（概率论与数理统计专业论文）非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究.pdf

摘要 期权是金融衍生产品的一种重要形式，其价值依赖于标的资产的价格变动 期权定价的过程，一般是对金融市场做一些合理的假设，进而给出标的资产的价 格变动模型，在给定的模型下去寻找期权的价格公式期权定价在完全市场下已 经有了几种比较成熟的理论，正逐步向不完全市场情况下的定价理论发展本文 的目标是在不完全市场情况下，寻求建立在效用函数上的均衡期权价格公式，试 图通过这些研究来纠正目前已有定价模型的不足以往的信用风险期权定价理论 中的强度模型是假定违约强度与标的资产价格及企业价值不相关，但在现实经济 社会中，违约强度与它们有紧密的联系而且违约强度在实际经济生活中不太可 能是确定的，也不会任意变动，而是会围绕其均值上下波动，即遵循均值回复过 程因而本文对b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型进行推广t 用强度遵循均值回复过 程的重随机p o i s s o n 过程来描述违约过程并且采用公司价值模型的补偿率；在假 定违约强度过程与标的资产价格及其企业价值的扩散过程两两相关的情形下，采 用等价鞅测度变换方法和建模的数学理论推导出脆弱欧式看涨期权的价格公式 本文研究涉及到了非完全市场的期权定价问题，期权的价格是不唯一的，即对应 不同的违约风险市场价格，就会有不同的期权价格存在笔者在文中就这一问题 做了比较深入的理论探讨，并利用随机贴现因子模型计算出了违约风险的市场价 格，使得确定唯一的合理的期权价格成为可能 关键词。违约风险；建模理论；脆弱期权 a b s t r a c t o p i t i o ni so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt y p eo ff i n a n c i a ld e r i v a - t i v es e c u r i t sw h o s ev a l u ed e p e n d so nt h ev a l u e so ft h eu n d e r l y i n g a s s e t e t h ep r o c e s so ft h eo p i o np r i c i n g ，d ot ot h ef i n a n c i a lm a r - k e tg e n e r r a l l ys o m er e a s o n a b l eo fa s s u m p t i o n ，t h e ng i v et h ec h a n g e m o d e lf o rt h ep r i c eo fo b j e c tp r o p e r t y , u n d e rt h em o d e ll o o kf o rt h e p r i c ef o r m u l ao ft h eo p t i o n t h eo p t i o nl i s tp r i c eh a sa l r e a d yh a d s e v e r a lt h e o r i e st h a tk i n d si sm r o em a t a r e su n d e rt h ec o n d i t i o no f c o m p l e t em a r k e t , j u s tg r a d u a l l yt oi n c o m p l e t em a r k e t t h et e x t u a l t a r g e ti su n d e rt h ec o n d i t i o no fi n c o m p l e t e l ym a r k e t ，l o o k i n gf o rt h e e s t a l i s h m e n tb a l a n c e do p t i o np r i c ef o r m u l ai nt h eu t i l i t yf u n c t i o n a n di na na t t e m p tt oi m p r o v et h ee x i s i t i n gp r i c i n gm o d e l s i n t e n s i t y m o d e la s s u m e st h a td e f a u l ti n t e n s i t yi si n d e n d e n to ft h eu n d e r l y i n g a s s e tp r i c ea n dt h ev a l u eo fc o u n t e r p a r t yf i r m i nt h ee c o n o m ys o c i - e t y ，h o w e v e r ，d e f a u l ti n t e n s i t y , w h i c hi st h wp r o b a b i l i t yo fd e f a u l ti n o n eu n i tt i m e ，i sc l o s e l yr e l a t e dw i t ht h e m a n di tc a nn o tb ed e t e r - m i n d eo ra na r b i t r a r yv a r i a b l e i nf a c t ，d e f a u