（计算机软件与理论专业论文）基于加权平均插值曲面的图像放大方法研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 本文对通过插值方式实现图像放大的方法进行了研究。介绍了一种新的构造 插值曲面的方法，即通过加权平均的方法构造插值曲面。对使用加权平均插值曲 面进行图像放大做了分析，提出了针对图像中轮廓线做处理的技术，从而使图像 放大时能够有比较好的轮廓效果。 随着信息技术的发展，数字图像进入社会生活的诸多领域，图像放缩作为图 像处理的重要操作，有着广泛的应用背景。插值是进行图像放缩的重要方法。 构造插值曲面有多种方法，如最近邻插值，双线性插值，基于b 6 z i e r 曲面 的插值等。最近邻插值的插值曲面是不连续曲面，放大的图像会有明显的马赛克； 双线性插值曲面能够达到c o 连续，在原始图像的像素区域内部是连续的，但在 边界上不连续，像素间过渡不够平滑；基于b 6 z i e r 曲面的插值得到的曲面在整 个图像空间内是c 1 连续的，因此得到的放大图像整体上是平滑的，有比较好的 效果，但是图像中的轮廓线也会由于平滑效果变得模糊。为此，基于拟合分界线 的插值算法被提出这种方法首先对图像中的轮廓线进行拟合，对于有轮廓线通 过的像素区域，针对轮廓线将此像素分割成的不同区域分别进行插值，以保持轮 廓线的清晰。但是该方法构造的插值曲面在轮廓线通过的像素区域的除轮廓线外 的边界处并不能达到c 1 连续。 针对以上问题本文提出了基于加权平均构造插值曲面的方法。该方法针对各 图像像素构造局部插值曲面，相邻四个像素围成的方格区域上的曲面片由像素处 的局部曲面片加权平均产生，所有方格区域上的曲面片拼合在一起得到整个图像 空间的c 1 连续的图像曲面。由于加权平均插值曲面有良好的局部性质，因此在整 体曲面片的基础上，本文提出了对图像中的轮廓线做处理的技术，从而使图像放 大时保持轮廓清晰。 关键词：图像放大；加权平均；插值；重采样；轮廓保持 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t u d i e sd o n ei nt h i sp a p e ri sa b o u ti m a g ez o o m i n g & r o u g h i n t e r p o l a t i o nm e t h o d an e ww a yb a s e do nw e i g h t e dc o m b i n a l i o ni si n t r o d u c e dt ob u i l dt h ei n t e r p o l a t i o n s u r f a c eo fa l li m a g e a l s on e w t e c h n i q u e sa r eu s e dt oh a n d l et h ee d g e so fo b j e c t si n t h ei m a g e ，s o 也a lt h ee d g 嚣w i l lb ek e p tc l e a rw h i l ez o o m i n gi n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , d i 西t a li m a g e sa r ou s e di n m a n yf i e l do fo u rd a i l yl i v e s ，a sab a s i co p e r a t i o no fi m a g ep r o c e s s i n g , i m a g e z o o m i n g h a saw i d eu s a g e i n t e r p o l a t i o ni sag e n e r a lm e t h o dt oz o o m8 1 1i m a g ea n dt h e r ea r el o t so f d i f f e r e n t w a y st om a k ei n t e r p o l a t i o ns u r f a c e s u c ha sn e a r e s t - n e i g h b o ri n t e r p o l a t i o n ，b i - l i n e a r i n t e r p o l a t i o n , b 6 五盯s u r f a c eb a s e di n t e a p o l a t i o na n ds oo n t h en e a r e s t - n e i g h b o ri n t e r p o l a t i o ns u r f a c ei sn o tac o n t i n u o u ss u r f a c e , , 9 0t h e z o o m i n gi nr e s d tw i l lh a v eo b v i o u sm o s a i c s t h