（固体力学专业论文）双域边界元法计算裂纹的瞬态问题.pdf

哈尔滨1 程大学硕士学位论文 摘要 边界单元法作为种有效的数值方法已经和其它方法( 有限元法等) 一 起成为力学分析的强有力的工其，愈来愈引起久们的霪褫，特剐蹙对予一些 特殊鞠题( 无辍大区域阏题、凝裂翘题等) ，边赛元法鼹示出了极大的忧越性。 工程中诲多辩裂纹的构件受到动旖载的作餍，有必鬻进行动力分祈越确定其 强度或使用海命。本文首先对弹性静力学边界元法的基本理论进行了介绍， 并对线性单元的离散及褶关计算公式进行了雅导，并将弹性静力学边界元法 的攀戳理论及线瞧攀元摆关计算公式萼 入弹性动力学的边界元法。弹性动力 譬部分采用n a r d i n b r e h b i a 解瓣态渤力潞题的边界元法，并将此方法推广到 双域惦况，幽此张髂决单域边界元法所不能处理的问题，然后根提边界单元 法的特点，介绍了它在断裂力学中的应用，并在裂纹尖端附近采用一种特殊 肇元一两次跤射鸯羚元( d o u b l e m a p p i n gs i n g u l a re l e m e n t s ) 来求艇了 裂纹体的瞬态闯题。域后根据上述瑗论，编写了计算椒程序进行算例的求解， 为了比较，对相嗣的冀例也聚用a n s y s 软件进行了霹限元数值计算，结果表 明本文的方法能够有效的求解裂纹体的瞬态问题。本文的方法除了具有边箨 元渡靛晦抵蠲题维数、数摄准备方便翻便于处理瘟力集中等优点外，还有在 裂纹她采用较少的单元也熊获褥很查孑的精度，相比下有限元法则需委进行鼹 多的尊元划分。 综上所进，本文的方法能够方便、简单、有效媳计算出袋绞的应力强度 疆予，掰以舆毒缀好鲍工裁参考价魏。 关键溺：瞬态；动裂纹；边界单元法；双域；两次映射奇异单元 嚷尔滨l ：程大学硕士学位谂文 a b s t r a c t t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dh a sb e c o m ea p o w e f f u l lm e t h o d f o r m e c h a n i c a la n a l y s i sa sw e l la so t h e rm e t h o d s ，f o ri n s t a n c e ，t h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d i th a sp l a y e dm o r ea n dm o r ei m p o r t a n c ee s p e c i a l l yi ns o m es p e c i a l l p r o b l e m s a si n f i n i t ed i s t r i c t p r o b l e ma n dc r a c k i n gp r o b l e m ，i np r a t i c a l e n g a n e e r i n gp r o j e c t s ，m a n ys t r u c t u r e sa r ew o r k i n gu n d e rd y n a m i cl o a d i n g t h i s m e a n st h es i g n i f i c a n c eo fd y n a m i ca n a l y s i ss oa st oe v a l u a t et h es t r e s si n t e n s i t y a n dp r e d i c tt h es t r u c t r u e s s e r v i c el i f e f i r s t l y ，i nt h i sw o r k ，t h eb a s i ct h e o r i e so f b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o re l a s t o s t a t i c sw a si n t r o d u c e d 。a n dt h ed i s c r e t i n gf o r l i n e a re l e m e n ta n dr e l a v a n tf o r m u l a sw e r ed e d u c e d h e r e i n ，t h e s eb a s i ct h e o r i e s a n df o r m u l a si ne l a s t o s t a t i c sw e r ei n t r o d u c e dt ot h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di n e l a s t o d y n a m i c s 。t h em e t h o do fn a r d i n b r e b b i as o l v i n gt h et r a n s i e n td y n a m i c p r o b l e m sw a su s e di ne l a s t o d y n a m i c sh e r e 。