l ti n t e n s i t ym a yf l u c t u - a a t ei t sm e a n v a l u e ，i ti sam e a n - r e v e r t i n gp r o c e s s t h i sp a p e rs t u d i e s a n dg e n e r a l i z e st h em o d e l so fv u l n e r a b l eb l a c k - s c h o l e so p t i o n su n - d e ra s s u m p t i o n sw h i c ha r ea p p r o p r i a t ei nm a n yb u s i n e s ss i t u a t i o n s w ed e s c r i b et h ep r o c e s so fp o i s s o np r o c e s sf o l l o w sam e a n - r e v e r t i n g p r o c e s s w eu s et h er e c o v e r yo ff i r mv a l u em o d e la n ds u p p o s et h a t d e f a u l ti n t e n s i t yp r o c s sc o r r e l a t e sm u t u a l l yw i t ht h ed i f f u s ep r o - c e s s e so ft h eu n d e r l i n ga s s e tp r i c ea n dt h ev a l u eo ft h ec o u n t e r p a r t y f i r m o u rs t u d yw i l li n e v i t a b a b l yp u tt h w eb o n dp r i c e i n gp r o b l e m s i n t ot h ei n c o m p l e t em e r k e tc i r c u m s t a n c e i nt h i sc o n d i o n ，t h eb o n d p r i c ei sn o tau n i q u eo n e ，t h e r ew i l lh a v ed i f f e r e n tb o n dp r i c ew h e n t h em a r k e tp r i c eo fd e f a u l tr i s kd i f f e r s ，i nt h ea r t i c l e ，w eg i v ead e e p l y t h e o r e t i c a ld i s c u s s i o no nt h i sp r o b l e m ，a n dw o r ko u tt h e m a r k e tp r i c e o fd e f a u l tr i s ku s i n gs t o c h a s t i cd i s c o u n tf a c t o rm o d e l a l lo u re n d e a v - o r sh a v em a d et h ef i x a t i o no ft h eu n i q u eb o n dp r i c eap o s s i b l em i s - s i o n k e y w o r d s ：d e n f a u l tr i s k ；t h e o r i e so fm o d e l i n g ；v u l n e r a b l eo p t i o n s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究 成果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论文而 产生的权利和责任 声明人( 签名) ：杨萨尹 似刀年广月彩日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打 广) 作者签名：杨伟哗日期：洞年广月而日 导师签名吉时髦细期：习年6 月日 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 第一章预备知识 第一节信用风险概述 1 1 1 信用风险的涵义 金融的全球化趋势，使得金融市场的波动性不断加剧，由此带来了巨大的风 险而在企业或者金融机构面临的各种各样的风险中，信用风险是金融市场中最 为古老、也是最重要的的一类风险，它伴随着借贷行为的产生而产生，并且在大 多数金融交易中都是一个重要的考虑因素传统的观点认为，信用风险是指交易 对象无力履约的风险，也是债务人未能如期偿还其债务造成的违约而给经济主体 经营带来的风险随着社会的发展，人们对信用风险的理解和认识不断深化，其 含义也变得越来越宽泛通常，狭义的信用风险是指信贷风险，也就是借款人不 能按时足额的归还贷款额利息而给银行等信贷机构带来的风险广义的信用风险 是指因客户违约所引起的风险，如资产业务中的借款人不按时还本付息引起的资 产质量恶化；负债业务中的存款人大量提前取款形成挤兑，加剧支付困难在公 司债券和信用违约互换等衍生产品中，面临的信用风险主要是来自交易对手的违 约风险特别是2 0 世纪9 0 年代以来，全球金融业在先后经历几次重大信用危 机后( 如高收益企业债券崩溃，巨额衍生产品损失以及全球性的信用危机) ，全球 金融理论界和实践界对信用风险产生的机理，信用风险度量的研究兴趣日益增加 当前，对于可违约债券和带有交易对手风险的信用违约定价研究已经成为最令 人兴奋、最有发展前途的金融研究领域，是风险定价研究领域中的最前沿 1 1 2 信用风险的基本特点 市场风险和信用风险是金融活动中两种基本的风险类型但与市场风险相 比较，信用风险有以下特点： 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 2 1 综合性t 信用风险综合体现了各种金融风险市场风险、政治风险、自然 风险、灾害风险、技术风险等各种类型的风险最终都会通过信用风险体现出来， 表现为金融交易中的违约行为 2 传递性和扩散性。