（凝聚态物理专业论文）附相ttu+hubbard模型的约束路径monte+carlo方法研究.pdf

摘要 为了研究高温超导材料，我们需要寻找一个电子模型，首先我们要寻找最简单的电子 模型。很明显，单带最近邻h u b b a r d 模型，也就是t u 模型和它的变形t j 模型，是晶格中 能得到的相互作用模型中最简单的一种电子模型。由于h u b b a r d 模型的简易性，所有有关 强关联电子体系的理论都是从h u b b 莉模型开始的。h u b b 矾模型的物理学内容是非常丰 富的，包括磁性，金属一绝缘体相变和重费米子行为等。最初模型的建立是为了解决金属 一绝缘体相变和铁磁性，最近的研究聚焦于在非半满带的情况下，它可能会体现超导性。 在单带h u b b 矾模型中，关于可能存在超导性的最有力的信息来自于一系列量子 m o n t ec a r l o 方法的计算。在本文中我们会首先介绍量子m o n t ec 砌。方法的一些基础知识， 这是我们以后学习使用量子m o n t ec a r l o 方法的所必备的知识。我们还会讨论目前新发展 起来的一种量子m o n t ec a r l o 方法即约束路径m o n t ec 砌。方法( c p m c ) 我们同时还注意 到，到目前为止，这种c p m c 方法只能用于投影出体系的实对称哈密顿的基态。为了研究 t t uh u b b a r d 模型中相角对体系性质的影响，我们在原来的c p m c 方法的基础上发展出 这种算法的双维表示( d d s r ) ，这使得我们能处理任何厄米的复哈密顿。 我们在本文中用的一种模型是t t uh u b b a r d 模型，它是h u b b a r d 模型最简单的一种 变形，它是在传统的h u b b 砌模型中，将次近邻格位间的迁徙项包含进去。我们的研究内 容是，在一般的t t uh u b b 矾模型中加入一个体现内部非均匀的相角因子，通过对不同 相角的研究，揭示不同的相因子对扩展的s 波，d 波的配对关联函数和顶角贡献的影响。 关键词：h u b b 砌模型，t t uh u b b 砌模型，关联函数，顶角贡献，约束路径m o n t e c a r l o 方法。 a b s t r a c t t h es e 8 r c hf o ra ne l e c t r o n i cm o d e lf o rh i g ht e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t i v i t yh a sf o c i l s e do nn n d i n gt h e s i m p l e s tr n o d e lf i r s t c l e a r l y ，廿l e0 n eb a f l d ，n e a r c s t - n e i 曲b o rh u b b a r dm o d e l ，t h a ii s ，m et _ um o d e la 1 1 di t s v a r i a l l tt h et - jm o d e l ，a r ea b o u ta ss i m p l ea sa r l yi n t e r a c t i n gm o d e l so fe l e c t r i ) n so nal a t t i c ec a ng e t a l lt h e t h e o r i e so fs t m n 羽yr e l a t e de l e c 廿帅s y s t e m sb e g i nw i t ht h eh u b b a r dm o d e lb e c a u s eo fi t ss i m p l i c i 吼t h e p h y s i c so ft 1 1 eh u b b a r dm o d e i t sr i c h ，i n c l u d i n gm a g n e t i s m ，m e t a i - i n s u l a t o rt r a n s i t i o n ，a n dh e a v yf e n l l i o n b e h a v i o lo r i 舀n a l l yt 1 1 em o d e lw a sp m p o s e df o rm e t a l - i n s u l a t o rt r a n s t i o na 1 1 df e r r o m a g n e t i s m ，p r e s e n t l y ，t 1 1 e i n t e r e s tf o c u s e s0 nt h ee 】( t e mt ow h c hi tm i 曲te x h i b i ts u p e r c o n d u c t i v t ya w a y 舶mt h eh a l f 伽e dc 船e t h em o s ts o l i di n f o m a t i o na