（光学专业论文）多元thuemorse超晶格光学特性理论研究.pdf

中文摘要 i fr lii l f ll lr i l li iiii y 17 6 8 0 3 4 摘要 多元t h u e m o r s e 超晶格光学特性理论研究 专业：光学申请人：李玉红导师：杨湘波 本学位论文主要研究了基于t h u e m o r s e ( t m ) 和t h r e e - c o m p o n e n tt h u e m o r s e ( 3 c t m ) 准周期序列的推广模型m u l t i c o m p o n e n tt h u e - m o r s e ( m c y m ) 超晶格的光 透射性质 首先，在一维t m 和3 c t m 基础上，我们将系统的单元数推广到m ( m 4 ) 元，构造了按照多元t m 序列排布的光学超晶格，描述了m c t m 序列的结构特 征m c t m ( m 4 ) 模型的替代法则中每列单元( 无论是被替代的单元还是替代 的两个单元) 都满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，咖) 构成的环状循环关系，这样就导致m c t m 系 统具有类似分形的结构，其相邻序列具有嵌套关系 利用电磁场传播理论和的单位模矩阵特性，我们解析推导出了该类系统在中心 波长处的光传播矩阵元公式研究发现：该类系统的传播矩阵c 元) 是赝2 m 循环的， 光透率是赝m 循环的；所为偶数和奇数时的情况不同，其传播矩阵元的指数都与有 趣的帕斯卡三角形系数有关 其次，我们利用。分解一替换法”( d e c o m p o s i t i o n s u b s t i t u t i o nm e t h o d ，简记为 d s 方法) 对m c t m 系统的赝循环光透射性质进行了分析发现m c t m 序列全部具 有光学类分形结构，从第坍+ 1 代起序列都可以分解为有趣的b a s i cc o m p o n e n t 和 e f f e c t i v ec o m p o n e n t 单元，而且它们组成的光学超晶格之间可以进行( 不) 完全等价 替代 册= 2 和m = 3 时，m c t m 系统的第，代序列和第，+ 2 m 代序列的替代是完全 等价的，从而导致二者的传播矩阵元完全相等，使得t m 和3 c t m 光学超晶格的光 i i 华南师范大学硕士学位论文 1r一1_一 传播矩阵具有循环特性；而m 4 时，系统的第，代序列和第，+ 2 m 代序列的替代 是不完全等价的，这将导致二者的传播矩阵元之间只具有底数相同、指数不同的规 律，即其传播矩阵( 元) 是赝2 m 重循环的所以，聊c t m 虽然是在t m 、3 c t m 模型 的基础上扩展而来，但其物理性质已经发生了质的变化 最后，本文以4 c t m 系统为例对分解和不完全等价替代过程进行了详细的展示， 比较光垂直入射时在中心波长处的解析结果和数值结果，进行了分析和讨论m c t m 光学超晶格的( 赝) 循环光透射性质对于实验工作者开发、设计某些复杂的光学器件 具有潜在的应用价值 关键词：超晶格；光透射；多元t m ；赝循环 英文摘要 i i i a b s t ra c t o p t i c a lt r a n s m i s s i o nt h r o u g hm u l t i c o m p o n e n t t h u e - m o r s em u l t i l a y e r s m a j o r ：o p t i c sn a m e ：y u h o n gl is u p c r v i s o r ：x i a n g b oy a n g i nt h i st h e s i sw em a i n l yi n v e s t i g a ：t ct h eo p t i c a lt r a n s m i s s i o nt h r o u g hm u l t i c o m p o n e n tt h u e - m o r s e ( m c t m ) m u l t i l a y e r so nt h eb a s i so ft h u e - m o r s e ( t m ) a n dt h r e e - c o m p o n e n tt h u e m o r s e ( 3 c t m ) a p e r i o d i cm o d e l s f i r s to fa l l ，g e n e r a l i z i n gt h u e m o r s e ( 1 m ) a n dt h r e e - c o m p o n e n tt h u e - m o r s c ( 3 c t m ) 一 q u e n c ew ep r o p o s em c t mm