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中文摘要 摘要 可拓数学是以矛盾问题为研究对象、以矛盾问题的智能化处理为主要研究内 容、以可拓方法论为主要研究方法的门新兴学科。本文在可拓数学理论、多属 性决策理论与方法的基础上，主要对以下几个方面的问题进行了研究。 在可拓关联函数方面，引入了一种非线性k 次抛物型的关联函数，这种非线 性关联函数，既能反映各属性间的非线性关系，又能反映各属性值在不同区间内 变化对被评事物的影响程度。 在区间数多属性决策中，对一类需要进行点与区间数距离计算的多属性决策， 应用可拓数学距的概念拓展了经典数学中点与区间的距离的概念，从而决策也更 加科学。 在决策模型求解方面，根据可拓逆向思维方法对期望方差决策的求解属性权 重模型进行改进，提高了属性权重计算的精确度，决策更加合理。 在可拓层次分析法中，为了把可拓判断矩阵中的每个元素定量化，一般取可 拓区间数的中值作为定量化的数字。但是有时候属性的权重的实际值可能在可拓 区间数中值的左侧或者右侧，由于中值的选取可能使得属性权重的确定偏离实际。 为了克服上述缺陷，对可拓判断矩阵定量化进行改进，使得属性权重的确定在实 际应用中更加有效。 关键词：多属性决策；关联函数；距离：可拓层次分析法 英文摘要 a b s t r a c t e x t e n s i o nm a t h e m a t i c si san e ws t u d yw h i c ht a k e sc o n t r a d i c t i o np r o b l e m sa s r e s e a r c ho b j e c t ，t a k et h ei n t e l l i g e n tp r o c e s s i n go fc o n t r a d i c t i o np r o b l e m sa st h em a i n r e s e a r c hc o n t e n t sa n dt a k et h ee x t e n s i o nm e t h o d o l o g ya sm a i nr e s e a r c hm e t h o d b a s e d 0 1 1t h ee x t e n s i o nm a t h e m a t i c st h e o r ya n dm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n - m a k i n gt h e o r y , t h i s p a p e rm a i n l ys t u d i e dt h ef o l l o w i n gp r o b l e m i nt h e s t u d yo fe x t e n s i o nc o r r e l a t i o nf u n c t i o n , t h i sp a p e ri n t r o d u c ean e w c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，n o n - l i n e a rp a r a b o l i co fk t ho r d e r t h i sn o n l i n e a rc o r r e l a t i o n f u n c t i o nc a nr e f l e c tn o to n l yt h en o n - l i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea t t r i b u t e s ，b u ta l s o t h ei n f l u e n c et h a tt h ev a l u e so fe a c ha t t r i b u t e si nd i f f e r e n ti n t e r v a l se x e r to nt h et h i n g s w h i c ha r ee v a l u a t e d i nt h ei n t e r v a lm u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o n - m a k i n g , f