（固体力学专业论文）双参数弹性地基上开孔圆角板的自由振动.pdf

摘要 摘要 弹性地基上梁、板的振动问题已越来越受到工程界的重视，不少学者对此 进行了研究。本文运用p b 2r i t z 能量法对双参数弹性地基上开孔圆角板的自由 振动问题进行研究。 相比于一般的弹性地基理论，双参数弹性地基理论采用了两个不同的弹性 常数，克服了一般弹性地基理论存在的缺陷，更接近于实际情况。 在小变形、线弹性的基础上，对弹性地基上开孔圆角板的自由振动问题进 行求解。以一组p b 2 形式的多项式组成板的位移方程，使之满足板的几何边界 条件。推导出地基与板系统的能量，由最小势能原理，能量对待定系数的偏导 数应该为零，得到板的振动特性的控制方程。运用m a t l a b 程序进行编程，得到 弹性地基上开孔圆角板的振动频率。与已知计算结果进行比较，证明了该方法 的准确性和简便性。 本文计算了不同边界条件下双参数弹性地基上开孔圆角板的自由振动的频 率，分析了在不同约束条件下板自由振动的无因次频率的变化，给出了薄板自 由振动的无因次频率与板和地基弹性常数的变化关系，讨论了内外半径比不同 时板的自由振动的无因次频率。并得到了在不同边界外形下薄板的自由振动频 率。 ， 关键词：自由振动、双参数、弹性地基、开孔圆角板、二维多项式 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed y n a m i cr e s p o n s eo fb e a ma n dp l a t eo ne l a s t i cf o u n d a t i o ni sb e c o m i n gm o r e a n dm o r ea t t r a c t i v ei ng e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n ga n dt r a n s p o r t a t i o ne n g i n e e r i n g t h e r e w e r eal o to fr e s e a r c h e r ss m d 鲥n gt h i sp r o b l e m ，a n dt h e ya c h i e v e dm a n yv a l u a b l e c o n c l u s i o n s 。t h i sp a p e rp r e s e n t saf r e e - v i b r a t i o ns t u d yo fp e r f o r a t e dp l a t e sw i t h r o u n d e dc o r n e r so ne l a s t i cf o u n d a t i o no ft w op a r a m e 话r s i nc o n t r a s tt ot h ec o m m o n l yu s e dt h e o r i e s t h et h e o r yo fe l a s t i cf o u n d a t i o nw i t h t w op a r a m e t e r si sm o r er i g o r o u sa n dr e a s o n a b l e t h er i t zm e t h o di su s e dt od e r i v et h ef r e e v i b r a t i o no fp e r f o r a t e dp l a t e sw i t h r o u n d e dc o r n e r so ne l a s t i cf o u n d a t i o no ft w op a r a m e t e r s 。t h ea n a l y s i si sb a s e do nt h e s m a l l - s t r a i n , i m e a ra n de x a c te l a s t i c i t yt h e o r y as e to ft w o - d i m e n s i o n a lp o l y n o m i a l s a n dab a s i cf u n c t i o na sa d m i s s i b l ef u n c t i o ni se m p l o y e di nt h i sa n a l y s i s a n a p p r o p r i a t e - b o u n d a r y b a s i cf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e dt h a ti m p l i c i t l ys a t i s f i e st h e g e o m e t r yb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h et o t a le n e r g yo ft h ep l a t e - f o u n d a t i o ns y s t e mi s a c c o u n t e d t h er e s u ro ft o t a le n e r g yf u n c t i o nm i n i m i z e dw i t hu n k n o w nc o e f f i c i e n t s s h o u l db ez e r o 。