（凝聚态物理专业论文）nutkerrnewman黑洞熵的拓扑起源及其拓扑相变理论.pdf

i ：海人学硕l ：学位论文 摘要 本论文从g a u s s b o n n e t c h e m 定理出发，计算了 n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的拓扑结构、熵的拓扑起源以及相应的拓扑 相变理论，指出n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的e u l e r 示性数是一些从0 到2 的不连续的数。利用黑洞熵和e u l e r 示性数的关系，我们发现 b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵是拓扑上的最大熵。随着黑洞的质量、比角动 量、电荷以及叮荷的变化，n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞将从环状的 拓扑结构演化到球状的拓扑结构。在这个过程中，e u l e r 示性数和熵 将发生不连续的变化，从而导致n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞发生一级拓 扑相变，并得到了相应的相变潜热和黑洞的质量、比角动量、电荷 以及n u t 荷之间的关系。我们估算出由恒星演化的黑洞的相变潜热 正好位于丫爆的能量级范围内，这为y 爆的起源提供了一种新的解 释。 关键词：熵、n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞、e u l e r 示性数、k i l l i n g 矢量场、 g a u s s - b o n n e t c h e m 定理。 v i i ：海人学硕l ：学位论文 a b s t i 认c t f r o mt h eg a u s s - b o n n e t - c h e r nt h e o r e m ，t h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i co f n u t - k e r r - n e w m a nb l a c kh o l ei sc a l c u l a t e dt ob es o m ed i s c r e t e n u m b e r sf r o m0t o2 w ef i n dt h a tt h eb e k e n s t e i n - h a w k i n ge n t r o p yi s t h el a r g e s te n t r o p yi nt o p o l o g yb yt a k i n ga c c o u n to ft h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e e n t r o p y a n dt h ee u l e rc h a r a c t e r i s t i c t h e n u t - k e r r - n e w m a nb l a c kh o l ee v o l v e sf r o mt h et o r u s - l i k et o p o l o g i c a l s t r u c t u r et ot h es p h e r i c a ls t r u c t u r ew i t ht h ec h a n g e so fm a s s ，a n g u l a r m o m e n t u m ，e l e c t r i ca n dn u tc h a r g e s i nt h i s p r o c e s s ，t h e e u l e r c h a r a c t e r i s t i ca n dt h ee n t r o p ya r ec h a n g e dd i s c o n t i n u o u s l y , w h i c hg i v e t h e t o p o l o g i c a l a s p e c t o ft h e f i r s t - o r d e r p h a s e t r a n s i t i o no f n u t - k e r r - n e w m a nb l a c kh o l e t h ec o r r e s p o n d i n gl a t e n th e a to ft h e t o p o l o g i c a lp h a s et r a n s i t i o ni sa l s oo b t a i n e d t h ee s t i m a t e dl a t e n th e a to f t h eb l a c kh o l ee v o l v e df r o mt h es t a rj u s tl i ei nt h er a n g eo ft h ee n e r g yo f g a m m ar a yb u r s t s k e y w o r d s ： e u l e rc h a r a c t e r i s t i c ，e n t r o p y , n u t - k e r r - n e w m a nb l a c k h o l e ，k i l l i n gv e c t o rf i e l d ，g a u s s b o n n e t c h e r nt h e o r e m v i i i ：海人学顾l ：学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盈墨笙日期：2 螋7 q 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) i l l i ：海人学硕i ：学位论文 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题来源于上海市科学技术委员会自然科学基金，项目编号：0 4 z r l 4 0 5 9 ； 国家自然科学基金，项目编号：1 0 5 7 5 0 6 8 ；上海市科学技术委员会重点实验室项 目，项目编号：0 4 d z 0 5 9 0 5 。 1 2 课题研究的目的和意义 黑洞由于其自身特有的极端物理条件和物理性质，使其成为天文学观测和理 论物理学研究的主要对象之一，而黑洞热力学更成为广义相对论、热力学统计物 理、弦理论和微分几何等多个学科和领域研究的交叉点。本课题将以 n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞为例，利用微分几何和拓扑学的方法，得到 n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞熵的拓扑起源及其拓扑相变理论，指出n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的熵是由时空k i l l i n g 矢量场在奇点处的h o p f 指数和b r o u w e r 度决定的。同 时随着黑洞的质量、比角动量、电荷和n u t 荷的变化，k i l l i n g 矢量场的奇点将 发生变化，从而导致n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的拓扑结构和熵发生突变，从而给 出n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的一级拓扑相变理论。这从拓扑的角度为进一步研究 黑洞熵的起源和内部结构，以及黑洞的相变理论和演化方向提供了新的思路和方 法。 1 3 国内外研究现状 黑洞熵的研究是当前理论物理研究中最重要的课题之一。因为熵具有统计意 义，因而对黑洞熵的理解涉及到对黑洞微观本质的认识。在关于黑洞的h a w k i n g 蒸 发的观点和黑洞熵i 拘b e k e n s t e i n - - h a w k i n g 公式提出来以后【1 】，黑洞熵的微观统计 起源问题始终是一个悬而未决的开放问题。长期以来，人们提出了各种研究观点 和方案。第一种是h a w k i n g 提出的【2 】，在e u c l i d e 距空间中利用引力作用量的路径积 i ：海人学硕1 ：学位论文 分得到黑洞热力学系统的配分函数，由配分函数可求得黑洞的熵。第二种是弦理 论的方案【3 】，弦理论在低能近似下回到1 0 维的超引力，弦理论正是这样与引力理 论联系起来的。v a f a ( c u m r u nv a f a ) 和s t r o m i n g e r ( a n d r e ws t r o m i n g e r ) 利用i i 型 弦理论紧致化后的低能有效作用量，加上b p s 条件得到了五维极端黑洞的解，再由 视界面积计算出它的b e k e n s t e i n h a w 虹n g 熵。另一方面他们通过计算b p s 孤子基态 在d - - b r a n e 上的微观状态数给出了极端黑洞的熵。进而弦理论提出h a w k i n g 辐射可 以看成从d - - b r a h e 发射闭弦的过程 4 ，5 】，这给出了极端黑洞熵的一种微观解释。 第三种研究黑洞熵的方法是纠缠熵理论【6 】，该理论认为黑洞熵源于黑洞视界内外 量子场的相互关联。由于这种相互关联穿过视界，限制在黑洞外面的量子场成了 混合态。该方法表明黑洞视界附近的量子场对黑洞熵有显著贡献。其他研究黑洞 熵的方法，如热气体方法【7 】，以及与纠缠熵方法、热气体方法和欧氏量子引力方 法都有密切联系的是在s a k h a r o v 的诱导量子引力理论中解释黑洞熵【8 】。还有一些 关于黑洞熵的修正的研究，如考虑统计引起的涨落，特别是熵的涨落 9 】，以及在 计算e u c l i d e a n 空间引力作用量时，引进r i e m a n n 率高阶项 1 0 1 和表面项【1 1 】等。t h o o f l ( g e r a r d u s th o o f l ) 在量子层次上研究了黑洞熵的统计起源和量子修正【8 】， 认为黑洞熵的起源来源于黑洞视界附近传播的量子场的贡献，为了克服量子场的 状态密度在视界附近的发散问题，他提出了砖墙模型( b r i c k - - w a l lm o d e l ) ，该模 一 型引入了一个截断因子，当截断因子满足一定关系时，熵可以写成s = ；的形式。 