o d e la n ds t u d yt h eo p t i c a lt r a n s m i s s i o nv e r t i c a l l yt h r o u g ht h em c t m s u p c d a t f i c e i ti sf o u n dt h a ta tt h ec e n t r a lw a v e l e n g t h , t h ei n d i c e so ft h ep r o p a g a f i o n m a t r i xe l e - m e r i t s ( p m e s ) a 咒a l lr e l a t e dt ot h ec o e f f i c i e n t so fp a s c a lt r i a n g l e ，a n dt h ep r o p a g a t i o nm a t r i c e s ( p m s ) a n dt r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t s ( t c s ) e x h i b i ti n t e r e s t i n gp s e u d o - 2 m - c y c l ea n dp s e u d o - m - c y c l ef e a t u r e s ，r e s p e c t i v e l y o nt h eo t h e rh a n d , w ep r e s e n tt h ed e c o m p o s i t i o n - s u b s t i t u t i o n ( d s ) m e t h o dt oa n a l y z et h e c h a r a c t e r i s t i c so ft r a n s m i s s i o nd i r e c t l ya n dc o n c i s e l yo i lt h eb a s i so ft h ee l e c 仃o m a g n e f i cw a v e t h e o r y t h eo p t i c a lp s e u d o - c y c l i cp r o p e r t yc a nb ee x p l a i n e db yt h ec a n t o r - s e ts t r u c t u r ea n da n o p t i c a lf r a c t a l l i k ep r o p e r t yo fm c t ms e q u e n c e f o rm c t m ( 坍4 ) s e q u e n c e ，t h e r ee x i s tm k i n d so fb c sa n de c s ，a n da l lm c t m s e q u e n c e sc a nb ec o m p o s e do ft h e s eb c sa n de c s f o r t h el i g h tw i t ht h ec e n t r a lw a v e l e n g t h ，t h eo p t i c a lt r a n s m i s s i o ni n t e n s i t i e so ft h e s ee c sa r en o t e q u i v a l e n tc o m p l e t e l yt ot h o s eo ft h ec o r r e s p o n d i n gb c s ，l e a d i n gt ot h eo p t i c a lp s e u d o - c y c l i c p r o p e r t yo fm c t m ( m 4 ) s y s t e m f i n a l l y , w es h o wt h es u b s t i t u t i o np r o c e s so f 4 c t m a sa ni n s t a n c et od i s p l a yt h es i m p l i f i c a t i o n o ft h ec a n t o r - s e ts u b s u u c t u r e f o rt h ep s e u d o - c y c l i co p t i c a lt r a n s m i s s i o no fm c t m s u p c r l a t t i c e ， t h e r ew o u l db ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n sf o r t h ed e s i g n i n go fs o m ec o m p l e xo p t i