s oag o v e r n i n ge i g e n v a l u ee q u a t i o nc a nb eo b t a i n e d 。t h ep r o g r a mi s m a d eb yt h em a t l a bl a n g u a g e t h i ss o l u t i o nm e t h o do f f e r ss i m p l i c i t ya n de a s y a u t o m a t i o n t h r o u i g he x i s t i n gl i t e r a t u r e ，t h e s er e s u l t sa l ea c c e v a b l e t h en u m e r i c a l r e s u l t sd e m o n s t r a t et h ew e l lc o n v e r g e n c ea n dh i g ha c c u r a c yo ft h ep r e s e n tm e t h o d t h ef r e ev i b r a t i o nf r e q u e n c yo fp e r f o r a t e dp l a t e sw i t hr o u n d e dc o i n e r so re l a s t i c f o u n d a t i o no ft w op a r a m e t e r sw a ss t u d i e d t h en o n d i m e n s i o n a lf r e q u e n c yo ff r e e v i b r a t i o nw a sa n a l y z e d t h er e l a t i o no fn o n d i m e n s i o n a lf r e q u e n c yo ff r e ev i b r a t i o n a n df l e x u r a lc o n s t a n t so fp l a t e sa n de l a s t i cf o u n d a t i o no ft w op a r a m e t e r sw a s d i s c u s s e d t h i sa n a l y s i so b t a i n e dt h en o n d i m e n s i o n a lf r e q u e n c i e sw h e nt h e s e m i d i a m e t e rr a t i o sw e r ed i f f e r e n t c o m p r e h e n s i v en u m e r i c a ld a t af o rv a r i o u s d i m e n s i o n so f r o u n d e dc o r n e r si sp r e s e n t e d 。 k e yw o r d s ：f r e ev i b r a t i o n ，t w op a r a m e t e r s ，e l a s t i cf o u n d a t i o n ，p e r f o r a t e d1 , 1 a t ew i t h r o u n d e dc o e i i e r s t w o d i m e n s i o n a lp o l y n o m i a l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得石家庄铁道学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 签名：童蕉垒日期：鲨z ：兰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解石家庄铁道学院有关保留、使用学位论文的规定， 即：学院有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：釜建垒导师签日期：幽坚 第一章绪论 1 1 选题背景 第一章绫论 随着国民经济和科学技术的飞速发展，在工程建筑以及崭遮飞机，大型轮 艇，大型体育场的不叛建速发震戆霹霹，叛壳结梅发挥羞越来越霪要瓣终震。 叛巍就是平板_ 帮壳俸豹憨称，是最常觅静戆体形式。其外形将点怒厚度眈其余两 个方向尺寸在数量级上小得多。平分物体艨度的分界面称为中酾。若中面是平 面，则称此物体为平板：糟中面是曲面，则称此物体为壳体。由予脬度小、质量轻、 耗材少、性能好，使板巍成为具有优良特性的结构元件，不仅广泛应用于各种工 稳缀稳终为最基本帮袋童葵戆掏锋，霖虽褒巍然赛和曩豢生活审瞧鬻豢碰见，它 稍舄簿个久戆玺溪傣藏籀关。