（计算数学专业论文）过采样npr+dft滤波器组的设计.pdf

摘要 摘要 近年来，过采样滤波器组的理论和应用受到了广泛的关注。与临界采样滤波 器组相比较，过采样滤波器组设计灵活、具有更好的噪声抑制和调整能力以及更 高的子带冗余度，这使得过采样滤波器组在予带编码、自适应滤波等应用领域更 具优势。本论文主要研究了几乎完全重构的过采样d f t 滤波器组的设计。本文的主 要研究内容包括以下两部分： 首先，考虑过采样d f t 调制滤波器组的设计方法。讨论过采样系统的子带混 叠、系统输出中的混叠和系统失真，推导并给出了个相对简单的非线性优化算 法。该系统的分析和综合滤波器组具有不同的原型滤波器，大大增加了设计自由 度。引入小波中的约束方法，简化通带平坦性约束。实验结果证明这种方法非常 有效。 其次，研究线性相位的几乎完全重构过采样d f t 滤波器组的设计。根据d f t 调制滤波器组的特性，可以得到一组结构简单的线性相位滤波器。设计推导类似 于前面提出的具有不同分析和综合原型滤波器的过采样n p rd f t 调制滤波器组 的设计，同时考虑了线性相位条件，使得滤波器组的约束变得更为简单。试验结 果表明，增加了线性相位这一重要性质的同时，分析和综合原型滤波器在阻带衰 减、通带平坦性以及系统混叠等性能方面仅有很小的损失。 关键词：过采样d f t 调制滤波器组几乎完全重构线性相位 a b s t r a c t a b s t r a c t 3 o v e r s a m p l e df i l t e r b a n k sh a v eg a i n e di n c r e a s e da t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s s u c h i n t e r e s t sc a nb ea t t r i b u t e dt om a n ya d v a n t a g e so fo v e r s a m p l e ds y s t e m s ，s u c ha sm o r e d e g r e e so fd e s i g nf r e e d o m ，i m p r o v e dn o i s er e s i s t a n c ea n dn o i s es h a p i n ga b i l i t y , m o r e r e d u n d a n c y t h i sp a p e rp r e s e n t san e wm e t h o df o rt h ed e s i g no fo v e r s a m p l e dn e a r l y p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nd f t m o d u l a t e df i l t e rb a n k sw i t hd i f f e r e ma n a l y s i sa n ds y n t h e s i s p r o t o t y p ef i l t e r s t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i s to f t w op a r t s t h ef i r s t a s p e c ti s c o n t r i b u t e dt ot h e d e s i g no fo v e r s a m p l e dn e a r l yp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o nd f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s n l ed e s i g nm e t h o da i m sa tm i n i m i z i n g a l i a s i n g i nt h es u b b a n ds i g n a l sa sw e l la sm i n i m i z i n gr e s i s u a la l i a s i n g ，s y s t e m d i s t o r t i o n si nt h er e c o n s t r u c t e do u t p u ts i g n a l d u et ou s a g eo f t h et w op r o t o t y p ef i l t e r s ， t h e r ee x i s t sm o r ea v a i l a b l ed e g r e e so ff r e e d o mf o ro p t i m a ld e s i g n t h ep a s s b a n d r e q u i r e m e n t so fa n a l y s i sf i l t e rb a n ka n ds y n t h e s