b o u tp o s s i b ks u p e r c o n d u c t i v t yi nt h eo n eb a n dh u b b a r dm o d e lc a m ef 吣ma s e r i e so fq m cc a l c u l a t i o t l s ，i nt h i st h e s i s ，n r s tw ew i l lj n 仃o d u c es o m ef o 吼d a t i o n a lk i l o w l e d g ea b o u t q u a l l m mm o n t ec a r l om e t h o d ，w h i c hi st h en e c e s s a r yk n o w l e d g ew h e nw es t u d yq u a m 啪m o n t ec a r l o m e t h o d t h e nw ew i l li n 廿o d u c ean e w - b o mt e c l l i l i q u en a i n e dt h ec o n s t m i n e d - p a mm o n t cc 盯l om e 血0 d ( c p m c ) m e a n w h i l e ，w en o t i c eu pt on o wt h i sm e t h o dc 锄o n l yb eu s e dt os i m u l a t et h eg r o u n ds 协t eo far e a l a n ds y m m e 订i ch a | t 1 订t o n i a n i no r d e rt o 印p l y 廿l i sm e m o dt 0s t u d yt | l ee 彘c to f t h ep h a s e 胁o ri nt h et f u h u b b a r dm o d e l w ed e v e l o pi t sd o u b i ed i m e n s i o n a ls y m m e 仃i c a lr e p r e s e m a t i o n ( d d s r ) w h i c he n a b l eu st o s t u d yag e n e r a lh e m l i t i 蛐h a m i n o n i a n 1 nm i sp a p e rw es t u d yt h ep h a s e dt - t - uh u b b a r dm o d e l ，w h i c hi s 也es i m p l e s tm o d i f i c a 廿o no f t h et - u m o d e l i nt l l i sm o d e lan e x t - n e a r e s tn e i 曲b o r h o p p i n g ，p a r a n l e t e r i z e db yt ，i si n c l u d e di i lt l l ec o n v e n t i o n 8 l h u b b a r dm o d e l w es t u d yam o d i 矗e dt - t 一uh u b b a r dm o d e li nw h i c hap h a s ef k t o ri si n 仃0 d u c e d w e 咖d y d i f f 色r e n tp h a s e sa 1 1 di n v es t j g a t e 蜘ee f f e c to fp h a s ef k t o rt op a i r m gc o r r c l a t i o na n dv e r t e xc o n s 廿_ a i no ft 1 1 e e x t e n d e ds dt 1 1 e d ：2 一，w a v e k e yw o r d s ： h u b b a r dm o d e i ，t t - uh u b b a r dm o d e l ，c o r r e l a t i o n劬c 廿o n ，v e n e xc o n m b u t i o n c o n s t r a i n e d - p a mm o n t cc a r l om e t h o d i i 第一章绪论 1 1 模型的发展历史 第一章绪论 近年来由于高温超导材料，巨磁阻材料等中的奇特物理性质在实验中被揭示出来，理 论上多体问题尤其是强关联电子体系的问题再次激发了人们的研究热潮。所谓强关联电子 体系就是那些不能用弱的相互作用来描述的体系。强关联体系的问题是人们目前知道的最 困难的物理问题之一。例如量子色动力学中的夸克禁闭，金属中接近金属一绝缘相变的强 关联电子等，后者与高温超导问题密切相关 1 ，2 】。 高温超导体的出现使得一个简单的电子模型一h u b b 砌模型成为众人研究的对象。