（工程力学专业论文）渐进结构优化法在三维热传导—结构耦合优化设计中的应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 热传导与结构耦合系统的设计，是工程中普遍存在的问题，特别是在航空、航天等 工业装备以及电子元器件、微电子机械系统( m i c r oe l e c t r o - m e c h a n i c a ls y s t e m ， m e m s ) 等结构和产品的设计制造方面。本文以热防护系统( t h e r m a lp r o t e c t i o n s y s t e m ，t p s ) 以及m e m s 的设计为工程背景，采用了渐进结构优化( e v o l u t i o n a r y s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，e s o ) 方法，研究连续体热传导一结构耦合系统拓扑优化设计 的理论和数值方法。 本文的研究内容由两部分组成：1 研究稳态二维、三维热传导问题的连续体拓扑优 化设计；2 研究稳态三维熟传导一结构耦合系统的连续体拓扑优化设计。提出了用于热 传导优化的双向e s o 方法，以及热传导拓扑优化中多目标点问题的解决方法。在灵敏 度数分析与单元筛选的研究中，提出了基于灵敏度数统计学概念的阀值判定方法。用 m 觚l a b 编写了三维热传导、熟应力的分析程序，以及e s o 优化算法的程序。对若干 典型算例进行的优化计算，验证了本文方法的有效性。这一研究可为相关领域耦合系统 优化设计的理论研究与软件开发提供重要参考。 第一章，概括介绍了结构拓扑优化与多学科耦合系统拓扑优化设计的发展概况， 及本文的工作与创新点。 第二章，介绍了热传导、热应力计算的有限单元方法。首先介绍了热传导的偏微 分方程，和采用变分原理导出稳态的有限元方程的过程；然后就本文采用的空间八节点 正六面体等参元讨论了其具体的有限元列式。 第三章，详细介绍了本文工作的基础：二维e s o 方法。介绍了考虑应力、刚度约 束条件的e s o 方法，二维热传导的e s o 方法、特别是= 维热传导问题灵敏度数的计 算，是热传导e s o 方法的核心。该章最后给出了用经典二维熟传导e s o 方法进行拓扑 优化的算例，该程序是后续三维研究工作基础。 第四章，介绍三维热传导拓扑优化的e s o 方法。详细介绍了本文关于热传导拓扑 优化的创新之处，包括用于热传导优化的双向e s o 算法，热传导拓扑优化中多目标点 问题的解决方法，以及基于灵敏度数统计学概念的阀值判定方法。并与经典的e s o 方 法进行了对比，本文的方法进行一次灵敏度数分析即可实现单元的删除与添加，可以解 决更加复杂的问题，并且迭代过程中目标函数与拓扑形式的变化更加平稳。最后给出了 数值算例。 第五章，介绍了同时考虑温度目标和刚度约束条件的热一结构耦合问题的e s o 方 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 法研究。以单元的应变能密度作为广义灵敏度数，通过e s o 方法将对结构刚度贡献最 小的单元删除以提高材料的利用率，降低结构重量。最后给出了算例。 第六章，总结了本文工作，并对以本文工作为基础，下一步可以展开的工作进行 了展望。 本人在攻读硕士学位期间参加了多项科研和工程课题( 参见论文中的相关列表) ，为 本文的研究提供了良好的学习和锻炼机会。 本文是国家自然科学基金资助项目“耦合系统的多学科优化设计理论和数值方法” ( 编号1 0 0 3 2 0 3 0 ) 及“复合材料结构宏细观热力力学性能数值模拟与优化设计”f 编号 1 0 4 0 2 0 0 5 ) 的部分研究内容。 关键词：渐进结构优化法：热传导；耦合系统；三维；拓扑优化；温度灵敏度数；威蜜 能密度；双向；多目标；虚拟载荷放大函数 一 奎垄堡三奎兰堕主堂堡堡茎一一 t h e a p p h c a f i o n o fe s o i n3 dt h e r m a l s t r u c t u r a lc o u p l e ds y s t e m s a b s t r a c t t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o no f t h e r m a l s t m c t u r a lc o u p l e ds y s t e mi s ac o n l m o n p r o b l e m i n e n g i n e e r i n g e s p e c i a l l yi nt h ef i e l d so fa e r o n a u t i c a l ，a s 瑾u 】d c a le q u i p m e n t ，e l e c t r o n i cp a r t s a n dm i c r oe l e c t r o - m e c h a n i c a ls y s t e m b a s i n go nt h eb a c 碗 u n do f t h e r m a