（电磁场与微波技术专业论文）大规模三维介质体的逆散射算法.pdf

人蒯模三维介质体的逆散射算法 摘要 自上个世纪八十年代以来，电磁逆散射在传感和遥感等多个领域得到了快速发展和广泛应用， 诸如无埙检测、地质探测、医学成像以及本文将要讨论的埋在地下物体的探 9 1 | l 等。但是逆散射问题 所| 舌| 有的j e 唯一性和非线性使得逆散射问题的求解非常困难。 目前已发展出来的逆散射算法分为非线性逆散射和线性逆散射两类。非线性逆散射算法因为考 虑了多次散射效应，可以精确得到被测物体的几何和物理性质。但是由于汁算机的内存限制，它们 无法处理人范围的三维问题。因此更为实用的是线性逆散射算法。本文目的就是基于线性逆散射理 论，寻找适用于大规模埋地介质体的逆散射算法。主要工作包括： 1 采_ f jl u 分解法分别结合传统t i k h o n o v 正则化方法和新正则化方法求解小规模逆数射问题。通 过数值算例的比较，发现新正则化方法可以明显改善成像分辨率；变换目标与背景的对比度验 证了波恩近似适用下弱散射的理论；并得出基于l u d 的波恩近似法可以达到超分辨率的结论。 2 提出了火规模逆散射问题的快速算法。基于共轭梯度法( c o ) ，利用v e t e m 系统中发射一接收 端坐标的关系从散射场和目标函数的关系式中推导出二维卷积，使之用f f t 来求解。并计算了 未知数超过1 0 0 0 0 的大问题，计算时间是传统算法的几十倍，证明了该算法的快速性和实用性。 3 分析了三维地下成像的分辨率。利用d t 算法的解析分析发现测量域位于近场时的分辨率可以 控制在o 1 7 6 8 个波氏以内，从而达到超分辨率。利用l u 分解法对波恩近似进行分析发土见近场 成像中的分辨率不会超过0 0 3 3 个波k 。并验证了凋落波是产生超分辨率的关键囚素。 关键坷一逆散射，l u 分解，共轭梯度法，f f l l ，分辨率。 丈规模三维介质体的逆散射算法 a b s t r a c t t h ee l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e dr a p i d l ys i n c et h e1 9 8 0 s ，w h i c h h a v eb e e nw i d e l yu s e di ns e n s i n ga n dr e m o t es e n s i n ga p p l i c a t i o n s h o w e v e r ，i ti sar a t h e rd i f f i c u l tt a s kf o r t h ei n v e r s i o no fb t m e do b j e c t s g e n e r a l l y , t h ei n v e r s es c a t t e r i n gt h e o r yc a l lr o u g h l yb ec a t e g o r i z e di n t o l i n e a ri n v e r s es c a t t e r i n gt h e o r ya n dn o n l i n e a ri n v e r s es c a t t e r i n gt h e o r y t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st of i n d af a s ta l g o r i t h mf o rt h ei n v e r s i o no fl a r g e s c a l es t r u c t u r e sb u r i e du n d e rt h eg r o u n d t i l em a i nc o n t r i b u t i o n s o f 出et h e s i sa r el i s l e da sf o l l o w s ， 1 t h el o w e ra n du p p e rd e c o m p o s i t i o n ( l u d ) m e t h o dw i t hc o n v e n t i o n a lt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o na n d m o d i f i e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nh a sb e e nu s e dt os o l v es m a l l s i z e di n v e r s i o np r o b l e m s n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sh a v es h o w n t h a tt h em o d i f i e dt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o