c a ld e v i c e s c y c l e k e y w o r d s ：s u p e r l a t t i c e s ；o p t i c a lt r a n s m i s s i o n ；m u l t i - c o m p o n e n tt h u e - m o r s e ；p s e u d o - 中文摘要 英文摘要 目录 第一章绪论 1 1 准晶 1 2 准周期超晶格系统 1 3t m 序列 1 4 三组元刑( 3 c t m ) 序列 1 5 多元t m ( 解刑) 序列 1 6 本课题来源、研究内容与意义 1 6 i 本课题的来源 1 6 2 本课题的研究内容及意义 第二章光透射性质 2 1 光在介质中的传播 2 2 光在多层介质系统中的传播 2 3 光在多层介质中垂直传播的特殊情形 第三章多元t m 超晶格的赝循环光透射性质研究 3 1 引言 3 2 赝循环特性 3 2 1 偶数m c t m 光透射性质 3 2 2 奇数m c r m 光透射性质 3 3 结果和讨论 3 3 1 4 c v m 系统的解析和数值结果 m l 3 4 5 6 7 7 7 8 8 b m 拓 拎 加 加 英文摘要 v 3 3 2 嵌套结构及其光学模式 3 4d s 方法 5 2 】 3 4 1 分解。 3 4 2 替换 第四章结论 参考文献 致谢 攻读硕士学位期间完成论文 2 2 2 3 2 3 2 4 2 7 2 8 3 5 3 6 第一章绪论 1 1 准晶 准晶是一种介于晶体和非晶体之间的固体传统的晶体学认为，自然界的固体 物质分为两大类：晶体和非晶体晶体具有周期的长程平移序，受这种平移对称约 束、晶体仅有2 、3 、4 、6 次旋转轴这种限制就像生活中不能用正五角形拼块铺满 地面一样，晶体中原子排列是不允许出现5 次或6 次以上的旋转对称性的 1 9 8 4 年底，美国国家标准局s h e c h t m a n 等人1 发现：急冷的a i m n 合金相呈现 明锐的布喇格衍射峰，衍射花样中具有5 次旋转对称性这一项重要的实验发现戏 剧性地改变了传统的观念不久，这种具有准周期长程平移序和长程取向序的新的 固体结构形态就被称为准晶体之后，人们又陆续发现了具有8 次【2 】、1 0 次 3 ，4 】、1 2 次【5 ，6 】对称的准晶体结构，并且在众多的合金中证实了准晶相的存在【7 - 2 4 一种 典型的准晶结构是r p e m o s e 的二维p e n r o s e 拼图 2 5 ，如图1 1 所示，用内角为3 6 度、1 4 4 度和7 2 度、1 0 8 度的两种菱形，就能够无缝隙无交叠地排满二维平面这种 拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋 转对称性准晶合金的实验发现以后，彭罗斯( p e n r o s e ) 拼砌的概念和理论被推广到 三维空间，成为分析准晶体原子结构的理论基础 图1 1 ：彭罗斯拼砌及衍射图 2 0 0 9 年，l u c ab i n d i 等人 2 6 1 在一种名为k h a t y r k i t e ( 蛩1 2 ) 的岩石中找到了准晶， 这是准晶体首次在自然界中被发现，这一发现使得准晶被划入了一种真实存在的矿 物质 华南师范大学硕士学位论文 图1 2 ：自然界中发现的准晶 准周期系统的数学问题比较复杂，并且准周期性质也限制了近似方法的应用 因此，二维和三维准晶的研究工作大多集中在实验方面，而建立在模型理论基础上 的一维准晶的研究【2 7 3 9 】较为广泛和深入构造一维准周期模型常采取两种方法； 替代法和投影法，前者产生的序列是自相似的，而后者产生的序列是准周期的常见 的一维准晶模型有菲波那契( f i b o n a e c i ) 、广义斐波那契( g e n e r a l i z e df i b o n a c c i ) 模型和 斐波那契类( f i b o n a c c i - c l a s s ，简记为f c ( n ) ) 模型，以及在实验基础上提出的三元s m l 模型等 准晶不仅结构独特，而且有很多特殊的物理性质，因此具有广阔的应用前景 自准晶发现以来，这类特殊固态物质的力、热、光、电、声学性质一直备受人们的关 注，得到了广泛开发和应用稳定的准晶可以由a l 和过渡金属元素( 如f e 、n i 、c o 等) 或者正常金属元素( 如m g 、z n 等) 合成、也可以由t i 基合金和m g z n 稀土矿得到 准晶处于低温和中间温度时是易碎的，在温度达到其熔点的3 4 时才变得柔软，这 性质对于制造低摩擦( 低粘附) 的耐磨材料有潜在的应用价值在高温条件下，准 晶比通常的合金更加抗氧化和耐腐蚀准晶沉淀强化钢这种复合材料具有良好的刚 性、韧性、抗腐蚀性和抗老化性，被应用于医疗器械( 外科、牙科、针灸等) 方面二 十面准晶a i c u f e 