4 砖墙模型被广泛用于而且只能用于静态和稳态黑洞熵的计算。 利用上述各种研究方案，人们对各种黑洞的熵进行了大量的研究【1 2 2 0 】。 湖南师范大学和中国科技大学的研究小组通过研究一般稳态轴对称黑洞发现，利 用e u c l i d e a n 路径积分方法得到的黑洞热力学熵和利用砖墙模型得到的黑洞统计 力学熵在适当条件下( 适当调节正规子) 是一致的【2 l 】，他们还发现，各种量子 场对黑洞与量子修正与粒子自旋的平方及黑洞自转有关 2 2 】。北京师范大学和中 国科学院上海天文台的研究小组在砖墙模型的基础上提出了一个膜模型 2 3 ，2 4 1 ， 认为量子场对黑洞熵的贡献主要来源于黑洞视界附近的一个薄膜内，该模型除了 用于静态和稳态黑洞以外还可用于缓变动态黑洞，并计算了任意自旋场对 n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的熵的影响 2 5 】。中国科学院理论物理研究所的研究小组 2 l ：海人学硕l ：学位论文 则利用r i e m a n n 曲率高阶项的方法研究了d es i t t e r 时空中的g a u s s - - b o n n e t 黑洞 【2 6 和l o v e l o c k 引力理论中的d 维黑洞【2 7 】等的热力学性质，发现在l o v e l o c k 引 力理论中，尽管黑洞的几何和视界结构可以非常复杂，但利用视界半径，黑洞的 一些热力学量( 如质量、h a w k i n g 温度和熵) 具有非常简单的表达式，特别是黑 洞视界是一个r i c c i 平坦的超曲面时，黑洞是热力学稳定的( 具有正的热容量) ， 它们的熵仍然遵守b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式。 另一方面，近年来人们认识到，黑洞熵是和它的拓扑性质紧密联系的。 h a w k i n g ( s t e p h e nh a w k i n g ) 等人【2 8 ，2 9 】首先从几何和拓扑的角度发现，极端黑 洞和非极端黑洞在拓扑上是两样的。极端黑洞的熵是零，不能够用通常人们在描 述非极端黑洞时用b e k e n s t e i n - h a w k i n g 公式来表征；极端黑洞不可以通过相变由 非极端黑洞演变而来，而是宇宙一开始就有的。h a w k i n g 等人的观点受到了 z a s l a v s k i i ( o b z a s l a v s k i i ) 等人 3 0 - - 3 2 的质疑，他们发现如把四维非极端的 r e i s s n e r - - n o r d s t r 6 m 黑洞放在一个有限尺度的空腔中，利用热力学的巨正则系综 方法，达到热动平衡后非极端黑洞可以无限地接近极端黑洞，极端黑洞的熵仍然 可以用b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式描述，而且极端黑洞仍然保持非极端黑洞的拓扑 性质和e u l e r 示性数。超弦理论通过计算极端和近极端黑洞的量子状态数目支持 了z a s l a v s k i i 的观点 3 3 1 。 l i b e r a t i ( s t c f a n ol i b e r a t i ) 和p o l l i f r o n e ( g i u s e p p ep o l l i f r o n e ) 计算了各种四 维黑洞的熵和拓扑性质的直接联系，归纳出一个新的b e k e n s t e i n - h a w k i n g 公式 一 3 4 ，即s = 詈z ，z 为e u l e r 示性数( 但这个结果不适用于某些特殊情况的黑洞， 6 如e u l e r 示性数等于零的奇数维黑洞和t o r u s 状黑洞等) 。利用这个新的 b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式，复旦大学的研究小组发现【3 5 】，h a w k i n g 和z a s l a v s k i i 在计算过程中采用了不同的极限顺序( 极端条件极限和边界条件极限) ，取极限条 件的不同会导致两种不同的结果，第一种具有极端状态下的拓扑和零熵，第二种 具有非极端状态下的拓扑和正比于视界表面积四分之一的b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵。通过进一步对四维和二维极端和非极端黑洞的e u l e r 示性数和热力学性质的 研究 3 6 - - 3 8 ，他们提出自然界存在两种不同的极端黑洞，第一种极端黑洞具有 零熵，和非极端黑洞有着完全不同的拓扑性质，这种极端黑洞在宇宙早期成对形 f ：海人学硕i ：学位论文 成；第二种极端黑洞的熵仍然正比于视界面积，它们和非极端黑洞有着相同的拓 扑，可以通过相变由非极端黑洞演化而来。