（基础数学专业论文）高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性.pdf

中文摘要 中文摘要 本文主要研究高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性论文分两章对一 类非线性四阶周期边值系统及高阶周期边值问题进行了讨论在第一章中，主要研究 四阶周期边值系统正解的存在性在文中我们构造了一个锥。它是e a 两q 锥做笛卡尔 乘积得到的在此锥中，我们把微分方程解的问题转化为积分方程的不动点问题，再利 用不动点指数理论得到结论在第二章中，主要研究高阶周期边值问题非零解的多重 性通过使用锥中的不动点指数理论和l e r a y - s c h a u d e r 度，在一般的非线性条件下， 得到高阶周期边值问题至少有六个不同的非零解进步，若非线性项是奇函数，我 们可得到至少八个非零解就我们所知，对于上述提到的两类周期边值问题的研究还 很少见，本文对这两类问题进行了研究，得到了较满意的结果 在第一章中，我们主要讨论以下四阶周期边值系统； it ( 4 ) p ) 一触”( t ) + o m ( t ) = ，1 ( t ，u ( t ) ) + j l l ( ( 亡) ，”( t ) ) ，t 【0 ，i i ， jt ，( 4 ) ( t ) 一卢”( ) - 4 - a v ( t ) = ，2 ( t ，t ，( t ) ) + _ 1 1 2 ( t ( ) ，口( t ) ) ，t 【o ，1 】， 1 ，1 、 1t i o ) c o ) = t “) ( 1 ) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ， ” 【( o ；- “扛o 1 ，2 ，3 正解的存在性，其中五g ( 【0 ，1 】x 盈+ ，r + ) ， i c ( 时r + ，r + ) ，江1 ，2 ，r + = i o ，+ ) 芦，p r 1 且满足p 一2 7 r 2 ，0 口 0 对非线性项五，k ，假设满足； ( a 1 ) l i r a s u p m a x 丛型 o ，t o ； ( b 2 ) ，在0 点可导，蜘= ，( o ) 0 ，且存在正整数n o ，使得 a 2 n o 一1 c x 0 0 ，使得 恕掣产- 0 ， 及存在正整数他1 ，使得 a 轴一l d t l 0 ，使得 l ，( ) i 一新2 ，0 0 , a n dt h e r ee x i s t 8ap o s i t i v ei n t e g e rn o s u c ht h a t a 执一1 a 0 a 。l o ， w h e r e a 。) 篷o i sa s e q u e n c eo fa l lp o s i t i v ei n p ( 2 礼7 r i ) ) 篷ow i t ha n - 1 0 ，s u c ht h a t l i r a i f ( u 1 ) - r 衄一u l ：0 ， ” l t i a n dt h e r e d s t 8ap o s i t i v ei n t e g e rn ls u c ht h a t 2 ，i i 一1 口1 0 s u c ht h a t l ，( u ) i - - 2 7 r 2 , 0 口 0 对非线性项五，氐作如下假设t ( a 1 ) l i r as 1 1 p m a x 艘地 l i m 8 u p m a x 丛趔； o o + t 【0 ，1 l 移 + t 田，l 】 甜 ( a 3 ) l i r a 丝型；o 对# r + 一致成立； q 卅( r 卜牡 ( 丸) ，丝等型；o 对缸r + 一致成立，l i r a h2(u,vu-+oo ) = o 对t ，【0 ，明 十 。 一致成立，其中n 0 是任意的 容易看出，l ，越是超线性的，五，如是次线性的 近年来，国内外许多作者对微分方程边值系统进行了研究，见【1 7 1 通常的研 究方法是使用锥拉伸与锥压缩不动点定理以及锥中的不动点指数理论，我们知道，在 前面的方法中关键是选取一个适当的锥一般地。