由于其成本低廉，实用性高而具有很高的商业用途近年来，准晶 在储氢、催化、假肢材料和热电装置等多方面得到了积极的开发和应用【4 0 英文摘要 1 2 准周期超晶格系统 上世纪7 0 年代，周期微结构被引入半导体晶体形成半导体超晶格 4 l 】半导体 超晶格的周期( 特征长度) 为纳米量级，可与d e b r o g l i e 波波长比拟，小于电子的平均 自由程，因而产生一系列新颖的效应 4 2 】在这一启发下，人们于8 0 年代初，将微 结构引入介电晶体【4 3 】，在介电材料中重要的物理过程是经典波( 光波和超声波) 的 传播和激发过程；在具有调制结构的介电晶体中，与微米量级的调制周期相应的倒 矢量将参与经典波过程，并产生重要的光学和声学效应因而将这类材料称之为光 学超晶格、声学超晶格，或微米超晶格超晶格的周期可和光波、超声波的波长比 拟光波、超声波在介电体超晶格中传播，就类似于电子在晶格周期势场中运动于 是，光子能带、声子能带及其他准粒子能带就出现在介电体超晶格中【4 4 ，4 5 ，对于 发展新颖的光电子学器件和声电子学器件有重要的应用前景 在实验上，毫米级的大块准晶单晶不易制备，制作成本很高目前研制出的准 晶，其稳定性相对晶体和非晶体而言也较差，这都较大地限制了准晶物理实验的深 入研究和准晶产品的开发应用人工排布的超晶格( s u p e r l a t t i c e ) 一般是在一个方向 上按照准周期序列排列，而在其它方向上仍是晶体，如按照准周期序列排列的多层 膜介质、按准周期序列排列的铁电畴超晶格等这样的系统生产成本低、稳定性好、 又可以反映准周期的性质因此，在准晶发现后不久，人们对于按照准周期序列排 布的人工超晶格介质系统的研究成为凝聚态物理学领域的一个热点 典型的一维准周期序列是菲波那契( f i b o n a c c i ) 序列，其超晶格结构具有丰富的 物理内容和相对简单的结构特征f i b o n a c c i 序列源于意大利僧侣l e o n a r d op i s a n o ( 呢 称f i b o n a c c i ) 于1 2 0 1 年提出的“兔子繁殖问题”m e r l i n 等人】最早利用分子束外 延技术研究了将g a a s a l a s 材料按f i b o n a c c i 准周期序列排布的超晶格系统的x 射线 的拉曼散射谱特性随后k o h m o t o 等人【2 8 】利用电磁场理论研究了按照f i b o n a e c i 准 周期序列( f c ( 1 ) ) 排列的介质系统的光透射性质，发现光透射系数是波长的函数，表 现出丰富的宽频特性t a m u r a 等人【3 9 】从理论上研究了按f i b o n a c c i 准周期超晶格的 声一光传输特性 之后，数学家和物理学家们构造了其它准周期模型，如互生长模型( i n t e r g r o w t h s e q u e n c e ，简记为f c ( 2 ) ) 、广义斐波那契( g e n e r a l i z e df i b o n a c c i ) 模型、斐波那契类 ( f i b o n a c c i = c l a s s ，简记为f c ( n ) ) 模型，以及在实验基础上提出的s m l 模型、广义s m l 模型等，各种模型呈现出不同的物理特性 另一种有趣的模型是t h u e m o r s e ( t m ) 模型t m 序列可用多种方法形成，最早可 追溯到1 9 0 6 年t h u e 【4 7 】的工作，它的结果随后在不同领域不断地被重新发现。m o r s e 【4 8 】是在拓扑动力学中研究该序列的r i k l u n d 等人【4 9 】对t m 模型的电子性质作了数 华南师范大学硕士学位论文 值研究，发现该模型具有类似于布洛赫波的电子态特性，这与f i b o n a c c i 系统完全不 同之后，童培庆 5 0 ，51 提出了有趣的三组元t h u e - m o r s e ( t h r e ec o m p o n e n tt h u e - m o r s e ， 简记为3 c t m ) 模型胡旭波等人【5 2 】研究发现3 c t m 光学超晶格具有有趣的三稳态 光透射性质 1 3t m 序列 t m 序列由两种单元a ，b 构成，生成法则如下【4 7 4 8 】 a b - 一- - + a 删b m t ， 由上式可见：彳和b 是完全等价的取序列第一代为a ，则前4 代为： g 1 = a g 2 = a b ( 1 2 ) g 3 = a b b a 、 g 4 = a b b a b a a b 若序列第一代为b ，对( 1 2 ) 式中单元进行互补替换，即a ( b ) 单元换成b ( a ) 单元，我 们可以得到t m 序列的互补序列( 1 2 ) 式中前4 代的互补序列如下： g l = b 9 2 朋 ( 1 3 ) g 3 = b a a b 、 g 4 = b a a b a b b a 显然，第，代序列满足递推关系。 