（固体力学专业论文）渗流自由面问题的Trefftz方法.pdf

摘要 本文研究了渗流自由面问题的数值计算方法，推导了稳定和非稳定渗流自 由 面问 题的求解公式，给出渗流自由面问题中t r e f f t z 直接法和t r e f f t z 间接 法的边界积分方程以及相应的权函数和试函数，并比较了t r e f f t z 法与常规边 界元法的构造特点，分析了t r e f ft z 直接法和t r e f ft z 伽辽金法、 t r e f ft z 配点法的 优缺点。本文首次将 t r e f f t z法推广到渗流边界非线性问题，目前该领域尚无 用t r e f f t z 法求解的报道。 通过数值实验，本文验证了t r e f f t z 法求解渗流自由面问题的有效性。首 先，通过圆柱绕流问题的算例，比较了t r e f f t z 直接法和有限差分法、有限元 法、 常规边界元法的计算精度; 其次， 分别用t r e f f t z 直接法、 t r e f f t z 伽辽金 法和t r e f f t z 配点法计算了 均质土坝的 稳定渗流自 由 面问 题， 并将自由 面位置 与甘油试验值、 常规边界元法和有限元法的计算结果相比较; 最后， 用t r e f f t z 直接法和 t r e f f t z伽辽金法计算了均质土坝的非稳定渗流自由面问题，两种方 法得出的结果相互吻合。 对于这类可动边界问 题， 计算结果表明， t r e f f t z 法比 与其他几种数值方法，精度更高、计算量小、收敛性好，是行之有效的计算方 法。 为了 便于其他研究人员进行参考，本文对算例中遇到的几个典型问题进行 了分析和解答，并提出了该领域尚未解决和有待深入研究的课题。 关 键词 t r e f f t z 法 自 由面 稳定渗流 非稳定渗流 ab s t r a c t t h e n u m e r i c a l m e t h o d s f o r s e e p a g e p r o b l e m s w i t h fr e e - s u r f a c e w e r e s t u d i e d in t h i s p a p e r . t h e f o r m u l a t i o n s o f s t e a d y fl o w a n d u n s t e a d y fl o w w i t h fr e e - s u r f a c e w e r e d e r i v e d . m e a n w h i l e , t h e b o u n d a ry i n t e g r a l e q u a t i o n a n d i t s w e i g h t e d f u n c t i o n s , a n d s h a p e f u n c t i o n s o f t r e f f tz d i r e c t m e t h o d ( t d m) a n d t r e ff t z i n d ir e c t m e t h o d ( t i m) w e r e g i v e n t o s o l v e t h e s e p r o b l e m s . t h e d i ff e r e n c e s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t r e f ft z m e t h o d a n d c o n v e n t i o n a l b o u n d a ry e l e m e n t m e t h o d ( b e m) w e r e c o m p a r e d . t h e a d v a n t a g e s a n d d i s a d v a n t a g e s o f t d m, t r e f ft z g a r l e r k i n m e t h o d ( t g m ) a n d t r e f ft z c o l l o c a t i o n m e t h o d ( t c 叫 w e r e d i s c u s s e d . i t i s t h e f i r s t t i m e t o a p p l y t h e t r e f ft z m e t h o d t o s o l v e b o u n d a ry n o n l i n e a r p r o b l e m s . t h e r e i s n o r e p o r t o n t h e a p p l i c a t i o n o f t r e f ft z m e t h o d i n t h e r e s e a r c h f i e l d o f s e e p a g e p r o b l e m s n o w . t h r o u g