（基础数学专业论文）双参数量子超代数.pdf

摘要 摘要 量子群在许多领域中有广泛应用，引起许多数学家和物理学家的兴趣m r d s s o 通过构造d r i n f e l d 的量子偶方法，利用根向量之间的一些可换关系给出了 巩( s z ( + 1 ) ) 的p b w 基和泛且矩阵随后t s h a k o b y 蛆和a g s e d r a k y 姐 把其结论推广到量子超代数( 3 f ( n ，m ) ) 上双参数量子群是单参数量子群的推 广，g b e n k a r t 和s w i t h e r s p o o n 利用。h o p f 对”给出了_ 股线性和特殊线 性李代数夕k 和s k 的双参数量子包络代数，并进一步给出其r _ 矩阵和c a s i m i r 元对应于正交和辛型李代数一些代数学家给出了双参数量子群。( 夕) 的结构， 并对珥。( 9 ) 到以一- ，一- ( 夕) 存在l u s z t i g s 对称子的条件进行研究 本论文首先构造了双参数量子代数。( s 2 ( m i 佗) ) ，然后证明了。( 或( m l 佗) ) 具有h o p f 超代数结构，进一步给出呓( s z ( 刊n ) ) 中的根向量之间的可换关系， 最后利用r d b 8 0 的思想构造了珥。( s c ( m i n ) ) 的p b w 基 关键词：量子群，双参数超量子代数，三角分解，p b w 基 a b s tr a c t q u a n t 眦g ，o u p 8p l a ya ni l p o r t a n 七r o l ei nm a 哪，丘e l d b m a 丑ym a t l l e 珂a 土i - c i a 珊a 丑dp h y 嘶i a ma r e 毗e r 鹤t e di ni t m r d 蹈。珊e dd 血f e l ，dq u 衄t u md o u b l e 衄ds o m ec o 功吡t a t i v er e l a 土i o n st 0 璐8a na n 8 b g u eo fp b wt h e o r 唧蛆d t h eu n i v e r s a j l 皿m a t r i ) cf o r 玩( s z ( + 1 ) ) a 慨凼，t s h 凼b ) ，a na n da g s e d r 出【y 8 丑u s e d 缸l em e t l l o do fr o 部ot 0i d v e s t i 9 8 托t h eq u 虹岫衄s 1 1 p e r 8 k e - b r ao f ( s z ( 鸭m ) ) t w o _ p 凹唧e 协q u 衄t u mf 0 u p s 趾et h eg e i m “测b i o 珊o f o n 手p a r 锄e t e rq u a n t u 】皿g r o u p g b e i 出a r 七a n ds w i t h e r s p o o nd i s c u s s e dt h e b m a t r i ) c 趿dc 船i m i re l e n to ft h eg e n e r dl i n e 盯8 n d8 p e c 赳h e 盯l i ea 山步 b r a 夕ko rs kb yh o p fp 血i n g s s o m e 叱e b r a i s t sg a v et h ed e 血堍r e k i 0 瑚o f 胁p a r 龇联九日q l l 舭妇l m 掣0 1 1 p 8 _ ( 夕) c o 笛p o n i 赴n gt ot l 地o n | h o g o n a la n dt h e 8 ”n p l e c t i cl i ea 电e b r a t h e ya b oi d v e 8 七i g a t e dt h ec o n d i t i o 瑚u n d e rw h i j c ht h e l i l s z t 追8s y m m e r i 鹄e x i s tb e t w n 。( 夕) a n d 以r 1 0 ) i nt h i st h 笛i 8 ，缸s tt w o - p 8 r 锄e t e rq u 趿七u ma 岵d b r 嬲。( s z ( mj 呐) a r ec o n - 咖c t e d t h i ti 88 h o w n t h a t 。