当非线性项在两个方程中有相同的 性质时，我们可直接在叉积空间c o ，l l c o ，1 】中构造个锥然而，在我们这种情 况下，直接在叉积空间中构造一个锥是困难的因为非线性项在一个方程中是超线性 的，在另个方程中是次线性的，所以，我们需要用薪的方法构造个锥受文1 1 】的 启发，我们在空间c 0 ，1 】中选取两个锥p q 做笛卡尔乘积p q 构成一个新锥 1 2 预备知识 在这一节中，我们将构造一个锥，它是由两个锥傲笛卡尔乘积得到的在此锥 中，我们把问题( 1 1 1 ) 转化为算子的不动点问题另一方面为了证明定理1 3 1 ，我们 给出一些预备知识， 蝴螂协恤删 触熊骗邵 i | ，l ，删删呲 + + ， ，州懈 一 一 眢 ： 椭椭俩鹕 第一章四阶周期边值系统正解的存在性 1 1 引言 在本章中，我们主要考虑以下四阶周期边值系统 t 【0 ，1 】， 。【0 l l ， ( 1 圳 正解的存在性，其中五c ( 【o 1 】r + ，r + ) c ( 皿+ xr + ，r + ) ，t = 1 ，2 ，r + = 【0 ，+ o o ) ，口，p r 且漕足p 一2 r 2 ，0 口 o ， 对非线性项五，氐作如下假设t ( a 1 ) l i r as 1 1 p m a x 丛地 l i r a s u p m a x 丛业； 。舻t e o ，1 l 移 + t 田，l 】 t ， ( a 3 ) l i r a 堕! 型：0 对 r + 一致成立5 q 州、 ( a 4 ) ，丝訾盟= 0 9 , 寸u e r + 一致成立，及l i r a h2(u,v)=o对t，10,u-+-koo m + 口 。 一致成立，其中n 0 是任意的 容易看出 ，矗l 是超线性的，五，如是次线性的 近年来，国内外许多作者对微分方程边值系统进行了研究，见1 1 7 】通常的研 究方法是使用锥拉伸与锥压缩不动点定理以及锥中的不动点指数理论我们知道，在 前面的方法中关键是选取一个适当的锥一般地，当非线性项在两个方程中有相同的 性质时，我们可直接在叉积空间c o ，l lxc o ，1 1 中构造个锥然而，在我们这种情 况下，直接在叉积空间中构造一个锥是困难的因为非线性项在一个方程中是超线性 的，在另个方程中是次线性的所以，我们霈要用新的方法构造个锥受文f 1 】的 启发，我们在空间c o ，1 l 中选取两个锥p ，q 做笛卡尔乘积pxq 构成一个新锥 1 2 预备知识 在这一节中，我们将构造一个锥，它是由两个锥傲笛卡尔乘积得到的在此锥 中，我们把问题( 1 1 1 ) 转化为算子的不动点问题另一方面为了证明定理1 3 1 ，我们 给出些预备知识 删怫勰删俐 触觚她邵 i l l | ，鬻嚣 + + ， ，删州州 卜卜卜卜邶即邶 高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性 为了叙述方便，给出一些记号记o o ，1 l 为l o ，1 】上连续函数按范数州l = 署罚1 t ( 。) i 构成的b 8 n a c h 空间记g + 【0 ，l 】= u e 【0 ，1 】：t ( 力o , t 【0 ，1 】 ， 则o + 1 0 ，1 】是c o ，1 】中的一个锥 考虑四阶周期边值线性问题 f “( 一p ”( t ) + a u ( t ) = 0 ，t 0 ，1 】， t o ( o ) = t p ) ( 1 ) ， = 0 ，1 ，2 ， 【( o ) 一( 1 ) = l 由【8 ，引理3 | ，问题有唯一解t 且, 4 0 0 ，t o ，1 1 令 m 2 m i n 产) ，m2 卸m a ，x ，】让( d 对给定的晟a ，最小值m 和最大值m 可计算出来记 g c 岛s ，= “, 4 。t 。- + s 。) 一, 。，：茎；三：主： 易见g ： 0 ，1 】 o ，1 】一( o ，十) 连续，且m a ( t ，s ) m t ，s o ，1 1 令盯；m m 在c o ，1 】中定义锥 p = t c o ，1 】：t ( t ) 口l l u l l ，t 【o ，1 1 再记 只= t p ：i i 1 l 0 对h o + i o ，1 】，由【8 ，引理1 】，线性边值问题 “( t ) 一免”( t ) + o u ( t ) = ( t ) ，t 【0 ，1 】， i ( o ) = t 8 ( 1 ) ，江0 ，1 ，2 ，3 有唯一解舐可表示为 ，1 让( t ) = g ( t ，3 ) 危( s ) 如，t 【o ，1 】 定义算子山，占b ：c + f o ，1 l e + 【0 ，1 1 ，a ，b ：c 件【o ，1 1xc 咔【0 ，1 】一0 + 【o ，1 】如 下： 山“( ) = g ( t ，s ) 矿( s ) d s ， b o v ( t ) = g ( t ，s ) 、顷而函， 2 第一章四阶周期边值系统正解的存在性 以( 牡，t ，) ( t ) = g ( t ，s ) ( ( 