越来越多翳投轰结稳应露予王稔审，嚣两扳壳结 构的安全、稳定就关系着整个结构的安全、稳定。板壳结构分析是现代固体力 学中的一个分支，近几十年，随着科学技术的突飞猛进，其发展异常迅速。这门学 科几乎与一切工程设计部有关联，对航天、航空、航海、机械、籽化、建筑、水 利、动力、仪表、交遴等忑程设诗，茏其其露搀导意义。叛壳缝稳分援包括扳壳 静秀学纛叛壳蘩力学魏穴部分。板麦静力学楚研究叛壳在静耱载捧孺下爨产垒 的威力和变形，亦即道常所说的刚度、强度翻稳定问题。通过分析计算，使板壳 设计得既美观大方，又蜜念经济。板壳动力学是研究板壳在动衙裁作用下结构的 反威。其中一个重要闷题是板壳的振动问题 振动载是指物质袋鹱点系统按一定娥镣农其平衡位置附i 鹱所作的周麓性往 复运麓。久类对振动蒜蒙豹了解耪稳震鸯罄漫长耱瑟变。l 擎邀纪惹赣浚亲，箍 着航海运输和动力机械技术的发展，振动力学的工程应用受到慧视。实际工程 结构复杂而不规则，滩以精确求解，于是各种近似计算方法相继被提出。1 8 7 3 年瑞利( r a y l e i g h ) 基于系统的动能和势能分析给出了确定基频的避似方法，里兹 ( r i t z ) 发展了瑞利法使_ 乏攫广为几个低阶弱鸯频率斡近似计算，这方法被伽辽 金予1 9 1 5 年遴步攘广。1 9 0 5 年汤簿森( t h o m s o n ) 将这耱方滚笈震荛矩箨形式 掰最终形成传递矩阵法。非线性振动的研究歼始于1 9 世纪的簸斓。航空和航天 工程的发展对振动理学提出了更高的要求，工程的需要促使人们用概率统计的 第一章绪论 方法研究承受非确定性荷载的机械系统和结构的响应、稳定性和可靠性等而形 成的随机振动这一振动力学的重要组成部分。随着理论研究的深入，非线性随 机振动的研究尤其受到重视。振动力学已形成一门以物理概念为基础，以数学 方法、数值计算和测试技术为工具，以解决工程中振动问题为主要目标的力学 分支。研究板壳结构振动的响应、稳定性和可靠性等问题，保证整个结构的安 全、稳定，具有重要的意义。 随着科学技术及力学研究的发展进步，在板件弯曲和振动的过程中，尖角 处易产生应力集中，应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹，对 结构的安全产生较大的危害。在应力集中区域，应力的最大值( 峰值应力) 与物 体的几何形状和加载方式等因素有关。但在实际应用中，有时为了节约材料， 减少自重及美观等方面的原因，而不得不在板内部也需要开孔，这就容易产生 应力集中的问题。为避免应力集中造成构件破坏，可以采取消除尖角、改善构 件外形、局部加强孔边以及提高材料表面光洁度等措旌。为了减小应力集中系 数，在设计构件时要尽可能的用较大的圆角光滑过渡，以尽量避免横截面有急剧 突变。因而圆角板在工程中的应用就越来越广泛了。随着开孔圆角板在工程中 尤其是在机械方丽的应用，研究此类板件的振动，掌握其振型、频率，对于确 保结构安全，减少工程事故具有实际的意义和价值。 扳在地基上自由振动时，地基模型的选取对板的振动频率有很大的影响。 双参数弹性地基模型时介于w i n k l e r j 也基模型和弹性连续介质模型之间的一种地 基模型。它用两个独立的参数分别表示土体的抗压和抗剪性能，既克服了w i n k l e r 地基模型的固有缺陷，数学处理上又较弹性连续介质地基模型简单，而且经适 当地选取参数可以很恰当地描述地基的力学性能。所以，自双参数弹性地基模 型提出以来，就受到了国内外研究者的重视。然而，以前对板振动的研究多是 针对规则形状的板，如矩形板、圆板等；近年来，有利用二维理论研究板振动 问题的文献，二维理论是在三维理论的基础上做出一些假定，但还没有人用p b 2 r i t z 法来讨论开孔圆角板在双参数弹性地基上的振动问题。 1 2 国内外发展现状 桥梁和建筑物在阵风或地震的激励下会发生振动，飞机和船舶在航行中的 振动。由于振动能加剧构件的疲劳和磨损，从而缩短机器和结构物的使用寿命。 第一章绪论 振动还可能引起结构的大变形破坏，有的桥梁曾因振动而坍塌；飞机机翼的颤 振、机轮的抖颤往往造成事故；强烈的震动噪声会形成严重的公害。在很多时 候，结构必须承受动力荷载。在动力荷载的作用下，结构的变形和内力呈随时 间变化的特征，由于质量惯性的作用其变形和内力的幅值往往较静力分析大的 多。因此，其动力学特性研究对于结构的安全可靠性设计有重要意义。复杂板 结构在近代的科学技术及生产领域中有着广泛的应用价值，在土木、桥梁和机 械等实际工程中，板结构被广泛采用。另外，在航天航空、汽车、船舶，化工 设备等工业中，愈来愈多的应用到复杂板结构的力学分析。复杂板结构的理论 研究也有助于板壳结构的力学分析计算。 经过多年研究和发展，研究人员发现r i t z 法是研究板件结构振动的有效方 法，但是很难找到直接符合边界条件的方程。人们通过各种方法讨论板的振动 问题。