h t h e c o m p u t e r e x p e r i m e n t s , t h e v a l i d i t y o f t r e f ft z m e t h o d o n t h e s e e p a g e p r o b l e m s w a s t e s t i f i e d . f i r s t , in t h e c a l c u l a t i o n o f c i r c u l a r c y l i n d e r , r e s u lt s o f t d m w e r e c o m p a r e d w it h f i n i t e d i ff e r e n t i a l m e t h o d ( f d m) , f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ( f e m) a n d b e m. s e c o n d l y , t h e t d m, t g m a n d t c m w e r e s e p a r a t e l y u s e d t o r e s o l v e a s t e a d y fl o w p r o b l e m i n a n e a r th d a m . t h e p o s i t i o n o f fr e e s u r f a c e c a l c u l a t e d b y t r e f ft z m e t h o d w a s c o m p a r e d w i t h t h e r e s u l t s o f g l y c e r o l e x p e r i m e n t a n d t h e r e s u l t s o f b e m a n d f e m. f i n a l l y , a n u n s t e a d y fl o w p r o b l e m i n a n e a r t h d a m w a s c a l c u l a t e d b y t d m a n d t g m w h i c h h a d a p p r o x i m a t e r e s u l t s . t o t h e s e p r o b l e m s w i t h a m o v a b l e b o u n d a ry , t r e f ft z m e t h o d n e e d l e s s c o m p u t e r t i m e a s w e l l a s i t s s a t i s f a c t o ry a c c u r a c y a n d c o n v e r g e n c e . i n a d d i t i o n , f o r c o n v e n i e n c e o f o t h e r re s e a r c h e r s , s o m e t y p i c a l p r o b l e m s i n n u m e r i c a l e x p e r i m e n t a n d t h e s o l u t i o n s w e r e l i s t e d i n t h i s p a p e r . k e y w o r d s t r e f ft z m e t h o d u n s t e a d y fl o w fre e - s u r f a c e s t e a d y fl o w 渗流自 由面问 题的t r e fl t z 方法 绪 论 绪论 1 .计算力学方法回顾 早在 1 9世纪，力学家们己建立了一系列流体力学、弹性力学的基本方 程，然而这些方程的求解至今仍在研究发展中，计算始终是力学家、数学家 最关注的问题之一。 在计算机问世之前，方程一般只能用解析的方法求解，数学家、力学家 为求得精确解， 极大地丰富和发展了数理方法。 但是， 应当看到，能求精确 解的课题毕竟有限，主要是线性问题，数理方法讲的，主要也是线性体系的 理论与求解。对于那些不能忽略非线性因素的问题，数学家、力学家也为此 发展出一整套以小参数法为其基础的摄动法、 渐近法、 逐次迭代的牛顿法等 m, 2 0 世纪 初， r u n g e , r i c h a r d s o n 和l i e b m a n n 提出了 求 解 调 和方 程的 五点差分离散格式和迭代解法，1 9 4 6 年，第一台电子计算机e n i a c问世， v o n n e u ma n n 在一份报告中预言:数值方法将取代解析方法解决流体的非 线性问题2 ; 。自 此，迅速出现了大量的算例，各种数值方法的理论研究也相 继 展 开 。 