（应用数学专业论文）半线性椭圆型方程外部区域上解的存在性.pdf

中文摘要 本文主要研究了如下两类特殊的半线性椭圆型方程解的存在性问题： il u = u + c ( z ，u ) u = ，( z ，t ) ，z q ； 【 也= 咖，z a q 其中qcj p ( n 3 ) 是一个外部区域，有满足外部球条件的内部闭边界o f t ，且 c ( z ，s ) 0 ，一a u - # 静2 出) m q - 2 u + 他，咄畦q ； l 让= o ，z a q 其中qcr ”( n 3 ) 是一个外部区域，2 q 2 ，2 = 箍，p 0 利用上下解 定理和山路引理，在适当的假设条件下可以分别证明这两类方程解的存在性 本文主要分为四部分来详细论述上述问题 第一章为引言，介绍了问题研究的背景和研究的必要，以及本文的主要工作 和有待解决的问题 第二章主要给出了一些相关的定义和基本的定理，主要有极值原理，h s l d e r 连续性，山路引理等这些定理及定义都是解决后面问题必备的基础知识和重要 工具，在下文中将不再证明而直接应用 第三章是本文的主要部分，主要用上下解定理和临界点理论解决方程解的存 在性问题，推广了已有的成果在这一部分中，我们重点讨论了解存在的充分条 件，并以定理的形式给出具体的证明 第四章是对整篇论文的总结，并提出了一些尚未解决的问题和进一步研究的 方向 关键词：半线性椭圆型方程；上下解定理；解的存在性；h s l d e r 连续性； 山路引理 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ef o l l o w i n gt w ok i n d so fs e m i l i n e a re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i l lb ec o n s i d e r e d ： l u = a u + c ( x ，u ) u = f ( z ，让) ，z q ； u = 痧，z a q w h e r eqc 舻( n 3 ) i sa ne x t e r i o rd o m a i n ，w h i c hh a sac l o s e di n t e r i o rb o u n d a r ya q s a t i s f y i n gt h ee x t e r i o rs p h e r ec o n d i t i o n ，a n dc ( x ，s ) 0 卜舭一p 许= 9 ( 刮u i q - 2 u + m ，毗联q ； 【 乱= 0 ，z a q w h e r eqc 形( n 3 ) i sa l le x t e r i o rd o m a i n ，2 q 2 + ，2 = 亲，肛0 u n d e ras e to fs u i t a b l eh y p o t h e s e s ，w i t ht h e a i do ft h es u p e r s u b s o l u t i o nm e t h o d a n dt h em o u n t a i np a s sl e m m a ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt h e s et w ok i n d so fs e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n si sg i v e n t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni sa ni n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dt h ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m t h en e x ts e c t i o nc o n s i s t so fs o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s ，i n c l u d i n gt h e m a x i m u m ，h 5 1 d e rc o n t i n u i t y , m o u n t a i np a s sl e m m a ，a n ds oo n t h e ya r et h ef o u n d a - t i o n sa n dt o o l so ft h el a t e rw o r k t h et h i r ds e c t i o ni st h em a i np a r to ft h i sp a p e r ，w