t s u i j i ，t s t m e o 2 1 等人利用一种数值方法研究任意边界条件下板自由振动， 板的挠曲函数由二重幂级数石和y 来表示，几何边界条件在板的振动方程中得到 了满足：l i e w ，k i t i p o r n c h a i ，l e u n g ，u m l 3 1 讨论了中央开孔矩形板的自由振动 问题，试函数满足由每条边界约束的横向挠曲的边界条件；i _ a m ，h u n g ，c h o w 4 讨论了一种新的研究开孔矩形板的振动问题的有效方法，将板件划分为合适的 矩形单元，这样满足最初复杂的边界条件的挠曲方程就可以比较容易找到了； l i e w ，w a n g 1 u j 应用p b 2r a y l e i g h r i t z 法分析薄板的振动，p b 2r a y l e i g h - r i t z 法的精度是由组成r i t z 方程的基本方程和一个二维多项式组成的方程决定的， 二维多项式的级数可以不断增加直到满足精度要求为止。基本方程是由所有的 边界条件方程组成的；l i e w i “】( 1 9 9 3 ) 利用p b 2r a y l e i g h r i t z 法讨论了矩形板自 由弯曲振动，并求得了矩形板自由振动的一些固有频率；l i m ，l i e w l l 2 1 ( 1 9 9 4 ) 并u 用p b 2r i t z 法讨论了任意边界条件下薄圆柱壳的弯曲振动，以一组正交的多项 式来近似振动时横向的位移方程；l i e w ，1 h 叠剐( 1 9 9 9 ) 应用多项式r i t z 法研究圆 板的三维自由振动，用一组正交的多项式来近似圆板在圆柱坐标系下的空间位 移方程；l i e w ，f e n g l 6 1 ( 2 0 0 1 ) 研究了开孔圆角板的三维振动，以一组一维和二维 多项式作为沿厚度及表面的试函数，由此得到超椭圆板振动的固有频率和振型； l i e w ，f e n g i t l ( 2 0 0 2 )出了一种研究任何厚度的矩形板自由振动方法，由 c h e b y s h e v 多项式构成板的边界方程，由r i t z 法可以得到任意边界条件矩形板振 动的精确固有频率和振型；z h o u ，c h e u n g ，l o t 8 1 ( 2 0 0 3 ) j 云用c h e b y s h e v r i t z 法研 究圆板和圆环板的三维自由振动，由一组余弦c h e b y s h e v 多项式构建位移函数， 第一章绪论 利用r i t z 法褥到适当的特征值方程；z h o u ，l o ，c h e u n g ，a u 9 i ( 2 0 0 4 ) 应用 c h c b y s h e v r i t z 法研究超椭圆板的三维自由振动，位移函数由三重c h c b y s h c v 多 项式构建，并将特征边界方程改进以满足板的几何边界条件。 通过查阅以前的文献发现，大部分研究人员是以二维理论来研究板的振动 问题。二维理论是通过在三维理论的数学模型中引入一些假定得到的。这样就 可以得到简单的相关表达式并得到结果。也有一些研究人员运用不同的方法研 究板的三维自由振动。在弹性地基上板的振动问题还没有人进行深入细致的研 究，在目前还没有人用p b 2r i t z 法研究开孔圆角板在双参数弹性地基上的自由 振动。 1 3 本文研究的内容和思路 本文研究的主要内容是利用以曲2 多项式为基的r 池最小能量法研究各向 同性、匀质的开孔圆角板在双参数弹性地基上的自由振动问题。 w i n l d c r 地基模型假定地基表面每一点处的挠度与该点的应力成正比，而与 其它点( 即使是最邻近的点) 的应力无关。弹性连续介质摸型假定土体是各向均 匀的完全弹性体，其挠度与应力的关系按半空间弹性体表面作用集中荷载的布 辛奈斯克( b o u s s i n c s q ) 解答。事实上，地基表面某点处的挠度不仅与该点处的 应力有关，而且还受其它点处应力的影响，但这种影响随着距离的增加而迅速 减小，并不像弹性连续介质模型所描述的那样影响范围很大。这说明w i n k l c r j 也 基模型由于没有考虑土体的抗剪能力是有缺陷的，而弹位连续介质模型则因过 分强调土体的抗剪能力也是不很恰当的。双参数弹性地基模型是一种介于以上 两种地基模型之间的地基模型，它用两个独立的参数分别表示土体的抗压和抗 剪性能，既克服了w i n k l e r 地基模型的固有缺陷，数学处理上又较弹性连续介质 地基模型简单，而且经适当地选取参数可以很恰当地描述地基的力学性能。 p b 2r i t z 法是以一组二维多项式为基，以最小势能原理为基础的一种近似 方法。能量法是一种利用最小势能原理求解的方法。按照弹性理论，求得线弹 性结构的变形能和外荷载产生的动能。由最小势能原理，对待定系数的微分等 于零。p b 2r i t z 法以一组二维多项式组成满足板的几何边界位移条件的方程。 首先用一组二维多项式假设出板的横向位移振幅方程，满足板的几何边界条件。 根掘最小势能原理，对待定系数的微分等于零，由最小能量原理可得到特征值 第一章绪论 的控制方程。由此可以求得板振动的频率和振幅周期等振动特性。 投为各向同性均质盼殍孑l 圆角板，其内夕 边器方程可以写为： 商“+ 掣知* 1撵。l 2 , 3 , *1 1 ) 在小变形、线弹性的基础上，板与双参数弹饿地基体系的总变形能； n 瓤2 以州 盟0 x 2 监0 y 2 ( 啬) 胪 + 瓢耵2 崩+ 知f 啬卜 式中：d 一板的弹性常数；k w i n k h 媲簇刚度；巧一弹性地慕剪切刚度。 