o rt h ek i n d o fm u l t i - a t t r i b u t e d e c i s i o n - m a k i n gw h i c hn e e dt o c a l c u l a t et h ed i s t a n c eb e t w e e nd o ta n di n t e r v a l , t h e d i s t a n c ei ne x t e n s i o nm a t h e m a t i c si si n t r o d u c e dt oe x p a n dt h ec l a s s i c a lm a t h e m a t i c a l c o n c e p to fd i s t a n c eb e t w e e nd o ta n di n t e r v a l , w h i c hm a k ed e c i s i o n - m a k i n gm o r e s c i e n t i f i c mt h ea s p e c to fs o l v i n gt h em o d e lo fd e c i s i o n - m a k i n g , t h r o u g hi m p r o v i n gt h e s o l v i n ga t t r i b u t ew e i g h t s i n e x p e c t a t i o n - v a r i a n c ed e c i s i o n - m a k i n g m o d e l u s i n g e x t e n s i o n “= v 曰陷et h i n k i n g , m a k ec a l c u l a t i n gm o a c x j l l r a t ea n dd e c i s i o n - m a k i n gm o r a t i o n a l he x t e n s i o na n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( e a h p ) ，i no r d e rt oq u a n ：t i f ye v e r y e l e m e n t so ft h ee x t e n s i o nj u d g m e n tm a t r i x , g e n e r a l l yt a k et h em e d i a no fe x t e n s i o n i n t e r v a la saq u a n t i t a t i v en u m b e r b u ts o m e t i m e st h ea c t u a lv a l u eo fa t t r i b u t ew e i g h t s m a y b eo nt h el e f to rr i g h to fm e d i a no f e x t e n s i o ni n t e r v a l , b e c a u s et h es e l e c to fm e d i a n m a ym a k et h e a t t r i b u t ew e i g h t sd e v i a t et h ea 删v a l u e t oo v e r c o m et h e s e s h o r t c o m i n g s ，t h eq u a n t i f i c a t i o no f t h ee x t e n s i o nj u d g m e n tm a t r i xi si m p r o v e d a n d t h i s 锄m a k et h es e l e c t i o no ft h ea t t r i b u t ew e i g h t sm o r ee f f e c t i v ei np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s 英文摘要 k e y w o r d ：m u l t i - a t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n g ；d e p e n d e n tf u n c t i o n ；d i s t a n c e ：e x t e n t i o na n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博士硕士学位论文：基王互揸麴堂堡途的墨厘丝迭筮友选班塞= = 一。