1 9 5 6 年， t u m o r , c l o u g h 等 力 学 家 在 结 构 力 学 矩 阵 法 的 直 观 离 散 基础上， 将平面连续体剖分为有限个三角形单元和矩形单元， 用结构力学的 矩阵 位移 法成 功 地求 解了 平 面 应力问 题， c lo u g h ( 1 9 6 0 年) 率 先 采 用 了“ 有 限 元法 ( f e m ) ” 一 词13 1 . 1 9 6 3 年， j a w s o n i l , s y m m is l等 在位 势 理论 方 面 提 出了积分方程法;1 9 7 3年，r i z z o提出了边界积分方程法 ( b i e m)这一术 语 ob i ; 1 9 7 7 年， b a n e 巧 e e 和b u t t e r f i e l d 7 ) , b r e b b i a 和d o m i n g u e z m 提出 了 边界单元法 ( b e m) ;同一年，l u c y 9 1 提出t s m o o th e d p a r ti c le h y d r o d y n a m i c s ” 方法( 光滑质点 流体动 力学 方法， 简 称s p h法 ) ， 即 无 单元 法的前身。 1 9 6 5 年， h a r l o w和f r o m m在 s c i e n t i f i c a me r i c a n 杂志上发表t“ 流 体 动 力 学 的 计 算 机实 验” 一 文， 几乎 同 时 ， m a c a g n o在 法国 l a h o u i ll e b l a n c h e 杂志上发表了“ 水力学模拟的某些新方面”的论文。两文第一次 明确提出计算机实验和数值模拟的新概念， 这标志着计算流体动力学作为一 独立的学科正式形成(2 1 0 在， 夫矛 渗流自由 面问 题的t r e t l t z 方法 绪 论 近年来，除了有限差分法、有限元法、 边界元法等常用数值方法外， 流 体 体 积法 1, o t( v o f ) 也 成为计 算流体力学的 重要 方法之一。 该方 法自1 9 8 1 年 提 出以来一直受到重视， 在自由液面重构问题上有较大优势fi l l ，开创了输运界 面重构方法的新方向。 2 .数值方法概述 随着计算机科学的发展， 计算流体力学也得到了迅速发展， 特别是数值 方法的 研究有了很大的 进展。 数值方法研究主要包括数学模型的离散化方法 研究、计算机求解离散化方程的数值算法研究以及两者的可靠性、 有效性的 研究12 1 。这里简要介绍论文中所涉及到的几种最常用的数值方法。 ( 1 ) 差分法 差分法是计算流体力学中最重要的离散化数值方法之一，该方法从 数学的角度用差分代替微分，将力学中的微分方程转化为代数方程，从 而大大拓宽了 力学的应用范围。自r u n g e等提出 差分算法之后， c o u r a n t . f r i e d r i c h s 和l e w y 于1 9 2 8 年 第 一 次 提出 了 差 分 方 法 的 收 敛 性问题， 并证明了对双曲型方程收敛的c f l条件， 使得对差分方法的认 识提到了新的高度r 1 。计算机问世后，差分格式的理论研究在相容性、 收敛性和稳定性方面取得了卓有成效的进展， 并扩展到耗散性、 色散性、 传输性、单调性和守恒性等多方面的理论分析。该方法主要用于区域形 状较为规则的问题，区域几何形状复杂时计算精度往往有所降低。但对 于某些问题，差分法有其独到的优势。时至今日，有限差分法在流体力 学1 2,1 3 1等领域还占 有重要地位。 ( 2 ) 有限元法 有限元法最初是建立在传统的r i t z 法基础上的， 该方法利用变分原 理导出 原问 题的代数方程组， 先将求解域离散为有限个子域 ( 单元) ， 再 对每个单元函数作近似插值，得单元刚度阵， 然后组装单元形成总刚， 最后求解线性方程组。有限元法的最大特点是实现了 统一的计算模型、 离散方法、数值求解和程序设计方法，从而能广泛地适应求解复杂结构 的力学问题。因此，该方法自问世至今已 得到了迅猛发展，其应用领域 早己从最初的结构和固体力学扩展到流体力学、热传导、声学、电磁场 理论等其他领域， 许多大型工程软件也相应问世。 根据不同的变分原理， 夜皿 k矛 渗流自 由面问 题的t r e f ft z 方法 绪 论 又派生出各种不同的杂交元、混合元等有限元方法1 4 - 1 7 1 ，还有将频率引 入位移函数构成的动态有限元法11 8 ,1 9 1 、用于结构可靠性分析的随机有限 元法 12 0 ,2 1 1 等。 有限元法不足之处是网格划分比 较困难， 随着计算精度要求的 提高， 计算量十分庞大，特别是对于可动边界问题，反复划分网格大大增加了 计算时间。 ( 3 ) 边界元法 边界元法是继有限元法之后发展起来的一种求解力学问题的数值方 法，与采用内部区域离散的有限元法相比，边界元法充分利用域内已 知 的 解析解( 如基本解、 完备解等) ， 使域内 控制方程预先得到 满足， 只须 对边界面离散的方法6 ,2 2 1 。