np r o v i d e sab e t t e ri m a g er e s o l u t i o n t h a nt h ec o n v e n t i o n a lr e g u l a r i z a t i o nt h e o r e t i c a l l y , t h eb o r na p p r o x i m a t i o ni sv a l i df o rw e a ks c a t t e r e r s t h i sh a sb e e nd e m o n s t r a t e db yc h a n g i n gt h ec o n t r a s tb e t w e e nt h eo b j e c ta n dt h eb a c k g r o t m d 2 af a s ta l g o r i t h mf o rt h ei n v e r s i o no fl a r g e s i z ep r o b l e m sh a sb e e np r o p o s e d ，w h e r et h ec o n j u g a t e g r a d i e n t ( c g ) m e t h o di su s e dt os o l v et h el a r g em a t r i xe q u a t i o n c o n s i d e r i n gt h ef a c tt h a tt h e t r a n s m i t t e rl o c a t i o na n dr e c e i v e rl o c a t i o nh a v eas i m p l er e l a t i o ni nav e t e m s y s t e m ，w ec a ng e ta2 d c o n v o l u t i o nf r o mt h er e l a t i o n s h i po ft h eo b j e c tf u n c t i o na n dt h es c a t t e r e df i e l d ，w h i c hc a nb e p e r f o r m e de f f i c i c n t l yt h r o u g h 肌t h en u m e r i c a le x a m p l e si n v o l v i n g1 6 3 8 4u n k n o w n sr r eg i v e nt o d e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo f n e wa l g o r i t h m 3 ，t h er e s o l u t i o na n ds u p e rr e s o l u t i o no f3 di m a g i n gf o rh a l g s p a c ep r o b l e m sh a v eb e e nd i s c u s s e dt h e a n a l y t i c a ls t u d ys h o w st h a tt h ei m a g er e s o l u t i o nf o ri n v e r s i o nh a sb e e nl i m i t e dt o01 7 6 8w a v e l e n g t h u s i n gt h ed i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y ( d t ) a l g o r i t b a nw h e nt h em e a s u r e m e n td o m a i ni s l o c a t e di nt h e n e a r - f i e l d t h en u m e r i c a ls t u d ys h o w sd a a tt h er e s o l u t i o no fi m a g ei sl e s st h a no 0 3 3w a v e l e n g t hi nt h e v e t e m s y s t e mu s i n gt h eb o r na p p r o x i m a t i o nm e t h o d ， i n d e x 豇r 卅s i n v e r s es c a t t e r i n g ，l o w e ra n du p p e rd e c o m p o s i t i o n ( l u d ) ，c o n j u g a t e g r a d i e n t ( c g ) m e t h o d ， f f t , r e s o l u t i o na n ds u p e rr e s o h t h o no f i m a g e 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：蹲亟 日期： ! z 塑么蓼 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：! 