t m g i = t m g t _ l ，t m - 瓦_ l ( ，2 ) ( 1 4 ) 人们发现【5 3 5 5 】：在光垂直入射情况下，t m 一维非周期超晶格系统对于中心波长的 光，除第二代以外，其它各代序列的透射系数均等于1 ，我们可以认为第3 代起，t m 序列的光透射率具有循环性，最小周期度为1 ，显然，其周期数也可以视为2 t m 序 列的单元数为2 ，因此系统光透率的循环周期数与系统的单元数相等 英文摘要 1 4 三组元t m ( 3 c t m ) 序列 童培庆【5 0 】将t m 的两个单元( a 、b ) 扩展到三个单元( a 、b 、o ，提出了有趣的 三组元t h u e - m o r s e ( t h r e ec o m p o n e n tt h u e - m o r s e ，简记为3 c t m ) 模型，它是除s m l 三元 模型之外的另一种三元模型，其生成法则如下： 若序列第一代为a ，则前5 代3 c t m 序列为： g i = a g 2 = a b g 3 = a b b c ( 1 6 ) g 4 = a b b c b c c a g s = a b b c b c c a b c c a c a a b 同理，将( 1 6 ) 式中a 、b 、c 三种单元通过互补替换：刁= b ，否= c - c = a 可以得到相 应的互补序列： g i = b g 2 = b c g 3 = b c c a ( 1 7 ) g 4 = b c c a c a a b g 5 = b c c a c a a b c a a b a b b c 显然，3 c t m 系统各代序列满足； 3 c t m o , = 3 c t m g f _ 1 3 c t m 吞m , ( ，2 ) ( 1 8 ) 3 c t m 一维非周期超晶格的光透射具有三循环特性 5 2 】，即最小周期度为3 ，3 c t m 序列的单元数为3 ，故其周期数也与其单元数相等由上述可见，从t m 到3 c t m 是 将单元数由2 扩展到3 ，但保持两点不变：( 1 ) 生成规则中，上一代的一个单元在下 一代中生成两个子单元；( 2 ) 由于生成规则的相似性，序列形式上关系不变有着相 似的生成规则的这两种超晶格的光透射都具有循环特性，周期数与系统的单元数相 同 $ 0 船肥“ _ 一 _ 彳b c ，i_，、-_i 华南师范大学硕士学位论文 1 5 多元t m ( m c t m ) 序列 类似于t m 扩展到3 c t m 模型的思路，我们将3 c t m 按照如下方式推广得到 m c t m 模型，其替代规则如下： 艘亏哩( 1g 一) ， ( 1 9 ) i ( 研) 一沏) ( 1 ) = ( 册) 阑 、7 其中，( d 表示第f 个单元( i = 1 ，神从单元( 1 ) 开始，们聊系统各代序列可以表 示写成： - 疋t m o l = ( 1 ) 解t m g 2 = ( 1 ) ( 2 ) = m c t m g i m c t m 吞， m c t i v l g 3 = ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) = m c t m g z m c t m 西， ( 1 l o ) 其中，石百是g ，- l 的互补序列，可由g ，1 中的单元进行如下互补替换得到： m c t m o l = ( 1 ) m c t m g 2 = ( 1 ) ( 2 ) = m c t m o l m c t m 吞l m c t m o ，= ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) = 所c n 肌c t m - ： ( 1 1 1 ) 很显然，当m = 2 和m = 3 时，m c t m 回到大家熟知的t m 和3 c t m 模型本文只研 究册4 时光学超晶格m c t m 的光透射性质 英文摘要 7 1 6 本课题来源、研究内容与意义 1 6 1 本课题的来源 本论文主要从理论上研究了一种特殊的一维多元t m 超晶格的光透射性质，探 求随着元数增加，系统的光学结构对其光透率的循环特性的影响 本研究课题的部分内容来自于由杨湘波负责的国家自然科学基金项目( 项目编 号：1 0 9 7 4 0 6 1 ) 。