（计算数学专业论文）一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造.pdf

摘要 无界且带有不平坦界面的声波导经坐标变换和完美匹配层截断，波的传播计算问题 近似转化为在有界且带有平坦界面的声波导中数值求解改进h e l m h o l t z 方程，由于此改进 的复偏微分方程相关的特征函数一般不具有正交性，故数值步进求解复方程时存在着不 同局部基转换时系数计算的困难。本文一方面推导出此复偏微分方程相关的共轭特征函 数所满足的方程，并论证方程的特征函数与共轭特征函数正交之性质；另一面，给出局 部基下坐标计算的解析公式，它可使步进计算保持高效率。数值模拟结果表明所提方法 切实可行、有效。 关键词：h e l m h o l t z 方程；完美匹配层；弯曲界面；坐标变换；共轭特征函数 a b s t r a c t t h eu n b o u n d e da c o u s t i c a lw a v e g u i d ew i t ht h ec u r v e di n t e r f a c ei sc h a n g e db y t h ec o o r d i n a t et r a n s f o r ma n dt e r m i n a t e db yt h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r a n dt h e c o m p u t a t i o np r o b l e mi sa p p r o x i m a t e l yt u r n e dt ot h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h e i m p r o v e dh e l m h o l t ze q u a t i o no nt h eb o u n d e dw a v e g u i d ew i t haf l a t t e di n t e r f a c e s i n c et h e r ei sn oo r t h o g o n a lp r o p e r t yo ft h ee i g e n f u n c t i o n sf o rt h ei m p r o v e da n d c o m p l e xh e l m h o l t ze q u a t i o n ( i c h e ) ，i ti sv e r yd i f f i c u l tt oc o m p u t et h ec o o r d i n a t e s u n d e rt h el o c a lb a s e sw h e nt h ee q u a t i o ni ss o l v e db ys o m eh u m e r i c a lm a r c h i n g m e t h o d s i nt h i sp a p e r 。t h ee q u a t i o no ft h ea d j o i n te i g e n f u n c t i o n sf o ri c h ei s d e d u c e d ，a n dit isp r o v e nt h a tt h e r eist h eo r t h o g o n a lp r o p e r t yb e t w e e nt h e e i g e n f u n c t i o n sa n d t h ea d j o i n tf u n c t i o n s o nt h eo t h e rh a n d ， as i m p l ea n d c o n v e n i e n tf o r m u l ai sg i v e nt oc a l c u l a t et h ec o o r d i n a t e su n d e rt h el o c a lb a s e s t h i sm a ye n s u r et h eh i g h e re f f i c i e n c yb yu s eo ft h em a r c h i n gm e t h o d s s i m u l a t i o n n u m e r i c a lr e s u l t ss h o w t h a tt h et r e a t m e n ti sm o r ef e a s i b l ea n de f f i c i e n t k e y w o r d s ：h e l m h o l t ze q u a t i o n ：p e r f e c t l y m a t c h e dl a y e r ：c u r v e di n t e r f a c e ； c o o r d i n a t et r a n s f o r m ：a d j o i n te i g e n f u n c t i o n 第一章引言 1 1理论背景 第一章引言 声学、电磁学、地震学等领域的科学实践长期以来一直致力于从观测层面向 认知与预报层面的转化。