毛t ( s ) ) + 矗l ( u ( s ) ，口( s ) ) ) 幽， ，1 b ( t ，口) ( t ) = fg ( t ，8 ) ( n s ，t ，( s ) ) + 2 托( s ) ，口( s ) ) ) 幽， 7 b ( 牡，t ，) = ( a o ( “，口) ，b o ( u ，口) ) ，t ( u ，口) = ( a ( u ，口) ，b ( ，口) ) 容易看出系统( 1 l 1 ) 正解的存在性等价于t 在e + 【o 1 】xc 件 0 ，1 】中的非零不动点 引理1 2 1 蜀，t ：c 咔【o 1 i c 呻【0 1 l p p 是全连续算子 证任给( ，口) 伊【0 ，1 】xc ”【0 ，1 1 ，我们证明晶( ，口) ，t ( t ，) p p ，即 山( 口) ，a ，t ，) ，岛扣，t ，) ，口( 让，p 由g r e e 皿函数g 的性质可知 ，l a 0 ，”) ( t ) =g ( t ，s ) 阪0 ，u ( 5 ) ) + h i 0 ( s ) ，t ，( s ) ) 1 幽 ，1 mf 阮( s ，t ( s ) ) + h i ( 5 ) ，t i ( s ) ) 】幽 ，0 嚣z 1 g ( r , s ) 胁( s ，( s ) ) + h i ( 让( 咄”( 枷 一一a 扣，t ，) ( r ) ，t ，7 【0 ，1 j ， 所以a ( ，移) ( t ) i f a ( t ，v ) l l ，o 【0 ，1 】，即a ( t ，f ) p 同样地，有 山 ，”) ，玩( ”，b ( t ，t ，) p ；( 让，t ，) i ：“( 0 ，1 lxc 寸【0 ，1 】 因此蜀p + f o ，1 j e + 【o l j ) cp p ，t ( c + i o ，1 】x 伊【0 ，1 】) cp xp 显然而，噩： o 哗【0 ，1 lx c + 【o ，1 】一p x p 是全连续算子事实上，取c + 【0 ，1 1 c + i o ，1 】中的有界 集s ，我们由a x z e l a - 妇o l i 定理知道t ( 是相对紧集证毕 口 注1 2 1 特别，蜀，t ：px p - + p p 是全连续的 现在，我们回顾些有关不动点指数的概念和基本结论 设e 是b a n a 庙空间，p c e 是e 中的锥设n 是e 中的有界开集，0 a 是 n 的边界设a ：p n 甄_ p 是全连续算子如果a u “p n o f t ，则可以定义 不动点指数i ( a ，p n n ，p ) 如果 似，p n n ，p ) 0 ，则a 在p n q 中有不动点在下 面两个引理中，对任给的r 0 ，记只= t p ：舾 0 t 0 ，“0 p , ，则i ( a ，只，尸) = 0 ； ( i i ) 如果j i a u l i 0 ，i = 1 ，2 ，有让a l t ，a 只。，t ，也口，t ，a q r 2 ， 3 高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性 则 t ( a ，只，p 0 ) = ( a ，矗，p ) ，q ) ， 其中a ( u ，口) _ ( a l u ，a 2 v ) ，( “，口) p q 1 3主要结果及其证明 本节中，我们给出周期边值系统( 1 1 1 ) 正解的存在性定理，并使用不动点指数 理论给予证明 定理1 3 1 设五c ( 【o ，1 】xr + ，r + ) ，趣c ( r + r + ，r + ) ，且五，乜满足条件 ( a 1 ) 一( ) ，t = 1 ，2 ，则系统( 1 1 1 ) 至少有一个正解 证对任给的p ，由a 的定义和g r e e n 函数g 的性质，我们有 1 1 山钍( t ) m 舻( s ) d a m i n l 2 ，t 【0 ，1 】， j 0 所以i i a o u l i m i i 钍1 1 2 取r o = l m ，则对任给的r ( o ，t o ) ，有0 山训 r 0 若r 风，则l i a o “l i 8 u i l ，u a & 由弓l 理1 2 2 ，得到 i ，既，p ) = 0 ，r 凰 同样地，我们有 i i b o ”l l m 讥研，怖t ，憾m 诉研 取而= m 2 口= t n 4 m 2 ，届= 舻，则0 f o 0 口0 ，口a 辟，1 1 且j t ，0 凰 ( 1 3 4 ) 4 第一章四阶周期边值系统正解的存在性 由不动点指数的可加性，引理1 2 3 及( 1 3 1 ) ( 1 3 4 ) 