t h i sm e t h o dw a sg e n e r a l i z e dt ot h e s o l u t i o no f d o u b l e - r e g i o n a lp r o b l e m s ，w h i c hc a r t n o tb er e s o l v e d u s i n g s i n g l e r e g l o n a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d m o r e o v e f t h ea p p l i a n c eo fi ti ns o l v i n g c r a c k i n gp r o b l e m sw a si n t e r p r e t e d 。t h em o s ti m p o r t a n c ei st h a tas p e c i a le l e m e n t w a su s e da tt h et i po ft h ec r a c kw h e ns o l v i n gt h et r a n s i e n tp r o b l e m so fb o d i e s w i t hc r a c k s ，t h a ti sd o u b l e m a p p i n gs i n g u l a re l e m e n t a f t e ra l l ，t h ec a l c u l a t i n g p r o g r a mw a sc o m p i l e db a s e d t h ea b o v et h e o r i e s 。s o m ee x a m p l e sw e r e a n a l y z e du s i n gt h i sp r o g r a ma n dt h ea n s y ss o f t w a r ep a c k a g ei n d i v i d u a l l ya n d s u c c e s s i v e l y t h er e s u l t so b t a i n e dw e r ec o m p a r e dt oc e r t i f yt h ev a l i d i t yo fo u r p r o g r a m t h eg o o dc o m p a t i b i l i t i e sw e r e o b s e r v e dw i t ht h e m t h i si m p l i e dt h a tt h e m e t h o du s e di nt h i sw o r kc a ne f f e c t i v e l ys o l v et h et r a n s i e n tp r o b l e m so fb o d i e s w i t hc r a c k s i nt h i sw o r k ，t h ep r e c i s es o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e de v e nl e s se l e m e n t s w e r ea d o p t e di nt h el o c a la r e an e a rt h ec r a c k o t h e r w i s e ，t h i sm e t h o du s e di nt h i s w o r kc a nl o w e rt h ed i m e n s i o no ft h ep r o b l e m ，f a c i l i t a t et h ep r e p a r a t i o no fd a t a a n ds o l v et h es t r e s sc o n c e n t r a t i n gp r o b l e m s h o w e v e r , m o r ee l e m e n t sh a v et ob e m e s h e dw h e nu s i n gt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d 晗尔滨工程大学硬士学霞论文 c o n s e q u e n t l y ，t h i sm e t h o dc o n c e m e di nt h i sp a p e rc a nc a l c u l a t et h es t r e s s i n t e n s i t y f a c t o ro fc r a c ke f f i c i e n t l ya n d a c c u r a t e l y , s ot h e r e i s i m p o r t a n t e n g i n e e r i n gs i g n i f i c a n c e k e y w o r d ：t r a n s i e n tp r o b l e m ；k i n e t i cc r a c k ；b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ； d o u b l e - r e g i o n a l ；d o u b l e n m a p p i n gs i n g u l a re l e m e n t 。 