( 8 z ( m l n ) ) i 8ah o p f8 u p e r 如e r a f u r t h 唧r e ， 8 0 m ec o i n 】呲t a t i v er 龇i i m so fr 0 0 t 僦。瑙o f 己优( 5 z ( m l 哟) 壮eg i 眦f i n a 埘；t h e p b wb 姻eo f 。( 占2 ( m i 哟) i 8c o n s t r u c t e db yt h et e c h n i q u eo fr d s 8 0 k e y w d r d 8 ：q u 衄t u 锄孕o u p s ，t w o - p 缸a 砌q u 衄衄ns u p e r a 岖d b r 呜 t r i 一 皿g u l a rd e c o l p o s n ， p b wb 豳i s i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：坦啤 第1 章引言 第1 章引言 在本硕士论文中z 表示整数环，r 表示实数域，域用k 表示 1 1 研究背景 二十世纪八十年代中期，v g d r i i 血l ，d 【1 2 】和m j i i n b o 【3 】分别独立推出 了量子群的概念粗略的讲，量子群是一类特殊的h o p f 代数从代数结构的角度 来看，量子群是借助生成元和生成关系定义出来的一类抽象的结合代数过去的 研究表明，量子群是众多数学领域和物理领域中处于基础地位的代数结构，近年 来，量子群在可积系统、统计模型和共形场理论等领域中具有十分重要的应用 g l 1 1 s z 七追【4 】通过在自由代数上定义扭的双代数结构和对称双线性型，证明了 量子群的正部分同构于l i l s z t i g 代数的商代数m r d 8 s o 5 t6 】证明了( 单参数有限 型) 量子群的正部分同构于量子8 b l 】用e 代数的子代数( 量子对称代数) j g r e e n 【7 】 在非单位根情形也独立得到这一同构在文献【8 ，9 ，1 0 ，1 1 】中，g l u s z t i g ，m r 白鹤。和h y a 皿彻e 给出了( 夕) 的p b w 基，m j i m b o l l 2 】给出了( g ) 的量 子c 幽i m i r 元 双参数量子群是对单参数量子群的自然推广早在上世纪九十年代，许多作者 研究两个参数或多个参数的量子群这些作者包括a s u d b e r ) r 【1 3 1 ，m c h i 【1 4 1 ， n m 8 h e t i l 【】1 i n 【1 5 1 ，w c h i n 和i m m u 8 8 0 n 【1 b 】等等人们发现双参数有广泛的 用途，例如文献【1 7 ，1 8 ，1 9 】2 0 0 4 年g b e n k ：a r t 和s w i t h e 船p o o n 【2 0 i 给出了一 般线性和特殊线性李代数9 f r i 和5 k 的双参数量子包络代数，这些a 型的双参数 量子包络代数被证明有d 血f e l ，d 偶结构，进一步在文献【2 1 】中，在假设r 8 1 不 是单位根情况下，他们研究了有限维权表示定理和有限维权模是完全可约的n b e r g e r o n ，郜云和胡乃红【2 2 1 在2 0 0 5 年构造了双参数量子群对应于正交和辛型的 李代数，并进一步研究了珥，。( 夕) 和以，一- ( 夕) l u s i t 堍对称子文献【2 3 】分别给 出了e 型和g 型的双参数量子群并构造了e 型的p b w 基 早在1 9 8 9 年y i m a n i n 【2 4 j 首先研究了量子一般线性超群，以及它的多参量 子形变 a h e g a z i 和m m a b d - e u 【a k k 【2 5 j 对应单参量子群，他们获得了李超 代数s p l ( 2 ，1 ) 的g - 形t s h a k o b y 8 n 和a g s e d r a k y a n 【2 6 】利用r d s s o 的方 法给出了量子超代数( 5 z ( n ，m ) ) 的p b w 基和泛b 矩阵而目前对于a 型双 参数量子超代数的p b w 基和泛戽矩阵，还没有这方面的结论全文是按如下 方式组织的： 本论文首先构造了双参数量子代数珥，。( 5 z ( 仇l 死) ) ，然后证明了。( 5 z ( m i 呐) 具有h o p f 超代数结构，进一步给出c 吃( s 2 ( 仇i n ) ) 、中恨向量之间的可换关系，最 后利用r b 船。