eb i l i n e a ri n t e r p o l a t i o ns u r f a c ei sa c os u r f a c e ，w h i c hi sc o n t i n u o u si n s i d ee v e r yp i x e lr e g i o n , b u tn o ta tt h ee d g e so fe a c h r e g i o n s t h eb 6 z i e rs u r f a c eb a s ei n t e r p o l a t i o nb u i l d sac 1s u r f a c ei nt h ew h o l ei m a g e a r e a , s ot h ez o o m i n gi ni m a g eh a sg o o ds m o o t h n e s s ，b u tt h ee d g e so fo b j e c t si nt h e i m a g ei sb l u n yt o o t h e r e f o r ee d g e - b a s e di n t e r p o l a t i o nm e t h o di sb r o u g h to u t t h i s m e t h o df i r s tf i n de d g e si nt h ei m a g e f o rt h ep i x e lw h i c hi sc r o s s e db ya l le d g ed o d i f f e r e n ti m e r p o l a t i o ni nt h ed i f f e r e n tr e g i o ns p l i tb yt h ee d g e , i ok e e pt h ee d g e sd e a r b u ts r l l f a c eb u i l tb yt h i sm e t h o di sn o tc 1 砒t h e p i x e l sb o r d e c t os o l v et h ep r o b l e m sm e n t i o n e da b o v e , an e wm e t h o db a s e do nw e i g h t e d c o m b i n a t i o ni si n t r o d u c et ob u i l di n t e r p o l a t i o ns u r f a c e i nt h i sm e t h o dal o c a l i n t e r p o l a t i o ns u r f a c ei sb u i l ta te a c hi m a g ep i x e l ，a n dt h es u r f a c ep a t c ho ne a c hs q u a r e s u r r o u n d e db yf o u re d j a c e n tp i x e l si sc o n s t r u c t e db yt h ew e i g h t e dc o m b i n a t i o no ft h e s u r f a c ep a t c h e sa tt h e s ep i x e l s t h ep a t c h e so na l ls q u a r e sa r ep u tt o g e t h e rt of o r mt h e w h o l ei m a g oi n t e r p o l a 6 0 ns u r f a c ew i t hc 1c o n t i n u i t y b a s e do n 吐l i sw e i g h o e d c o m b i n a t i o ns u r f a c e , af e wt e c h n q u e sa r ei n t r o d u c e dt oh a n d l et h ee d g e so f o b j e c t si n t h ei m a g e ，s ot h a tt h ee d g e sw i l lb ek e p tc l e a rw h i l ez o o m i n gi n 山东大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：i m a g ez o o m i n g ；w e i g h t e dc o m b i n a t i o n ；i n t e r p o l a t i o n ；r e s a m p l e ； e d g e k e e p i n g 原创性声明和关于论文使用授权的说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：强盗宣。