在对a n t i d es i t t e rr e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞热力学性质的研究中，其他一些研究人员利用h a m i l t o n i a n 形式 【3 9 、巨正则系综【4 0 】和正则系综【4 1 】的方法也给出了类似的结果，但这些研究的 重点都是放在极端黑洞的熵上面的。近两年，我们通过研究r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 黑洞【4 2 】、s c h w a r z s c h i l d 黑洞【4 3 】、任意( 1 + 3 ) 维球对称黑洞 4 4 】和k e r r 黑洞 4 5 】 的熵及其e u l e r 示性数的内部结构，指出黑洞的熵和它的拓扑性质的联系更进一 步的是由黑洞时空的k i l l i n g 矢量场的奇点决定的，通过k i l l i n g 矢量场的奇点在 黑洞的c a u c h y 视界、事件视界和空腔的边界上的不同分布，可以分别得到非极 端黑洞和两类极端黑洞的熵，并进而提出利用k i l l i n g 矢量场的奇点研究黑洞熵的 起源和相变理论的观点。 综上所述，我们认为黑洞熵的起源可以分为统计起源和拓扑起源。统计起源 是和黑洞事件视界的面积联系在一起的，而拓扑起源是和黑洞的拓扑结构有着密 切的关系。这启发我们通过研究黑洞的拓扑结构来研究黑洞熵的起源，即黑洞熵 的拓扑起源和相变问题。在微分几何和拓扑场论中，有两种方法可以得到黑洞的 e u l e r 示性数 4 2 - - 4 5 。一种是利用g a u s s - - b o n n e t - - c h e m 定理计算黑洞的曲率二 形式的体积分，它给出了黑洞的整体拓扑性质，南京东南大学的研究小组利用这 种方法计算了四维旋转黑洞的e u l e r 示性数 4 6 】。另一种是根据h o p f 指数定理， 黑洞的e u l e r 示性数等于黑洞时空中一个光滑的切矢量场的奇点的指数和，这个 光滑的切矢量场就是黑洞时空的k i l l i n g 矢量场。我们认为h o p f 指数定理更加深 入和细致的反映了黑洞的整体拓扑性质的内部结构( 因为对相同的e u l e r 示性数 可以有不同的奇点及其拓扑指数的组合) 和熵的拓扑起源( 因为只有部分的 k i l l i n g 矢量场的奇点及其拓扑指数才对黑洞的熵有贡献) 。 1 4 论文的主要研究内容 1 4 1 利用黑洞熵和e u l e r 示性数的关系，从g a u s s b o n n e t c h e m 定理出发， 通过一映射方法和拓扑流理论，研究n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞的熵和时 4 i ：海人学硕1 ：学位论文 空k i l l i n g 矢量场的奇点及其拓扑指数( h o p f 指数和b r o u w e r 度) 之 间的关系，得到黑洞熵的拓扑起源、内部结构及其拓扑量子化。 利用拓扑流理论，找到影响k i l l i n g 矢量场的奇点的动力学行为的物理 变量，研究黑洞中的熵增加原理，从拓扑的角度给出黑洞的相变理论和 演化方向。指出由k i l l i n g 矢量场的奇点引起的黑洞的拓扑结构的改变， 以及相应的熵的增加是一个突变，因而是一个一级拓扑相变。 研究n u t - k e r r - n e w m a n 黑洞一级拓扑相变，相应的相变潜热与黑洞的 质量、比角动量、电荷以及n u t 荷之间的关系，并估算恒星级黑洞演 化的相变潜热，与，爆的能量级相比较。 5 2 ，j 4 4 _l ：海人学硕 ：学位论文 2 1 黑洞概念的起源 第二章黑洞 最早预言黑洞( 最初称为“暗星) 的人是英国的米歇尔和法国的拉普拉斯 4 7 ，4 8 。他们从牛顿的力学定律和光的微粒说出发，认为当天体的万有引力强大 到能够把自身发出的光子拉回来的程度，光就不可能逃离天体。因此，他们认为 “宇宙中最明亮的天体可能是看不见的 。拉普拉斯在他的巨著天体力学的 第一版( 1 7 9 6 ) 和第二版( 1 7 9 9 ) 中都谈到了上述“暗星。拉普拉斯考虑一个光 子，它的动能是三掰c z ，总能量是动能加万有引力势能一g m m ，如果光子的总能 z， 量小于0 表示光子无法跑到无穷远让观测者看到。拉普拉斯具体计算出这类暗星产 生的条件r 垒罢，式中g 是万有引力常数，c 是光速。但是，在1 8 0 8 年出版的 c 。 该书的第三版中，拉普拉斯删去了有关“暗星 的内容，这是因为托马斯杨在1 8 0 1 年完成了光的干涉实验，证明了光是一种波动，光的波动说战胜了微粒说，拉普拉 斯对自己建立在光的微粒说基础上的“暗星 理论产生了怀疑。1 9 3 9 年，美国的 奥本海默等人从广义相对论出发，再次预言了“暗星 的存在 4 8 。有趣的是，奥 本海默从广义相对论算出的“暗星 条件与拉普拉斯从经典物理学算出的结果刚 好完全一致。从今天的观点看，拉普拉斯的计算有几个缺陷，首先在计算引力时， 相当于只考虑等效原理，也就是平坦时空上的引力，没有考虑引力场本身的弯曲； 其次他在计算光子能量时，用的公式应该是相对论性的m c 2 。但上述缺陷的影响相 互抵消，使他得出了正确的结果。 奥本海默是在研究中子星的质量上限时，得出有关“暗星的结论的。