最 初提出这个模型是为了解决金属一绝缘体相变和铁磁问题，目前，我们用这样一个模型来 研究高温超导材料。在h u b b 砌模型中，带电子之间是通过一个两体相互排斥的库仑势发 生作用的。其中没有声子出现，通常也不包括明显的引力相互作用。正是由于这个原因， h u b b a r d 模型通常是和磁学联系在一起的。而另一方面，超导性一般的被认为，是由于有 效的引力作用使得基态的性质不稳定形成的。而a n d e r s o n 认为【3 1 ，新的高温超导材料的超 导性可能来自于纯粹的相互排斥作用。 人们想知道h u b b a r d 模型是否是一个可以用来解释高温超导机制的电子模型，或者说 这种模型在多大程度上可以呈现出超导性。h u b b a r d 模型属于强关联电子体系，当前处理 强关联问题的解析方法大都只能处理低维体系。在处理这些低维强关联体系时，人们已发 展了多种重要的研究方法，例如多体理论的精确解方法【4 ，5 】，( 包括非阿贝尔玻色化在内的) 玻色化方法【6 9 1 ，重整化群技术1 0 。12 1 ，共形场论技术1 3 1 等。而这些方法在推广到二维及更高 维体系时却遭遇到很大困难。因此在研究高维强关联体系时，我们不得不通过一些近似计 算和数值计算法。常用的有： ( 1 ) h a r t r e e f o c k ( h f ) 近似：它可以追溯到1 9 3 0 年，很有用但在化学中不能像d f t 那样提供足够的精度。在关联体系上它虽然计及了交换作用但仍有许多问题，某些情形即 使是定性的预言也是不可靠的。这点在图形微扰论中很易看清楚，因h f 近似往往仅包括 了计及相互作用的最低阶的费曼图【l 制。 ( 2 ) 动力学平均场场论( d m f t ) 【1 5 】：它与h f 不同。在h f 中所有空间和时间涨落 都被冻结。而在d m f t 中仅冻结空间涨落而保留时间涨落，故d m f t 本质上是一个多体 理论。它的关键在于计算自洽的平均方程，而这本身又需要用某些近似方法或数值方法。 另外当空间维数趋于无穷时，d m f t 的结果就趋于精确。 第一章绪论 ( 3 ) 密度泛函理论( d f t ) 【1 6 ，1 7 1 ：该理论在化学上获得了诺贝尔奖。这也是一个平均 场论。它企图将多体问题当作单体问题来求解。在理论上，只有当关联势的精确的泛函形 式可知时这种方法才是精确的。这种方法的缺点就在于我们无法事先知道精确的形式而只 有近似的泛函形式存在。这种近似泛函只在某些材料( 即那些关联能较弱或电子密度是各 项同性的材料) 上能较好地加以应用。d f t 给出相当好的晶格常数和能量，它有较好的尺 度特性。另外要注意以局域密度泛函为基础的所谓“第一性原理”的能带理论，尽管在某些 方面可给出了定性的甚至定量的描述，但在有些方面却存在着很大的差距，例如用能带论 解释过渡金属化合物的特性往往是失败的。普遍认为这是由于不能或未能包含“有效的”强 关联所致。 ( 4 ) 精确对角化方法：也就是l a l l c z o s 方法【18 1 。尽管精确对角化方法能给出精确的 基态和低激发态，但是它只对离散体系( 例如格点体系) 才是有用的，而且仅可应用于小 的格点体系。 ( 5 ) 量子m o n t ec a r l o 方法【1 9 2 1 】：它可以应用于较大格点体系，并能得到准确的结 果。随着更强大的计算机的出现，这种方法越来越适用，它也是我们所要讨论和应用的主 要方法。 1 2h u b b a r d 模型 能带理论是建立在单电子近似基础上的，它忽略了电子一声子相互作用，也没有考虑 电子之间的关联作用，而后者在狭带中是很强的。为了描述狭带中电子间的相互作用， h u b b 矾于6 0 年代提出了同时计及电子在固体中量子力学运动和电子之间的非线性库仑 排斥相互作用的一类最简单的模型一h u b b a r d 模型【2 2 ，2 3 1 。尽管h u b b a r d 模型是简单的电子 模型，然而所有的强关联电子体系的理论都是从对它的研究开始的，并且人们也相信这种 模型包含了各种有趣的物理现象，包括金属一绝缘体相变，反铁磁性，亚铁磁性，铁磁性， t o m o n a g a - l 眦i n g e r 液体，有机半导体以及( 也许可能存在的) 高温超导性等。 作为强关联电子模型哈密顿的h u b b 莉模型，在磁性和一维问题上的成功，扩展它 们用来研究反铁磁一超导共存的二维c u 0 平面系统，应是顺利成章的事。不少理论物理 学家相信，对h u b b a r d 模型的研究对于最终搞清超导体的本质特性会做出贡献。 h u b b a r d 模型是建立在这样的假设中的：即虽然固体中存在很多不同的能带，然而每 个原胞中仅有少数一些能带对体系基态性质起主要作用。这里我们假设每个原子只有一个 电子轨道并且它相应的轨道态是非简并的，这种模型通常称为单带h u b b a r d 模型。当然实 第一章绪论 际的原子有不止一个的轨道( 能带) 和电子。这样构建模型的道理是，处在其它态下的电 子在低能物理中不起重要作用，因而可以暂时加以忽略。 