立垂塾导师签名： 隆缝日期 口弓a + s - 第一章绍高 1 1 研究背景 第一章绪言 波在传播过程中，若遇到介质性质出现不均匀或突变的地方，悔被散射。敞射是入射波羊| j 介质 相互作用的结果，所以散射波携带有大量关：r 散射体的信息。因而，散射现象是研究我们周围物理 肚界的最蘑要的信息来源之一。著名的卢嚣福( r u t h e f o l d ，1 9 1 1 年) 实验正是从口粒子散射现象的 分析而揭示了原子的核结构。晶体对x 射线的衍射，其实就是晶体的周期结构对波跃很短的电磁波 的散射。它是认识和研究晶体结构的重要手段。 通常的散射问题足在已知入射波及散射体的特性( 例如其大小、形状和位置) 以及介质性质等 条件下，研究频域或时域散射波的情况。为区别起见，称之为正散射问题。所渭逆散射问题，就是 给定入射波，并假设散射波数据可通过测量得到，在此基础上去确定重建散射体的儿何或物理性质。 逆散射的研究对于应用科学有着重要的实际意义。例如，通过对无线电波传播和散射的研究， 去确定大气折射率沿高度的分布以及 e 离层电子浓度削面。义如，在地球物理学中，通过对地面地 震波测量，反演出沿深度分布的地震波速度剖面，从而推断地层下的结构。人们发现，上述两个不 同学科的反演问题的处理有相同和相互倍鉴之处。因此，逆散射问题具有跨学科的特点。 逆散射研究的开展与当代科学技术的迅速发展密切有关。各种传感器、测量技术以及计算机技 术的发展，使人们可以快速、大量、准确的采集和存储数据，并以高度的科学技巧来处理和显示所 获得的结果。此外，电磁波具有宽广的波艮范围( 由长波到亚毫米波，以及红外、可见光、紫外、x 射线) ，这就使人们在重建目标特性时可以选取适当的波段。逆散射理论则试图提供正确的途径和方 法去解释散射数据，以重建描写介质或目标特性的基本函数。 电磁逆散射作为逆散射的重要分支同样有着广阔的研究领域。自上个世纪八十年代以来，电磁 逆散射得到了快速发展并在传感和遥感等多个领域得到广泛应用，诸如无损检测、地质探测、医学 成像以及本文将要讨论的埋地物体的探测等。不幸的是，逆散射问题存在固有的非唯一性。所以， 在求解逆散射问题时，通常需要从许多可能的解之中选择其一。更复杂的是，散射体之间的多次散 射效应导致了散射场与散射体的关系是非线性的p 】。这一非线性关系使得求解逆散射问题的解析解 异常困难，因此必须借助于数值方法。 2 研究现状 目前已发展出来的电磁逆散射算法通常可归为两类，一类是j f 线性逆散射算法，另一类是线性 逆散射算法。1 f 线性逆散射算法普遍为迭代方法，因为它考虑了多次数射效鹰。在这些茸法中，波 恩迭代法1 和变形波恩迭代法己在二维问题和小规模= 维问题的逆散射中显示出和好的有效性， 因为该类算法可以精确得到被测物体的几何和物理- 胜质( 例如介电常数、电导率等) 。但是由于计算 机的内存限制，它1 f j 无法处理大规模的三维问题。 散射场与物体之间的非线一眭关系使我们不可能用一个简单的精确解表示逆散射问题的解。但如 果我们将散射场与物体的关系作线性近似，则可以大大简化逆问题。在特定条什r ，问题可以进行 】 东南大学硕士学位论文 “线性化”近似，由此产生了线性逆散射算法。线性逆散射算法最初在医学成像方面取得了巨大影 响。例如，利用弱反射理论，x 射线的相位或衰减量可表示为物体的线性泛函，进而发展了x 射线 层析摄影术或c t 算法| 6 i 。 另一种常用的线性逆散射方法是衍射层析摄影术( d t ) ，即在散射体较弱时仅考虑衍射现象。 这种f 占况下，由于可以仅考虑单次散射效应从而建立目标与散射场的线性关系。d t 算法常用于超 声波成像”培口微波成像，当多次散射效应很弱时，这种方法通常可以获得很好的重建结果。由于其 快速性和稳定性，d t 算法经常用于处理探地雷达( g p r ) 数据，实现埋地物体的实时探测问题。 然而，当多次散射效应无法忽略时，d t 算法则变得不再适用p j 。 具体到探测地下目标中的电磁逆散射问题，为了弥补传统的探地工具一探地雷达( g p r ) f 】“ 和电磁感应传感器( e m l ) 【“，”1 的不足，期望在探地深度和成像分辨率上得到较好的折衷现在已 经发展出了早期时域电磁探测系统( v e t e m ) 口 。从而围绕着如何处理v e t e m 数据，又发展了很 多电磁逆散射算法。对于小规模或中等规模问题，利用波恩近似法【”将逆散射问题线性化后，可以 采用直接算法或迭代算法结合正则化来求解线陛积分方程”l 。然而实际的探地问题通常都是大规模 逆散射问题，因此必须既要考虑精确的成像结果同时也要考虑计算机内存的限制，使得算法尽可能 适用于实际情况。 1 3 本文工作 本文的目的是根据已有的电磁逆敞射理论来研究大规模逆散射的快速算法。全文共分为五章， 其结构安排如下： 第二章系统地介绍本文所需要的理沦背景。