（固体力学专业论文）多自由度碰撞振动系统的对称性、分岔与混沌研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 摘要 本文以两个典型的三自由度对称碰撞振动模型为研究对象，系统地研究 了该类非光滑动力系统的分岔和混沌等动力学行为。研究表明：有对称双侧 刚性约束的碰撞振动系统( 对称碰撞振动系统) 的动力学行为与一般的碰撞 振动系统相比有很大的不同。 第一章从碰撞振动系统的周期运动的稳定性、分岔以及混沌等方面的理 论研究和工程应用背景出发，综述了部分研究成果、最新发展动态和存在的 主要问题。 ， 第二章研究了三自由度对称碰撞振动系统的对称周期刀一2 运动以及 p o i n c a r 6 映射的对称性。讨论了其对称周期刀2 运动的存在性条件，并得到 了对称周期以2 运动的解析解。确定了系统的p o i n c a r 6 截面及其对称截面， 建立了一个对称变换，并构造了p o i n c a r 6 映射。研究发现系统的p o i n c a r 6 映 射具有一定形式的对称性，在这种对称性质作用下，p o i n c a r 6 映射p 可以表 示为另外一个映射q ，的二次复合。定义了对称不动点和反对称不动点的概 念，它们分别对应于碰撞振动系统的对称周期，z 2 运动和反对称周期刀2 运 动。利用p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵的特征值，结合映射不动点的分岔理论， 证明了碰撞振动系统的对称不动点( 对称周期疗一2 运动) 不可能发生余维一 的周期倍化分岔，以及h o p f - f l i p 分岔和p i t c h f o r k f l i p 分岔。证明了两个反对 称不动点( 反对称周期 2 运动) 的p o i n c a r 6 映射的线性化矩阵具有相同的 特征值，从而说明它们具有相同的稳定性。计算了对称不动点( 对称周期以2 运动) 的p o i n c a r 6 映射的线性化矩的特征值。通过数值模拟发现对称不动点 可能发生音叉分岔和h o p f 分岔。 第三章研究了一类三自由度对称碰撞振动系统在音叉分岔后通向混沌之 路。利用动力系统中的极限集理论，研究了对称碰撞振动系统吸引子的对称 性。讨论了从非对称极限集转化为对称极限集的条件，并得到以下结论：若 c o 一极限集与其共轭极限集的交集非空，则该国一极限集是对称极限集。数值 模拟不仅得到了非对称的共轭混沌吸引子和对称混沌吸引子，还得到了非对 称的共轭拟周期吸引子和对称拟周期吸引子。在一定的参数区间上，吸引子 则可能反复经历失去对称性和恢复对称性的过程。对于映射p 而言，拟周期 吸引子明显地具有“爆发 的特征，即吸引子的形状突然变大，并延伸到与 自身对称的区域，从而完成了从非对称极限集到对称极限集的演化，因此这 第1 i 页西南交通大学博士研究生学位论文 个过程可称为吸引子的“恢复对称性”分岔。对于映射q 。而言，则可以认为 是两个共轭的拟周期吸引子互相碰撞并同时突然融合到对方体内，完成了从 非对称极限集到对称极限集的演化，从而生成一个外形尺寸更大的具有对称 性的拟周期吸引子。以上这两种解释不仅对于拟周期吸引子是有效的，对于 其它类型的吸引子( 例如混沌吸引子) 同样是有效的。 第四章研究了三自由度对称碰撞振动系统的余维二分岔。因为p o m c a r 6 映射p 的对称性能够通过映射q ，表示，对于映射p 在分岔点处的范式研究， 可转化为对映射q ，的范式研究。讨论了p o i n c a r 6 映射p 在几种余维二分岔点 处的范式映射，包括：h o p f - h o p f 分岔，h o p f - p i t c h f o r k 分岔，以及l ：2 共振 的情况。以上这三种情况分别对应于映射q ，的h o p f - h o p f 分岔，h o p f - f l i p 分岔，以及1 ：4 共振的情况。在这三种余维二分岔的情况下，虽然映射p 及 其所对应的映射q 。的范式的形式是完全相同的，但是范式映射的系数却是不 同的。这当然导致了它们范式映射在余维二分岔点处的开折图中的区间边界 的不同。对模型一的h o p f - h o p f 分岔和1 ：2 共振的情况，以及模型二的 h o p f - p i t c h f o r k 分岔进行了数值分析。还通过数值模拟发现了三个孤立的稳定 h o p f 圈共存的现象，其演化顺序为：一个不稳定对称不动点一一个半稳定的 对称h o p f 圈一三个稳定h o p f 圈。目前还不能对这种现象给出较好的理论解 释。 第五章研究了对称碰撞振动系统的l y a p u n o v 指数的计算方法。对于具 有对称双侧刚性约束的碰撞振动系统，利用其p o i n c a r 6 映射p 的对称性质， 可以通过构造一个虚拟隐式映射q ，来计算所有l y a p u n o v 指数。当得到虚拟 隐式映射q ，之后，便可以引用光滑系统中采用时间序列的方法来计算 l y a p u n o v 指数。当得到全部的l y a p u n o v 指数之后，就可以计算l y a p u n o v 维 数，并可以之来衡量混沌吸引子的奇异性。利用l y a p u n o v 指数来区别长周期 运动和混沌运动也是十分有效的。本章还说明了在碰撞振动系统中取不同的 p o i n c a r 6 截面构造p o i n c a r 6 映射p 对于研究系统的局部动力学行为是等效的。 