式，我们有 i c t o ，( p n _ r ) ( 忍霹) ，p p ) = i ，斥只，p ) i ( b o ，如耳，户) = 降( 山，p n ，p ) 一 ( a ，只，p ) j f ( b o ，p 置，p ) 一 ( 岛，马，尸) 】 = - 1 最后，我们证明对充分小的n ，r 2 和充分大的最，扇，有 l ( 只。) ( 瓦) ，p p ) = i c f o ，( r ) x ( 瓦) ，p x p ) 为此，我们在p x p 上令 以 ( u ，钉) = ( 1 一a ) 4 0 口+ a a ( ，钉) ， b ( t ，t ，) ：= ( 1 一a ) 玩钉+ x b ( u ，口) ， 乃m ，t ，) = ( a a ( u ，t ，) ，8 i ( t ，口) ) 由引理1 2 1 和不动点指数的同伦不变性，我们仅需证明 ( t ，口) b ( u ，t ，) ，( “，t ，) a ( ( 户且l _ r ，) ( 忍。_ r 扎 下面分四步来证明 第步由假设( a 1 ) 和( a 3 ) ，存在( o ，a 2 ) 和o 0 ，7 i 0 ，使得 ( t ，t ) ( q + e 1 ) u ，t 【0 ，l 】，t r i i , 2 ( 口+ 1 ) ，廿丁 令e = ( 口+ 1 p 0 ，则易见 x ( t ，t ) ( a + e 1 ) u gt 【o ，1 1 ，u 0 ， 护( a + 9 1 ) t 一gu 0 ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) 如果存在a o f o ，1 】和( u o ，t ，0 ) p p ，使得( u o ，v 0 ) = 2 k ( 伽，伽) ，则( 1 3 7 ) 成立 结合( 1 3 7 ) 一( 1 3 9 ) ，我们可得到 t p ( 古) 一芦u ：( 亡) + a 伽( t ) ( 口+ 9 1 ) t 幻( t ) 一at ( 0 ，1 】 由这个不等式，有 a z l 蛳( 亡) 出 + s z ) 1 锄( t ) 斑一。 从而片询o ) 出印1 由p 的定义，有f 2 “o ( t ) a t 旷l l u o l l ，从而 孚如i i 0 1 1 ( 1 3 1 0 ) 综上所述，由( 1 3 1 0 ) 式知，如果存在a o 【0 ，1 1 和( u o ，) p p ，使得( t o ，v o ) = 2 k ( 撕，v o ) ，就有 i i t o f i ：t f ：= 詹1 ( 1 3 ，1 1 ) 0 1 u 取r t m a x 岛，扈1 k 则有( t ，t ，) 五( t ，t ，) ，口) a 马hxp a 【o ，l 】 第三步由假设( a 2 ) 和( a 4 ) 。存在s 2 0 和0 s 如 0 ，使得 五( t ，t ，) ( 口一2 e 3 ) v ，t 【o ，1 】，”仇 2 一，口) e j 田，t r + ，u 可， 、石( 盘一e s ) v ，t ，q 根据假设( ) 有，兰忆( t ，) = 0 对口【0 ，啊致成立，所以_ 1 2 在r ，【0 ，剜 上有界于是 a = 1 赠( 五( t ，u ) - i - _ 7 1 2 ( 缸，甜) - t - 、厅) ， t e l 0 q 艇r 十一酬一7 ” 是有限正数且容易看出 ，2 ( t ，t ，) + k ( 牡， ) ( a e s ) v 十a ，t 【o ，1 j ，t r + ，t ，0 ，( 1 3 1 4 ) 西 一3 扣- i - a ，口0 ( 1 3 1 5 ) 由( 1 3 1 4 ) 和( 1 3 z s ) ，类似于第二步中的证明，我们可以得到，若存在( u o ，v o ) pxp 【o ，l 】，使得( 撕，珊) = 2 抽( t o ，蜘) 成立，则 i i n o l i 暴一扈2 取而 啪x 扁，疡) ，则有 ( t ，u ) a ( 牡，口) ，a 【0 ，1 】，似，口) p f ，岛 根据第步到第四步的结论，易知 ( ”，口) 乃( u ，t ，) ，a 【o ，1 】，似，锄) a ( j 强p r 。) x ( j 锄p f 2 ) 】 由不动点指数的同伦不变性，我们有 i ( 矗) x ( ) ，p p ) = ( 蜀，( p r ，) ( ) ，p p ) = - 1 因此t 在( 最h - r 。) x ( 毋k 瓦) 中有不动点，从而系统( 1 1 1 ) 至少有个正解 证毕 口 7 第二章高阶周期边值问题解的多重性 2 1引言 在本章中，我们考虑以下高阶周期边值问题： jl 2 m u ( t ) = ，( t 0 ) ) ，t 【o ，1 】，。