的思想构造了珥。( s 2 ( m i n ) ) 的p b w 基 第一章主要给出研究背景，预备知识。所用到的结论以及本文的一些主要结 论 第二章先给出由岛，五，叫尹，凹1 0 ，) 生成的z 2 一分次结合双参数量子 代数珥，。( 5 2 ( m l n ) ) ，然后证明代数珥。( 5 2 ( m i n ) ) 具有h o p f 超代数结构 定理2 2 1 代数。( s z ( m l n ) ) 是h o p f 超代数，具有余乘，余单位 ( 伽手1 ) = t t j 产1 固伽手1 ，( 叫：士1 ) = 凹1 固锄：士1 ， ( e i ) = e io1 + t ，io 岛，( ) = 1 圆五+ 五圆， e ( 伽手1 ) = s ( 伽1 ) = l ，e ( e i ) = ( ) = o ， s ( 伽手1 ) = 钮于1 ，s ( 叫：士1 ) = 叫：千1 ， s ( 岛) = 叫f 1 色，s ( 五) = 一五t 一1 第三章中我们首先定义了一个伴随表示础算子，然后给出5 2 ( m i n ) 中所有 正根的个序，通过计算得出根向量之间的可换关系 每一个以j 哟的正根能够被写成 a = 日一勺= 啦+ + 哟一l ，1 i q 1 + q 2 q 1 + + + m 一1 口2 q 2 十+ m 一1 c b 件m 一2 + c o 蚪m l c + m l ， 令q = 啦+ 一l + 哟+ 嘞卢= + + q ，+ 1 + q 知 当j = p + 1 时，有命题3 1 7 成立 命题3 1 7 ( 1 ) 1 p m ，e a e 卢一( 一1 ) 烈e a ) p ( 8 卢) 5e 卢e 。= e a + 卢， ( 2 ) m p m + 佗一1 ，e 。e 卢一( 一1 ) p ( m 印) 7 e 卢如= e 。卵 当歹p 时，有命题3 1 1 1 成立 命题，1 1 1 ( 1 ) 1 歹 m ，e 。e 卢一( 一1 ) p ( e a 从e 卢) r s8 缸，所e 卢e 。= ( 一1 ) p ( q ) p ( 。卢) p s ) e f l t + 。k 唧， ( 2 ) m 歹m + n 一1 ， ( 3 ) e 。e 卢一( 一1 c a ) 烈印) r 8r 征，卢) e 芦e 。= ( 一1 ) p ( 勺m 印) ( s r ) e a + 。a k e l ， 歹= m ，e 。e 卢一( 一1 ) p ( c a ) p ( 印) 5 2 e 口e 。= o 第四章中先给出了呓( s ：( 仇i 死) ) 的p b w 基并给予证明，进而给出了。( 占2 ( m i 死) ) 的p b w 基主要结论如下， 命题4 2 1 集合 脚e 弘e 骝l 蕊 ，兹害，) 是呓( s z ( 仇| 呐) 的一组基，其中m 仇 ，取所有的正根 r 令：卜& 知， l 叫，m 0 ， i 越一，8 i q 1 + 0 ：2 a l + + + m 一1 口2 q 2 + + m 一1 c + m 一2 + c 2 叫仇一l c 坼m 一1 定理1 3 2 【2 6 l 令q p + 则下列结论成立： ( 1 ) 如果q + 卢+ ，那么 忍毋一( 一1 ) p ( a ) p 归g 一( a - 所昂e = 甄+ 卢 ( 2 ) 如果q + p 萑+ ，那么 忍昂一( 一1 ) 烈a 即) g o ，所昂玩= ( 一1 ) 晰m 。1 ) ( g 一( a ，1 t 一g ( 叫礼7 ) ) 日玩+ 卢 a = 啦+ 0 0 1 + 7 ，p = ，y + q 讣l + q i ，7 = + ( 3 ) 其他情形( 例如i = j ，或者七= p ) 玩昂一( 一1 ) “咖g 一陋脚毋既= o 推论1 3 3 1 2 6 】对于奇根向量五2 c i ，兄 磋= o ，磋= o 令( n + ) 是由蜀0 = 1 ，n + m 一1 ) 生成的( 占f ( 亿，m ) ) 的h o p f 子代 数 定理1 3 4 【2 6 】集合 珊嚯- 佻z + ， 啦 0 ，1 ) p ( 乍) ：0 、 p h ) = 1 j 是时的一组基，其中，y 1 伪 似，m 取所有的正根 7 第2 章双参数量子超代数 双参数量子超代数的定义 假设圣是厶一1 型的有限根系，是单根基，我们把圣作为具有内积( ，) 的欧几里得空间e = j p 的一个子集令l ，是e 