关键词：对称碰撞振动系统；对称周期n - 2 运动；对称极限集：虚拟隐式映 射；分岔；混沌；l y a p u n o v 指数 西南交通大学博士研究生学位论文第i 页 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i d e r st w ot y p i c a l t h r e e - - d e g r e e o f - f r e e d o mv i b r o - i m p a c t s y s t e m sw i t hs y m m e t r i ct w o - s i d e dr i g i dc o n s t r a i n t s ( i e ，s y m m e t r i cv i b r o - i m p a c t s y s t e m s ) ，a n ds t u d i e sb i f u r c a t i o n sa n dc h a o si nt h e s en o n s m o o t hd y n a m i c s y s t e m s i ti s s h o w nt h e r ea r es o m ei m p o r t a n td i f f e r e n c e si nt h ed y n a m i c b e h a v i o u rb e t w e e nt h es y m m e t r i cv i b r o i m p a c ts y s t e m sa n dt h eg e n e r a lo n e s b a s e do nt h et h e o r e t i cr e s e a r c h sa n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n so nt h es t a b i l i t y , b i f u r c a t i o no fp e r i o d i cm o t i o na n dc h a o si nv i b r o - i m p a c ts y s t e m s ，c h a r p t e ro n e s u r v e y st h er e c e n ta c h i e v e m e n t s ，d e v e l o p m e n t sa n du n s o l v e dp r o b l e m s c h a p t e rt w oc o n s i d e r st h es y m m e t r i cp e r i o d 刀一2m o t i o no ft h es y m m e t r i c v i b r o i m p a c ts y s t e m ，a n ds d u t i e st h es y m m e t r i cp r o p e r t yo ft h ep o i n c a r 6m a po f t h es y s t e m t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so ft h es y m m e t r i cp e r i o dn - 2m o t i o na r e o b t a i n e d ，a n dt h es o l u t i o n so ft h es y m m e t r i cp e r i o d 刀2m o t i o ni sd e d u c e d t h e p o i n c a r 6s e c t i o na n di t s s y m m e t r i cs e c t i o na r ed e t e r m i n e d ，a n das y m m e t r i c t r a n s f o r m a t i o ni se s t a b l i s h e d s u b s e q u e n t l y , t h ep o i n c a r 6m a po ft h es y s t e mi s c o n s t r u c t e d i ti ss h o w nt h a tt h ep o i n c a r 6m a pe x h i b i t ss o m es y m m e t r i c p r o p e r t y , a n d 硒ar e s u l t ，t h ep o i n c a r 6m a ppc a nb ee x p r e s s e d 勰t h es e c o n di t e r a t i o no f a n o t h e ri m p l i c i t m a pq ，t h es y m m e t r i cp e r i o d 以一2f i x e dp o i n ta n dt h e a n t i s y m m e t r i cp e r i o d 刀- 2f i x e dp o i n ta r ed e f i n e d a n dt h e yc o r r e s p o n dt ot h e s y m m e t r i cp e r i o dn - 2 m o t i o na n dt h e a n t i s y m m e t r i cp e r