（电工理论与新技术专业论文）混沌理论及混沌振荡器的研究.pdf

a b s t r a c t c h a o si sak i n do fs e e m i n gr a n d o m ，c h a n c eo r i r r e g u l a rm o v e m e n t ，w h i c ha p p e a r s i nad e f i n i t e n e s ss y s t e m ，c h a o st h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e ds i n c e7 0 + s2 0c e n t u r yg r e a t a c h i e v e m e n th a sb e e ng a i n e d i nt h e o r e t i c a l s t u d y o l c h a o so v e rt h e p a s t s e v e r a l d e c a d e sa f t e ra l l ，i t sab a n d n e wd i s c i p l i n e 、i t sn o tm a t u r ea n dn e e dp e r f e c t t h e r e a r el o t so fc h a o t i cp h e n o m e n ai nt h ew o r l d ，s u c ha sl o r e n zs y s t e mi nt h em e t e o r o l o g y ， c h a uc i r c u i ts y s t e ma n ds oo no nt h eo n eh a n d ，b e c a u s ec h a o t i cs y s t e mi se x t r e m e l y s e n s i t i v et ot h ei n i t i a lc o n d i t i o nw h i c hm a k et h ec h a o t i co u t p u tn o tm e e tp e o p l e s d e m a n d ，e v e ni m p e r i lu s ，w ea l w a y sn e e dc o n t r o lo rr e s t r a i nc h a o si nm a n yp r a c t i c a l s y s t e m s o nt h eo t h e rh a n d t h ec h a o t i cs y s t e mi sb e n e f i c i a lt oo t h e rs y s t e m s ( s u c ha s t h ea p p l i c a t i o nt ot h es e c u r ec o m m u n i c a t i o n s ) t h er e s e a r c h e so nc h a o st h e o r yw i l l h a v et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dr e a la p p l i e dv a l u e f i r s to f a l l ，t h et h e s i si n t r o d u c e dc h a o sc o n c e p t ，t h ee s s e n c eo fc h a o sa n dp r i m a r y c h a r a c t e ro fc h a o ss i g n a li sd i s c u s s e da n da n a l y z e dd e e p l y b a s e da b o v et h ec o n t e n t ， c h a o st h e o r yi ss t u d i e dd e e p l y ，t h em e t h o do fr e s e a r c ho nc h a o si s p o i n t e do u t ，t h e c h a r a c t e ro fc h a o sm o v e m e n t ，t h ep a t ho fl e a d i n gt oc h a o sa n dt h ew a yo f ju d g i n g c h a o sa r ea n a l y z e dd e e p l y s e c o n d l y ，t h ep a p e rd i s c u s s e d t h ea p p l i c a t i o no fc h a o ss e c u r ec o m m u n i c a t i o n t h e t h e o r yp r i n c i p l e ，r e a l i z i n gm e t h o da n dt h ep r o b l e mo fc h a o ss e c u r ec o m m u n i c a t i o na r e d i s c u s s e dd e e p l y a n dt h ea p p l i c a t i o no fc h