t i o n m a n yk i n d so f s o l i t a r ys o l u t i o n sa r eo b t a i o n e db yu s i n gt h i sm e t h o d i nc h a p t e r7 ，t h es u m m a r ya n de x p e c t a t i o na r eg i v e n k 呵w o r d s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；n o n l i n e a ri n t e n s i t y ；s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ； n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c e s y s t e m ；c o m p a c t o n ；p e a k o n ； n o n c o n t i n u o u ss o l i t a r ys o l u t i o n ；b i f u r c a t i o n i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密回。 ，彳 、乏 坳妇 签 多 】 i p 1 1 1 撕 浑 副 毋 赵一 7 刁 名 日 签 弓椭扣 懈 月 论 e 雠 癣 剿 缈 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：孑7 i 乙露赵 日期沁艿年6 月亏日 第一章绪论 第一章绪论 自然科学和技术的发展，正在使传统的学科划分和研究方法发生深刻的变化。 学科问的相互渗透和传统学科与日新月异的新技术结合，促使大批综合性边缘学 科的孕育与发展。这种发展的一个重要特征是“非线性”。非线性科学是近三十年 来在综合各门以非线性为特征的科学研究基础上逐步形成的、旨在揭示非线性系 统的共同特征和运动规律的一门跨学科的综合性科学。非线性科学是继量子力学、 相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发展。非线性科学的发展从根本上影响和改变 着整个科学体系。 本文从应用数学角度出发，利用定量和定性理论研究一类具有广泛应用背景 的非线性波动方程及其孤立波的一些重要性质。下面将概述非线性波动方程及孤 立波的研究背景、研究现状和发展前景及本文的研究内容和意义。 1 1 研究背景 科学理论的研究总是从简单到复杂，从特殊到一般，从粗糙到精确，一步步 逐渐深化。因此，以数学为工具，以物理学为应用基础的自然科学在初期阶段总 是力图把描述对象简单化、近似化，在数学方面采取的一个重要办法就是线性化。 人们对于线性系统已经有了深入的了解和应用，而这些线性系统只是对复杂客观 世界的近似的线性抽象和描述。而非线性模型是对世界更真实更准确的反映。过 去人们在解决非线性问题时经常采用的策略是忽略非线性项，从而将一个复杂的 非线性问题纳入到线性理论的框架中，其结果是涉及复杂问题本质的非线性规律 被掩盖甚至抹杀了，无法揭示问题的本质和特征。相比于线性系统，非线性模型 能更好更准确地描述自然现象从而更接近现象的本质，这使得非线性科学得以产 生并蓬勃发展。由此，非线性系统得以大量涌现，从而研究这些非线性系统就顺 其自然地成为非线性科学研究领域的首要任务之。 无论是沿水面传播的水波，传播优美旋律的音乐的声波，伴随巨大破坏力的 地震波，能传播电视图像的电磁波及五颜六色的光波等宏观波动，还是组成宏观 物质的原子、电子、原子核等一切微观粒子所具有的物质波。在现代物理学中， 江苏大学博士学位论文：一类非线性波动方程的孤立波研究 人们总是把这些波动行为作为运动的基本形态来加以研究。至今为止，我们研究 的大部分物理现象和由此建立的物理理论等都属于线性理论，如经典力学、分析 力学、量子力学、电动力学、量子场论、量子统计学等都属于此范畴。但这种理 论只适合波的振幅极小，以至可忽略波或粒子间的自相互作用的情况。但是，自 然界中不是一切物质的运动或振动与波动都是小振幅的，或能忽略自相互作用的。 其实，非线性效应才是最普遍的。严格说任何物理系统都存在不同程度的非线性 作用。如粒子或晶格非简谐振动、固体在高温下和低温下的热胀冷缩现象、非线 性等离子震荡、浅水波在狭窄河道中的传播、激光和非线性光学等等。特别是在 生命系统和高分子材料系统中以及在极端物理条件，如低温、高压、高温高密度 等条件下，非线性现象更是司空见惯的。因此，研究物理学中非线性系统的相关 问题具有重要的意义。 