i o dn - 2m o t i o n ， r e s p e c t i v e l y b a s e do nb i f u r c a t i o nt h e o r i e so ft h ef i x e dp o i n to ft h em a p ，i ti s p r o v e dt h a tp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ，h o p f - f l i pb i f u r c a t i o na n dp i t c h f o r k - f l i p b i f u r c a t i o na r es u p p r e s e db yt h es y m m e t r yo ft h ep o i n c a r 6m a p f o rt h et w o a n t i s y m m e t r i cf i x e dp o i n t s ，i ti ss h o w nt h a tt h e yh a v et h es a m es t a b i l i t ys i n c et h e i r j a c o b i a nm a t r i c eh a v et h es a m ee i g e n v a l u e s t h ej a c o b i a nm a t r i xo ft h ep o i n c a r 6 m a p i sa l s oc o m p u t e di nd e t a i l i nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，t h ee i g e n v a l u e so ft h e j a c o b i a nm a t r i xi st h eb a s i so f a n a l y s i n gv a r i o u sb i f u r c a t i o np h e n o m e n a n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o w st h a tt h es y m m e t r i cp e r i o d 疗一2f i x e dp o i n tm a yh a v e b o t hp i t c h f o r kb i f u r c a t i o na n dh o p fb i f u r c a t i o n c h a p t e rt h r e em a i n l yf o c u s e so nt h er o u t e st oc h a o sa f t e rp i t c h f o r kb i f u r c a t i o n i ns y m m e t r i cv i b r o - i m p a c ts y s t e m s u s i n gt h el i m i ts e t t h e o r yi nd y n a m i c a l 第页西南交通大学博士研究生学位论文 s y s t e m s ，t h es y m m e t r yo ft h ea t t r a c t o r s i ns y m m e t r i cv i b r o i m p a c ts y s t e m si s i n v e s t i g a t e d t h ec o n c e p t i o no ft h el i m i ts e to ft h ei m p l i c i tm a pi si n d u c e d ，a n d t h ea t t r a t o ri sd e f i n e da saa s y m p o t i cs t a b l ec o - l i m i ts e t s p e c i a li n t e r e s t i n gi s g i v e ni nt h ec o n d i t i o no ft h et r a n s f o r m a t i o nf r o mt h ea s y m m e t r i cl i m i ts e tt o s y m m e t r i cl i m i ts e t ，a n dt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o ni so b t a i n e d ：i ft h ei n t e r s e c t i o n o ft h e 国- l i m i ts e ta n di t sc o n j u g a t el i m i ts e ti sn o n e m p t y , t h e nt h ec o l i m i ts e ti s as y m m e t r i cl i m i ts e t b yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，n o to n l ya s y m m e t r i cc o n j u g a t e c h a o t i ca t t r a c t o r sa n ds y m m e t r i cc h a o t i ca t t r a