h e r ew ed i s c u s st h ee x s i s t e n c e o fs o l u t i o n sb yu s i n gt h es u p e r - s u b s o l u t i o nt h e o r e ma n dt h em o u n t a i np a s sl e m m a ，a n d w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s a tl a s t ，w es u m m a r i z et h ew o r ko fw h o l ep a p e ra n dp o i n to u ts o m eo p e np r o b l e m s k e yw o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；s u p e r s u b s o l u t i o nt h e o r e m ；e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s ；h s l d e rc o n t i n u i t y ；m o u n t a i np a s sl e m m a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：轩竹梅 签字日期： 2 归年1 月i oe t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：身竹梅 导师签名： 签字日期：2 p 7 年月o 日签字日期：勃卵年f 月f 护日 第一章引言 第一章引言 本文主要研究两类完全不同的半线性椭圆方程外部区域上解的存在性 问题，首先通过上下解方法和s c h a u d e r 理论，来研究方程 l l u = a u 4 - c ( z ，u = ，( z ，u ) ，z q ； t t 正：，z a q 在满足一定的条件时解的存在性的一些结果，其中q 是舻3 ) 中含无穷 远的一个邻域的开区域，有满足外部球条件的内部闭边界锄，且原点在孬 之夕卜，喜乓中，( z ，s ) c o ( 豆xr ) nc q ( q r ) ，c ( z ，s ) c p ( 豆r ) nc q ( q r ) ，且 c ( z ，s ) 0 ，咖( z ) 伊( 豆) 且有界；其次利用变分法和临界点理论，研究方程 j ，一a u - - t 奔= 如) j u l q - 2 u 4 - f ( x , u ) ，朕q ； 1 。 t l ：0 ，z a q 解的存在性，也能得出一定的结果，其中qc 舻( 竹3 ) 是一个外部区域， 2 q 2 + ， 2 = 亲生，2 ( 盯) = 型n 型- 2 ， s ( 口) 盯 0 ，0 s 2 ，2 4 ( s ) q 2 + ，2 r 2 + ，2 + = 墨，2 + ( s ) = 必n - - 2 ，o ( z ) 0 ，口( z ) l 南( q ) 该文作者得出了 在给定的条件下，方程( 1 2 ) 存在无限多个解，其中至少有一个是正解的结 果在本文3 2 中，我们将继续文【1 6 】的工作，将结果一步步推广开来，即 对方程( 1 2 ) 中给定的函数壶，a ( x ) l u l 卜2 牡进行了推广，即当这些给定的函 数被推广为某一类的函数时，仍然能得到解的存在性结果而本文3 1 节研 究了半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题存在有界解的条件，并进一步给出了在 无穷远处一致收敛于零的解的条件这些结果将在本文中作为定理详细地 论证 下面概述一下本文以下各章的主要内容； 第一章为引言，介绍了问题研究的背景和研究的必要，以及本文的主 要工作和有待解决的问题 第二章主要给出了一些相关的定义和基本的定理，主要有极值原理， h s l d e r 连续性，山路引理等这些定理及定义都是解决后面问题必备的基 础知识 第三章是本文的主要部分，主要用上下解定理和临界点理论解决方程 解的存在性问题 本文只是对于一类比较特殊的半线性椭圆型偏微分方程进行了一小部 分的研究，研究的范围相对比较狭窄，得到的结果也不是十分完美，也没 有涉及到一般的椭圆型方程这些存在的问题为我们今后的研究指明了方 向 2 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理 对于这些概念和结果，请参考文献【l7 】【2 0 】 2 1h s l d e r 连续性 定义2 1 设x 0 是舻中的一点，而，是定义在包括知的有界区域d 上 的一个函数假设0 0 l a o 0 ，那么l 在q 中是严格 椭圆的如果会在q 