部分来自于杨湘波教授等负责的广东省高等学校创新团队项目( 项目 编号：0 6 c x t d 0 0 5 ) 1 6 2 本课题的研究内容及意义 在准晶发现后不久，对人工排布的具有准周期序列的超晶格介质系统的物性研 究成为凝聚态物理学领域的一个热点 本文第三章将研究按多元t m ( m c t m ) 非周期序列排列的光学超晶格介质系统 的光透射特性，这对于某些复杂光学器件的开发和设计有着潜在的应用价值和指导 意义我们运用电磁场基本理论研究光透射性质，并用d s 法汾解一替换方法) 详 细的给出了系统结构与其光透射性质的联系 本文第三章利用传统的电磁场理论和矩阵理论，结合一维m c t m ( m 4 ) 非周 期超晶格介质系统的结构特征，解析研究了光垂直入射时相应的传播矩阵和透射系 数m c t m ( m 4 ) 系统的第一代和第二代恒定不变，我们详细给出了m c t m ( m 4 ) 系统在，23 代时的光传播矩阵元解析式，虽然偶数i n 和奇数m 的情况不同，但 其传播矩阵元的指数都与有趣的帕斯卡三角形系数有关进一步的研究发现：从第 ，= m 一1 代起，m c t m ( m 4 ) 光学超晶格系统的第，代和第，+ 1 代的传播矩阵元的 底数相同、但指数不同，因此其传播矩阵( 元) 是赝2 m 循环的，透射率是赝m 循环 的m c t m 非周期超晶格介质系统光传输的赝循环特性对于某些复杂光学器件的设 计，开发和利用具有一定的理论指导意义 第二章光透射性质 2 1 光在介质中的传播 光在电介质中传播有两种情形，第一种是在两种电介质界面的反射和透射，第 二种是在同一种介质中的传播先考虑第一种情形，假设单色光在如图2 1 所示的 a ( 孙，k a ( 2 e a ( ，i b r ：( 1 ) i f ( 1 )1 2 ( 2 ) k ( ： 图2 1 ：光电场强度矢量在a b 界面处的分布图 a ，b 介质中传播，则彳介质中的光电场为 乳= 硝c x p i ( k 0 x 一f ) 】+ 砰e x p ( k ( a 2 x - w t ) ( 2 1 ) b 介质中光电场为 e 占= e 譬e x p i ( k ：；x c o t ) + 譬e x p 【f ( - h - 口( 2 x 一山，) 】 ( 2 2 ) 其中k 为波矢，x 为位矢，叫为角频率在边界处，工= 0 ，由两介质分界面上的边界 条件可知： ac o 孵s0 a ( d k l 篙髫n n c o so n ( e 。2 埽， q 3 ， 1一爵) =一露) 卜。 其中瑚和彻分别是介质a 和b 的折射率，以和如分别是光在介质a 和b 中的入射 角令 e + = 昏1 ) + ，尻= 一西曩1 ) 一应2 ) ) ( 2 4 ) 英文摘要 ( 笔：) = 心口e b + ) 亿6 ， 将式( 2 1 ) 一( 2 5 ) 代入式( 2 6 ) ，得 f 10 1 2 【。丽7 1 b c o s 9 bj 。 q j 地b 表示光从介质a 到介质b 的传播矩阵同理可得，光从介质b 传播到介质a 的 传播矩阵m b a 为 ，10 、 地= 砣2 0 丽n a c o s o a j ( 2 名) 图2 2 ：光在同一中介质a 中传播时的光电场强度矢量图 第二种情形如图2 2 所示令传播的垂直距离为幽，则透射光电场髟1 和反射 光电场髟2 为s 馒三翰e a 2 = 竺， ， l 髟2 =州一幽) 、 分g 印审 一 一 僻榔 一 一 = = 艮艮 爵硌 + + 爵碟 = = + +毋勖 ，-_-l 则 ， 1 0 华南师范大学硕士学位论文 其中，以= n a d a k e o s e a 同理，由电动力学理论可得出光在同一种媒质a 中的传播矩 阵为； ( 蔑：) = 尥( 纷 亿埘 其中传播矩阵尥为： 尥：f ? ， ls m 以 ( 2 1 1 ) 英文摘要 2 2 光在多层介质系统中的传播 df d m c t m m u l t i l a y e r s = 巨 f ( 1 ) ( 2 x 2 x 3 ) ( 2 k 3 x 3 x 4 ) ( 2 k 3 ) ( 3 ) ( 4 x 3 ) 【4 ) ( 4 x 1 ) 图2 3 ：光在反射面d 、透射面f 处的光电场分布示意图 当光在按照m c t m 序列排列的多层介质膜中传播时，光电场的强度分布如图 2 3 所示其中超晶格系统两边的衬底都选取介质( 1 ) ，则各代序列的传播矩阵如下： 其中， m g l = m 1 ) 纭2 = - - m o ) m l 肥) m 2 ) m ( 2 x i ) = m g i 岛l m g 3 = m 1 ) m l x 2 ) m 2 ) m 2 ) m 2 3 ) m 3 ) m 3 x 1 ) = m g 2 缸， ( 2 1 2 ) m g i = l 喙。( ，2 ) 晦1 = m l x 2 ) m ( 2 ) m ( 2 x i ) 恤m - 石g 天2 = ：m m ( 1 l x 2 2 ) ) m m ( 2 2 ) ) m m ( 2 2 ) x ( 3 3 ) ) m ( 3 ) m m ( 3 3 ) ( 3 ) x i ) u o )m 3 ) m ( 3 x 1 ) m 1 ) ( 2 1 3 ) 恤天= m l 2 ) m 2 ) m 2 x 3 )m 3 ) ( 3 ) m 3 )m 1 ) 、。 