传统上的直接观测受到很多的限制，计算机的发展，给 计算机仿真带来了可能，许多科学工作者逐渐注意到了物理方法与计算之间的联 系，并且发现以计算的结果来认识这个世界是很有用的。 以海洋声学的研究为例，因为只有声波才能在水中进行较长距离的传播，从 而进行水下测距、定位、通信和遥感等操作，所以海洋声学的研究在计划海上试 验、设计最优声纳系统、预测海上声纳性能等各类探索开发海洋的过程中起着重 要的作用。 海洋声学把海洋作为一种声介质来加以研究，其中的传播模型作为基本声学 模型构成了各类模型的基础，声波传播的理论基础是波动方程，对于大多数的应 用，波源是单一频率的时间调和，波动方程通常经富氏变换化为与时间无关的波 动方程，即h e l m h o l t z 方程 u 崩+ “。+ 七2 ( x ，z ) u = 0 ，0 z 佃 ，x 0 其中，z 方向是垂直向下方向，海平面为z = 0 ；x 是表示水平方向距离的变量；k 并不是常数，而是与水平距离x 和深度z 等有关。 我们首先需要解决的是内界面弯曲的问题，如果我们采用一般的阶梯折线 法，当划分并不是很小时，会产生比较大的误差，而划分的加密又会导致大运算 量。因此，需要一种更为有效的方法。本文使用了局部正交变换1 2 】，将原有的弯 曲界面转化为平坦的界面，并且引入方程变换u = 形v ，使化简后的二阶偏微分 方程不含关于戈的一阶偏导数，h e l m h o l t z 方程转化为以下的形式： 比+ a ( 盒三) 屹+ ( 毫三) 吒+ ) ，( 毫三) 矿= 0 。 另一方面，声波传播在z 方向上具有无限深度，当求解区域无界时，通常的 数值方法极难处理。以往的方法是简单地设立假边界条件将无界的求解区域转化 为有界的。但是简单的截断，因为没有考虑吸收、反射等问题，与实际情况误差 较大。 曾有人构造了精确的边界条件，将无界区域问题化为有界区域问题，但此条 件涉及到广义积分，导致数值计算上的困难。值得庆幸的是，1 9 9 4 年b e r e n g e r 【6 】 在物理应用中首次引进了完美匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，简称p m l ) ，将 无界求解区域截断，近似转换为一个有界区域，使反射波减弱。完美匹配层( 这 在数学上相当于作了一个复伸展坐标变换芽= 三+ ir z c r ( t ) d t1 1 8 1 ) 相比于简单地设 2 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 立假边界条件有了很大的改进。本文的研究也采用了p m l 作为吸收条件，由于 p m l 的引入，使得+ 仅( 毫三) + ( 毫皇) + y ( 毫三) y = o 转化为： + 篇丢c 南篇弘耻。 其次，有界区域上求解h e l m h o l t z 方程有很多方法，如有限元和有限差分法【1 2 j 等，但以海洋中的声波导为例，在波传播方向上求解区域的长度，即水平距离， 显然要比波长大得多，而且波场的内部振荡也很大，利用有限元或有限差分法来 处理，产生的线性系统的阶数非常大，导致相当大的存贮空间，计算的代价非常 高昂，而且系统常常是不定的，使得求解非常困难。步进算法则是目前海洋声波 导计算的一种较有效计算方法，本文的研究基础就是步进算法。 遗憾的是，随着完美匹配层的引入，步进算法中局部基下的坐标转换快速计 算需要的特征函数系的加权正交性兵三击纯( 曼，三) 伊( 量，三) 出= o ( 后j ) 被破坏。 这是因为原有的实偏微分方程加入p m l 后转换为了一个复偏微分方程。而复偏 微分方程的相关的特征函数系一般不具有正交性，这导致步进算法中局部基下的 坐标转换计算需要较大的计算工作量，且不能保证数值计算稳定，严重影响了步 进算法的实现效率。 针对上述困难，文章 3 0 】提出了构造共轭特征函数系，使之与原复偏微分方 程的特征函数系正交，从而实现了复偏微分方程的不同局部基下的坐标转换的快 速计算，保持了步进算法的高效率。但此项工作只是对界面条件为平坦的声波导 问题进行了研究。 实际上，非平坦的界面显然更吻合实际情况，本文就弯曲界面进行了研究。 我们试图寻找函数系 y ，( 曼，三) 能够满足 芰高们国啄( 址) 如o ( 缛m 这样，若有 y ( 曼，三) 勺( 曼) 纺( 量，三) ，则可以很容易得到解析计算公式 qc甸一。_l乙朋，从而实现了不同局部基下的坐 蔓= 兰! ! 童 3 一一一一 的 ( 圣，三) ) ，并从理论上证明了前面所提正交性的成立，然后利用m a t l a b 软件 对此正交性进行了数值验证，数值模拟结果表明所提方法切实可行、有效。 1 2 基本方程 我们从如下弯曲界面的h e l m h o l t z 方程出发： 0 z 厅( x )( 1 ) 其中，z 方向是垂直向下方向，海平面为z = 0 ；x 是表示水平方向距离的变量。