在金融交易活动中。交易一方的信用风险可以导致另一 方的信用风险；而另一方的信用风险又可能导致第三方的信用风险，最终形成一 个信用风险链 3 积累性；由于信用风险具有传递性，一方的信用风险可能会扩散到关联各 方，导致积累起来的信用风险迅速增大 4 隐蔽性和突发性：信用风险可以通过安排新的负债得到缓解，如借新债还 旧债，可使得信用关系暂时得到维持这样，即使发生违约的风险很大，起初也 难以显现出来 5 不确定性：市场风险本身就是一种不确定性，但它是一种可以计量的不确 定性信用风险由于受交易方的道德水平、经营能力、努力程度等主观性因素的 影响，其不确定性更大，因而对其进行量化处理和客观评价都非常困难 1 1 3 信用发展模型回顾 信用风险模型已经融入到那些含有信用风险的衍生产品合约的定价中，因 为信用风险能以多种不同的方式影响衍生产品合约的定价最初为风险债券或类 似金融工具的定价模型之一是m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 创立发展的而基于m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 的模型，第一个探讨含有交易对手违约风险的定价模型是j o h n s o n 和s t u l z ( 1 9 8 7 ) 他们的研究是m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 公司债券模型的一个扩 展设给出的坼是对手方公司在t 时刻的承诺支付，我们总假设权益是欧式 的，即在到期日t 之前不能执行如果公司在权益的有效期内破产了，权益持 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 3 有者就不能得到x t 的收益，而只是x t 的一部分，一般的是x t 这样带 有违约风险的权益的到期收益可以表示为 群= 坼厶晦d t ) + 5 t x t i v t d t 这里的厶是集合示性函数，是交易对手方公司的资产价值，d t 是 标的资产的价值， 5 t = 鲁是回收率( 又称补偿率) 如果违约时间为丁。则丁t 表示对方公司在到期日前不发生违约或破 产，而t t t 表示公司会违约或破产，从而在到期日t 时该风险权益的 价值也可以表示为 碍= 坼厶下t ) + 5 r x r i ( t r q 在市场存在鞅测度q 的情况下，可得到该风险权益在t 时刻的价格为 掣= b 场防l 坼( 厶晦d t + 西厶坼 0 时，套利机会不存在( 即 无套利) 同时，无套利也意味着存在严格为正的贴现因子：m 0 ，p = e ( m x ) ，v z x 定理2 1 2 表明，在支付空间x 中存在唯一的贴现因子z 事，但定理无法 排除这样的一种情形，即在空间美之外还可能存在着其他贴现因子事实上， 如果是在完全市场情况下，状态空间r s 就是支付空间，存在唯一的贴现因子 x 车，满足p ( z ) ie ( z 木z ) 而在不完全市场下，虽然在支付空间k 存在 1 4 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 唯一的贴现因子x 宰。但在整个状态空间r 5 随机贴现因子不唯一，任何具有 m = x 宰+ 毒且e ( z ) = 0 形式的随机贴现因子都可以为支付空间中的资产 进行定价这其中必然存在严格为正的随机贴现因子，但不一定就是x 奉 第二节违约风险的市场价格 在完全市场假设下，债券或衍生资产的未来损益都能用一组已知价格的市 场化资产来复制，因此在无套利条件下，这些资产都能获得唯一的定价但在现 实中，在大多数情况下，市场是不完全的其中的原因有很多，主要原因有t 市 场交易的非连续性；市场交易存在摩擦；资产的价格过程存在跳跃现象；资产的 未来收益分布呈厚尾分布；资产价格波动率的随机性；基本资产的不可交易等 在非完全市场下，即使给定的价格系统是无套利的，由于对该价格系统存在多个 等价鞅测度，因此也会对应多个定价 我们可以看出，在命题3 1 2 中，与实际测度p 等价的鞅测度q 的集 合是非空的，而且集合中的元素并不唯一随着违约风险市场价格h 的变 化，集合中就会出现无穷多个与p 等价的鞅测度q 虽然对每个具体的等价 测度q 来说给定的价格系统都是无套利的但是多个等价鞅测度的出现，必然 意味着债券或者衍生资产对应很多个定价，因而整个市场是非完全的 之所会出现这种非完全市场的情况，其原因就在于我们在描述债券违约风 险时选择了一个带有随机性的违约强度，而在市场上却又无法找到一种可交易的 资产，来对冲有这种重随机p o i s s i o n 过程所描述的违约风险因此，仅仅基 于无套利假设，并不能确定到底等价鞅测度集合中的哪一个q 测度是可以用来 定价的而确定具体的鞅测度q ，实际上，就等价于要确定违约风险市场价格 h 的具体数值或者函数形式 1 5 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 1 6 为了确定违约风险的市场价格h ，我们就需要用随机贴现因子的定价方 法，计算可违约债券的价格然后设文献【3 1 】测度下的价格与等价鞅测度q 下 的债券价格相等，进而可以计算得到h 2 2 1 随机贴现因子模型 在我们的定价体系中，通用的定价公式为 p t t r t = e t j e o t r t + 3 d t + s d s 因为无红利分配，只有d t = x ，其余时刻d t - - - 0 。