的一组标准正交基，令 7 r = i 码= 髟一勺+ 1 b = 1 ，n 一1 ) ，圣= 【矗一勺1 1 i 歹n ) 在域k 中固定非零元素r ，s ，假设7 s ， 令m ，n 1 是任意正整数，令，= 1 ，2 m + n 一1 ) 定义i j l i ，i 矩阵 a = ( 叼) 叼= ( 1 + ( 一1 ) 耐- ”) 如一& j + l 一( 一1 ) 阮“最j 一1 a = 21 121 121 101 121 12 1 121 一l 2 定义2 1 1 双参数量子代数珥一( s z i 死) ) 是由e i ，五，凹产1 ，叫1 g ，) 生成的 z 2 一分次结合代数，且满足以下关系： 8 第2 章双参数量子超代数 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 伽手1 叫于1 = 越士1 叫：千1 = 1 ， 切产1 够产1 = t 鲈1 叫手1 ，仰手1 时1 = 时1 凹手1 ，切：士1 够1 = t 伊1 切：士1 ， i 【1 ，仇) 或者 = m ，j = m 一1 ， 伽i 勺5r 他，q ) s 忙+ 1 ，叼) 勺凹i ， 仰i 办= r 一( e ，q ) 5 一仁t + 1 ，q ) 方叫i ， i 【m + 1 ，m + 竹一1 】或者i = m ，歹= m + 1 ， 伽 勺= 7 ( e 件l 舟) s 妇，q ) 勺凹i ， 叫i 办= r 一( + 1 ，q ) 占一他，q ) 方凹i ， 锄m e m = e 仇叫m ，t u m 7 k = 厶伽m ， ( 4 ) i 【1 ，m )或者i = m ，歹= m 一1 ， 叫：= r 仁件1 ，a j ) 5 妇，叼勺，仰：厶= r 一仁+ l - q ) s 一亿，q 厶叫：， i h + 1 ，m + n 一1 】，或者i = m ，歹= m + 1 ， 叫：= ，_ 帆，叼) s 忙件l ，叼勺凹：， ， 伽m e m2e m 叫m ， 伽：办= r 一( e | ，q ) 3 一妊+ t ，q 方t ，：， 叫二厶= ，m 伽二， ， ( 5 )e i 乃一( 一1 ) p 似m 乃乃e i = 如睾芋， ( 6 ) e 勺一勺色= 0 ， ii ji 2 ， 五办一办 = o ， fi jl 2 ， ( 7 )e i e 件l 一( r + s ) 岛e i + 1 e i + r s e 件1 e i = o ， ( 8 ) ( i ，j j ) ， 0 m ) ， e ；e 一1 一p 一1 + s 一1 ) e i e i 一1 e i + 7 一1 8 1 e i 一1 e ；= o ， 斤 + 1 一( r 一1 + 5 1 ) + 1 + r 一1 5 1 + 1 厅= o ， 蜉 一1 一( r + 5 ) ，i 一1 ，i + r 5 ， 一1 厅= o ， ( 9 )e 象= 躁= o ， g m ) ， ( 1 0 ) e m e m l e m e m + 1 + r s e m e m + 1 e 仇e m 一1 + e 仇一1 e 仇e t n + 1 e m + 7 8 e 仇+ 1 e m e m 一1 e m 一 0 + s ) e m e m 一1 e m + 1 e m = o ， 厶厶一1 厶 l 押一1 8 1 厶二t 件l 厶，仇一l + ，仇一1 厶厶+ 1 厶押一1 8 1 厶+ l 厶厶一1 厶 一p 1 + s - 1 ) 厶厶一1 厶+ l 厶= o p ( z ) 的z 2 一次数被定义成 p ( t 7 手1 ) = p ( 凹：士1 ) = og ，) ，p ( e i ) = p ( ，i ) = o ( i m ) ，p ( e m ) = p ( 厶) = 1 乒 2 2 双参数超h o p f 代数 定理2 2 1 代数。( s 2 ( m i 佗) ) 是h o p f 超代数，具有余乘，余单位，反极 ( 叫手1 ) = 伽手1o 叫手1 ，( 叫：士1 ) = 伽：士1o 士1 ， ( e ) = 色o1 + 锄ioe i ，( ) = 1o + o ， e ( 叫手1 ) = s ( 伽：士1 ) = 1 ， s ( 叫手1 ) = 凹于1 ， s ( 岛) = 一嘶。1 e i ， ( e i ) = ( ) = o ， s ( 伽：士1 ) = 叫1 ，、 s ( ) = 一 凹：一1 证明： ( a ) 首先证明定义了一个代数同态 ，( 5 z ( m i 哟) 斗珥。