七 代表波数，为方便起见，我们假设当0 z j l z ( z ) 时，波数为常数向，当乃( z ) z 时， 波数为常数七：。 考虑到海洋中介质一般是层状分布以及层状分布的界面一般是非平坦的，我 们假设，当0 z j 1 2 ( x ) 时，介质密度为一，当办( x ) z 时，介质密度为p ，内界 面z = 办( x ) 的连接条件为： ：珊) “( 五z l = ：州l i r a 圹u ( x , z ) l i m 垒：l i m 丝 2 ) h 6 ( x ) p io n ：一 ( j ) + p 2o n 其中，1 7 是内界面z = 办( x ) 的法向量。 ，o 0 = o i i 甜 j j 甜2： 目 ：丘 铀蟛 - o z ， ： m = 斗 h k h 甜 甜 4 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 第二章局部正交坐标变换 在本文中我们需要解决的是一个弯曲的界面。对于这种弯曲的界面有很多种处理 方式，比较常用的一类是用折线来近似代替原先的弯曲界面，这种近似方法比较容易 实现，但折线的不连续性会带来一定的误差，特别是在类似于我们研究的海洋声学这 类问题中，水平距离相当大，误差会累积增大，使此类近似方法有悖于实际情况。另 一类方法是通过坐标变换，将带有弯曲界面的区域通过，变换变换变成平坦的区域。 这类变换一般分为全局变换、局部变换( 非正交) 和局部正交变换三种。全局变换是 用一种共变映像进行变换，当波导范围非常大时，计算量也非常大，并不适用于我们 所研究的问题。局部的非正交变换虽然计算量相对较小，但变换后，界面条件具有横 向和传播方向的偏导的组合，求解显然有一定的难度。所以本文采用了局部正交变换， 不仅保持了原方程的简单形式，界面条件也相对比较容易，同时新旧坐标之间还可以 通过牛顿迭代来转换，可操作性较强。下面我们针对本文提出的弯曲界面的h e l m h o l t z 方程进行了局部正交坐标变换 1 , 2 , 1 7 】。 在第一层即0 z 乃( z ) 中，取局部正交变换： f 曼= f ( x ，z ) ，f ( x ，0 ) = x 卜舭) 2 志o 由于我们采用的是正交变换，所以需要满足 望望+ 塑重：0 舐瑟舐瑟 其中g ( x ，0 ) = 0 ，g ( x ，办 ) ) = 1 我们可以得到： f 罴圭( 狮) ) 2 = o 。 ( 3 ) 通过( 3 ) 式，对于给定的新坐标( 曼，三) ，可以利用牛顿迭代来求解x ，并得到 z = 锄( x ) ，从而求得对应的旧坐标( x ，z ) ；反之，对于给定的旧坐标( x ，z ) ，也可以通 过( 3 ) 式求得对应的新坐标( 凳，三) 。同时，为了使变换之后的方程具有比较简单的形 式，我们令“( x ，z ) = 彤( x ，z ) 1 ，( x ，z ) ，并取阿f l ( x , z ) = 端，再令矿( 毛三) = 1 ，( 毛z ) ， 从而第一层可以变换为： 第一章引言 + 伉l ( 毫三) + l ( 毫三) 圪+ ) ，l ( 竞三) y = 0 其中，屈，“见附录。 同理，在第二层即h ( x ) z d ( d 为截断距离) 中， 取局部正交变换： 满足： ( 挪) lo x 三，办( x ) z d ) 山k ，三) io j l ，1 三 d j ， 望望+ 堡堡：o ， 苏如苏钯 其中季o ，办( x ) ) = 1 ，g ( x ，d ) = 西。 ： 我们可以取 触) = 莉i - d 孑+ 篙掣， 得到积分式： 其中定义x 满足： f 。等扣_ d ) 2 撕) - d ) 2 】- o ， ( 4 ) f 黑h 出+ 吾( 狮) ) 2 _ o o ( 5 ) j 奎 ( f ) 2 、 、“ 对于给定的新坐郦国，显然吲三一篙等，通过( 5 ) 式可求 解x 。，再通过( 4 ) 式牛顿迭代可求解x ，从而求得对应的旧坐标( x ，z ) ；反之，对于 给定的旧坐标( x ，z ) ，也可以通过( 4 ) 式求得x ，再通过( 5 ) 式求得圣，得到对应 的新坐标( 曼，三) 。同时，我们令甜( x ，z ) = ( z ，z ) v ( x ，z ) ， 并取 ( x ，z ) = 为： 庇( 量) d h ( x )办( x ) 丽1 i 丁面丽 再令y ( 舅，2 ) = v ( x ，z ) ，从而第二层可以变换 + ( 2 2 ( 毫三) 比+ 2 ( 毫三) 圪+ ) ，2 ( 毫三) 矿= 0 ， 力力氘酏 = = x z ，f1l 6 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 其中口2 ，履，y 2 见附录。 通过上述局部正交变换后( 1 ) 式转化为 界面连接条件转化为： l i m 形v = l i m 职v ， i _ l - 。 i _ l + 7 0 三 1 1 三 d ，( 6 ) 卿去彤渺一2 等卜警圪) 。) 