a o st h e o r yi no t h e rf i e l di sa l s od i s c u s s e d f i n a l l y ，c h a o t i co s c i l l a t o ru s i n gaf d n r ( f r e q u e n c yd e p e n d e n tn e g a t i v er e s i s t o r ) i ss t u d i e d d e e p l y c h a o t i c o s c i l l a t o r u s i n g af d n rr e a l i z e d b yo t a ( o p e r a t i o n a l t r a n s c o n d u c t a n c ea m p l i f i e r s ) o rc c i i ( c u r r e n tc o n v e y o r si i ) i sp r o p o s e d ，a n dp s p i c e a n dm a t l a bs i m u l a t i o nr e s u l t sa r eg i v e n c h a o so s c i l l a t o r sr e a l i z e db yo t a o rc c i i h a v em a n y a d v a n t a g e s ，8 0t h e yw i l la p p l yw i d e l y k e y w o r d s ：c h a o s ；c h a o t i ct h e o r y ；c h a o t i ca p p l i c a t i o n ；s e c u r ec o m m u n i c a t i o n ； c h a o t i c0 s c i l l a t o r 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 五诲满日期：加眸年；月增同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，n - - 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：主诗蒯 聊签名：妒曝 日期：z 0 0 4 - 年月坩日 日期：d 斗年3 月2 9 曰 1 1 引言 第1 章绪论 1 1 1 混沌科学是一门新兴的科学 混沌( c h a o s ) 是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附 加任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 。混沌的最大特点就在于 系统的演化对初始条件十分敏感，因此，从长期意义上讲，系统的未来行为是不 可预测的。 混沌是一门研究非线性系统动态行为的新型学科，它的基本观点是：简单确 定的非线性系统可以产生确定的非线性行为，也可以产生不稳定但有界的貌似随 机的不确定现象。由于混沌系统对初始条件的极端敏感性，因而本质上是不可长 期预测的。但是混沌并非混乱，并不等同于概率论中的随机现象，它的本质上是 确定性系统产生的行为。因此，混沌现象的发现开创了科学模型化的一个新典范。 。方面它意味着预测能力受到了根本性的限制，在确定性系统中，混沌的动力学 特性能够放大微小的差异，导致系统长期行为的不可预测：另一方面，混沌现象 所固有的确定性表明许多随机现象实际上比过去想蒙的更容易预测。混沌理论表 明，并非所有的貌似随机的行为都是由复杂系统产生，由于受非线性因素的影响， 有少数自由度的系统也可以产生复杂的荦亍为。过去许多过分复杂，看似随机的信 息被人们所不能理解，实际上这些信息可以用简单的法则加以解释。 以牛顿力学为核心的经典理论，其完整的理论体系、科学观和方法论影响了 学术界整整几个世纪。长期以来，人们在认识和描述运动时，总是将运动分为两 种类型：确定性运动和随机性运动。在牛顿创立经典力学后的很长一段时问内， 自然科学家都认为，一个确定性的系统在确定性激励下，响应也是确定的。牛顿 ( n e w t o n ) 和拉普拉斯( l a p l a c e ) 都指出，只要建立了方程，就可以依据初始条 件来确定以后的运动。经典牛顿力学理论是遵循定律的、确定的、和谐有序的运 动。确定性系统的行为是完全可以研究的、可以预言的，它构成了确定论的框架， 从牛顿到拉普拉斯，对客观世界的描述是一幅完全确定的科学图像。爱因斯坦的 相对论证实在了牛顿的绝对时空观；量子力学的创立，揭示了微观粒子运动的随 机性和不确定性；决定论框架中的随机性的研究引出了混沌动力学的发展，混沌 学深入的研究指出：世界是确定的、必然的、有序的，但同时又是随机的、偶然 的、无序的，有序运动会产生无序，无序的运动又包含蓿更高层次的有序。现实 世界是确定性和随机性、必然性和偶然性、有序和无序的辩证统一。 ： ：= ：型塑坚型墼些些坠：= ：= 一 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普 遍应用的基础上发展起来的新兴交叉学科 1 1 。在现代的物质世界中，混沌现象无 处不在，无处不有，小至基本粒子，大至宇宙，无不受混沌理论的支配。