愧2 喙lm 1 x 3 ) m ( 3 ) m ( 3 x i ) m g l m g , - , m ( , 3 0 3 ( i , j = l ，2 ，册) 为光从介质( d 传到介质的传播矩阵，m ( o ( i = l ，2 ，肌) 表 示光透过单层介质( d 的传播矩阵 图2 3 ( a ) 中多层介质系统的光电场强度可写为 e 伍r ) = e l 扣硼+ 励p j ( b 堋，( 2 1 4 ) 1 2 华南师范大学硕士学位论文 光透射系数定义为 卜群， ( 2 1 5 ) 其中e d 为透射光电场振幅，历为入射光电场矢量振幅在反射面d 处，e m = e l ，e 2 = 秭，则 e o + = e l + e r e d - = 一i 幔i e 心。q 1 6 ) 在透射面f 处，e l = e o ，e 2 = 0 ，则 且d 面和f 面满足： 则光透射系数为s 对单位模矩阵屿有 e f + = e o e f 一= - l e o 。 ( 雎e f + ) = 岣像e a - ) - ( ：6 d 惚e a - ) ， 那么透射系数t 为 2 8 】 ，4 ( a d 一蚪 1 2 百巧万丽 积c 驴i 兰d b 卜一， r2 再瓦2 两4 磊。 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 英文摘要 1 3 2 3 光在多层介质中垂直传播的特殊情形 通常情况下，人们考虑实验上最简单的情况，即光垂直入射的情形当光垂直 入射时，入射角吼o = 0 ，则有 s i n 0 0 口= 0 ，c o s 0 ( 0 = 1 ( 2 2 2 ) 因此，( 2 7 ) ( 2 8 ) 和( 2 1 1 ) 式可改写成如下形式： m 蝴= 1 l 等0 】仇j ) ， 。= = i l 卷0 ) m 。= ( ：钒k n ( 。i ) 奶d ( o - 洒s i n 慨k n 。( o 如d ( o ) 为了方便镀膜的实验控制，可以选取适当的介质膜厚度使光透过每层介质的光 程相等，并且为了使系统的准周期性最有效，令光程满足准共振条件：n ( o n ( d ) = t c 4 2 8 ，5 5 ，5 6 ，其中愧。和傀由分别是介质( f ) 的折射率和厚度，a c 是中心波长，可得 岍( 0 升 仁2 q 本文第三章，我们在上述条件下给出m c t m ( m 4 ) 光学超品格的传播矩阵元 ( p m e s ) 的解析式 1 4 第三章多元t m 超晶格的赝循环光透射性质研究 3 1 引言 自从1 9 8 4 年，s h e c h t m a n 等人【l 】1 在实验中发现准晶以来，很多数学家和物理学 家都对非周期结构进行了广泛的研究k o h m o t o 等人【2 8 】利用电磁场理论研究了按 照f i b o n a c c i 准周期序列( f c ( 1 ) ) 排列的多层介质膜的光透射性质，发现光透射系数 是波长的函数，表现出丰富的宽频特性，引起了人们的广泛关注作为f i b o n a c c i 准 周期模型的推广，人们研究了广义f i b o n a c c i 模型( g f ( m ，刀) ) ，发现对于不同的参数m 和刀，光透射具有不同的循环特性【5 7 - 6 1 ，可见这一类模型具有比f c 更加丰富的光 透射性质1 9 9 3 年，黄秀清等人【6 2 】在f c 的基础上提出了互生长模型( f c ( 2 ) ) ，在中 心波长处，该模型具有有趣的开关特性【6 3 傅秀军等人【6 4 】将f c 和f c ( 2 ) 模型进 一步推广，构造了f i b o n a c c i 类( f c ( 一) ) 模型，其电子能谱具有完美的自相似性，杨湘 波等人【6 5 】研究了该类超晶格系统的光透射性质，发现f c ( n ) 模型的一族具有类似 光开关的特性，另一族具有六循环的性质可见，无论是从f c 到g f c 模型，还是从 f c 到f c ( 2 ) 和f c ( n ) 模型，它们都只是将生成规则加以推广，而单元数目保持不变， 这样的扩展模型，其光透射性质与f c 模型相比有很大的差异 作为准周期与非周期之间的桥梁，t h u e m o r s e ( t m ) 模型长期以来也得到人们的 广泛关注r i l d u n d 等人 4 9 】对t m 模型的电子性质作了数值研究，发现该模型具有 类似于布洛赫波的电子态特性，这与f c 系统完全不同人们发现 5 3 5 5 ；t m 一维 非周期超晶格系统除第二代以外，其它各代光透射系数均等于1 ，即从第3 代起其 光透射具有循环性，最小周期度为1 ，显然，其周期数也可以视为2 t m 序列的单元 数为2 ，故周期数与单元数相等 童培庆【5 0 ，5 l 】将t m 的两个单元( a 、b ) 扩展到三个单元( a ，b c ) ，提出了有趣 的3 c t m 模型3 c t m 一维非周期超晶格的光透射具有三循环特性【5 2 】，即最小周期 