（基础数学专业论文）不变集上多维hermite插值小波的构造.pdfVIP

硕 ：毕业论文 摘要 本文在1 1 维实欧式空间中通过集小波构造了多维h e r m i l e 插值小波，并 得到了r 空间中的多尺度结构，全文分三部分： 第一部分叙述介绍了与集小波相关的一些概念及性质，第二部分介绍了树形 结构，并提出了多维h e r m i t e 插值条件，同时利用分块结构，对插值点进行一 个排列，得出了h e r m i l e 可插值的条件以及插值基函数的求解等。第三部分利 用集小波理论，将给出不变集i ，卢为一个正整数设a 为x 中的一个子集，+ x e x ，n x 到a 的距离及a 的直径分别定义为： d i s t ( x ，彳) - i n f d o ，y ) ：y 彳 ，d i a m ( a ) _ s u p d ( x ，y ) ：j ，y 彳 ， 由压缩映射的定义可知，存在) ，( o ，1 ) 使得 d i a m ( q 6 ”sy d i a m 似) ，e e 。 设 巾即) u 晚即) 凰 由文( 【5 】5 ) 可知：存在x 中的唯一一个紧子集k ，使得 m ( k ) = k ， 即 u 以衅) = k ( 2 1 ) ( 2 2 ) 那么我们将满足( 2 1 ) 中的k 称为关于压缩映射m 的不变集( i n v a r i a n ts e t ) 对任意的k e n = 1 ，2 ，) 和气- - ( e 。，毛，& 一。) 或，这里e ：- 乞 ( 共忌个) ，定于压缩映射吒：- 以。晚。鸭其中“。”表示函数的复合，设 定叱- 噍：e k 或) ，特别地，m 。= 巾 下面给出加细集的概念： 定义2 1 ( 见文 ”】d e f i n i t i o n 2 1 ) 称x 的子集y 关于映射族m 是加细集 ( r e f i n a b l es e t ) ，如果y m ) 当v m ) 时，n v 称为关于映射族m 的不 变集 易见，如果y 为x 的关于m 的加细集，那么m 。) ( k e n ) 也均为加细集 为了清楚起见，这里给出实轴上的两个例子： 例1 距离空间为r ，整数肛 1 ，设 2 硕一l j 毕业论文 妒，( f ) ：半，f e r ，e e “ ( 2 3 ) 【0 ，1 】显然就是关于这族映射v ：= 伽。，g e 。 的不变集 ： 例2 ( 见文1 1 p r o p o s i t i o n 2 2 ) 集合仨：j e 巨k e n 是关于映射 k 族v 的加细集 集4 、波的产生从j 中的一个有限离散点集v o ：- 1 ，：- l ) 作为一族压缩映 射m 的加细集开始首先我们来定义有限子集序列： k ：= m 形一1 ) i e n ， ( 2 4 ) 我们考虑上述k 为工的对应于压缩映射族m 的不变子集，文( 【1 1 】) 得到了 关于这个k 与所得到的集合序列彤：f n 。，n o - o ，1 ，2 ，) 之间关系的命题 命题2 1 ( 见文 1 1 】p r o p o s i t i o n 3 2 ) k 为x 上的一个对应于有限压缩映射 族m 的非空加细集彤：i e n ) 即为( 2 4 ) 所定义的集序列，则 k = u k ( 2 5 ) i 臼 该命题为构造关于有限压缩映射族m 的唯一不变子集k 提供了另一种方法， 换句话说，可以通过一个加细集递归地生成k ( i e n ) ，从而得到不变集k 我 们称序列 4 ：i e n o ，是嵌套的( 严格嵌套的) ，若4 一，4 ，i n ( 4 一。c 4 ，i n ) 命题2 2 ( 文 11 l e m m a 3 2 ) 设k 为关于压缩映射族m 的不变子集，假设k 不是一个有限集，k 为x 中的一非空有限子集，则由( 2 4 ) 得到的集族彤：i e n 。) 是严格嵌套的充要条件是关于的加细集 如果集族彤：f n 。) 是严格嵌套的，令m “曩k k 巾f n ， 则 k 墨k 。u 上m ，f n 这里彳u 上b 表示当彳n 口一f 2 j 时的au b 当丸o ) n 吃似) = 1 2 j q ，乒，引入符号： m 上) _ u 电) 峨 则k 可分解为： 3 硕上毕业论文 k - - v o u 上( u 上m ，) ( 2 6 ) 醯。 命题2 3 ( 见文 1 1 t h e o r e m 3 4 ) 设k 为x 上关于有限压缩映射族m 的不变 集假设m 中的任意一个压缩映射噍，( e 。) 在x 上都有连续的逆映射，并且具 备如下性质： 九( i n t k ) n 吃( i n t k ) = f 2 j ，乞，乒。 