lp r o t e c t i o ns y s t e m f r p s ) a n d m e m s d e s i g n i n g ，t h i st h e s i sf o c u s e do n t h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls t u d yo f3 d c o n t i n u u mt o p o l o g y o p t i m i z a t i o n o ft h e r m a l s t r u c t u r a l c o u p l e ds y s t e mb ya d o p t i n g t h e e v o l u t i o n a r y s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ( e s o ) m e t h o d t h er e s e a r c ho f t h i sd i s s e ! t a t i o nc o n s i s t so f t w o p a r t t h e f i r s tp a r ti n v o l v e st h e2 da n d3 d c o n t i n u u m t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n o f h e a tc o n d u c t i n gf i e l d t h es e c o n d p a r ti st h e3 d c o n t i n u u m t o p o l o g yo p t i m i z a t i o no f t h e r m a l - s t r u c t u r a lc o u p l e ds y s t e m ab i d i r e c t i o ne s o a l g o r i t h ma n d a m u l t i - o b j e c t i v ee s oa l g o r i t h ma r ep r o p o s e d t os t r e n g t h e nt h ec o n v e n t i o n a le s o a l g o r i t h m a s e n s i t i v en u m b e r a n a l y s i sa n de l e m e n ts e l e c t i n gs c h e m ei sc a r r i e do u tb a s i n go n t h eh i s t o g r a m s t a t i s t i c so ft h es e n s i t i v en u m b e r s s e v e r a lt y p i c a ln u m e r i c a le x a m p l e si sp r e s e n t e dt oi l l u s l r a t e t h ee f f e c ta n d e f f i c i e n c yo f t h i sr e s e a r c h ，w h i c h i sb e l i e v e dt ob ea n i m p o r t a n t f o u n d a t i o nf o rt h e t h e o r e t i c a ls t u d ya n ds o f t w a r e d e v e l o p i n g i nr e l a t e df i e i d s i nc h a p t e ri ，t h e 睁d a t er e s e a r c hw o r k0 1 1s t r u c t u r a la n dm u l t i d i s c i p l i n a r yd e s i g n o p t i m i z a t i o n i ss u r v e y e d a n dt h ei n n o v a t i o no f t h i sd i s s e r t a t i o ni ss u m m a r i z e d 。 i nc h a p t e ri i t h ef i n be l e m e n tm e t h o df o rh e a tc o n d u c t i n ga n dt h e r m o - e l a s t i ca n a l y s i si s s u r v e y e d f i r s t l yt h eg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a lf o r m u l ao f h e a tc o n d u c t i o ni si n t r o d u c e da n dt h e n t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r