假设板的横向位移振幅方程为： h ，( 亭，笮) t 罗e 识( 掌，雄) ( 1 3 ) 当囊l 弦动静动旋为：- 瓤争d a 板的总的能量方程为：f u r 由最小势能原理，应有：嚣一。 可德剃特征值的控靠方穰： l 叠) ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) 莲移】一孟2 g ；。 鸯0 - 7 ) 由此可以求得开孔浏角板的振动特性。 本论文的内容具体安排如下： 第一章为绪论，综谶薄板理论的发展，对薄板理论的建立依据作详细介绍， 给磁了的2r i t z 方法的穰述，阐明了本磷究的意义，并虽给出本文研究的主要 内容。 第二章为双参数弹性媲基简介，详细介绍了弹性地基的发胺、应用和各种 弹性地基模型。 第三章为弹性薄板振动理论，在“直法线”假定的条件下报导了薄板的理 论公妓。以及弹性体动力学基本方程，为籍蕊提供了必需的弹馁力学公式及其 篆邋。 第四章给出了d b 2r i t z 方法的公式攮导，这一部分为更好豹理解p b 2r i t z 方法及下一章的推导打下了理论基础。介缁丁双参数弹性地基上歼孔圆角薄板 第一章绪论 的自由振动分析，此部分是本论文的研究重点即以能量法为基础，研究了弹性 地基上复杂边界薄板的自由振动公式。 第五章为数值结果分析，计算了弹性地基上开孔圆角板在地基参数和板边 界条件变化时的振动参数，对不同条件下薄板自由振动的参数进行分析，验证 了此理论的正确性和精确性。 第六章为全文总结。 本文的特色在于： ( 1 ) 前人的研究大部分是针对于一些弹性地基上边界形状规则的板，或者只 研究板的振动问题。本文采用的方法适用于分析在弹性地基上开孔圆角板的振 动分析，其几何边界条件可以是任何形状的板的自振特性。 ( 2 ) 本文分析的是弹性地基上开孔圆角薄板的振动，没有几何形状上的限制， 也就是说其适合求解各种边界形状下板的振动问题，适用范围广泛。 ( 3 ) 本文的解精确满足薄板振动微分方程，计算精度只是取决于二维多项式 的项数和对板边界的近似描述，因此本方法能够给出较高精度的结果。 ( 4 ) 用m a t l a b 语言编写了程序，给出了数值计算结果，收敛性研究证明了本 文方法的正确性和高精度。 第二章双参数弹性地基简介 第二章双参数弹性地基简介 2 1 弹性地基模型简介 2 1 1w i n k l e l 地基模型 w i n l d e r ( 1 8 6 7 ) 提出土介质理想化模型，它假设土介质表面任一点处的位移w 与作用在该点的应力口成正比而与作用于其他各点的应力无关，即： q ( x ，y ) 一h v ( x ，y ) ( 2 - 1 ) 式中七称为地基反力系数( - l ) ，亦称为基床压缩系数。实际上土介质的w i n k l e r 埘 理想化模型是由一系列各自独立的弹簧单元所组成，其弹簧常数为七。这种模型 的一个重要特征是：在荷载作用的区域内立刻产生位移而在此区域之外位移为 零。 。 2 1 2 弹性连续介质模型 由于在w i n k l e r 地基模型中发生表面位移只限于受荷载区域，从而限制了它 在具有少许粘性或具有连续性质土介质中的应用。实际地基不仅会在受荷载区 域内立即发生表面位移，而且也会在受荷载区域以外的一定范围内发生位移。 为了描述土介质的这种连续的性质，后来许多学者常将土介质理想化为三维弹 性连续体或弹性连续介质。土介质连续性模拟的原始促进力来自于 b o u s s i n e s q ( 1 8 8 5 ) 的i 作。 均匀各向同性半空间是弹性半空间中最简单的情况，介质的性质由地基土 的弹性模量和泊松比风来表征。实际上，土介质由于深积过程中的成层和层 叠作用，从而使得许地基显示出各向异性的性质。因此，便出现了以2 1 个独立 的弹性常数来表征各向异性的正交各向异性弹性连续介质模型。然而该模型参 数极多，应用困难，便出现了横向同性弹性地基模型，该类模型假定土介质在 内部各点在各个方向材料性质相等的平面。当土介质在某点处的力学性质为该 点空间变量的函数时，可看作是非均匀介质，在非均匀介质内的每一点处都可 以充分显示出各向异性的性质。针对此类弹性模型，吉白森( g i b s o n , 1 9 6 7 ) 提出 第二章双参数弹性地基简介 了一种很有代表性的非均质弹性半空问模型，假定地基土是不可压缩的 ( 一o 5 ) ，剪切模量g o 沿深度方向呈线性变化。 2 1 3 双参数弹性地基模型 w i n l d e r 地基理论虽然简单直观，但不能很好地描述土体的连续性，而弹性 半空间连续介质模型却高估了地基的扩散能力，同时在数学上较为复杂，难以 在实际工作中得到广泛应用。由于上述原因，导致了许多其他简单土特性模型 的发展。双参数模型是以二个独立的弹性常数来表征土介质的特性，其发展方 向主要有两种，一种是沿用不连续的w i n k l e r 模型产生的，并在各个弹簧之间提 供力学的相互作用以消除其不连续的性态：另一种则是从弹性连续介质模型开 始并引入约束或简化位移分布与应力的某些假设( s e l v a d u r a i ，1 9 7 9 ) 。 费洛年柯一鲍罗基契( f i l o n e n k o b o r o d i c h ) 所提出的模型是凭借在常值拉力 作用下的弹性薄膜，连接w i n k l e r 地基中各弹簧单元获得期间的连续性。