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的弓l 用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：亟垒叠 曰 期：) 船z 年j 月9e t 哈尔滨【：程人学硕士学位沦文 第1 章绪论 1 1 边界元法的发展概况 边界元法的研究开始于血六十年代，较为完整的、可以实际应用的边界 元法是7 0 年代才建立起来的，边界冗法有直接法和问接法两种。直接法是根 据把体积分变成边界上的面积分的g r e e n 公式而来的。采用物理意义明确的 变量，然后进行公式推导。问接法利用位势理论中一直经常采用的单层位势 和双层位势来推导公式，使用变量的物理意义未必清楚。1 9 6 3 年札斯吾 ( j a s w o n ) 首先对边界元的间接方法提出了完整的概念，随后瑞作( r i z z o ) 和克茹斯( c r u s e ) 完善了边界元的直接方法 2 1 ，并出版了：葛一本边界元法 著作w ，。到目前为止，国际上已经召开了十多次专门的边界冗学术讨论会吲| 6 】， 国内白7 0 年代末由杜庆华教授引进以来m ，随着国际边界元法的发展，我圈 学者也取得了很大的成绩。卜- 面我们从几个方面对我困边界元法的研究进展 作一概述。 数学方面。从各次会议的论文集可以看出，我国在边界元法数学理论方 面也丌展了研究。主要工作有：自然边界儿法的数学理论；椭圆型方程的边 界元法的数学理论；边界y i 法中的区域分解方法；收敛性和误筹分析等。 方法与应用方面。我国学者在求解各种问题的边界元法的研究方面做了 很多丁作，在力学方面的研究工作主要有：弹性力学；弹性动力学；断裂力 学；动态断裂力学：板壳问题；势问题；流体力学；非弹性力学；弹塑性有 限变形；波的传播；复合材料力学；复合材料界而断裂力学、岩土力学、有 限元与边界元耦合方法和反问题等。另外，边界元法己应用于解决各种工程 问题。 应用软件方面。伴随着边界元法的研究，对以上求解各种问题的边界元 法，我国学者都发展了应用软什，有些已经应用于工程实际问题，并耿得良 好的效果。这些软件基本足分别针对某。类问题，没有具备完善的前后处理 程序，在应用中有些显得不如有限元法通用程序包方便。 哈尔滨工程人学硕士学位论文 1 2 边界元法在动力问题上的优越性 弹性动力问题是工程中最基本的问题之一，许多在静衙载作用下的稳定 结构，在受到动荷载作用时则有可能失去稳定，因此研究结构在动荷载作用 下的响应特性，对于把握结构的动力性能，具有十分重要的意义。 由于结构本身的复杂性和动力问题本身的困难，在工程中常常借助于数 值方法来分析动力问题。有限元法在动力分析中起着刁i 可低估的作用，但由 于有限元法需对物体进行单元剖分，有时这种网格要求化到很密的程度，这 势必使得总体自由度数庞大，造成工作量繁重，特别是遇见某些特殊问题， 如大区域或无限区域、动裂纹问题等，有限元法显得不太适应，相应地，边 界单元法却在这方面做了有效的补充。由于边界元法在在区域内使用基本解， 因此不需在域内剖分单元，特别对于大区域和无限域问题，大大减少总体自 由度数所以深入研究和发展动力边界元法，已成为解决某些特殊问题的必要 途径。 总之，边界单元法以具有输入数据少、降低问题的维数、计算精度高， 且特别适用用于大区域问题和奇异问题等优点，愈来愈引起人们的重视。 1 3 本文主要工作 本文首先对弹性静力学边界元法的基本理论进行了介绍，并对线性单元 的离散及相关计算公式进行了推导，然后将弹性静力学边界元法的基础理论 及线性单元相关计算公式引入弹性动力学的边界元法。弹性动力学部分采用 n a r d i n b r e b b i a 解瞬态动力问题的边界元法，并将此方法推广到双域情况，由 此来解决单域边界元法所不能处理的问题，另外根据边界单元法的特点，介 绍了它在断裂力学中的应用，并在裂纹尖端附近采用一种特殊单元两次 映射奇异元来求解裂纹体的瞬态问题。最后根据上述理论，编写了计算机程 序进行算例的求解。 嗡尔滨一r 程大学硕士学位论文 第2 章弹性静力学的边界元法 2 1 弹性力学基本方程 连续的、均匀的、器向同性的弹髓体在体积力z ，面力只和边界约束作 用下保持平衡( 图2 1 ) 。位移、应变和成力在小变形条件下满足如下的弹性 力学基本方糕a 。”式： e 图2 1 外力和约束作用下的弹性体 1 鼍德方程 曩u + z = 0 ，x e v ( 2 1 ) 2 几何方程 3 。物联方程 s ，：三( “，。+ ，) ， x 芒v(2v2 ) 矗= 妄( 毡。