h u b b a r d 模型是一种简单的模型，在这样一种模型中，我们可以假设，存在于固体态 中的多个不同的能带，每单位原胞中仅有少数的几个态对基态的性质有较大的贡献。因此， 如果一个具有能量占，动量p ，和指标口的布洛赫波，就会有一个波函数甲加，这样我们 建立一个w a n n i e r 态： 即2 者；警谚呻) q _ 其中尹是原子的位置坐标。这里我们仅描述有单个能带的物质，所以我们可以忽略能带指 标口。那么库仑相互作用的矩阵元就可以表示为： u y = d 3 _ d 3 吃吖( i ) 一( 乏) 矿( 五一兄) 一( 亏) ，( 元) ( 1 2 ) 在三维体系中，矿指屏蔽的库仑相互作用。因为矿会随着间距的增大而迅速的衰减，其中 最大的一项就是在位项：u 肌，j 三u 。而第二项会是最近邻项，依次类推。而且因为w 籼i e r 函数具有迅速减少的交迭项，所以j 会随着间距i f 一歹l 的增大而迅速的减少。 在w 锄i e r 函数基底上，二次量子化的哈密顿可以表示为： 肚一黔 y 痂吒) + e 何y ) + 圭嚣 f ，文神c 吒弦一吒露l 3 其中算符c ：可以解释为在位置尹上具有白旋盯的产生算符，而且满足如下关系式： p 。( 尹) ，c ：( 尹) = 屯一岛， ( 1 4 ) c 。( 尹) ，c 。，( 芦) = o ( 1 5 ) h u b b 砌模型是( 1 3 ) 式所表示的哈密顿量的一种近似形式，它其中的迁徙项仅是指 最近邻格位间的跃迁项，即 f p = 毛当f ，是最近邻格位之间迁徙时为t ，其它情况均为零。 ( 1 6 ) 而且库仑相互作用也要假设为屏蔽的，如果仅保留在位项，那么有 u y = u 嘞谚y 4 ， ( 1 7 ) 最终h u b b 砌模型的哈密顿量可以表示为： h = 一f ( c ：( 芦) c 。( 尹) + 融) + u h ( 尹) 玎 ( 尹) ( 1 8 ) 篙氯 r 第一章绪论 则表示了最近邻格位。这就是单带h u b b a r d 模型中最近邻格点近似。而且我们还有 竹。( 尹) = c ：( 尹) c 。( 尹) ( 1 9 ) 根据泡利不相容原理，在每一个位置上我们可以得到= o ，1 或者，z ；= 聍，。 分别为：l o ) 是指真空态，| 个) 是指有一个电子且自旋向上的态，i 山) 是指有一个电子且自旋 向下的念，而1 1 、上) 指有一对电子且自旋是相反的态。其中态i o ) 和1 个山) 是自旋单态，即s = o 。 定义下列形式的算符是方便的，自旋算符蜃( 尹) 可以被定义为( 其中求和已经包含进去了) ： 蜃( 尹) = 昙c ：( 尹) i o c ，( 尹) ( 1 1 0 ) 矿铲一忆 ( ，) = h 。( 尹) = c ：( f ) c 。( 芦) = c ：( 芦) l 。c 。( 尹) ( 1 1 2 ) 而相关的总电荷q 表示为： q = p n ( ，) = 洲。 ( 1 1 3 ) c ：( 尹) = u 。c 。( i ) ( 1 1 4 ) 其中u 是外空间的一个么模么正矩阵。在这样一个么正变换下，白旋算符蜃的变换如下： s 。( 尹) = r 曲s 6 ( 尹) ：昙c t + ( 尹) r a 一( 尹) ( 1 1 5 ) ：昙c + ( 尹) ( u 一f a u ) c ( 芦) 第一章绪论 量子轴是可以随意选择的，所以h u b b 莉模型的哈密顿量在量子轴旋转时不应该改变 它的形式。这一点在相互作用部分的标准形式下是不明显的， 日l = u 船t ( 尹) ，2 ( 芦) ( 1 1 7 ) f 但我们可以把这一部分稍作改变，么模么正群的对称性就变得很明显了。我们先看下面的 算符 ( 雪( 谢= s 。( 芦) s “( 尹) ( 1 1 8 ) 7 。：麓 通过扩展元素和用么模么正群的对等性，我们有 f 易r 茹= 2 一 ( 1 1 9 ) 口= l ，2 ，3 从而得到 莩( 粥) ) 2 = 莩( 扣) 一知跏) ) 2 。) 这样我们可以重写一下( 1 1 7 ) 式： 耻u 孙m ) _ _ 莩挚2 + 等 ( 1 2 ) 上式中最后一项是一个常数项，可以忽略不计。那么h u b b 莉模型的哈密顿量就可以表示 为： 日叫黔玲k m 矗) 一孚莩的) 2 + 等 2 2 ， 仃= 个上 这样一来，我们就可以很明确的看出日是s u ( 2 ) 群的是一个不变量。 如果我们自由的改变单粒子波函数的相，即 c ：( 芦) = p 阳c ，( 尹) ( 1 2 3 ) 其中p 坩是u ( 1 ) 群的一个群元素，而且群元素满足如下关系式： p 疗p 口：p ( 口+ p ( 1 2 4 ) 在u ( 1 ) 群的变换下，哈密顿是一个不变量。这就是电荷守恒。比如，如果其中有些项不能 保持电荷守恒，像下面的项： c ；( 尹) c j ( 尹) jp 1 2 口c ；( 芦) c j ( 尹) ( 1 2 5 ) 我们就得不到不变量。 