e t 期：丛2 6 簋笪! 3 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：砬矗盘导师签名： 山东大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章引言 图像是人类获取和交换信息的主要来源，因此，图像处理的应用领域必然涉 及到人类生活和工作的方方面面。随着人类活动范围的不断扩大，图像处理的应 用领域也将随之不断扩大。1 ) 航天和航空技术方面的应用：数字图像处理技术 在航天和航空技术方面主要应用在飞机遥感和卫星遥感技术中。许多国家每天派 出很多侦察飞机对地球上有兴趣的地区进行大量的空中摄影。对由此得来的照片 进行处理分析，以前需要雇用几千人，而现在改用配备有高级计算机的图像处理 系统来判读分析，既节省人力，又加快了速度，还可以从照片中提取人工所不能 发现的大量有用情报。从6 0 年代末以来，美国及一些国际组织发射了资源遥感 卫星( 如l a n d s a t 系列) 和天空实验室( 如s k y l a b ) ，由于成像条件受飞行 器位置、姿态、环境条件等影响，图像质量总不是很高。因此，以如此昂贵的代 价进行简单直观的判读来获取图像是不合算的，而必须采用数字图像处理技术。 如l a n d s a t 系列陆地卫星，采用多波段扫描器( m s s ) ，在9 0 0 k i n 高空对地球 每一个地区以1 8 天为一周期进行扫描成像，其图像分辨率大致相当于地面上十 几米或1 0 0 米左右( 如1 9 8 3 年发射的l a n d s a t - 4 ，分辨率为3 0 m ) 。这些图像 在空中先处理( 数字化，编码) 成数字信号存入磁带中，在卫星经过地面站上空 时，再高速传送下来，然后由处理中心分析判读。这些图像无论是在成像、存储、 传输过程中，还是在判读分析中，都必须采用很多数字图像处理方法。现在世界 各国都在利用陆地卫星所获取的图像进行资源调查( 如森林调查、海洋泥沙和渔 业调查、水资源调查等) ，灾害检测( 如病虫害检测、水火检测、环境污染检测 等) ，资源勘察( 如石油勘查、矿产量探测、大型工程地理位置勘探分析等) ，农 业规划( 如土壤营养、水份和农作物生长、产量的估算等) ，城市规划( 如地质 结构、水源及环境分析等) 。我国也陆续开展了以上诸方面的一些实际应用，并 获得了良好的效果。在气象预报和对太空其它星球研究方面，数字图像处理技术 也发挥了相当大的作用。2 ) 生物医学工程方面的应用：数字图像处理在生物医 学工程方面的应用十分广泛，而且很有成效1 9 7 2 年英国e m i 公司工程师 山东大学硕士学位论文 o u t f i e l d 发明了用于头颅诊断的x 射线计算机断层摄影装置，也就是我们通常所 说的c t ( c o m p u t e rt o m o g r a p h ) 。c t 的基本方法是根据人的头部截面的投影， 经计算机处理来重建截面图像，称为图像重建。1 9 7 5 年e m i 公司又成功研制出 全身用的c t 装置，获得了人体各个部位鲜明清晰的断层图像。1 9 7 9 年，这项无 损伤诊断技术获得了诺贝尔奖，说明它对人类作出了划时代的贡献。还有一类是 对医用显微图像的处理分析，如红细胞、白细胞分类，染色体分析，癌细胞识别 等。此外，在x 光肺部图像增晰、超声波图像处理、心电图分析、立体定向放 射治疗等医学诊断方面都广泛地应用图像处理技术。3 ) 军事公安方面的应用： 在军事方面图像处理和识别主要用于导弹的精确末制导，各种侦察照片的判读， 具有图像传输、存储和显示的军事自动化指挥系统，飞机、坦克和军舰模拟训练 系统等；公安业务图片的判读分析，指纹识别，人脸鉴别，不完整图片的复原， 以及交通监控、事故分析等。目前已投入运行的高速公路不停车自动收费系统中 的车辆和车牌的自动识别都是图像处理技术成功应用的例子。4 ) 日常生活中的 应用；如数码摄影摄像，电视画面的数字编辑，动画的制作，电子图像游戏，纺 织工艺品设计，服装设计与制作，发型设计，文物资料照片的复制和修复，运动 员动作分析和评分等等。 随着图像处理技术的广泛应用，作为图像处理的基本操作，图像放大有着重 要的应用价值，如对卫星图片放大，分析气候变化、寻找矿藏：对c t 图像放大， 方便医生诊断；对侦察照片放大，便于判读，发现有价值的目标；对数码相机拍 摄的相片进行放大，突出人物或部分场景等等。总之大部分以数字图像作为数据 的应用中都会有图像放大的需求。好的图像放大方法能够使得到的图像具有较高 的质量，从而为迸一步的工作提供很大的便利。 1 2 研究现状 图像放大就是根据原始图像中离散的像素信息插值出新的像素。构造插值曲 面方法的研究本身就是一个经典的领域，其历史可以追溯到上世纪2 0 年代，迄 今为止，与其相关的论著多达近4 0 0 0 项。国内外的学者对于散乱数据插值的研 究从未间断过，提出了许多有效的方法。