中有界，我们称l 在q 是一致椭圆的 3 第二章基本概念和定理 定义2 4设q 是r n 中的区域，是c 2 ( q ) 函数，定义 几 a u = d i i u = d i v d u ， i = l 如果函数钍在q 中满足 a u = 0 ( 0 ，0 ) ， 则称缸在q 中调和( 下调和，上调和) 定理2 1 ( 弱极大值和极小值原理) 设l 在有界区域q 中是椭圆的假 设在q 中，l u o ( o ) ；在q 中，c = 0 ，其中也c 2 ( q ) n c o ( 豆) ，则u 在豆上 的最大值( 最小值) 在a q 上达到，即 s u n p u = s u p o f t 乱( 噼u2 瓣u ) -n 3 f 仉z 定理2 2( 强极大值原理) 设l 在区域q ( 不必有界) 中是一致椭圆的， c = 0 并且l u 0 ( o ) 那么，如果u 在q 内部达到它的最大值( 最小值) ，u 就 是常数如果c 0 并且妥有界，那么除非它是常数，否则u 在q 内部不能 达到非负最大值( 非正最小值) 定理2 3设三在有界区域q 中是严格椭圆的，c 0 ，又设，及l 的系 数有界并属于c n ( q ) 假设q 在每一边界点上满足外部球条件那么，如果 砂在a q 上连续，d i r i c h l e t 问题t 在q 中l u = i ，在a q 上t = 咖，就有唯一解 u c o ( 豆) n c 2 , a ( q ) 定理2 4 设l 在有界区域q 中是严格椭圆的，并且，及l 的系数属于 c 。( 豆) ，牡c o ( 豆) f lc 2 , o ( q ) 是l u = f 在q 中的解，则若面cq ，就存在常数c o ， 使得 。牡o c | 2 ，。( 孬石) c o ( i | ，i l c o , 。( 孬) + i iui i c o ( 孬) ) 其中常数c o 仅与q ，q o ，q ，礼，a 以及l 的系数的c o ( 西) 界有关 2 3s o b o l e v 空间 定义2 5设p 为一实数( 1 p o o ) ，e 是r 中的可测集，若e 上的可 4 第二章基本概念和定理 测函数，满足 el ( z ) i p 如 + o 。， 则，称是e 上p 幂l e b e s g u e 可积的，简称为p 幂可积的e 上所有的p 幂可 积函数的全体，记为汐( e ) 定义2 6 设牡在q 中局部可积，q 是任一多重指标如果对于所有的 妒背l ( q ) ，u 满足 f n 妒v d x = c 叫i n 吃乱。a 妒如， 称局部可积函数口为t 的第q 次弱导数，记为口= d a u 定义2 7 ( s o b o l e v 空间) 设q 是n 重指数，m 非负整数，1 p - t - c | o ， 向量空间 h 7 m p ( q ) = u l p ( f 2 ) i d 口u j 夕( q ) ，i q i m ) 元素的范数定义为： ”u ”m ，c q ，= ( zl a l 0 ，使得i ( u ) p 0 ，l l 仳1 1 = p ， ( i i ) 存在e x ，j iei l p 使得i ( e ) 0 ， 则存在序列 让n ) ce 满足i ( u n ) 一c ，且，7 ( 让n ) 一0 如果j 再满足p s 条 件，则c 是，的临界值 其中c = i n ，f ，s u p ，( 7 ( 眺c p ，f = n c ( 【o ，1 1 ，e ) ；，y ( o ) = o ，7 ( 1 ) = e ) 1 l0 r t 0 这里，。是一个与m n o 无关的正常数从而 u 仇) m n 。及其一，二阶导 数皆在瓦上一致有界且等度连续，故存在其子列 u 辖) ，使得在q n 。中。该 子列与其一，二阶导数皆一致收敛同理， u 臻) 中也有子列扣祭) 在q n 。+ 。 中与其一，二阶导数皆一致收敛，依此类推，采用对角线方法，我们得到 u 。】中存在一子列，它在q 中的任一紧子集k 上按c 2 ( k ) 范数收敛，设极 限函数为乱，显然在q 中有l 7 u = f 下证在0 1 2 上连续地取边值妒，因为a q 满足外部球条件且在x 0 a q 处连续，所以q 相对于l ，f 和在点z o 的上，下闸函数存在，即有( 1 ) l 时 f = l 。札l f ，z q ；( 2 ) 埘f 咖伽，z a q ；( 3 ) 1 i m 叫产( x o ) = 1 i mw ? ( x o ) = t - - + o 。l 咖( z o ) 三个式子成立( 其中t 寸，町分别为上下闸函数) ，由( 1 ) ，( 2 ) 和定理 2 2 易知：对所有的i ，在q 中有町( z ) 札( z ) t ，产( z ) ，由( 3 ) 可得：对任一 e 0 及所有充分大的i ，有1 i m ，伽f ( z ) 砂( z o ) 一“1 i m 。