（化学工程专业论文）基于统计和机理的化工工艺优化.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 试验设计和数学建模在化工工艺优化领域中有着广泛的应用，而随 ，一 着计算机技术的飞速发展，其方法和理论在实践中又得到不断完善和 发展。本文主要对试验设计和数学建模的基础理论知识作了较详尽的 ，、一 阐述，并运用试验设计和数学建模进行了三个不同化工工艺过程的优 化研究。 | f 本文的主要研究成果有： l 从试验设计表构造、数学模型以及数据处理等方面比较了正交设计 和均匀设计的相同点和不同点。特别指出正交设计是立足于方差分 析模型的，试验设计的目的是用较少的试验次数给出模型中诸参数 u 、仪、p j 、h 、q 。以及仃：的最好估计。而均匀设计就是给定试验 点数n ，使偏差达到最小的n 个点。正交设计可以采用非常方便的 数据处理方法，而均匀设计则一般需采用回归分析。对多因素、多 水平的试验，均匀设计可配置少于正交设计所需要的试验点。 介绍了化工过程机理建模常用的各种平衡关系和平衡方程，并对化 工流程建模软件的现状作了简要阐述。 运用正交设计和回归分析对三醋酸甘油酯合成工艺条件进行了优 化，所推荐的优化条件在中试试验中得到了验证，三醋酸甘油酯收 率较小试提高了6 个百分点，且反应温度比小试正交试验的较好条 件降低了1 5 2 0 ，减少了能量消耗。 用均匀设计、回归分析结合正交设计对水稳剂配方的研制进行了尝 i l 浙江大学硕士学位论文 试，取得了较满意的效果。在高碱性条件下，碳钢挂片在添加x 1 2 3 0 m g l 、x 26 4 5 0m g l 、x 42 8 0 3m g l 、x 51 4 8 4 lm g l 时， 缓蚀率为9 6 9 3 ，比优化前提高约1 2 。 运用机理分析的方法开发了胜利炼油厂气体分离装置的工艺流程机 理模型，进行了以节能为目标函数的模拟计算，提出了改进方案， 并就部分方案进行了工业应用年节能创效约合17 6 万元。 针对离线优化不能随着原料状况和设备特性的变化及时提出优化方 案，以及单纯使用机理模型进行优化时要求精度较高的工艺操作数 据、详尽的分析数据、和精确而又切合实际情况的物化性质参数等 诸多限制条件的缺陷，提出了胜利炼油厂气体分离装置在线优化系 、 统开发的总体新方案。 7 m 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t e x p e r i m e n td e s i g na n dm a t hm o d e l i n g h a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di n c h e m i c a lp r o c e s so p t i m i z a t i o n ，a n dt h e i rm e t h o d sa n dt h e o r i e sh a v eb e e n c o n t i n u o u s l yi m p r o v i n ga n dd e v e l o p m e m i np r a c t i c ew i t l lr a p i dd e v e l o p m e n t o fc o m p u t e rt e c h n o l o g y t h eb a s i ct h e o r i e so f e x p e r i m e n td e s i g na n dm a t h m o d e l i n g w e r e p r e s e n t e d ，a n dt h r e e d i f f e r e n tc h e m i c a l p r o c e s s e sw e r e o p t i m i z e db ) ，e x p e r i m e n td e s i g na n dm a t hm o d e l i n gi nt h i sp a p e r t h e m a j o r c o n t r i b u t i o n so f t h i sp a p e ra r es t a t e da sf o l l o w s ： t h ec o m m o na n dd i f f e r e n tf e a t u r e so fo r t h o g o n a ld e s i g na n du n i f o r l r l d e s i g n w e r e c o m p a r e d i ns o m e a s p e c t s s u c ha st h e s t r u c t u r eo f e x p e r i m e n td e s i g nt a b l e ，m a t h e m a t i cm o d e la n dd a t aa n a l y s i s i ti s e s p e c i a l l yp o i n t e do u tt h a tt h ee x p e r i m e r t to b j e c t i v eo fo r t h o g o n a ld e s i g n b a s e do nv a r i a n c ea n a l y s i si st og e tt h eb e s te s t i m a t ef o ra 1 1p a r a m e t e r s s u c ha s u ，0 【。