1 9 6 8 年，s h e p a r d 研究了非规则分布数 2 山东大学硕士学位论文 据的二维插值函数【“，给出了最d , - - 乘距离加权插值算法，1 9 7 3 年，b a m h i l l 等 人从曲面造型的角度分析散乱数据插值，给出了三角形上的b b g 格式 ( b a m l u l l b i r l d a o f f - g o r d o n ) t 2 1o 此后，许多学者从不同角度探索了散乱数据插 值曲面的构造嗍，并取得了很多成果，如f a r i n 提出了构造c 1 连续曲面三角 b e m s t e i n - b 6 z i e r 曲面的方法和步骤 7 - 9 1 。国内对散乱数据插值曲面的研究始于上 世纪8 0 年代，二十多年来，已取得许多研究成果【协1 8 1 ，如汪嘉业教授和张彩明 教授提出的散乱数据点的多项式插值t 1 0 , 1 1 , 1 2 1 ；姜寿山提出的散乱空间数据的g 1 和 g 2 插值”1 ，关于散乱数据点的c 1 五次插值 1 7 1 ；以及柯映林、朱心雄、周晓云等 人对于散乱数据几何造型技术的研究等【体阍。 这些构造插值曲面的方法都可应用与构造图像插值曲面，最简单的方法是零 阶插值，即把每个像素孤立地按比例放大，这种方法构造的插值曲面是由一系列 阶越式的平面组成的不连续曲面，生成的图像会有严重的马赛克。 一般的做法是针对原始图像构造连续的数学模型，再根据放缩比例对模型进 行重采样，以获得相应大小的图像。如孙庆杰等提出了基于b 6 z i e r 曲面的放大 方法嗍，利用邻近象素点的象素值构造b 6 z i e r 曲面的控制顶点，使其满足b 6 z i e r 曲面拼合的连续性条件，从而构造出整体p 连续的插值曲面。u n s e r 等将数字图 像插值成b 2 样条曲面，由此再从原始和且标两种图像按某种误差最小构造新的 多项式样条 2 0 l ，r a m p o n i 用变距离插值思想重建数字图像的连续模型【2 l l 等。 高阶插值的方法可以有效地克服马赛克现象，但也由于高阶插值的平滑效 果，使得图像细节损失严重，图像中物体轮廓模糊不清。为此基于拟合分界线的 双线性插值 2 2 1 。图像缩放的分片连续算法嘲，基于三次样条的不均匀插值图像放 大方法 2 4 1 等分段插值算法相继被提出，用来优化图像中轮廓线的处理。但这些分 段插值在保证轮廓线处曲面不连续以突出轮廓的同时，也破坏了整体插值曲面在 像素邻接处的连续性。 针对这些问题，本文提出了一种构造图像插值曲面的新方法。该方法在每个 像素点处构造局部插值曲面，相邻四个像素围成的方格区域上的曲面片由像素处 的局部曲面片加权平均产生，所有方格区域上的曲面片拼合在一起得到整个图像 空间的c 连续的图像曲面。由于每个方格区域上的曲面片由四个不相关的局部曲 山东大学硕士学位论文 面片产生，因此在方格上可以方便地针对图像中的轮廓线进行特殊处理，使放大 后的图像能够保持轮廓清晰。 1 3 各章安排 本文主要分为五个部分，各章内容安排如下： 第一章为引言，对论文的意义及论文整体的安排进行了介绍。 第二章对图像处理需要的一些基本知识作了简要说明，主要介绍了图像的表 示以及图像放大的概念。 第三章对现有的插值图像放大算法进行了介绍，并简要概括了他们各自的特 点和不足。主要介绍了最近邻插值算法，双线性插值算法，基于b 6 z i e r 曲面的 插值算法，和基于拟合分界线的双线性插值算法。 第四章介绍了基于加权平均插值曲面的图像放大方法。首先介绍了一般三角 网格上的加权平均插值曲面的构造方法。然后介绍了在图像空间这种特殊的规则 四边形网格上直接构造加权平均插值曲面的简单方法。最后介绍了如何基于加权 平均插值曲面进行图像放大，以及如何保持图像中的轮廓线。 在第五章做出结论，对上述插值方法给出了总体评价，展望以后的工作方向， 表达了在实践中推广的愿望。 4 山东大学硕士学位论文 2 1 图像表示 第二章预备知识 图像的表示是与量化后的图像元素( 像素) 的表示相关的。一幅图像可以是自 然景物中物体的光强( 例如用普通照相机照的照片) ，也可以是身体器官的吸收特 征的量化( i ，f j 如x 光照片) ；或者目标物体的雷达反射截面( 雷达图像) ：或者一个 区域的温度场( 红外线图像) ；或者重力场( 地球物理图像) 。般地，任意一个二维 函数表示的信息均可以看成是一幅图像，图像模型是这一函数特征的逻辑与定性 的描述。任何一个二维表示的信号可以看成是一幅图像，但是数字图像是一种特 殊的二维信号。图像的表示分为灰度图像和彩色图像。 2 1 1 灰度图像表示 灰度图像是指物体的二维光强度函数，似力( o ， 力 l - i ) ，其中x , y 是 空间点的坐标，任意点“y ) 处的数值，o ，y ) 正比于图像在该点的亮度( 灰度级 工) ，二变量实函数表示一幅灰度图像，它是在空间的坐标和亮度上均已离散化 的图像。可以把一幅灰度图像考虑为一个矩阵，其行和列表示图像中的一个点， 而相应的矩阵中元素的值表示出该点的灰度级。如果灰度级仅为黑白两种，则称 为二值图像。 从该过程看，是将连续的图像离散化得到数字图像的，因此图像在物理上是 离散的，可是在内容上是连续的。