除论文 中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公 开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：蝴 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有保留并向国家有关部门或机构送交学位论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文 数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行 和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密i 1 在年解密后适用本授权书。 不保密町( 请在以上方框内打“妒，) 论文储躲糯酮导师躲酬 日期：年月 e l 4 j 醌 基于可拓数学理论的多属性决策方法研究 第1 章绪论 1 1 研究背景及问题的提出 决策是指人们在生活发展过程中，以对事物发展规律及主观条件的认识为依 据，寻求并实现某种最佳( 满意) 的准则和行动方案而进行的活动。在现实生活中， 我们随时都会面临着或者见闻到决策问题如：今年我们国家要决定如何把有限的 资金合理地分配到有旱情的各个省市，使得受到灾情不同程度影响的农民能得到 合理的补偿；一个学生要决定要报考大学，根据自己的实际情况选择哪所大学和 专业，得以让自己的人生梦想实现这都是我们常见的决策问题。所以个人、企业、 社会和国家，乃至整个世界都离不开决策。多准则决策【l 】的研究具有很长和浓厚的 历史背景。管理科学、应用统计学、经济学、市场、心理学、决策学等是早期学 者主要涉及的学科【2 j 。多准则决策包括多目标决策f 3 4 】和多属性决策f 卯，通常认为 决策对象是离散的有限数量的备选方案的多准则决策是多属性决策，决策对象是 连续的无限数量的备选方案的多准则决策是多目标决策，在实际运用中，这样的 分类能很好的适应解决闯题的甄个方面：使用多属性决策方法的情况是当遇到选 择和评价问题，如最常见的方案优选、买房、升学择校、投标招标、评价科研成 效、人事部门对员工的考核、产业部门优先发展排序、综合评价经济效益等方面 问题。多属性决策是决策理论与方法研究的最为追捧的内容。多属性决策问题广 泛存在于社会的各个领域之中；设计问题则使用多目标决策方法。 多属性决策( m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ，m a d m ) 其实质是利用己有的 决策信息，通过_ 定的方式对一组有限个备选方案进行排序或择优。在决策科学、 系统工程、管理与运筹等领域多属性决策问题的决策理论与方法的研究已成为的 热点。多属性决策主要由两部分构成：( 1 ) 通过一定的方式获取所要的决策信息( 2 ) 再通过一定的方法集结决策信息，并对方案进行排序和择优。根据决策者对决策 问题提供偏好信息方式的不同，将多属性决策分成三类，即：无偏好信息的多属 性决策、有属性偏好信息的多属性决策和对方案有偏好信息的多属性决策。 经过半个世纪的研究，基于经典多属性决策理论与方法的研究已经比较详尽， 第1 章绪论 因此，随着研究深入，不确定性多属性决策的研究越来越受到重视。相对于经典 的多属性决策理论，不确定性多属性决策是非经典的，它是经典多属性决策理沦 上的延伸和发展。在实际决策问题中，对于一类具有不确定性区间数的多属性决 问题的研究就有着重要的理论意义和实际应用背景。目前，有关不确定多属性决 策的研究已经引起人们的重视，使人们对只有部分权重信息的不确定多属性决策 问题产生了研究兴趣。其要主集在对区间数决策矩阵的规范化，属性权重的确定 和含有区间数的多属性决策排序三个问题。求解属性权重是多属性决策问题的核 心问题，越来越多的学者纷纷对此类问题进行了较为系统的研究，虽然研究成果 取得了不少，然而仍然存在许多问题需要进一步研究，例如对属性或方案有偏好 的不确定多属性决策问题，应用何种方法判别决策者给出的偏好信息是否合理， 如何从区间数判断矩阵导出方案或属性的排序向量，以区间数形式给出偏好信息 的一致性问题，含有区间数的多属性决策方法，以及如何更好地把各种方法应用 到现实的决策问题中去等等。