i sf i l t e rb a n kc a nb ef l e x i b l ya d j u s t e d s i n c es i m p l ec o n s t r a i n t sa b o u tt h ep a s s b a n df l a t n e s si no u rm e t h o d t h ep r o p o s e d m e t h o dc a na c h i e v eb e t t e rp e r f o r m a n c et h a nt h et r a d i t i o n a lm e t h o d s ，w h i c ha r ea l s o v e r i f i e db yt h en u m e r i c a le x a m p l e s t h eo t h e ra s p e c ti sd e v o t e dt ot h ed e s i g no fl i n e a rp h a s en e a r l yp e r f e c tr e c o r s 咖c t i o u t o v e r s a m p l e dd f t m o d u l a t e df i l t e rb a n k sw i md i f f e r e n ta n a l y s i sa n d s y n t h e s i sp r o t o t y p e f i l t e r s as i m p l el i n e a rp h a s ec o n s t r u c tc a nb ee f f i c i e m l yi m p l e m e n t e du s i n gt h e o v e r s a m o l e dd f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h ep r o p o s e dm e t h o di ss i m i l a rt ot h ef r o m t e c h n i q u e a d d i t i o n a l l y , d u et ot h el i n e a rp h a s e ，c o n s t r a i n t s o nt h es y s t e mb e c o m e s i m p l e ra n dt h ed e s i g na l g o r i t h mi ss i g n i f i c a n t l ys i m p l i f i e d a n dt h ee x a m p l e sv e r i f i e d t h a tt h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i sp r o t o t y p ef i l t e r sw i t ht h el i n e a rp h a s ec o n s t r a i n ss h o wa l i t t l el o s si np e r f a n m e n c ec o m p a r ew i t ht h o s ew i t h o u tt h i sp r o p e r t y k e y w o r d ：o v e r s a m p l e d d f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s n e a r l yp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o nl i n e a rp h a s e 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：签塞 日期 ，s 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 枞签名：丛日期1 神6 f ，s 导师签名：习粗 同期釜型t 止 第一章绪论 第一章绪论 1 1多速率信号处理和过采样滤波器组 多速率数字信号处理技术应用到工程实践中已经有将近3 0 年的历史了，时 至今日，它在语音和图像压缩，数字音频技术，统计和自适应信号处理，微分方 程数值解等多个领域有着广泛的应用。同时，多速率信号处理理论也适用于时 频表示的一些特定领域，例如短时傅立叶变换和小波变换，这两种变换经常用于 分析信号频谱的时变特性。 多速率是指在一个信息处理系统中，存在多个不同的采样率，因此该系统必定 包含被处理信号采样率的变换过程：变大或变小。传统单速率数字信号处理系统 的基本组成单元是乘法器，加法器和延迟单元( 如图1 1 ) ，常见的单速率系统如数 字滤波器，傅利叶变换，调制器等。在多速率系统中，还存在两个新的基本组成 单元，即下m 采样器和上l 采样器( 相关定义及说明见2 1 节) ，如图1 2 所示。