如气候 变化会出现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、音乐、体育中也存 在混沌现象。高速公路e 拥挤的车流、湍急的流水、大气的涡流、股市中股票流 向、化工反应器中的传质、传热过程、无线电通信信号、运转的机器、以及香烟 袅绕和滴水龙头，都会出现混沌。因此，科学家认为，在现代的科学巾普遍存在 着混沌现象，它打破了不同学科之间的晃限，它是涉及系统总体本质的一门新兴 学科。混沌是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科学而 不是关于存在的科学，是一种非周期的动力学过程。混沌中蕴含着有序，有序的 过程中也可能出现混沌。 混沌现象的发现开创了科学模型化的一个新典范：一方面，混沌现象所固有 的确定性表明许多随机现象实际上是可以预测的：另一方面，混沌现象所固有的 初始值的敏感性又意味着预测能力受到新的根本性限制。混沌现象短期行为是可 以预测的，而长期是不能预测的。 纵观2 0 世纪下半叶，非线性科学得到了蓬勃地发展。其中，对混沌的研究就 占据了极大的份额。近半个世纪以来，人们对混沌运动的自然规律及其在自然科 学和社会科学中的表现有了广泛而深刻地认识。但如何应用混沌研究的成果为人 类服务，已经成为2 1 世纪非线性科学发展所面临的挑战。一方面，混沌的应用将 会直接促进人们对混沌本质的认识；另一方面，混沌应用中提出的许多新问题也 将进一步促进混沌研究的深入。 以混沌为基本观点的系统科学，提倡横向的跨学科研究，探索远离平衡态的、 非线性的、不可逆的、自组织的客观过程，创造处理复杂性、不确定性、演化特 性的新方法。而混沌决不是堆有趣的数学现象，它是客观存在的事实。 1 1 2 混沌科学研究的历史发展 混沌研究的鼻祖是法国的庞加莱( h p o i n c a r e ，1 8 5 4 1 9 1 2 ) ，他在研究能否从数 学上证明太阳系的稳定时，发现h p 使只有三个星体的模型，仍产生明显的随机效 果。1 9 0 3 年，庞加莱在他的科学与方法一书中提出了庞加莱猜想。他把动力 学系统和拓扑学有机的结合起来，并提出三体问题在一定范围内，其解是随机的， 实际上这是一种保守系统中的混沌。从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性 的第一人。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师柯尔莫哥洛夫( k o l m o g o r o v ) ，在探索概率起源的 过程中发表了哈密顿( h a m i l t o n ) 函数中微小变化时条件周期运动的保持一文， 这一文章是k a m 定理的雏形。1 9 6 3 年，k o l m o g o r o v 的学生，年轻的、具有超群 = ! = = = = = = = = = 堡兰兰篁兰兰三= = = = = = = ! = = = = = = = = = = = 一华带jvla r n o l d 对此给出了严格的数学证明，差不多相同时间，瑞士数学家 j m o s e r 刈此给出了改进的表述，并独立地做出了数学证明，此文思想为混沌未发 现之初在保守系统中如何出现混沌提供了信息。这为早期明确不仅耗散系统有 魁沌1 _ i j l 保守系统也有混沌的理论铺平了道路。 1 9 6 3 年洛伦兹在著名论文确定性的非周期流中指出：在三阶非线性自 治系统。 j 可能出现混乱解。他研究的是大气在气温梯度作用下的自然对流系统， 这是天一c 预报的一种极端简化的模型，即著名的洛伦兹方程： x = 一a ( x y ) y = 一x z 七r x y z = x v b z 方程右端不显时间，它是一个完全的三阶常微分方程组。三个参数盯( 普兰德尔 p r a n a t l ) ，r ( 瑞利数与其临界值之比) ，b 为正实数，如果取b = 8 3 ，d = 1 0 ，改变 参数r ，若r l ，其解为非周期的，看起 来有些混乱。这就是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实 例。2 0 0 0 年，自然杂志发表论文“t h el o r e n z a t t r a c t o r e x i s t s ”，首次从数学角 度严格证明了l o r e n z 吸引子在自然界中存在。k a m 定理讨论的是保守系统，而 洛伦兹方程讨论的是耗散系统，它们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动 力系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌的。 1 9 6 4 年，法国天文学家伊侬( h e n o n ) 从研究星团以及洛伦兹吸引子中得到启 发，给出了下面的t t e r t o n 映射： 一+ l - 1 + b y 一一甜： 2 ) i y 2x 。 在上述方程中，当参数b = o 3 ，改变参数a 时，发现其系统运动轨迹道在相空间 中分布似乎越来越随机。