+ 勤) ， x 芒( 嘲 鞋及逮器圭= 疆力秘应力麴关蓑： d q = 2 x s f + 枷u x v 。口n i p 。 ，x 宅s ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 以上各式中：x 为坐标向爨，瓯是k r o n e c k e r 占酗数，r 表示弹性体，s 为 弹性体边界， 。为边界5 酌外法线方向余弦，o = u 。 是体积变形，五，声是拉 梅系数。 哈尔滨一l ：程大学硕士学位论文 在弹性体边界s 上，通常有如下的边晃条件 “= “j，x s “ p ，= n f = p 。，x s 9 ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) 其中s “和s p 分别表示边界s 上给定位移m 和面力p 。的部分。在实际问题中若 在边界的同一部位上既有位移条件，又有面力条件，则此时位移条件与面力 条件应该互补，即位移分量若为未知，则对应的面力分量应为已知，反之亦 然。 弹性力学问题就是求解在给定体匈和边界条件下，求解以下的偏微分方 程组： okj 七f j = 0 盯= 2 u k ，女磊+ ( “u + “川) ”2 p “= “， x y x v x s 9 ( 2 7 ) x s ” 对于二维平面问题，对空间问题的基本方程归纳整理，容易得到平面问 题的基本方程，这里便不进行另外描述了。 2 2 弹性力学基本解 无限大弹性体受集中力作用于弹性体内一点而产生的位移及应力场的解 是由k e l v i n 求得的。这个解称为弹性力学的基本解。 设在无限大弹性体内，点p 处受到沿t 坐标方向的单位集中力掣的作 用，产生的位移场“靖口应力场仃：满足下列弹性力学方程科： p z + 影= 0 i 盯：= “：，。岛+ 卢( “i ，+ “：) x 矿 ( 2 8 ) x v 哈尔滨e 程大学硕士学位论文 由此方程组解得弹性体内场点p 的位移为： “：( q ，p ) 8 a ；r a ( 1 一们，”1 ( 3 4 v ) f o ( a 一2 ) l n r + 口一1 】+ ，) ( 2 9 ) f ，j = l ，2 ，3 ；口= 2 ( 三维) f ，j = 1 ，2 ； 口= 1 ( 二维平面应变) “：的第一个下标f 表示点g 在x ，坐标方向的位移分量，第二个下标，则表 示作用于源点p 的单位集中力指向x ，坐标方向。 式中：，一场点q 到单位集中力作用点( 即源点) p 之间的距离 v 一泊桑比 弹性体内场点g 处法线方向余弦为九，的任意截面上的面力为： 。，、一1 1 p “( p 们2 。4 a u ( 1 - v ) r i 。 侩吲1 功m 训- ( 1 - 2 v ) ( n j r i - - n f , i ) ) 1 0 ) f ，j = 1 ，2 ，3 ；“= 2 ，= 3( 三维) f ，j = 1 ，2 ；口= 1 ，= 2( 二维平面应变) p ；的第一个下标f 表示p ；是x 。坐标方向的面力分量，第二个下标，表示 作用于源点p 的单位集中力指向x ，坐标方向。 当q 寸p 时，k e l v i n 解“；和西分别具有一次和二次奇异性。 k e l v i n 解在弹性力学中具有重要的意义。作为基本的特解通过叠加原理 可将描述弹性力学问题的偏微分方程组转化为积分方程。 2 3 弹性力学边界积分方程 2 3 18 0 m i g iia n a 积分恒等式 设在体力，和面力只作用下，弹性体v 内将产生位移场蚌，又设同一弹 性体在另外一组体力，和面力p l 的作用下将产生位移场“；，贝蒂互等定理证 哈尔滨：f ：程大学硕士学位论文 明有如下积分等式存在： f n “i a s + j ，f , u 。d y = b q 嘏+ 肛d v ( 2 1 1 ) 贝蒂互等定理是弹性力学中的个基本定理，贝蒂互等定理表达了同一 个弹性体的两个不同的解之问存在的关系，即第组外力在第二组外力作用 下所产生的位移场上所作的功等于第二组外力在第一组外力作用下所产生的 位移场上所作的功。 在贝蒂互等定理的表达式( 2 一1 1 ) 中，以“表示待求解的弹性力学问题的 位移场，对应的体力和面力分别记做，和只。以k e l v i n 基本解作为贝蒂互 等定理中的第二组弹性力学解，于是有如下的积分恒等式： 只“：d s + f z 呓d 矿2 西d ，+ f z + 蜂d v ( 2 1 2 ) 式中f + 为表示与k e l v i n 解对应的体力，即仅在p 点作用有单位集中力彤， 在p 点之外没有体力作用。 由于贝蒂互等定理的积分等式中的各项积分中的核函数要求是连续可积 函数，而在源点p 上作用有集中力，“：和西在r = 0 处存在奇异性，因此需 以p 点为中心，以s 为半径的球面s ，来去掉奇点( 图2 2 ) 。此时弹性体的边 界由s 和s 。组成。取极限占斗0 式( 2 1 2 ) 应写成： 图2 2 挖去奇点的弹性体及其边界 b “；豳+ l i mj p 呓嬲+ z “；d y 6 哈尔滨工程大学硕二l 学位论文 = f p 弘嬲+ 烛p 弘d s + f * u f l v ( 2 - 1 3 ) 式( 2 1 3 ) 中下列3 个积分可以积出： f ，+ d 肛l i m 。 