m u l ao f s t e a d yh e a tc o n d u c t i o ni si m p l e m e n t e db y t h ev a r i a t i o n t h e o r y t a k i n gt h es i x - n o d eh e x a h e d r o ne l e m e n tf o re x a m p l e ，t h ed e t a i l e df e m f o r m u l a t i o n s a r c d e v e l o p e d i n c h a p t e r 、t h ec o n v e n t i o n a l2 de s om e t h o di sp r e s e n t e d a sar e f e r e n c ea n d f o u n d a t i o no f t h es u c c e s s i v er e s e a r c h ，t h ee s of o rs r e s sc o n s t r a i n t s ，g l o b a ls t i 血e $ $ c o n s t r a i n t a n dh e a tc o n d u c t i o nf i e l di sd i s c u s s e di nd e t a i lr e s p e c t i v e l y t h es e n s i t i v en u m b e rd e r i v e df r o m t h eh e a tc o n d u c t i n gg o v e r n i n ge q u a t i o ni st h ek e m e | o ft h eh e a tc o n d u c t i n ge s o s e v e r a l 。- 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 e x a m p l e s a r ep r e s e n t e dt oi l l u s t m t et h em e t h o d u s i n g t h ep r o g r a m d e v e l o p e d u n d e rm a t l a b ， w h i c hi st h ef o u n d a t i o no f 3 d p m g r a m i nc h a p t e ri v , t h ee s of o r3 dh e a tc o n d u c t i n gi si n t r o d u c e di nd e t a i l s e v e r a li n n o v a t i v e m e t h o di sd i s c u s s e di nd e t a i l t h ec o n v e n t i o n a le s o s3 da p p l i c a t i o ni sa l s op r e s e n t e da sa c o n t r o lf o rc o m p a r i s o n ，n u m e r i c a l e x a m p l e s a r ep r o v i d e d i n c h a p t e rv ，t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mh a v i n gat e m p e r a t u r eo b j e c t i v ea n ds t i f f n e s s c o n s t r a i n ti st a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o n t h ei n d i v i d u a le l e m e n t ss t a i ne n e r g y d e n s i t y i sc a l c u l a t e d a sag e n e r a l i z e ds e n s i t i v en u m b e rf o re s o m e t h o d b yr e m o v i n gt h ee l e m e n t st h a th a v et h e l e a s tc o n t r i b u t i o nt ot h es t r u c t u r a lg l o b a ls t i 岛e s s ，t h ee f f i c i e n c yo fm a t e r i a li nt h er e m a i n i n g s t r u c t u r ei si m p r o v e da n dt h ew e i g h ti sr e d u c e d i nc h a p t e rv i ，t h ec o n 伍b u f i o no ft h i sd i s s e r