时( z ) ( z o ) + e 结合 z + z 0 z z 0 t 叮( z ) u ( z ) 时( z ) 可推出一l i m 。s u p i 札( z ) 一咖( z o ) i e ，所以当z _ x 0 时，有 t 正( z ) + ( z o ) 引理3 2若存在有界函数西，型c o ( 孬) nc 2 ( q ) ，满足 ( 1 ) 在o f t 的一个邻域中成立可型， ( 2 ) 在某u 成立可02 型 ( 3 ) 在q 中成立l 7 v f l 西， 则方程( 3 4 ) 存在解u c o ( 砭) nc 2 , a ( q ) ，且型t 可 证明：根据定理2 3 ，下述方程 l 7 u = 乱+ c ( z ) u i 三等z ：己羔： c 3 5 ， 9 第三章半线性椭圆型方程解的存在性 的解存在且属于伊( 瓦) n c 2 ，口( q n ) ，再把此解适当拓展即可得连续函数列 让n ) ， 显然 札n ) 满足方程( 3 5 ) 且对一切充分大的n ，在q n 中成立l 型l 7 u n l 可， 在a q n 上成立可u 竹可，于是由定理2 2 得出在瓦上从而在豆上成立 型5 n 可，故t n 对一切充分大的n 在豆上一致有界，从而由引理3 1 知：存 在 n ) 的子列 ，) ，它在q 中一致收敛到l t = f 的一个解让，并且u 在a q 上连续地取边值q 5 再结合型su n 。可可以得到在丽上有西st l 可 引理3 3若存在有界函数可，型俨( 豆) n c 2 ( q ) ，满足 ( 1 ) 在a q 的一个邻域中成立可型， ( 2 ) 在某u 成立可0 笪 ( 3 ) 对任意的z q ，及s 【i n j n 型，n 般_ 】成立l 。型s ( z ，s ) l 。虿， 则方程( 3 2 ) 存在有界解t c o ( 豆) nc 2 ，a ( q ) 证明：先考虑方程 卜吲罢z 篡 由引理3 2 易知：此方程的解咖c o ( 豆) nc 2 , a ( q ) ，且满足型伽可再考虑 方程 ik ( 。) t = ，( z ，知( z ) ) ，z q ； i t = ，z a q 同样可得解札1 伊( 孬) n c 2 , a ( q ) ，且满足型t 1 可依此下去，可得函数列 u n ) c 伊( 豆) nc 2 ，q ( q ) 满足 il u 。( z ) 缸n + l ( z ) = ，( z ，u t l ( z ) ) ，z q ； i t + 1 ( z ) = 妒，z a q 且型钍竹可，n = 1 ，2 ，显然，存在正常数m ，使得在砭上有l 让。( z ) i m ，n = 1 ，2 ，且对每一，l ，存在与m 无关的正数席 1 及风，使得对一 切m ，有u m c 风( 砩) ，l | u mj i c 风( 蕴。) 因此可进一步证得c ( z ，m 一1 ( z ) ) 及 ( x ，u m - 1 ( z ) ) 都属于c 砺( 瓦) 并且它们在c o 风( 豆n ) 中的范数有与m 无关的 界，从而由定理2 4 可知：存在仅与q ，风，q n ，q 。一l 以及砥等有关而与m 无关的常数c r i 使得 。札mi i c 2 。触( 孬。一。) c ，l ( i i ，( z ，t t 。l 扛) ) l i 伊，。风( 蕊) + l i z r n - iu o o ( 孬。) ) 1 0 第三章半线性椭圆型方程解的存在性 对一切m 成立，从而i | u mi i c ：，。风( 豆。一，) ( + m ) 对一切m 成立再用与 引理3 1 相同的方法可得 u 。 中存在一子列，它在q 中的任一紧子集k 上 按c 2 ( k ) 范数收敛，设极限函数为t ，在q 中有l u = ，( z ，u ) ，且n 在a q 上连 续地取边值咖所以u 在豆上有界再由定理2 3 易知：t c 2 , o r ( q ) 引理3 4 若引理3 2 的条件满足且存在l 7 t = f 的无穷远闸函数( 面，w ) c 2 ( u ) c 2 ( u ) ，则方程( 3 4 ) 必有解也c o ( q ) n c 2 , - ( q ) ，且型让可，骢乱( z ) = 0 证明：在引理3 2 证明的基础上，只需再证l i r a 让( z ) = 0 不妨设面，w 定义在扣，0z 怆n l r o 上，由 u n ，) 一致有界可知，只要k 充分大，就 有鲨一七( - 一坐) 一6 u n ，面+ 七( - 一必+ 6 对任意正数6 及= 1 ，2 ，在 z ，0zi i = n l r o ) 上成立由丽，型的性质，对一切充分大的，在 z ，l iz 眨礼，r o ) 上成立w 一惫( _ 一堂) 一6 u n ，面+ 七( _ 一坐) + 正而在 z ，n l r o 0 ，使得 a i ( a 可i + f 2 干- 孬n 一) + c ( z ，3 ) s 一7 7 i f ( z ，s ) i ，( z ，s ) q r ， 则方程( 3 2 ) 有有界解札c o ( 孬) nc 2 , a ( q ) 证明：取 可= 一型= k ( 1 + r 叩) ，( 其中k 为充分大的正数) 显然订，型满足引理3 3 中的条件( 1 ) ，( 2 ) ，所以只需再证厶可一i f ( z ，s ) i 由于 l 8 可 = 西- 4 - c ( z ，s ) 可 ：= g 丽o ( 盯+ 2 一n ) + c ( z ，s ) k ( 1 + r 口) 2 i 丽( 盯+一n ) + c ( z ， + r 口) sk ( 掣讹s ，) ( 瑞讹s ，) 堆( 南) 口i f ( z ，s ) f 所以当k 充分大时，有l 。西一i f ( z ，8 ) 1 ，即引理3 3 的三个条件全满足，所以 方程( 3 2 ) 有有界解让伊( 两n c 2 ，。( 蚍 1 2 第三章半线性椭圆型方程解的存在性 定理3 3若存在常数r 0 ，使得 c ( x ，s ) 一叼l f ( x ，8 ) 1 ，( z ，s ) q 【一正t 】， ( 其中t = l a ；，m a xl 西( z ) 1 ) ) z l j 则方程( 3 2 ) 有有界解c o ( 孬) nc 2 ，q ( q ) 证明：取可= 一型= t 显然可，型满足引理3 3 中的条件( 1 ) ，( 2 ) ，所以只需再 证l 。面一i f ( z ，s ) 1 由于l 。可= c ( z ，8 ) t ；c ( z ，8 ) 一i f ( z ，8 ) 1 ，所以方程( 3 2 ) 有 有界解u c o ( 豆) nc 2 , a ( q ) 定理3 4若存在某u 及常数盯0 和叩 0 ，使得 ! 垒掣+ c ( z ，s ) 一叩i f ( w , s ) l r 口，( z ，3 ) u 兄 并且定理3 1 - 3 3 中的条件有一个满足，则方程( 3 2 ) 有在无穷远趋于零的有 界解札c o ( 豆) n c 2 , a ( q ) 证明：由所给条件及引理3 5 ，只需构造l u = f ( x ，让) 关于( 一o 。，+ o 。) 的 无穷远闸函数，令面= 一w = 蒂1 ，丽，w 显然满足定义3 2 中的( 2 ) ，( 3 ) ，而 l 。面= 矿1 ( 坐警型+ c ( z ，s ) ) 一i f ( x ，s ) l ，显然满足定义3 2 中的( 1 ) ，所以方程 ( 3 2 ) 有在无穷远趋于零的有界解让c o ( 豆) n c 2 , a ( q ) 1 3 第三章半线性椭圆型方程解的存在性 3 2 临界点理论证明解的存在性 本节主要研究方程( 3 3 ) 外部区域上解的存在性 一t i p 爵29 ( 。) 1 u l q 一2 t + 二兰：z x 6 a q l 2 ； c 3 3 ， 其中qcr n ( 竹3 ) 是一个外部区域， 型n 幽- - 2 ， s ( 口) 盯 s ( 2 ) ，s ( 口) = n 一虹型2 ， 出 g ( z ) 满足条件。 ( g o ) ：9 ( z ) c ( 豆，r ) 且 甬，l ， 0 ， 时，有帑9 ( z ) 枭 f ( z ，u ) 满足条件： 2 g 2 。，2 = 箍，2 + ( 盯) = 0 p 面，乒在后面的( 3 2 1 ) 中给 s ( q ) 0 2s 盯1 s ( 2 ) ，使得当z q ( ) ：，c ( 豆r ，r ) ，且满足c a r a t h d o d o r y 条件 ( ，2 ) ：存在a ( x ) 0 ，口( z ) 工南( q ) n 三稿( q ) ，s t i f ( x ，u ) l a ( x ) a ( 1 u 1 ) ， 其中g c o ( 瓦) ，且满足当t 一0 + 时，g ( t ) = d ( ) ，当t 一+ 时，a ( t ) = o ( t 卜1 ) ， 其中2 s 0 ，使得当( z ，u ) 豆r ，7 时，有 0 l ，f ( z ，让) st i ，( z ，t 1 ) ，其中，f ( z ，u ) = j ：；f ( z ，专) 武 湎) 中对函数9 ( z ) 的这种假设是合理的，事实上，广泛存在着满足( g o ) 的函数9 ( z ) ，例如，不妨令9 ( 功= 研拆，则g c ( 孬，r ) ，且当z n 时，有 赤g ( x ) 赤 ( ) ，( ，2 ) ，( ，3 ) 中对函数l ( z ，u ) 的假设也是合理的，例如，不妨令a ( 1 u 1 ) = m 鲁铲，2 s 1 ，s 2 s ，显然g c o ( 再) ，且z o + ，华一0 ，一+ 。