落去渺+ 2 器肛而d - 1 ” 2 】圪) 艇 肼尻 孵巩驴 崩一石阳 疋又q 呛 第三章完美匹配层p m l 的引入7 第三章完美匹配层p i l l 的引入 前面提到的局部正交变换，在第二层的处理过程中就z 方向直接进行了简单的截 断，这个截断当距离很小时，误差会比较大，但当截断距离很大时，虽然可以较好的 模拟实际问题，但计算量和存储量明显的增大了。所以，我们需要增加一定的条件才 能用有界的区域来模拟无界的区域。常用的方法是设置吸收边界条件，吸收边界条件 也经历了一系列的发展，初期的吸收边界条件一般具有较大的反射系数。 1 9 9 4 年，j e a n p i e r r eb e r e n g e r 首次提出了完美匹配层p m l 6 1 ，使得吸收边界的 反射系数大大减小。在1 9 9 5 年，b c h e n 和d g f a n g 对p m l 进行了改进，使得在边 界的反射系数更小。1 9 9 7 年f r a n c i sc o t t l i e b 将p m l 转化为了数学方程【1 2 】。同年，s a u l a b a n b a n e l 和d a v i dg o t t l i e b 对p m l 作了数学上的分析【1 3 】。1 9 9 8 年，m l a s s a s a n d e s o m e r s a l o 对p m l 方程的存在性和收敛性进行了讨论分析【1 5 】。2 0 0 3 年 s z a b o l c s g a a l 1 1 j 等人用理论证明了这一理论得有效性。 因此，本文选用了完美匹配层作为吸收边界。 引入p m l 层，可以近似的看成是变量通过衰减系数仃( 三) 从实坐标系到复坐标系 的变换【1 8 】： 三= 三+ i 口( o d f 其中，当0 f 疗时，盯( f ) = 0 ，n o - ( 疗) = 0 ，这里的1 疗 d 。 式( 6 ) 、( 7 ) 经过上述复坐标变换可得： l 焱+ 口l 【五z ) 嚣+ l 【五z ) ；+ ) ，l 五z ) v2u ，0zl， i + 口2 ( 毫三) + 2 ( 盒三) + ) ，2 ( 叠三) y = 0 ， 1 会 h ， 卜篇鲁c 志篇釉锎- o ，凰叙西， 批。= o 西2 o , 州l i m w l v ( 础) - 川l i m ，w 2 v ( 耶) ， ( 8 ) 喀彬渺一2 等肛警q ， 旧去肛+ 2 跺肛丽d - 1 【1 + ) 2 】) o 需要说明，由于p m l 的引入，实偏微分方程转化为了复偏微分方程，v 的求解 反域怕蛮成了每区域。 8 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 第四章特征问题 设如詈丢b 警m f l 瓦d c p + 卿，其中三是算子。 由于在步进离散计算中需要求l 的特征问题，故在主传播方向上任意给定步序 后，即给定了舅，此时曼可看作为一个常数。 q + 屈仍+ ) l c p = 却， 我们就的特征问题进行考察： 0 三 1 住+ 反仍+ 托妒= 砌， 志鲁(志羚而f12西dq1 1 i o - ( 三1i c r ( 三唧却，+ i 仃( 三) 越、+) 越7 + ) 越 1 姚a = 墨泛毫p = 溉泛意【口2 ， l z d ， 【仍， l z d ， 1 1 ，0 三 h ， 1 1 + i 仃( 三) ，h 2 d o 其两端边界条件为缈( o ) = 0 ，f o ( b ) = 0 。 第一层与第二层的交界( 三= 1 ) 处的界面条件转化为： 彤f o ( 1 一o ) = c p ( 1 + 0 ) ， l i m l w 。 1 p 瓢h 等护警唑) = 1 i m _ l _ l 形 1 p 缸m 端妒丽d - 1 叶) 2 】仍) o 三：i - ) 处的界面条件为： f r p ( h o ) = 伊( h + o ) ， 协l i m 出= 姆老。 其中，为了后续计算的方便，第一层与第二层的边界连接条件： ( 9 ) 0 三 1 ， 1 三 d ， 日 d n 如 ，l z z = v | y 1 日 第四章特征问题9 髀去形渺一2 等炉警叫 可化简为： 砌去渺+ 2 跺 d d _ _ - 、i 万叶) 2 】纯) ， 百1 丽1 防矿2 等m ，一警纵) ) ( 1 0 ) 1 0 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 第五章共轭算子的构造 步进算法是目前海洋声波导计算的一种较有效计算方法，步进算法需要进行局部 基转换，转换过程中需要利用相关的特征函数系的加权正交性，即 f 石茜纯( 毫2 ) 纺( 毫三) 越= 。 力，我们知道y ( 毫习芸勺( 甸纺( 袁句，那么可以推 出 ( 协礁城瑶吖抄彬国州钳皿。 如果 仍( 舅，三) ) 具有加权正交性，则可得 瑶咏珍彬国州址烨= 序胎m ( 协娟国出， 即 c f ( 咖磐竺。 高啪- ) 似宅渺 显然，利用此方法转换系数c ，( 圣) 可以得到快速的求解。实的h e l m h o l t z 方程具备 了这种正交性。 