恒星 演化的晚期，作为热核反应( 氢聚合成氦) 燃料的氢燃烧殆尽，恒星的温度下降， 热效应产生的排斥不再能与万有引力相抗衡，恒星将坍缩。如果坍缩恒星的质量 不大，电子间由于泡利不相容原理而产生的“斥力 将抗衡住万有引力，形成密度 6 l ：海人学硕卜学位论文 为1 1 0 3 堙册3 左右的白矮星。印度学者钱德拉塞卡指出，白矮星有一个质量上限， 为太阳质量的1 4 倍，称为钱德拉塞卡极限。质量超过这一极限的恒星，电子间 的“泡利斥力 顶不住万有引力的作用，不可能停留在白矮星状态，它将继续坍缩。 后来的研究表明，进一步坍缩的结果是电子被压入核中，与原子核中的质子“中 和 成中子，中子之间的泡利斥力远比电子为大，这时将形成基本上由中子构成 的恒星中子星。中子星的密度大约在每立方厘米i , - v 1 0 亿吨。奥本海默发现， 中子星也有一个质量上限奥本海默极限，大约是2 - - - 3 个太阳质量。如果坍缩 恒星的质量超过奥本海默极限，中子间的泡利斥力将顶不住万有引力，恒星不会 稳定在中子星阶段，将进一步坍缩，形成“暗星 。 爱因斯坦1 9 1 5 年发表广义相对论，史瓦西在1 9 1 6 年就得到该理论的第一个 重要的严格解史瓦西解 4 7 - 5 0 。这个解描述一个静态球对称星体的外部时 空。该解有一个奇点( 在，：0 处) 和一个奇面( 在，；2 u r n 处) 。人们逐渐认识到 c ，= 0 处的奇点是本性奇点，时空曲率为无穷大的地方，而且曲率发散不能通过 坐标变换加以消除。这是一种内禀奇点，是时空本身性质不好造成的。厂：尝孚处 c 。 的奇异性则不同，该处时空曲率并不发散，因而不是时空性质不好，而是坐标选 择不好，是假奇异，奇异性可以通过坐标变换加以消除。后来的研究表明，此奇 面不是没有物理意义，它刚好是拉普拉斯和奥本海默预言过的“暗星 的表面。 2 2 黑洞的经典性质 1 9 6 7 年休伊士与贝尔发现了中子星 5 1 ，表明钱德拉塞卡和奥本海默等人提 出的恒星坍缩理论是正确的，“暗星 很快成为相对论天体物理界研究的热点。就 在这一年，美国物理学家惠勒给“暗星 起了个特定的名字叫黑洞。掉入黑洞的任 何物质都不可能再跑出来。洞外观测者只能观测到黑洞的总质量肘、总角动量， 和总电荷q 。伊斯雷尔等人提出“黑洞无毛猜想 ，所谓“毛 就是信息。按照 这猜想，黑洞只剩下三根可为外界探知的“毛 ：总质量、总角动量和总电荷。 外部观测者失去了除这三根毛外的所有信息。这一阶段的黑洞研究，停留在几何和 7 f ：海人学硕l ：学位论文 力学的水平上。大家认为黑洞是一颗死亡了的星。黑洞的表面称为视界，进入黑洞 的任何物质和信息都不可能逃出视界。 橇再 膏赢 图2 - 1史瓦西黑洞 史瓦西黑洞( 图2 一1 ) 5 1 的视晃位于匕= _ x t 丁l r l ? ，它同时是无限红移面。广义 。 c 相对论认为，时空弯曲的地方时钟走得慢，弯曲越厉害，时钟走得越慢，太阳表面 的钟就比地球上的钟慢。这种现象的宏观表现为，太阳表面发射的光，其光谱线比 地球上同种元素的光谱线频率要低，波长要长，即光谱线的位置要向红端移动。这 种现象称为引力红移。人们早已观测到太阳光谱的这种红移，认为这是对广义相 对论的一个验证。然而太阳表面的时空“弯曲 得不够厉害，观测这一效应十分 困难。黑洞表面处的时空，“弯曲 得非常厉害，致使那里的钟变得无穷慢。从地 球上看，黑洞表面的钟完全停止不走了。如果在那里放置一个光源，从地球上看， 此光源射出的光会发生无限大的红移，频率会减小到零，波长会增大到无穷大。所 以史瓦西黑洞的视界又叫无限红移面。实际上，此情况下远处的观测者根本看不见 这样的光。如果一艘宇宙飞船趋近黑洞，静止于无穷远处的观测者将看到：飞船越 接近黑洞，走得越慢。飞船内的时间过程也越来越慢，那里的人好象逐渐凝固成 塑像。在穿越视界的一瞬间，所有的人物均凝固不动，并保持很长时间。另一方 面，由于飞船发出的光线的红移越来越大，而且单位时间内从飞船逃到无穷远的 光子数越来越少，飞船将变得越来越红，越来越暗，逐渐冻结在黑洞的表面上，消 失在那里的黑暗中。 但是广义相对论告诉我们，对于飞船上的人们来说，情况并不是这样。他们 8 i ：海人学硕i ：学位论文 在接近黑洞并穿越视界的过程中，除了感受到潮汐力越来越大外，感受不到其它任 何异常。他们将在有限时间内( 飞船自己的时间) 穿过视界进入黑洞。在穿过视界 的那一瞬间，飞船及其乘员都将在潮汐力作用下被撕碎后，在极短时间内压入体积 为零的奇点。 广义相对论指出，进入黑洞的飞船和任何其它物质都将在有限的时间内穿越 单向膜区到达奇点。应该说明，时空坐标互换指的是黑洞外部观测者用来描述黑 洞的那套时空坐标，不是飞船上宇航员用的那套时空坐标。飞船上的宇航员在穿 越视界时，并未感到自己的时空坐标和时空概念有任何变化。用他自己的钟衡量， 飞船将在有限的时间内到达奇点。他感觉到的唯一变化是受到的潮汐力越来越大， 最后终于把飞船及他自己撕碎，并压入体积为零的奇点( ，= 0 处) 。值得注意的 是，由于时空坐标互换，= 0 现在不是黑洞的“球心 ，而是时间的终点。这就 是说，飞船和宇航员在经历有限时间之后，就到达了时间的终点。或者说，他们 的时间将在有限的经历中结束。也可以说，经过有限的时间，他们就处在时间之 外了。至于“时间之外 是什么意思? 今天的自然科学还不能回答。 