h e n o n 得到了一个最简单的吸引子，并用它建立了“热 引力崩坍”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题， 1 9 7 1 年，法国物理学家茹厄勒( r u e l l ed ) 和荷兰学者塔肯斯( t a k e n sn 联名 发表了著名论文论湍流的本质，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机 理的新观点，并证明了l d l a n d a u 关于湍流发生机制的权威理论的不正确性。他 们通过严格的数学分析，独立地发现了动力系统存在一套特别复杂的新型吸引子， 描述了它的几何特征，证明与这种吸引子的运动就是混沌运动，发现了第一条通 向混沌的道路，并命名这类新型的吸引子为奇怪吸引子。因为湍流是种极其复 杂的现象，它是如何发生的，至今人们仍不完全清楚，但是，混沌现象的发现， 对揭示湍流有很大的启发。 ：望坚鳖型塑娑塑坠：= 一 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和美国数学家约克( y o r k e ) 在美国数学月刊卜 联名发表了一篇震动整个学术界的论文周期3 意味着混沌，这是一个关于混沌 的数学定理，即著名的l i y o r k e 定理。它深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。 文章标题中的“混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学词汇之中。 1 9 7 6 年，美国生念学家梅( m a yr ) 在美国自然杂志上发表了题为具 有极复杂的动力学的简单数学模型文章指出，在生态学中一些非常简单的确定 性的数学模型却能产生看似随机的行为。如： x n 4 1 = a x 。( 卜x 。) ( 1 3 ) 称之为人门( 或虫口) 方程，即著名的逻辑斯蒂( l o g i s t i c ) 模型。该模型看似简 单，并且是确定性的，但参数a 在一定的范围内变化时，它却有极复杂的动力学 行为，其中包括分岔和混沌，从而向人们表明了混沌理论的惊人信息。 1 9 7 8 1 9 7 9 年，费根包姆( f e i g e n b a u mm ) 在梅的基础上独立地发现= r 倍周 期分岔过程中分岔间距的几何收敛率，并发现了收敛率即每次缩小的倍数为 46 6 9 2 是个常数，这就是著名的f e i g e n b a u m 定理，他还把相变临界态理论中 的普适性、标度性、重正化群方法引入混沌研究，计算出了一组新的普适常数， 建立了关于一维映射混沌现象的普适理论，发现了怎样做尺度变换，给出了一条 走向混沌的具体道路，把混沌学研究从定性分析推进到了定量计算阶段，成为混 沌学研究的一个重要的里程碑。 2 0 世纪8 0 年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌以及混沌的 性质和特点。除此之外，借助于多标度分形理论和符号动力学，进一步对混沌结 构进行了研究和理论上的总结。法国数学家曼德布罗特( m a n d e l b r o t ) 于1 9 8 0 年 用计算机绘出了世界上第张m a n d e l b r o t 集的混沌图像。随后t a k e n s 、p a c k a r d 、 f a r m e r 等人根据w h i t n e y 拓扑嵌入定理提出重构动力学轨道相空间的延迟法。 g r a s s b e r g e r 、p r o c a c c i a 首次运用这种相空间重构法，从实验数据时间序列计算出 实验系统的奇怪吸引子的统计特征，如分数维、l y a p u n v o v 指数和k o l m o g o r o v 熵 等混沌特征量，从而使得混沌理论进入实际应用阶段。 1 9 8 4 年，我国著名科学家赫柏林编撰的混沌一书在新加坡出版，为混沌 科学的发展起到了一定地推动作用。1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开。 我国科学家徐京华提出三种神经细胞的复合网络，并证明它存在混沌而且得到与 人脑脑电图相似的输出。1 9 8 8 年，丁明洲和赫柏林对洛伦兹模型周期窗口进行了 系统研究，找出了与反对称三次映射的关系。1 9 8 9 年，赫柏林、郑伟谋在现代 物理学国际杂志上发表文章，抛弃了人工造作的“反谐波”与“谐波”概念， 推广了星号组合律。1 9 8 9 年，卢侃、林雅谷、卢火在人脑脑电图的分维数上找出 了与脑功能锻炼历史时间的回归方程，即林雅谷功能方程式。这为应用混沌维数 找出了可行的方式。1 9 9 4 年，谢法根和赫柏林在( p h y s i c s ) ) a 2 0 2 卷上发表论文， 完全解决了具有多个临界点的一维连续映射的周期数目问题。对于某些具备有限 个断裂点的映射，周期数目也已经清楚，而且绝大多数周期轨道都是不稳定的。 自1 9 7 5 年，混沌( c h a o s ) 作为一个数学名词首次在科学文献中出现，2 0 多 年来，它以前所未有的速度，迅猛发展成为有丰富非线性物理背景和深刻数学内 涌的现代科学。数学家认为，混沌是数学的分支：丽物理学家认为，混沌是非线 性物理的新分支。其实，混沌应该是物理科学和数学科学的两栖的边缘科学，它 讨论系统对初始值的敏感依赖性，拓 卜传递性与混合性、周期点的稠密性、随机 性和遍历性、正的l y a p u n o v 指数、分数维和奇怪吸引子等。