首先介绍适用于非均匀介质的体积分方程及其求解 途径，然后研究近似求解方法，给出了波恩近似解有效性的判据。本章将重点介绍半宅间问题中的 并矢格林函数，包括格林函数的推导和应用于半空间问题中格林函数的具体表达式。最后推导出格 林函数中的s o m m e r f e l d 积分。 第三章从小舰模逆散射问题出发，详细介绍波恩近似应用于逆散射，使非线性问题转化为线性 问题，并采用l u 分解的办法分别结合传统t i k h o n o v 正则化方法和新正则化方法求解线性积分方程。 最后给出不同的数值算例，分别讨论两种正则化方法的优劣：变换目标与背景的对比度来验匹波恩 近似的适用性：讨论l u 分解算法的分辨率。 第四章讨论大规模逆敞射问题的快速算法。当未知数激增时无法利用商接法求解线性矩阵方 程，因此必须采用迭代方法，例如共轭梯度法( c g ) 。利用v e t e m 系统巾发射一接收端的水平坐标 关系，可以从散射场和目标函数的关系式中推导出一个二维卷积。对其进行周期延拓，便可利用f f t 米快速求解，从而降低了对计算机内存的要求，使得快速求解大规模逆散射问题成为可能。最后给 出数值算例。首先重复了l u 分解方法的一些算例以验证c g f f t 算法的有效性，然后用该算法计 算了一个人规模地下目标成像问题，片与未加f f t 的c g 算法比较，证明了改进算法的快速性和实 用性。 第五章将讨论探地问题的分辨率问题。首先利用d t 算法进行解析分析，比较了自由空间与半 空间测量区域位于远场和近场时三维目标成像的分辨率。然后根据本文实际应用的波恩近似方法， 第一章绪言 利用l u 分解法给出的数值实验，讨论该方法的分辨率问题，给u l 了波恩近似法能得到超分辨率的 物理解释。 东南大学硕上学位论文 第二章埋地介质目标电磁逆散射问题的理论背景 对于有界的非均匀介质，一种有效的办法是将散射场视为非均匀区域内的感应电流所产生的场， 而感应电流与非均匀区域的总场成正比。另一方面，总场又等于入射场加上非均匀区的感应电流产 生的场。由此可以建立一个积分方程，称为体积分方程 1 。由这个体积分方程可以求解出非均匀区 里的体电流和未知场量。体积分方程一般只能用数值法求解，这通常需要很人的计算量。但对于很 多问题，特别是当非均匀介质的散射比较弱时，散射问题的近似解即已足够。所以我们在此讨论适 用于低频情况的波思近似，并给出波恩近似解有效性的判据p 】。 提高计算格林函数的效率是提高逆散射效率的关键。所以我们将重点介绍半空间问题的格林函 数。首先给出半空间谱域格林函数的推导，介绍应用 二r 空间问题中的三维格林函数的具体表达形 式，并推导出存在于格林函数中的s o m m e r f e l d 积分【1 ”。 2 1 体积分方程 在历史上，体积分方程早在1 9 1 3 年就由e s m s r c h 提出( 见b o r n 和w o l f1 9 8 0 ，第9 8 页) 。 r i c b a n o n d ( 1 9 6 5 a ，b ) ，h a r r i n g t o n ( 1 9 6 8 ) ，p o g g i o 和m i l l e r ( 1 9 7 3 ) ，以及s t r o m ( 1 9 7 5 ) 都讨论过体积 分方程。对丁有界非均匀散射体，体积分方程法是求解散射问题比较常用的方法。其未知量是在1 f 均匀区域的体电流，它包括电导电流及由总场所感应的位移电流。我l f j 可以导出体积分方程，由它 便可以解山总场。 印。丘i ：! 4 第二章埋地介质目标电磁逆敞射问题的埋论背景 其中6 ，e 0 是v 外面背景媒质的磁导率和介电常数。为丁推导积分方程，我们需要不存在散射 体时的并矢格林函数。并欠格林函数满足方程 v x 4 - 1 v g ( r ，r ) 一珊2 8 0 8 6 g ( r ，r ) = i l i s ( r r ) ( 2 13 ) 尽管6 ，e 0 8 b 不必是常数，但当它们是常数时，我们己熟知方程( 2 1 3 ) 的解。所以我们可以将 方程( 2 12 ) 重写为 v “i 1 v x e ( r ) 一( 9 2 c o 占6 e ( r ) = i a x l ( r ) 一v x ( 一1 一i 1 ) v x e ( r ) + c 0 2 ( 一o s 6 ) e ( r ) 从物理意义上说，上式右端是等效电流源。所以上式方程的解为 e ( r ) = i i ( u j j d r 西( r ，r ) z b j ( r ) + i c 。2 ld r t j ( r ，r 7 ) 。6 ( g - s o s b ) e r ) ( 2 14 ) 一l 出百( r ，r ) 心v ( 一一掣i 1 e ( r ) 上式中，第一项即为入射场，所以( 21 4 ) 变成 e ( r ) = e i n c ( r ) + 国2j j d r 石( r ，r ) 6 ( o c - - g o g b ) e ( r ) ( 2 1 5 ) 一l d r g ( r , t j ) p 6 v x ( 一芦i 1 罗e ( r ) 方程( 215 ) 中的积分是散射体中的感应体电流对电场的贡献，这些电流源是总电场e 和磁场h 所 感应的。