下面我们假设该体系和外磁场( 4 ，彳) 发生耦合，主要有以下三种情况： 第一章绪论 ( 1 ) 塞曼耦合 这种耦合是自旋蜃( j i ) 和外磁场雪( 尹) 之间的耦合，从而使自旋的方向和外磁场方向一 致，其中电子自旋和轨道角动量的耦合忽略不计。耦合后的哈密顿量为： 日历。= g 蜃( 尹) 云( 尹) ( 1 2 6 ) ( 2 ) 轨道耦合 单粒子哈密顿量为： 聊，= 去( 芦一料+ 周期势 2 7 ) 在紧束缚近似下，必须调整一下动能项，即 凰三一f ( c ：( 尹) ( 尹) + 比) 蚤j 争一，c ：( 尹) p 署f 疵j c i ，c 。( 尹) + c ：( 尹) p 一罢r 7 疵j c j ，c 。( 尹) 1 2 8 c 7 瓣l 我们现在再来看一下这种变换下的规范不变量 力：彳+ 亏八 ( 1 2 9 ) 这里八是一个任意函数，且有 胛，尹) 三王疵 ( 1 3 0 ) r，11 ，、 = 彳( 尹，尹) + 八( 尹) 一八( 尹) 这样动能项就变成了一个规范不变量，即 日。三一f 尹) 口o ，( m 训 c 尹 彳 ”卜+ ( 1 3 1 ) ：一f fc ：( 尹) p r 口( ，) p 嚣一( f ，f ) + ( f _ ) 一 7 p + 旧( ，) c ，( 尹) + 办c 】 尹亍 ， 盯= 1 十 那么相因子可以表示为： 臼三一害二八( 尹) 壳c 、7 ( 1 3 2 ) ( 3 ) 静电耦合 这种耦合是电荷密度厶( 尹) 和电磁场的耦合，耦合后的哈密顿量为： h 咖。耙= 鲥。( 尹) c ：( 尹) c 。( 尹) ( 1 3 3 ) f 口 6 第一章绪论 对于双格子的情况( 也就是说一个原胞中含有两个相互作用的分格子a 和b ) ，我们 可以得到另外的一些对称性。 ( i ) 首先，t 值的符号会发生改变。考虑下面的变换 c ，( 尹) + c 。( 尹) 当尹爿 c ，( 尹) 一c 。( 尹) 当尹口 ( 1 3 4 ) 在这种变换下，动能项改变了符号： f c ：( 尹) c ，( f ) 即：( 尹) c ，( 尹) ， 尹4芦曰 ( 1 3 5 ) 而势能并没有发生改变，在这种变换下，正则对易关系也没有发生改变。 ( i i ) 然后我们再看一下粒子一空穴变换： q ( i ) = 出( i ) ， r c i ( 尹) = j + d j 尹， 芦4 ( 1 3 6 ) i 一町( 尹) ，i b ， 在这样的变换下，( 1 8 ) 式中哈密顿量日( f ，就可以变换成日( f ，一u ) + l w + ，其中十 是自旋向上的总的电子数( 它是守恒的) ，在这种变换下，我们可以得到 聆十+ n i = c i c t + c j c = d i d t + 叽酊= d ；西一d i 或+ 1 ( 1 3 7 ) 和 ，2 t 一门 = c ；c 十一c ：c = d i d t d 。d ：= d ；d t + d j d 1 ( 1 3 8 ) 与此相似，电荷q 和总自旋的分量s ：之间的变换为： g 斗s ：+ l ，s ：斗q + 1 ( 1 3 9 ) 这样，相互吸引和相互排斥的情况分别对应于上面两种情况。与此同时，白旋对应于电荷， 反过了，电荷也对应于自旋。我们注意到，对于一个负的u 值，哈密顿对应于一个局域单 态( s = 0 ) ，比如，真空态和双重占有态。 1 3t t ，uh u b b a r d 模型 t t 一uh u b b a r d 模型是t uh u b b a r d 模型最简单的一种变形。它是把次近邻之间的迁徙 项也包含进去了，而这一项我们用t 来标记它。对于这一项是否能描述高温超导体的不同 正规态特性存在一些争议【2 4 ，2 5 ，2 e 2 7 1 。这个额外的参数t 调整了无相互作用问题的带结构，而 第一章绪论 且它允许态密度中的范霍夫奇点发生移动，从单带模型中的带顶到非半满带时的费米面上 或者费米面附近。我们注意到一些建议，说在发现高温超导性之前，范霍夫奇点为高温超 导性提供了一种电子机制。而建立这种有效的电子机制在平均理论之外是非常困难的。 在高温超导时代，l i n 和h i r s c h 最先研究t t uh u b b a r d 模型【2 9 1 。用h 鲫c r e e f o c k 近 似，精确对角化技术和一种量子m o n t ec 砌。方法，他们研究了t 对该模型磁性的影响。 他们发现，态密度中的范霍夫奇点增加了铁磁关联性，但是并没有发现铁磁长程有序。在 l i n 和h i r s c h 的研究之后，又出现了许多研究工作，他们用平均场理论进行计算3 0 一3 4 1 ，用 精确对角化进行研究，和用量子m o n t ec a r l o 方法进行模拟【3 5 4 3 1 。他们也注意到，通常他 们用h 碰r e e f o c k 近似方法计算得到的结果和其它两种精确数字方法所得的结果并不一 致。虽然两种数字方法研究的结果通常是一致的，但是精确对角化方法的使用被限制在了 小格子中，所以使用它很难建立长程有序。而使用量子m o n t ec 砌。方法可以处理大格子 问题，但费米子符号问题限制了它的发展。 