f * u d v = 0 烛l _ 削；d s = l i m f 4 f r 鹏* 2 s i n o d o d ( p = ” l i m 。fp , ，：d s = 渤r ”r 咖 i n o d o d c p = q ( p ) p mf 4f p ：t 2s i n o d o d o = “如) 将以上各式代入式( 2 - - 1 3 ) 便得到如下的s o m i g l i a n a 恒等式【9 】 “，( p ) = f p ，( g ) “；( q ，p ) d s f p ；( q ，p ) 吨( q ) d s + 【，( g ) “：( g ，p ) d v f ，= 1 ，2 ，3 ( 2 一1 4 ) 由s o m ig l i a n a 恒等式( 2 1 4 ) 可以看出：如果弹性体边界s 上的位移m 和 面力b 全部已知，则弹性体内任意点处的位移值均可积分确定。因为此时场 点玎在边界s 上，源点p 在域v 内r 不为零，因此( 2 - 1 4 ) 的积分中没有奇异 性。 利用几何关系式( 2 2 ) 物理关系式( 2 3 ) 和s o m i g l i a n a 恒等式，就可以得 到弹性体内任意点的应力的积分表达式。 2 3 2 弹性力学边界积分方程 由于弹性力学问题的边界条件中，位移条件和面力条件是互补的，在3 个位移分量和3 个面力分量中只有半数是给定的，另外一半是未知的。这一 半未知的边界位移分量和面力分量求出之后，s o m i g l i a n a 恒等式才能应用。 弹性力学边界积分方程建立己知边界量和待求边界量之间的积分方程关系。 7 哈尔滨1 一援大学硕士学位论文 弹性力学边界积分方程的推导和s o m i g l i a n a 恒等式的推导徽相似，两者的不 同只在于现在需将源点p 移到边界s 上( 图2 3 ) ，当边界s 上的场点日和源 点p 趋避时，r 斗0 ，弹：和菇分剐具有一次和- 次奇异性，网时在源点p 上 作瘸有集中力，因诧需以p 点为中心、占为半径佟球面去簿裔点，避此球豹 面与弹性体相交部分为s 。，根据贝带互等定理，有如下积分铸式： 图2 3 边界挖去奇点的弹性体及其边界 叠“泌+ l i mf p n ；a s + l ，z 拶 2 l 晰m l i m i 。p ；u f l s + p 毡d 矿2 嗡 式孛下到三个积分霹黻积出： + 址d l 。i 。m 。 。f u d v 0 l i m 。 ，p u 。? d s = 爨眨魏噶2s i n 蜉d 蒯多。 l i m 。 。p ；虬d s = 嗨( p ) 慨螅p 扭i n o a o d q ( p ) 虬( p ) 籍上遮各式饩入式( 2 - - 1 7 ) 魏褥弱弹瞧力学逸爨貘分方程“”1 ： c u ( p ) u , ( p ) + i s , p ；( q ，p ) “，( q ) d s 嗡尔滨1 ：程大学硕士学位论文 2 i “；( q ，p ) 一( g ) 嬲+ i “；( g ，p ) f ( q ) d v ( 2 1 6 ) 式中 乞p ) 。戮臻疙，s i n o d o d ( ( 2 一1 7 ) 当源点q 处界蕊光滑时，g 一磊2 ，当源点p 处边券露是角点时，q ，的 德与p 处边界面几何特征有关，可由式( 2 一1 7 ) 计算，但在边界元法中，系数c ， 懿僵不必凌壹接积分算出，通磐爨用艮体健移法阉接求褥。在边界积分方程 ( 2 1 6 ) 中，位移分量“。和丽力分蛩a 中部分是己知的，部分是未知的，包含 在蘧积分中。当闻题中的体力z 为零时，边晃积分方程中不含体积力。当点 不为零时，由于体积分中不含边界量，所以方程( 2 - 1 6 ) 中仍然是关于未翘最 的选器积分方程。 弹性力学边界积分方程和微分方程样难以得到解析解，但怒边乔积分 方程 零便于数馕离散，只嚣在弹性体的边界上进行离散。出于在边暴积分 方程中，只含有边界的位移分量和面力分最，而不包含它们的微分项，不会 因离教函数求微分两降低数值的精度，因此边界积分方程的离散墩解会褥剃 良好的精度。在求出边界上未知的位移和丽力分鬣后，应用s o m i g l i a n a 懒等 式确定弹性体悫的位移秘应力分爨时，仍然只涉及到位移和厦力分量本赛， 而不涉及他们的微分，这是边界元法求解弹性力学问题的一个显餐优点。 为简单起见，以下设体力z = 0 ( f = l ，2 ，3 ) ，薨且只考虑弹性平丽问题 情况。 弹性平蠹闫题的边界积分方程可由助的互等定理出发，建立弹性体鼹秸 状态下( 种状态为实际受力状淼，另一种状态为平面熬本解状态) 的积分 等式关系，得到弹性平磁积分方程。然聪将源点p 移到边界上的任意点p ， 此时需要注意基本解的奇异性，进行积分处理话，便可得出弹性平面问题的 边界积分方程u ”： q 。( 尸) “。( p ) = f “。