因此，无论在理论研究还是方法应用在解决含有区 间数的多属性决策问题方面，目前都还很不成熟，尤其是有关区间数不确定决策 信息的理论研究还有待于进一步完善。 1 2 多属性决策理论的研究方向 虽然多属性决策的研究仅有半个多世纪的历史，但是关于多属性决策问题的 研究取得了丰硕的成果。如今多属性决策主要研究方向基本是： 1 多属性动态决策，多属性群决策等的研究。 2 不确定性多属性决策问题的研究，包含随机型多属性决策问题，模糊型多 属性决策问题，区间不确定型多属性决策问题等。 3 关于多专家多属性群决策问题的研究。 4 建立智能化多属性决策支持系统。在决策过程中使用人工智能技术。 5 属性权重的确定在多属性决策研究中也越来越引起重视。 1 3 本文的研究结构及内容 本文主要研究内容有以下六章： 基于可拓数学理论的多属性决策方法研究 第一章介绍了多属性决策理论的发展状况及研究现状。 第二章介绍了可拓学的相关知识。 第三章对具有不同量纲的属性进行规范化的方法进行总结，进而研究非线k 抛物型关联函数。因为对于一个不确定多属性决策问题，其各个属性之间没有统 一的度量标准，因此在将其决策矩阵转化为规范化矩阵的过程中，必须选取恰当 的关联函数。本文将选用k 次抛物型函数来构造一种非线性关联函数，这样既能 反映各属性间的非线性关系，又能反映各属性值在不同区间内变化对被评事物的 影响程度。 第四章对方案有偏好且偏好是以可拓区间数给出的多属性决策的方法，引入 可拓数学的点与区间数的距离公式，使得属性权重的确定更加贴近实际，方案排 序更加合理。 第五章对以往提期望方差排序方法的求解属性权重模型利用可拓逆向思维方 法进行改进，提出可拓期望方差排序方法的确定属性模型。使得排序更加缜密。 第六章鉴于不确定多属性决策过程中，权重的确定的方法有主观赋权法、客 观赋权法和组合赋权法。在主观赋权方法中层次分析法最为常用，但是a h p 方法 通常不考虑判断矩阵的一致性，将求符合一致性要求的判断矩阵权重向量的方法 有机地融合到可拓a h p 方法中去，提出了实用、有效的可拓层次分析( e a r f ) ，本 文对以往的可拓层次分析法区间数的定量化作了进一步深入的研究，给出确定区 间数定量化的公式，并对其进行一致性检验，使得属性权重的确立更加科学、严 谨。 第2 章可拓学知识介绍 第2 章可拓学知识介绍 2 1 可拓学的理论框架 人类的历史，永远是存在矛盾问题，进而通过一定的方式寻找方法解决矛盾 问题、又是不断开拓的历史。矛盾问题比比皆是，处理矛盾问题有无规律可循? 有无理论可依? 能否建立一套解决矛盾问题的方法? 随着经济的飞速发展，竞争日 益激烈，各种矛盾错综复杂，因此寻找解决矛盾问题的规律与形式化方法是解决 矛盾问题的关键。在客观世界中，存在着的一切事物都是质与量的统一体，即事 物的处于变化之中，既有量的变化，也有质的变化，事物的质变和量变是紧密联 系、相互依存、相互制约的。但是在对实际问题的研究中，经典数学最大的弊端 就是舍弃事物质的方面，思考的角度是从数量关系抽象出数学模型，这就使得经 典数学从根本上存在片面性。可拓学通过用形式化的工具，从定性与定量两个角 度研究解决矛盾问题的规律和方法，只要矛盾存在的地方，就有可拓学的用武之 地。可拓学是交叉而成的学科，主要是由哲学、数学和工程学融合而成的一门范 围广泛的横断学科。作为一门新的学科。应用可拓学的理论是解决问题的理论与 方法以及逻辑思维方式，矛盾问题可拓学的研究对象，以矛盾问题的智能化处理 为研究的主要内容，可拓逻辑是其基础，可拓工程是其应用技术。可拓学从新的 角度为人们认识和分析现实的世界、解决现实世界中的矛盾问题，提出了新的理 论方法【】。 该学科的诞生标志是1 9 8 3 年蔡文教授在科学探索学报上发表了论文“可 拓集合与不兼容问题”。直到今天，经过2 0 多年的连续研究和全国可拓学研究者 多年不断的努力，陆续出版了 可拓工程、( n - - f 拓策略生成系统、 可拓策划、 ( n - i 拓逻辑初步、( n - - i 拓集与可拓资料挖掘和( n - - i 拓营销等专著，这些书籍 对近些年研究工作做了详细的介绍。