c t o r , b u ta l s oa s y m m e t r i cc o n j u g a t e q u a s i - p e r i o d i ca t t r a c t o r sa n ds y m m e t r i cq u a s i p e r i o d i ca t t r a c t o r , a r eo b t a i n e d i ti s a l s os h o w nt h a ti ns o m e p a r a m e t e rr e g i o n ，a t t r a c t o r sm a yu n d e r g o s y m m e t r y - b r e a k i n ga n ds y m m e t r y - r e s t o r i n gp r o c e s s e sr e p e a t e d l y f o rt h et h e p o i n c a r 6m a pp ，a t t r a c t o r sm a y g r o wi ns i z ea b r u p t l ya n dh a se x p l o s i o np r o p e r t y d u et ot h eb i r t ho fal a r g e rs y m m e t r i ca t t r a c t o r , t h i sp h e n o m e n o ni sc a l l e d s y m m e t r y - r e s t o r i n g a tt h es a m et i m e ，f o rt h ei m p l i c i tm a pq ，t h et w o c o n j u g a t ea t t r a c t o r sc o l l i d et oa n dm e r g ei n t oe a c ho t h e rs u d d e n l y , a n dt h e s et w o c o n j u g a t ea t t r a c t o r se v o l v ei n t ot h en e ws y m m e t r i ca t t r a c t o r t h ea b o v et w o e x p l a n a t i o n sa r et r u ef o rb o t hq u a s i p e r i o d i ca t t r a c t o r sa n dc h a o t i ca t t r a c t o r s c h a p t e rf o u rd i s c u s s e sc o d i m e n s i o nt w ob i f u r c a t i o n so ft h ep e r i o dn - 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h o p fb i f u r c a t i o n ，h o p f - p i t c h f o r kb i f u r c a t i o na n db i f u r c a t i o ns a t i s f y i n g1 ：2 r e s o n a n c ec o n d i t i o n so ft h ep o i n c a r 6m a ppa r eo b t a i n e d i na d d i t i o n ，t h r e e i s o l a t e ds t a b l eh o p fc i r c l e so ft h ep o i n c a r 6m a ppa r ea l s oo b t a i n e d ，a n dt h e e v o l v i n gs e q u e n c ei s ：au n s t a b l es y m m e t r i cp e r i o d 刀一2 f i x e dp o i n t a 西南交通大学博士研究生学位论文 第v 页 s y m m e t r i cs e m i s t a b l eh o p fc i r c l e t h r e es t a b l eh o p fc i r c l e s n or e a s o n a b l e e x p l a n a t i o n sc a nb eg i v e nf o rt h i sp h e n o m e n o ns o f a r c h a p t e rf i v er e p r e s e n t ss t u d i e s o nt h ec o m p u t a t i o nm e t h o do fl y a p u n o v e x p o n e n t si ns y m m e t r i cv i b r o i m p a c ts y s t e m s d u et o t h es y m m e t r yo ft h e p o i n c a r 6m a pp ，ai m p l i c i tm a pq ，i se s t a b l i s h e dt oc o m p u t ea l lt h el y a p u n o v e x p o n e n t s b a s e do