又因为在t 时刻的随 机贴现因子死是已知的，所以本模型的定价公式可简化为。 p t = e ( 票t t x )( 2 2 1 2 ) 进一步，假定经济中存在m 个同样的代理人，他们都具有同样的效用函数并 且总的资产服从下面的随机过程， _ d e t = p e d t + 仃e d 町 ( 2 2 1 3 ) e t 其中w e 是实际测度p 下的个标准布朗运动 接下来，我们定义价值函数v ( e t ) 且令肛7 ( e t ) = k ( e t ) 由于1 单 位货币的边际价值在任何情形中都相同，因此6 = 0 ，且有。 7 r t - - - - e - 6 t 1 t ，( e ) = e - 6 t k ( e t ) - - - - k ( e t ) = p ，( e t ) 另外我们知道，因为市场是不完全的，所以这就意味着随机贴现因子不唯一有 一价定律得出支付空间存在唯一的随机贴现因子矿。那么过该点，与支付空 间垂直的空间上的点均为随机贴现因子，即 j d x = 篓+ 咖e ( d w ) = 0e ( 如批) = o 7 r7 r 奉 、7 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 1 7 因为资产服从扩散过程，有i t o 定理可以得出e t 服从对数正态分布，也就是 说支付空间是严格非负的，因此可假设支付空间上唯一的随机贴现因子7 r 宰服从 扩散过程： 警铂。出忆。d 孵 2 2 2 随机贴现因子的运动形式 为了求解随机贴现因子7 1 宰的具体形式，首先用随机贴现因子为无风险支 付定价，这样可以使其形式得到简化，进而可以得到矿的漂移率将价格1 ， 支付e r t ( r 为无风险即期利率) 代入( 2 2 1 2 ) 得 1 叫篝e 刀) 即 e ( 警) = 瑚 则有 芸= 一r 巩+ 即d 孵 ( 2 2 1 4 ) 7 r 事 ” 。、7 根据( 2 2 1 1 ) ，又因为我们假设无红利分配，所以有 e ( 鲁) 一r 班一e d _ 兰td 研e t 将( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) 代入上式，得到 ( p e 一7 ) 出= 一e ( 芦e d t + 吼硎孵) ( 一r 班+ 孵) 】 = 一c r e 砒 因此 靠一一丝! ， 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 所以可以得到，支付空间上唯一的随机贴现因子的运动形式为 等= 一r a “t 一例孵 = 一一d 口w f 7 r 车 其中 p = p e - - r 仃e 我们在接下来的定价中。假设随机贴现因子的运动形式与支付空间唯一的随机贴 现因子7 r 幸相同，因而可得 等= 一d t r a t 邓j a w = 一一 ， 7 r 其中r 代表无风险利率，p 代表风险的市场价格 1 8 第三章带有违约风险的期权定价 第一节金融市场和鞅测度 3 1 1 经济变量的随机过程 设( q ，f ，p ，f t) 为一完备的概率空间，r 为其上的对t 递 增的盯一域流假定对随机变量的所有叙述几乎处处成立或者几乎必然成立， e ( x i f t ) 表示随机变量x 关于到时间t 为止可获的信息的条件期望 设 邑) t o 是一重随机的p o i s s o n 过程，它是违约时刻丁对应的过程， 丁= i n f t t = 1 ，0 亡t ) ，其强度 九) t o 遵循均值回复过程： 【3 l 一3 4 】 d a t = a ( b a t ) d t + 盯入d 附 设期权的到期日为t ，考虑某个在市场上交易的资产，其价格为& ( 0 t t )，该资产所属企业的企业价值为v t ，7 1 t 表示定价核在t 时的值 【3 】，其中死= p cc ，t ) 是有代表性的交易商的消费边际效用且& ， ，死都遵循几何b r o w n 运动。 警邓出帆d w 可d v t = 舰出+ a v d w 譬= 触d t + a 丌d w 仉 其中九，& ，仉都是r 可测的，a ，b ，p s ，批，p s 丌，v s ，v v ，分别表示九，& ，k 和仉遵循的扩散过程的漂移率和波动率，均为常数 聊，w ，町，叼 都是p 下的标准w i e n e r 过程 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 3 1 z 等价秧测厦变换要用秧定价方法来计算债券的价格，就必须将买际 测度p 下违约强度遵循的过程转换到等价鞅测渡下，因此我们给出如下命题与 p 等价的鞅测渡q 的集合可以表示为： s = q 日，p ；3 h ，p ，s ，t d q 。