，a ，7 k ，r l 】a n d6 二i n t h em o d e l ，w h i l ei nu n i f o r md e s i g n ne x p e r i m e n td o t sa r eg i v e n ，t h eo n e sw h i c hr e s u ri nt h el e a s td e v i a t i o n o r t h o g o n a ld e s i g n h a s v e r 3 c o n v e n i e n tm e t h o d sf o rd a t a t r a _ q 。s a c t i o n ，u n i f o r md e s i g nu s u a l l 3 。u s e sr e g r e s s i o na n a l y s i st ot r a n s a c t d a t a u n i f o r m d e s i g n n e e d s f e w e r e x p e r i m e n t d o t st h a n o r t h o g o n a l d e s i g n f o r t h ee x p e r i m e n t sw i 也m o r ef a c t o r sa n d1 e v e l s u s u a le q u i l i b r i u mr e l a t i o n sa n de q u a t i o n si nm e c h a n i s mm o d e l i n gf o r c h e m i c a lp r o c e s sw e r ei n t r o d u c e d t h e p r e s e n ts i t u a t i o no fm o d e l i n g s o f t w a r ef o rc h e m i c a lp r o c e s sw a s b r i e f l yp r e s e n t e d i nt h eo d t i m i z a t i o no fp r o c e s sc o n d i t i o n sf o rt r i a c e t i n s y s n t h e s i sb y o r t h o g o n a ld e s i g n a n d r e g r e s s i o n a n a l y s i s ，t h eo p t i m i z e dp r o c e s s c o n d i t i o n sw e r er e c o m m e n d e d ，w h i c hw e r ev e r i f i e di nt h ep i l o tt e s t s t h e y i e l do f t r i a c e t i n w a sr a i s e db y6 a n dt h er e a c t i o nt e m p e r a t u r ew a s15 2 0 l o w e rt h a nt h a to ft h eb e n c h s c a l eo r t h o g o n a lt e s tc o n d i t i o n s s o t h ee n e r g y c o n s u m p t i o nw a s a l s or e d u c e d 浙江大学硕士学位论文 i nt h ef o r m u l a so p t i m i z a t i o ne x p e r i m e n to fw a t e rq u a l i t ys t a b i l i z e r , u n i f o r m d e s i g n ，r e g r e s s i o na n a l y s i sa n do r t h o g o n a ld e s i g nw e r e u s e df o r t h ed e v e l o p m e n to ft h ef o r m u l a s a n ds a t i s f a c t o r yr e s u l t sw e r eo b t a i n e d u n d e rt h ec o n d i t i o no f h i g ha l k a l i n i t y ，a n t i c o r r o s i v er a t i oo f t h ec a r b o n s t e e ls h e e tw a s9 6 9 3 w h i c hi sa b o u t1 2 h i g h e rt h a nt h a tb e f o r e o p t i m i z a t i o nw h e nx l 2 3 0m g l ，x 26 4 5 0m g