非线性科学的发展促进了现代自然科学发生深刻的变化和一大类新兴学科的 诞生与发展，极大地影响着现代科学的逻辑体系。科学界认为，非线性科学的研 究不仪具有重大的科学意义，而且具有广博的应用前景，同时在非线性科学的研 究中已经涉及对确定论与随机性、有序与无序、偶然性与必然性、量变与质变、 整体与局部等范畴和概念的重新认识，必将深刻地影响人们的思维方式，并将涉 及现代科学的逻辑体系的根本性问题。一般认为非线性科学主体包括：混沌 ( c h a o s ) 、分形( f r a c t a l ) 、孤立子( s o l i t o n ) 和斑图( p a 仕e m ) ，也包括神经网络、元胞 自动机和复杂系统。 在非线性科学中，孤立子理论是推动非线性科学发展的重要理论之一，在自 然科学的各个领域起着非常重要的作用。一方面，它极大地促进了一些传统数学 理论的发展。另一方面，在流体力学、固体物理、等离子体物理、生物物理、核 物理、基本粒子物理、凝聚态物理、激光、低温超导和超物理流等物理学的各个 分支及数学、生物学、化学、通信等各自然科学领域得到了广泛应用。从微观粒 子的基本粒子强子到宏观物体的木星上的著名的红斑都可以认为是某类孤立 子，从漩涡线沿超导结上的传播，到光纤中电磁波的传输及生物学中神经细胞轴 突上传导的冲动，生物能量在蛋白质分子的传递等物理和生物现象都是由某些孤 立子的运动引起的【1 】。因此，物质的孤立子形态是自然界中广泛存在的一种物质 形态。可以预言，随着人们对它的广泛的研究，会发现更多物质以孤立子的形态 2 第一章绪论 存在和运动。孤立子是非线性系统中物质存在和运动的基本形态和普遍存在形式。 经过几十年的研究我们已经知道孤立波状态及运动在物理学中是大量存在 的。物质的孤立波形态是自然界中广泛存在的一种物质形态。那么，从物理上如 何来看待孤立波呢? 如何定义它? 以及孤立波的物理意义? ( 1 ) 就其波动而言，它是个孤立波。所谓孤立波就是指一大类非线性偏微分 方程的解。这种非线性方程一定同时具有色散项和非线性项，其波动具有“前无 古人，后无来者”孤孤单单的一类波。这类波既不是一般的线性平面波和物质中 的弹性波或同体内电子的德布罗伊波和布洛赫波，也不是一般的电磁波和光波以 及波包。它是波长为无穷大的局域性行波，它比平面波或正弦波具有更低的能量， 但它是由包括平面波在内的线性波在非线性作用的影响下畸变为局域的波动。这 种波在长时间的传递过程会保持其形状，振幅等不变的特性。因此它是不同于线 性波的一类特殊波。 ( 2 ) 孤立波的局域性表现在一个波动宽度范围内集中了波动的几乎全部的能 量和动量及振幅，而在传播或运动过程中，无穷远处波动趋于零或一个确定常数。 因此波的能量和动量、质量等总是有限的，并且在运动过程中它们又不会从这有 限区域内弥散开。正由于孤立子有这一特点，所以最早人们就将孤立子定义为一 个能量稳定的“团块”或“集团”，这定义赋予孤立子以物质的特性。 ( 3 ) 孤立子是具有粒子特性的孤立波，即它具有波粒双重性。这种粒子特性 可表现为以下几种现象：它具有一定能量和动量等一般粒子的特性；当两列 粒子波相互碰撞时可以象宏观粒子的碰撞特性一样，在碰撞后，可以保持其波形、 振幅不变而继续传播。这种碰撞特性可用反散射方法和数值计算等方法，从数学 上加以严格证明。也可以从实验或计算机模拟充分表现出来。因此人们常称孤立 子是在传播一个宏观距离后，能保持波形、能量、动量和准粒子特性不变的一种 物质形态。 ( 4 ) 孤立子不是线性理论中的元激发，而是非线性系统巾的准粒子。由于非线 性作用引起的波的畸变刚好阻止了波的色散，从而形成了一个稳定的波。因此孤 立子是色散效应与非线性作用相互影响，共同作用后形成的具有粒子特性的准粒 子。 孤立子的发现可追溯到一百多年前。1 8 3 4 年，英国科学家、造船工程师罗素 3 江苏大学博士学位论文：一类非线性波动方程的孤立波研究 ( r u s s e l l ) 在运河河道上看到两匹马拉着一只船迅速前进。当船突然停止时，被船所 推动的一大团水却不停止，它以很快的速度向前滚动着，高度约为0 3 0 5 米，长 约1 0 米。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢， 直n 1 2 英里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包 决不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波 的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失。