基于混沌运动是存在 于自然界中的种运动形式，。方面，对混沌的深入研究推动了其它学科的发展； 另一方面，其它学科的发展又促进了对混沌深入地研究。闲此混沌与其它学科相 互交错、渗透、促进、综合发展，使得混沌不仅在生物学、数学、物理学、化学、 电子学、信息科学、气象学、宇宙学、地质学，还在经济学、人脑科学，甚至在 音乐，美术、体育等多个领域都得到了广泛的应用。 目前已经有许多研究混沌的概括性和启蒙性的论著，这些论著包括论文集 2 。6 j 、物理学家关于混沌的著作 7 - 10 】、应用数学家关于混沌的著作】、有关混沌的 数值算法方面的研究【坨】，以及一些综述性的文献”】。而混沌的研究主要包括理 论研究、模型建立和工程应用三方面的内容。 1 2 混沌理论及混沌振荡器研究的意义 由于混沌现象广泛存在于现实的世界中，与其它的非线性相比，混沌系统属 于非线性的随机系统，有着自己独有的特征，如对初始条件极端敏感，功率谱连 续等，促使人们去思考混沌是否可以控制? 有何应用价值及发展前景? 混沌理 论的出现，给我们带来了新的科学概念、原理和方法，解释了许多以前不明确的 自然科学问题和社会现象。混沌理论在脑科学、医学( 心脏病病理及治疗) 、流行 病学等方面成功的应用，大大改进了诊断和治疗手段。同时，混沌理论在生物体 系统、化学体系、工程实践、计算机开发、股市预测、大气系统等等许多领域得 到了广泛的应用，取得了可喜的成果。 薯名的物理学家j f o r d 认为混沌是2 0 世纪物理学第三次大的革命，与前两次 革命相似，混沌也与相对论及量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。他说：“相对 论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学则消除了可控测量过程的牛顿式 的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想”。在相对论、量 子力学、混沌这本世纪的三大物理学革命中，相对论涉及的时空尺度太大了，大 得使“普通人”难以想象；量子力学涉及的时空尺度太小了，小得也使“普通人，难以 想象；而混沌革命却适用于“普通人”也能看得见、摸得到的世界，这真是一件应 该让“普通人”感到格外高兴和格外有趣的事。 混沌理论及混沌振荡器的研究 综上所述，通过对混沌的研究，极大地扩展了人们的视野，加深了人们对客 观世界的认识，活跃了人们的思维。过去被人们认为是确定的和可逆的某些力学 力程，却具有内在的随机性和爿i _ j 逆性。确定性的方程可以得出不确定性的结果， 这就打破了确定性和随机性的这两套描述体系之间的鸿沟，架起了确定论与随机 沦的桥梁，给传统科学以很大冲击，在某种意义上使传统科学被改造，这必将促 迸其他学科的进一步发展。 e h 于混沌信号只有随机性、对初始条什的极端敏感性、连续宽频带、似噪声 的特点，使得混沌信号很难诎洋，所以特别适应于保密通信和扩频通信等领域。 冈此，对产：t l i 混沌信号的混沌振荡器的研究有r 分重要的意义。 1 3 目前国内外混沌理论及混沌振荡器研究的现状 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是计算机技术的出现和普 及应用的基础上发展起来的新的交叉学科。早在1 9 世纪末，法国数学家庞加莱在 研究太阳系三体运动时就发现了混沌现象，有关混沌理论的基本思想，都在他的 头脑中形成了，只不过当时没有强有力的计算机把他的思想清晰地表达出来。直 到2 0 世纪6 0 年代初，美国气象学家洛伦兹发现了第一个混沌吸引子以后，才揭 丌了利用汁算机研究混沌的序幕，混沌现象引起了学术界的广泛注意。1 9 7 5 年， 华裔学者李天岩和约克( y o r k ) 首次定义了混沌。其后，混沌理论得到了迅猛的 发展，在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。如今，混沌现象的研究已经深入到 自然科学乃至社会科学的方方面面，其重要性日益突出。混沌理论是自本世纪7 0 年代发展起来的，在过去的几十年里，混沌理论取得了巨大的进展，人们对混沌 的概念、混沌的基本特征和混沌的研究方法等都有深入的研究，但混沌理论毕竟 是一个崭新的科学领域，其有很多理论并不成熟，诸如至今人们没有对混沌做出 统一定义、混沌发生的机理至今尚不清楚等。混沌系统和混沌现象的控制仍是一 个全新的科学前沿，特别是，如何发觉混沌系统特有的功能为人类造福，是一个 及其重大而又深远的课题。混沌理论是一门交叉的科学，它的研究需要有数学、 物理和计算机方面的基础，所以混沌的研究是需要多方面的协作。在国内，对混 沌研究则始于二十世纪九十年代中期，其中国内著名的学者有赫柏林、朱照宣、 裴留庆、胡键栋、郑君里、丘水生和钟国群等对混沌机理、混沌同步以及混沌通 信三个方面的研究做出过重要的贡献。 对于混沌振荡器的研究，国内这方面的文献尚不多见，主要是对蔡氏振荡器 的研究。国外对这方面的研究取得了许多成果，根据使用的元件，主要有简单的 r c 混沌振荡器、用电流反馈放大器实现的混沌振荡器、用运算跨导放大器实现的 混沌振荡器和用第一代电流传输器实现的混沌振荡器和用频变负电阻实现的混沌 振荡器等。根据混沌振荡器产生涡卷吸引子的多少，可分单涡卷吸引子混沌振荡 _ _ _ - _ - - - 一 嚣和多涡卷吸引了混沌振荡器。