l ，x 42 8 0 3m g l ，x 5 1 4 8 4 1m g lw a sa d d e di nt h ee x p e r i m e n ts o l u t i o nr e s p e c t i v e l y 1 1 1 em e c h a n i s mm o d e lo f g a ss e p a r a t i o ne q u i p m e n t o fs h e n g l ir e f i n e r y w a se s t a b l i s h e db ym e c h a n i s ma n a l y s i s t h ep r o c e s ss c h e m e sw e r e s i m u l a t e df o re n e r g ys a v i n gb a s e do nt h em e c h a n i s mm o d e la n ds o m eo f t h ei m p r o v e ds c h e m e sw e r eu s e di 1 3 - i n d u s t r y ，t h r o u g hw h i c hab e n e f i t a r o u n d ￥1 7 6 0 0 0 0 ah a sb e e na c h i e y e d t h eo p t i m i z a t i o ns c h e m e sc a l ln o tb ep r o v i d e di nt i m e b yo f fl i n e o p t i m i z a t i o nw i t l lt h ec h a n g e so f t h ef e e d s t o c ka n d e q u i p m e n t t r a i t a n d a g o o dm a n y r e s t r i c t e dc o n d i t i o n ss u c ha sm o r ea c c u r a t e p r o c e s s o p e r a t i n gd a t a , e l a b o r a t e da n a l y s i sd a t a ，e x a c tp h y s i - c h e m i c a lp r o p e r t y p a r a m e t e r sb e i n g t r u eo f p r a c t i c a l c o n d i t i o n sw e r en e e d e dw h e n m e c h a n i s mm o d e li ss o l e l yu s e di nc h e m i c a lo p t i m i z a t i o n t oc o u n t e r t h e s es h o r t c o m i n g s t h en e wo v e r a l ls c h e m eo f 也eo n - l i n eo p t i m i z a t i o n s y s t e m f o rg a ss e p a r a t i o ne q u i p m e mo fs h e n g l ir e f i n e r yw a s d e v e l o p e d v 浙江大学颐士学位论文 致谢 衷心感谢胡上序教授、我的导师麻红昭副教授和高 鸿顺教授给予的悉心指导和大力帮助。 衷心感谢王志亮、于成强、严国祥高级工程师和鲍 杰、邵常东、许晓东工程师给予的大力合作和帮助。 衷心感谢李言浩、李国富高级工程师和袁树成、许 军、吴忠华、张海泉、安雅明工程师等给予的大力帮助。 衷心感谢何小其博士生的热心帮助。 衷心感谢我的妻子和父母所给予的巨大支持和帮 助。 衷心感谢所有提供帮助的领导、老师、同事、同学。 隋保友 2 0 0 0 年3 月 于浙江大学、齐鲁石化公司研究院 _ ， 浙江大学硕士学位论文 第一章概述 化工工艺过程是指根据需要的具体任务，选定了适当的化工工艺路 线、单元操作和化工设备后，通过适当组合而形成的一个完整过程。化 工工艺过程的优化问题可分为三大类：流程的优化，设备的优化，以及 操作条件或材质配方的优化。无论哪一类优化问题，恰当地建立对象的 数学模型终究是求解问题的基础。在化工过程计算机仿真技术有很大发 展的今天，化工工艺过程优化技术正在逐渐走向成熟。以下拟对五种常 见的化工过程的优化技术作简要回顾，即统计建模分析法、机理建模分 析法、经验机理建模分析法、统计调优法、模式识别法。 统计建模分析法是指首先取历史试验或生产数据记录，用统计建模 方法求取输入输出变量间的数学模型，再根据数学模型及约束条件进行 最优化计算，取得最优操作参数。此法所用的方程，可以是线性方程、 多项式非线性方程、或其它任何形式的方程。这些方程的形式，可以根 据专业人员的经验选定，也可根据实际数据由算法自动确定。它们的选 用，系根据经验判断或统计分析的结果，可以完全没有化工理论依据。 在化工科研开发过程中，可以运用正交设计和均匀设计进行试验方案设 计，用统计分析建立数学模型，优化工艺条件或配方。 