，辫= 而t a l + t # 2 2 再令，( z ，t 1 ) = q ( z ) 川8 ，_ 2 u ，则，( z ，t ) 满足( ) ；这时l ，( z ，乱) i = a ( x ) l u l s - ，显然a - 一1 g ( 1 u 1 ) = 世鲁舻，所以有i i ( x ，让) i a ( x ) a ( 1 u 1 ) ，即 f ( z ，u ) 满足( ，2 ) ；易知f ( x ，u ) 也满足( ) ，这是因为u f ( z ，) 署o ( z ) f u hu y ( x ，u ) = o ) t h 所以当l 仳i r 时，只需取2 0 ，且芦仅依赖于几对于0 p 0o e 在q 中，则称i t 为方程( 3 3 ) 的正解 方程( 3 3 ) 所对应的能量泛函为 j r ( 札) = ；i i u1 1 2 一三上g ( z ) l 札1 9 一上f ( z ，u ) ( 3 2 5 ) 记j 7 ( 缸) 为i ( u ) 对应的f r d c h e t 导数，vt ，h ， ( 以t t ) ， ) = 上( v u v 肛斧) 一上9 ( 刮训q - 2 1 1 7 3 - - 上，( z ，乱m ( 3 2 6 ) 由变分法的主要思想可知，若牡是j ( 让) 的临界点，即j 7 ( 牡) = 0 ，则u 必是方程 ( 3 3 ) 的解 在本节定理的证明过程中主要是利用了山路引理，偶泛函的临界点定 理等工具，在得出主要的结论之前，我们需要以下引理，具体见文献 1 6 1 和 f 1 4 1 1 5 第三章半线性椭圆型方程解的存在性 引理3 6设q 是如上所述的外部区域，0 p 0 ，使得对任意t h 都有 ( 上群) ；蚓i 训； 2 ( i i ) 若2 ( 盯) 0 ，在b a o ) 中，j 0 ，在o b p 上，j n ，其中 b p = z e ；i i z l i p ) ， ( i i ) 存在e 的一个k 维子空间，使氟n 山有界，且s u pi ( u ) o o ，这 里a o = u e ；i ( u ) o ) ，令b m = 。i ：n f s u pj ( 缸) ，m 1 ，2 ，七) ， ir n t 正 这里r 1 = ；h ：e _ e 是一个奇同胚，h ( 0 ) = 0 ，h ( b 1 ) ca o ，b x = t e ；0 乱0 1 ，f m = kce ；k 关于0 是紧对称的，且对于任意的h 1 1 ，7 ( k a h ( o b l ) ) m ) ，y ( k ) 表示e 中紧对称子集k 的亏格则 ( 1 ) 0 a b l 冬b k + o o ，h ，6 七是，的临界值， ( 2 ) 若对某个m 1 ，2 ，七) ，有= b m + 1 ，则对应于，泛函有无穷多 个临界点 定理3 5 设0 肛 可，2 q 2 + ，s ( q ) 0 ，使得 i g ) i 矗，t 矗 由t 一+ o 。，a ( t ) = o ( t 卜1 ) 得，存在正数m 及某个c 1 0 ，使得 i g ( ) i c l t 卜1 ，m 由g c o ( 可) 得，存在正数b ，使得 i a ( t ) l 0 ，使得当i u i 7 时，有 f ( x ，u ) 一k e l l 让i ”一c l r ”一k ， 由( 3 2 1 2 ) ，( 3 2 1 3 ) 易得， f ( x ，t 1 ) e li t l r c 2 ， 1 7 ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 i i ) ( 3 2 1 2 ) 所以存在 ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) 其中c , 2 = c l r p + k 0 下面验证泛函r 满足山路引理的条件 ( i ) 一方面，显然，( o ) = 0 ，由( 3 2 9 ) 得，f ( z ，u ) ；n ( z ) i 牡1 2 + 掣。( z ) 8 ， 由( 卯) 得，9 ( z ) 蘸，则 i 圳2 一言上9 川l 上脚 卜言上靠。一言肛卅卜等上巾卅1 8 u 旷一鲁( 上笞) 争( 上旷) 务一昙( 互。c z ，岛) 学( 上旷) 毒 一半( 知为) 争( 胪) 方 互1 l l u1 1 2 - - c 3l iu i i 口一- 三c 4i iu | 1 2 一掣c 5l i 钍旷 ( 这里用到( 3 2 7 ) 式) = ( 丢一昙铂) l l ui | 2 一c 3i l 让| l q a ( e ) c ai u 旷 取e = 赤，则 讹) 扣ut l z c 3 i i 训l 掣c 5 f ju 旷 = 扣| 1 2 ( 1 4 c 3 i i ul i 口一掣c 5 l i 酬越) 刘1 让1 1 20 - 跖刁 其中琶i iul i _ l l l a x c 3i it 。w 2 , 等c