根据混沌振荡器的类型，研究较多的有蔡氏混沌 振荡器( c h u a so s c i l l a t o r ) 、简单r c 混沌振荡器、维恩型( w i e n t y p e ) 混沌振荡 器、c o l p i t t s 混沌振荡器和简单对数域混沌振荡器等。目前研究的热点有基于电流 反馈放大器实现的混沌振荡器、用第二代电流传输器实现的混沌振荡器和用运算 跨导放大器实现的混沌振荡器。 1 4 论文的具体工作及结构安排 1 4 1 论文的具体工作 由j ：对混沌研究涉及到订：多学科知识，本沦文主要在以下几个方面作了一些 尝试： ( 1 ) 对于混沌理论作了进一步的研究，特别是对混沌的本质作了比较深入的 探讨，指出了“变”是混沌的本质，即混沌的运动有“决不重复，永不自交，而 且被局限在有限的范围之内”的特点。混沌是确定性系统中出现的貌似不规则的 有序运动，它不是混乱，而是乱中有序，具有无限嵌套的自相似结构。 0 ( 2 1 ) ( 2 ) 对v x ，y s 时，有： l i m i n f l f “( x ) 一f “( 力= 0 ( 2 2 ) ( 3 ) 对v x s 和f ( x ) 的任一周期点y ，有 l i m s u p t f - f x ) 一r ”( p ) 0 ( 2 3 ) 一 1l 则厂( x ) 为混沌的。这罩厂”( ) 表示函数f ( x ) 的1 1 重函数关系( 复合映射) 。s u p ( ) 表 示卜界，i n f ( ) 表示下界。该定义深刻地揭示了混沌的本质，即对初始条件具有敏 感依赖性。i y o r k e 为动力系统混沌定义及判定的奠基性工作。 定义中的1 指出，存在所有1 r 整数蒯期，就足以说明系统是相当复杂的。满 足2 的不可数集s ，称为混沌集，其中的条件( 1 ) 、( 2 ) 是本质的，反映了轨道结 构的复杂特征：刁i 可数多的点，在同步迭代下，若离若即，飘忽不定，时而聚拢， 时而分开。在直观上，只要有这种情况出现，就足以说明系统轨道结构非常复杂， 其巾一部分是周期运动，而更多的是杂乱无章的运动，出现类似于随机的状态。 i i i 说明s 中无渐进周期点，但这个结论不是独立的，而是蕴涵在( 1 ) 、( 2 ) 中。 根据l i y o r k e 定义，1 9 8 3 年d a y 认为一个混沌系统应该具有如下三种性质： 存在所有阶的周期轨道；存在一个不可数的集合，该集合只含有混沌轨道， 且任意两个既不趋向远离也不趋向接近。而是两种状态交替出现，同时任一轨道 不趋于任一周期轨道，即该集合不存在渐进周期轨道；混沌轨道具有高度的不 稳定性。由初始值的不同选取，我们可能得到周期轨道、准周期轨道或混沌轨道， 即在区间i 内具有“遍历性”又与任意周期轨道都有充分大的偏离，我们把产生 混沌轨道的初始值x 。称为混沌点。数学理论告诉我们，在一定的条件下混沌点在 区间内是稠密的。即任意取一个初值得到混沌轨道的概率为1 而得到周期轨道的 概率为0 。 2 1 1 2 m e l n i k o v 的混沌定义 在二维系统中，最具开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于平 面区域d 上，f ( d ) c d ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半圆构成。映射 规则是不断把s 纵向压缩( 压缩比小于l 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再弯 成马蹄形后放回d 中，h e n o n 映射是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射 的不变集是两个c a n t o r 集之交，映射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系 统吸引子中发现了马蹄，就意味着具有混沌。 由h o h n e s 转引的m e l n i k o v 方法是对混沌的另一种严格描述。概括起来可表 述为：如果存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形截面相交，则必存在混沌。 马蹄映射就具有这种特性。m e l n i k o v 给出了判定稳定流形和不稳定流形横截面相 交的方法，不过，这种方法只适用于近可积h a m i l t o n 的系统。 2 1 1 3 r l d e v a n e y 的混沌定义( 拓扑意义上的) 1 9 8 9 年，d e v a n e y ，r l u 6 1 给出了混沌的又一个定义：设v 为一度量空间，一 硕士学位论文 个连续映射f ：v _ v 称为在v 上是混沌的，如果满足： ( 1 )1 有对初始条件的敏感性。存在占 0 ，对任意的s 0 和任意的x c v ， 在x 的5 邻域内存在y 和自然数n ，使得d ( f “( x ) ，厂”( y ) ) 占。 ( 2 )f 避拓扑传递的( 非髑期_ 稠) 。对v 上的任一对开集x 、y ，存在k o ， 使r t f ) n y 巾( 如果一映射具有稠轨道，则显然是拓扑传递的) ( 3 ) f 的佶j 期点在v 中是稠密的。 该定义说日月混沌的映射具有= 个要素：刁i 可预测性，不可分解性，还有一种 规律性的成分。