机理建模分析法是指通过理论分析，得到能反映所研究对象的性质 和行为规律的一组方程，即机理方程，再根据机理方程及约束条件进行 最优化计算，取得最优操作参数。在过程机理明确、物性数据齐全的情 况下，可用此方法进行化工过程优化。 经验机理建模分析法是指由基本原理和简化假设导出机理骨架方 程，再根据实际观测数据，用统计方法识别方程的系数，再根据机理骨 浙汪大学硕士学位论文 架方程及约束条件进行最优化计算，取得最优操作参数。在实际应用中， 由于许多化工过程机理十分复杂，常采用这种方法。 统计调优法就是将统计分析方法应用于工艺操作条件的优化，它不 涉及过程的内部机理，只根据化工过程的运行数据或试验数据，有计划 地改变操作条件( 在某一稳态操作点附近，在生产工艺许可的条件下， 从正负两方向依次改变主要操作参数) ，在生产产品的同时取得优化生 产过程的信息。在整个调优过程中，确定调优目标、调优因素分析、建 立统计调优模型是统计调优法的三个核心部分，然后用最优化方法如多 维极值搜索求解统计调优模型，确定最佳操作条件和调优路径。 模式识别法是一类特定的统计分析方法，它的基本原理是：以过程 操作数据为依据，选取与工艺参数集合相对应的目标函数最佳值和最坏 值若干组，将其描绘在以多因子既工艺参数为坐标的多维空间中，然后 用模式识别法考察其空间分布，设法找到一个平面或超曲面，将多维空 间分离成“好区”、“次好区”、“中间区”、和“次坏区”、 “坏区”、等等。调整工艺参数使目标函数落入“好区”中，以实现调 优目的。 上述诸方法中以统计建模分析法、机理建模分析法、经验机理建模 分析法应用较为广泛，花费少而经济效益明显。在统计建模分析法、经 验机理建模分析法中，为了用较少的试验点反映化工过程的行为，在优 化过程中，人们常采用试验设计与数理统计技术相结合的方法来进行化 工过程的优化。本文拟从不同角度比较正交设计和均匀设计的相同点和 不同点，对数学建模的基础理论知识做了较详尽的阐述。 我们运用试验设计对化工科研开发领域的二个课题进行了试验方案 设计，试验数据经回归分析和方差分析，确定了数学模型。对目标变量 浙江大学硕士学位论文 进行了有约束的求解，优化了工艺条件和配方。运用纯机理模型对胜利 炼油厂气体分离装置进行了离线优化。运用试验设计、统计建模、机理 建模、数值仿真以及人工智能等领域的理论知识，提出了胜利炼油厂气 体分离装置在线优化系统开发的总体新方案。该系统综合利用了试验设 计、数学建模、数值仿真以及人工智能等领域的理论知识，拟采用面向 对象语言编程，根据基本功能编写为相对独立的模块形式，最后以模块 化原则集合成为整体。这样将便于维护修改，扩充和延伸。在本装置试 验成功后，将比较容易地移植应用到其它气分装置，也可以将其中主要 的方法部分增加必要的功能模块后应用到其它石油化工装置。在若干装 置试验成功后，可形成一种通用的框架在更大范围推广。 浙江大学硕士学位论文 第二章正交设计和均匀设计 2 1 试验设计发展史 本世纪3 0 年代，英国学者r a f i s h e r 运用均衡排列的拉丁方，解 决了长期以来未能解决的试验条件的不均匀问题，提出了方差分析法， 创立了试验设计( d e s i g no fe x p e r i m e n t s ) ，从此试验设计成为统计科学 的一个分支。随后，f r a t e s ，r c b o s e ，0 k e m p t h o m e ，w g c o c h r a n ， d r c o x 和g e p b o x 对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支 在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。6 0 年代，日本统计学者田口玄 一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出 为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。田口玄的方法对我 国试验设计的普及和广泛应用有巨大影响，7 0 年代我国许多统计学家深 入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人 员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果。“2 ” 在试验设计的发展道路上，如果说f i s h e r 创立传统的试验设计是第 一个里程碑，正交表的构造和开发是第二个里程碑，那么日本学者田口 玄一开发的s n 比试验设计则是第三个里程碑，为试验设计开拓了更为广 阔的应用领域，为优质产品的设计和开发提供了非常有效的工具。但是， 对多因索多水平的试验，正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的 试验，常使得试验者望而生畏。许多实际问题要求有一种新的试验方法， 它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1 9 7 8 年提出了均匀 设计。均匀设计是目前试验设计中最优秀的方法之一，最大特点是试验 次数少，可节约大量人力和物力，适用于多因素、多水平的试验设计场 浙江大学硕士学位论文 合。” 试验设计的方法很多，在我国最为流行的是正交设计和均匀设计。 