其特征 函数为： 口( 训) 一舢( 训) 一两2 ，( 训) ，v 2 一参+ 熹( 2 - 2 ) 式中，t 、t 表征土体模型的两个弹性常数。 海媵尼( h e t e n y i ) 模型中，独立弹簧单元间的相互作用通过加入一个三维问题 的弹性板而达到的，这种模型的特征函数可表示为： q ( x ，y ) ； w ( 茗，) ，) 一d v 4 w ( x ，y ) ( 2 - 3 ) p l 3 式中，d 一竺可为板的挠曲刚度。 1 2 ( 1 一，2 l 帕斯捷尔纳克( p a s t e m a k ) 模型是假设在各弹簧单元问存在着剪切的相互作 用。这种剪切相互作用是通过弹簧单元与一层只能产生横向变形而不可压缩的 竖向单元相连接而实现的。若假设剪切层在工，y 平面内为各向同性，剪切模量 为瓯一g ，一g p ，g p 只与地基的剪切变形有关，亦称为剪切基床系数，其特征 函数为： q ( x ，) ，) 一 w ( x ，y ) - g v v 2 w ( x ，y ) 2 - 4 ) 符拉索夫( v l a z o v ) 模型是属于第二种双参数模型，它靠引进一些能简化各向 同性线弹性连续介质基本方程的位移约束而推导出来的。考虑平面应变问题， 假设位移分量为： 第二章双参数弹性地基简介 u ( x ，z ) - o ，w ( x ，z ) z w ( 工) | i l ( z ) ( z - s ) 式中，函数j | i ( z ) 描述z 方向的位移w ( 工，z ) 的变化。v l a z o v 和i e o n t i e v 提出了若 干这种变化，包括线性变化和指数变化： 曲f 塑二兰) 1 ( z ) - 一言； ( z ) l 七；：_ ! i 1 1 _ _ l ( 2 6 ) 【工j 依据以上假设，并结合变分法原理，可导得v l a z o v 地基的特征函数为： p ( 工) ；枷( x ) 一丑掣 ( 2 7 ) 式中，七。f e y o i e ( d d z h j ) d z 小币e + o ) j o l g h - h ( z ) 】2 d z 瑞斯纳( r e i s s n e r ) 模型是通过引进位移和应力的约束而导得。这些约束简化 了各向同性线弹性连续介质的基本方程。假设厚度为日的整个土层内的叫平面 内的应力均小得可以忽略不计( 一一) ，同时，位移分量“扛) ，v ( y ) ， _ h ，( 2 1 满足以下关系： h 一1 ，一w = 0当z h ； h - v 一0当z 一0 则可得到r e i s s n e r 地基的特征函数为： q w c 2 v 2 w = q 一暑v 2 q ( 2 8 ) 叶l l 式中，g 、c 2 与土层弹性模量e 和剪切模量g i 有关的常数。 2 2 弹性地基板的研究现状 弹性地基板作为道路、机场跑道及基础等结构物的基本力学模型，长期以 来，受到了国内外许多专家学者的关注。但由于问题复杂性，一些较为复杂的 边界问题很难得到令人满意的解析解。目前，处理这类问题的主要方法可分为 两大类：数值法和解析法。数值法主要是有限元法和边界元法；解析法是通过 事先选定位移函数，再利用边界条件决定出特定参数。双参数弹性地基模型用 两个参数分别考虑土体的抗压和抗剪切能力，可以较好的模拟土体的工作性能， 较常用的w i n k l e r 地基模型和弹性连续介质地基模型具有明显的优越性，因而自 第二章双参数弹性地基简介 7 0 年代以来受到了国内外研究者的格外重视。 双参数弹性地基上板的振动问题，国内外的最新研究情况：v l a z o v ( 1 9 6 6 ) 首先分析了双参数弹性地基上的梁和板的问题。y a n g ( 1 9 7 2 ) 用有限元方法分析了 同样的问题。阎红梅，崔维成，刘应中【复i 构造了一个包含三角函数和多项式组成 的新的挠度函数，它满足四个自由边上全部边晃条件和自由角点条件，利用迦辽 金方法导出了弹性地基上四边自由的矩形板弯曲、自由振动和稳定问题的解析 解；杨端生，黄炎，潘军【捌建立了双参数弹性地基上的正交异性矩形薄板自由振 动位移函数微分方程，精确地求解板在任意边界条件下的自由振动问题；邓安 福，周永明1 2 5 】以弹性地基上r e i s s n e r 板为研究对象，地基采用双参数模型，导出 双参数地基上厚板弯曲问题的基本解；季求知，曲庆璋【”j 以分离变量法，得到双 参数弹性地基上矩形板控制微分方程的各种解；李爱引冽以c h e b y s h “多项式和 三角函数构成复合函数为振型试函数，应用布勃诺夫伽辽金法研究了双参 数地基上圆薄板的非轴对称大挠度振动问题；王孝国，罗丕茂【3 0 l 提出一条挠曲 函数，它严格满足弹性地基上自由边矩形扳的全部内力、几何边界条件，运用 变分法对双参数弹性地基上自由边矩形扳的弯曲、稳定和振动问题进行求解； 彭立生，董军1 3 2 1 将双参数地基模型用于分析基础板，推导了双参数地基上厚板 的基本方程和自由边界条件，得到了任意荷载作用下的解析解；c h e n ，f u n g ， c h i e n l 4 5 1 推导了不均匀预应力正交各向异性板在弹性地基上的非线性振动，运 用g a l e r k i n 法将非线性偏微分方程转化为一般的非线性方程， r u n g e k u t t a 法 得到非线性与线性频率的比值；x i a o ，f u ，z h a 删考虑了横向剪切变形及地基的 耦合作用，基于h a m i l t o n 变异理论，建立了双参数弹性地基上厚矩形板振动的方 程；x i a o ，f u ，z h a l 4 7 1 基于r e i s s n e r 板理论和h a m i l t o n 变异理论建立了中厚矩形 板在弹性地基上的非线性方程；m a t s u n a g a ，h i r 0 1 i r i l k i 郴烤虑剪切变形、厚度变 化和转动惯量，分析了双参数弹性地基上各向同性厚板的固有频率和弯曲特性。 