他所看到 的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢f 若水无阻力，则不会衰减并 消失) 。1 8 4 4 年，罗素在他论波动的报告中，讲述了他1 8 3 4 年观察到的一种奇 特的水波现象，认为这种孤立的波动是流体力学方程的一个稳定解，并称之为孤 立波，也叫孤波。但没有从理论上给孤立波以圆满的解释。罗素的学说当时未能 使物理学家们信服他的论断，在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d e v ! r i e s 根据流体力学知识研究了浅水波的运动，在长波 近似和小振幅的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程。 同时，还得到这一方程的行波解，它属于周期性椭圆函数，所以称为椭圆余弦波 ( c n o i d a lw a v e ) ，在波长趋于无限的情况下，它描述罗素所发现的孤波的运动，而且 波形是c l l 2 。 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i 。p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计算机计 算一维非线性晶格在各个震动模之间的转换，发现在足够长的时间后能量不是均 衡分布而是又回到了初始的分布，得出了与能量均分定理相悖的f p u 回归定理。由 于f p u 问题是在频域里考察的，因此未能发现孤立波。后来t o d a 研究了这种模式的 非线性振动，得到了孤立波，使h u 问题得到圆满解答，从而激发了对孤立波研究 的兴趣。 1 9 6 5 年，美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的应用数学教授k m s k a l 和z a b u s k y 把 k d v 方程用于等离子体波的研究时，借助于计算机通过对k d v 方程的数值研究，详 细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞的过程，证实了“这类孤立波在相互作用 后波形不变，仍能保持各自的波形和波速的论断，这一特性使人们联想质点粒 子和波粒二象性等熟悉的现象，由于只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现，于 是将这种波定名为孤立子( s o l i t o n ) 。它的性质具体为：( 1 ) 能量比较集中；( 2 ) 相互 碰撞时具有弹性散射现象。在这之后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情日益 4 第一章绪论 高涨，在很多学科领域都发现了孤立子运动形态。相应地，在数学上发现了一大 批具有孤立子解的非线性波动方程，而且已逐渐建立起较系统的研究孤立子的数 学物理方法。随着孤立子理论的不断发展，在流体、同体物理、激光、电气工程、 等离子体、生物学、社会经济方程等领域相继发现了孤立子的存在。 目前对“孤立子”一词并没有准确的定义，多数作者称波形分布在有限的空 间范围内，且具有弹性碰撞性质，即碰撞后保持原有的速度和波形的孤立波为孤 立子。而对呈非弹性碰撞的一类波，仍称为孤立波。还有的作者称k d v 方程和其 它类似方程的单孤立波解为孤立波，多孤立波解为孤立子。也有作者认为，孤立 波和孤立子两词沿用至今，已无严格的区别。 1 2 研究进展 在数学、物理、工程技术等领域中，人们遇到了大量的非线性现象。这些现象 的定量描述往往需要借助非线性方程( 组) ，即它们是包含未知函数及未知函数偏 导数的非线性偏微分方程，其一般形式为h 。似t ，掰，m ，嚣，) = 0 ，k = 1 2 ，m ，其中 石= “，毛) 是空间变量，是时间变量，u = l ，一，h 。) ，“，= ，( 毛f ) 是未知函 数，日。是给定的函数关系，甩，z ，m 是自然数。对于上述方程，人们需要知道，它是 否较好地描述了要描述的客观现象? 它所揭示的运动规律是如何演化的? 一个系 数对运动规律的影响又有多大? 等等诸如此类问题的解决都涉及到对方程解的研 究。因此对非线性波动方程精确解的研究是人们认识物质运动规律的需要，精确 解的获得将为近似计算、定理分析等现实问题提供必备的基础。对非线性波动方 程解的研究，一般包括三个方面的内容，一是在难以求解的情况下，依据基础数学 知识对解的适定性分析研究；二是借助于计算数学的理论和计算机对解进行数值 模拟和分析，以助于人们对客观规律的直观理解和研究；三是应用某些数学技巧， 构造适当的变换求出方程的精确解。 