在铜酸盐材料中，用数字方法对中子散射实验中自旋和电子结构的模拟及光电效应实 验中的角分辨率的研究，强调了t 的重要性。在量子m o n t ec a r l o 方法的研究中，一个非 零t 值的出现，特别是在标准单带h u b b 莉模型中的d 波轨道上，是否能增强超导波动存 在着一些争议。最近的一种量子m o n t ec a r l o 模拟，研究了t t uh u b b 矾模型中的铁磁 长程有序。另外还有两种量子m o n t ec a r l o 方法，研究了由耍= 协，o ) 和耍= ( o ，石) 两种自旋 波之间的共振产生的层状反铁磁态。很显然，t t uh u b b a r d 模型和标准的t uh u b b a r d 模 型相比，包含了更多有趣的结构。 t t uh u b b a r d 模型的哈密顿为： 日= 一f ( c ：c j ，+ c 二c f 。) 一f ：c ，。+ c 二c f 。) + u 玎，t 刀f ( 1 4 0 ) ，仃 ，盯 其中， 和i j 分别表示最近邻和次近邻之间的格位i 和j 。t 和t 分别是相应格位之间 的迁徙过程的振幅。u 0 代表在同一格位上的两个不同自旋的电子之间的库仑排斥。c ：和 c ，。是在格位i 上的自旋仃的电子的产生和消灭算符。即，。= c ：c ，。是格位i 上的电子数算符。 我们可以用 ，) 标记格子，其中口和是整数。基本的格子变换矢量为历= 磁+ 缈和 5 = 一威+ 缈，所以，在周期性边界条件下，传统的口口平方格子可以标记为 ，0 ) 。在 布里渊区内，非平方超晶胞和平方超晶胞之间的差异，有时可以处理m o n t ec a r l o 模拟中 的有限尺寸效应。 当u = o 时，t t uh u b b a r d 模型具有如下形式的能带谱【删： 8 第一章绪论 占。= 4 f c o s 后，c o s 七。一2 f ( c o s 后，+ c o s 后。) ( 1 4 1 ) 当t 的值也为0 时，此模型具有粒子一空穴对称性，而且，在半满带时，它的费米面是平 面方巢状的，即一个格位上具有一个电子。态密度中的范霍夫奇点位于费米能量中。当t 的值不为0 时，粒子空穴对称性被破坏，此时，费米面由一些粒子和类空穴组成。在半满 带时，如果t o ，费米面是类粒子的，若t 0 时，才会出现长程有序。当有杂质存在时，这种长程有序迅速的被压缩。实 验上这种压缩已经被验证过了。在中子散射实验中，已经有人观察到，必须存在着一个非 零的t 值来模仿静态自旋结构因子的特征 2 6 】。另外，还观察到，对于光电效应实验中的角 分辨率，t 似乎必须诞生出相互作用费米面的超出部分。 1 4 量子m o n t ec a r l o 方法 作为一种非常重要的数值运算方法，m o n t ec 砌。方法已经被广泛的用来处理量子自 旋模型，h u b b a r d 模型，t j 模型和电子一声子相互作用模型等各种模型。这种数值模拟途 径是与解析途径不同的一种研究多体物理的强有力的方法，它们之间相互补充。 q m c 方法的主要思想是通过一个与量子力学的路径积分形式体系密切相关的程序把 一个d 维量子统计问题转变成一个d + 1 维的经典问题，然后用m o n t ec 砌。技术来计算由 此而产生的复杂多重积分。下面我们就先介绍一下m o n t ec 砌。方法的一些有关知识。 ( 1 ) m o n t ec a r l o 方法中的积分 我们考虑如下的普通定积分， ，= 上厂( x ) 出 ( 1 4 2 ) 根据积分的定义，可以预先选+ 1 个点t ( i - o ，1 ，n ) 将区间 o ，1 】等分成n 段， ( 例如用等分的方法) ，则有 ，2 溉善厂( x r ) 缸r2 熙专蕃厂( x ，) q 4 3 显然只要n 足够大，就有 h 专善m ，) ( 1 4 4 ) 9 第一章绪论 如果不用确定的方式提前选取所有分点，而是采用随机抽样的方法来逐一确定分点，这就 是m o n t ec 砌。方法的特点。如果我们的抽样是按等几率分布进行抽样，并且是真正随机 的，那么所选的这些点将以相等几率分布在区间 o ，1 上。显然当点的数目n 足够大时，这 些点近似地等分该区间并同样可得到( 1 4 3 ) 式。 对于复杂的高维积分，通常的求积分的方法是行不通的。例如考虑一个d 维积分，如 果在每一个积分变量的积分区间上都取个分点，则该积分的计算量将正比于分点数d ， 它随d 而非常迅速地增大。这时m o n t ec 砌。方法就成为一种更为经济的强有力的方法。 它在执行时有两个问题： ( i ) 如何估算出这种近似计算的误差? ( i i ) 如何得到随机数列? 首先看问题( i ) ，用统计的观点来看，可以通过著名的中心极限定理得出误差估计值。 令 ，= p d 矿( i ) 尸( 元) 三( 厂) p ( 1 4 5 ) 其中i 是d 维空间中的一个矢量，p ( 觉) 满足 尸( 芰) o p d 妒( i ) ：1 1 4 6 的几率分布。