但遗憾的是，随着完美匹配层的引入，步进算法中局部基下的坐标转换快速计算 需要的特征函数系的加权正交性被破坏。这是因为原有的实偏微分方程加入p m l 后 转换为了一个复偏微分方程。而复偏微分方程的相关的特征函数系一般不具有正交 性，这导致步进算法中局部基下的坐标转换计算需要较大的计算工作量，且不能保证 数值计算稳定，严重影响了步进算法的实现效率。 针对上述困难，文章 3 0 1 提出了构造共轭特征函数系，使之与原复偏微分方程特 征函数系正交，从而实现了复偏微分方程的不同局部基下的坐标转换的快速计算，保 持了步进算法的高效率。但此项工作只是对界面条件为平坦的声波导问题进行了研 究。 实际上，非平坦的界面显然更吻合实际情况，在这里，我们就弯曲界面的声波导 的特征函数算子三进行专门的研究。希望寻找函数系 ，( 量，三) 能够满足 高纵锚) 呖( 钳) 如唧硼。 这样，若有 y ( 舅，三) 巳( 曼) 纺( 宅三) ，则可以很容易得到解析计算公式 = 1 蔓至童茎塑竺王塑塑垄 ! ! 一 c，c旬一。=l乙棚卜从而实现不同局部基下的坐标转换 的快速计算，使步进算法仍然能够保持高效率。本文通过共轭算子的构造来实现。 5 1上的共扼算子m 的推导 鳄吉耻础 = j 。5 7 l _ f f a 五dr b l 面d c , o j + 譬等+ 卿卜 ：j i - 。1 芦1 _ 1 f - 口丑di - j ：面 - j i + 曼s 鲤d 多 j 出+ j j b l 芦x _ f l _ = 丑d j i 面 l j + 旦s 鸳d z j 越+ 露吉劝础 ：蜘詈未b 钟+ 百1 妒1 譬挚+ 砝剖7 - 五 7 面缈1 j 越+ 去孵挚 + 瑶扣胆 ：蜘竺s 扯l s 蚓c m j + 挪附p 三p 2 矽詈啦卦去片铷+ 露腑 ：百1 _ a1 面d 妒l l 。1 一百1 j o _ e l1 面d q p y , f _ 了a l j + 去斜一耠蜘 + 苫黜一) ld 吣 d 1 i 矽爿+ 去钟一去片伊d 协启扣腑 ：去础圳邮镌c t 卅一去则川删、1 螂1 - 1 1 d 出霎d _ 爿 + 1 p 。f l ( 1 - 0 ) 矿( 1 - 0 ) c , o ( 1 - o ) - i _ _ 。f l c 。，矿c 。，伊c 。，一去j 三p d c 譬矿， 1 j p 堂迪地一i 刚+ o ) 邮媲( 1 + 0 ) _ 出，d b 矿纠 xs ( d ) s ( b ) p 1 2 。d l j 1d 眦a p l 2 。j + 去和衲加，一扣硫m ，一斯州争饼歹肼 由假设的初始条件歹( o ) = 0 ，歹( 西) = o 化简上式可得： 1 2一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 去酣_ o ) 邮- o ) 姒l 圳- _ i 饥f l l d 毖缈d 矿爿+ 去阳_ 0 ) 刚_ o ) 们- 0 ) 一去缈d 呼刃一去矿c + 。皿c t + 。慨c + 。，一片昙老d 去矿爿 一去阳+ o 妒( 1 + 。m 1 + 。) 一上p 2 d 1 伊d ( 譬- ) + f 0 三p 矿删p 2 s = 土矿( 1 一o ) a ( 1 一o ) 伊j ( 1 一o ) + 一lf l ( 1 一o ) 矿( 1 一o ) 缈( 1 一o ) 一j 【_ 矿( 1 + o ) 口( 1 + o ) f o j ( 1 + o ) 户lp i p 2 一去p 胛+ 。，矿c ，+ 。m + 。，一去昙c 矿争伊l 三+ 去l 伊d 阻l sc 矿争7 一去e 伊c 笪s 娃2p ij s l up l 。u j jp i 。u 一去昙c 矿伊片+ 去j d 妒d bc 矿 一去d 缈越+ 片古矿伽 = 去矿( 1 一。) 叩一。) 仍( 1 _ 。) + 去肌- 0 ) 矿( 1 _ 。) 加- o ) 一去歹( 1 + 。) 邮+ 0 ) 伊撕+ o )p lp l 尸2 一去胛+ 。) 邪+ 。m + 。) 一去喜( 矿争却一去伊( 譬引出一土p 2f 。1 1 s ( 歹里s ) ，d 伊 一瓦1j d l 缈( 乡越+ 饼矿舢 由妒b = o ，( p t = f i = o ，s b = 1 可知： 去_ ( 1 _ 0 ) 邮州纵l - o ) + 去肌_ o ) _ ( 1 - o ) 加_ 0 ) p 2 - ( 1 + o ) 郇+ 0 m + o )p lp 1 一l ( 1 + o ) 矿( 1 + o ) 缈( 1 + o ) 一上( 矽破) 2 ( 1 一o ) 缈( 1 一o ) + j l ( 矿口) ；( 1 + o ) 缈( 1 + o ) p 2 尸lp 2 + 瓢犯c 矿纠弘瓢妒c 匆以+ 岛矿舢 = 去p _ ( 1 - 0 ) 邮- 0 ) 纵l - o ) + 上p l 胛_ 0 ) - ( 1 圳鲫_ o ) p 2 _ ( 1 + 0 ) 邮+ 0 ) 纵l + 0 ) l 一去肌+ 。顾1 + 。m 1 + 。) 