( q ，p ) p ；( q ) d r ( q ) 一i + ( q ，p ) u k ( q ) d r ( q ) ( 2 1 8 ) 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 式( 2 1 8 ) 是边界上的位移分量“。( ，) ，“。( q ) 和表面力分量p 。( q ) 之问的 关系式，由该式可以求出边界上所有未知的位移分量和表面力分量。 2 4 边界积分方程的离散化与解法 边界元法解弹性力学平面问题，就是通过把弹性体的边界离散成有限个 单元，将边界积分方程( 2 一1 8 ) 化为代数方程求解一”，。 如图2 4 所示，将边界r 离散成”个边界单元( ，= 1 ，2 ，3 ，n ) ，式 ( 2 2 0 ) 可离散成： c “，+ 窆j = l 印+ 打5 喜f “+ p 订 c z 一，。， 单元0 点 l 图2 4 边界单元离散形式 采用线单元。m s ，时，假定边界单元上的函数值按线性变化，可以用单元 上任意两点的函数值表示。通常取各边界单元的交点为节点，对第，个边界 单元，单元上的任意点的位移，面力分别为： j ”细，+ 欢“川( 2 - 2 0 ) i p = 破n + 如n “ 式中：“，“川和p ，p 川一分别表示边界单元0 两个端点处的位移和面力 以，：一插值函数或形函数 破= 办( f ) = 昙( 1 一f ) t( - 1 亭1 ) 妒：= 矿：( f ) = 妻( 1 + 善) 哈尔滨一程大学硕士学位论文 由式( 2 2 0 ) ，得式( 2 一1 9 ) 等号左边的积分为： 设协 fu p + d r = f ( 巩卅：+ ) p + d f ( 2 - 2 1 ) iu p + d f = 。1 “，+ 2 “川( 2 - 2 2 ) k g = d f 同样设 g ：z ：t ：“订式娌一1 9 等号右边的积分可写成 f = g 。1 p ，+ g 口2 p j + l 将式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 2 ) 代入式( 2 1 9 ) 得： c u ，+ ( 1 “，吨2 “川) _ ( g i p ，+ g 口2 p s + 1 ) ( 2 2 4 ) j 一 ，= 1 将上式展开得： 对于单连域问题 c u ，+ ( 向d 1 “l + h , i 2 “2 ) + ( 囊2 1 “2 + ，22 “3 ) + t + ( 口1 “j + 向p 2 “+ 1 ) + - - + ( 。1 “。+ 矗。2 “。+ 1 ) = ( g ，1 1 p 1 + gj 】2 p 2 ) + ( g 。2 1 p 2 + g 。2 2 p ，) + + ( g u l p ，+ g v2 p ，“) + + ( g 。1 p 。+ g i , 2 p 。十1 ) 溉u n + l 三： 于是对展开式整理后，可写成 成写以可2 2 式则 订 研 。p 护 a ， ，n = i i 一；一。； ；一；些鎏三堡鍪鳖兰篁鎏耋。；一；一一； c “，十“1 ( 2 + 囊1 1 ) 十“2 ( 囊12 + 囊2 1 ) 十- + u i ( 囊f 卜1 ) 2 + 1 ) + 十“。( 曩( 肛i 、2 + 蚝1 ) = p ( g 。2 + g ) + 热( 羲1 2 + g i 2 1 ) + + p ，( 或( j i ) 2 + g f l ) + + p 。( 受i 舯 ) 2 + g ，。1 ) rr 令 曰“。吩川) 2 + 1 其中 詹n = 趣。2 + 1 l 嚷= 簌，) 2 + 岛1嘛= g m 2 丰蕞，1 于是，对于节点p ，式( 2 - - 2 1 ) 可以写成： c u ，+ 哆曰# = 乃g ； ( 2 2 5 ) 令= c 8 , + 疗v ，上式可进一步舄成 # ，岛= p ，嚷 ( 2 2 固 ，t 产1 对于”个节点，得到2 ”个联立一次方程组为： i t u g p ( 2 - 2 7 ) 褥主式进行调整，来翔量移剜方程麦透，翔z 表示，已翔夔移裂方程右 边用f 表示，系数矩阵用a 表示，则上式又可写成： a x f( 2 - 2 8 ) 攘攒绘定数透赛条箨，求鬓方程缓( 2 2 8 螽，藏霹知j 蕊透器节点熬掰 有面力和位移。 2 5 边界积分的计算 已缀肴到，边界元法归结为求解代数方程组a x = f ，它来源于h u = g p ， 因此，要求解代数方程组，首先要计算日、g 中的元素，下面给出他们的计 算方法及有关公式“”“。 哈尔滨： 程大学硕士学位论文 2 5 1 积分变量的变换 插值函数( 形函数) 痧( f = 1 , 2 ) 是善的函数，而积分对边界r 进行，因此 积分计算时需要把边界单元线积分的积分范围变换到局部坐标中一io 。如图2 7 所示， 图2 5 坐标变换 d r ：丽：蹰d 善 c z z 。， 这样就可将f 上的积分变换为局部坐标的积分d f = i j i u f ( 23 0 ) 式中：l j l 一雅可比行列式 i ，l =瘸d x 2 蔼d y 2 对于线性单元，有 f 。y2 = 磊0 , x y l l + + 戎o ：x y 2 2 式中：( z ，y 。) 