从以上论述可以知道：黑洞是任何物体都能掉进去，进去就再也出不来的星 体。这就是我们认识的经典黑洞。 2 3 黑洞的搿诞生刀 早在1 9 1 6 1 9 1 8 年r e i s s n e r ( h a n sj a c o br e i s s n e r ) 和n o r d s t r s m ( g u n n a r n o r d s t r s m ) 就解出了一个e i n s t e i n 方程的另一个解，在s c h w a r z s c h i l d 解的基 础上又引入了电荷，称为r e i s s n e r - - n o r d s t r s m 解， d s 2 = - ( 1 2 g m4 - 雩) a t 2 + ( 1 2 g mt - g q ：2 ， 1 1 d r 2 + r 2 ( d 0 2 + s i n 2 脚2 ) ( 2 1 ) rrrr 其中，m 是质量，g 是电荷。 1 9 6 1 年，克尔得出了广义相对论的另一个重要的严格解克尔解 4 7 - 5 0 。 它描写旋转轴对称星体的外部时空， 9 i ：海人学硕1 ：学位论文 d s 2 ：a ；( , i t 一口s i l l 2 脚) 2 + 掣附2 + 口2 ) d c p - a a t 2 + 譬办2 + p 2 d 0 2 ( 2 2 ) p p 其中，a 暑，2 - 2 g m r + a 2 ，p 2 暑，2 + 口2c o s 29 ，m 是质量，口= 鲁是单位质量角 2 1 1 动量，是角动量。在得至l j k e r r 解之前，很多人认为搏动( 特别是旋转引起的搏动) 会阻止黑洞事件视界的形成，因而认为不可能存在黑洞这样的天体。k e r r 解证明 旋转黑洞会有事件视界，这使得黑洞被很多科学所接受。 不久，该解被推广到带电情况，即所谓克尔一纽曼解 4 7 ， d s 2 ：一- f i r ( a t 一口s i n 2 2 + 掣附2 + 口2 ) 咖一a a t 2 + 譬咖2 + 户2 d 0 2 ( 2 - 3 ) p p 其中，a 暑，2 2 g m r + 口2 + g 9 2 ，p 2 量，2 + 口2c o s 20 ，m 是质量，q 是电荷，口= 古 是单位质量角动量，j 是角动量。这个解远比史瓦西黑洞复杂的多，有两个视界， 两个视界处都存在着奇异性，但都不是内禀奇异性，时空曲率并不发散。黑洞的 中心有一个奇环，而不是奇点。奇环处的奇异性是真的、内禀的，时空曲率在那 里发散，而且这种发散不能通过坐标变换加以消除。 此时，我们已经知道e i n s t e i n 方程的解在原点处存在奇异( 这是无法通过坐 标变换消除的) ，我们知道怎样的恒星会变成“黑洞 以及变化的过程，黑洞这个 概念已经是呼之欲出了。第一次出现黑洞这个词是在1 9 6 7 年1 2 月2 9 日，w h e e l e r ( j o h na r c h i b a l dw h e e l e r ) 在美国科学促进协会的会议上，做了一个名为我 们的宇宙：已知与未知( o u ru n i v e r s e ：t h ek n o w na n du n k n o w n ) 的报告，指 出“由于下落的越来越快，塌缩恒星的表面将越来越快地离开远处的观察者。光 向红端移动，一毫秒一毫秒的变暗，在不足一秒的时间内，就暗得看不见了 恒星只留下它的引力。引力，是的，只有引力，没有光，同样也没有出现任何粒 子。而且，从外面看，光和粒子是一样的落下黑洞只是因为它补充了质量， 增强了引力。一几个月内，黑洞这个新名字就被东西方的物理学家所接受，黑洞 研究进入了它的黄金时代。 l o l ：海人学硕i ：学位论文 第三章+ 黑洞熵 3 1 黑洞熵的提出 在上个世纪的7 0 年代至8 0 年代，由于整体微分几何进入广义相对论，黑洞 物理学获得了长足的发展。在这期间的一些重要发现是： 1 、1 9 7 1 年h a w k i n g 利用“宇宙监督假设 和“强能量条件 5 2 ，5 3 1 ，证明 了黑洞的面积在顺时针方向永不减少，即6 a 0 5 4 ； 2 、1 9 7 2 年，b e k e n s t e i n 和s m a r r 给出了k e r r - n e w m a n 黑洞的各个参量之间 的微分关系式 8 m = q 甜+ ：8 e 万- 8 a + z 0 8 q 其中m ，q ，j ，鬈，a ，和q 分别表示黑洞的能量、转动角速度、角动量、表面重力、 黑洞的视界面积、两极处的静电势和黑洞所带的电荷 4 7 ； 3 、1 9 7 3 年，b a r d e e n 、c a r t e r 和h a w k i n g 在主能量条件成立的前提下，证明 了稳态黑洞的表面重力r 是一个常数 5 5 ； 4 、1 9 8 6 年，i s r a e l 证明不能通过有限次操作把黑洞的表面重力降到零 5 6 。 不难看出，如果把黑洞的面积彳看作熵，表面重力t 看作温度，则这四条定律具 有惊人的一致性。b e k e n s t e i n 从信息的角度考虑，认为黑洞的面积就表征了黑洞 的熵 5 7 。他认为，一个物体在落入黑洞以前，具有一定的熵；落入黑洞以后， 该物体消失在奇点。如果认为黑洞没有熵，则宇宙的总熵就会减少。