一去( 泓从l 一咖( 1 一。) + 去( 洳从1 + 咖( 1 + 。) + - j c 矿詈， 一c 譬矿，7 + 矿y ) 妒出 令矿( 1 0 ) = 矿( 1 + o ) ， 去p 邪- 0 ) 邮_ 0 ) 姒1 - o ) + 去加_ 0 ) _ ( 1 - o ) 们- o ) p 2 邪+ o ) 州+ 0 ) 纵l + 。)i 。 尸 一去胛+ o ) 邪+ o ) 们+ 0 ) 一l p 。 - a ) 羽_ o ) 鲫_ 0 ) + 去( 羽+ o m l + 咿。， 第五章共轭算子的构造1 3 记 则有 面= 巴c 矿纠一和+ 形 ：要( 三要( 竺矿) ) 一要( 曼矿) + ) ，矿， 。面j 石了沙) ) 一石( 詈杪) + ) ，歹， e 妒三缈越= 砖砺伽。 可知，沙是缈的共轭特征函数，且y 可取满足下述方程的函数： 未( 丢( 口。矿) ) 一鲁( 层- ) + ) ，矿= 五矿， 鲁( 昙鲁( 争矿) ) 一未( 争_ ) + ，：矿= 允歹， 矿( 1 一o ) = 矿( 1 + 0 ) ，矿( o ) = 矿( 上) ) = 0 ， o 三 l 1 三 d 上矿( 1 一o ) 口( 1 一o ) 缈2 ( 1 一o ) + 一ip ( 1 一o ) 矿( 1 一o ) 伊( 1 一o ) 一二l 矿( 1 + o ) 口( 1 + o ) 伊 ( 1 + o ) p l p lp 2 一1 ( 1 + o ) 歹( 1 + o ) 缈( 1 + o ) 一上( 妒切) 2 ( 1 一o ) 伊( 1 一o ) + 上( 矿口) j ( 1 + o ) 缈( 1 + o ) ：o 。 p 2p lp 2 式( 1 1 ) 等价于 鲁( 鲁( 劝一鲁( 届刃+ ) ，。歹= 五瓦 击( 暑( a ：歹) ) 一鲁( 殷- ) + y ：矿= 兄瓦 未( 昙( 等矿) ) 一鲁( 譬刃+ y ：矿= 兄瓦 矿( 1 一o ) = 矿( 1 + o ) ，矿( 0 ) = 矿( d ) = 0 ， o 三 1 1 三 1 三 d ( 1 1 ) j 【- 矿( 1 一o ) 口( 1 一o ) 缈( 1 一o ) + 一lf l ( 1 一o ) 矿( 1 一o ) 伊( 1 一o ) 一j 【_ 矿( 1 + o ) 口( 1 + o ) 妒；( 1 + o ) p l p lp 2 一1 卢( 1 + o ) 矿( 1 + o ) 伊( 1 + o ) 一土( 妒矗) ( 1 一o ) 伊( 1 一o ) + 上( 矿口) ；( 1 + o ) 伊( 1 + o ) ：0 。 p 2p lp 2 ( 1 2 ) 5 2 特征函数伊与共扼特征函数少的正交性 设l q , j = 乃纺，m = 互即砑瓦= 丑只，其中乃丑( f ) ；则与纺关 于权吉正交，艮口毋纺出- 0 0 这是因为： 砖，呒，三纺出= 砖骨乃出= 乃。e 纺出， 砝，而，纺出= 砖矗万越= 丑砖瓦纺出， 又因为仁伊缈出= 砖面妒越，有乃，砖毋纺如 。听仍出， 即当以以( f ) 时， ；0 1 ，玩。驴越= 。 由正交性，局部基下坐标转换的系数计算，避免了复杂大矩阵的计算，从而提高 了运算速度，保证了步进计算的进行。 第六章正交性数值验证 1 5 第六章正交性数值验证 6 1算子差分的准备工作界面附近的离散 一、舁- f - l 仕乔回啊也嗣呙散 我们把方程( 4 ) 在三方向进行离散，其中区间0 三 1 进行n 。阶划分，区间 l 三 疗进行行：阶划分，区间疗 三 = 去畈渺+ 2 燃，华一品叶矽翔竽) 1 6一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 由( 1 3 ) 、( 1 4 ) 联立可得： -舭-1l h ( x ) - 2 h 郴 ( x ) ， 2 媚华一去警华 势缸m 跺，华一去丽d - 1 叶趴枷1 一 铮百1i 1 矽一2 等脚：+ 百1 百1 哕一2 等脚唧 一去生簧窘竖去盛+ 去生鼍箸竖去 = 去拟卅2 龆呱+ 去拟卅2 器h r 2 一去古笔苦【+ 纵x ) ) 2 】丢+ - + 去古三茜【t + 伽b ) ) 2 】堕h 2 缈： + 万1 两d - i 【1 + 2 】b 挣k h 等脚：一百1 彤笋私一去拟卅2 跺脚： 一去南【l + 2 】堕h 2 小一去拟矿2 等】。 一去笋扣+ 去拟卅2 糕m + 万1 两d - 1 【1 + 翻k ) 2 】罢一去暖晶【1 + 伽u ) 2 】云+ - 设： 铲挣弘一等，一百1 崔竽击一挣k m 器， 一万1 而d - i 【1 + 吣) 2 】去， c r 挣k h 等，一去警去+ 挣k m 燃， + j l ：。d 叫- 1 护 + 2 】吉， b 。= 一瓦1 而d - 丽1 【1 + 帆) 2 1 2 力：。 则元。= 暑+ 石b , 瓦g 纸 第六章正交性数值验证 1 7 小罢( 小= 鲁( 知叠a , 职w i q o - + - 弧h 一 = 一- 石c i + 1 ) + ( 鲁_ 1 ) t 。 同理可得三在三：疗处的离散结果： 。 