其中第一项是由电极化电流即位移电流产生的场，而第二项是极化磁荷所产生的场。并且， 如果散射体是导电的，= + i a 曲，则( 2 1 5 ) 的第一个积分还包含场所感应的传导电流的贡 献。这一点的证明是很显然的，只要将复介电常数代入( 215 ) 则可得出一项正比于d e 的贡献， 它则对应于传导电流。另一方面，通常可以假设= 6 = 卢。为一常数，则( 2 1 5 ) 式可简化为 e ( r ) = e i 。c ( r ) + j y d r g ( r r ) o ( r ) e ( r ) ( 2 1 6 ) 其中o ( r ) = k 2 ( r ) 一 ，k 2 ( r ) = 2 o ( r ) 表示处于有界区域矿的非均匀介质体内的波数。而对 r y 的外部，；= 2 卢6 o 。 在方程( 2 1 5 ) 和( 21 6 ) 中，通常e 。是已知的，因为源是已知的。我俐可以发现，一旦知 道了体积v 内的总场，则任意地方的场e ( r ) 便可求得。但至此e ( r ) 仍为未知量a 为了求解e ( r ) ， 我们必须求解关于e ( r ) 的积分方程。为此，将方程( 2 i 6 ) 中的r 用于v 内，则方程的左端和右端 均为同一区域的同一未知量。故方程( 21 6 ) 为体积分方程。它可写成 e ( r ) = e m c ( r ) 一l ( r r ) - e ( r ) ， r7 v ，r v( 21 ，7 ) 苴中【县( 2 1 6 ) 式的线性积分算子。另外，还可将( 217 ) 式写成 东南大学硕士学位论文 e ( r ) = 【t + l 一( r r ，) 1 e i 。( r ) ， r v ，r 矿( 2 18 ) 其中i 足一个单位算子。由于l + l 是一个线性算子，我们可以用多种办法米求解，诸如矩量法、 共轭梯度怏速傅里叶变换方法( c g f f r ) 等，在此就不详细叙述了。 通过以上推导，我 f 可以看到体积分方程对产生散射的物理机制进行了精确地阐述。由此，可 理解对散射问题近似求解时的物理意义，并且还可以用于推导将要阐述的逆散射的算法。 2 2 波恩近似 上述的体积分方程一般只能用数值方法求解，这通常需要很大的计算量。其实对于很多问题， 特别是当菲均匀介质为弱散射体时，散射问题的近似解即已足够。这里我们将讨论特别适用于低频 情况的波恩近似( b o m ) 。在七2 一k 2 很t j 、时，即散射体与背景的反差很小以致方程( 21 6 ) 右端第 二项与第一项比起来很小的情况下，我们可以做如下近似 e ( r ) 兰e m ( r ) ( 221 ) 这样方程( 2 1 6 ) 中的总场可近似为 e ( r ) = e i n c ( r ) + j v d r ，g ( r ，r ) o ( r ) e 加。( r ) ( 22 2 ) 上式又称为一阶波恩近似，它也是用纽曼级数展开积分方程( 2 1 6 ) 时的一阶近似，又是在台劳级 数展开e ( r ) 时用( k2 一尼；) 作为小量的一阶近似。 由于波恩近似只有当( 2 2 2 ) 式中的第二项远小于第一项时才成立，我们可以求波恩近似的适 用范围。首先，注意到对于均匀的背景， 一( r ，r ，) = l - 十罟如r ) ( 2 23 ) k ；) 如果散射体的尺寸量级为，并且k b l 1 ，则由量纲分析可得( 2 2 _ 2 ) 式第二项的数量级为 i ) 2 + 1 _ | 。e 。，其中s ：s 一1 。由于屹三 1 ，为了使散射场远小丁入射场，其限 制条件，在长波极限下是 s ， 1( 2 2 4 ) 另一方面，在短波极限下，v v 的数量级的控制因素不是物体的尺寸，而是物体内场的变化，亦即 它是由场的波长所控制的。所以v v 七 。并且，波在物体内传播时其相位也变得重要。例如，如 果e 。2 。屯。，i 姒t l n k j 。时，弱散射体内的总场包含形如e e 腈的平面波的线性迭加。于是 我们可以写出e e i k b r 已i ( k - k o ) 7 e i n c p ( 一6 ) 。所以，只有当( 七一k 6 ) l 1 时e 兰e ，。c 。故 在高频下，只有当 第二章埋地介质目标叱磁逆散射问题的理论背景 k b l a c ， 0 ，z o 。上述四类积分等价于下列s o m m e r f e l d 积分 s f = 2 r ee 。七。醪，o ( 女。p ) e 一。( ) d k ， =z k 。群h 5 1 ) ( 后。p ) e - i k b ：( z + z ) d k 。 s l = 2 j rf 。螈和o ( 七。p ) e 砸扩昭7 ) 舭， = 石广 s 若n r 0 ( 1 ) ( 七j p ) e i ( k 2 2 ) 旅s 以及 s 参嘲r 。女磁掣e - i k b z ( z + z ) 吨 ：万腑善垡掣。砘z 。 娩_ 7 7 s f ：2 石c - 。 聪丛掣。