nt h em a pq ，t h em e t h o do fc o m p u t i n gl y a p u n o ve x p o n e n t s f r o mt i m es e r i e si ns m o o t hd y n a m i cs y s t e m si s a p p l i e d t ot h es y m m e t r i c v i b r o i m p a c ts y s t e m s o n c ea l lt h el y a p u n o ve x p o n e n t sa r eo b t a i n e d ，l y a p u n o v d i m e n s i o nc a nb ec a l c u l a t e d ，a n do f f e r sam e a s u r e m e n to ft h ed e g r e eo ft h e s i n g u l a r i t yo f t h ec h a o t i ca t t r a c t o r i ti sa l s oe f f e ：c t i v et od i s t i n g u i s hl o n gp e r i o d i c m o t i o na n dc h a o t i cm o t i o nm a k i n gu s eo fl y a p u n o ve x p o n e n t s i ns y m m e t r i c v i b r o i m p a c ts y s t e m s i fd i f f e r e n tp o i n c a r 6s e c t i o n s a r ec h o s e nf o rc o n s t r u c t i n g p o i n c a r 6m a p ，t h e ya r ee q u i v a l e n tf o rc o m p u t i n gl y a p u n o ve x p o n e n t s k e yw o r d s ：s y m m e t r i cv i b r o i m p a c ts y s t e m ；s y m m e t r i cp e r i o d 甩2m o t i o n ； s y m m e t r i cl i m i ts e t ；i m p l i c i tm a p ；b i f u r c a t i o n ；c h a o s ；l y a p u n o v e x p o n e n t 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密函使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名：辱搏 日期：2 黾，5 弓d 指导老师签名： 日期： 湃群 l 2 p2 r 7o 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 对称碰撞振动系统的p o i n c a r 6 映射具有一定形式的对称性，在这种对 称性质作用下，p o i n c a r 6 映射p 可以表示为另外一个映射q ，的二次复合。( 见 2 4 节) 2 根据不动点的分岔理论进行分析得到以下结论：多自由度对称碰撞振 动系统的对称不动点( 对称周期n 2 运动) 不可能发生余维一的周期倍化分 岔，以及h o p f - f l i p 分岔和p i t c h f o r k - f l i p 分岔。( 见2 5 节) 3 利用动力系统中的极限集理论，研究了对称碰撞振动系统吸引子的对 称性。讨论了从非对称极限集转化为对称极限集的条件，并得到以下结论： 若c o 一极限集与其共轭极限集的交集非空，则该国一极限集是对称极限集。( 见 3 4 、3 5 节) 4 在一定的参数区间上，拟周期吸引子可能反复经历失去对称性和恢复 对称性的过程。对于映射p 而言，拟周期吸引子明显地具有“爆发 的特征， 即吸引子的形状突然变大，并延伸到与自身对称的区域，从而完成了从非对 称极限集到对称极限集的演化。对于映射q ，而言，两个共轭的拟周期吸引子 互相碰撞并同时突然融合到对方体内，完成了从非对称极限集到对称极限集 的演化，从而生成一个外形尺寸更大的具有对称性的拟周期吸引子。( 见3 6 节) 5p o i n c a r d 映射p 的h o p f - h o p f 分岔，h o p f - p i t c h f o r k 分岔，以及满足l ： 2 共振条件的分岔分别对应于映射q ，的h o p f - h o p f 分岔，h o p f - f l i p 分岔，以 及满足1 ：4 共振条件的分岔。利用中心流形范式理论，结合投影技术得到 了h o p f - p i t c h f o r k 分岔的范式。并通过数值模拟得到了h o p f - p i t c h f o r k 分岔。 ( 见第4 章) 6 对于具有对称双侧刚性约束的碰撞振动系统，利用其p o i n c a r d 映射p 的对称性质，可以通过构造一个虚拟隐式映射q ，并引用光滑系统中采用时 间序列的方法来计算所有l y a p u n o v 指数。