这两种试验设计方法与其他的试验设计方法，如最优设计、旋转设计、 稳健设计和贝叶斯设计相辅相承。只有了解各种试验设计方法的模型、 方法以及有关性质，才能选择适合你研究课题的所需。本章主要讨论正 交设计和均匀设计的关系。 2 2 正交设计 正交试验设计，简言之，就是按照正交表安排试验。这里的正交是 指试验安排中各因素水平取值对称、搭配均匀；既没有遗漏、也可以不 重复。这些性质是由正交表所决定的。正交设计具有“均匀分散、整齐 可比”的特点。由于均匀分散，正交设计可以节省试验次数，使每一个 试验有很好的代表性；由于整齐可比，试验次数至少为水平数的平方， 当水平数较大时，试验次数将大得难以为实际部门所接受。 2 2 1 正交设计表及其使用 统计学家将正交设计通过一系列表格来实现，这些表叫做正交表。 每一个正交设计对应一个记号l n ( q x q ；) ，以表示其功能，这里n 表示需要试验的数目，q t 表示第一列有q 。个水平，q 。表示第s 列有 q ，个水平。当有些列水平数相同时，记为l n ( q 。“x q 。“) ，这时t l + + t m = s 。当所有列水平数相同时，记为l n ( q 5 ) 。正交设计强调“均衡性”， 既对每个因素的诸水平要一视同任，同时对任两个因素的所有水平组合 要一视同任。张里千教授用“均匀分散、整齐可比”来形容上述性质是 浙江大学硕士学位论文 很形象的。 表2 1 就是一个正交表。这里l 是正交表的标记，下标9 表示需做9 次试验；括号中的底数3 表示试验中的每一个因素有三个水平；括号中 的指数4 表示可以安排的因素个数不能超过4 。 从表2 1 可以看出，每一列所有水平一次数一样多：每两列所有可 能的水平组合出现的次数一样多。用正交表安排试验的步骤很简单，若 用表2 1 安排一个4 因素3 水平的试验，可将4 个因素分别放在表2 1 的表头上，然后将每个因素的三个水平对应的放在各列上。 1正交表l 。( 3 4 ) n o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 2 2 正交设计的数学模型 正交设计是立足于方差分析模型的。例如，若有四个因素a 、b 、c 、 d ，每个因素取四个水平，且因素间没有交互作用，相应的统计模型是： 式中i ，j ，k ，1 分别表示因素a ，b ，c ，d 分别取水平i ，j ，k ，l ，y ，表 示在水平组合a t b ，c k d t 下的响应( 既试验结果) ，l a 表示所有水平组合的 平均响应值，a t 表示a 在水平a ，时的主效应，d j 表示b 在水平b j 时的主 6 墼：； d俚旺 0 ： 社 i 丫 6 i + o 竹 m 一 + 丫 仉。 堆旷旷 u + + = p q + + “m m ，、l 浙江大学硕士学位论文 效应，y k 表示c 在水平c k 时的主效应，t 1 t 表示d 在水平d 一时的主效应， 。表示试验误差，常假定e ( 。，) = 0 ，v a r ( e m 。) = d 2 ，以及试验误 差( i j k 。) 相互独立。 试验设计的目的是用较少的试验次数给出模型中诸参数u 、a t 、b 。、 、t 1 ：以及彳的最好估计。m 小1 1 1 2 2 3 正交设计试验的数据处理 正交设计试验传统的数据处理方法有方差分析、极差分析、回归分 析。若要讨论各个因素对指标有无明显的影响，常采用方差分析和极差 分析的方法。若要研究试验结果( 因变量) 与各个因素( 自变量) 之间 的定量关系，通常采用回归分析的方法处理试验数据。 方差分析的实质在一定程度上就是把总的变差平方和分解为各个因 素和随机误差的变差平方和，从而可区分和判别各因素对指标的影响。 极差分析就是通过极差的分析和比较，来判别各因素影响的大小。由极 差分析代替方差分析主要在于用极差估计标准差，而不必计算变差平方 和，因此计算量可有明显的减少。在因素比较多和因素间的交互作用繁 杂时，往往会产生混杂现象。此时，如果用方差分析和极差分析方法处 理数据，存在诸多麻烦；采用回归分析将会帮助我们将混杂的效应和交 互效应分离出来。运用回归分析筛选变量的技术( 逐步回归法、后退法 等) ，我们不仅可以知道那些效应显著，而且还可以估计它们。“”“”“” 2 3 均匀设计 均匀设计是1 9 7 8 年中国科学院应用数学所研究员方开泰和学部委 浙江大学硕士学位论文 员王元将数论与多元统计相结合创立的一种全新的试验设计方法。均匀 设计是目前试验设计中最优秀的方法之一，最大特点是试验次数少，可 节约大量人力和物力，适用于多因素、多水平的试验设计场合。这种方 法在国内诸多领域应用已取得了丰硕成果和巨大的经济效益，并得到国 际数学界和数理统计界专家学者的好评。 2 3 1 均匀设计表及其使用 均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精心设计的表来进行试验 设计的。每一个均匀设计表有个代号l j ( q 3 ) 或u 。( q 3 ) 。其中“u ” 表示均匀设计，“n ”表示要做n 次试验，“q ”表示每个因素有q 个水 平，s 表示该表有s 列。l 的右上角加“”和不加“”代表两种 不同类型的均匀设计表。通常加“”的均匀设计表有更好的均匀性，应 优先选用。