通 过下m 采样器可以使信号的采样率下降m 倍：类似的，通过上l 采样，可以使信号 的采样率增加l 倍。根据实际应用中的不同要求，这些采样率的变化被应用于多速 率系统。 输入 伊争 一旷习一 两信号相乘 延迟单元 图1 1 单速率信号处理示意图 型l 匝丑业 下m 采样 输出 坐l 压刀_ 上l 采样 图1 2 多速率信号处理的组成单元 2 0 世纪8 0 年代中后期，以子带编码为主要应用背景的完全重构滤波器组理论 的产生和发展，使得滤波器组理论及其应用研究成为信号处理领域的一个活跃方 向。在多速率数字滤波器组分析与综合系统中( 如图1 3 所示) ，分析端通过一组 过采样n p rd f t 滤波器组设计 分析滤波器( 风( z ) 、h 。( z ) 、h 。一，( z ) ) 及其级联的下采样器将输入信号分解 成为m 个不同频带的子带信号，利用信号的子带频域特性，对信号进行处理( 如在 编码应用中，对子带信号进行量化编码) ；在合成端，子带信号通过上采样器及 其级联的一组综合滤波器( g o ( z ) 、g 1 ( z ) 、g 0 一。( z ) ) 最后将子带信号合成为 原始输入信号的重建信号。信号分解和最终合成过程是靠分析综合滤波器组来完 成，一个m 通道滤波器组的结构如图1 3 所示，分析和综合滤波器组中分别含有下 采样器和上采样器，用于改变采样速率，同时可以用于去掉冗余信息，这是一个 典型的多速率滤波器组。当采样数目k 和滤波器的通道数目m 相同时，即k = m ，这 种滤波器组称为临炅采样的m 带滤波器组；当采样数目k 小于滤波器的通道数目m 时，b o k i ) 。同时与临界采 样滤波器组相比，过采样滤波器组的长度增长，计算复杂度增加1 7 】。因此过采样滤 波器组经常借助d f t 或者d c t 实现，使过采样滤波器组的设计和计算得到简化。本 文主要讨论过采样d f t 调制滤波器组的设计哪 10 1 ，这类滤波器组可以借助f f t 算法 快速地实现，并且能够比过采样余弦调制滤波器组更好的抑制子带中的混叠项。 1 2 多速率滤波器组的发展历史 多速率数字信号处理的发展始于2 0 世纪7 0 年代中期i lj ，当时多速率技术主要用 于抽样率的提高或降低，信号的子带编码等。直至q j o h n s t o n 在1 9 8 0 年提出了一种两 通道正交镜像滤波器i l “( q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r ，简称q m f ) ，多速率滤波器组才开 始逐渐受到人们的关注。这类滤波器可以完全消除混叠失真和相位失真，只存在 微小的幅度失真。 1 9 8 6 年，s m i t h 和b a m w e l l l 2 1 提出共扼正交滤波器组( c o n j u g a t eq u a d r a t u r e m i r r o rf i l t e r ，简称c q f ) ，这是首次实现完全重构的滤波器组；v e t e r l i 【1 3 1 在1 9 8 6 年。 v a i d y a n a t h a n 1 4 j 在1 9 8 7 年各自独立研究了两通道予带滤波器组的完全重构条件。他 们引入了多相位( ( p o l y p h a s e ) 分解的方法对滤波器组进行分析和设计，极大的简化 了滤波器组的设计思想，为滤波器组的实现提供了一种可靠的结构，同时也为格 型滤波器组理论的发展打下了基础。 1 9 8 7 年，滤波器组的发展取得了极大的成果：v a i d y a n a t h a n 】系统的提出了 m 通道正交滤波器组的理论。他对正交滤波器组进行了参数化，提出了f i r 无损 系统的格型结构。滤波器组的精确重构性可由格型结构保证，因而滤波器组的设 计可表示成一个无约束的优化问题。这一结果不仅对多速率信号处理理论本身的 发展起着重要的作用，而且为后来m 带小波理论的建立提供了理论基础。 在19 9 2 年，k o i l p i l l a i u6 j 提出了余弦调制滤波器组( c o s i n e - m o d u l a t e df i l t e rb a n k ， 简称c m f b ) 的完全重构条件，并用格型结构实现。这是一种特殊的多速率滤波器 组，它所有的分析滤波器和综合滤波器可转化为一个或两个低通原型滤波器来实 现，由于设计简单而且实现效率高，成为多速率滤波器组研究的热点。n e u y e nt q ，【1 7 1 提出了m 带双正交滤波器组，c h a ns c 【1 8 】提出了非余弦任意正交调制的m 带 滤波器组。1 9 9 9 ，h e l l e r t l 9 1 提出了调制滤波器组的一般性理论框架。f l i e g e 2 0 - 2 4 蝴入 过采样结构，提出了修正的d f t 调制滤波器组( m o d i f i e dd f tm o d u l a t e df i l t e r b a n k ， 过采样n p rd f t 滤波器组设计 简称m d f t f b ) 。 2 0 世纪8 0 年代末到九十年代中期，小波分析研究成为热点。