心一吨z7 ) 珊。 ：万k ；爵垡粤。静：，趣 7 8 其中七；= k2 七；，p 2 = x 2 + y 2 。 对s o n m a e r f e l d 积分的处理主要有两类方法，一是数值积分类方法，这类方法主要是选取合适 的积分路径以使积分快速收敛；另一类是离散复镜像法”。，这类方法是通过使用p r o n y 方法或者 g e n e r a l i z e d p e n c i l o f - f u n c t i e n 方法”1 所得到的复指数序列去逼近积分核，然后通过s o h m e 瞧l d 恒等 式获得空域的闭式结果。本文所采用的沿最陡下降路径积分为第一种方法，即用最陡下降路径取代 原始的积分路释。关= f 最陡下降路径法的详情请曰文献【”】，本寸存l p 略讨 1 4 第二章小规模地下介质目标的电磁逆散射算法 第三章小规模地下介质目标的电磁逆散射算法 有耗地质中介电体的探测对于近场地理勘探、环境科学、探雷、以及地下未爆炸军火的探测等 1 f 常重要。但同时，这也是非常困难的一门学科。为了能够在有耗地质中进行有效的探测，近年来 发展了早时电磁探测系统( v e r ye a r l yt i m ee l e c t r o m a g n e t i c s ，v e t e m ) 【“。并在此基础上发展了适 用于反演v e t e m 数据的多种逆散射算法。 本章从小规模逆散射出发，详细介绍波恩近似应用于逆散射的过程，使非线性问题转化为线性 问题，并采用u j 分解的办法分别结合传统t i k h o n o v 正则化方法和新正则化方法求解线性积分方程。 展后给出不同的数值算例，分别讨论两种正则化方法的优劣。同时，变换目标与背景的对比度来验 证波恩近似的适用性，以及l u 分解算法的分辨率。 3 1v e t e m 系统 通过上一章对半空间格林函数的介绍，我们可以看到，利用电磁算法解决半空间问题是非常复 杂的。所以在探地问题中我们需要一个合适的探测工具，以便尽可能地简化电磁算法。传统的探地 工具有两种。一种是探地雷达( g p r ) ，另一种是电磁感应传感器( e m l ) 。g p r 是比较常用的高频 电磁工具，因为它不仅快速而且可以得到高分辨率的成像。但是当地质的电导率较高时，比如说粘 土，g p r 就无法探洲到足够的深度，因为它的中心频率通常超过5 0 0 m 赫兹。另外，g p r 通常还假 定电磁波是无损耗传播，显然这对于高电导率和低频情况并不运用。为了在具有导电特性的地质中 获得更高的探测深度，可以使用电磁感应传感器。与g p r 相反，电磁感应传感器是一种低频工具， 其频率通常可以低到几百赫兹，因此其透射深度很深。但是，这也导致了e m i 的分辨率很差。 为了得到比g p r 更高的探测深度，同时在近表面5 米内得到比e m i 更好的分辨率，近年来提 出了早时电磁探测系统( v e t e m ) 。v e t e m 系统最初是美国能源部( d o e ) v e t e m 计划的产物1 8 - 2 2 1 。 其主要目标是提高应用于环境问题的电磁算法的技术水平。它的频带范围从十几k h z 到十几m h z ， 可以应用于近表面的地理探测问题，同时还可用于探测核废料、估算陶制品的厚度和完整性，以及 埋地目标的探测等。 v 1 4 b 有耗地疆 酝固 、之i o 圈3l 典型v e t e m 系统。发射端与接收端正交，以避免直接糕合。 l5 东南大掌硕士学位论文 与多数g p r 类似，v e t e m 也是一个时域系统。典型的v e t e m 系统如图3 1 所示，发射端是 一个水平环形天线，接收端是一个垂直环形天线。这种相互垂直的安排可以避免发射端利接收端的 直接耦合。笈射端和接收端间隔定。发劓端由一斜面信号激励( 而非脉冲信号) ，在接收端测量其 响应电流，由响应屯流可以求得接收端( r x ) 的总磁场。在接收端的总磁场共包括四部分：发射端 的原始场、耦合电流产生的耦合场、地表的反射场和埋地物体的散射场。由于条件有限，本文所使 用的散射场数据并非实际的v e t e m 测量数据，而是通过汁算正散射问题的解( 全波分析) 加上一 定的白噪声模拟而成，本章3 3 节会有简单介绍。 在实际问题中地表面通常是租糙不平的，如果考虑这种粗糙性则会使问题交得更为复杂。般 来说，当粗糙程度相对于波长很小时，就可以把地表看作是光滑的。本文所用的最小波长为6 0 m ， 这样我们就可使用光滑地表的模型。另外，根据v e t e m 的工作频带( 1 0 k h z m o m h z ) ，我们可以 把发射、接收天线等效为磁偶极子，如图3 1 中发射端为一垂直的磁偶极子( v m d ) ，接收端则 为一水平的磁偶极子( h m d ) 。这样就可以建立起v e t e m 系统的数值实验模型了。 图32 三维探地问题的数值模型 在v e t e m 系统中，v m d 和h m d 以间隔d 固定在小车上，小车与地表距离为h 。当小车在测 量区域内扫描时，就得到了不同t x r x 位置和不同频点时的散射场数据。