2 吃吃一h 2 ( 矽n i + n 2 + 12 而：地一声葛地 。 2 办2h 2 一h 3 伊n i + n 2 2 而，地+ l 一声焉也。 二、算子m 在界面附近的离散 由( 1 2 ) 可知，m 在三= l 处的界面条件为： 矿( 1 一o ) = 矿( 1 + o ) ， 三矿( 1 一o ) 仅( 1 一o ) 妒 ( 1 一o ) + 1 , 8 ( 1 一o ) 矿( 1 一o ) 呼0 0 一o ) 一1 痧- ( 1 + o ) 仅( 1 + o ) 伊；( 1 + o ) l l p lp 2 ll f l ( 1 + o ) 矿( 1 + o ) 缈( 1 + o ) 一土( 歹矗) ( 1 一o ) 妒( 1 一o ) + j 【_ ( 矿口) j ( 1 + o ) 汐( 1 + o ) ：o 。 l p 2p l p 2 为了简便起见，我们记矿( 三，) 为形，口( 毛) 为口，。 设厩是死。在三= 1 处的延拓，民+ ，是呒i + l 在三= l 处的延拓，根据中心差分法可 得： 一+ 月i缈n l + i + y n t + l = 一 22 一一一一 沙n + 12 妒川+ 川一仇+ i ， ! - 叩卅螂删+ 去f l ( 1 - o ) c p ( 1 - 0 ) - 一矿1c 删纵删一去胛删加删 堕型擎! 矗加_ o ) + 上坚坠! 垫盟们+ o ) _ 0 0 p 1p2 2 2 解方程组可得： 1 8 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 坠专竖l上仅(1-。)仍(卜。)+去fl(1-o)cp(1-o)_p1_：_lpla ( 1 + 。) 仍( 1 + 。) 一去肌+ 。m l + 。) z p lp 2 p 2 j 一土堕丑擎舛- o ) + 一1 堑堕鼍丛生堕舛+ o ) ：o 警 去硼一。) 伤( 卜。) + 云1 f l ( 1 - o ) c p ( 1 - o ) - 1 j 口：a ( 1 + 。) 仍( 1 + 。) 一去( 1 + 。) 妒( 1 + 。) + 警匕邮_ o ) 呼o l ( 1 - 0 ) + 去肌_ 0 ) 口o ( 1 - o ) - - - 芦- 1 ( 1 + 咖羽+ 0 ) 一去肌+ o m l + 。) p l l 口( 三一+ l h ：) 伊( 1 + o ) 死。 口仇缈( 1 一o ) 死1 口( 三。+ l 一厅：) 妒( 1 + o ) 厩 1 + p 2 h lp 2h 2 堕尘! 二垒! 塑竺亟! 立叠! 塑! 竺巫! ! ：o h 2 设。 妒丢巴岬删卅呲去f l ( 1 - 0 ) 擘o ( 1 - o ) - 芦l - - 叶剃删一扣删们删 1 口( 2 仇+ h i ) 妒( 1 一o ) 1 口( 三仇+ l h ：) 伊( 1 + 0 ) p l啊p2 h 2 = 吉印州华+ 去f l ( 1 - o ) q ，, - 知删气卑一扣圳。 l 口( 三一+ 厅1 ) ( p + 伊：)1 口( 三。+ i h ：) ( 妒 + i + 伊：+ i ) 一百1 f 一一万面_ 。1 口( 三川+ l h ：) 妒( 1 + 0 ) + o r n l + 1 r p ( 1 + 0 ) d ，= 一 户2门2 c ：= 丢l 去叩一。，吼c 卜。，+ 去肿_ o m 卜。，一去邮+ o 慨c h 。，一去加+ o m 。) j 1a ( 1 一o ) r p ( 1 一o ) 1 a ( 1 0 ) 缈( 1 + o ) p l啊p2 力2 = 她叩卅华+ p 1 f l ( 1 - o ) ( p , - 扣圳孚一扣圳- j + 上! ! ! 亟亟! p l2 h l 1 口( 三一+ i - h ：) ( 缈 + l + 缈：+ i ) 2hp2 2 v 2 。 噘= 一知专嘶 第六章正交性数值验证 1 9 w s ，钱- - e 。+ 民一_ ( 1 c ”2 ) - - 啊+ ( _ 鲁- 1 ) 。 同理可得m 在三= 膏处的离散结果： 2 魄 h 3 + 2 j l z 2 h 2 h 2 + h3 y n 2 i 一 6 2 算子的离散 、三的中心差分离散 据( 9 ) 对三进行差分： i = 1 时( 三= 0 ) h 3 一h 2 + h 2 一 h 2 + h 3 睁办一卜等卜 当1 i n l 时( 0 三 1 ) n 2 + i y n 2 。 兄仍， 卜卜簪搴一针一- 一 当i = n l 时( 三= 1 0 ) 五仍， 鲁鲁降+ 象卜+ ( 乃一等+ 暑悟+ 等m + 降一酉p l 卜= a 仍， 当i = n l + 1 时( 三= 1 + 0 ) 仍+ ( 7 ：一鲁+ ( 嚣一象) c 鲁叫卜+ ( 青一2 反h 2 c 石c i + 。= 当刀l + 1 i 纷l + 甩2 时( 1 三 疗) 睁等卜卜鲁h 嚣丛2 h 2p 当i = + 甩2 时( 三= 詹一0 ) 旯仍， 见仍， 腑 饬 = 也 +呒 = 地厩 一 根当 屈一弛 + 一砰 ，。 堕巩 卜 一砖 ，。