多速率滤波器组 与小波变换有着非常紧密的联系【2 ”“，m 代小波可由迭代的m 通道滤波器组得到。 1 9 9 3 年，s t e f f e n t 2 9 1 等人在m 通道正交滤波器组的基础上提出了k 阶正财m 带小波的 理论。在此期间，v a i d y a n a t h a np p 3 0 - 3 2 系统地提出了m 通道正交滤波器组的理论。 在图像和语音信号处理领域，线性相位是一种非常重要的性质，所以设计满 足线性相位的滤波器组成为研究的热点之一。研究表明，有实际意义的两通道完 全重构线性相位正交滤波器组是不存在的，也就是说功率互补条件和线性相位条 件是互不相容的 3 3 1 。1 9 8 9 年，n g u y e n 和v a i d y a 越t h a n l 3 4 l 提出了一种两通道双正交 线性相位的滤波器组，并给出了格型实现结构：1 9 9 0 年，他们又发表了m 带线性相 位滤波器组的研究成果h5 1 ，给出了一种格型分解算法。格型分解结构可同时保证 线性相位性和完全重构性，但这种结构仅适用于这种滤波器组的一个子类，因而 是不完备的。1 9 9 3 年，s o m a n 、v a i d y a n a t h a n 和n g u y e n 提出了m 通道线性相位正交 滤波器组的理论【3 “。当m 是偶数时，他们给出的格型结构是完备的。1 9 9 5 年，l i n 着$ 1 v a i d y a n a t h a n l 3 7 】将c m 瞪延伸到线性相位滤波器组领域，从而可以简化线性相位 m 带滤波器组的设计。2 0 0 0 年，l a b e a u l 3 8 1 等人提出了过采样的线性相位正交滤波 器组的结构，分解和设计标准。 1 9 9 7 年，x i a 3 9 1 用过采样滤波器组作为均衡器来抑制码间干扰，该均衡器具有 线性相位性质，而且有很高的带宽利用率。1 9 9 8 年，k l i e w e r 幸f i l b o l c s k e i 各自独立的 提出了过采样余弦调制滤波器组【4 “。同时，c v e t k o v i c 和b o l c s k e i 分别提出了过采样 滤波器组的理论框架1 4 1 。 1 9 9 9 年，x iz h a n g 和t o s h i n o f iy o s h i k a w a l 4 2 j 绘出了一种两通道i i r 滤波器组的设 计方法，该滤波器组在结构上满足p r 条件，同时运用r e m e z 迭代算法，避免求解 非线性方程组。 2 0 0 0 年，m a s a a k ii k e h a r a ，t a k a y u k in a g a i 和t q n g u y e n 从时域入手，提出了 偶数通道双正交线性相位p rf i r 滤波器的设计理论。该方法避免了非线性方程组 的求解和频域中的积分运算，同时对初值不敏感f 4 3 1 。 在应用方面，多速率滤波器组最早用在语音和图像编码中。各种滤波器组多 数是围绕提高编码效率，降低滤波器组时延，减少恢复信号的混叠成分和相位失 真及幅度失真的目的出现的。特别是为了方便处理图像信号，出现了各种线性相 位的滤波器组结构和设计方法。o l i v i e re g g e r1 4 4 】，j o h nww o o d s l 4 5 1 等在多速率滤波 器组的编码应用方面做了很多有意义的工作。同时，滤波器组和多速率信号处理 的思想还被应用到通信系统( 包括c d m a ) 、雷达信号处理、数字多路器以及噪声抑 制等许多领域。 滤波器组的设计可以归结为对目标函数和约束条件的优化问题，它们中或含 第一章绪论 有非线性约束条件，或对初始值敏感，或会对参数的变化敏感，或在目标函数或 约束条件中出现积分运算，这些都会增加计算的复杂度。现有主要的几种滤波器 组的设计方法如下： 1 格型方法 3 4 - 3 8 1 是种常用的设计方法。其优点是滤波器组的p r 性可由格型 结构保证，即使格型结构中的系数量化也能保证滤波器组的p r 性。它一般采用无 约束非线性优化算法。其缺点在于目标函数往往是格型结构系数的高度非线性函 数，对格型系数的变化非常敏感，很难获得高阻带衰减的滤波器组。 2 二次约束的最小二乘算法【4 6 】( q c l s ) 也是一种常用的滤波器组的设计方 法。该方法将耳标函数和约束条件表示成待优化的滤波器组的二次函数，从而有 解析的梯度和h e s s i a n 阵。用该方法设计的滤波器组有较高的阻带衰减，并且可用 于多种滤波器组的设计中。但该方法在优化过程中采用的仍是通用的非线性优化 算法。通用的优化算法一般不可能考虑到滤波器组的具体特点，因而运算量大且 对初始值敏感。为了获得满意的设计结果，通常要用不同的初始值进行多次的优 化计算。 3 拉格朗日乘予法也可用于设计滤波器组，但现有的拉格朗日乘子法只能设 计不同长度的分析滤波器组，而无法设计相同长度的分析滤波器组。张子敬对此 作了改进【4 7 l ，使得拉格朗日乘子法可应用于更广泛的范围。 