所以，可以看成是函数( i ) 对于分布尸( i ) 的平均值。用几率分布尸( i ) 的个 独立抽样来形成如下的样本均值： x = 专，：二瓜) ( 1 4 7 ) i p ( j ) 中心极限定理告诉我们，当每一个i 按尸( 冤) 分布时，得到一个特定的x 值的几率p ( x ) 在 趋于无穷大时，趋于一个正态分布。 其次，再来看问题( i i ) 。利用事先准备好的数列或者把计算机跟某种带有随机特点的 物理过程连接在一起，这都是可能的途径。但在实际工作中并不这样做。第一种办法所需 存储量太大，第二种办法则性能不佳，因为这时数值不易复制，故计算不易进行检查( 而 这对于调整和除去计算程序错误是重要的) 。实际上所做的是形成一个伪随机序列。它在 数学上是一种确定性数列。伪随机序列最普遍的形成方法是线性同余法。这种方法是按照 法则： x f + l = ( 锻。+ c ) 1 0 第一章绪论 来生成伪随机数列的。显然这样递推出的数( 即有某种关联的数) 不可能是真正随机的， 其产生的数列中的数必然会在某个很大的项后会周期性地出现。但如果适当地选取a 和c ， 可使得伪随机数的产生周期相对于计算中的随机数个数而言大很多。就可以近似地视为随 机数。为判断一个数列是否具有满意的伪随机性，必需经过一系列统计实验，并且在线性 同余法提供的点的分布不太好时还可参考其它一些更有效的生成法。以下假设我们已经有 了满意的能提供均匀分布的( 伪) 随机数的生成器。 ( 2 ) 随机变量的抽样 在得到( 0 ，1 ) 上均匀分布的随机数后，必须还要知道具有各种不同分布的随机变量的抽 样方法。对于简单函数，我们可用随机变量的函数变换来处理。 ( i ) 变换抽样 如果我们定义 1 ，( x ) ：r 出尸( x ) ( 1 4 8 ) y ( x ) = i 出尸( x ) ( 1 4 8 ) 则咖出= 尸( x ) ，那么有 j 舯( x ) 厂( x ) = j 彤( x ( y ) ) ( 1 4 9 ) 故可以看出，当对y 进行均匀抽样后，由此得到的逆函数x ( y ) 将按所希望的分布p ( x ) 来分 布。( 1 4 7 ) 式给出了两个随机变量之间的基本关系，是由( 伪) 随机数y 对按尸( x ) 分布的 随机变量x 进行直接抽样的依据。 ( i i ) 舍选抽样 当要抽样的随机变量的分布不是解析函数，或者虽然是解析函数但上述的变换抽样无 法应用时( 例如求积分或求逆函数困难时) ，就可以选择用舍选抽样法。 对简单函数进行抽样的v o nn e 啪a n n 舍选法可用下图说明。设待抽样的几率函数为 尸( x ) ( 0 p ( x 。) 就回到( a ) 步，否则就接受x 。作为抽样的x 值。 由此方法得到的点集x 将有我们需要的分布。 如果待抽样的分布函数p ( x ) 下的面积仅仅只占矩形的一小部分，则用上法进行舍选 时，会由于舍去的频率太高而效率低。更有效的方法是把在矩形上的均匀分布变换成满足 f ( x ) 尸( x ) 的分布f ( x ) 。要求f ( x ) 尽可能地接近尸( x ) 并且使这种变换容易进行。同样在 矩形平面均匀产生的点中只有那些即在曲线f ( x ) 下面，同时也在曲线尸( x ) 下面的点才被接 受。这些被接受的点的横坐标x 将按p ( x ) 分布。注意在f ( x ) 下的随机点的横坐标是按f ( x ) 分布的，所以我们可以把在f ( x ) 下的随机点的坐标( x ，y ) 用如下的两个随机变量x ，x ：构 成，x = x 。，y = f ) x ：，其中x 。是按f ( x ) 分布的随机变量，而x ：是均匀分布在 0 ，1 】上的 ( 伪) 随机数。则从曲线f ( x ) 下的随机点中舍去的点( 在f ( x ) 下和尸( x ) 上) 应满足 y p ) 。故类似我们可如下进行舍选， ( b ) 舍选法2 ： ( a ) 生成一个均匀分布的( 伪) 随机数x ：和一个按f ( x ) 分布的随机变量x 。 ( b ) 若x ： 尸( x 。) f ( x 。) 就回到( a ) 步，否则就接受x 。为抽样的x 值。 ( 3 ) m a r k o v 随机过程 在我们所用的m o n t ec 矾。方法中，采用的是著名的m e t r o p o l i s 舍选法。它经常用来生 成所需的m a r k o v 链。所谓的m 酞o v 链k n ，x ( 孙，x ( 扪， 由如下的法则生成，它仅仅在第玎 个元素x ( ”的基础上给出第刀+ 1 元素x ( ”1 的几率分布。 下面我们将寻求生成m 酞o v 链的方法，使得其元素的分布趋于一个特定的分布( 为 具体起见，以下设为p 心( 。) 。 令尸( xjy ) 表示从x 出发到达y 的几率。对于抽样p 心。的m 破o v 过程来说，做出如 下要求就足够了： ( a ) 由法则尸( x y ) 能最终到达体系的每一个位形。 ( b ) p jj ，) 必须满足微观可逆条件( 细致平衡条件) ： p s 。