定义v m d 和h m d 的中 点为r 。，这样发射端位置和接收端位置r ，存在如下关系：k = r o 一互1d ，r r = r 0 + 三d 。那么 测量数据就可看作是r n 和频率( 或波数七) 的函数。 3 2 基于l u d 的小规模逆散射算法 我们在上一章讨论过，电磁场散射闽题可以表示为如下积分方程 e ( r ) = e z n c ( r ) + j yd r g ( r ，r ，占6 ) o ( r ) e ( r ) 6 ( 32 1 ) 第三帝小规模地下介质目标的电磁逆散射算法 其中，g b 是背景的介电常数。在逆散射问题里，只有散射体外部的测量数据。也就是说，受我们支 配的只是e 。( r ) ，r s 。其中s 是处于重建区域v 上方的测量平面。利用v e t e m 的数值模型， 发射端和接收端放置在区域a 中，v e t e m 系统在重建区域y 的上方扫描并收集数据，这里v 是可 能包含特探测目标的一个长方体区域。空气和地层的介电常数分别为f 。和岛，电导率分别为o - 。和 o - 6 。那么在接收端所记录的散射场即可表示为： 每h 尹( r r ，k ) = l 出辞- g 竺( 0 ，r ，k ) - e 。( r r j ，七) d ( r ，k ) ( 3 2 2 ) 聊。 式中，& ，是发射端磁偶极子的极化方向，e 。是重建区域的内部总电场： o ( r ，k ) = d f ( r ) + f 可。d 。( r ) k 是复数目标函数，用来描述介质体特征，这里q ( r ) = ，( r ) 一e 。，d ：( r ) = o r ( r ) 一1 7 。分别是介 电常数和电导率的目标函数：西笔是源点在区域b 而场点在区域a 的磁场并矢格林函数( 见2 51 i ) 。 在低频情况下，可以证明电导率的贡献要比介电常数的贡献大得多。因此，我们可以近似认为 o ( r ，k ) “f 吼o o ( r ) k 。 代八( 3 2 2 ) 式得到 电- i - i s 。c a i h 七) 一古l d r a ，- - a b r ，r ，”剐q ( r ) ( 3 23 ) 根据体电场积分方程( 3 2 1 ) 可以知道，目标内部电场e 6 也包含目标函数o 。所以方程( 3 2 3 ) 实际上是关于目标函数o 。的非线性方程。 为了使问题线性化，当目标物体与背景的对比度较低时可利用波恩近似1 ，即用入射电场e 代替内部电场e 6 。在磁偶极子为发射源的情况下，区域b 中的入射电场可以由半空间的格林函数 给出 e ? ( r ，r ，庀) = - n 尼o ( z a ) 9 2 ( r ，r ，尼) 6 ； ( 32 4 ) 式中西，是发射端的极化方向，g 笔是源点在区域a 而场点在区域b 的电场井矢格林函数。由互易定 理很容易得到如下关系式 g ：( r ，r7 ，七) = 一。g a b t ，r ，尼) 7 ( “t ”表示转置) 这样方程( 3 2 3 ) 就可以转化为线性方程。 东南丈学硕士学位论文 通过上一章的讨论我们知道可以用s o m m e r f e l d 积分的快速算法来求解格林函数 题就是如何求解由( 323 ) 式所转化的线性方程。我们把此方程写成算子形式 【，o 。= t t 现在的关键问 ( 325 ) 其中，算于c 。将重建域映射到测量域。由于o 。是与位置有关的三维函数- 而h 是与频率和接收 端坐标有关的三维函数，所以o 。与h 不是一一映射的关系，那么算子l 。不可能存在严格的逆矩 阵。将( 3 2 5 ) 作一些转换，得到 o d = 功h ， ( 326 ) 其中砭= ( 砖i 。) - - - l + 。是算子【。的伪逆。这里l + 是l 的菇轭转置。通常来说，逆问题 的条件数均很差，因为算子l 。的某些本征值很小或为零。j 为了得到稳定解，使用t i k h o n o v 正则化 方法吲，得到 珐= ( e 【。+ 瘟) - - - l + 。 ( 327 ) 式中，百为一正定矩阵。如果百的条件数很好，则b c 。+ 占瓦也会是一个条件数很好的矩阵。 换句话说，我们通过在七；【。上加上6 百一项，而将一1 4 一l 。中很小的本征值变或较大的本征值， 从而改善矩阵的条件数。这里，正则参数占的选择非常重要，它需要足够大来滤除不稳定部分以得 到稳定解，但又不能太大，否则会滤掉方程解中有用的频率部分。 传统的t i k h o n o v 正则化方法将瓦取为单位阵。显然，这是一个条件数很好的矩阵。但是单位 阵不能反映g 际背r , n 发射接收端的信息，所以当背景和发射接收端信息发生变化时，我们需要 阋整正则参数d 的值以获得晟优解。本文将采用另外一种正则化方法，将瓦取n - - + n n n 2 ”，其 对角元素恰为l - - 4 。e 。的对角元素值。很显然，这个对角阵也具有很好的条件数。并且，由于对角 阵包含了背景和发射一接收端的信息，当变换这类信息时，正则参数占可以不需要作任何调整。 对于三维问题，求解瑶包含数量级为n 3 的浮点运算次数。