竹学叶( 1 9 9 5 ) 8 q 正了以前双参数地基上自由矩形薄板中存在的错误，通过合理构 造自由矩形薄板的挠度形式，求得了双参数弹性地基上自由矩形薄板在任意荷 载下的解析解。v a l l a b h a n 等( 1 9 9 0 ) 运用有限差分法分析了双参数地基上矩形板的 变形问题。田波和牛开民( 2 0 0 4 ) 针对现有地基模型存在的问题，根据传递矩阵法 推导出一种新型双参数地基模型，该模型综合了w i n l d e r 地基和弹性层状地基模 型的优点。 第三章弹性薄板振动理论 第三章弹性薄板振动理论 3 1 弹性体动力学基本方程 弹性体在受力时将产生位移，在直角坐标系中，弹性体内一点的位移可以 用它在x 、y 、z 三轴上的投影“、y 、w 来表示，一般沿坐标正方向为正，沿 坐标轴负方向为负。h 、v 、w 为弹性体的位移分量，在动力学问题中，三个位 移同时是空问坐标x 、y 、z 及时间坐标f 的函数。 在直角坐标系中，弹性体内一点的形变可以用六个应变分量来表示：正应 变，、，、乞分别表示沿x 、y 、z 方向的弹性伸缩；剪应变：k 、y 。、分 别表示y 与z ，z 与x ，x 与y 两方向微小线段间直角的改变。正应变以伸长为 正，缩短为负；剪应变以直角变小为正，变大为负。弹性力学中己经介绍过了， 如果己知一点的六个应变分量，则可以求得经过该点的任意微小线段的正应变 以及经过该点的任意两个微小线段之间的角度改变，因此这六个应变分量可以 完全确定一点的形变状态。相对于动力学问题来说，六个形变分量同时是空间 坐标x 、y 、z 及其时阅l 的函数。 3 1 1 形变分量与位移分量之间的关系式( 几何方程) 通过几何学方面的推导，忽略高阶微量，可以建立形变分量和位移分量之 间的关系式： 抛a l ，狮、 。i 川，。石e z 。i p 1 ) k 罢+ 罢，y 。罢+ 罢，。罢+ 竺( 3 - 2 ) 。石+ 面y a 。i + i 。丽+ 一a x 由于有形交，弹性体内产生应力。九个应力分量为q ，盯，呸，f ， 吃，k ，f 。在直角坐标系中取出一个小的正六面体，其各面与各个坐 标轴垂直，将每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，共计九个分 量。q ，口，q 分别是作用在垂直于z 、y 、z 轴面上，沿着z 、) ，、z 的方 向。百，k ，百，：中前一个角码表示作用面垂直于那个轴， 后一个角码表示方向沿着那个方向。 第三章弹性薄板振动理论 3 1 2 形变分量与应力分量之间的关系式( 物理方程) 巳一言【q 一肛( q + 吒) 】 勺一言【巳一p ( q + 呸) 】 乞t 吉【吒一芦( 吒+ q ) 】 。罟，k 一罟，岛。罟。言k 。言岛。苔 其中f 是弹性模量，g 是剪切模量，_ l l 是泊松比， 的关系是： ( 3 - 3 ) ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 6 ) 对于各向同性材料，这三者 ( 7 - 熹 ( 3 7 ) 2 ( 1 + p ) 。 上面叙述的公式就是通常所说的虎克定律，通过这些公式可以看出应变分 量与应力分量之间的关系。 3 1 3 运动方程 弹性体内一点附近取出一个微小正六面体，动态平衡，计入体力分量及其 惯性力，体积力沿坐标轴的分量为k x ，k ，墨。这样可以得到如下的运动方 程： 孕+ 孥+ 孥代。p 粤( 3 - 8 ) a ca va z1 a 1 2 孥+ 孥+ 姿+ k 。p 粤( 3 - 9 ) a x舢a z m 。 冬+ 孥+ 孚+ k 。p 尝 ( 3 1 0 ) 缸却以 o t 。 p 为弹性体的质量密度，对于弹性体的动力学问题，一共有十五个未知数： 三个位移分量甜、v ，1 4 3 ，六个应变分量f 。、，、g ：、k 、岛和六个应 力分量q ，口，吒，f ，k ，。一共十五个未知量，满足十五个方程： 三个运动方程，六个几何方程，六个物理方程。还要满足相应的边界条件和初 始条件。将几何方程代入物理方程，再代入运动方程，可以得到直角坐标系下 弹件体动力学基本方程。 第三章弹性薄板撼动理论 3 1 4 弹性体动力学憝本方程组 e 。： 一l v 懿2 ( 1 + 0 e f 。