t a t i o ni ss u m m a r i z e da n dt h ef u t u r ew o r k i s s u g g e s t e d t h er e s e a r c ho f t h i sd i s s e r t a t i o ni ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n o f c h i n a ( n o 1 0 0 3 2 0 3 0 a n d n o 1 0 4 0 2 0 0 5 ) k e yw o r d s ：e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ；h e a tc o n d u c t i o n ；c o u p l e ds y s t e m ； t h r e ed i m e n s i o n ；t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ；t e m p e r a t u r es e n s i t i v en u m b e r ；s t r a i n e n e r g y d e n s i t y ；b i - d i r e e t i o n ；m u l t i - o b j e c f i v e ；f i c t i t i o u sl o a da m p l i f i e rf u n c t i o n ， 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：熔选日期：星! 堕笸：龇 大连理工大学硕士学位论文 第章绪论 1 1 引言 多学科优化设计( m u l t i d i s c i p l i n a r yd e s i g no p t i m i z a t i o n ，m d o ) 是近十年来迅速发 展的新的交叉学科。其目的是研究在工程结构设计阶段，同时考虑两个或两个以上学科 所涉及的多种物理场耦合作用，从而获得满足工程需要的最佳设计方案f l j 。 热一结构耦合系统的设计问题，普遍存在于工程中，特别是在航空、航天、发动 机、内燃机、热力机械、锈源和化工等工业装备以及电子元器件、微电子机械系统等结 构和产品的设计制造方面，而且，在热加工、热处理、热成形等制造工艺中，也存在类 似的问题。传热和结构响应( 如热应力、变形、屈曲、振动) 以及它们之间的耦合作 用，是设计分析的主要研究内容，展开热传导一结构耦合优化设计研究有着重要的理论 和实践意义【z j 。 1 2 结构优化设计 优化设计是设计概念与方法的种革命，它采用系统的、面向设计目标的、标准化 的工作程序与方法，来替代传统的试验纠错的手工方法。优化设计是寻求最好或最合理 的设计方案，而优化方法便是达到这一目的的手段。虽然对大多数现实问题而言，由于 耗费资源过于巨大，最佳设计的不一定能实现，但它提供了一种指导思想与标准，形成 了概念框架( 问题识别，定义，模型化，求解与评比) 和运作手段。只要该问题存在有 多种解决方案，优化方法还能被应用于处理其他问题上，故它是求解问题和帮助决策的 手段与工具。 + 结构优化设计从马克斯威尔理论( m a x w e l l ，1 8 8 0 ) 和密歇尔( m i c h e l l ，1 9 0 5 ) 桁 架出现起已有百年，从施密特( s c h m i t ) 用数学规划来解决结构优化计算起也有4 0 多 年的历史。特别是在过去3 0 年里，理论算法和应用方面都取得了长足的发展，应用领 域涉及航空、航天、机械、土木、桥梁、汽车、铁路、轻工纺织、能源工业以及军事工 业等诸多方面，主要处理那些具有复杂结构系统的设计，如飞机、卫星、机器人、射电 望远镜等，或者仓q 新型产品的设计。 实际结构系统的设计问题，往往十分复杂，涉及各种因素( 环境、载荷、几何特 征、材料、施工、费用) ，受多方面的制约，因此必须抓住问题的主要方面和主要矛 盾，删繁就简、进行抽象，形成数学模型，才能实施优化。因此优化设计的价值与有效 渐进结构优化法在三维热传导- 结构耦合优化设计中的应用 性取决于所用的数学模型和相应的寻优算法，特别是与所选用的设计变量、所考虑的约 束条件和规定的目标或评价函数有密切关系。优化提供的最优解或最优设计只是一个相 对的最优结构，它仅仅是在所选用的约束与评价函数下才是最优的。 建立优化数学模型是开展优化工作的关键一步。对工程技术人员而言，能否从复杂 的现实问题中抓住主要矛盾和本质内容，抽象出合理和性态良好的模型，是优化能否成 功应用的关键。建模通常包括：建立评价方案优劣的准则函数或目标函数；抓住影响问 题的主要因素，提取相应的设计变量；以及根据对问题的各种规定限制与要求，确定有 关的约束条件。 搜索最优解的算法，据不完全统计目前已经有3 0 0 多种，大致可以归纳为三类：数 学规划法、最优准则法和仿生学方法。