和( x ：，y ：) 一边界单元两端点的坐标 对上式求导，并化简得： 一d x ：兰 兰! d 2 因此雅可比行列式： 一d y ：丝二! ! ( 1 f2 压翻 ( 23 1 ) ( 2 3 2 ) 哈尔滨工程人学硕十学位论文 式中：z 一边界单元的长度 2 5 2h 。的计算 当i = j 时的系数由后面的刚体位移方式给出，这里推导的是当i j 时， 各系数的形式。 1 当f 时，此时h 。= 曰”= 瑶川) + 吃，其中疗，- _ 吃+ 礴。下面分情 况写出磅，叼的计算公式。 ( 1 ) 睇的计算 若l ，= i 一1 时，( 当i = 1 时，j = ”) ，单元与节点的具体情况如图2 6 所 示，矩阵聪的各元素为： 图2 6 单元与节点 w 吐- 西北曼，衍赤褂珈m 2 呻功，b 一引卜 因r 与法向”垂直，故鍪= o ，所以h 1 1 1 = 0 ，同理 ：1 = o 。 耐破丽 ：瓦o r 嘲o r 嘎o r ( 1 _ 2 v ) ( 斧o r ：一亳码，卜 哈尔滨j ：程人学硕士学位论文 = 獗1 - 2 v ，。破c 鲁一毒m ，等 ：娑dr4z ( 1 一j r “7 注意到r = 圭( 1 一f ) ，d r = 2 - d e ，可得 1 - i 2 v 4 z ( 1 胩2 1 一l ，、j - l 、 1 2 v 4 z ( 1 一y 1 列= f ，磊赤 王8 r o r o r ”和卜 ：一! 二型 4 z ( 1 一v 、 故 囊。、1 = o 翌 4 z ( 1 一v 、 一! 二型 o 4 x ( 1 一v 1 ( 2 3 3 ) 若j i - 1 ，单元与节点的具体情况如图2 7 所示，矩阵瞄的各元素为 = 瞄观 鸳一吖 三上扣 0 哈尔滨工程大学硕：t 学位论文 0 l 图2 7 单元与节点 其中矩阵的各元素被积函数较复杂，不容易直接积分，因此，对于各元 素的计算可采用高斯积分公式n o l 。 一般说来，对于图2 8 ( a ) 所示函数( x ) 在区间n 到b 的积分 i = r ，( x 导入无因次坐标善，将积分变换到局部坐标中，化为区间一1 到1 的积 分，如图2 8 ( b ) 所示，进行坐标变换 f = 号或x = 言 ，己 则有： yf o _ 一 6 ，( 势 ( a ) 原积分形式 ( b ) 变换坐标的积分形式 图2 8 积分的图形表示 i = e ，( x 皿= 托厂( f 彬 = 妻q ，( 最) ( 2 3 4 ) k = 1 1 6 哈尔滨王裁大学硕学傍论文 式中：o a b 中点的坐标 1 一a b i x f 刚的长度 最一积分点女静局部坐标 魏一鞠权系数 ”卜_ 面具体写出h i ，1 的各元素的离斯积分公式： = f k i p , i d r = i ，萌赤私：咖：卜 = 一上8 z ( 1 - v ) 蜘均要扣：咖：( 知霹 一志喜扣刚、引8 r 止1 - 2 v + 2 c o s z 鼠，詈 式中：t 一学- ) l j 的长度 痧一，与扎霹镬j 的夹角 间理，系数h 1 、h 。1 和h ，1 都可以写成如上形式，将系数综合表示为 h i l l = 啊2 = 一8 , d t - - , , 7 每簧7 1 ( 1 _ 轰) ( 知1 - 2 v + 2 c o s 2 热】詈 一南钞嘲瞰知一s 删坩 ( i - 2 矿s i n 孝，s i 壬l 反+ c 。s 拶，e o s i l k ) c 嚷 材一志薹扣洲z ( 堡o n 小。s 倒n 屏一 2 - 3 5 q () ( t - 2 y ) ( s i n 够彗珏反+ c o s 够e 。s 剁等 h 2 2 1 = i 赤砉扣洲跏1 - 2 v + 2 s i n 2 展，警 式中：g 一单元线羧f ，与葺搴垂静夹羯 ( 2 ) 对系数 ，2 的计算 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 当歹= 一l 时兹系数蠢蜃嚣蕊嚣l 抟位移方式绘出，这墨撵导载是当 j i 一硼幸，各系数的形式。 若f ，单元与节点的具体情况如阁2 9 所示，矩- h 。2 的各元索为： 礤= 私赤融嘞坤c 帮卜。 因，与法向”垂直，故当：o ，所以啊。2 = 0 ，同理：2 = 0 。 a 理 绍= 劈“嚷丽南 z 丽o r 面o r 瓦o r ( 1 一：唢善啦一亳蝴据 = 一丽1 - 2 vf 1 戎等 注意到，= 吾( 1 + 掌) ，d f = 导d f ，可得 = 一丽1 - 2 v 蜘均蔫 l 一2 v 4 r t ( 1 一r 1 同理2 = 硪1 - 而2 v 哈尔滨上程人学硕士学位论文 综合表示：h i 2 = o一! 二型 4 万( 1 一l ，) ! 二! ! o 4 z ( 1 一v 1 ( 2 3 6 ) 若j i ，单元与节点的具体情况如图2 7 所示，矩阵 。2 的各元素为： 矩阵中各元素的计算与系数 。1 的相似，具体形式如下 盱= 一丽- 1 l 叫j 争石：1 ( 1 嘲( 荨小1 功) + 2 c o s2 屈】等 耵= 一丽杀丽喜争+ 炙) 2 ( 嘉) t c 。