同时由于通常是对微小区域光强的量化，而这 些微小区域的光强其实通常是连续变化的，因此得到的值其实是一个区域光强的 积分均值或者说是采样。因为由于是对于一个区域的采样，并且要量化到一个整 数灰度级上，从这一点上看，离散化的过程丢失了部分图像连续的信息。采样点 密度越大( 取决于设备分辨率和量化的级数) ，丢失的连续信息也就越少。 2 1 2 彩色图像表示 一般常用三原色( 红色、绿色、蓝色) 来产生彩色图像，所以彩色图像一般可 山东大学硕士学位论文 1 i _ _ 鲁_ 舅_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ l 以表示为： f a x , y ) = 饼( x ，y ) ，五似力，五似y ) ) 其中z 似y ) 由( ，g ，6 ) 表示，g ，6 分别为三个灰度图像，五的灰度值。 表示颜色的另一种方式是使用亮度、饱和度和色度： ( 1 ) 亮度定义为， g , b 之和，即 亮度= ，+ g + 6 ( 2 ) 饱和度表示某一颜色与全色的接近程度 饱和度= 1 - 3 r a i n ( r , g ，b ) f ( r + g + b ) ( 3 ) 色度近似正比于该颜色的平均波长 、 色度( 獬) = ( 乃，+ 以g + 五6 ) ，( ，+ g + 6 ) 式中，乃，以，五分别为红、绿、蓝三色的中心波长。 大部分的彩色图像是以r ( 3 b 三原色分量方式存储的，而r g b 是三个正交的分 量。因此对r g b 图像的处理就是对三个颜色分量分别进行处理。 2 2 什么是图像放大 图像放大就是根据原有的像素插值出新的像素。如前所述，数字图像实际上 是由某一连续函数通过一定频率的采样获得的。因此图像放大可以根据已有像素 构造出原连续函数的一个近似函数，即插值曲面。在此曲面上通过增大采样密度， 来获取更多的像素，从而达到图像放大的目的。 2 3 小结 本章主要介绍了图像处理中的一些基本知识，如图像的表示方法，图像放大 的概念和基本方法等，为读者阅读以后各章节提供必要的准备。 山东大学硕士学位论文 第三章典型图像插值放大方法 设。为r t t x n 的图像，他包含尼g ，b 三个颜色分量的矩阵信息。由于三个颜 色分量可以分别处理，所以，以红色分量为例，设 r ( o f 肌一1 ，o _ ，栉一1 ；，) 为图像中第f 行第j 列像素的红色分量值， 对应平面点o ，力。目标是构造c 1 连续的曲面e ( 暑y ) ( o a x a n ，o y 埘) 使得 e ( i ，) = 置j 3 1 最近邻插值 最近邻插值是最简单的插值算法，在这种算法中，每一个插值输出像素的值 就是在输入图像中与其最邻近的采样点的值。即令输出像素的灰度值等于离它所 映射到的位置最近的输入像素的灰度值。该算法的数学表示为 ，( x , y ) ：，( f ，_ ，) ，当f i 1 工 f + 丢旦，一丢y _ ，+ i 1 最近邻插值计算简单，但是放大的图像有明显的马赛克现象，因此只能用在对图 像质量要求不高的场合 3 2 双线性插值 令( 力为二维函数，设其在单位正方形顶点的值已知。通过插值得到正 方形内任意点的，y ) 值，可令由双线性方程： 八毛力= 甜+ 砂+ 倒+ d ( 3 1 ) 定义的一个双曲抛物面与四个已知点拟合。 从a 到d 这四个系数须由已知的四个项点的f ( x ，y ) 值来选定。有一个简单的 算法可产生一个双线性插值函数，并使之与四个顶点的，“力值拟合。首先， 对上端的两个顶点进行线性插值可得： f ( x , o ) = ，( o ，o ) + 缸g o ) 一，( 0 ，o ) 】 ( 3 2 ) 山东大学硕士学位论文 类似地，对于底端两个顶点进行线性插值有： f ( x ，1 ) = ，( o 1 ) + 巩厂( 1 ，1 ) - i ( o ，1 ) 】 ( 3 3 ) 最后，做垂直方向的线性插值，以确定： “力= 以为o ) + j ，l 厂o ，1 ) - f ( x , o ) 1 ( 3 4 ) 将式( 3 2 ) ，( 3 3 ) 代入( 3 4 ) ，并展开等式并合并同类项可得： 似救，。l 厂( 1 ，o ) 一，( o o ) 芝，l 厂( o ，1 ) 一，( o ，o ) 抄+ l 厂( 1 1 ) + ，( o ，o ) ( 3 5 ) - f o ，o ) 一f ( o , d x y + ( o ，0 ) 该式形式类似于( 3 1 ) ，因此确是双线性的。通过验证即可知，式( 3 5 ) 确实 满足已知的单位正方形四个顶点的j r 阮力值。 注意，若令工( 或y ) 为常数，则式( 3 1 ) 成为一个单变量线性方程，这表明 了双曲抛物面是一个服从双重规则的表面：它与平行于拓平面的所有平面和平行 于弦平面的所有平面都相交于一条直线。 双线性插值可直接通过式( 3 5 ) 来实现，也可通过式( 3 2 ) ，( 3 3 ) ，( 3 ，4 ) 这三次线性插值来完成因为式( 3 5 ) 需用到四次乘法、八次加法运算，而第二 种方法只需要三次乘法和六次加( 减) 法，所以程序实现时一般选择后者。 