数学规划法是将优化问题抽象成数学规划形式来 求解，即把问题归结为在设计空间中，由等式约束超曲面和不等式约束半空间所构成的 可行域内，寻求位于最小目标等值面上的可行点，它便是问题的最优解点；最优准则法 是根据工程经验、力学概念以及数学规划的最优性条件，预先建立某种准则，通过相应 的迭代方法，获得满足这准则的设计方案，作为问题的最优解或近似最优解；仿生学 方法是随着仿生学的发展而发展起来的新兴优化算法，有基因遗传算法、模拟退火法、 神经元网络等，该类方法模拟自然界中生物种群的进化过程，依据“适者生存”的原则 来改进设计方案删。 1 _ 3 多学科优化设计及其理论研究 热传导和结构耦合系统的优化设计属于多学科优化设计范畴，主要研究热传导与结 构力学响应耦合作用下的综合优化理论和方法嘲。 多学科优化的发展背景，在于工程结构系统和高科技工业产品越来越复杂，人们对 工业和民用产品的质量要求日益提高，多种物理场的耦合作用越来越突出，且往往成为 决定结构系统性能和产品质量的关键因素。设计研制工作，由原来的从各个学科分门别 类地研究，日益趋向于多个学科的综合分析设计，从更高层次上来考虑工程或产品的设 计与生产，提出了所谓多学科综合优化的概念，优化的对象更为广泛，涉及多种不同的 学科，且彼此间相互耦合和制约。多学科优化可以按照所涉及学科的不同，建立不同的 模型，确定其间的耦合变量与参数，进行平行计算，它们可以在连成网络的多台计算机 上计算寻优，有关的耦合数据、设计变量、目标以及约束数据可以在其间传输。 2 一 大连理工大学硕士学位论文 多学科优化的研究目标是：探索高效的多学科优化求解算法和建立面向设计的多学 科优化软件系统。多学科优化研究的难题之一是计算复杂度高。多学科优化涉及多学科 分析，各学科的计算模型不尽相同，加上学科间的耦合效应，使得完成系统分析的复杂 度大为提高。多学科优化研究的难题之二是信息复杂度高。这是针对多学科优化软件系 统而言的。在集成各学科的分析模块时，如何组织和管理信息，建立数据库，实现多学 科优化软件系统的并行和分布式计算，对于多学科优化软件系统设计者是一个挑战。 结构优化设计中的优化算法、灵敏度分析、近似技术和软件系统的实现技术都能在 多学科优化研究中发挥重要的作用。大多数从事多学科优化的研究者，都曾经从事过结 构优化的研究与应用工作，积累了丰富的理论和工程经验。这些都为多学科优化提供了 良好的基础。 多学科优化研究可追溯到1 9 7 4 年f u l t o n ，s o b i e s z c z a n s k i 等【3 】介绍的一个面向航空飞 行器设计的集成软件系统。该系统涵盖了空气动力学分析、结构分析、性能分析、优化 求解等模块。文中涉及的多学科优化设计思想和研究成果是多学科优化研究领域的早期 工作之一。 1 9 8 5 年以后，多学科优化研究工作开始逐渐受到人们的关注，研究者提出了多种 求解算法和分析技术。a i a a 于1 9 9 0 年成立多学科优化技术委员会，发表了多学科优 化研究白皮书【4 】。该白皮书可以认为是多学科优化研究领域的纲领性文件，标志了多学 科优化研究的真正兴起。 一 多学科优化求解算法可分为两大类：单级算法与分解算法。单级算法在灵敏度分析 和优化求解过程中都将所研究的工程系统作为一个整体 5 r 8 】。单级算法的数学模型提法 简洁、明确、能较全面反映问题，因而较为可靠，能保证求解过程收敛到全局或局部最 优解，可作为多学科优化中的标准算法。该算法的缺点是，当工程系统复杂性提高，所 涉及学科增多，耦合作用增强时，算法的计算复杂度显著提高，求解效率降低。 分析复杂系统的有效方法是将系统分解为若干子系统，降 氐计算复杂度。根据对优 化模型提出的不同近似处理方法可以得出不同的分解算法。目前的研究主要有并行子空 间优化算法、协作优化算法、二级集成系统综合算法三种。 ，3 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 1 4 热结构优化设计及灵敏度分析的研究进展 工程中，常见的一类热结构耦合优化问题就是寻找最佳的几何形式或尺寸以满足 些与热相关的目标凹。通常利用计算机解决这类问题的迭代过程包括：有限元( 或者边 界元) 热问题求解算法，灵敏度分析算法，以及优化方法算法三个部分。在尺寸、形状 设计变量的灵敏度分析评价方面，从八十年代起就有学者对其进行了探讨 1 q 。早在 1 9 8 1 年，h a t t k a 就采用了基于有限元的稳态瞬态场的设计变量灵敏度计算方法j 。 m 商c 建立了热传导固体的形状优化设计灵敏度数计算 l 2 , 1 3 1 。d e r r 岱 1 4 1 与t o 哟r e l l i 【1 5 i 等用 拉格朗日乘子法推导出了线性非线性热系统的灵敏度计算公式。p a r k 和y o o 发展了利 用边界元方法的基于灵敏度的尺寸、形状优化算法【6 1 。s a i g a l 与c h a n d r a 采用边界元方 法讨论了稳态热传导优化问题，设计变量为与对流参数有关的热流。l e e 给出了轴对 称热传导f 司题边界积分方法的灵敏度方程 18 】。为了推动广义非线性优化的程序算法， h o u 和s h e e n 提出了熟传导问题的二阶灵敏度数值算法【1 ”。s l u z a e c 和e i b 盯利用伴随 向量法推导了散热片材料非线性稳态问题灵敏度数刚。