，1 、 1u ( 耐( o ) = ( i ( 1 ) ， 詹= 0 ，1 ，2 m 一1 ， 【l 1 j 其中上t ( 幻= ( 一1 ) “t ( 刎( ) + 寄( 一1 ) a k u ( 驰( t ) 是2 m 阶线性微分算子， o ( r ，r ) 由于这类问题在物理应用中的重大意义，国内外许多作者都对它进行了深 入的研究，见f 1 1 1 8 】就我们所知，大多数文章仅考虑正解及多解的存在性，很少 考虑变号解受文【1 7 】的启发，我们利用不动点指数理论和l e r a y - s c h a u d e r 度，得到 了问题( 2 1 1 ) 至少有六个不同的非零解，其中两个正解，两个负解和两个变号解进 步，若非线性项是奇函数，我们可得到至少八个非平凡解 令多项式p ( 茹) = ( 一1 ) ”2 2 m + 嚣( 一1 ) 。口i 我们假设p ( 2 n ，r i ) o ，n n = o ，1 ，2 ，其中t 为虚数单位 对非线性项，我仃丁作下列基本假设 ( b 1 ) f ( o ) = 0 ，( t 皿 o ，t o ； ( b 2 ) ，在0 点可导，铷= ，( 0 ) 0 ，且存在正整数n o ，使得 a 甜一1 凸b 0 ，使得 熙c o 半产- o ， u i 牡l 及存在正整数乱1 使得 入孙1 1 0 ，能推出t o ( u o ) ，则称 岛。在易。中是强拟正的( 强拟负的) 由阳，我们知道如果上铆在乃。中拟正，则 a o o ；如果三拥在j k 中拟负，则a o 0 ，t 【0 ，l 】令 2 t i r a u t l j i n r 2 m ( ) ，鸠m2 罂鼢( 。) ， 则有 仃b m 0 ，腻 2 ，。g 新。( t ，s ) m 2 ，i ，t ，s 【o ，1 1 设h c o ，1 】，由引理2 2 1 ，边值问题( 2 1 1 ) 对应的线性周期边值问题 端曼。蛊0 j 一2 m 。 江。国 it ( ( 0 ) = t 忙( 1 ) ，七= ，1 ， 一1 、“7 有唯一解并可表示为 “( t ) = g 加( t ，s ) 五( 8 ) 幽( 2 2 6 ) 显然，当h ( t ) 三1 时，1 n o 是边值问题( 2 2 5 ) 的一个解，故有 ，l fg 2 m ( 厶s ) d s = i 0 0 设，c ( 【o ，l 】x r ，r ) 我们定义映射kf a ：c o ，1 】一c o ，1 1 为 r 1 k u ( t ) = g 2 。( t ，s ) ( 8 ) d 8 ，t 1 0 ，1 】，v c o ，1 】， f u ( t ) = ，( u ( t ) ) ，t o 1 l 忱c o ，1 】， a = k f ， 我们知道锃是边值问题( 2 1 1 ) 的解当且仅当t 是积分方程 牡= z 1 ( t 8 ) ，( u ( 晰如，t m 】 的解，也就是算子方程 t = k f u = a u 的不动点由，的连续性，知a ：e e 是全连续的 ( 2 2 7 ) 注2 2 1 由文【：4 1 ，我们知道k 的所有特征值是1 k = ：p ( 2 n 7 r i ) ，n n ，且当 t i - o o 时，有l a 。_ 0 又 a 。= p ( 2 n ，r i ) = ( 2 n ，r ) 协+ a ( 2 n r r ) _ 十o 。，n _ 0 0 ， 兰三兰查堕堡塑望篁堡璧堡墼丝曼堡 因此， k 中只有有限项是负的，不妨设为z 项我们把 a 。) 重新编号并按从小到 大的顺序排列起来，有 a l a 一“1 a l a 0 a l r k - 。， 这里a 一， o ，t 【0 ，1 】 这表明k u p 因此k c e 讣) cp 又显然根据g h 的连续性知，k 是全连 续的 u 现在，我们回顾一些关于不动点指数的概念和基本事实 定义2 2 1 1 4 0 1 设x 是实b a n a d a 空间e 中一个收缩核，矿是x 的一个有界 相对开集设a ：可一x 全连缓且在u 相对于x 的边界o u 上没有不动点。则可 以定义不动点指数t 似，矾x ) t ( 以，t r , x ) = d e g ( t a 。r ，s ( o ，固n r 一1 ( 叨， 其中r ：e x 袭示一个保核收缩，即r 连续且当z x 时，r p ) ；。