边界元法的优点是应用 g u a s s定理使问题降 维，将三维问题化为二维问题，将二维问题化为一维问题，大大减少了 未知数和计算工作量，并保持了较高的精度. 但是边界元法的局限性是必须求得问题的基本解，而对于非线性问 题，基本解的求解十分困难。因此，边界元法通常被定位于有限 元法的 一种重要的补充。 近年来边界元多极快速算法在计算力学界受到普遍重视，它对一些 大规模的工程问题能达到比有限元法更高的效率，这一突破性进展为边 界元法的工程应用展示了广阔的前景2 3 1 e ( 4 ) 无单元法 无单元法提出后，由于其精度和稳定性问题，并没有得到广泛的应 用。 直到1 9 9 2年， n a y r o le s 等人 引 入 滑 动 最小 二 乘 法 ( m o v in g l e a s t s q u a r e s m e t h o d ，简称 m l s m ) ，提出t一种新的方法“ d i f f u s e a p p r o x im a t i o n a n d d if f u s e e le m e n t m e t h o d ( 散 射 元 法， 简 称d e m ) ， 无 单 元方 法 才得到了 进 一步 的 发 展 2 4 1 。 随 后b e l y s c h k o 等 人 在1 9 9 4 年 对d e m进行了改进，基于ml s m近似以 及g a l e r k i n原理，利用背景 网格进行积分计算， 提出了一种新的数值方法 t h e e l e me n t f r e e g a l e r k i n m e t h o d ( 无单元g a l e r k i n 法， 简称e f g m ) 1u 1 a 2 0世纪末，基于 ml s m 而建立的各种无单元法大约有十几种，如 r e p r o d u c i n g k e rn e l p a r t i c l e m e t h o d ( 再 生 核质点 方 法， 简称 r k p m ) . t h e f i n i t e p o i n t m e t h o d ( 有限 点 法， 简 称f p m ) 等2 4 1 。 其中 夜里 孟矛 渗流自由面问题的t r e f t z 方法绪 论 s p h, f p m等采用配点格式， 是真正的无网格法， 而e f g m, r k p m等 需要背景网格作为积分域，但这种无网格法精度较高。 3 .渗流力学研究现状 ( 1 ) 渗流的研究内容 渗流现象广泛地存在于自 然界、工程材料、人体和动植物体中。渗 流力学研究的是多孔介质内流体的运动规律，研究的内容可分成地下渗 流、工程渗流和生物渗流。存在于岩石、土壤及地表堆积物中的流体渗 流称为地下渗流，它包括地下水、石油、天然气、煤层气、地热等资源 开发涉及的渗流，水库蓄水、农田水利、土壤改良、污水地下处理、地 面沉降、降雨入渗导致滑坡、地下国防工程、岩浆流动、海洋地壳中的 流动所涉及的渗流等。存在于人造多孔介质或工程装置中的流体渗流称 为工程渗流，它涉及化学工业、冶金工业、原子能工业、机械工业、建 筑工业、轻工食品等多个部门。存在于人体和动植物体内的流体渗流称 为生物渗流，它包括人体和动物体内的毛细血管中的血液流动与呼吸系 统的气体流动，植物体内的水分糖分的流动等2 6 1 0 ( 2 ) 渗流的研究状况 1 8 5 6 年， 法国 工 程师 达 西 ( h . d a r c y ) 在 设计d ij o n 城的 公 共 供 水 工 程时通过试验建立了多孔介质渗流的基本定律达西线性渗流定律。 2 0 世纪2 0年代，建立了单相气体在均质介质中的渗流方程，其稳态渗 流方程具有拉普拉斯方程的形式，其非稳态渗流方程为非线性抛物型方 程。 2 0世纪 8 0年代，郭尚平、刘慈群、陈钟样等深入研究了 双重、 三 重及多重介质渗流问题2 7 - 2 9 ) . 2 0 世纪9 0 年代以来， 物理化学渗流3 0 1 、 非 等温渗流3 1 1 、非达西非线性渗流(3 2 1 等问题都取得了可喜进展。随着非线 性科学理论和实验方法及计算机技术的进一步发展，渗流理论及其在工 程中的应用研究将进入崭新的阶段。 ( 3 ) 计算渗流力学 渗流力学能较好地解决油、气、水开发工程及地质工程、环境工程 等领域中提出的复杂力学问 题， 这是与应用和研究新的数值方法分不开 的。 2 0 世纪5 0 年代初， g . h. b ruc e , d . w. p e a c e ma n用有限差分法在 计算机上求得了 理 想气体非线性非定 常 渗流的 数 值解; 1 9 5 9 年， d o u g l a s 权军 止李 渗流自 由面问 题的t r e f f z 方法 绪 论 研究了两相多维渗流非线性微分方程组的数值计算方法;1 9 6 6年， z i e n k i e w i c z 把有限元方法用于二维定常渗流计算:1 9 6 8 年， j a v e n d a l . wi t h e r s p o o n 进一步用有限元法求解了 非定常渗流问 题2 6 1 0 8 0 年 代后， 国内外普遍地应用计算机进行渗流问 题的数值计算和模拟，主要方法有 差分法、有限元法、边界元法和无单元法。