针对滤波器组优化设计的具体问题，设计方法有所不同。本文讨论了更为灵 活简单的滤波器组设计方法。 1 3 本文的工作 滤波器组的设计主要有以下两个方面要求：第，完全重构或几乎完全重构， 即尽可能无失真地恢复原始信号：第二，要求比较好的子带滤波器的性能，包括 较小的过渡带、较小的通带波动和较大的阻带衰减。事实上，完全重构是一个比 较强的条件，在许多实际应用中系统的综合性能表现并不是最优1 4 8 】【5 2 】，几乎完全 重构滤波器组放宽了重构条件，能够综合考虑混叠的减小、通带平坦、阻带衰减 等设计要求，往往能够使子带滤波器的性能表现更好0 9 1 ，1 4 9 巧”。本文主要研究了几 乎完全重构过采样d f t 调制滤波器组的设计问题。 本文的主要研究内容包括两部分： 首先，考虑了具有两个原型滤波器的过采样d f t 滤波器组设计方法，设计算 法被简化成一个相对简单的非线性优化问题。由于采用了不同的原型滤波器，增 加了设计自由度。同时引入小波中的约束方法，迸步简化通带平坦性约束。 过采样n p rd f t 滤波器组设计 其次，研究了线性相位的过采样n p rd f t 滤波器组的设计。设计类似于前 面提出的具有不同分析和综合原型滤波器的过采样n p rd f t 调制滤波器组设计 方法，间时考虑了线性相位条件，使得滤波器组的约束变得更为简单，进一步简 化了设计算法。 本文的具体章节安排如下： 第二章：概述了调制滤波器组的基本理论，介绍了调制滤波器组的基本类型 及其相应的结构，这些知识是本文工作的基础。 第三章：提出了过采样n p r d f t 调制滤波器组的设计方法。考虑滤波器组 的子带混叠、输出混叠和系统失真要求，推导并给出了相应的设计算法。通过目 标函数中分析和综合原型滤波器加权参数的调整，可以折衷分析和综合滤波器的 阻带要求。简单的通带平坦性约束使得分析、综合原型滤波器通带要求可以灵活 调整a 设计结果证实了这种方法非常有效，同已有设计方法相比较，阻带衰减降 低了大约5 d b 。 第四章：研究了线形相位的过采样n p rd f t 调制滤波器组的设计方法。根 据d f t 调制滤波器组的特性，可以得到一组结构简单的线性相位滤波器。设计推 导类似于第三章，同时利用线性相位性质，进一步简化约束条件。试验结果表明， 增加了线性相位这一重要性质的同时，分析和综合原型滤波器在阻带衰减、通带 平坦性以及系统混叠等性能方面仅有很小的损失。 总结和展望：总结本文所作的工作并说明进一步研究的方向。 第二章调制滤波器组的基础理论 第二章调制滤波器组的基础理论 调制滤波器组【1 9 】【5 4 】是一种特殊的多速率滤波器组，它所有的分析滤波器和综 合滤波器可以由一个或者两个低通原型滤波器通过调制得到，设计简单而且实现 效率比较高。 2 1 采样率变换 多速率信号处理系统必定包含信号采样率的变换过程：变大或变小，采用上 采样器( 抽取) 或下采样器( 插值) 来实现这两个变换过程。 2 1 1 数字信号的表示 离散信号z ( 胛) 的m 倍采样就是每隔m 点，保留石( n ) 的一个值，其余的值置 0 。数字信号的采样过程可以表示为原始信号和离散采样函数乘积的形式，如下： ( ”) = 面1m 台- i 。v n = ： = ，：以，聊为整数 ( 2 1 1 ) 其他 一 引入离散信号的两种表示：离散信号的多相表示和调制表示。 离散信号的第一类型多相表示或标准多相表示可以定义为m 个不同相移的 离散采样信号之和 村一l 一l x ( ) = x p ( k ) = x ( 疗蛾( n 一兄) ( 2 1 2 ) 中x 扩( ”) = x ( 珂) ”k ( 聆一a ) x j 以( z ”) = x ( ，扎m + 兄) z “= 掣( 聊弦一” 离散信号的调制表示可通过其z 变换的变量z 用。咙替代得到，即 ( 2 1 3 ) 捌哪( = ) = x ( z 嘭) ，k = 0 ，1 ，m 一1( 2 1 6 ) 村 口扣o x m i i “二姜 弦 兄 +mm 艺一 = 0 x d 勋 l 1 心 汜 过采样n p rd f t 调制滤波器组的设计 其中上标“( m ) ”表示调试表示，作变量替换：斗e j c a ，则有 墨帕( p ”) = x ( e 兵”2 “娜) ( 2 1 7 ) 调制过程相当于把信号的频谱在归一化频率域搬移了2 疵m ，如图2 1 所示。 i ：h 。l 。口， 0 2 f i m 2 t t 图2 1 离散倍号的调制表示 2 1 2 下采样( 抽取) 信号的采样率远大于两倍信号带宽时，可通过下采样过程降低信号的采样率， 离散信号x ( n ) 的m 倍下采样过程就是每隔m 点保留一点数据，即 y ( m ) = x ( m m )( 2 1 8 ) 其中y ( m ) 表示下采样后的信号，这一过程可用图2 2 描述。 型互拦 ( a ) ( b ) 图2 2 离散信号的抽取 这一过程的信号输入与输出的z 域与频域关系为： y ( z ) = 击纂( = ”瞄) ，y ( ) = 击墓爿( e j ( w - 2 k n ) t m ) ( ：) 其中阡么= e 2 “。