。设是关于m 的加细集，m 。c i n lk ，则m j = m 上( m “) ，i e h ，并且该紧集k 有如下形式的集小波分解： k = v ou 上( u 上m 。) ( 2 7 ) ，l 引。 该命题表明当集合m 。给定，集合m ；( i e n ) 能够递归地由m 。通过压缩映射 族m 。构造出来从而给出不变集k 的一个多尺度的分解，基于这个原因，我们 称这些集合m ；a n ) 为集小波( s e tw a v e l e t s ) ，集合m o 称为初始集小波( i n i t i a l s e tw a v e l e t s ) ，由命题2 1 的( 2 5 ) 式得到的k 的一个分解，命题2 3 中的( 2 7 ) 式，我们又得到k 的另一个分解形式，而该分解形式就称作是k 的集小波分解 ( t h es e tw a v e l e t sd e c o m p o s i t i o no fk ) 4 硕十毕业论文 第3 章多维h e r m i t e 插值 3 1 插值点的树形结构 首先我们给出几个基本记号，对于任意a = ( a ，a 2 , - - , ) n ： 我们记h = + 口2 + + a ! = a lt ! 同时记 对于石= ( 岛，岛) r 。，我们h 2 x 。= 等- 爵一，这是一个次数为h 的单项式设 兀d 是d 个变量的多项式全体所组成的空间，兀：是次数不超过n 的上述多项式所 组成的子空间显然n ：的一个基可由以下单项式构成 r ：o s 川s 捍 设# 表示 所有次数刚好为n 的单项式x 。的个数，则： ，? 2 ( n + 三一1 ) 以及d ；m l - i d = ( n ：d ) 例3 1 设是r 。中的一个点，y l ，y ：，y 3 ，z 是r d 中的非零向量，那么以下就 是h e r m i t e 插值条件的一个例子，给出了插值点及其几个方向导数的值： f ( x o ) ，q 。f ( x o ) ，d y ：d y l 厂) ，见厂) ， d ，p ，p ，i lb 0 为了更简洁形象的表示上述各种微分，我们引入树形结构( 见文 1 2 ) 设z r 4 ，册n d 。我们考虑一个小标集 e = ( 1 k 1 ，0 11 i f ，) ， 这里：；o 或1 ，那么t = c 上可表示为 t = 1 ，存在唯一j = ，o ) ，使得e ；11 ，这里称f ；。1 为t 的父结点， 5 l 叫 i q 暑 r一，a 一口 = 、iil， 口 口 ，jlili- 硕t ：毕业论文 如果e 具有树形结构，我们称c 就是一棵树，x 就是根，y ：就是树的结点。用k i 表示非零结点数目，包括树的根一序列弘= ( i ，艺，毛) 叫做树形结构e 中的一条 链，如果：；= 一1 ，这里对于每一个j ，lsj s 七一1 ，! 是：1 的父结点如 果链中的术结点不是e 中任何元素的父结点，那么我们就称这种链为最大链 如果z = 瓴，之，) 对于歹s j | ，群= 瓴，) ，我们记s 弘所以在例3 1 中， 我们有e = 1 1 1 ，o l l ，1 ，o l l ，0 ，0 ，o ) 以及气= 扛。l y ，o t z ，y ：，o l y ，0 ，0 ，吣，最大链 ，= g 2 ，1 ) ，：；0 , 1 ) 。下面用图标法来描述树形结构更加清晰： 其中“ 表示根，“。”表示其它结点互的同一层各结点放在同一列中， 即一个竖直条中比如第_ 层的结点，一，班就放在同一列中图中没有任何连 接( 孤立) 的那些结点是对应于f ；= o 的那些点 3 2h e r m i t e 插值问题及其等价性 设p = ( i ，, - - - , ) 是t 中的链，记p 互我们记 y p ；戎磋 盯( 弘) = 七 以及一个微分算子 d ：攀一d y i d y 。 当= o 时，a ( j c l ) = o d o o 就是一恒等算子， 设m n 。，x ：, - - 、是彬中不同的点，1 s 后s m ，m k n o ，对于某个 6 硕士毕业论文 n e i , 满足荟2 d l m i - v 。对于每一个忌，l ：a k m , 瓦是相应于吒的一棵树 他的根就是黾，并且k i = m k 定义3 1 ( 见文 1 2 】) 设而，屯，h 和互，的定义如上所述h e r m i t e 插 值问题就是寻找一个多项式p 兀：，使得对于任意的厂：r dhr ，f ( e c ”( 础) ， m = m a x m t ：1 s ks m ， d y o ，( p p ( 五) = d p 厂( 以) ，瓦，l ks 肘 ( 3 1 ) 如果存在唯一的多项式p i - ：满足( 3 1 ) ，我们就称这个h e r m i t e 插值问题 是适定的并记这个插值多项式为日。