由于三维问题包含大量的朱知量， 所以相应的计算量也非常大。对于小规模逆散射问题，未知量通常控制在3 0 0 0 以内，可以便用l u 分解( l u d 的方法来求解b 。 3 3 数值算例及讨论 在图3 1 的v e t e m 系统中，发射端v m d 和接收端h m d 具有固定间隔2 m ( d = 多2 ) ，距离 地面o5 m ( h = o5 m ) 。发射天线的激励电流如图3 3 ( a ) 所示，相应的频谱示于图33 ( b ) 。从 l8 第二章小划模地下介质目标的电磁逆散射算法 酗33 ( b ) 中我们可以清楚看到入射信号的能量大部分集中在5 m h z 以内。这样，我刷在成像中 使用的频带范围从0 剑5 m h z 。在每个发射接收点使崩1 0 个频点：o 2 5 ，o 7 5 ，1 2 5 ，1 7 5 ，2 2 5 、2 7 5 3 2 5 3 7 5 ，4 2 5 l l4 7 5 m h z 。 主 三 餐 ( a ) e - ! 冀 御 辑 图3 3v e t e m 系统中的激励电流及其频谱 龋率( m h 2 ) ( b ) 为了与实际问题相吻合，我们考虑在湿中探测埋地目标。通常当湿土中的水含量为15 左右 时，湿土的电导率可近似为o 0 5 s m1 2 6 1 。本文的数值算例主要考虑的是该类地质。测量区域选择 在自由空间中8 8m 2 的矩形区域，共使用1 6 1 6 个发射接收点。重建区域在测量区域的正下方， 是一个8 8 4 m 3 的立方体区域( 相应的地质参数为“= 1 0 ，= 0 0 5 s m ) ，该立方体距离地 表面o ，0 5 m 。在进行数值计算时，这个立方体区域被离敫成1 6 1 6 8 个数值单元。 实际的被测目标是一个4 x 4 x 2 m 3 的介质方块，其相对介电常数为4 0 ，电导率盯。= o 2 s 。 目标在重建区域内的位置如图3 。4 所示。 ( a ) z = 一3 m 的x o y 剐面 ( b ) y = 0 m 的x o z 妾4 面 图3 4 实际被测目标存重建区域内的位置 首先，比较一下两种正则化方法的成像结果。采用传统的t i k h o n o v 正则化方法，即将b 取为 19 东南大学硕士学位论文 单位阵i ，正则参数占选为1 0 一。在这里，我们采崩的不是实际的v e t e m 测量数据，而是通过计 算正散射问题得剑的解加上1 0 的自噪声模拟而成。此时的成像结果如图35 所示，我们可以看到， 传统的t i k h o n o v 止则化方法能够得到比较好的成像结果。 ( a ) f 一3 m 的x o y 剖面 ( b ) y = 0 m 的x o z 剖面 图35 传统币k h o f i o v 正则化方法的成像结果 采用另一种正则化方法，即将b 取为对角阵a ，正则参数蚕选为2 0 。计算结果如图3 6 所示。 很明显，新的正则化方法的成像结果要比传统的t i k h o n o v 正则化方法好很多。所以接下来的算例中， 如不特别说明，采用的都是新正则化方法。 ( a ) p - 3 m 的x o y 剖面 图3 , 6 新正则化方法的成像结果 ( b ) y = o m 的x o z 削面 前面提到过，波恩近似适用于目标与背景的对比较弱的情况。那么增加目标与背景的对比度， 当d 6 = o 0 3 时，目标特性不变，成像结果如图3 7 所示。当仃a = o 0 1 时，成像结果如图3 _ 8 所示。 比较图35 ，36 和37 的成像结果我们可以看到，当o - 6 = 0 0 5 时，目标与背景的对比为4 ，成 像结果最好to - 。= 0 0 1 时，目标与背景的对比度为2 0 ，成像结果最差。所以目标与背景的对比 越弱，波恩近似的成像结果越好。 第三章小规模地下介质目标韵电磁逆散射算法 ( a ) z = 3 m 的x o y 剖面 ( b ) y = 0 m 的x o z 剖面 图3 - 7 背景电导率玎。= o ，0 7 时的成像站果 ( a ) f 一3 m 的x o y 剖面 ( b ) y = 0 m 的x o z 剖面 图38 背景电导率盯6 = 0 u l 时的成像结果 蘑建区域的选择很重要。通常我们想要探测的目标都是未知的，所以很难选择台适的重建区域 让成像结果最佳。下面考虑尺寸更小的目标( 2 7 2 m3 ) ，但仍然选用8 8 4 m3 的重建区域， 离散成1 6 1 6 8 个数值单元，成像结果如图3 9 所示。 很明显，这种情况下我们可以得到高分辨率的成像，但与目标电导率的真实值0 2 偏差较人。 如果增加测量数据，把发射一接收点由1 6 1 6 增加为2 0 7 0 ，其成像结果如图3 1 0 所示。由此我 们可以得山结论，重建区域与发射一接收点的个数都会影响到成像的结果。当我们选择的重建区域相 对于目标的尺寸偏大时，相应的增加发射接收测量点，这样就即可以得到高分辨率的成像，也能彳导 钏较精确的目标电导率。 为了考验l u d 算法对于逆散射问题的稳定性，我们将正散射问题计算山的散射数据加上2 0 的噪声，成像结果示于图31 1