可拓学已经逐步从理论研究走向了应用研究， 其中主要可拓学应用表现在人工智能领域；应用在计算机领域；应用在自动化领 域，如可拓检测、可拓控制；应用在设计领域，最典型的实例就是存建筑设计方 面的应用；今年来可拓学应用在中医药领域也取得一定成果。可拓学逐步从国内 基于可拓数学理论的多属性决策方法研究 走向国外，美国、日本等国家学者也积极可拓学研究。 可拓学的基本理论是可拓论，其学科的三大支柱是基元理论、可拓集合理论 和可拓逻辑。可拓学的理论体系仍处在不断完善发展的阶段中。目前，可拓学 的基本理论框架为图1 1 所示【引。 可拓论 基元理论 拓展分析理论 共轭分析理论 可拓变换理论 可拓集理论 可拓逻辑 发散分析 相关分析 蕴含分析 可扩分析 虚实共轭分析 软硬共轭分析 潜显共轭分析 负正共轭分析 基本可拓变换 传导变换与共轭变换 可拓变换的运算 可拓变换的性质 可拓模型 f 基元拓展推理 可拓推理 传导推理 l 共轭推理 命题和推理句的基元表示与拓展 解决矛盾问题的推理 图卜1 可拓学的理论体系 f i g1 - 1t h e o r ys y s t e mo fe x t e n s i o n 2 2 物元的概念 如果要利用形式化的方法处理客观世界中的各种矛盾问题，首先必须研究如 5 ，1，【，f【 式公 算换计变与及 域 义型 定集定类 集稳拓的的拓与可数数可域元函函元拓合联联基可复关关 ，ll，l 合 数 集 函 拓 联 可 关 第2 章可拓学知识介绍 何描述客观世界中的种种事物，从古至今人们处理矛盾问题的例子，我们通过大 量的例子可以发现，矛盾问题如果单靠数量关系是不能解决的。但是人们在处理 矛盾问题时候，如果将事物、特征及相应的量值三者一起考虑，把解决矛盾问题 的过程形式化，才能更加有效的构思出解决矛盾问题的方法，更贴切地描述客观 事物的变化过程。为此，引入了由事物、特征及相应的量值构成的三元组一物元， 作为描述事物的基本元素 1 0 , i i 】。 定义2 1给定事物的名称，它关于特征c 的量值为1 ，以有序三元组 r = ( n ，c ，1 ，) 作为描述事物的基本元，简称物元。 定义2 2 一个事物可以有多个特征，如果事物以嚣个特征q ，c 2 ，q 及相应 的量值m ，屹，吃描述，称尺为以维物元。可以表示为 r = c im 岛吃 弓嘭 墨 是 疋 ( 2 1 ) 定义2 3 事物关于某特征的量值，随着时间t 的变化，往往也产生变化，以v ( f ) 表示。这时，事物以( f ) 表示，物元r = ( n , c ，v ) 随着时间t 的改变而变化，记 为r = ( ( f ) ，g 1 ，( f ) ) ，该物元称为参变量物元。 2 3 物元的基本变换 定义2 4 由物元r = ( o ，岛，v o ) ，改变为物元r = ( m ，q ，k ) ，称为物元变换， 记作砜= 墨。将事物。仍变为。的变换称为幺变换，记作e n o - n o ，类似地可 以规定特征、量值的幺变换口以及将物元r 变为民的物元的幺变换互。 变换前的物元称为参与物元，变换后得到的新物元称为生成物元。根据变换 对象的类型，可以把可拓变换分为论域中元素的变换，关联准则的变换和论域的 变换。在物元变换中，有四种基本的变换方式【9 】。 1 置换变换 用某事物代替另一事物、用某特征代替另一特征、用某量值代替另一量值的 变换称为物元的置换变换。置换变换不是随意地把a 置换成曰，而是根据物元的 基于可拓数学理论的多属性决策方法研究 发散性，从实际问题的要求出发确定变换的对象。 ( 1 ) 给定物元民= ( 0 ，c o ，) ，若变换为，c o ，不变，称变换为对物 元r 中事物的置换变换。表示为氏r = ( 0 ，c o ，v o ) = ( n ，c o ，v o ) 。 ( 2 ) 给定物元r = ( o ，c o ，) ，若气变换为c ，“，v o 不变，称此变换为对 物元r 中特征的置换变换。表示为毛r = 毛( 0 ，气，v o ) = ( n o ，c ，) 。 ( 3 ) 给定物元r = ( 矾，c o ，) ，若氏“= ，毛c o - - - - - c ，乇- - 1 , ，变换为物 元置换变换。记为气r = ( 氏，毛，气) ( o ，c o ，v o ) - - ( 氏o ，毛c o ，气1 l d ) = ( ，c v ) 。 ( 4 ) 在含有多维物元的事物中，对其中一个物元r 的特征值进行变换， 变换结果为，则称为主动变换。表示为丸v o = 谅，氏r = ( c o ，访) 。 ( 5 ) 对于多维物元的一个事物，不同的特征的量值之间有相关关系，对其中 一个物元民的特征量值进行主动变换，有丸= 嵋，同时会导致另一特征量值屹改 变为吃，则称变换巧或气呻为传导变换。表示为 乃r = 气啼h r = o ，c o ，嵋 c l ，w q 2 分解燹换 分解变换是根据物元的可分性进行的，根据物元的可组分性，我们规定物元 的组分解变换。若r = 墨。足0 o 疋，砜= 墨，跫，兄) ，称r 为r 的组分变 换。根据物元的可聚分性，若r = 墨。足o o 见且碣= 佩，垦，咒) ，称r 为 r 的聚分变换。 3 增删变换 一般地，给定物元r = ( “，c o ，c o ( o ) ) 墨= ( m ，q ，c l ( m ) ) 。若作 砜r 。弘 叩川c c i o 捌( n o ) 。a 州c o ( n i , 汨) i v l vic tc i ，彬c - i- 1 第2 章可拓学知识介绍 称丁为r o 的增加变换。给定物元r = ( n o ，c o ，) ，r = ( m ，c o ，v 1 ) 若作变换 砜= ( n oo i ，c o ，v ooh ) = ro r 。，则称t 为r 的删减变换。 事物、特征和量 值都有各自的增删变换。 4 扩缩变换 一般地，给定物元r = ( o ，c o ，v o ) ，若砜- - o f & ， 1 ) ，则称r 为r 的量值 的缩小变换，记为砜= ( a n o ，c o ，a v o ) 。称氏固民= ( n o 圆m ，c o ，c o ( 0 0 m ) ) 为 扩大变换；若“= i 圆2 固 m ，称氏r = ( m ，气，c o ( m ) ) ，f l ，2 ，刀) 为r 的事物缩小变换。 若c o = c l 圆c 2p p 巳，称毛民= ( n o ，g ，q ( n o ) ) 为e o 的特征 缩小变换； 毛or = ( 虬，c ooq ，v ) = ( o ，c ，c ( ) ) 为r 的特征扩大变换。 可拓变换是解决矛盾问题的主要工具，可拓变研究事物性质的变化是从定性 和定量结合的角度，解决矛盾问题的定量化工具是可拓变换的定量部分，把可拓 变换的定性部分和定量部分的结合使得处理问题的方法成为可能。 2 4 可拓集合的相关概念 可拓集论是可拓学的理论支柱之一，可拓学中用于对事物进行动态分类的重 要方法依据是可拓集合，是形式化描述量变和质变的手段，是解决矛盾问题的定 量化工具，可拓集合的概念是在经典集合和模糊集合的基础上发展起来的，论域 中的元素本身的性质的可变性由是经典集合和模糊集合很少考虑，从而用数学的 思想和方法去解决很多矛盾问题是不可能的，基于这种需要的基础上可拓集合被 提出了。它既可以描述事物的是与非的相互转化，又可以描述事物具有某种性质 的程度，可拓集合的提出，为解决矛盾问题的过程形式化、定量化和逻辑化提供 了理论依据，为人们处理矛盾问题提供了新的数学工具1 1 2 a 3 , 1 4 1 。 定义2 5 设u 为论域，k 是u 到实域，的一个映射，丁为给定的对元素的变 ， 换，称彳( r ) = ( “，y ，y 7 ) l u u ，y = 七( “) j ，y = 七( 瓦) j ) 为论域u 关于元素变换的一 个可拓集合。y = 七( ”) 为a ( t ) 的关联函数，y = 七( 瓦) 为彳( 乃关于变换r 的关联 函数，称为可拓函数。 基于可拓数学理论的多属性决策方法研究 ( 1 ) 当t = p 为幺变换时，记么( e ) = 爿= ( “，少) l “u ，y = c ( u ) ei ，称 彳= ( “，y ) k u ，y = 七( “) o ) 为五的正域；j = ，y ) l “eu ，y - - k ( “) o ) 为j 的负 域；厶= ( “，y ) l “u ，y = 尼0 ) = o ) 为4 的零界。 ( 2 ) 当t e 时，称 a = ( “，y ，y ) i n u ，y = k ( u ) o ，y 7 = 后( 瓦) o ) 为彳( 功的正可拓域。 争一( r ) = ( “，y ，y ) l u u ，y = 七“) o y = 七( 瓦) so ) 为, 4 ( 3 的负可拓域。 4 ( d = ( “，y ，) l u u ，y = k ( u ) 0 , y = 七亿) 2 吣为彳( d 的正稳定域； 彳一( r ) = ( y ，少) l u u ，y = k ( u ) 0 , y = 尼亿) o ) 为彳( r ) 的负稳定域。 