山东大学硕士学位论文 ，( 仇o ，t i 1 j 图3 1 双线性插值应用到图像放大时点似力的值是根据其周围4 个像素 g n o + 1 ，刀，g ，+ 1 ) p + 1 ，_ ，+ 1 ) ( 其中f 工 f + 1 ，j y j + 1 ) 的灰度值在水平和 垂直两个方向上进行插值而得到。双线性插值的公式为： ，“力= l 厂n o ) - ( o , o ) l x + ( o ，o - y ( o , o ) y + l 厂( 1 ，1 ) + ，( o o ) - 0 ，0 ) 一( o ，1 ) 】x y + f ( o , o ) 双线性插值曲面在区域边界处只能够达到c 0 连续。因此放大后的图像在边 界处能够邻接，但过渡不够平滑，仍会有马赛克的效果。 3 3 基于b 6 zie r 曲面插值的图像放大方法 3 3 1b 6 z i e r 曲面 b d z i e r 曲面是由一组控制顶点生成的曲面它可以用于在一组数据点之间进 行插值，以便获得平滑过渡b d z i e r 曲面的定义如下： 9 山东大学硕士学位论文 在空间给定加+ 1 ) + 1 ) 个点0 = o 1 ，n ；j = 0 ，1 ，朋) ，称下列张量积形 式的参数曲面为n x m 次的b 6 z i e r 曲面：凹1 m p ( u ，v ) = ) 易， 似v 【o ，1 】) 忙o j = o 其中只j 是p ( “，v ) 的控制顶点由两组多边形只o 只1 丑，o = 0 ，1 ，月) 和 ，气j o c ，= o ，l ，册) 组成的网称为尸( 骂r ) 的控制网格，记为 可以 认为，控制网格( 岛 是p ( “，v ) 的大致形状的勾画，p ( u ，v ) 是对 只 的逼近 3 3 2b 6 z i e r 曲面的拼接 定义：当两块曲面相连接时，若经过其公共边界上的任一点处在任一方向上 的两张曲面的导数相等，我们称这两块曲面达到c l 连续 假设p ( u ，是的一个n x m 次的b 6 z i e r 曲面，q ( u ，v ) 是一个k x m 次的b 6 z l e r 曲面， tm q ( “，v ) = q 。置， ) e ，( v ) ，v 【o ，1 】) t = oj = o p ( u ，v ) 与q ( u ，v ) 达到c 1 连续的充分必要条件是口习 气= 墨l j p 吖= q o j q j 3 3 8 由数字图像构造b 6 z i e r 插值曲面 j = 0 ，1 ，2 ，m 首先 ，将矩阵 m = 眠，丑s i m ，l s j 拧) 扩充为 置2 = r 3 s j s r e + l , 1 j s 聆+ 1 ) ，也就是说，续上& ( j = 肼+ 1 或j = 一+ 1 ) 的值， 用向外插值法，取毛+ 1 = 2 j 一稚u ( 1 歹栉) ，r i ，舯l = 2 r ，一蜀，1 ( 1 j 蔓研) ， ，+ l = “，+ “一r 卅。然后，为了下步更加容易地构造b 6 z i e r 曲面， 再将r 2 扩充为r 3 = 假j ；0 f 肼+ 2 ，0 _ ，厅+ 2 ，其扩充方法与r 2 的方法相 山东大学硕士学位论文 同最后构造埘甩个3 3 的b d z i e r 曲面墨，j ， ( x ，y 【0 ，l 】) 每一个s , j 的4 个角控制顶点取为对应的b ，的值，各之间达到c z 连续，或者 说， f ( u ，= s t 。v l ( u 【“】，v i v ) 其中m 】表示不超过“的最大整数 ( 敬 = r “相( z ，b = o ，1 ) ( 1 j s 朋，l j 万) l 啦= r 。y + m + “，加一稚u ) 6 l q 裂口= r i + 1 j + b + ( 马朋一r + z j + s ) 6 l ( 氍1 = 足+ + ( r “。p i 一卜1 ) 6 【! ：凝2 = r l + ，+ l + ( r + 4 j 一置+ 2 ) 6 i 鲻= 鳓+ ( 鳓一嫩1 ) 6 【q 茹= 鲻+ 僦一酣1 ) 6 ( 以b = 0 ，1 ) p = 1 ，2 ) 这样，q 勉便是1 6 个点假。j + y ，- 1 x , y s2 ) 的线性组合用同样的方法可以为 s ( m ，聆) 的绿色分量g ( 卅，以) 和蓝色分量b ( m ，一) 构造分块双三次b d z i e r 插值p 曲 面 这种方法能够构造出比较平滑的放大图像，另外通过算法改进可以提高计算 速度，能够快速的生成放大图像。但是由于高阶插值的平滑效果，图像中的轮廓 线，会变得模糊。 3 4 基于拟合分界线的双线性插值 为了消除插值对图像中轮廓线的平滑效果，提出了一种基于拟合分界线的插 值方法。该方法先对图像中的轮廓线以b 样条函数进行拟合。再根据轮廓线通过 像素的情况进行不同的插值。 如图所示，平面中的线性插值只涉及插值方格中的4 个顶点图像像素对于 没有分界线经过的方格按4 个顶点图像像素可以很容易地双线性插值出方格 )y( 3 b 8 ) x ( 3 4 8 j 卫 i q 。 ， i i 、jy x ( j s 山东大学硕士学位论文 内的所有像焘但如果方格中有拟合分界线经过，就要基于方格内的拟合分界线 进行插值： 拟合分界线拟合分界线 图3 2 ( 1 ) 插值图3 2 中e 点e 点与方格的三个顶点图像像素a ，b ，c 位于分界 线的同一侧这样，插值e 点的值只需从彳，口，c 三个顶点图像像素插出设像 素边长为单位l ，用下式对e 点插值闭 e = ( 1 一石一力b + 茗c + y a ( 2 ) 插值图3 2 中f 点f 点只与方格的d 顶点像素位于分界线的同一侧 把d 像素的值直接赋予f 点 ( 3 ) 插值图3 2 中g 点g 点与方格的二个顶点像素4 ，d 位于分界线的同 侧设像素边长为单位1 ，用下式对g 点插值 g = x l d + x 2 x a 该方法对于图像中轮廓线有相对的改善，但由于该方法构造的插值曲面在除 了轮廓线以外的像素边界上没有达到c 1 连续，因此放大的图像在像素边界上会有 毛边。 3 5 小结 本章介绍了最近邻插值，双线性插值口”，基于b 6 7 e r 曲面的插值和基于拟 合分界线的双线性插值，四种现在常用的插值放大图像的方法，分析了他们各自 的特点及不足。最近邻插值，双线性插值，基于b d z i e r 曲面的插值方法都是整 体插值，得到的图像插值曲面的连续性分别为不连续，c o 连续，c 1 连续。最近 邻插值的特点为计算简单，但放大的图像质量比较差。双线性插值相对于最近邻 插值能够明显改善图像质量，但是在每个像素边界上的过渡还不够平滑。基于b 山东大学硕士学位论文 ( 5 | z i e r 曲面的插值方法得到的图像插值曲面是c 1 连续的，放大图像整体过渡平滑， 般能够满足应用的视觉要求。上述三种插值方法都没有对图像中的物体轮廓线 进行处理，轮廓线放大后的结果会出现锯齿( 最近邻插值) 或变得模糊( 双线性 插值和基于b d z i e r 曲面的插值方法) 。基于拟合分界线的双线性插值专门针对图 像轮廓线做特殊处理，得到的放大图像的轮廓线有相对好的效果，但其采样的双 线性插值的方法获得的曲面是c o 连续的，因此在各像素边界处的放大效果也不 理想。 山东大学硕士学位论文 第四章基于加权平均曲面的图像放大 4 1 什么是加权平均插值曲面 加权平均插值曲面是以加权平均方法m 构造的曲面。这种方法对于给定的空 间数据点，首先确定其邻接关系，然后在每个点处以一定的规则( 如最小二乘规 则) 构造插值曲面插值该数据点，最后根据各点的邻接关系，通过选择合适的权 函数，将各点处的插值曲面拼合为一个整体曲面，并满足一定的连续性。 4 2 三角网格上的加权平均插值曲面的构造 4 2 1 插值曲面的构造 设给定个散乱空间数据点a = o j ，y j ，蜀) ，= l ，2 ，目标是构造一 个对其插值的曲面。记点，在x y 平面上的投影为丑。构造插值曲面的基本思想 是：在x y 平面上将给定的数据点划分成三角网格。在每个数据点毋处构造一个 满足插值条件的分片多项式曲面片，每个三角形上的曲面片由三个顶点处的曲面 片加权平均产生。整体的衄面由各三角形上的曲面片拼合而成网。 对x y 平面上的点毋，设置，p 2 ，马- 弓是它的邻近点，这些点所构成的三角网格 区域定义为以毋为中心的邻近区域，如图 4 1 0 在b 处构造二次多项式曲面片石 ，y ) 的 ， 基本思想如下；对以毋为中心的邻近区域上 图4 1 以b 为中心的邻近区域 的每个三角形，根据边界连续条件构造二次多项式曲面片，石力由各邻接三 角面片直接拼合而成。 首先给出三角形上曲面片的表达式形式。记以耳，弓和最为顶点的三角形 1 4 山东大学硕士学位论文 编号为t ，巧，最) 成右手系，t 内一点尸的面积坐标记为( e ，三t ，砭) e = i x ，y k x k y ，+ ( y j y k ) x + ( x k x j ) y ( 2 s t ) 与t - - x k v f 一工，j ，七+ ( j ，七一y t ) x + ( x ，一x k ) y ( 2 s t ) 琏= u t yj x i y i + b t - y i l x + q i x , ) y l ( 2 s , ) 其中墨为三角形t 的面积。 设三角形t 任一顶点匕处的一阶偏导为( 疋) 。和【) 。，p 埘对边上的单位 外法向记为以对三角形6 对顶点函数值兄，( 埘= i ，工七) 及( e ) t 和( 0 ) 插值 得： e 以力= 【( 2 4 ) b + 一心) ( 只) - + ( ) ，一欺) ( 乃) t 皿 + ( 工f ) 2 e + ( 弓) 2 乃+ 4 墨e 巧 4 1 ) 其中( 只) ，眠) 以及4 均为未知量。 下面讨论一下相邻三角形上曲面片c 1 连续的条件。b 的邻接区域由编号分 别为i ，2 - - - 2 n + 1 ( 或2 n ) 的三角形围成，如图4 1 所示。对于编号分别为1 和 2 的两个三角形，由( 4 1 ) 式得到相邻两个三角形曲面片表达式分别为互( j ，力， 兄似y ) 。