( 厂；) 定义3 2 ( 见文【1 2 】) 如果在每一点的插值条件都是相同的，那么这个 h e r m i t e 插值问题就叫做一致h e r m it e 插值问题所以插值条件( 3 1 ) 可写作 磊。气) = 器( t ) ，口n ；，l 口l s 刀z ，1 七s 朋( 3 2 ) 插值问题的等价性：考虑两个插值问题，在点r 2 处，第一种情况，我 们对它的偏导进行插值见；和q ：；第二种情况，我们对q 和d y ：进行插值，在 这里 y 1 = ( 叩，7 ，：)y 2 一铆：，7 ：) 是两个线性独立的向量，并且不同于p 1 和p 2 ， 见下图 l 以的维数是d i m - ：。对于每一个后我们称。是吒第层的一个拷贝如果一个 点集可以排成饥) 1 。l 。形式，我们称它为块形式，并称k ) | 口卜，o a ks n ，为块 ( b l o c k ) ( 见文 1 2 ) 定义3 3 式( 3 1 ) 所定义的h e r m i t e 插值问题满足分块结构，如果厄可以 重排至分块形式， 兄= 勤：i 卢is n ，n ：) ， 使得对每一个k ，黾的同一层的所有拷贝结点位于同一块中，并且层的次序仍被 保留在块的次序中，具体地讲就是如果吆的两个拷贝点也，矗处于同一块中当 且仅当，；z 如果j 是适定的，那么我们说这个插值问题是块适定 的 对于口n ：，我们设九表示兀d 中的单项式 屯( 石) = x “，口n ： 那么相应于这个h e r m i t e 插值问题的一般范德蒙行列式可定义为 y ( 兄) = ( 骘九坼) ) p 两，例。， 命题3 1 ( 见文 1 2 ) h e r m i t e 插值问题( 3 3 ) 是适定的当且仅当d e t v ( x ) 0 对于一个适定的h e r m i t e 插值问题，插值基函数记作q 口兀：，hs 厅即满 足 嘴田) ；l a ls 刀，i r l n ， ( 3 4 ) 9 硕l ：毕业论文 返里6 卢，r26 岛，r l 6 几，h 另l s 么! l ! u 有 州加) 2 磊骘，怫) g 卢” 事实上，这些多项式可以通过如下具体给出：，n ：，i t s n 。定义行列式( 石卜) 可为： ( 咒协= ( d ，o ，o ，声* 桃圳o ? = 叠管二歹 于是这个h e r m i t e 插值多项式基函数即为 啪) = 学，川饥删d 。 由于每一个多项式基都是h e r m i l e 插值问题的解，集合g 。，h s 玎，构成 了空间兀：的一个基但是仅仅通过计算行列式来计算多项式吼是很复杂的，文 12 1 介绍了用n e w t o n 插值公式来计算 1 0 硕l ：毕业论文 第4 章多维h e r m i t e 插值小波 4 1 不变集中的插值基函数 在这一节里，我们利用第二章所生成的集小波来构造h e r m i t e 插值小波1 段 定x ：= r ”，中：- - p , ：乞) 为r “上的一族压缩映射k 为中的不变子集，满足 m e a s ( k i n t k ) = 0 ，这罩m e a s ( a ) 表示集合a e r ”的l e b e s g u e 测度 我们引用上一章树形结构， ，k 】_ i n t k 分别为树l ， t 的根，设 v o 一 ，k ) ，每一棵树五下的各链集合记作阢，d i m u ；表示q 中链的数目( 包 括根) 。由上一节可知，若h e r m i f e 插值问题是适定的，p 为各基函数所构成的 线性空间，那么对于任一常数c ，一( y ，) 瓴x u o ) o o ( 屹x u 。) ，存在唯一 的p p ，使得 d r ( p ) ：= ( d 墨p p ) ( ，) 一( d “p ) ( ，) = c ， 并且d i mp = 罗d i m p 的基为 所：厂( v o v o ) o o “x u 。) 