，( s z ( m i 询) o 。( 5 z ( m i 曲) 能够直接验证以下关系式， 下面我们验证t ( 伽i ) ( 勺) = ( 叫手1 ) ( 伽于1 ) = ( 叫：士1 ) ( 叫：千1 ) = 1 ， ( 于1 ) ( 妒1 ) = ( 舻1 ) ( 叫手1 ) = 1 ， ( 钮产1 ) ( t 亏1 ) = ( 时1 ) ( t 砖1 ) = 1 ， ( 凹：士1 ) ( 妒1 ) = ( 妒1 ) ( 叫1 ) = l ， ( 叫i ) ( 勺) = ，他，呵) s 妇+ - ，q ) ( 勺) ( 她) ( 叫io 叫) ( 勺o1 + 哟。勺) = 凹i 勺0 砒+ 锄鳓0 凹i 勺 = 7 似，a ) s 忙+ l t q ) ( 勺伽io 钮i + 嘶凹io 勺叫i ) = r 瓴，q ) s ( e 件l ，q ) ( 勺) ( 叫i ) 1 阻 第2 章双参数量子超代数 ( 伽。) ( e 。) = ( 凹。 叫。) ( e 。91 + 叫。圆e 。) = 凹m e m 固叫m + t f j 仇叫m0 叫m e m ( e 。) ( 叫。) ( 叫。) ( e m + 1 ) = ( 叫mo 叫m ) ( e m + 1o1 + 凹叶loe 卅1 ) = 叫m e m + lp 凹m 十伽m t 正，”蚌1 圆伽m e m + 1 = 7 忙t ，i + - ，m 1 ) ( e 卅1 ) ( 叫。) 下面验证： ( 岛) ( 五) 一( 一1 ) 烈q ) p ) ( ) ( 岛) = 盈j 兰丛掣 ( 1 ) 当h i ，歹j ，i m 或者j m 时， ( q ) ( ) 一( ) ( 色) = ( 色o1 + 伽i e ) ( 1o ，i + o 吗) 一( 1 + o 吗) ( qo1 + 叫i e i ) = t 7 ( e i 易一办岛) + ( e i 乃一办e i ) o 蟛 = i 瓯j 等 + 民j 号三 以 一 垒! 竺) 二垒l 互2 一。l j r 一0 ( 2 ) 当i = j = m 时， ( e 。) ( 厶) 一( 一1 ) ( 厶) ( e 。) = ( e 。p1 + 伽。 e 。) ( 1p ，仇+ 厶圆心) + ( 1o 厶+ 厶。加二) ( e 。p1 + t ，。oe 。) = t ，。o ( e 。厶一，m e m ) + ( e 。厶一厶e 仇) t 厶 = 坐学 当ii 一川2 ， ( e i ) ( 勺) = ( e i 1 + 叫io 色) ( 勺p1 + q 勺) = e i 勺01 + e i 嘶 勺+ 钮i 勺0e i + 挑嘶0e i 勺 = ( 勺) ( 色) 1 1 下面验证量子s e r r e 关系， ( 色) 2 ( e 件1 ) 一( r 一5 ) ( e ) ( e 件1 ) ( 毛) + r s ( e 件1 ) ( e i ) 2 = ( e 1 + 凹ioe i ) 2 ( e 件1o1 + 凹件loe 件1 ) 一( r + s ) ( e i 1 + 伽io 色) ( e i + 1o1 + 叫件loe 件1 ) ( 毛o1 + 凹i 圆色) + r 8 ( e 冲1o1 + 凹件1oe i + 1 ) ( e iol + 叫i 圆如) 2 = e ：e i + 1ol + e ；叫i + 1 e + 1 + ( 1 + r s 一1 ) 【e i 叫i e 件1o 龟+ e i 加i 毗+ loe 钳1 】 讲e 件1o + 叫；加件1oe ；e 冲l 一( r + s ) 【e e 件l e o1 + e e 件1 t i j io 岛 + e i t 以+ 1 色oe + 1 e i 伽i + 1 凹 e i + 1 毛+ 凹i e 件1 反 龟+ 凹i e 件l 叫i e ；+ 凹i 钮件1 e i o e i e + 1 + t j 凹件1 伽ioe i e 计l e d + r s e 件1 e ；ol + ( 1 + 7 8 1 ) e i + 1 e i 叫固e i + e 件1 t l ， oe i 加件1 e ；圆e 冲1 + ( 1 + 7 s 一1 ) 凹件1 e i 凹ioe 件1 e i + 凹“l t t ， e 件1 e ；】 = 【e ；e 件1o1 一p + s ) e i ( e 件l 色o1 ) + 7 s ( e i + 1 e ；o1 ) 】+ 【e ；毗+ 1 e 件1 一p + s ) e i 叫 + 1 e io 岛+ 1 + 7 - 5 叫件l 霹。