( 见5 4 节) 7 关于多自由度对称碰撞振动系统的l y a p u n o v 维数和l y a p u n o v 指数， 数值分析得到以下结果：( 1 ) 对于拟周期吸引子，因为最大l y a p u n o v 指数始 终为零，所以对应的l y a p u n o v 维数为零。对于混沌吸引子，l y a p u n o v 维数 可能在2 与3 之间( 一般的混沌吸引子) ，也可能在3 与4 之间( 属于超混沌 的吸引子) 。( 2 ) 在分岔临界点处，发生音叉分岔时有一个l y a p u n o v 指数( 最 大l y a p u n o v 指数) 为零；发生h o p f - p i t c h f o r k 分岔时有三个l y a p u n o v 指数为 零；发生h o p f - h o p f 分岔时有四个l y a p u n o v 指数为零。( 见5 7 节) 学位论文作者签名：牟犯 e l 期：7 - d 0 8 年5 月5 0e l 西南交通大学博士研究生学位论文第l 页 1 1 综述 第1 章绪论 1 1 1 碰撞振动系统的工程背景 碰撞振动现象广泛存在于实际工程领域中。一方面，人们利用碰撞系统 的动力学原理设计制造了各种冲击机械，例如冲击消振裂l ，2 1 、振动落砂机、 冲击钻进机械、振动筛、振动锤、打桩机、微型造型机以及打印机机头等。 这些带有碰撞的振动机械能较好地满足特定的生产目的。另一方面，由于碰 撞和冲击的存在，可能给机械系统和周围环境带来不利影响。例如：高速铁 路列车在运行中轮轨之间的碰撞不仅会大大影响乘客的舒适感，还可能造成 列车脱轨。在核反应堆中，元件在冷却流体作用下可能诱发振动，并与支撑 发生碰撞，会造成零部件磨损并可能发生核泄露；而蒸汽发生器中的热交换 管道与支撑板的碰撞振动，使管道磨损并破坏，严重威胁核反应堆的安全运 转 3 , 4 1 。由于生产加工工艺水平的限制，或者机械零件装配过程中的过盈配合 以及其它原因，许多振动机械系统的内部零件之间往往含有微小间隙，从而 不可避免地发生使碰撞和冲击现象。例如齿轮的拍击【5 】、引擎的锤击【6 】、存在 止挡冲撞的机械系统【7 】、船舶和浮体在波浪作用下的冲击振动 8 9 1 、机器人操 作器与环境接触和脱离引起的碰撞【l0 1 、航天器伸展系统由于关节间隙而发生 冲击等。此外，碰撞振动也是环境噪声的重要来源；要控制环境噪声，就必 须对碰撞振动系统的奇异吸引子的形成过程和特性有深刻认识。碰撞振动可 能改变动力系统的拓扑结构，是造成机械部件损坏的重要原因【1 2 】，也给系统 的动态设计带来了很大的难度。更多的关于碰撞振动的工程实例参见文献 7 ， l l ，1 3 ，1 4 1 。 由于碰撞振动现象在实际工程领域中的普遍性，以及在航空航天，机械 制造，交通运输以及能源等诸多工业领域的重要性，随着科学技术的高速发 展，关于碰撞振动系统的动力学研究日益展示出相当的紧迫性i 并吸引了众 多科学工作者和工程技术人员的关注。 第2 页西南交通大学博士研究生学位论文 1 1 2 碰撞振动系统的稳定性，分岔和混沌研究现状 碰撞过程本身是一个相当复杂的过程。它与物体接触时的相对速度，接 触面的几何形状以及接触持续时间，局部塑性变形密切相关。在对系统进行 动态分析时，用于描述碰撞过程的模型通常有三种：( 1 ) 瞬时冲击模型。这 种模型假设冲击时间为零，在碰撞过程中只考虑能量的损失，并利用恢复系 数的概念和动量守恒定理得到碰撞前后瞬时速度的关系；( 2 ) 分段线性模型。 这种模型可以描述碰撞的恢复和压缩过程，可以考虑碰撞过程中接触力的大 小变化和碰撞时间；( 3 ) 考虑碰撞过程中的局部变形，用h e r t z 接触理论【i 纠 描述接触力。这种理论能够较好地反映接触力的变化，但由于其表达式为非 线性形式，使得该理论在进行动态分析时比较困难。大量的碰撞振动问题的 研究是基于瞬时冲击模型和分段线性模型【l 引。本文的研究是基于瞬时冲击 模型。 自从p a g e t 在1 9 3 0 年发明冲击消振器后，冲击消振器便成为许多学者研 究碰撞振动系统的动力学问题的重要模型。l i e b e r 等【l9 j 假定质量块与边界为 完全塑性碰撞，认为系统呈现简谐运动，并在文 2 0 中将两次碰撞之间的运 动展开为二阶多项式进行研究，并且假定系统作等时间间隔的周期运动。 a r n o l d 的研究 2 1 】贝0 假设每周期存在两个等时间间隔的碰撞，并将碰撞力以 f o u r i e r 级数表示。s a d e k 2 2 j 通过实验发现单自由度冲击消振器在一定的参数 区域中存在非对称周期运动，即：在激振力的一个周期中两次碰撞之间的时 间间隔并不相等；而且主振体的振幅在某一激励力频率会发生跳跃现象。1 9 7 0 年，m a s r i 2 3 】首次提出了单自由度冲击消振器每个激励力周期任意碰撞次数稳 态周期运动的精确解，他放弃对称性假设，用分段积分的方法求出非对称碰 撞周期运动。数值结果表明：随着频率比的变化，对称冲击周期运动与非对 称冲击周期运动互相转化。通过实验还发现了周期1 3 运动( 周期p q 运动 的含义是在p 个激振力周期发生口次碰撞的周期运动) 。冲击消振器也可用于 多自由度冲击振动系统和弹性体振动系统的消振。m a s r i 2 4 基于对称性假设得 到了一类等截面冲击消振b e r n o u l l i e u l e r 梁稳态运动的精确解，结果表明较 大的质量和较高的恢复系数会产生较大的阻尼效果，并且消振器距离振型节 点越远效果越好。r o y 等【z 副对两端固接梁和简支梁分别采用无穷级数和多自 由度系统的方法进行逼近，得到了系统的解。