2 丽r + 寺剀母毒 + 考十耕聊窘 葡 v 锄+ # 杀立o z 罢+ 爹+ 警) + 一p 害o tl 印) | l 一肇 l 缸秒教锺 2 公式巾；铲一虿a 2 导每 ( 3 - l ( 3 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) 移一1 4 ) 从以上公式可以肴出，三维的弹性动力举方程是较为复杂的，除少数特殊 情况，一般是无法求得其解析解的，正是为丁降低问题的难度，人们不得不从 板结构的特点出发，建立器辩穗应静近戳理论。 3 2 弹性薄扳理论豹慕本概念及其基本德定 檄壳的动力闯题是_ i 慝代许多工程部件设计与研究的关键，诸如各种动力机 械、逡输机械、地下结梅、隧道、大跨度终构的屋矮以及各葶孛薪黧的建筑都有 鍪釉各样瓣援轰缝褥。纛蜜际工程孛，经黉会邂戮孚援懿设诗。蓠先绘爨平援 翁定必，孛瑟为一擎嚣熬麟乎连续薅藜巍警缀。当簿寝运夸予孛藤乎瑟足寸靖 称为薄板。平板主要承受懑直中面的横向稽载，对于厚度尺寸远小于平面上另 两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列的反映薄板力学特性的简化假设，使原 始的三壤闯题降为二位阀题来分析。 弹悭薄蔽援彝擐秘莲谂懿基零缓定凳： ( 1 滚形嚣垂壹予孛嚣黪袁线在交形螽嵇舞一妻线，著傈黪譬审嚣垂矗。 ( 2 ) 忽路沿着中西疆巍方向的法问应力。 ( 3 ) 只计入质量的转动惯性力，而略去其转动惯性力矩。 “炳沿中面内方向的变形。 缓霆f l 瀛是掰镶煞壹线法稷定，是薄扳援溪理论懿基磷。这一令缓定酶实 鬟蹙健叛释蠹整令交形状态哭致凌予孛嚣挠鼹嚣形获。将求舞兰缀变形箨翁弱 题变为确定二位挠度曲赫的问题。暇定( 2 ) 则认为垂直方l 甸的法潮磁力也耽弯曲 缸一敏 t 琶一觑 3一缸。一砂 上啷上嘶 一l l 第三章弹性薄板振动理论 应力小的多。以上两点对于厚度尺寸比平谳尺寸小的多的薄板砸吝是近似成立 的。 3 ，3 弹性薄板理论的基本动力学方獠 假定( 1 ) 认为法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也就是认为横向 剪威力比平面方向的弯熊应力要小很多。假定( 2 ) 认为垂直方向法应力比弯曲应 力小缀多。这嚣轰对予鼯瘦尺寸魄孚瑟足寸夺穰多豹薄板恧言怒：i 莛骰成立鳃。 工熬上通常谈为当板蓐h 与板静最小平嚣簿壤b 之院( 圭裁w 珏看成是薄板。 dl u 假定( 4 ) 认为中面内不产缴拉压、剪切，从而也就没有中面内变形，即认为中面 内薄膜力远小于横向荷载产生的弯曲应力。 考虑一个具有任意边赛形状的各项同憾均矮等厚薄扳，取檄的中面为x o y 平 k 錾，z 辘垂壹予x o y 警瓣，叛蓐务h ，z * 一兰隽受载瑟，孛灏挠盏丞数兔 2 w ( x , y ，z ) ，如下图3 - 1 所承 y 强3 - 各自弱瞧均蒺等霉薄板示意塑 3 3 1 位移分量 内弹性体动力学几僻方程( 3 一l 、( 3 - 2 ) 及假定( 1 ) ，德： y 。塑 i 丝。0 4 o z 缸 y 塑+ 丝。o o z - + 面。o 一1 5 ) ( 3 一1 6 ) 第三章弹性薄扳振动理论 则宥：”k y , z , t ) u o ( x ，y ，f ) 一z 娑 i u v 瓯y ，：，f ) t 吒秘，罗， ) - 2 掣 孽 式中，崦为中面位移，由缓定转) 应该为零。因此扳内平萄镣够； h ，) ，z ，f ) 。学o w ( x = _ , y 一, t ) v 0 y ，印) l 则誓业 锣 上式表臻，叛绛癌务熹乎嚣经移群，y 漆蓐度方悫是线援分毒熬， 瑟w ( x ，y ，0 在该处沿x ，y 方囱豹斜率有关。 3 3 2 应变分量 ( 3 - 1 7 ) 0 1 8 ) ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) 荠每挠题 将板内位移分量代入几俺方程，可求褥扳魄应变分量： o u0 气。磊。吣丽。馘 3 。2 1 ) 却8 2 w 勺。石。吣矿一玛 ( 3 2 2 ) b = 詈+ 罢一一舱啬勉b ( 3 2 3 ) 式巾鼓，s ，岛分鄹秀魏趣瑟静蓥率与羧藏枣。土式表鹱，叛凑蛋点魏应交分 量沿厚度也是线性分搿酌，并与挠益面的鼹率或扭曲率有关。 3 3 3 应力分量 囊弹性体动宅学甥瑗方程( 3 - 3 ) - 0 。6 ) ，菇晨考虑到假定国褥； 。言【或一芦f g + q 习 勺。砉 q 一( q + q ) 】 岛；罟 簇出痰力分量，豢入痰交表达式 g 。专以坞卜专譬+ ， ( 3 - 2 4 ) ( 3 - 2 s ) ( 3 2 6 ) f 3 2 7 ) 笙三兰壁丝苎堡堡塾望堡 哆。南螺) _ _ 专p 害+ b 埘q & 舅 3 3 4 内力分量 ( 3 2 8 ) ( 3 - 2 9 ) 定义板内截面上各点正应力分量沿厚度吒，巳和水平剪应力k 对中面取矩 沿厚度积分为弯矩、扭矩： m x2 丘z 以d 2 ( 3 3 0 ) m ，。n hz o d z( 3 3 1 ) m ”。丘r d z ( 3 - 3 2 ) 垂直剪应力k ，k 沿厚度积分为剪力 吃。丘吃d z ( 3 3 3 ) 。e 岛血 ( 3 3 4 ) 求积分得到弯矩、扭矩表达式为： 肘l l d 。；一。- ( i 0 2 7 w + v 蔷一一d ( t + 一) ( 3 3 5 ) 肘，。一d p 盖-