上述定义是关于元素变换的可拓集合，定义中假定论域u 和关联准则k 都是固 定的，但在实际问题中，u 和k 也是可以改变的。为了体现这两种变换下的可拓 集合，我们给出如下的一般定义。 定义2 6设u 为论域，k 是【厂到实域，的一个映射，z 为给定的变换，称 彳( d = ( “，j ，y ) l ut v u , y = k ( u ) i , y = 互颤互甜) e 毋为论域u 上的一个可拓集 合。 y = 七似) 为彳( 乃的关联函数，y = 互尼佤“) 为, 4 ( 3 的可拓函数，弓、互、 瓦分别为对论域u 、关联函数七 ) 和元素 的变换。规定：当以e 乃u u 时， y = k ( u ) 0 a 一 ( 1 ) 当乃= 白瓦= 岛z = p 时，彳( n = a 。 ( 2 ) 当乃- - e , 五= p 对，彳仃) = 彳( 互) 为关于元素蹦变换的可拓集合。 ( 3 ) 当乃= p ，乙= e 时，得到关于关联函数七 ) 变换的可拓集合 么( n = 彳( i ) = ( ( “，y ，j ，) l u e u ，y = k ( u ) e i ，y = t d c ( u ) ，) ( 3 ) 当瓦= e ，毛u u f 2 j 时，令 9 第2 章可拓学知识介绍 l 厅( “) ，u ur 、夏u ， t 。k c u ) = 七7 ( 1 f ) = i 毛( “) ，“乃u 一 ， 则称4 ( 丁) = 彳( 巧) = ( ( “，y ，y 7 ) k 乃u ，y = 后( “) j ，y = 七7 似) i ) 为关于论域u 变换的可拓集合。 显然，可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，它既可用来描述量变的过 程( 稳定域) ，又可用来描述质变的过程( 可拓域) ，拓界描述了质变点。 2 5 关联函数 在经典数学中，用特征函数来描述事物具有某种性质的程度，在模糊数学中， 用隶属函数来表征模糊事物的隶属度，在可拓数学中，由于事物的变化大多是从 量变到质变。因此必须建立定量化工具描述这一过程，因此可拓数学中用关联函 数来描述事物具有某种性质的程度。为了尽可能的减少人为的主观干预，研究了 不同类型的定量化公式，为了建立实数域上的关联函数，首先把实变函数中距离 的概念拓展为距的概念。 定义2 7 设而为实轴上的任意一点，x o = ( 口，b ) 为实轴上的任意区间，称 毗棚= 卜剖一字 眨2 ， 为点而与区间k = ( 口，6 ) 之距。其中( 口，6 ) 既可为开区间，也可为闭区间或半 开半闭区间。显然 o ) 当x o 叠x o 或而- - - a ，b 时，p ( x o ，五) = 矗瓴，五) 0 ( 2 ) 当x o x o 且而a , b 时，从而，五) 0 。 ( 3 ) x - d ，或6 后( 曲= 0 ( 4 ) 石= c 或d 铮j ( 功= 一l 。 ( 5 ) z 叠五，x x ，x 不是端点时营一1 七( 曲 o ( 6 ) x g 置x c ，d 营后( 力 o 表示引禹于凰的程度；七( 对 o 时，说明事物的变化是量变；当七( 功j | ) o ； 工芒m ，f i x 口，bc ，k ( x ) 1 ，d 叮= m a x q ；一口扩，口，一g ； ，d p = m a x p ：一，口移一p ； 。 3 3 本章小结 非线性关联函数的确定方法中令k 1 ，当k = 1 时就是转化成前面提到的线 性关联函数，本文主要构造了一种简单的非线性k 次抛物型关联函数，该函数反 映各个属性间的非线性关系，并且符合客观事物的发展变化的实际情况。关联函 数的确定一直是人们最关注的问题，关联函数的确立目前还没有形成一套很完整 有效的体系，确立关联函数的大多数系统方法仍然停留在实践和经验的基础上。 关联函数的确定是一个不断的实践检验的过程， 在实践检验中，利用各种信息 反馈，进而不断进行调查，使关联函数的确定成为一种学习过程，从而达到与 实际接近的最佳效果。 第4 章基于可拓数学的对方案有偏好的多属性决策研究 第4 章基于可拓数学的对方案有偏好多属性决策研究 在经典数学中认为区间内的点与区间的距离都为零，但是可拓学中距的概念 的引入，可以把点与区间的位置关系用定量的形式精确刻画。距的概念对点与区 间的位置关系的描述，使人们从“类内即为同”发展到“类内也有