，r 取得充分 大，使得e 中开球占k 一缸e ：i 0 ，使得 i ( a ，p nb f ，p ) = o ，r ( o ，丁】 ( i i ) 若越( ) 具有大干1 的对应于正特征向量的特征值，则存在p 0 ，使得 i ( a ，p nb 且，p 】；0 ，r p 1 1 高阶微分方程周期边值阿蹈解的存在性与多重性 引理2 2 5 l 。, 1 0 】设d 是实b a n a , c h 空间e 中的开集，a ：d _ e 是全连续算 子设x 0 d 是a 的不动点，且a 在勋处刚c h e t 可微如果1 不是线性算子 a ( x o ) 的特征值，则x o 是全连续场j a 的孤立零点，且对充分小的r 0 ，有 d e g ( i a ，b ( x o ，r ) ，口) = ( 一1 ) ， 其中k 表示( 知) 的实的大于1 的全部特征值的代数重数之和， 引理2 2 6 1 9 , 1 0 1 设a 是定义在b a n a c b 空间e 上的全连续算子，且在o o 点处 f r e h e t 可微设1 不是渐近导算子x ( o o ) 的特征值，则对于充分大的p ，全连续场 j ，一a 在球z l 外非奇异且 d e g ( 1 一a ，髟，日) = ( 一1 ) 。 其中南表示x ( o o ) 的实的大于1 的全部特征值的代数重数之和 引理2 2 7 睁，1 0 1 设p 是实b a n a c h 空间e 中的一个体锥( 即p o 是非空的) ，q 是 p 中的相对开子集，a ：p p 是全连续算子如果a 在q 中的任何不动点都属于 p o ，则存在e 的开子集d ，使得o c q 且 d e g ( i 一4 ，d ，a ) = i ( a ，q ，p ) 引理2 2 8 假设条件( b 1 ) 成立如果t p p ) 是( 2 1 1 ) 的解，则t p o 证设仳p p ) 是a 的不动点，则注意到条件( b i ) ，我们有 乜( t ) = a u ( t ) 厂l = g k ( ，s ) ，( 牡( s ) ) 幽 ，1 m 加f ，( 让( s ) ) d 8 纛l g 一( l s ) m ( s ) 胁 。，r 【0 1 】， 即 t ( ” 0 ，t i o ，1 】 这表明t p o 口 注2 2 2 如果，满足条件( b 1 ) 和q - p p 是( 2 1 1 ) 的解，则同样可以证 明让一p 。 我们还容易证明 引理2 2 9 ( i ) f ：c t o ，1 】一c o ，1 】是连续有界算子； 第二章高阶周期边值问题解的多重性 ( 国算子a o k 和a ，k 的特征值序列分别为 锄v ( 2 n 州) ) 函和 q l 向( 2 n 7 r f ) 器o 且锄v ( 2 n j r i ) ，o ；1 p ( 2 n ? r i ) 的代数重数均为1 注意到注2 2 1 ，也就是说，咖k 和 口l k 的代数重数均为1 ，n = - l ，- l + 1 ，一l ，0 ，1 ，2 ，特别1 是k 的对应于a o 的正特征向量 引理2 2 1 0 假设条件( b 2 ) 和( b s ) 成立，则算子a 在0 和点处均f r d l e t 可微，且a ，( 日) = a o k 以及掣( o 。) = a x k ，这里4 的定义见( 2 2 7 ) 证对任给的g 0 ，由条件( b 2 ) 知，存在5 0 ，使得 i 华 0 ，使得 i ，( ) 一0 4 牡i r 令c 2 爵蒙i ，( 一a 让i ，则有 l ，( ) 一口1 u i s i 训+ 0 ，u r 因此，对任给的t c o ，l 】，有 ，l l ( 舢一a o a 1 k t ) ( t ) l g 2 。( t ，s ) i ，( 让0 ) ) 一o ，0 牡0 ) i d 。 高阶微分方程周期边值同题解的存在性与多重性 忙胁j l + c ) z 1 g n ( 毛s ) 出 卸让“+ 磊c ，t 【0 ，l 】， 于是 。知- a 8 - a l k u i l 到忡a o ， ( 2 2 1 0 ) 从而 t 1 妇u ，o o 睑铲= o 肛 这表明a 在o o 处f r c h e t 可微，且a ( o o ) = 口1 k 证毕 口 引理2 2 1 1 假设条件( b i ) 一( b s ) 成立，则算子a ( p ) c 尸，a ( - p ) c p ，a 滑p 和p 在0 和处均n g d l e t 可微，且趣( 8 ) = a o k 以及月0 ( o o ) ；a l k 证由条件( b 1 ) ，我们可得a ( p ) cp ，a ( - p ) c p 又显然有k ( p ) cp k ( - p ) c p 因此由引理2 2 8 知。