由于两个三角形在公共边顶点马和b 处的函数值相同，且毋处的一阶 偏导值相同，所以两三角形在公共边界上是c o 连续。又因为三角面片在公共边 上的法向导数为一次多项式，可得到e 化y ) 和f 2 “y ) 在公共边界上c 1 连续的 条件为： 矧叫= 刮，t z ， a 埘l 叫螂i t 其中( x ：j ，) 为芝和毋的中点。计算得： 嚼 一= 噶+ 圭以，z 蠢+ 警以，z 筹+ 三哆x 蠢+ 学哆h 嚣+ 鸩器兄+ 4 墨e 筹 山东大学硕士学位论文 c 矧叫= 耳筹畦鳓毒+ 半嘞筹+ 三嘞毒+ 学嘞筹+ z 1 2a 棚n - - - ； f 2 鹏蜗霹o l 2 由( 4 2 ) 式得连续方程如下： 4 + 如= q ( 1 ，2 ，1 , 3 ) ( 4 3 ) 其中： 删，3 ) - 2 阢m z _ 黜慨训m 嚼+ 黔 啦皤+ 静 ，厄哥而 对于图4 1 中每个三角形都对顶点函数值瓦，咖= j ，j ，) 及( 只) j 和( e ) j 插 值，按( 4 1 ) 式的形式定义二次多项式曲面片f a x , 力。由于相邻三角形上的曲 面片都要满足边界c 1 连续，即满足式( 4 3 ) 的形式，所以构造曲面片需要解通 过连续条件建立的方程组。又由于邻接区域的中心数据点只处的相邻顶点的个数 有奇数和偶数两种情况，分别得方程组如下： 4 + 彳2 = q b ，2 , 1 , 3 】 爿2 + a 3 = q 2 , 3 ，4 】 ( 4 4 ) 彳抽+ a 2 。“= q 2 n ，2 n + 1 ，1 】 彳2 ，+ 1 + a l = 舡2 n + l ，1 ，2 】 彳l + 4 2 = q 1 ，2 , 1 ，3 】 a 2 + a 3 = 缸2 , 3 ，4 】 ( 4 5 ) 彳2 ，“+ 彳抽= q 2 n 一1 , 2 n ，1 , 1 】 爿2 。+ 4 = q 2 n ，1 ，2 】 其中，a t ，( f = l ，2 ，3 ) 及( 只) f ，( b ) j 为未知量。下面讨论方程组( 4 4 ) 、( 4 5 ) 的 求解。为方便，记g 【f ，歹，k , l 】= q ，。 1 ) 顶点个数为奇数的情况： 山东大学硕士学位论文 由方程组( 4 4 ) 解得： t - i2 n + l t 为奇数时有：a t = ( ( 一1 ) 7 吼+ ( 一1 ) ”1 9 ，) 2 ； 得： t - i2 月“ f 为偶数时有：4 = ( ( 一1 ) mg ，+ ( _ 1 ) 。g ，) 2 问i s t 若( 巴) ，和( f ，) ，已知，则4 ，( f = l ，2 ，3 ) 有唯一解。则用( e ) ，和 ) ，表示4 4a t l ( 只) l + 口f 2 ( e ) f + 4 f 3 ( t = l ，2 ，2 n + 1 ) ( 4 6 ) 将( 4 6 ) 式代入每一个三角曲面片表达式，则只有( e ) f 和( l ) i 未知。 2 ) 顶点个数为偶数的情况： 由方程组( 4 5 ) 的形式可知，4 ，t = l ，2 ，2 栉不能像( 4 6 ) 一样表示成( e ) i 和( r ) z 的函数，解方程组( 4 5 ) 的方法如下用消元法将其转换为如下形式 4 + 彳2 = q o ，2 ，3 】 彳2 + 呜= q 2 ，3 ，1 , 4 】 ( 4 7 ) 彳2 柚+ 4 2 ，= q 2 n 一1 , 2 n ，l , i 】 一h + 如， = q 2 n , 1 ，1 , 2 】- q 1 , 2 ，i , 3 】+ q 2 , 3 ，i , 4 卜讲2 n 一2 , 2 n - 1 ，2 行】 为了得到方程组( 5 ) 的唯一解，可建立约束方程如下； q 2 n ，1 ，l 2 】一q 1 ，2 , 1 , 3 】+ q 2 ，3 ，4 卜d 2 h 一2 , 2 n l ，2 n 1 = q 2 n l ，2 一，l 】( 4 8 ) 则整理约束条件下的方程组( 7 ) 得： 2 n - 1 t 为奇数时有：4 = ( - 1 ) “q ，一如； 扣口 2 h - 1 t 为偶数时有：4 = ( 一1 ) 。g f + a 2 。 p q 由( 4 8 ) 式整理得到关于( e ) f 和( 0 ) f 的关系式：( y d j = 6 l 哆) l + 6 2 将其代入 4 表达式，则以( 墨) j ，a 2 一作为暂知量表示4 得到： 4 = 口n ( 乃) i + a t 2 a 2 + a f 3 ，( f = l ，2 ，2 n 一1 ) 山东大学硕士学位论文 则方程组中只有( 0 ) l 和彳z 。未知 下面讨论对1 ) 中眠) j 和晖) z 和2 ) 中哆) z 和 以。的求解。 先对1 ) 中( 只) l 和( 乃) f 的求解进行讨论对于 图4 1 中毋的邻接区域上编号为t 的三角形，设其相 邻顶点是晶，只2 ，只3 ，如图4 2 所示。从逼近角度来讲， 图4 2 三角形t 的相邻顶点 需要选择( 只) j 和( 凡) j 使t 上定义的曲面片f a x ，) ，) 满足 i f t