m 缸c 将其拓展到广义非线性问 题上 2 ”。d e n t s 与r d u s s e i e r 推导了各向异性材料的连续体有限元形状优化灵敏度数瞄i 。 顾元宪、陈飙松等提出了线性非纷陛稳态瞬态热传导灵敏度分析的精细积分方法。 以上提到的研究成果都依赖于计算基于形状的灵敏度计算，通过改变形状参数( 节 点坐标等) 改变几何边界。虽然这种方法在理论上具有非常重要的意义，但是在实际应 用中存在几点限制：第一，复杂几何形状需要用有效的方式表达才能适应这种精确的灵 敏度分析，也就是说灵敏度分析依赖于边界表达；第二，若干迭代步之后，边界改变会 造成网格畸形，因此需要一个复杂的重剖分过程；第三，设计结果在某种程度上依赖于 初始的拓扑形式。 近二十年来，在研发高效健壮的连续体和结构拓扑优化方面开展了大量工作泌2 8 1 。 采用这些方法优化后的拓扑设计与尺寸形状拓扑优化后设计相比，在结构性能方面有相 当大的改善。这些方法在产品的概念设计阶段具有非常重要的地位刚。为了将弹性力学 问题中的拓扑优化方法用于热问题，q l i 等提出了一种将热传导问题的形状优化和拓 扑优化统一在_ 起的非梯度算法，即利用e s o 方法将传热模型中热流密度最小的单元 删除，使得剩余单元的传热效率均匀化唧 。并且，这种方法很快被用于其它物理场的研 究中m j 。解决具有更加明确目标的拓扑优化问题，关键一步就是计算拓扑灵敏度数。近 年来该方面的研究吸引了大批的学者口”6 】。 相对结构力学拓扑优化问题而言，热传导问题拓扑优化的方法及应用较少被提及。 g r a n d l l i 等人p ”利用g c n e s i s 软件结合变密度法对航空器的热防护系统( i n 】e n n a l 4 大连理工大学硕士学位论文 p r o t e c t i o ns y s t e m ，t p s ) 进行了拓扑优化和尺寸优化设计，研究了热载荷作用下，考虑 应力与自振频率约束的结构应变链最小化问题。e 。l i 等人在文p 鲥0 】的基础上，将渐进 结构优化法h “杞4 3 悯于二维稳态热传导目标点温度极小化问题的拓扑优化，推导了温 度灵敏度数，取得了很好的效果m 。 1 5 渐进结构优化方法 渐进结构优化法( e v o l u t i o n a r ys l r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，以下简称e s o ) 是在这种要 求下提出并发展的。e s o 的基本概念非常简单，即通过将无效或低效的材料逐步删除， 使得结构趋于优化。该方法可以采用已有的有限元分析软件，通过迭代在计算机上实 现，算法的通用性很好。e s o 不仅仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实现形状和 拓扑优化，无论应力，位移用0 度优化，或振动频率，f l 苗界压力优化，都可遵循e s o 的 统一原则和简单步骤进行【4 瓢。e s o 自1 9 9 3 年提出后在国际上引起很大反响，本文将详 细介绍e s o 的原理及发展。 1 6 本文工作 本文以t p s 的设计为背景，将q l i 等人的二维e s o 温度场问题拓扑优化方法 4 4 1 ，成功地用于三维问题，并且在以下方面有所创新： 以热保护系统的设计为背景，针对熟传导结构耦合问题的特点，提出了在将渐进结 构优化方法用于热传导一结构耦合系统拓扑优化问题时，值得重视的两条原则：一、进 行热传导拓扑优化时，应当在尽可能小地改变结构形式的前提下，通过改变传热路径极 小化目标节点温度，为结构优化预留空间；二、结构优化应当在确保不改变传热路径的 前提下，尽可能减轻结构重量并保持尾8 度、强度。 提出了热传导问题的双向e s 0 方法。该方法证明，增加单元与删除单元同样可以 降低目标点温度。即一次灵敏度数计算之后，选定可删除单元( 或者可降级为绝热材料 单元) 集合的过程中，同时选定添加可添加单元( 或者可升级为导热材料单元) 集合的 方法，该方法可以保证在刚氐目标点温度的过程中尽可能减小对结构形式的改变，避免 结构失效，因此对于热传导结构耦合问题的拓扑优化，具有非常重要的意义。 提出了多目标情况下，热传导拓扑优化问题的渐进结构优化方法的理论公式。该方 法通过在虚拟热载荷系统中，对应于目标节点位置上施加的虚拟热载荷，使得单元灵敏 度数能够体现，一个单元的设计变量改变对整个目标节点集合的影响，从而实现对整个 目标节点集合的目标函数值的控制。并且讨论了多目标情况下，影响收敛速度和最终拓 5 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 扑形式、尺寸的因素，这些因素包括目标节点集合的分布对称性、虚拟载荷系统的载荷 形式、本文提出的虚拟载荷放大函数、每次迭代的可交单元集合规模等等。 研究了在单目标、多目标优化过程中，灵敏度数分析筛选过程中需要注意的问题， 提出了新的基于统计学原理的灵敏度数分析方法，以及相应的收敛判定依据。该方法通 过直方图统计方法，将单元灵敏度排序后，记入相应统计区间。以单元的绝对数量作为 删除单元的标准，每次优化过程根据需要删除或者添加一定数量的单元。