t r e f f t z 法在渗流力学中的应 用尚无先例。 本文将t r e f f t z 法应用到渗流力学问题， 是在该领域中一次 新的尝试。 4 . t r e f f t z 法研究进展 t r e f f t z 法是由t r e f f t z 3 3 在 1 9 2 6 年首 先提出 的， 他将这一 方法应 用于 求 解l a p l a c e 方程的d i r i c h l e t 问 题。该方法属于 边界型解法， 直到2 0 世纪7 0 年 代才 逐渐重 新引 起了 学 术界的 重 视。 7 0年 代以 前， 只有 b ir m a n 3 4 - 3 6 1 r a f a l s o n 3 ,3 8 1 等人对t r e ff tz 法做了一定的 研究和推广。 1 9 9 5 年， a d v a n c e s i n e n g i n e e r i n g s o f t w a r e 杂志出版了一期专刊，以 纪念t r e f f t z 法7 0 周年的发展 历程。在 1 9 % 年、1 9 9 9 年和2 0 0 2 年，已 先后召开了三届t r e f r t z 法的国际 会议，研讨t r e f f t z 法的最新发展情况和研究成果。 在经典t r e f f z 法中， t r e f ft z 函 数 ( t 一函数) 表示的近似解中， 待定系 数通过边界条件的某种加权残数方式确定，属于间接法。其代表人物为 h e r r e r a 3 9 ,4 0 和z i e l in s k i ( 1 2 1 . 1 9 8 9 年， c h e u n g , j i n , z i e n k ie w i c z 等 人 4 ,4 2 提 出了t r e f ft z 直接法。 在其后的 研究中， 金吾根等4 3 - 4 6 1 将t r e f f t z 直接法应用 于势流、平面弹性、 平板弯曲、波浪载荷、薄板振动、中厚板和平面压电 材 料等问题。直接法的提出，完善了t r e f f t z 法的理论体系，结束了t re ff z 法 无直接解法的历史。 随着t r e f f t z 法研究的不断深入， 这种以 满足控制微分方程的齐次解为权 函数的思想渐渐得到采纳， 使t r e f ft z 法不仅仅局限于边界元的范畴。 以其为 指导思想， 与有限元法相结合的数值方法也逐渐发展起来。 j i r o u s e k , p i l t n e r , z i e n k i e w i c s 和t a y l o r 等 人致力于 运用t r e ff t z 函 数为 插值函 数构造 对称的 有 限元刚度阵，只须在单元边界处进行积分，导出了杂交 t r e f ft z有限元法 ( h y b i r d t r e f ft z m e t h o d ) 。这是一种典型的将t r e f ft z 法与有限 元法相结合的 数 值 方 法。自j ir o u s e k 和g u e x 4 7 提出 杂 交t r e f ft z 单 元的 概念以 来， 该 方 法 作为一种高效的数值工具， 被应用到平面弹性问 题、薄板弯曲、厚板弯曲、 夜里 天矛 渗流自由面问题的t r e fl t z 方法 绪 论 p o i s s o n 方 程、 壳 体问 题和 热 传导 等 各 个力 学 领域 4 8 - 5 1 t r e f ft z 法自受到重视以来， 已 广泛应用于自 然科学的各个领域。 z i e l i n s k i a . p . 和z i e n k i e w i c z o . c . 15 2 1 将t r e f f t z 完备函 数引 入 有限 元法， 求解了 广义调 和方 程; y . k . c h e u n g , w . g . j in e . k i t a 等人5 4 将 t r e f f t z 直接法与区域分解法相结合，研究了二维势流问题，继而又求解了非 线性p o i s s o n 方 程5 5 ， 最近还将t r e f ft z 法 应用于倾斜机能材料的 热传导问 题 5 6 ; k . y . s z e 5 7 1 、 秦庆华5 8 等将t r e f ft z 法应用于平面压电 材料问 题; j . c . c h a n 扩 9 ,6 0 等 用t r e ff t z 直接 法 求 解了 薄 膜 振 动问 题， 用t r e f f tz 间 接 法 求 解了 二维自由振动问题。 随着应用范围的推广， 许多t r e ff t z 法的实际应用问题也得到了研究。 