表2 2 是均匀设计表u i ( 6 4 ) ，表示要做6 次试验，每个因 素有6 个水平，该表有4 列。 。 表2 2 均匀设计表u 。+ ( 6 4 ) n o 12 34 每一个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从均匀设计 表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。表2 3 8 浙江大学硕士学位论文 为u 。+ ( 6 ) 的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1 ，3 两列来 安排试验：若有3 个因素，应选用1 ，2 ，3 三列，。最后一列d 表示刻 划均匀度的偏差，偏差值越小，表示均匀度越好。 表2 3u f ( 6 4 ) 的使用表 s列号d 2130 1 8 7 5 31230 2 6 5 6 412340 2 9 9 0 利用均匀设计安排试验的步骤和正交设计相似，但也有不同之处。 通常有如下步骤： 1 ) 根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 在科学研究中，经常需要做各种试验，以研究各种因素之间的关系， 找到最优的工艺条件或最好的配方。因素和水平的选择、试验方案的设 计，是一个试验能否成功的关键。 如何从众多的有关因子中挑选出试验方案中的因素呢? 我们建议课 题负责人应当邀请有经验的工程师、技术员、工人共同决定。在一次试 验中，因素不宜太多( 如超过q 0 个) ，那样可能造成主次不分，丢了西 瓜、拣了芝麻：也不能太少( 如只取1 、2 个因素) ，这样可能会遗漏重 要的因素或因素间的交互作用，使试验达不到预期的目的，事倍功半， 劳而无功。 试验的范围应当尽可能大一点，太小则不易获得比已有条件有显著 改善的结果。这在试验室比较容易实现，而在实际生产中要注意避免产 生过多次品或发生危险。 每个因素的水平个数最好适当多一些，以便于后续的分析处理的稳 定性和可靠性。当因素的水平数增加时，均匀设计的试验次数按水平数 浙江大学硕士学位论文 的增加量在增加，而正交设计的试验次数按水平数的平方的比例在增 加。如当水平数从9 水平增加到1 0 水平时，均匀设计的试验次数也从9 次增加到1 0 次，而正交设计的试验次数将从8 1 增加到1 0 0 。因此，每 个因素的水平个数适当多一些，均匀设计的试验次数不会增加太多，试 验部门还是能够承受的。另外，当因素的水平达不到实际的精度时，可 以采用拟水平的方法。但这时需要注意，试验次数应该是各个因素的水 平的公倍数( 如次数为1 2 时，各因素可取2 、3 、4 、6 、1 2 水平) 。 2 ) 试验次数的选择 选择试验设计的目的是能在少作试验的情况下得到最佳工艺条件参 数。希望能少作几批试验，但不是追求最少的试验次数，因为均匀设计 使用最小的试验次数时不一定能获得最佳工艺参数。选择试验次数与试 验中需要考察的自变量x 的个数有关。试验次数多一些，揭示的规律准 确程度就高一些。试验次数与自变量个数之间如何权衡需慎重进行选择， 在力所能及的情况下，以试验次数安排得多一些为佳。我们认为，选择 的试验次数大于或者等于自变量个数的2 3 倍为妥。 3 ) 选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出 列号，将因素分别安排到这些号上，并将这些因素的水平按所在列的指 示分别对号，则试验就安排好了。 4 ) 条件数作为均匀性准则 根据均匀设计表及相配的使用表从因素空间选出所需试验的点集。 称为设计矩阵x ，它与其转置矩阵x 相乘，得到矩阵x x 称为信息矩阵。它 的各特征根和特征向量，在回归分析和其它多元分析中有着极为重要的 意义。而条件数则是把各特征根作为一个整体而定义出的一个量。条件 1 0 浙江大学硕士学位论文 指数( c o n d i t i o ni n d i c e s ) 定义为：最大特征根与每个特征根比值的平方 根。未退化的设计矩阵的条件指数数目等于因数数，显然最小一个条件指 数为1 ，而其中最大的条件指数称为矩阵x x 的条件数( c o n d i t i o n n u m b e r ) ，有时也称为x 的条件数。 当一个设计矩阵的条件数趋于无穷大，说明这些变量，包括常数项在 内，是线性相关的；这一数值大，说明这些变量之间共线性强，使回归结 果不稳定，甚至使离开试验点的各估计值或预计值毫无意义。条件数大 于1 0 ，认为有中等共线性，它不仅说明按线性回归所得预计值不稳定， 即它们的误差大：同时这也是一种不均匀：在这里，“均匀”指试验各点 不处于同一条广义直线上的程度高：相反，如果各试验点近似在同一条线 上，即说明在多维空间的分布接近是降维的，其不均匀的直接意义是显然 焉鬻学擎墨缀蕊一 一停一n軎。矧& 吲豇 l g：&2盼良包l g ； 塑盟 一一一一。，。，。，。1。一一一一m坞”堪塘均均加肌n毖弛拈孔孔撕筋 计一方一 釜缝鬻蠡瓣蝼鞭麟生型；引。；：；0 堕 枞一一一。_。，。一搠一。，。8。mmnn挖挖nnmm巧坫 浙江大学硕士学位论文 的。因此，我们建议用条件数作为优良性或均匀性的一个标准，判断和挑 选均匀设计表及适合的拟水平办法。