从1 9 6 5 年至今，孤立子理论研究蓬勃发展，吸引了各国学术界的重视，国内 外学者从不同角度对孤立子理论进行了系统的研究，获得了丰富的结果。1 9 6 7 年， c s g a r d n e r ，j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m m i u r af 简称c a 3 刚) 提出了逆散射 方法【2 1 ，也称非线性f o u r i e r 分析，它解决了一大类孤子方程的求解问题。逆散射方 法的提出是应用数学的一次重大突破，它不仅为应用数学开拓了一个新领域，而 江苏大学博士学位论文：一类非线性波动方程的孤立波研究 且也为孤子物理学的研究提供了数学工具。逆散射方法解决了k d v 方程的求解问 题。随后p d l a xf 3 f 1 9 6 8 年通过引入l a x 对，将孤子方程的求解问题和求l a x 对 的问题联系起来，从而使逆散射方法的数学形式表述得更为简洁。此后几年，逆 散射方法被推广应用于其它孤子方程的求解。1 9 7 1 年，广田脚a ) 引入了一种获 得孤子解的直接方法- h i r o t a 双线性函数方法，用于构造许多方程的多孤子解和 b a c k l u n d 变换4 1 。该法通过引入位势的适当变换，将孤子方程化为双线性形式， 然后利用扰动法来获得孤子方程的多孤子解。1 9 7 2 年，前苏联的z a _ l 【l 瑚0 v 和s h a b a t 5 1 找到了非线性薛定谔方程的l a x 对，首次求出了立方非线性s c h r o d i n g e r 方程的孤立 子解，首次用实例证明了反散射方法的一般性。同年，m w a d a t i 6 求得m k d v 方 程的精确解。1 9 7 3 年，m j a b l o w i t z ，d j k a u p ，ac n e w e l l 和h s e g u r ( a k n s ) 将 逆散射方法用于s i n e g o r d o n 方程，求得其精确解。逆散射方法的提出和推广，解 决了一些重要的非线性方程的求解问题，极大地推广了孤立子理论的研究。随后 a k n s 于1 9 7 4 年将逆散射方法普遍化，使之能用于其它演化方程，学术界称之为 a k n s 法 7 1 。1 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g u r 和r a m a n f s 发现：对于可以用反散射方法求 解的非线性演化方程来说，其相似约化的所有常微分方程都有p a i n l e v e 性质，因此 他们给出一个猜测p a i n l e v e 猜测：一个完全可积的偏微分方程的每一个相似约 化的常微分方程具有p a i n l e v e 型，或者约化的o d e 经过变量变换之后具有p a i n l e v e 型f 8 1 。这个猜测提供了证明一个p d e 是否完全可积的必要条件。1 9 8 3 年，j w e i s s ， m t a b o r 和g c a r n e v a l e 弓i , k t p d e 的p a i n l e v e 性质( 或称p a i n l e v ep d e 检验) 的概念， 并且提出了一个与a b l o w i t z 用于判定o d e 的p a i n l e v e 性质类似的算法，利用p d e 的 p a i n l e v ep d e 检验可导出l a x 对和b a c k l u n d 变换。1 9 8 4 年w e i s s 又推广了p a i n l e v ep d e 检验的使用范围，引入条件p a i n l e v e 性质的概念。 我国的李翊神教授【9 】、屠规彰教授f 1 0 1 等，都为反散射方法的发展作出了一系 列的重要工作。另外，人们也把可片j 反散射方法变换求解的非线性演化方程称做 是i s t 可积。在我国，孤立子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代。当时杨振宁、李政 道、陈省身教授等回国讲学时，向国内同行介绍孤子理论的研究进展，并指出它 的重要性。随后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。 在这领域，我国的谷超豪院士、李翊神教授、楼森岳教授、胡星标教授、刘青平 教授、周子翔教授、范恩贵教授、周汝光教授、程艺教授、田畴教授等在这方面 6 第一章绪论 都有研究。1 9 9 6 年，王明亮教授、李志斌教授提出了所谓的齐次平衡法【1 1 】，也称 直接代数法，成功地求解了大批非线性演化方程。1 9 9 8 年范恩贵、张