理论分析和实验研究反映了冲 击阻尼连续体系统的振动特性，发现间隙对减小振幅的效果较大。b a p a t 等【2 叫 研究了单自由度冲击消振器有任意碰撞次数的强迫振动，结论是共振点的优 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 化参数在其它频率位置不一定为优。文 2 7 】讨论了只有一个碰撞体的平躺串 联振动的消振问题，确定了一种对称的周期运动及其稳定性。p o p p l e w e l l t 2 8 l 考虑了左右挡板恢复系数不同时对系统运动特性的影响，并在文 2 9 】中提出 了冲击消振器的最优参数简化设计步骤。b a p a t 3 0 还考虑了冲击消振器振子与 主质块间的摩擦、确定和非确定的碰撞恢复系数等因素，得到了倾斜放置的 两自由度冲击消振器的周期1 节运动和稳定性的判别方法。 另外一种典型的碰撞振动问题是以振动落砂机为背景的冲击问题。文 1 3 】 研究过振动落砂机、振动筛和冲击振动成型机的动力学问题。舒仲周等在文 3 1 q b 研究了两类冲击振动落砂机的力学模型，得到了周期解的存在性和稳 定性判据。文【3 2 】提出了如何使双质体碰撞振动系统在满足一定条件下自由 隔振。文 3 3 3 5 1 进一步研究了任意多串联以及串并联混合连接的质体在多个 简谐激振力作用下振动，并发生互相碰撞或与多个自由体碰撞的一般情况。 以上关于碰撞振动系统的研究均采用瞬时碰撞模型；同时也有大量的关 于碰撞振动系统的研究采用分段线性模型。n a t s i a v a s 等p 6 j 提出了计算量较小 的接缝法，并用其研究了受简谐激励的对称和不对称的分段线性振子的各种 共振响应。该方法具有较高的计算精度和效率，不足之处是需要假设周期运 动的形式，且程序随着系统维数和线性区数目的增加而变得非常复杂。谐波 平衡法是对周期运动作有限f o u r i e r 级数截断，用n e w t o n r a p h s o n 格式迭代 颠倒顺序，也就是与谐波平衡法等价的增量谐波平衡法。文【3 7 】分别用该方 法研究了对称和非对称弹性约束振子的各种共振问题。c h o i 等【3 副在谐波平衡 法中引入快速f o u r i e r 变换以计算非线性恢复力的各阶谐波系数，进而研究非 对称弹性约束振子的多种共振响应。文 3 9 】研究了一类具有间隙的动力系统 的自激振动，证明了系统的极限环的存在性、唯一性和稳定性。文【4 0 】对外 挂上带有初偏间隙型非线性刚度的二元翼外带外挂系统的极限环颤振，进行 k b m 法二次渐近等效线性化分析。文【4 1 】采用等效线性化法研究了车辆轮对 与轮缘的碰撞运动。文 4 2 】研究了由轮轨碰撞引起的脱轨问题。文 4 3 】把轮缘 接触假设为非线性关系，研究了轮对蛇形运动的h o p f 分岔。文 4 4 1 将描述非 线性振动的微分方程归结为非线性积分方程，然后将其求解问题转化为无穷 阶非线性代数方程组的求解，并用该方法分析了d u f f i n g 系统。文 4 5 1 分析了 一个具有慢变参数的非线性系统，利用m e l n i k o v 方法分析了系统在参数发生 变化时的同宿分岔，同时数值分析了当系统参数发生变化时安全盆的侵蚀与 分岔、混沌的关系。文【4 6 】应用广义胞映射理论的离散连续状态空间为胞状 态空间的基本概念，将偏序集和图论理论引入广义胞映射，提出了进行非线 第4 页西南交通大学博士研究生学位论文 性动力系统全局分析的广义胞映射的图论方法。在全局瞬态分析计算中瞬态 胞的总数目有效地减少，并能借助于图的算法有效地实现全局瞬态的拓扑排 序。文 4 7 】将小波变换与p o i n c a r 6 映射相结合，用p o i n c a r 6 映射确定周期解， 用谐波小波变换区分拟周期响应和混沌运动，提出一种分析非线性裂纹转子 系统解的形式随参数变化的新方法。此方法与计算l y a p u n o v 指数相比能够节 省更多的时间，并较易实施。 打靶法是基于常微分方程的边值问题的数值解而建立起来的方法，能够 在系统的状态空间中寻找满足周期运动条件的初始状态，即p o i n c a r 6 映射的 不动点。r e i t h m e i e r l 4 副用打靶法确定了碰撞振子的周期运动。h u l 4 别指出打靶 法不适合于p o i n c a r 6 映射具有奇异性的情况，提出对系统瞬态运动进行曲线 拟合，采用分段解析解与打靶法相结合的方法来提高计算弹性约束系统周期 运动的精度和效率。文 5 0 用打靶法研究了车辆轮轨互相作用时对应的非光 滑动力系统的蛇行运动。打靶法编程简单且可移植性比较好，同时可得到进 行稳定性分析所需要的p o i n c a r 6 映射线性化矩阵。针对多自由度碰撞振动系 统建立p o i n c a r 6 映射是研究该系统丰富而复杂的全局动力学行为的有效工 具。 随着非线性动力系统理论、动态测试技术和计算机技术的发展，碰撞振 动系统的研究进入了一个新的阶段。h o l m e s 和s h a w 等人首先采用现代动力 系统理论研究碰撞振动系统的动力学行为。s h a w 对单自由度碰撞振动系统作 了大量的研究工作。他在文 5 1 】中研究了一类在简谐激振力作用的单侧约束 单自由度振子，用中心流形定理分析了周期运动的局部分岔，并通过同宿相 截条件讨论了混沌运动。在文 5 2 中进一步证明：在完全塑性碰撞时该振子 的动力学行为可由圆周上的自