表2 4 列出了有“十”号设计表的两 个最大使用表条件数，供使用者参考。 2 3 2 均匀设计的数学模型 对一个复杂的系统，有一批输入参数x 一，x ；，当参数输入后，需 要经过很复杂的计算才能获得输出y 。数学上可表示为： y = g ( x l ，x ：) ( 2 2 ) 式中y 为输出，g 为x 一，x 。的函数，通常g 的计算很复杂且很难给出 解析表达式。这种情况下，可以精选一批有代表性的参数组合，预先算 出它们相应的输出，其相应数据记为： x ，x y t ：k = 1 ，n ， 表示共选取了n 组输入参数集合。利用回归分析的理论和方法可建立y 和x 。，x 。，之间的回归模型，用来逼近真正的模型( 2 2 ) 。这一想 法提出了两个要求“6 1 ： 1 ) 给出能填满空间的试验设计方法： 2 ) 给出一套建立输入和输出统计模型的方法。 均匀设计就是应第一个要求而产生的新的试验设计方法。 由于模型( 2 2 ) 中函数g 的类型十分广泛，古典的方差分析模型( 如 模型( 2 1 ) ) 已不能适应这一要求。从七十年代后期至八十年代，许多 学者提出了各式各样的数学模型和相应的试验设计方法，其中最流行的 为“均值模型”，其想法如下： 考虑参数范围c 。= 0 ，1 。，既每个参数均在 0 ，1 中变化，我们希 望通过r 1 次试验估计y 在c 上的平均值，即估计 浙江大学硕士学位论文 m ( g ) = 肛”r 0 1g ( x x 。) d x 。d x 。， 若在试验区域内取出n 个点= ( xn ，x 。) ，k = i ，n ) ，并 用函数g 在这n 个点的均值g ( x ，) - - - 肌e ，g ( x , l - ，) ( b ) 来估计m ( g ) 这个估计值的误差由著名的k o k s m a h l a w k a 不等式给出如下： m ( g ) 百isv ( g ) d ( v “) 式中v ( g ) 给出函数g 的波动大小( 数学上成为全变差) ，d ( p 。) 给出 点集p 。在c 5 中均匀分散的程度，称为p 。的偏差。偏差d ( p 。) 越小，则估 计的误差越小，因此，应当选择使d ( p 。) 达到极小的试验点集p 。，即让这 n 个点尽可能均匀地散布于c 5 中。 综上所述，给定试验点数r l ，所谓均匀设计就是使偏差达到最小的n 个点。 2 3 3 均匀设计的数据处理 对于工程技术，科学研究中出现的最优化问题进行定量的分析，建 立数学模型是最优化方法中一个非常重要的方面。显然，任何一个特殊 的最优化数学模型都仅仅是反映实际问题的一个近似模型，为了得到有 意义的结果，在构造数学模型时既要正确地反映复杂的原问题的基本特 征，又要求所建立的模型易于处理、便于计算。 均匀设计的数据通常采用回归分析的理论和方法建立研究过程的回 归模型。模型可以建立很多个，那个较好呢? 可在数据的最后添加几批 浙江大学硕士学位论文 试验数据，这几批数据不参加建立模型，作检验模型预报精度之用。 回归分析时容易出现的问题有： 回归时片面追求回归模型大的项数，片面追求大的复相关系数，误 差自由度过小等。 上述问题容易造成：回报不错，预报不好，可靠性差等问题。解决的 办法是：选试验次数( n ) 稍大的均匀设计表，误差自由度 5 ，回归模型项 数不大于1 0 ，模型项数通常是因素数的l 1 ；倍。 2 4 正交设计和均匀设计的主要特点比较 ( 1 ) 在正交表的任何一列中，各水平的个数均相等，因此任一因素 每个水平的试验次数也都相同。正交表任何两列的每一行构成一个数对， 其中所有可能的数对出现的次数都相等。例如：在k ( 3 4 ) 表中，所有可 能的数对为( 1 ，1 ) 、( 1 ，2 ) 、( 1 ，3 ) 、( 2 ，1 ) 、( 2 ，2 ) 、( 2 。3 ) 、 ( 3 ，1 ) 、( 3 ，2 ) 、( 3 ，3 ) ，它们在表中的任何两列中都出现一次。这 就使任何两个因素之间都是交叉分组的全面试验。“” ( 2 ) 均匀设计表中，每个因素的每个水平做次且仅做一次试 验。任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个 试验点。 ( 3 ) 正交表的“正交性”是严格确定的，每个正交表的信息矩阵 条件数严格为1 ：均匀设计表及其相配的使用表的“均匀性”则是相对 的，甚至有不同的“均匀性标准”；因而不同作者算出的均匀表就不完 全样。实践证明，这些表都可以用，但千万要注意所选表的试验次数 不能过少。“”。 ( 4 ) 正交试验的各因素实际水平的安排不一定都是等间隔的；而直 接按均匀设计表安排试验则要求各水平都是等间隔的，当实际上有不等 浙江大学硕士学位论文 间隔水平的因素时，最好把实际值代入表后再算算它的均匀性，与表中 所附的均匀性函数值作比较，用不同拟水平法调整到最佳为止。”o “ ( 5 ) 对二水平的正交表，可将特定的列用于分析交互作用，三水 平以上表的交互作用列总会有严重的混淆；均匀设计试验因素的交互作 用的存在应通过增加试验次数或适当重复才能设定和进行分析，试验人 员有很大的选择余地。滔“ ( 6 ) 当因素的水平数增加时，均匀设计的试验次数按水平数的增加 量在增加，而正交设计的试验次数按水平数的平方的比例在增加。 2 5 本章小结 本章从试验设计表构造、数学模型以及数据处理等方面比较了正交 设计和均匀设计的相同点和不同点。