j i n w . q 等 6 1 在 运 用t r e ff t z 法 解厚 板问 题时 发 现了 一 类新的“ 自 锁 现 象” ， 并 提 出 了“ 变 量 减 缩 法， 来 解 决 这 一 问 题; z il e n s k i 6 2 , r e u t s k iy 6 3 研 究 了t r e f ft z 型试函 数的构建; p o rt e l a 6 4 研究了t r e f f tz 法的编程，为t r e f f t z 法的 运用提 供了方便的工具。 在解决实际问题的同时， 研究人员也从理论上对t r e fz 法进行了 研究。 e . k i t a 6 5 1 提出了 一 套 利 用t r e f ft z 法 研究 边 界 敏 度分 析的 方 法: j ir o u s e k 6 6 1 , 秦庆华5 1 等回顾并评价了t r e f ft : 有限 元， 指出 这种单元不仅吸收了 传统有限 单元和边界单元的优点，摒弃了它们的不足，而且还具有自身的特点，如在 有限元应用时仅需在边界上进行积分、 对于孔洞、 角点和裂纹等带局部效应 的问题非常有效，不需另外细分网格，等等。 近年来，t r e f f t z 法由于其避免奇异、计算效率和积分精度高、边界附近 数值稳定等优点逐渐引 起了 学术界的重视， 并得到了越来越广泛的应用。 然 而， 在渗流自由面问 题的应用尚无先例。 本文旨 在将t r e f f t z 法运用到平面渗 流自由面问题，是在这一领域的一次新的探索和尝试。 5 .本文的主要工作 ( 1 )从l a p l a c e 方程出发，构造t r e f ft z 型边界积分方程，分别推导了t r e f f t z 直接法和t r e ff t z 间 接法( 配点法和伽辽金法 ) 求解平面位势问 题的方程， 从构造方式上比较了t r e f f t z 法和常规边界元法的边界积分方程、 权函数 和试函数。 藕耳 夫矛 渗流自由 面问 题的t r e f ft z 方法绪 论 ( 2 ) 将t r e f f t z 法推广到边界非线性问 题， 分别用直接法和间 接法求解渗流自 由面问题，给出了相应的迭代格式。 ( 3 ) 通过3 个算例:即 平面绕流问 题、 稳定渗流自由 面问 题和非稳定 渗流自 由面问题，将数值结果和其他数值方法做比较，验证t r e f f t z 法求解渗流 自由面问题的优势。 权s 大矛 渗流自由面问题的t r e f f t z 方法 第一章 第一章 t r e f f t z 法 本章以 二维l a p l a c e 方程为例， 首先分别介绍t r e ff t z 直接法( t d m ) 和t r e ff t z 间 接法( t i m ) 中的t r e ff t z 配点法( t c m ) 和t r e ff t z 伽辽金法( t g m ) 。 其次， 将t r e f ft z 法和常规边界元法( b e m ) 的边界积分方程、 权函数和试函数分别一一做了 对比， 并阐述了它们各自的优缺点。 t r e f f t z 直接法 ( t d m) 1位势问题的数学模型 为简单起见，下面以 位势问题为例，分别介绍了t d m , t g m 和t c m 各自 的构 t且1 : 11. 造方法和特点。 二维位势问题，其控制方程和边界条件为: v 2 9 = 0 i n 。 ( 1 ) p -尹a 少= 二9 o n e o n 几 ( 2 ) 其中，0 ， 为l a p l a c e 算子， w 为未 知势函 数， q = a cp / a n 为 边界r的 法向 导 数，ot 和q 为己 知函数， 且边界 r =r , +r 1 . 1 . 2 i y e f f 。完备函数系 考虑单连通域内的l a p l a c e 问题， 任一调和函数可表示为 f ( z ) 一 艺a z = 艺r ( a c o s n o 仙。 s in n b ) / 其中的基函数构成 l a p l a c e方程的 完备解，因 此， 我们可以写出 方程( 1 ) 在 平面内域问题中的完备函数系，其不同形式有 b = r e z , i m z ; 。 一 。 ， 1, 1 , r c o s n 0 , r 1 , x , y , x 2 一 y a s i n n b; ， x y , 。 一 ;， : ， ( 3 ) jl.t了iji，、口、 其中 同样， e为极坐标形式， 对于平面外域问题 x , y 为直角坐标形式。 其完备函数系的不同形式为 掇军 止矛 渗流自由面问题的t re fl t z 方法第一章 b = ln (x in r ， + y 2 ) , r e z - , i m z - , n = 1 , 2 , ， ， r 一 ” c o s n o , r - s in n o ;n =1 , 2 , 一 ln(x2 ” x一y x 2 + 夕 2 x 2 + 少 2 1 . 1 . 