有效地避免了 按照递增的修改率删除添加单元时，结构形式的剧烈变化。 针对本文中所使用的空间正六面体八节点等参单元的特点，列出了热传导、结构分 析中的有限元列式；由于设计域中所有有限元单元的形状、尺寸完全相同，在从实际坐 标向参数坐标转换过程中，共享同样的雅可比矩阵，本文特别给出了对于本文模型中所 有单元通用的雅可比阵的逆阵以及雅可比阵行列式的解析表达式( 附录a ) 。 最后，分别给出了热传导拓扑优化、热传导一结构藕合问题拓扑优化的数值算例， 证明了方法的正确性和有效性。并且通过对算例的分析，得出了指导性的结论。 文章基本以优化的约束条件来组织，每部分基本内容包括灵敏度分析，数值算例和 与其他分析结果的比较。 6 大连理工大学硕士学位论文 第二章稳态热传导问题的有限单元法及热应力的计算 2 1 引言 在航天、航空等许多重要研究领域中，变温条件下工作的结构和部件，通常都存在 热应力问题。在正常工作的工况下存在稳态的热应力，在启动或者关闭的过程中还会产 生随时间变化的瞬态温度应力。这些温度应力经常发生，甚至成为设计和运行中的控制 应力。本文关注的是三维温度场的稳态温度应力，要计算稳态温度应力，首先要确定稳 态温度场。 结构的热传导分析，可为热处理、热过程和热结构分析提供参考依据。奥齐西克m 详细介绍了热传导控制微分方程并讨论了解析解求解过程，由于结构的形状以及变温条 件的复杂陛，依靠传统的解析方法要精确地确定温度场往往是不可能的，有限单元法却 是解决上述问题的方便而有效的工具。孔祥谦f 4 t 研究了热传导的有限元法。在进入热传 导有限元法的具体讨论以前，首先将热传导问题的基本方程做一扼要的介绍，本文重点 考虑三维热传导问题。 2 2 热传导基本控制方程 傅里叶热传导定律指出 该点的负温度梯度，即 q 。一g r a d t 单位时间内在单位面积上流入物体的“热流密度”正比于 其中t 为温度( ) ，g 为热流密度( w m 2 ) ，结合能量守恒定律， 分方程为 ( 2 1 ) 非稳态热传导微 p c 詈= 嘶g r a d t ) + q ) 式中 1kkl 2 l 勘l ( 2 3 ) l kb j 为热传导张量，其分量满足关系式= k j i ，而q 为单位体积热源的热量( w m 2 ) ， c 为热容( s ( 咯) ) ，p 为密度( 堙m ) 。t 程上各项异性热传导问题，一般考虑对 角线的元素，即k = k ，b = q ，k = e ，在直角坐标系下，可表示为 一7 一 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 詈= 昙卜豢 + 专卜嚣) + 鲁( t 罢) + q 。 百2 瓦l 峰瓦j + 万l q 万j + 瓦l t 瓦州 q 微分方程( 2 4 ) 是热平衡方程，式中左端是微体升温需要的热量，右端前三项是由 x 、y 、z方向传入微体的热量，最后一项是微体内热源产生的热量。以上微分方 程表明：微体升温所需要的热量与传入微体的热量以及微体内部热源产生的热量相平 衡。 如果材料热传导率为常数且热源与温度无关，上式为线性热传导方程。对于各向同 性材料，即t = h = 蚝= a ，式( 2 4 ) 写为 上娶：v z 丁+ 旱( 2 5 ) 瑾o t五 式中v 2 = 昙+ 导+ 导， ， 口为热扩散系数( 或热扩散率或导温系数) ，单位是m 2 s ： g ：三。 ( 2 7 ) g = af 2 l p c 对于稳态热传导问题，其各向同性、各向异性微分方程分别由式( 2 4 ) 并9 1 ( 2 5 ) 简化得 到： 昙 友詈) + 孙雾 + g 吖t i 引- j 咖。 ， v ：r + 拿= ( 2 。9 ， 求解上述热传导方程，必须给定初始条件和边界条件。常见的三类边界条件是： 1 ) 第一类边界条件或d i r i c h l e t 条件：边界上的温度给定 边界s d 处t = t + f 2 1 0 ) 2 ) 第二类边界条件或n e w m a n 条件：边界上的热流密度给定 边界s n 处 a 娑= 可+( 2 1 1 ) 3 ) 第三类边界条件或c a u c h y 条件：对流边界条件 边界s c 处x o _ _ r = 一声叮一死)( 2 1 2 ) 其中p 为边界换热系数( w ( m 2 。c ) ) ，疋为环境温度。 - 8 大连理工大学硕士学位论文 2 3 热传导方程的有限元方法 纷f 生热传导方程的有限元列式可由变分法导出。直角坐标系下热传导微分方程对应 的泛涵为 。 石= 三( ( v ，) 。v h q t + 2 p 。开) 帆j s n q * t d s + 是譬( 弘2 吸) 拈 ( 2 1 3 ) 其中于为温度对时间的导数( 。c s ) 。设结构剖分为若干个单元，单元内的温度场 t = t ( x ，y ，z ) 为 t = 】 t )( 2 1 4 ) 其中 n 】为形函数， t 为节点自由度。这些自由度包括节点温度，也可能包括温 度的空间导数。温度梯度为 t , t y ，z ： 1 = 吲， ( 2 1 5 ) 口 = 影觑，a 移，影瑟 7 【】，( 2 1 6 ) 对泛涵取驻值 a 州a r = o ，非稳态热传导的有限元方程为 c 】+ 芷 = 月( 2 1 7 ) 其中的矩阵和向量定义如下 c 】= l 。