这显然违反 热力学第二定律。因此，b e k e n s t e i n 认为，黑洞应该有熵，且与视界面积成正比； 黑洞熵与物质熵的总和在顺时针方向永不减少。然而，随之产生的一个尖锐矛盾 是，如果认为黑洞有熵，那么黑洞就一定有温度。可是根据经典广义相对论，黑 洞的温度是绝对零度。因此，把黑洞的面积看作熵，把表面重力看作温度似乎不 妥。 1 9 7 4 年，h a w k i n g 作出了一个惊人的发现 5 8 ：黑洞的温度不是绝对零度， 考虑到量子效应，黑洞会辐射出各种各样的粒子，辐射温度为t = 兰。这样，表 i ：海大学硕l 学位论文 面重力鬈确实代表了黑洞的温度。有了温度，黑洞就不再是一颗寂静的真空几何 星，而是一个沸腾的物质的热力学系统。一个热力学系统当然有熵。不过，黑洞 热力学系统与普通热力学系统相比，有着显著不同的性质。从黑洞温度的表达式 个 壳c 3 f = 一 8 万k g m 可以看出，研究黑洞热力学系统需要综合考虑引力论( g ) 、量子论( 壳) 、相对 论( c ) 和热力学( k ) 。下一节我们将讨论黑洞热力学。 3 2 黑洞热力学 从上一章k e r r n e w m a n 度规可以看出，这个时空的度规仅由肘，9 三个参量 决定。也就是说，这个时空如何弯曲，只取决于黑洞的总质量、总角动量和总电 荷，与物质的成分及结构都没有关系。从k e r r - n e w m a n 黑洞的外部，我们总能探 测到它的总质量、总角动量和总电荷，探测不到其它任何信息。我们也不可能知 道这个黑洞过去的历程，不可能知道它是由什么样的星体、在什么时候、以何种 方式形成的。从这个角度讲，黑洞是最简单的星。 7 0 年代初，c a r t e r 和r o b i n s o n 4 8 ，5 9 ，6 0 等人提出了黑洞无毛定理，指出 形成黑洞的物质会失去绝大部分信息，洞外的观测者只能知道它们的总质量、总 角动量和总电荷，黑洞的全部信息只由这三个参量确定。落入黑洞内的物质丢失 几乎全部信息，而信息代表着负熵，由此可见黑洞形成过程，以及落入黑洞的过 程，都是熵增加过程。 同时，由黑洞的定义可知，黑洞是一种任何物质都可以掉进去，任何物质都 跑不出来的天体。当然辐射也不例外，射到黑洞上的任何物质辐射都会被它们全 部吸收。在普通热力学中曾经定义过这样一种理想物体，它只吸收辐射而不反射 任何辐射，这就是黑体。黑体是一种理想的物体，它的所有性质只由一个参量决 定，那就是温度。黑体虽然不反射辐射，但能够发射一种最简单的辐射，其能谱 只取决于温度，称为热辐射或黑体辐射。由于落入黑洞内的物质丢失几乎全部信 息，是一个熵增加过程，以及黑洞不反射任何辐射这两点，已经预示了黑洞应该 1 2 i ：海人学硕上学位论文 有热性质。然而，真正认识到黑洞具有热性质则是在黑洞热力学四定律建立之后， 尤其是h a w k i n g 辐射算出之后。 3 2 1 面积定理 我们知道，至少在经典物理学范畴内，相对论决定了任何黑洞的物质都无法 再从中逃脱。这个有去无回的边界被称为黑洞的视界。在最简单的情况下，视界 是一个球面，黑洞越大，这个球体的表面积就越大。要探究黑洞内部是不可能的。 没有任何具体的信息能穿过视界逃离到外部世界中。然而，物质在进入黑洞并永 久消失之前，还是能留下一些线索的。它的能量将反映为黑洞质量的增量，如果 在被黑洞捕获前它正在围绕黑洞旋转，那么它的角动量将被加到黑洞的角动量之 中。黑洞的质量和角动量都可以通过黑洞对周围时空的作用而获得测量。这样， 热力学第二定律，看起来似乎是被破坏了。热力学第二定律对通常观测现象的一 个总结：自然界中绝大部分过程都是不可逆的。例如，茶杯从桌上摔碎后，没有 人看到碎片自己按原路蹦回又组成一只完整的杯子。热力学第二定律禁止这些逆 过程的发生。它指出，孤立系统的熵永远不可能减少。就像w h e e l e r 首先指出的 那样，当物质消失于黑洞时，它的熵似乎永久消失了，热力学第二定律这时看起 来也失效了。解决这一谜题的线索首先出现于1 9 7 0 年。d e m e t r i o u sc h r i s t o d o u l o u 和英国剑桥大学的s t e p h e nw h a w k i n g 各自独立证明了在多种不同的过程中( 例 如黑洞的合并等) ，最终的视界总表面积不会减少。 按照面积定理，黑洞在演化过程中保持视界总面积不变是可能的，这种过程 是可逆的黑洞过程。相反，视界面积增加的过程则是不可逆的黑洞过程。这一切 在形式上与热力学第二定律非常相似，黑洞的面积很像普通热力学中的熵。通过 这一类比，b e k e n s t e i n 于1 9 7 2 年提出了黑洞熵值正比于其视界表面积的理论 5 7 。物质落入黑洞后，黑洞熵值的增加总能补偿或者过补偿该物质所“丧失 的熵。更广泛的来说，黑洞的熵值及其外面的普通熵值之和永远不会变小。这就 是广义第二定律( 简称g s l ) 。g s l 已经通过了大量严格( 如果仅从理论上来看的 话) 的验证。当一颗恒星坍塌为一个黑洞时，黑洞的熵值将大大超过该恒星的熵 l 海人学硕t ：学位论文 值。1 9 7 4 年h a w k i n g 证明了黑洞必然会通过一个量子过程释放( 我们现今称之为 h a w k in g 辐射) 热辐射。