s 反s t n 屈+ ( 1 - 2 y ) ( s i n qs i n 屏+ c 。s o ，c o s 鼠) 】譬 噜 ( 2 - 3 7 ) h 2 1 2 = - 面南喜扣鲥z c 缸c o s 刖峨一 ( 1 - 2 v ) ( s i n qs i i l 屏+ c o s q c 嘲) 】詈 h ：2 2 = - 丽- l 叫j 争嚣：1 ( 1 圳( 釉( 1 功) + 2 s i n 2 屏】詈 2 当i = j 时，峨= 口f + 毛c ；为避免直接对系数c 的计算，采用刚体位 移计算h ：”，因当物体发生刚体位移时，其所受面力为零”，根据式( 2 2 7 ) 可得： h u = g p = 0 设发生刚体位移“= 1 ，v = 0 ，由上式求得： 9 _1_，】 、l i l 坷 程磷 【l 畚尔滨工程大学硕士学位论文 展开有： 织褥： 【露】。【日】，。 【耍】。 【l ，。【日l ： 【】。 i 鹄 “+ q 1 1 2 + “+ 日2 1 1 2 + l 0 l 0 ： l o + q 1 ”；0 + 玛l “= 0 尉1 i “+ h 1 1 1 2 十+ 1 l ”= 0 2 l “+ 爿1 1 垃十+ 月j 1 ”= 0 辩l l “+ 甄t ”2 + + 薯l ”= o 月j 】”1 + 日2 1 ”2 十+ 爿：1 洲= 0 q ，“= 一甄。“ 墨；”= 一羁；9 = 0 o = 1 ，2 姐) ( 2 - 3 8 ) 同理设发生刚体位移“= 0 ，v = 1 时，可得 l h ，：“= 一蝎：。 ；1 0 ( f _ 1 ，2 n ) ( 2 3 9 ) i 马：”= 一：“ l舞 哈尔滨1 程火学硕十学位论文 综合起来 叫笼 2 5 3 g 。的计算 h ，” 篇 - e “ 篇 h ，” 篇 h ，：” 嚣 ( 2 4 0 ) 与系数日。不同，系数g ，不需采用刚体位移的方法，可全部通过积分计 算求得，此时q = g j 川) + g ；，其中g j 。= 蠢+ g l 。，下面分情况写出g ；、g ，2 的计算。 若i = ，单元与节点的具体情况如图2 9 所示，矩阵g ，1 、g 。2 的各元素 为： 1 = 目 ：g 。2g 。：2 g = l g ：。：g ：j 。 踟1 = f ，办u n * d f = p 破矗而【( 3 蛳) l n ( * 毒2 脚 注意到，= 三( 1 + 善) t ，积分式可进一步化简为 ：! i l i mc 三( 2 一刍 ( 3 4 。) l n ( 三) + c o s 2 只 咖 8 万g ( 1 一v 1e - - c o 占2 。 ， 、r 。 = 了石；考苦鬲 ( 3 4 v ) ( 吾一1 n ) + c 。s 2 0 a i j 如 -_1_-_，1_j 哈尔滨工程火学硕士学位论文 g 。2 = f ，欢- 4 d r = 辱“欢i 蕊1 同样可得 g2 2 9 2 2 志 ( 3 4 v ) ( 圭一i n t ) + c 。s 2 只 1 6 n g ( 1 1 6 n g ( 1 【( 3 4 v ) ( 昙一1 n ，) + s i n2 只 ( 3 - 4 v ) ( 1 1 n f ，) + s i n2 只】 9 1 2 1 = f ，破u 2 * d f = f ，i 1 ( 1 一f ) i ；石；二丽 ：土_ c 。s qs i n 目= 9 2 1 1 1 6 r r g ( 1 一们 9 1 2 2 = 破u 2 d f = f ，扣善) 志 = 上8 n - g ( 1 - v ) r c 。s e s l n 只卉 = 上_ c o s 只s i n 0 , = 9 2 1 2 1 6 z g ( 1 一y 、 “ 综合起来 1 6 n g ( 1 一v 、 1 6 r i g ( 1 一v 1 ( 2 4 1 ) c o s o js i n o t i ( 2 - 4 2 ) l n l 。) + s i n 2 只i l d 堡执 + l r n v 4 3 k 撕 至堡 打 堡堡挑 q q 咖 一 只 唱 b n 、互 矿 口 舯 争鸣 0 西 4 b 0 只迈 ， 岭 确 卜 p n 夸峨 n ， 西 4 b s o p。，l 哈尔滨i ：程人学硕- k 学位论文 若，= f _ 1 ( 当i = 1 时，= n ) ，单元与节点的具体情况如图2 6 所示， 矩阵g _ 1 、g w _ 2 各元素的计算方法与系数“、g 。2 相似，根据上述的计算 过程，我们得出g 忙。) 1 、g 。( 1 ) 2 各系数的具体表达式： i t l ! g 川。而乏孑f 二罚 。 2 ，j - t g _ 1 ) 3 而乏i 而 ( 3 - 4 v ) ( 三一l n f 。) + c 。s ，只，c o s o i 一。s i n o i 。 c 。s o il s i n 钆( 3 4 坝三_ l n f j ) + s i n 2 0 i 一。 ( 3 - 4 v ) ( 3 1 n f - 1 ) + c o s 20 i lc 。s o i - is i n 只一l c o s o i _ 1s i n o