龟+ l 】+ 【( 1 + r 5 1 ) e i 凹i e i + 1 圆色一p + s ) e i e 讳l t t ，io 龟+ r 3 ( 1 + r 8 1 ) e 件l e i 凹oe d + 【( 1 + r 。一1 ) 毛伽i 伽件lo 色e i + l 一( r + 5 ) e i 加i + l 叫i e 件l e i + r s ( 1 + 7 5 1 ) 姚+ 1 e 伽i p e 件l e d + 陋；e 件1pe ；一( r + 5 ) 凹i e 件1 t j ioe ；+ r 8 e 件1 叫；oe ；】+ 陋；叫件l e ；e 件1 一p + s ) 叫i 叫件1 凹io 岛e 件1 e + r s 叫件1 讲oe 件1 e ；】 一p + s ) 叫i e 件1 色oe i 一( r + s ) 伽i 凹冲1 e ioe i e 件l = 7 5 ( 1 + r 3 1 ) e i + l e i 叫ioe 一( r + 8 ) 凹i e 件1 e ioe i + ( 1 + 7 8 1 ) e i 凹i 切件1de i e 件l p + s ) 钮 西件1 e i 固e e 件1 = o ( e 。) 2 = ( e m 固1 + 叫。oe 。) ( e mo1 + t n 。oe 。) = e 毛o 1 一e 。叫。oe m + t l ，m e 。oe 仇+ 叫三oe 毛 = 0 1 2 - 第2 章双参数量子超代数 下面验证保持， 证明设 e m e m 一1 e m e m + 1 + r 占e m e 仇+ l b m e m 一1 + e m 一1 e m e m + 1 e 仇+ r 3 e 册+ 1 e m e f r i l e m p + s ) e 仇e m ，1 e m + 1 e m = o = ( e 。) ( e 。一1 ) ( e 。) ( e 。+ 1 ) ， 疋= ( e m ) ( e 。件1 ) ( e 仇) ( e 。一1 ) i 厶= ( e 。一1 ) ( e 。) ( e 。件1 ) ( e 。) ， 厶= ( e 。+ 1 ) ( e 。) ( e 。一1 ) ( e 。) = ( e 。o1 + 凹。 e m ) ( e 。一1o1 + 叫。一1oe m 一1 ) ( e 。o1 + 叫。 e 。) ( e 。+ lo1 + 叫。+ 1oe 耐1 ) = 凹m t ，m l 卸m 叫m + 10e m e m 一1 e m e m + 1 + 凹m ”m 一1 伽m e f ，i + 1oe m e m l e m + 叫m 凹m 一1 e m 叫t r 件1 圆e m e 仇一1 e m + 1 + t 上t r i 伽m l e 仇e m 斗10e m e m 一1 + 凹m e m 一1 e m 叫竹件l 固e m e m + 1 + 伽m e m l e 仇e m + l0e m e m 伽m 一1 伽m 叫仃件1 e m 一1 e m e m + 1 一e m m 一1 硼m e t n + 1 固e m 一1 e m e m e 竹卜l 叫m 伽m + lpe m e m + l e m e m 一1 叫m e m + 10e m + e m e m 一1 e m 锄m + 10e m + l + e 仇e m 一1 e m e m + 1o1 ， j 1 2 = ( e 。 1 + 叫mpe 。) ( e ，件1o1 + 仰。+ 1oe ，件1 ) ( e 。 1 + 叫。 e 。) ( e m lo1 + 加。一loe 。一1 ) = 凹m 伽竹件l 叫m 叫仇一10e 仇e 肌+ l e m e m 一1 + t 正，m 凹m + 1 钮m e m 一1pe m e m + l e m + 凹m t 正j m + l e m 叫m l 圆e 仃i e m + 1 e m 一1 + 叫t ，i 叫m + l e m e m l0e m e m + 1 + 凹m e m + 1 e m 凹m l0e 仇e m l + 加m e m + l e m e m 一1 圆e m e m 叫仇+ l 伽m 伽m 一1 e m + 1 e m e m 一1 一e 仇卸m + 1 叫仇e m lpe 仇+ 1 e 仇一e m e m + 1 叫m 伽m 一10e m e m l e m e m + 1 t 正7 m e m 一10e m + e m e m + l e m m 一10e m 一1 + e m e m + 1 e m e m 一1 1 ， 1 争 厶 =( e 。