一 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 而2 1 , 2 ，睁鱼2 h 2k ) h 2 h2 h 卜鲁+ 3 。件i n 留 当i = + 以2 + 1 时( 三= 疗+ o ) 口，仍+ 1 + ( 饥一c i h 3 一h 2 h 2 + h 3 ) 伊f + c f 其中，铲蒜蠹+ 面f 1 2 ， b f = y 口2 2 碍s f s 川 h 2 一吃 h 2 + h 3 2 办3 h 2 + h 3 睁割仍+ 睁旦2 h 2 卜 伊j 一1 2 o t 2 一h ；s t s t _ o 5 口2 尾 q 2 赢一一2 h 3 s t 旯仍 墨= j ( 轨，= s ( 毛+ 了h 3 ) ，= s ( 三。一i h 3 ) ， 当n l + n 2 + l i n l + n 2 + 玎3 时 ( h 三 d ) a t q g i “+ 饥仍+ c ，仍一l = 名仍( 具体的差分过程见附录) ， 其中a i , b ，c ，同上， 当i = 伪+ 拧2 + 胛3 时( 三= d ) 6 j 伊f + q 伊f l =五仍 ， 其中b i , c ，同上。 兄仍， 从以上的离散过程可以得到一个系数矩阵么，使得a q o = a , c p ，其中 妒= ( 仍，仍，纸) ，刀= ，l l + ，z 2 + 疗3 。a 是一个三对角的复矩阵，型如 蜀c l 4 岛c 2 4 ，一。吃一 色 g l 第六章正交性数值验证 二、m 的中心差分离散 根据( 1 2 ) 对m 进行差分，三分割方式同三，m 的具体离散如下： 当扣1 时( 三= 0 ) h + 卜等卜慨 当1 i 捍l 时( 0 三 1 ) 一卜等卜睁等声弧， 当i = n l 时( 会= 1 0 ) 卜卜等一象睁剐形+ 睁等r 当i = n l + 1 时( 三= 1 + 0 ) a 瓦， 2 l 噎一龛弦，+ ( 等小鲁棚晴+ 旦2 h ：惦j j + 暗+ 象 c 一石c 2 死= 兄瓦， 当甩l + 1 i 押l + 玎2 时( 1 三 疗) + y 2 2 a 2 1 矿, + 睁龛 当i = 甩l + ，1 2 时( 三= 疗一0 ) 2 办2 h 2 + h，睁龛卜卜鲁一糕 当f - 伪+ 疗2 + 1 时( 三= r + o ) p ，死+ l + ( g ，一巧 其中，p ，= h 3 一h 2 h 2 + h 3 ) 死+ r t 口2 ( 碍s f + 0 5 s ，+ i 酽一忐 2 h 3 h 2 + h 3 反( 川) 2 s “l h 3 兄形， 睁割甄+ 睁旦2 h 2b ) 慨 呒一。= 兄死 口2 ， 燧s i - 0 5 $ 一， 届面 一 堕砰 ，。一 屈瓦 一 吼一砰 ，l 展酉 一 堕砰 ，。一 岛一如 一 鱼巩 一 一碍 ，。l 一类带不平坦界面声波导中的共轭特征算子构造 ：毒堑l + 鱼坐， 办扣i - 0 s $ f _ l2 s 1 h 3 口2 ( 三i ) = 口2 j ，口2 ( 互f + 1 ) = 口2 ( f + 1 ) ，口2 ( 三f _ 1 ) = 口2 ( h ) ，7 类似， 当伟+ 甩2 + 1 f ，z l + ，1 2 + ，z 3 时( h 三 d ) 仍死+ 。+ g ，死+ 死一l = 允死( 具体的差分过程见附录) ，其中p ，g 。，l 同上， 当f = 伪+ 疗2 + 九3 时( 三= 西) g f 瓦+ 玩一l = 见死，其中g ，l 同上。 从以上的离散过程可以得到一个类似于彳的三对角的复系数矩阵b ，使得 召矿= 见矿，其中矿= ( 甄，吸，瓦) ，z = 啊+ 刀2 + 以3 。 6 3 对应于特征值气的矩阵占的特征向量求解 理论上矩阵彳与矩阵彦具有相同的特征值，但由于中心差分的误差和计算机 的运算能力的局限，a 、b 的特征值有一定的误差，为了使验证工作不致偏离的 太厉害，我们选择一个矩阵刀的特征值厶，并设特征值厶对应于矩阵彳的特征向 量为“。，用厶、“。作为初始值对矩阵口进行r a y l e i g h 商迭代口1 。 迭代的步骤如下： 1 以一个矩阵彳的特征值厶作为初始值，并将其规范化， 2 求解( a o i 一召) 水甜，= 甜。，并对求得的解“。进行规范化， 3 计算a ：挚， 甜l “l 4 若l 掣i 占( s 是事先设定好迭代控制精度) ，则输出甜。， ；否则厶仁 ， 几0 转向第二步，继续循环。 迭代所得的结果甜。我们近似的看成为对应于厶的矩阵口的特征向量。 第六章正交性数值验证 6 4 特征函数系正交性的验证 通过上面的分析，最终我们来验证对应于特征值 的矩阵锣的特征向量y ，与对应 于特征值乃的矩阵彳的特征向量纺关于权三p 正交性，即砖。呒。纺龙= 。( f 歹) 。 我们选取k l = 1 6 ，k 2 = 1 4 4 ，岛= l ，p 2 = 1 7 ，h = 1 5 ，d = 3 ，c = 1 0 ， 邢，：j c 鲁产篇， 疗永6 ， 【0 ，0 曼 xx x 7 l ( i ，三) = l ，i m ，厂l ( 曼，三