下采样的输出信号是m 个信号的和，这些信号的频谱是输入信 号频谱扩展m 倍，相位相差2 r c m ，实际上就是信号的各种调制表示。因此，当 信号带宽大于石m ，下采样就会引起混叠。为了防止混叠的产生，一般会在下采 样之前进行低通滤波，该低通滤波器称为抗混叠滤波器，如图2 2 ( b ) 所示。 第二章调制滤波器组的基础理论 2 1 3 上采样器( 插值) 如果需要把几个窄带信号复合在一起构成一个宽带信号，则需要信号的上采 样过程也就是增加信号的采样率。可以分为两步来实现：第一步是扩展采样率， 即每两个采样点之间插入三一1 个零点；第二步是抗镜像滤波。如图2 3 所示。 竺乜生竺匝丑旦恒弘 ( a ) ( b ) 图2 3 离散信号的插值 这一过程中信号的输入与输出关系为： 时域关系 z 域关系： 频域关系： 咖) ：j y ( 争肛枇 1 0其他 v ( z ) = r ( z 2 ) v ( e 。) = r ( e 。) = r ( e “) r 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) f 2 1 1 2 ) 由式( 2 1 。1 1 ) 可知，采样率的增加导致信号的频谱在原始采样率归一化的数字频率 域内，出现了个上一1 个镜像频谱，为了得到与原始信号一致的采样信号，需要进 行抗镜像滤波，如图2 3 所示。 2 1 。4 等价信号流图 对于上采样和下采样过程，有以下n o b l e 等效信号流图，如图2 4 所示。一个 m 下采样器和一个滤波器h ( z ) 等效于t t ( z ”) 和一个m 下采样器；一个滤波器 l - l ( z ) 和一个m 上采样器等价于一个m 上采样器和一个h ( z “) 滤波器。这两个基 本的易位等效结构称为n o b l e 等效。 亟卜匝卜互 匦卜 - + 至卜五卜一互 亟卜 ( b ) 图2 4 等价的信号流图 过采样n p rd f t 调制滤波器组的设计 2 2 均匀m 通道滤波器组 均匀m 通道滤波器组有低通、带通和高通滤波器构成，各个滤波器的带宽相 等，中心频率点均匀分布。本节讨论平行结构的m 通道滤波器组。 2 2 1 平行结构的m 通道滤波器组 图2 5 是一个典型的均匀m 通道滤波器组，两个虚框内部所对应的分别是分 析滤波器组和综合滤波器组。其中峨( 2 ) 和g 0 ( z ) 是低通滤波器，q ( z ) ，一：( z ) 和g l ( z ) ，g m 一：( z ) 是带通滤波器，一。( z ) 和g 。一。( z ) 是高通滤波器，它们的带宽 都是；r g m ，中心频率均匀分布于0 丌之间。此处的每个滤波器的输出都作了k 倍的采样，且当采样数目k 和滤波器的数目m 相同时，即k = m ，这种滤波器组 称为临界采样的m 带滤波器组；当采样数目k 小于滤波器的数目m 时，即k m ， 这类滤波器组称为过采样m 带滤波器组。 x ( z ) ，匝互悃 x o ( 力 - 匝丑岖研 1 吐巫丑囡 五( z ) ，匝丑咂逦卜 。n i 习，厂_ = j 0 一。( z ) 。n 厅三一z 1j 圈2 5m 馗j 亘德顿器组 分析滤波器的输出可以表示为 1k 一】 墨( ：) = 专珥( z i i k 哎) x ( z l l k 嘭) f - o ，1 ，m - 1 at ：0 或 啦) = 去【h ( 飞z i l k 妒x ( z l x ) ( 2 圳 其中x ( m “1 为调制矢量， x ( z ) = x o ( z ) x 1 ( z ) 一。( z ) 7 x m ( z ) = 霸”( z )爿j ”( z ) x 矧( z ) 7 ( 2 2 2 ) h ”( z ) 为分析滤波器组的调制矩阵 第二章调制滤波器组的基础理论 风( z )q ( z ) 风( z 暇)q ( z 暇) 乩0 畔1 ) 耳( ：辟z 。1 ) 综合滤波器组的输出为 或 其中 鼻( = ) = 瓯( z ) 瓦( z 。) 叠0 ) = g r ( z ) x o r ) g ( z ) = 【g 0 ( z ) g 1 ( z ) 峨，一，( z ) ，一( z 暇) 根据式( 2 2 4 ) 可得滤波器组调制矢量的表达式 i ”( z ) = g ”( z ) x ( 矿) g 押( z ) 为综合滤波器组的调制矩阵 g ”( = ) = g 1 ( = )g 0 一。( z ) g 1 0 碟) 瓯一，0 暇 a o ( z 哗。) g l ( z 嘭。) q 一，( z 嘭。1 ) ( 2 ，2 3 ) r 2 2 4 a ) r 2 2 4 b ) ( 2 25 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 式( 2 2 1 ) 代入式( 2 2 6 ) 得 i 伽k ) = 去g ( z ) 【h ( m ( 列7 x 细心) = r 。) x 汩k ) 其中 m ) = 去g ( 纠驴沁汗 ( 2 埘 r ( z ) 称为传递矩阵，如果满足 r ( z ) = d i a g f ( z ) ，( z 暇) ，f o 阿z 一1 ) ，那么滤 波器组不会有混叠失真；如果f ( z ) 是全通滤波器，那么滤波器组没有幅度失真： 如果f ( z ) 是线性相位的，即f ( z ) = c z ，则滤波器组是完全重构的。