结论成立证毕 口 引理2 2 1 2 假设条件( b 1 ) 一( b 3 ) 成立，则 ( i ) 存在r o ( 0 ，t ) ，使得 ( a ，p n 岛，p ) = 0 ，i ( a ，一p nb r ，- p ) = 0 ，r ( 0 ，r 0 1 ； ( i i ) 存在风 t ，使得 i ( a ，p n b a ，p ) = 0 ，i ( a ，- p n b r ，- p ) = 0 ，r 岛 其中t 由条件( b t ) 给出 证我们只需证结论( i ) ，结论( i i ) 可用相同的方法证得 由引理2 2 1 1 ，a 沿锥p 在0 处f r & t x e t 可微，且以( 9 ) = o * o k 由引理2 2 9 和 ( b 2 ) 知，越( 日) 有对应的特征值咖a o 1 的正特征向量1 ，且a 目= 良因此由引理 2 2 4 知。存在。r o 0 ，使得i ( a ，p nb r ，p ) = 0 ，r ( 0 ，而】 同理可证，存在n 0 ，使得 ，一pn 马，一p ) = o ，r ( 0 ，n 】设r o = r a i n t , 码，n ，则结论( i ) 成立证毕 口 2 3主要结果及其证明 根据不动点指数理论和l e r a y - s e h a u d e r 度，我们得到本章的主要结论 定理2 3 1 如果条件( b o ) 一( b 4 ) 成立，则边值问题( 2 t ，1 ) 至少有六个不同的非 零解，它们是两个正解，两个负解以及两个变号解 1 4 第二章高阶厨期边值问题解的多重性 定理2 32 如果条件( b o ) 一( b 4 ) 成立，且，是奇函数，即f ( - u ) = 一，“) ，让r ， 则边值同题( 2 1 1 ) 至少有八个不同的非零解，它们是两个正解，两个负解以及四个 变号解 定理2 3 1 的证明对任给的t c o ，1 圳t 1 0 = e 由条件( b 4 ) ，我们有 于是 f ，( ) ) i 口0 t 【0 ，1 】 胤 i = z 1 以刮m ，”( 奶i 凼 印t z l g 2 t ，( 岛s ) 幽 ：t 三；正t 【0 ，1 】ao 。 所以 胤i l t = | i ，n = z 由l e r a y - s c h a u d e r 度和不动点指数的性质，我们有 i ( a ，p n b , r ，p ) = l ， ( a - p n b , r ，- p ) = 1 ， d e g ( i a ，岛，8 ) = 1 由条件( b 2 ) 和引理2 2 9 知，算子a ，( p ) = a o k 的大于1 的特征值是 塑塑墅旦 a o a l b ”一a 一1 因此，由引理2 2 5 ，存在f l ( o ，r o ) ( r o 定义见引理2 2 1 2 ) ，使得 d e g u a ，研；，口) = ( 一1 ) = 1 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 由引理2 2 1 2 ，我们有 i ( a ，p n 易。，p ) = 0 ，( 2 3 5 ) i ( a ，一p n 晶，一p ) = 0 ( 2 3 6 ) 同理，由条件( b 3 ) ，引理2 2 6 和引理2 2 9 ，对r 1 氏( 兄。定义觅引理2 2 1 2 ) ，有 d e g ( i a ，b r 。，口) = 1 ( 2 3 7 ) 高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性 同样由引理2 2 1 2 ，我们有 i ( a ，p n b 且1 ，p ) ；0 ， i ( a ，一p n b 跫l ，- p ) = 0 因此，由( 2 3 1 ) ，( 2 3 8 ) 和( 2 3 5 ) 式，有 ( 2 3 - 8 ) ( 2 3 9 ) i ( a ，p n ( 召r l b r ) ，p ) = 0 1 = - 1 ， ( 2 3 1 0 ) i ( a ，p n ( 岛岛，) ，p ) = 1 0 = 1 ( 2 3 1 1 ) 因此，算子a 至少有两个不动点1 1 1 p n ( b n 。爵) 和t 2 尸n ( 王b 瓦) 显然， m ，坳是边值问题( 2 1 1 ) 的正解 同理，由( 2 3 2 ) ，( 2 3 9 ) 和( 2 3 6 ) ，有 i ( a ，一pn ( b a 。