因为埘初始条件的敏感依赖性，所以混沌系统是不可预测的。因 为拓扑传递性，它不能被细分或不能被分解为两个在f 下相互影响的子系统。但 是，混沌行为中仍有规律性的成分，即稠密的周期点。 这些条件可用适当的数学语言描述，且都具有明确的含义。条件( 1 ) 说明状 态的长期不_ u j 预测性，每个点x 附近都可以找到离它很近而在f 作用下终于分道 扬镳的点y ；条件( 2 ) 意味着不变集不能迸一步被分解，任一点的邻域在f 地作 用下撒变整个空间v ，这说明f 不可能细分或不能被分解为两个在f 下相互独立的 子系统；而条件( 3 ) 稠密的周期点则表明了混沌具有很强的确定性与内在规律性， 绝非一片混乱，形似紊乱而实则有序。条件( 2 ) 、( 3 ) 蕴涵条件( 1 ) 。 此外还有多种混沌定义。上述定义都只是表明一种数学上的存在性，并没有 描述它们的测度和稳定性。混沌系统是比较复杂的系统。描述系统复杂性的定义 很多，如拓扑熵、混合性、l y a p u n o v 指数、初始值敏感依赖等，它们从不同侧面 反映了系统的复杂性。混沌作为描述系统复杂性的一个概念，个有意义的混沌 定义必须从本质上不同于其它概念，也不应该是其它概念的合成。很多数学工作 者在努力寻求混沌的统一定义，但至今没有成功。 2 1 2 混沌的本质 混沌系统的数学模型分为两类：以微分方程表述的连续系统和以差分方程表 述的离散系统。 那么混沌究竟是什么? 混沌是菲线性动力学系统特有的一种运动形式，隶属 于确定系统却不可长期预测，隐含于复杂系统但又不可分解，看似“混乱无序， 却又颇有规律。简单地说，混沌就是有秩序中的无序，使得描述某个确定系统的 长期行为必须借助于概率论的方法。这里所谓的“确定系统”是指描述该系统的 数学模型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 混沌是具有随机性的非周期运动。当系统是通常的规则运动时，无法避免的 涨落所引起的初始条件的微小变化一般只引起运动状态的微小差别，即初始状态 接近的各个轨道始终是接近的，从而人们可以对系统的运动作出预测。混沌运动 则不然，它具有对初始条件的敏感依赖性，即初始条件的微小差别使轨道按李雅 一 ：型型鳖型望堡丝垦：= 一 普诺夫指数( l y a p u n o v ) 分离，时间不长时，两个轨道非常接近，但随着时f s j 增k ， 两个轨道相距越来越远，而且很快就变得完全不一样。正所谓“差之毫怛，失之 千里”。洛伦兹称混沌运动对初始条件的敏感性为“蝴蝶效应”。以下是对混沌本 质的概括： ( 1 ) 混沌是关于过程、演化的科学，而不是状态的科学，“变”足混沌的奉 往。混沌运动状态“绝不重复，永不自交；而且被局限在有限范围之内”的特点。 例如：虫口数量总是在零到最大限额之间不断变化，而且数量又年年不同：气候 则总是在好天气与坏天气之间反反复复，但又没有哪两天有完全相同的天气。 ( 2 ) 混沌现象只能出现在非线性系统而不能出现在线性系统中。线性方程与 非线性方程不同，对前者叠加原理成立，整体等于部分之和：对于后者，叠加原 理不成立，整体可以大于部分之和。在非线性系统内部存在着感应、诱导、协同、 整合、吸引、排斥、干涉、放大等种种非线性交叉耦合作用，这种作用是产生混 沌现象复杂性的本质原因。在庞加莱的三体模型、蝴蝶效应和昆虫繁衍这些混沌 现象的问题中，都是用非线性方程描述的系统。 ( 3 ) 混沌不等同于混乱，它是一种确定论系统中出现的貌似不规则的有序运 动。这种有序不同于我们所熟悉的有序一寻常有序、简单有序、线性有序。混沌 的有序是乱中有序，是有序与无序的结合，是非线性有序混沌序。就是说它的 混乱也是一种确定性的混乱，形式的混乱。混沌中存在无限嵌套的自相似结构不 仅说明混沌有序，而且说明这是一种复杂有序，高级有序。而费根鲍姆常数的存 在更是一个有力证明。 ( 4 ) 真实的自然界介于完全的确定论和纯粹的概率论之间。混沌现象迫使我 们不得不重新审视周围世界，探究世界的本质。自然界本是一个统一的整体，自 然科学中有确定论和概率论两套描述体系。牛顿以来的科学传统比较推崇确定论 体系，而把概率论作为补充。其实，完全的确定论和纯粹的概率论都是抽象后的 极限情况。也就是当混沌运动不显著时可用确定论来描述，当混沌运动剧烈时就 要考虑运用概率论的可能性了。真实的自然界实际上介于二者之间。因为世界本 质上是非线性的，线性化只能是非线性的种合理的近似。总之，对混沌现象的 研究将有助于我们从更为接近实际的角度来认识世界，使我们从确定论和概率论 根深蒂固的对立中解脱出来。 2 1 3 混沌的分类 混沌的分类可以从以下角度分类：从混沌的类型上大体可以分为四类 】： 时间混沌，空间混沌，时空混沌和功能混沌。时间混沌是经过长时间演化后，仅 在时间上表现为混沌现象；空间混沌在空间上表现混沌行为；时空混沌不仅在时 间上表现为混沌行为，而且在系统长时间发展以后，空间上也表现为混沌行为： 硕士学位论文 功能混沌则是更高层次的混沌现象，如人的大脑中枢神经网络表现出的混沌行为。 从刻画系统的相空间或状态空间来看，可以把混沌系统分为低维的、有限维的 系统和高维的、无限维的系统。通常把具有一个以上的正的李雅普诺夫指数的系 统称为超混沌系统。不同类型的混沌有着不同的形态和特点。从物理学的观点 来看，混沌系统分为保守系统和耗散系统。耗散系统的能量是随时问的推移而不 断地释放，其相空问是收缩的。