r ( z ) 给出 了滤波器组输入调制矢量、输出调制矢量之间的关系，它的第一行与输入调制矢 量之积就是滤波器组的输出： 2 ( z ) = 专g r ( 州h k ) 】7 一乜) = i 1m 刍- i q ( z ) 薹风( z 昨( z 蝶) 过采样n p rd f t 调制滤波器组的设计 1 k 一1m - i = 亡 瓯( z ) 巩。碟艄( z 昨) j ot o m r 0 由上式可知，滤波器组的输出不仅与原始输入x ( z ) 有关，与输入的混叠部分 x ( z 嘭) ，k = 1 ，2 ，足一1 也有关系。当k = 0 时，式( 2 。2 9 ) 体现了输入x 0 ) 与输 出嘉f z ) 之间的关系，因此把 1m i 瓦。( z ) = 专g 。( z ) 日，( z ) ( 2 2 1 0 ) 称为系统的传递函数。其余部分体现了混叠分量对输出的贡献，由于不同混叠分 量x ( z 哎) ，k = 1 ，2 ，k 一1 不能相互抵消，因此各个混叠分量的传递函数 ? 。g j ( z ) h ，( z 昭) 需要单独考虑，实际应用中，为了衡量总体的混叠程度，把 lm。)_【否陆萎q(z)巩。哎i】l，2(2211k im ) 一1 1一l 1 2 定义为滤波器组的混叠函数。 2 2 2 仿酉结构 由式( 2 2 8 ) 可知，完全重构滤波器组的综合滤波器组调制矩阵可以写为 g ( z ) = k f ( z ) ( i t ”( z ) ) 7 】1 i( 2 2 1 2 ) 和二通道滤波器组一样，根据式( 2 2 1 2 ) 设计完全重构滤波器组存在矩阵求逆问 题，通常矩阵求逆不能得到令人满意的结果，可能会得到i i r 滤波器或系数过长 的滤波器，不适合实际应用。 一个多输入多输出系统通常可以用一矩阵e ( z ) 来描述，这种系统在实际信号 处理中也很常见，例如：d c t ，d f t ，只不过它们的变换矩阵e ( z ) 是个常数矩 阵，不包含z 变量。如果有 e 。0 ”) = e 7 0 ”) 】( 2 2 1 3 ) 则e ( z ) 是个酉矩阵，把上式扩展至z 平面，如果 e 。( z ) = 【e ：( z 。) 】= 豆( = )( 2 2 1 4 ) 则e ( = ) 是仿酉矩阵，相应的系统称为仿酉系统，式中下标“t ”表示对矩阵中元 第二章调制滤波器维的基础理论 素取复共轭。酉系统的一个特点是稳健性，它可通过格型网络实现。 对于m 带滤波器组，如果分析滤波器组的调制矩阵是仿酉矩阵，即 【h m ( z ) 盯1 = h 巩z 一1 ) ( 2 2 1 5 ) 则式位2 1 2 ) p t 以避免矩阵求逆，即 g ”( z ) = k r ( z ) h ：”( z 。1 )( 2 2 1 6 ) 根据式( 2 21 6 ) 设计滤波器组的关键是仿酉矩阵的设计，寻找符合一定特性的仿酉 矩阵比较困难，一般采用基于格型结构的滤波器组设计方法。相对而言，调制滤 波器组不独立设计每一通道的滤波器，而是先设计一个或者两个合适的低通滤波 器，通过对该滤波器的调制得到各个通道的滤波器，因此滤波器组的设计最终归 结为低通原型滤波器的设计，设计过程大大简化。 2 3 滤波器组的多相结构 滤波器组的多相结构能提高滤波器组的设计和计算，本节介绍滤波器组的多 相矩阵及多相结构实现。 2 3 1 二通道滤波器组的多相实现 首先来看结构较为简单的二通道滤波器组，假设世= m = 2 。 对0 ) ，q ( z ) 作多相分解可得 风( z ) = 爿翟( z 2 ) + z 。玩? ( z 2 )( 2 3 1 ) h 1 0 ) = 日2 ( z2 ) + z “日譬0 2 ) 对g 0 ( z ) ，g i ( z ) 作第二类型多相分解可得 g 。( z ) = z - ! q ；2 1 ( z 2 ) + 锑f 2 ( z 2 )( 2 3 2 ) g i ( z ) = z - 1 g 留2 ( z 2 ) + 研? 砷( z 2 ) 根据以上四式，图2 ，6 ( a ) ( b ) 所示的二通道滤波器组可用图2 6 ( c ) ( d ) 实现，对图 26 ( c ) ( d ) 做等价流图交换：把2 倍下采样提前，2 倍上采样置后，得图2 6 ( e ) 和( f ) ， 即二通道滤波器组的多相结构实现，和图2 6 ( a ) ( ”相比较，计算量减少了l 2 。 1 4 过采样n p r d f t 调制滤波器组的设计 型 姻坚恒卜引 丽哗却可一州刁 ( a ) 她q 曰型阶 x 盟娟砰型而砷j 骛) ( b ) ( d ) x ( z ) 图2 6 二通道滤波器组的多相结构 2 3 2 二通道滤波器组的多相矩阵和完全重构条件 图2 6 ( e ) 的输入输出关系 麟 其中分析滤波器组的多相矩阵 ( d 叭加僦翻 图2 6 ( e ) 虚框内部的信号流图对应此矩阵。