b t ) ，一p ) = 一1 ， ( 2 3 1 2 ) ( a - p n ( b r 耳。) ，一p ) = 1 ( 2 3 1 3 ) 因此，算子a 至少有两个不动点奶- p n ( 蜀碡莓0 ) 和枞一p n ( 点墨夏，) ，显 然，地，t 是边值问题( 2 1 1 ) 的负解 由引理2 , 2 7 ，2 2 8 和( 2 3 1 0 ) ( 2 。3 1 3 ) 知，存在c 0 ，1 】中的开子集d 1 ，d 2 ，0 3 和 d 4 ，使得 0 1cp i 1 ( 口r l 三 t ) ， 0 2 cp n ( 厮瓦) 0 3 c ( 一p ) n ( 毋- ，1 ) ， 0 4c ( 一p ) n ( k ，b r ) ， 和 d e g ( z a ，o x ，0 ) = 一1 ， ( 2 3 1 4 ) d e g u a ，0 2 ，0 ) = 1 ，( 2 3 1 5 ) d e g ( t a ，0 3 ，0 ) ；1 ，( 2 3 1 6 ) d e g ( 1 一a ，0 4 ，0 ) = 一1 ( 2 3 1 7 ) 从而，由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 3 1 5 ) 和( 2 3 1 6 ) ，有 d e g ( 一以，岛( 玩u 蕊u 耳。) ，0 ) = 1 1 1 1 = 一2 第二章高阶周期边值问题解的多重性 这表明a 至少有一个不动点他助( - 2 u o s u 面、) 同理，由( 2 3 3 ) ，( 2 3 7 ( 2 3 1 4 ) 和( 2 3 1 7 ) ，有 d e g ( l a ，b m ( 万l u 玩u b t ) ，0 ) = 1 + 1 + 1 1 = 2 ， 这表明a 至少有一个不动点t 6 b r , ( 0 1u _ 4u 吾r ) 显然，缸5 ，他是边值问题 ( 2 1 1 ) 的两个不同的变号解证毕 口 定理2 3 2 的证明根据定理2 3 1 的证明，边值问题( 2 1 1 ) 至少有六个不同的 非零解蛳e ，i = 1 2 6 ，满足 铆，耽p o ，t 3 ，u 4 一严， 蛳，蛳簪p u ( - p ) ，n i l 如0 t j j l 而 由，( 一t ) = 一，0 ) ，让r ，我们知一奶，一t 1 6 也是边值问题的解记铆= 一t 5 ，撕= 一伽，显然q ， = 1 ，2 ，8 ，是边值问题( 2 1 1 ) 的不同的非零解证毕 口 由定理2 3 i 和定理2 3 2 ，容易得到以下推论 推论2 3 1 如果条件( b 1 ) ，( b 2 ) 和( b 4 ) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个不 同的非零解，其中一个是正解，个是负解，个是变号解此外，如果，是奇函数， 即i ( - = 一，( u ) ，u r ，则边值问题( 2 1 1 ) 至少有四个不同的非零解 推论2 3 2 如果条件( b 1 ) ，( b 3 ) 和( b 4 ) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 至少有三个不 同的非零解，其中个是正解，个是负解，个是变号解此外，如果，是奇函数， 则边值问题( 2 1 1 ) 至少有四个不同的非零解 1 7 高阶微分方程周期边值问题解的存在性与多重性 结束语 本文讨论了高阶微分方程周期边值问题解的存在性和多重性 在第一章中，我们使用锥中的不动点指数理论研究了以下四阶周期边值系统 i 缸( 4 ) ( 0 一p ( t ) + a u ( t ) = f l c t ，1 ( t ) ) + _ ；1 ( t ( t ) ，t ，( t ) ) ，t 【0 ，1 1 ， j ( 4 ) ( t ) 一卢( t ) + e v ( t ) = ，2 ( t ，口( t ) ) + ( 钍( t ) ，t ，( t ) ) ，t 【0 1 】， lu “( o ) = t ( ) ( 1 ) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ， i 口8 ) ( o ) = t ，( ( 1 ) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ， 建立了正解的存在性定理，得到了较满意的结果 在第二章中，我们使用不动点指数理论和l e r a y - s c h a u d e r 度对以下高阶周期边 值问题 j 二拥铭( t ) = ，( u ( ) ，t 【0 ，1 】， iu c k ) ( o ) = 钍恤( 1 ) ，七= 0 ，1 ，2 m 一1 的解进行了研究，得到了解的多重