3 t r e f f t z 直接法的边界积分方程 偏微分方程( 1 ) 和边界条件( 2 ) 可用加权积分方程表示为 i w 0 2rp d q + j. (, 一 rp ) w d r + k , (q 一 q ) w , d r 一 “ 其中w , w, , w2 为任意权函数，可以将wl , w2 定义如下 ( 4 ) w ; = a w 一 ， ， w 2 一 on ( 5 ) 将( 4 ) 式左边第一项分部积分，即 工 w o zrp “一 f w g d r 一 .6 v w * v p d f l 再分部积分一次，得 工 w 0 2 rp 一 i w g d r 一 i q) q d i + l v 0 2w d n 由( 1 ) 式得 工 rp v 2w .一 于 w g d f + 手 rp q d r ( 6 ) 若取权函 数 w满足o 2 w= o ， 则 ( 6 ) 式左端为零。 根据( 3 ) 式可获得各项 权函 数w 八习 惯 上 写 成n ; ， 而q ;* = a n ;/ a n ， 习 惯 上 写 成t ; j 表 示 权 函 数 序 号 。 在 边 界 上 划 分 单 元， 用 单 元 节 点 变 量 插 值 得中 和q ， 则 整 个 边 界 上， 有 07 = if4 ia 9 一 y- n u 4 , o n 几 o n 玩 ( 7 ) 其 中 ， n ,， 和n z ， 为 形 函 数 ， 一 般 为 多 项 式 插 值 函 数， 0 和q ， 分 别 为 边 界 节 点的水头和速度值，i表示节点编号。将( 2 ) 式和( 7 ) 式代入( 6 ) 式，并写成矩阵 形式，可表示为 h x二f 灌， 夫李 渗流自由 面问 题的t r e m2 方法 第一章 其中 、一j才、.尹 0价q f、廿1、 w x=s 。l t q j h = 勿 -n 2 d r 一 灯 -n , d r ， 一 工 t t v d r - 工 n t q d r t 一 塑 加 1 . 1 . 4 t r e f f t z 直接法的单元类型与插值函数 t r e f f t z 直接法只在边界上插值， 可采用l a g r a n g e 插值、 h e r m i t e 插值或样 条插值。 l a g r a n g e 形式的k 次插值公式为 n麟 l k ( x ) 二 x一x x k一x . ( x 一 x o ) . . . ( x 一 x * 一 ; ( x k 一 x . ) . . . ( x * 一 x k _ , ) ( x 一 x k + l ) . . . ( x 一 x) ) ( x * 一 x k , ) . . . ( x * 一 x) 一维h e r m i t e 多项式为 _ 上 1 2 h ( x ) = ( - 1 ) d e 二j e 宝 x d x 样条插值函数为 n ( s ) 二 艺( - 1 ) k ( 脚+ 1 ) ! 了下一 一 ， 厂-悄 十 k ! 气 m +t 一k ) : m +l 一 k ) 0 / m ! ( m _ 0 ) 本 文 算 例 采 用 了l a g r a n g e 插 值 ， 根 据( 7 ) 式 中 所 取 形 函 数 n r , n 2 i 的 不 同 ， 可分为常数元、 线性元、二次元， 这三种单元的形函数也即试函数， 写成参数形 式，分别为 _ 上 二 ， 竺 二 i 2 2 ( 常数元) 线性元) nn a i _ r 戮 一 ! ) i v = . ， 2 4b + 1 ) 2 1 一 梦,( 二 次 元) 夜军 义李 渗流自由面问题的t r e fi i z 方法 第一章 1 . 1 . 5 t r e f f t z 直接法小结 t r e f f t z 直接法吸收了 传统边界元直接法以节点 物理量为未知数的直观、 便 于应用的优点， 该方法采用非奇异的完备解为权函数， 主要具备了以下两大优点: i . 未知数为具有实际意义的物理量; n ， 避免了奇异积分。 然而这种方法也存在不足: i . 总系数矩阵对角元不占优，会影响矩阵性态; n 系数矩阵不对称，且为满阵，在求解大型问题时会影响计算的效率; i i i . 只能用来求解边界上的未知量，若要求域内值，仍须依靠其他方法，如 t c m 或 t gm o 1 . 2 1 . 2 . 1 t r e f f t z 间接法 ( t i m ) t ref f t z 间接法的边界积分方程 直接从边界条件( 2 ) 出发，其加权残值形式为 i d f 十 价 一 司 w z d r 一 0 式中， 位势， 用完备函数的线性组合表示， 其必然满足控制方程( 1 ) 式中的完备函数各项为u ; ，则，可表示为 ( 1 0 ) 设( 3 ) 价 =必 =a , u , +a 2 u 2 +- - - +a m u m=u * t a a , q , +a 2 g 2 +. . . +a n g n= q - a 其中 u t = lu , .lu l l q t 一 lq , ,q 习 q * = a u rl i n 为流量， n 是完备基函数的项数， a 是待求的 未知参数向 量。 