一1 l + 1o e ，卜1 ) ( e m 圆1 + 凹。oe m ) ( e m + lo1 + 1 e 仃件1 ) ( e 。固1 + t oe m ) = 叫m 一1 叫m 叫m + 1 锄m0e m 一1 e m e m + l e m + 叫m 一1 伽m 叫m + 1 e m0e m l e m e 丌卧1 + t 正j m 一1 伽m e f r 件1 e m0e m l e m t 7 m l e t n 伽t 1 伽m 圆e m 一1 e m + l e m 一叫m 一1 e m e m + 1 叫m e m l e m + t j m 一1 e m e m + 1 e m0e m l + e m 一1 伽m t l j m + 1 m 0 e m e m + 1 e m + e m 一1 m 凹竹件l e m0e m e 仇+ 1 + e m 一1 伽m e m + 1e m0e m e m 一1 e m 钮m + l t 正，m0e m + 1 e m e m l e m e m + 1 伽mpe m + e m 一1 e m e m + l e 仇01 ， 厶= ( e m + 1o1 + 铷卅loe ，蚪1 ) ( e 。ol + 伽。oe m ) 其中 ( e 。一1o1 + 凹。一1oe 。一1 ) ( e 。o1 + 叫。oe 。) = t t j m + l 硼m 叫m 一1 t ，m9e 们+ l e m e m 一1 e m + t u 仃件l 硼m 伽m 一1 e m0e m + l e m e m l + 叫m + 1 叫m e m 一1 e mde 竹件1 e m 一伽m + l e m 伽m l t 正j m e m + 1 e m 一1 e m t 正m + 1 e 仇e m 一1 t 正i 仇圆e m + 1 e m + 伽m + 1 e m e m 一1 e m e m + 1 + e m + l t ，m 凹m l 叫m 0 e m e m 一1 e m + e m + 1 钮m 凹m 一1 e moe m e m ，l + e t r 卧1 叫m e m l e m0e m e m + 1 e m 凹m 一1 凹m0e m 一1 e m e m + 1 e m e m 一1 伽m0e m + e 仇+ 1 e m e m l e m01 ， 凹m 凹m 一1 伽m 叫m + 1 e m e m 一1 e m e m + 1 + t f ，m m + l t 正7 m 凹m l0e m e m + 1 e m e m 一1 + 奶n 一1 凹m 凹m + l 叫m9e m 一1 e 仇e m + 1 e m + 叫m + 1 伽m t j m 一1 凹m0e m + 1 e m e m 一1 e m = p + s ) 凹m 伽m 一1 凹t 蚪1 伽moe 仇e 仇一l e m + 1 e m ， e m e m 一1 e m e m + l01 + 7 5 e m e m + 1 b m e 仇一101 + e m l e m e 件1 e m01 + 7 s e m + 1 e m e m l e m01 = o + 5 ) e 仃l e m l e 。+ 1 b mo1 ， 1 垂 第2 章双参数量子超代数 凹m 叫m 一1 e m 伽竹件l 圆e 仇8 m 一1 e m + l + r 5 凹t r i 伽仇+ 1 e m 叫m 一1 圆e m e m + 1 e m 一1 = ( r + s ) 凹m 伽m l 凹m + 1 e m e m e m l e 7 r i + 1 ， 凹m 钮m l t 上7 m e m + l e 仇e m 一1 e m + 7 5 e 疗件l 叫m 切m 一1 叫m 固e m e m 一1 e m = p + s ) 伽m 叫m l e m + 1 伽竹loe m e m l e m ， r 刮皿m e 价+ 1 e m 凹m 一10e m e 仇一1 + r 5 e m + 1 钮m 凹m 一1 e m0e m e m l = ( r + s ) 叫m 伽m 一1 e m + 1 e m 圆e m e m 一1 ， r 5 叫m 凹m + 1 叫m e m l0e