儡 同时对任一p p ，均有p = d r o ) p ， 4 2h e r m i t e 插值小波的构造及其性质 如果关于西是加细集，那么称v o r “为关于( 西，p ) 是h e r m i l e 相容 设m 有以下形式： 晚( f ) ；a , t + 也 f k ( 4 1 ) 定义线性算子：t ：r 似) 一r ( k ) ，f 巳 c 辅叶 ( 4 2 ) 定义常数 a - u ：霉口：口彳口： 乞= ( ，毛，巳一，) e t 噍( k ) f 诺赡( k ) 硕：l j 毕业论文 引理4 1 ( 见文 1 3 】) 设m 如上( 4 1 ) 所定义，对于所有的巳6 e ：以及m n ： 下式成立： 秽t ；n - ：1 e i 秽，n e n 引理4 2 ( 见文e 1 1 ) 令b , c c r 僻) 子空问，假设b o c 为b , c 的直和， 那么对任意e 。，则有t f ( b o c ) = ( t fb ) o ( t ，c ) 引理4 3 ( 见文 1 1 】) 令y r 似) ，那么有： t , y n t ；y - - i o ， ，乞，f f 现在我们开始构造空间；，i e n o 中的基函数，记 h 。- f f i p ，r e ( v o x u o ) e ) e ) ( v kx u 。) 】 是在关于m 的加细集上h e r m i t e 插值于的函数集 定义4 1 h 。- 口三一p r r e ( v o x u o ) o o ( 咋吼) 定理4 1 由定义4 1 给出的函数集合a n ) 是h e r m i l e 插值于k ( f n ) 上的函数集这里的k o n ) ：k - m 形一，) ，f e ，并且 d “( 口三一刃) ( 啦o ) ) 一6 i ， m ，) 证明：我们对h 。中的胛用数学归纳法来证明，当以= 1 时，由定义4 1 可知， h ，誊u 上口：t p ，。由于日。是h e r m i l e 插值于加细集k 上的函数集，即 p “p , x v ) = t ，- 又由于 k = 西( ) 一 以p j ) ：，歹乓+ ， ， 所以当= 占时， d 。( 口：l b ) ( 嗔v ”；d 。 ：t 只) ( 晚o ” 由引理4 i 知，上式可化为 ( 口：口；”肌d 。n ) ( 噍o ”= ( d 。p r ) ( 行1 。晚” 1 2 硕j i j 毕业论文 = ( d 。p ，) ( y ) 2 t ， 当时，由于屯( k ) n 啦( k ) = a 故由( 4 2 ) 可知：d “( 口：t ，p ，) ( 吐( v ) ) = 0 综合起来，我们可知： 。d “q ：t 。p ，) ( 唆”= 6 。，t ，= t ，m ，) 其中 气川，：= 。岳 ( s ，r ) = ( ，厂) ( ，r ) ( ，厂) 这说明h ，- u 工口：t b 是h e r m i t e 插值于k 上的函数集，并且还可以知道h 1 中的 函数是线性无关的事实上，看 荟；t 尸：t f b - o 4 3 ) 这里需要定义一个线性算子：g f ：r 晖) 一r 衅) ，e ， ( g ，x ) o ) = x ( 唬( f ) ) 贝。易证： ( g ，t 。x ) ( f ) = ( t 。石) ( 唆( f ) ) = x g ：三： 故有 g f t f = 6 吖i l - x ) r ( 置) 所以( 4 3 ) 式两边作用g 。，可得： 色n a u g ，_ t 刃一0 王_ ，l ll1 即 色，口：n = o 由于 b ：r e ( v o x u o ) t 鸯o 以以) ) 是h e r m i t e 插值于k 上的基函数，故为线 性无关的，从而色，口；- - 0 ，( ) ，又由于口为一常数，故色，= o ，( 色) ， 因此得到中的函数是线性无关的 假设n = i 一1 时，h h 是h e r m i l e 插值于k d 上的函数集，则对n = i 时，利用 与刀；1 时的类似方法可得： 1 3 顾 ：毕业论文 扣：t 岛一。只) ( 噍( v ” = ( 口：t ，。a ut p ，) ( 啦。吒一。) ) = ( 口：口一x t ，d u a ：一。，n ) ( 啦。咚一。p ) ) 一( 口：n ，) ( d “n ：一，巳。p ，) ( 1 。览。吃一。( v ” 2 骱z 其中e ，乞，4 一，乞一。够：l ，r ，r ( x u 。) o o ( 屹x u t ) 。 综上所述，我们证明m 是h e r m i t e 插值于k 上的函数集定理证毕 设 j s p a n h f ，i e n o 对任意的咒n 。，由 。 剧。的嵌套关系，我们将噩川分解为噩一与另一空 间g 。的直和，即： 皿州= 一o g 一，l n o 定理4 1 表明，对于每一个，柑有分解形式：厂；成厂+ ，其中以厂为 ，在点集k 上的h e r m i t e 插值投影即g 。