式( 1 0 ) 中权函数可任意选取， 根据不同的取法可分为不同 类型的t r e f f t z 法 4 6 1 ， 其中 最 主 要的 两 种为t r e f f t z 配点 法 仃 c m ) 和t r e f f t z 伽辽 金 法 (t g m ) ( 1 1 ) 间接 1 . 2 . 2 t re f f t z 伽辽金法( t g m) 按照加权残值法的观点， 伽辽金法实际上是试函数和权函数取为同类函数的 加 权 残 值 法 。 伽 辽 金 法 取 权 函 数w ,= q = q 、和w 2= 下 一u t a ， 将 权 函 数 和 ( i 1 ) 掇耳 j,矛 渗流自由面问题的t re f f z 方法第一章 式分别代入( 1 0 ) 式得 ! q (u t . - u ) d r 一 j u * (q ,、 一 q ) d r r ,几 !、.饭 t a .udr f q u *t d r 一 j _ q t d r 写成矩阵形式为 k a=f ( 1 2 ) 其中 i u ,d f 一 仁 q *d f 口二 r.，.rl l一 少 k f , = f q i u d f 一 f u , q d r r , r , ( 1 3 ) 由( 1 2 ) 式求得a ， 代回( 1 1 ) 式， 就可求得全域上的位势w 和流量q。 可以 证 明 (+l， 这样得到的系数矩阵k 是对称的。 t g m的特点如下: 1 . 系数矩阵为对称阵，使得这一边界元法能够与有限元法结合。 n . 在某些问 题中完备解系中的低阶项可能导致k 阵的奇异性，需事先设法 排除。 i i i . 与配点法相比， 伽辽金法的精度较高，能够用来求解一些比较复杂的问 题。 1 . 2 . 3 t r e f f t z ie点法( t c m) 配点法取6 函数为权函数，即 峨 = s ( x 一 x i ) ( i = 1 ,2 ,3 , . ., n , )。 甄 叫= -5 ( x 一 x i ) ( j = 1 ,2 ,3 ,. n z )。 r 2 x 和礼 分 别 为 在玩 和几 上 配点 的 位置 ， 。 。 和n 2 分 别 为 r , 和几上 所 取的 配 点 个 数 同 样， 将配点法的权函数和( 川 式代入方程( 1 0 ) ， 就得到由n , + n 2 个方程组 成的关于n 个广义参数a 的线性代数方程组( 1 2 ) 式. 求解这一代数方程组， 得到广义参数a ， 将其代入( 1 1 ) 式， 即可得到配点 残 差最小的位势函数， 。 藕s -.1, 矛12 渗流自由面问题的t r e t tt z 方法第一章 t c m有以下优点: i . 方法简便，易于运用; 1 1 . 计算效率高，耗时少; 其缺点是: 1 . 计算结果受配点位置和配点个数的影响较大; i i系数矩阵k不对称且为满阵。 t c m 虽然简单直观，计算效率高，但精度不够，但是由于计算结果与配点 方式有关，往往影响了计算精度，因此，较适用于对称性较好、边界条件简单、 边界形状较规则的问题。如遇到边界形状不规则的问题，需格外小心。 1 . 3 i y e f f t z 法与边界元法的比较 1 . 3 . 1 构造方式的比 较 与边界元法相同， t r e f r z 法也属于边界型解法， 但其边界积分方程、 权函数、 试函数的构造和选取与边界元法有根本区别，从而使 t r e f r z法比边界元法性态 更为优良。仍以二维势流问题为例: v 2 中二0 巾 =中 q=q 任 o 任 r , 。 r z ( 1 2 ) ( i )边界积分方程 边 界型数值 解法中， 最常用的 边界积分 方程有 4 6 1 . ( a ) g r e e n 公式 这是边界元直接法的基本公式，其表达式为: ( w .v z 。 一 (d v z w ) 一 f (w n一 (d a w *. ) d r “一a n a n - ( 1 3 ) 其中，带星号的是权函数， 方向导数。 _ a 甲 和 a n 分别表示问题中的未知函数值及其 ( b ) g a l e r k i n 积分公式 这是一种加权残数方程，是t r e f ft z 间接法的基本公式，其表达式为: 工 叩， 一 ;5 )d r 十 工 盼“ 一 。 d r 一 “ ( 1 4 ) 藕军 al矛 渗流自 由面问题的t r e f r z 方法 第一章 、 ， _、。_ _ _ . _ _ _ _ _ . _ _ _、_a 巾、 .，_、 r _。一 二 二 共甲，仪圈戴 w , 利w z n j 仕怠选取。q= 下 -，刀木5k u 田数w k r j 力i p i 详鳅。 口月 另外， 还有f r e d h o l m积分方程、 c a u c h y 积分公 式、 变分式等形式。由 于后三种积分方程与本文关系不大，这里不一一列出。 ( 2 ) 权函数 权函数的选择主要有两种: ( a ) 边界元法以g r e e n 函数为权函数 g r e e n函数即控制方程的基本解，权函数满足方程 v l w + 四= 0 i n 。( 1 5 ) 其中，a 即6 函数。对于二维调和方程，w 将w 的表达式和