对于这种现象( 黑洞的质量及其视界表面积都减少了) ， c h r i s t o d o u l o u h a w k i n g 定理就失效了，然而g s l 仍然成立。1 9 8 6 年，美国雪城 大学的r a f a e ld s o r k i n 研究了视界在阻止黑洞内部信息影响外部事件时起到的 作用，得出结论：对于黑洞发生的任何可能过程，g s l ( 或与之非常相似的理论) 必然是成立的。 3 2 2 黑洞热力学四定律 如果把黑洞的视界面积看作熵，把黑洞的表面重力看作温度，那么3 1 节所 述的黑洞的四条性质刚好与普通热力学的四条定律相对应，人们自然而然地称之 为黑洞热力学四定律。 1 第零定律：稳态黑洞视界的温度是一个常数。 2 第一定律：能量守恒定律。万m = q + 彳+ v o , 罗g 。 3 第二定律：黑洞熵在顺时方向永不减少，舔0 。 4 第三定律：不能通过有限次操作把视界的温度降低到绝对零度。 其中， r ：羔 2 万 为黑洞视界的温度( 这里已经采用g = 七= h = l 的单位) 。黑洞视界的表面引力 r 2 夏r 翮+ - r ，_ 和，是黑洞的视界半径。 s ：! 彳 4 为黑洞熵。添上单位后是s = 嘉么，此即b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式，其中七是 b o l z m a n n 常数，h 是p l a n c k 常数，g 是引力常数。 起初，把这些黑洞性质看成热力学定律，只是形式上的类比，没有实际意义。 1 9 7 3 年，b a r d e e n ( j o h nb a r d e e n ) 、c a r t e r 和h a w k i n g 在( c o m m u n i c a t i o no f 1 4 l ：海人学硕i ：学位论文 m a t h e m a t i c s a n dp h y s i c s ( 数学物理通讯) 上发表了经典的论文( t h ef o u rl a w s o fb l a c kh o l em e c h a n i c s ( 黑洞力学四定理) 5 5 。在文中他们谨慎地把黑洞 与热力学相关的四条定律称为力学定律，而不称为热力学定律。并且告诫说，黑 洞的“温度 不能认为是真实的，因为黑洞不发射任何东西，而有温度的物体应 该发射热辐射。然而，事过不到一年，h a w k i n g 就用量子效应证明了黑洞确实有 热辐射。可见黑洞确实是一个热力学系统，它有温度，有辐射。黑洞热力学定律 不是简单的类比，它从不同的侧面真实的反映了黑洞的热性质。 3 3 h a w k i n g 辐射 h a w k i n g 用量子场论的方法，在假定星体塌缩的情况下，严格证明了这种辐 射的存在，辐射的能谱是黑体谱，对应的温度与黑洞热力学的假定完全一致。 事实上，早在h a w k i n g 用量子场论的方法证明h a w k i n g 辐射和算出黑洞温度 之前，b e k e n s t e i n 就使用了卡诺循环探讨了黑洞表面的温度。卡诺循环方法的基 本思想是假定黑洞有温度，并且以黑洞作为低温热源，在距离黑洞无穷远处再设 置另外一个高温热源，然后在二者之间构造一个卡诺循环。通过研究发现，由此 确定的黑洞温度与黑洞的表面重力成正比，这与黑洞热力学四定律所期待的是一 致的。黑洞热辐射的证明以及对应的辐射温度的算出，对我们认识黑洞的热力学 性质起到了举足轻重的作用。那么，黑洞的热辐射的机制到底是什么呢? 一种解释延伸狄拉克真空思想，可以得出真空涨落的概念。简单说就是真空 的量子涨落产生一对正负反粒子，然后强大的引力场把它们分开，反粒子( 负质 量) 落进黑洞，让黑洞质量减少，引力减弱，从而正粒子飞向远方，成为h a w k i n g 辐射。另有一种从路径积分方法出发的图像是粒子从奇点处被创造，在视界处被 散射到无穷远。 图3 1 就反映了h a w k i n g 辐射的这种机制。 j ：海人学硕1 ：学位论文 图3 - 1h a w k i n g 辐射的机制 关于黑洞熵的一切悖论都可以用h a w k i n g 辐射来解决，因为其实黑洞就是一 个浸在热辐射中的黑体。这个黑体有些奇异的性质，例如它的比热是负的，因此 吸收了能量，温度反而会降低，结果它不可能与周围辐射达到平衡。现在宇宙的 背景温度是2 7 k ，那么黑洞想要存活，它在出生的时候质量就必须很大，因为 它会一边蒸发，一边升高温度，结果蒸发得更快。 现在，我们对于黑洞的理论还没有得到观测的有力的直接的证明。但是，霍 金辐射的发现可以帮助我们间接地得到黑洞存在的证据。那么如何才能捕捉到霍 金辐射呢? 科学家们说，虽然黑洞都在很远的地方，从黑洞来的大部分辐射也非 常微弱，但仍然可以检测到。在探测霍金辐射的过程中，整个地球大气可以看作 一个能够辨认出黑洞辐射的探测器。我们知道，当一个高能的射线能量打在我们 的大气上的原子上的时候，它们会产生电子正电子对。这些电子正电子对打到其 他原子上的时候，就产生更多的对，于是就会有我们所说的“电子雨，我们可 以利用“电子雨 来检测黑洞辐射。当然可能存在其他的现象，比如闪电和在卫 星轨道上的卫星或是其他的物体对太阳光的发射，都能在空中形成“电子雨。 不过，人们可以在两个或是更多的隔开相当