度为3 ，3 c t m 序列的单元数为3 ，故其周期数也与单元数相等由上述可见，从t m 到3 c t m 是将单元数由2 扩展到3 ，但保持两点不变：( 1 ) 生成规则中，上一代的一 个单元在下一代中生成两个子单元；( 2 ) 由于生成规则的相似性，序列形式上关系不 变有着相似的生成规则的这两种超晶格的光透射都具有循环特性，周期数与系统 的单元数相同 由此，人们自然会问：在生成规则相似的条件下，将序列的单元数由2 ( t mm o d e l ) 扩展到3 ( 3 c t ms e q u e n c e ) ，一直扩展到m ( m 4 ) 以后，系统的光透射性质与原有模型 相比，是会像f c 和它的扩展模型一样，发生很大的变化呢；还是会与原有模型类 英文摘要 1 5 似，具有稳态性质，或者循环、赝循环性质呢? 如果其光透射还具有类似的性质，那 么其周期数是否还与单元数相等呢? 基于这样的思路，本文将t m 、3 c t m 模型进一 步推广到多元情况，提出多元t h u e m o r e ( m c t m ) 模型沏4 ) ，研究了该光学超晶格 系统的光透射性质 在本章第二部分，将给出m 4 时m c t m 光学超晶格的光透射性质，第三部分 以m = 4 为例，验证了m c t m 系统的光透射赝循环解析公式，给出了数值结果，第 四部分应用d s 方法对解析结果进行了分析，最后是本章小结 1 6 华南师范大学硕士学位论文 3 2 赝循环特性 随着元数的增加，多元t v i 光学超晶格的光透射的循环性质破缺了，但存在赝 循环性质，其周期数仍然等于系统单元的数目 由( 1 1 0 ) 式和( 2 1 2 ) 式可知，m c t m 系统的第一代序列被设定为：g i = ( 1 ) ，其传 播矩阵和透射系数分别为： 一11 oj ( 3 1 ) 拖：= m ，m _ m ：，m 驯，2 ( 一孑一釜】， 。如， 2 相。 p 。 下面我们研究的序列，传播矩阵、透射系数都从第3 代开始，通过解析推导我们发 现第，代m c t m 序列沏4 ) 的传播矩阵和透射率可以写成以下形式： 叫吲1 ，b 3 ， ， 4 磁2 i 丽 其中传播矩阵元 x = 几) 蚍， ( 3 4 ) k 其中，是m c t m 序列的代数，k 是因子的序号进一步的研究发现s x l 勘j 【2 x l j 2 瓦i ( ，历一1 ) 口“2 m , k a h a l + m , k a l , k ( 3 5 ) o l ，-_- = m l = = 拖 英文摘要 1 7 由( 3 3 ) 4 3 5 ) 式可见，m c t m 序列从第m 一1 代开始，其传播矩阵是赝2 肼重循环的， 但透射率是赝m 重循环的对于奇数和偶数组元，( 3 4 ) 式描述的传播矩阵元x l 的具 体表达式不同 3 2 1 偶数m c t m 光透射性质 表3 1 ：帕斯卡三角形示意图 6 6 c ： 1 l1 12l l33l l464l l51 01 05l 161 52 01 56l l72 l3 53 52 17l 1 82 85 6 7 05 62 88l 93 68 41 2 61 2 68 43 69 1 04 5 1 2 02 1 0 2 5 22 1 01 2 04 51 0 g印1q 通过解析推导，我们可以得出m 为偶数时m c t m 系统在，m 时的光透射解析 公式，其传播矩阵元 柳：h时船ho,-=-)甘酗-k=l ， 柳= 几) m = 广 ， 胆i ， ， ( 3 6 ) 3 4 5 6 7 8 9 m n 屹b 聆 1 8 华南师范大学硕士学位论文 其中，“u ”表示取整g 为表3 1 所示的帕斯卡三角形的系数，并且定义 其中 ( 3 7 ) 另外，在， m 时，对于奇数代序列，其传播矩阵元可写成： - 7 - 1 - 7 - 1 x i = 几) 叭= 几陬： j ) 蚍， ( 3 8 ) k = lk = - i a l , t2a l - l , k + 口卜l j + 卜 在， m 时，对于偶数代序列，其传播矩阵元可写成： 其中， ( 3 8 ) 式和( 3 将( 3 6 ) 式， 传播矩阵和 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 驴 一一 。一 四g g 叭 砧 限 警八m i i 哪 d概 警几脚 = 柳 英文摘要 1 9 3 2 2 奇数m c t m 光透射性质 我们通过解析推导得出奇数m c t m 系统前几代( 当1 m 时) 的传播矩阵元与偶 数m c t m 系统一样满足( 3 6 ) 式奇数m c t m 系统的后几代( 当， m 时) 的光透射传 播矩阵元的解析公式如下： 孚 柳= 几陬2 j ) m ， ( 3 1 3 ) k = i 其中对于奇数代序列， 铲a l - i , l 芝鼻啦孚) ， 对于偶数代序列 毗= 慨a l - l , k + a 旺- l