特别指出正交设计是立足于方差分 析模型的，试验设计的目的是用较少的试验次数给出模型中诸参数u 、 o l ，、p ，、y - 、1 1 - 以及o ：的最好估计。而均匀设计就是给定试验点数n ，使 偏差达到最小的n 个点。正交设计可以采用非常方便的数据处理方法， 而均匀设计则一般需采用回归分析。对多因素、多水平的试验，均匀设 计可配置少于正交设计所需要的试验点。 浙江大学硕士学位论文 第三章数学建模基础 对于工程技术，科学研究中出现的最优化问题进行定量的分析，建 立数学模型是最优化方法中一个非常重要的方面。显然，任何一个特殊 的最优化数学模型都仅仅是反映实际问题的一个近似模型，为了得到有 意义的结果，在构造数学模型时既要正确地反映复杂的原问题的基本特 征，又要求所建立的模型易于处理、便于计算。 建模方法可分为三类：( 1 ) 机理分析法，简称机理法。通过理论分 析，得到能反映所研究对象的性质和行为规律的一组方程，即机理方程。 ( 2 ) 经验机理分析法。由基本原理和简化假设导出机理骨架方程，再根 据实际观测数据，用统计方法识别方程的系数。( 3 ) 统计分析法。用一 般形式的方程表示变量间关系，再由实测数据估算方程中待定系数值。 此法所用的方程，可以是线性方程、多项式非线性方程、或其它任何形 式的方程。这些方程的形式，可以根据专业人员的经验选定，也可根据 实际数据由算法自动确定。它们的选用，系根据经验判断或统计分析的 结果，可以完全没有化工理论依据。“”1 3 。1 统计建模方法 当所研究化工工艺过程的机理十分复杂或者建立的数学模型无法求 解时，我们常采用统计建模的方法优化化工工艺。常用的统计建模方法 有判别分析、聚类分析、回归分析等各种多元分析方法。 判别分析的目的是：根据以往积累的知识与经验，已经知道相当一 部分对象的分类属性，即它们分别属于哪一类，从中找出一定的统计规 1 6 浙江大学硕士学位论文 律，此后可用以判断其他对象应该归属与哪一类。常用判别分析方法有 费希判别、贝叶斯判别以及距离判别法。“ 聚类分析的目的是：将相近相似的对象聚成一类，为此需要确切地 描述和度量有关属性，并从中比较对象间的相似程度，把最接近的对象 归并成类。有关聚类方法比较多，有系统聚类法、有序样品的最优分割 法、分解法、加入法、动态聚类法等。 回归分析的目的是：用统计方法根据观测数据找出因变量和自变量 之间的关连方程，即回归方程。常用的回归分析方法有线性回归、非线 性回归、逐步回归、岭回归、稳健回归等。本文主要采用逐步回归优化 化工工艺。” 3 2 逐步回归 3 2 1 逐步回归的基本思想 逐步回归的基本思想是，将变量一个一个引入，引入变量的条件是 其偏回归平方和经检验是显著的，同时每引入一个新变量后，对已选入 的变量要进行逐个检验，将不显著变量剔除，这样保证最后所得的变量 子集中的所有变量都是显著的，这样经若干步便得“最优”变量子集。 3 2 2 逐步回归的数学模型 设有k 个自变量x 。，x z ，x - 。有n 组观测数据( y 。，x mx m x l k ) ，i = 1 ，2 ，n 。则逐步回归的数学模型为： ( 3 1 ) 浙江大学硕士学位论文 式中 b = b o d ： l ： 陬 g o l ： ： ； e 1 1 逐步回归的目的就是根据检验统计量f 不断地选入变量和剔除变 量，经过若干步，直到没有应选入的变量也没有需剔除的变量为止，这 就结束了选择变量的过程。接下来就要计算回归系数，给出估计值等， 这就是通常的回归计算了。逐步回归的计算机软件在国内已相当普及， 使用起来非常方便。 3 3 化工工艺机理建模 机理建模是根据所研究系统的物料守恒、能量守恒及动量守恒定 理，写出恰当的衡算方程式，然后根据各种平衡关系，如物理、化学规 律列入这些方程组之中。往往宏观衡算方程围绕一个有限的控制体作 、lr， 耻 一、 | | n 轴 靶 ： 1 ，、l = x 、， ”弘 弘 ，。，。l 一一 y 浙江大学硕士学位论文 出，并根据物料守恒、能量守恒及动量守恒定理，导出积分表达式，形 成整个化工工艺过程的数学模型。这种宏观衡算方程是从整个有限控制 体写出的，在守衡关系中，因变量如温度、浓度只代表整个控制体的平 均值，唯一的微分独立变量是时间。因此，应用宏观守恒原则，化工工 艺过程的动态数学模型是常微分方程组，而稳态数学模型是代数方程 组，这就是众所周知的集中参数机理模型。如果衡算方程是围绕一个微 元体作出的，然后沿对象物理空间积分，这样得到的平衡方程中微分独 立变量有两个，即时间和物理位置。因此，应用微元守恒原则，化工工 艺过程的动态数学模型是偏微分方程组，而稳态数学模型是含物理位置 的代数方程组，这就是分布参数机理模型。3 3 3 1 物料平衡 物料平衡计算，是利用质量守恒定律，对化工过程的物料进行计 算。物料衡算是化工计算中最基本、最重要的计算。它是能量平衡计算、 化工设备计算以及化工过程经济评价和优化设计的基础。 ( 1 ) 总质量平衡式质量守衡定律是对总质量而言的。它既不是某 一组分的质量，也不是指体系的总摩尔数或某一组分的摩尔数。在化学 反应过程中，体系中的组分质量和摩尔数发生变化，而且在许多情况下 总摩尔数也发生变化，只有总质量是不变的。当然，对于化工中的物理 过程，总质量、总摩尔数、组分质量和组分摩尔数都是守恒的。 对稳