p ( x 专y ) = e s y 尸( y 专x ) ( 1 5 0 ) ( 4 ) m e t m p o l i s 舍选法 此法是如下进行从i 生成歹的：知道冤后，可通过某个方便的对称几率分布 1 2 第一章绪论 f ( i 专i r ) = f ( i r _ 冤) 来生成一个暂时值i r 。这个值将以几率m i n 杠，e 心p 书2 被接 受。若被接受就取萝= i r ，若被拒绝就令歹= i 。换句话说，若移动减小作用量，则总可以 被接受，而若是增大作用量，则它以几率p 一笛被接受。 这个方法的一个最简单的具体执行是：通过定义x ? = x 。+ 绺来依次生成暂时值 x j ( f - 1 ，) 。其中随机变量孝均匀分布在区间( _ 吉，吉) 上，步长缸的选取依赖于所要解 决的问题。如果p 书p 矗2 p 书( 2 的情形：此时移动冤j 萝总是被接受的( 即被接受的几率为1 ) ， 而移动萝专蟊是以几率p 心( 2 p ( y 被接受。注意到f 的对称性，可知有 f ( 冤专歹) l 尸( 歹专i )f ( 歹专i ) p s p s 萝 p s ( 夕) p s ( j ) 这正是微观可逆条件。类似可以证明在p ( 2 p 书( 夕) 的情形，这种算法也是微观可逆的。 注1 ：m e t r o p 0 1 i s 舍选法可以应用于任何分布。其主要缺点在于由此产生的m 破o v 链中的元素有较强的关联性。特别是对于链中的最初一些元素来说情况往往十分严重。特 别是对于链的开始一般没有一个好的起点元素i 1 ，随之产生的一些元素可能都会远离我们 所希望的平衡。避免这一困难的一个方法是，任意选一个点，然后把它连同随之产生的最 初一些点丢掉。这种将链中最初部分丢掉的技术由于统计力学上背景，被称为分布的“热 化”。( 同样的原理也可用在减小相继的随机点之间的强关联，即通过丢掉被当作是物理系 综的元素的任两个点之间的一些点来实现) 】 【注2 ：步长的特征尺度血可以选为两个无效的极端尺度之间的折中。若血太小，则丛 小，此时虽然移动总是会被接受，但x 花费很长的时间才能遍历全空间。若止太大，则丛 可能很大，从而被接受的几率p 一丛很小，即很易使步子移出作用量的极小值的附近而被拒 绝。根本不能遍历全空间的步长和根本不能被接受的步长之间的一个可能的折衷是粗略取 能被接受步长的一半。此外，因m e t r o p o l i s 步长往往较小，故若进行一次热浴法的更新所 做出的努力小于进行几步m e t r o p o l i s 的移动所做出的努力，则宁可用热浴法。】 ( 5 ) 初值无规行走 对于基态平均值算符中的矩阵元的计算常常不是对整个作用量抽样而是用初值无规 行走法来抽样。我们用此法说明是如何抽样( 例如) ( 丸i p 一i 丸) ( 其中丸( x ) 必须是正的) 。 首先从一个按九( x ) 分布的初始点集开始，然后通过不断运用p 一胛来让点集演化，以 13 第一章绪论 得到一个按( x ) = p 一胛唬( x ) 分布的点集，再用它来计算交迭仇l 沙) 。 这种方法对于计算基态性质特别有用，因为不必保留对许多时间片段的整个历史，而 只须简单地用e 1 日以所需要的次数来精炼位形的点集。这个方法还有额外的优点，即它能 方便地把对解的性质的物理理解融入到求解中去。 作为坐标集的初始值问题，欧氏演化算子的矩阵元的演化的最简单方法类似于丁1 v 的 计算。让我们把无穷小演化算子分解成高斯几率和一个剩余权重的积： ( hi e l 肛e k 一。) 三p ( “，一。) 形( 吒一，) ( 1 5 1 ) 其中 雌 ，) = 去口去吨q 户 ( 1 5 2 ) 使得 形( x 川) = p 一8 矿川一e ( 1 5 3 ) 从而 ( 化删嘲i 唬) = 忙”姒( 眠如帅川) ( 1 5 4 ) p ( x 3 ，x 2 ) 形( x 2 ) 尸( x 2 ，x 1 ) 九( x 1 ) 这个几率和权重的乘积可如下计算：首先按分布函数丸( x 。) 随机地选取点硝，然后得分的 暂时值定义为渺( x ，) 。给定了x 。后，x ：就按几率p ( x ：，x ，) 选择是围绕x 。作高斯分布，将所 得分乘以形( x ：) 。对所有，2 反复如此进行，直到x 。被选为是按围绕x 川作高斯分布，其得 分被乘以丸( x 。) 。由于每个这样的抽样处的点集，所得分 n l 丸( ) 兀形( x ，) # 1 的几率为兀：p ( t 小x j ) 丸( x 。) ，这样对于大量的抽样集，得分的平均值趋于( 。f 烈肛d l 九) 。 ( 6 ) 初值无规行走的复制法 把一个按唬 ) 的初始点集扛： ，按几率形( z ) 复制：在y ( x ) e 的区域，形( x ) 1 ， 则点以几率1 一矽( x ) 从点集中去掉。在矿( x ) 1 ，点x 总被复制 形( x ) 】次，( 眇】表示形中的最大整数) ，而且还以形( x 。) _ 形( x j ) 】的几率多复制一次。这 些点再按高斯项尸( x i ，x ：) 扩散。( 即x ；就按几率p ( x i ，x ：) 选择成围绕x ：作高斯分布来抽 样) 。在以后的各步，点按形(