p 勺i n r 】d n ( 2 , 1 8 a ) 【k 】- k + 】， 彪- 】= ；。 b p 【占 d q ， _ l 川九 d s r 2 1 8 b ) = ) + 恐卜 r 2 ；q 】t d q 2 莩是口疋 t d s 2 ；驴i n 。d s ( 2 1 8 c ) ( 2 1 8 d ) ( 2 1 8 e ) ( 2 1 8 0 符号表示对单元的集成，下标e 表示单元积分域。( 2 1 7 ) 式的 c 阵称为热容 阵，医 阵称为热传导阵。稳态热传导有限元方程为 9 一 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 k 】 t ) = r ) 2 4 稳态热传导问题有限元列式 2 4 1 单元分析 ( 2 1 9 ) 三维连续体拓扑优化中，由于初始设计域一般都是正六面体区域，因此本文采用了 正六面体八节点等参单元，并推导了其有限单元列式。设计域有限元模型中所有单元对 应的雅可比阵的逆阵【， _ l 是完全相同的，它只与实际剖分网格后每个正六面体单元的 长、宽、高，即口、b 、c 有关，因此在程序中只需要计算一次。在实际编程中，由于 得出了【，】。1 的解析形式，在用到 ，】_ 1 时只需代入口、b 、c 即可。 2 4 2 热传导问题中的三维八节点等参元 八节点块体单元1 2 3 4 5 6 7 8 在局部坐标系如图2 1 ( a ) ，作连接相对面中心点的直线， 称之为孝轴、叩轴和f 轴，取其交点为原点，就得出一新的坐标系，称为基本单元或母 单元坐标系。母单元中各点坐标 ( 轰，r h ，石) 2 ( 一1 ，一1 ，一1 ) ，( 岂，玎：，乞) = ( 1 ，一1 ，一1 ) ， ( 岛，r 3 ，) 2 ( 1 ，1 ，- 1 ) ，( 螽，叩。，厶) = ( 一l ，1 ，1 ) ， ( 彘，仉，六) 2 ( 一1 ，一1 ，1 ) ，( 彘，r 6 ，彘) ：( 1 ，- 1 ，1 ) ， ( 岛，叩7 ，白) 2 ( 1 ，1 ，1 ) ，( 蠡，r h ，缸) = ( 一1 ，1 ，1 ) 。( 2 2 0 ) x y z 坐标系与勃f 坐标系的转换关系为 8eb 工= m t ，y = z n , y , ，z = f 气 ( 2 2 1 ) i = lf - li = l 1 式中= 言( 1 + 莓孝) ( i + 研节) ( 1 + f ) ， i = l 一8 ( 2 2 2 ) 1 0 奎垄里三奎堂堡主鲨笙苎 一 8 r 一 f 。 7 i 5 一 两 、 i： ll 垆一 3 3 ； 1 ( a ) 局部坐标系母单元坐标系 图2 1 八节点六面体等参单元 f i g 2 1h e x 8 e l e m e n ti nl o c a lc o o r d i n a t e 根据微分法则 等等等) t - 【j ， 警等警) t 警警警) t - 盯 等丛o r 筹) t ( 2 2 3 ) 式中 【j 】= 形函数的导数为 。 【b 】= a 玉，a i ，a l a ： 【n 】= j 】。 a a 善，a l a , 7 ，a a f l 7 【n 】 单元的各矩阵为 c 】= f 。f 。f 。pc ，【n 1 1 n i j i d 善d 叩d f k 1 = 虬f 。丑 b 】t b t j l d 孝d l t d ( = q “f i n 1 t j i d 孝d r l d ( 第二类和第三类边界条件是作用在单元边面上，可按下式计算。 【曼 = f 。f 。 九 i ，| d 釉叩， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 b ) ( 2 2 6 c ) ( 2 2 7 ) 眦鸳哪一却哪一西 。日。m 乃 h h 弧一西科一却烈一暂 ooom t 畸 盟西盟却盟暂 。m。 渐进结构优化法在三维热传导结构耦合优化设计中的应用 岛) ；g 。f 。 r s l d 善d r 。 热容阵的集中质量阵为 c e = 扛1 “p 勺m 弘，2 ，。 上式各积分项一般采用高斯数值积分计算。 2 4 3 热应力问题中自q 三维八节点等参元 与热传导问题的正六面体八节点等参元的推导过程类似 刚= “f i b 】r d b j i d 孝d r t d ( 2 4 4 三维拓扑优化问题中的系数矩阵特点 ( 2 2 9 ) 结构分析的单元刚度阵 ( 2 3 0 ) 三维拓扑优化作采用的是长方体形设计域，均分单元，节点单元连续编号，若要得 到细致的拓扑形式，必须要纽致剖分单元，由此带来的问题便是，自由度数量大，且随 着迭代地进行，删除的材料增多，刚度阵的中的零元素会越来越多，因此合适的存储方 法与计算方法，就显得尤为重要。 图2 2 和图2 3 是8 8 x 8 网格模型对应的全局热传导阵元素分布示意图，纵横坐 标，分别为矩阵的行列号，圊点表示矩阵中的非零元素( 包括为避免奇异而加入的极小 值) ，图2 3 是图2 2 的