图2 6 ( f ) 的输入输出关系为 蹦卜，7 l x 。( z ) j l 置( z ) j ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 35 ) 第二章调制滤波器组的基础理论 其中 驴气加暾三 ( 2 3 6 ) 根据式( 2 ，33 ) n 1 式( 2 3 5 ) 可得 黝 = g ( 川舯沁) 搿 b ，刀 因此二通道滤波器组完全重构的条件也可以写为 【g 廊( 。) 】7 h 9 ( ：) = z - k l r g ( p ”c z ，7 h ( p c z ，= z 一 ；一。： 2 3 。3 m 通道滤波器组的多相结构实现 ( 2 3 8 ) 下面讨论图2 5 所示的m 通道滤波器组的多相矩阵，多相结构见图2 7 。 x ( z j 丌 托。( z i。( z ) 、 玉l = 二二j 一 7 i 垒i 7 r7 x l ( “。 型嘻 z - ：1 弘 l i ( 9 ( 力 俨圆 z l。习毛一，( z k 毡牡 “ ! 墨l 7 图2 7m 通道滤波器组的多相结构 x ( z ) 当m 代滤波器组的分析滤波器组为 h o ( z ) ，h ( z ) ，巩一，( z ) l 。下采样因子 为k 时，分析滤波器组的多项矩阵h ( z ) 表示为 其中 h ( z ) 月0 0 ( z ) q 。( z ) 风，( z ) h 。( z ) 凰。( z ) 日m l ( z ) 乩吐。( z ) 乩 。( z ) 。( z ) e ，( z ) = h ， n k 一力z 1 ( 23 9 ) ( 2 3 1 0 ) 订叫_ = 川 口口 瓯q 过采样n p rd f t 调制滤波器组的设计 且有 一( z ) = z 1 ( z “) 对综合滤波器组作多相分解，得到综合滤波器组的多项矩阵g ( z 1 ： 且有 g ( z ) = g 0 。( z ) g o ，( z ) g l 。( z ) g i ( z ) 6 0 吐o ( 2 ) g 0 4 l ( 2 ) g o 弘1 ( z ) g 1 肝】( z ) 瓯“n ( z ) q ( z ) = z 一q ( z “) 把式( 2 3 7 ) 扩展至m 通道滤波器组，因此有 ( 2 3 11 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) i ( z ) = g ( z ) h ( z ) x ( z ) = p ( z ) x ( z ) ( 2 3 1 4 ) 其中系统完全重构时满足以下条件： p c z ，= g c 三，h c ：，= 口z 一。 ：一0 ，。1 ，1 篡0 7 q s s ， z ，l 其中a 是非零常数，d 和r 是正整数，0 ，m 一1 。对于仿酋( p a r a i l i l i t a r y ) 特性( 正 交) 滤波器组，由于分析合成滤波器互为倒序，完全重构条件为： p ( z ) = g ( z ) i t ( z ) = = “i ( 2 3 16 ) 图2 7 的多相实现方式与图2 5 相比，计算量大为减少。滤波过程在输入信号下 采样k 倍后进行，计算量减少了k 倍：同时，滤波过程使用的滤波器是多相子滤 波器，长度仅为原始滤波器的1 m ，因此又可以减少m 倍的计算量：另外，如果 滤波器组的通道数较多，那么随后额外所需计算与原有滤波过程将比，计算量也 会有所较少。 2 4 调制滤波器组 调制滤波器组是滤波器组的一个重要分支，这类滤波器组可以通过调制一个 或者两个原型低通滤波器得到各个通道的滤波器，大大降低了滤波器组的设计难 第二章调制滤波器组的基础理论 度，同时滤波器组的设计可以归结为原型低通滤波器的设计，不仅如此，调制滤 波器组可以借助d f t 或者d c t 实现，有很高的计算效率，因此在实际信号处理 中，它们有着极其广泛的应用。主要有两类调制滤波器组：复调制滤波器组 ( d f t - f b ) 和c o s 调制滤波器组( d c t - f b ) ，以下分别作一简单介绍。 2 4 i 复调制滤波器组( d f t f b ) 复调制滤波器组也被称为伪q m f 滤波器组，最先提出的d f t 调制滤波器组 按下列方式构造： ( 1 ) 选择一个合适的低通滤波器( 2 ) ，其截止频率为万m ，按如下方式 h 。( z ) = h ( z 附)m = 1 , 2 ，m i( 2 4 1 ) g 。( z ) = g ( z 玎省) = m h ( z w 嚣) m = 1 , 2 ，一，m 一1 选择各通道滤波器，上式就是对原型滤波器日g ) 等间隔频移的复调制，因此这种 滤波器组称为复调制滤波器组。 lz ，潞彼葡z 且州删僧7 融暨只丐虑硼邻揪常繇狨器明伲叠。 ( 3 ) 通过抑制滤波器阻带增益减少不相邻滤波器之间的混叠。 爿( e 加) 6 0 6一f ，f ，f，r 叁，【p ”1 8 i ( p ”) h i ( e “) 图2 8 各通道滤波器频