= ，一以，从而 g 。一 既：g 。一厂一成，厂砥。+ 1 ) ，咒n o 我们称g 。为h e r m i f e 插值小波空问( h e r m i t ei n t e r p o l a t i n gw a v e l e t s p a c e s ) 。特别地，g o 称为初始插值小波空间( i n i t i a li n t e r p o l a t i n gw a v e l e t s p a c e ) 于是我们有州的分解： 棚= h oo g oo o g 一 定理4 2 设是关于m 的加细集设k ，刀n 。为由产生的集小波， ( 1 ) g o 可表示为： go s p a n a , t 。n ：r ( x u o ) o o “【厂t )e p ( 4 4 ) 硕l 毕业论文 并且 口：t ，p r 是h e r m i t e 插值于点晚( v ) h ，1 ， g 一= o 口：tg ，n e n ( 2 ) g 一= s p a n q ， ( 4 5 ) 这里 q ：= 口三。t e a l , t 。p ，：r ( v ox u o ) o o “x u k ) ，ee e p 其中 口三+ ，+ ，p rh e r m i t e 插值于点吒+ ，d ) _ ， ， 证明：设 g o - 口：t 。p ，：r e ( v ox u o ) o o 仉x u t ) ，e e 。) 其中口：t 。所是h e r m i l e 插值于点啦o ) h ，v e 由集小波的定义可知：= k 从而对于任一的 ，由关系 c k = 中( k ) ，所以存在一。e e ， ，。，使得 ，= 吃p ) 。根据以上关系，那 么，对于任意的口：t ，p ，g o d ”( 口，u t ，b ) ( 1 ，) = d ”( 口：t ，n ) ( 吃( ，。) ) = 0 ：口；“) ( t f d “刃) ( 吃。) ) = 以：口：。x d ”所) ( 筇1 。吐p 。” 这里由于y = 晚d 。) ，故吃p ) 圣，具体地讲就是对于给定的v ，由于口：t ，p r 仅h e r m i t e 插值于k 中的点，故所以： d 。0 ：t n ) d ) = 0 这说明g o 中的任何函数都不属于o ，又由于g 0 。，故只可能g o e g o ，又g o 中 的函数线性无关， 目c a r d g o = d i m g o 所以g o s p a n g o 从而( 4 4 ) 式得证 下面我们关于n 用归纳法证明( 4 4 ) 式，假设( 4 4 ) 式对所有的刀 m 成立 考虑情形，l = 历，由皿。+ 。和g 州的定义有： 。+ 。；o l 。一o t ( h ，dog 。以) t 每= e s 触- 1 5 硕：t ：毕业论义 由引理4 2 及研。的定义- i 知： 。n = t ( 剃og 。一) = o ( ( t ，。4 ) o ( t ，g 。? ，) ) f e 。 一o ( t 。剃) o ( t g 州) # e h t p = 皿。o ( o t 。g 剃l f e _ 上_ 这罩令g - o t ，g 。一。，下面我们将证明g cg m e - _ e p 事实上，我们假设厂g ，则存在个函数g 。，g 纠e g 。，使得 ，= 善t 趣 f t 业。 但是对于任意的v 屹，总存在v 圪一。，e e l , ，使得，= 也) 则由t 。的 定义，对任意的v e 圪，有 f ( v ) 2 主耻e ( 吃( v 。) ) 一g 。，( 移1 。啦。o ”一g 。o ) 一0 这说明厂硭。，又由于厂。+ l ，故由g ，的定义可知厂g 。，同时，又 禾i j 用d i m g f f id i m g 。，则有g = g 。 综上即( 1 ) 得证 现证( 2 ) ，我们只需要证明满足如下的递推关系即可 瓯+ 。= u 工口。u t 。q 瓯 等号右边的“上 有引理4 3 即可导出 设 g f f iu 上口：t ；g 一 ( 口乞t 。) 如乏。巳，只) ：厶+ 。t e e 一，巳+ e ：+ 1 ) d 已 其中口乏+ ，巳“所是h e r m i t e 插值于点味，o ) k ，l n 。 吒：o ) 暑九。+ 。吒。p ) ：。+ ，e 卢，。p ) 吒+ ：) + 从而g 玩又由于以q + 。= c a r d g ，因此g = q 定理证毕 1 6 硕士毕业论文 最后我们得到稠密性定理 定理4 3 l 2 ( k ) = c z ( 。) = c l h 。