而保守系统不与外界发7 k - 能量交换，在相空问中 点的运动不会发生聚集和分散。保守系统义可分为可积系统和不可积系统。保j r 系统的运动方程大部分是不可积的，而不可积则意味着混沌运动。这在数学上说 明混沌的普遍性。而对于耗散系统，当非线性进一步增强时，一般都会出现混沌。 迄今为止，已经有很多混沌和超混沌系统模型供人们研究，其中一维的有 l o g i s t i c 映射混沌系统等，维的有h e n o n 混沌系统、d u f f i n g 方程、强迫布鲁鏖 尔振子等，三维的有l o r e n z 系统、蔡氏混沌系统等，四维的有r o s s l e r 超混沌系 统等。这都给混沌的研究带来了方便。 2 1 4 混沌吸引子 2 1 4 1 混沌吸引子的概念 在相空间描述系统演化要用到吸引子理论，吸引子代表系统的稳定性态，在 相空间中是由点( 状态) 或者点的集合( 状态序列) 表示的。这种点或者点的集 合对周围的轨道有吸引作用，系统运动只有达到吸弓i 子上才能稳定下来并保持下 去。经典动力学理论告诉我们有三类吸引子。一种是稳定不动点，代表系统的稳 定平衡态；另一种是稳定的极限环，代表相空| 自j 的一条封闭轨道线，称周期吸引 子：第三类是稳定的环面，代表准周期运动，最简单的是三维相空间的二维环面， 称之为拟周期吸引子。 这三类吸引子都代表规则的有序运动，混沌学则把它们称为有序吸引子。它 们不能描述混沌运动。有耗散的混沌系统的长期行为也要稳定在相空问的一个低 维的点集合上，系统运动到这个集合以后，不可能再离开它。这是该集合的稳定 性的一面，因而也是一种吸引子，称之为奇异吸引子。它是混沌运动特有的，具 有复杂的拉伸、折叠和伸缩结构，使得按指数规律发散的系统保持在有限的空间 内，它是动力学系统整体稳定性和局部不稳定性共同作用的结果。由于整体的稳 定性，使得运动收缩到吸引子上，而局部的不稳定使得运动轨道在收缩的同时又 在某些方向上发散，成为不稳定因素。因此，一切位于吸引子之外的运动都向吸 引子靠拢，对应着稳定的方向，而切到达吸引子内部的运动轨道却是相互排斥， 对应着不稳定的方向，微小的扰动对混沌吸引子来说都是稳定的，终将达到吸引 子上，但是，在吸引子内部，其对初始条件非常敏感，即进入混沌吸引子的位置 稍有差别。这一差别会以指数形式增长。最终导致混沌轨道的截然不同。所以， 一型型婆些望鍪塑垒：= = = = = 一 从整体上荷，它是稳定的，但是从局部来看。它又是不稳定的，具有奇特的几何 结构，人们称它为奇异吸引子。 混沌吸引子：指相窄间具有分维数的吸引子的集合。该集合由永不重复自身 的系列点组成，并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在该吸 引集中。 2 1 4 2 混沌吸引子的特征 混l i 吸引子具何以f 的特性： ( 1 ) 运动对初始条件的敏感性，表现为相邻轨道指数分离和局部轨道不稳定 一陀： ( 2 ) 奇异吸引子局限j 二有限的区域里，就大范围而言，表现为稳定的吸引子， 它有自己的吸引域，若以吸引域内任一点为初值，则可得到几乎完全相同的奇怪 吸引予，这表现为它的稳定性； ( 3 ) 由r 轨道的无穷伸展、压缩和折叠，空问结构十分复杂，： ( 4 ) 具有无穷层次的自相似结构； ( 5 ) 具有一切混沌通有的性质； ( 6 ) 统计特征：分维数、正的李雅普偌夫指数、正的测度熵以及功率谱是连 续谱等； ( 7 ) 它的维数是分数而不是整数，例如，洛伦兹( l o r e n z ) 吸引子的维数是 2 0 6 ，h e n o n 吸引子的维数是1 2 6 。 ( 8 ) 混沌吸引子具有分形的性质，是一个分形集。 2 2 混沌信号的主要特征 到目前为止，混沌还没有一个通用的准确的定义，而在工程应用领域中，科 技人员主要关心的是混沌信号的主要特征。 经典的确定性动力学系统的有界解的主要信号形式有直流信号f 稳定平衡点， 可以看成是周期任意的周期信号) ，周期信号和概周期信号，不属于这几类信号的 有界信号一般都认为是具有随机性的系统产生的随机信号，而混沌信号是有界的 确定性类随机信号，那么与这些信号相比，混沌信号有哪些主要特征呢【1 8 j ? ( 1 ) 从时域表现形式来讲，混沌信号具有类随机信号的特性，即它看起来非 常像是随机信号，但它终归不是随机信号，因为一旦给定产生混沌信号的确定性 系统的初始值，这个混沌信号是唯一确定的。 ( 2 ) 从时域行为可重现、可预测的角度来讲，周期解( 或概周期解) 对初始值 的扰动是不敏感的，因而很小的初始值扰动不会使它们偏离原来的解很远，也就 是说，周期解( 概周期解) 的重现性好，具有可预测性，而混沌解则不然，它对初始 硕士学位论文 值的扰动时非常敏感的，因而很小的初始值扰动会使它偏离原来的解很远，也就 是说，混沌解的重现性很差，不具有长期可预测性，当然，确定性的产生机理使 得混沌解具有短期的可预测性。 ( 3 ) 从相关性的角度柬分析会发现，混沌信号的相关函数类似于随机信号的 相关甬数，具有类似冲击函数的特性，而周期信号( 概周期信号) 的相关函数也是周 期的f 概周期的) 。 ( 4 ) 从频域表现形式来讲，混沌信号的频谱与随机信号的频谱类似，表现为 连续频谱，而周期信号的频谱表现为离散的谱线。 ( 5 ) 从相空问来看，周期信号在相空间的吸引子表现为环，概周期信号在相 空问的吸引j