m e m + 1 e m + e m 一1 叫m 凹仃冲1 t 7 m0e m e m + 1 = p + s ) 凹m e m l 叫m + 1 叫moe m e m + 1 e m ， 叫m e m l e m 叫仇+ 1 e m e m + 1 + e m 一1 伽m 叩m + 1 e m0e 仇e m + 1 = p + s ) 叫m e m l 凹m + 1 e m e m e m + 1 ， e m 一1 叫m e m + l e moe m + r 5 e m + 1 凹m e m 一1 e 仇0e m = o + 5 ) t i ，m e m 一1 e m + l b m 圆e m ， e m 叫m l 叫m e m + 1oe m l e m + 叫m 一1 e m e 丌呻1 t ，m0e 仇一1 e m = ( r + 3 ) e m 叫m l e 竹卧l 仰m e m le 仇， r s e m e m + 1 e m 凹m 一10e 仇一l + 钮m 一1 e m e 竹叶l e m 固e m 一1 = p + 5 ) e m 叫m l b m + l e m 固e m l ， r 8 e 仇加竹件1 叫m e m 一10e m + 1 e m + r s t 7 丹h e 仇e m l 硼m0e m + l e m = p + s ) e m e m 一1 叫m + 1 凹m 圆e m + 1 e m ， e m e f ，卜1 叫m 8 m + 10e m + r s e m e m + 1 凹m e 仇一1 e m = p + 5 ) e m e m l e m + l 伽moe m ， 1 5 e m e m 一1 e ，n 叫m + 1 e 卅1 + r 3 竹件l e m e m 一1 e m0e m + 1 = p + 8 ) e m e m 一1 凹m + 1 e moe m + 1 ， 钮m 一1 e m t 正7 t r 件1 t 正7 m0e m 一1 e m + l e m + r s 凹竹件1 e m t 正，m l 凹m e 竹件l e m 一1 e m = ( r + 5 ) e m 锄m l 叫m + 1 t 7 moe m 一1 e m + 1 e m ， 另外还有： 凹m 叫竹卜l e m e m + 10e m e 仇一1 一r 5 e m e ”件1 凹未伽m l0e m e t 1 = 0 ， 伽m b m l e m e m + 10e m e m 一1 e m e m + 1 硼m0e m = 0 ， r s 凹m 凹仃件l e m e m 一10e m e 仇+ l e m e m 一1 凹仇t “州1 e m e m + 1 = 0 ， r s 凹m e 竹冲l e 仇e m 一10e m 一7 5 e m + l e m e m 一1 叫m0e m = 0 ， 叫m 一1 凹m t 正竹件l e m0e 仇一1 e m e m 二卜1 + e m 叫m 一1 t 正7 m 叫仃件l0e m 一1 e m e m + 1 = 0 ， 钮m l 叫m e 竹冲1 e m0e m l e m r s e m + 1 e m 凹仇一l 钮m0e m l e m = 0 ， r s 凹m + 1 凹m 即m 一1 e m 圆e m + l e m e m 一1 一r 占e m ”m + 1 伽仃i 叫m l 圆e m + l e 仇e m 一1 = 0 ， r 3 伽们斗1 加仇e m 一1 e m0e m + 1 e m e m l e m 叫m + l t t 7 讥0e m + 1 e m = 0 ， 因此我们有 i l + r 8 1 2 + 1 3 + r s l 4 = p + 8 ) ( 叫m 叫m 一1 钮m + l 叫moe m e m l e m + l e m + 叫m 凹m l e m + l 叫moe m e m 一1 e m + 叫m t 正，m 一1 t 正m + 1 e m0e m e m 一1 e m + l + 凹m 钮m l e m + 1 e m e m e m 一1 + 叫m e m 一1 钮，蚪l 伽m0e m e m + 1 e m + 凹m e m 一1 叫m + 1 e m 圆e m e m + 1 + 叫m e m 一1 e m + 1 e m0b m e m 叫m 一1 凹m + l t 正，m0e m 一1 e m + l e m e m 伽