o ( og 。) 】 。雁no，副 1 7 顾一l ：毕业论文 参考文献 【1 】b k a l p e r t ，ac l a s so fb a s e si nrf o rs p a r s er e p r e s e n t a t i o no f i n t e g r a lo p e r a t i o n s ，s i a m j m a t h a n a l ( 19 9 3 ) ，2 4 6 2 6 2 【2 】c k c h u i a n dx l s h i ，o n一b o u n d d n e s so fa f f i n ef r a m e o p e r a t o r s ，i n d a g ，m a t h e m ，n s 4 ( 4 l ( 19 9 3 ) ，4 3 1 4 3 8 【3 1 c a m i c h e l l ia n dy s x u ，u s i n gt h em a t r i xr e f i n e m e n te q u a t i o nf o r t h ec o n s t r u c t i o n o fw a v e l e t so ni n v a d a n t s s e t s ，a p p l c o m p h a r m o n i ca n a l i ( 1 9 9 4 ) ，3 9 1 4 0 1 【4 】c a m i c h e l l i a n dy s x u ，r e c o n s t r u c t i o na n d d e c o m p o s i t i o n a l g o r i t h m sf o rb i o d h o g o n a lm u l l i w a v e l e t s ，m u l t i d i m e n s i o n a ls y s t e m s a n d s i g n a lp r o c e s s i n g ，8 ( 19 9 7 ，3 1 6 9 【5 】5 c a m i c h e l l i，y u x ua n dy z h a o ，w a v e l e t sm e t h o d sf o r m u l t i d i m e n s i o n a l i n t e g r a le q u a t i o n s ，j c o m p a p p l m a t h 8 6 ( 1 9 9 7 1 ，2 5 1 2 7 0 【6 】6 c a m i c h e l l ia n dy x u w a v e l e to naf i n i t ei n t e r v a l ：d e c o m p o s i t i o n a n dr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m si np r o c e e d i n go ft h ew o r k s h o po n w a v e l e t s ，n a t i o n a l u n i v e r s i t y o f s i n g a p o r e ，j u n e2 9 一j u l y 1 ( 19 9 4 ) ，s i n g a p o r e 【7 】h l r o y d e n ，r e a la n a l y s i s ，1 s t e d i t i o n ，n e wy o r k ，m a c m i l l a n ，( 19 6 3 ) 【8 】i d a y b e c h i e s ，t e n l e c t u r e so n w a v e l e t s ，c b m s n s f r e g i o n a l c o n f e r e n c es e r i e si na p p l ，m a t h 6 1 ，s i a m ，p h i l a d e l p h i a ，1 19 9 2 ) 【9 】j e h u t c h i n s o n f r a c t a l sa n ds e l fs i m i l a r i t y ，i n d i a n au n i v m a t h j ， 3 0 ( 19 8 1 ) ，7 13 7 4 7 【10 】k g r o c h e n i n ga n dw r m a d y c h ，m