厂g , 卢i r = l ( t ) 2 ( t ) ) 其中 郇) = e x p ( h t r ( e 矾一1 ) 九d s ) 一计r 凤d 巩一学) 进一步，如果九是丁在原来的概率测渡p 下的强度过程，则7 在等价测渡 q 下的强度过程为元= e 风九 证明 以元= e 风九表示7 - 在等价鞅测渡q 下的强度过程，其中j 瓦为某一 过程，则 q ( 7 - tl 鼠) = 1 一或= e x p ( - j ：t 如) 由此得，存在某一过程1 ( 亡) ，使得 e x p ( 一j i ；) s d s ) = q ( 7 - tir ) = 矽( 1 t r i 尻) = j 尸l ( s ) d 只= 1 ( s ) 入s e z p ( 一劈a p d # ) d s 上式两边同时关于t 求导得， 一天t e x p ( - ：s d s ) = 一( t ) 入t e 印( 一ra s d s ) 应用支s = e h a s 得 e 甄) 、t e x p ( 一e h , a s d s ) = ) 九e 印( 一入s 如) 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 2 l 解出1 ( t ) 得 ) = e 日t e x p ( 一re 风入s 如) e z p ( o t3 如) = e x p ( h t z o t ( e h - - 1 ) a s 如) 且有 2 ( ) = e x p ( 一f o t 凤d w s 一互1 五t 腭d s ) 为了证明 1 ( 亡) 已( 亡) = e x p ( h t f o t ( e h o - - 1 ) a s 如) e x p ( 一r 凤d 巩一兰2r 詹如) 是q 关于p 的r a d o n n i k o d y m 导数，只需证明对形如厶厶丁 t ) 的任 一函数( 其中l t 是f t 的可测函数) ，有 e q ( l t i 丁 ) = ( l ( 亡) 1 ( 亡) 厶厶丁 t ) ) 而事实上， e q ( l t 厶r t 】1 ) = e q e q ( l t i 丁 t ) i r ) 】= e q l t e p ( 1 ( 亡) 厶丁 t ) l r ) 】 = e p 陋t 已( t ) e p ( 1 ( t ) 厶r t ) i r ) 】= e p ( 专1 ( 艺) 已( 亡) 厶厶r t ) ) 因此，命题得证 从命题中我们可以看出，集合中的任意一个概率测度q ，均与实际测 度p 等价并且，q 相对于宏观经济变量，金融资产的波动和违约风险来说， 都是一个风险中性测度 在命题中，我们隐含假设了市场中宏观因素五是一维的，且服从 警砷班+ 吼d w t 那么可以看出，已项仅仅由x t 定义的过程，但对于违约强度过程却没有任何 影响已项的作用在于提供了纯粹的市场风险的调整方式，因此，p 就代表了 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 2 2 由市场风险所带来的价格补偿，也即市场风险的市场价格用数学方式表示，即 为：p = # - - r 违约风险的市场价格可以定义为风险调整后的违约强度和原来违约强度比 值的对数，即h t = i n 凳我们如果对初始的违约强度九不加任何调整就用 来定价，就相当于假设违约时间的不确定性是风险中性的在这个时候，违约风 险的市场价格就等于0 ，并且1 ( 亡) = ( 亡) 也就是说，此时仅仅存在由宏 观经济和资产价格波动所带来的市场风险 为了计算的简便，我们取h t 三h ，为违约风险的市场价格，取h - 0 ，即还没有考虑到违约风险市场价格的影响常数r 为无风险利率，可矿= ( w 2 ，w ，町) 则有g i r a n o v s 定理，a t ，v t 和7 r t 在风险中性测度q 下遵循的过 程为 警= 叭c r s 厮 瓦d v t = r 班+ 郦 堕= 一( i t r t i t 一0 i t 丽 = 一一口w ，。 d a t = a ( b 一凡) + 仃入矗叫争 其中丽。诼7 。丽，一w t 都是q 下标准的w i e n e r 过程，利 用i t o 随机微分方程的知识，我们可以得到上述方程的解。 研= 珊e 印 ( - - r - - 譬) 丁一p 丽) v t - - v o e 印 ( 7 一譬) t + 吼研) 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 曲= 岛e 印 ( r 一詈2 ) t + 盯s 丽) = 址。8 ，i + 叭e - a ( # - t ) d w t x + b ( 1 一e 叫) 第二节联合密度函数 设九，& ，k 两两相关，且它们的相关系数分别为纵s ，p h ，p s u 其中c o v ( d w ；| f ，d 睨) = p i j d t ，i j 令d t = v t 7 r t 则 令 则 ( 7 r ，8 ， ，入) d d t = d ( 一p 霄u p 吼d t + a v d w 一p 厕 从而( 1 ) 式变为d d t = d t ( 一肼u p 仃口d t + o d w ? ) ，其解为 =doe印一石1dt x k 口可2 + p 2 ) + o d w 罗) = e 印 一万k 口可+ p 2 ) + 为表达简洁起见，用( ，) 表示协方差 由( 秒矗呼，a s d w t ) =( 霹一卢丽，盯s 丽) p v s a v p 霄3 8 肋s = 万一 由( o d w d ，a ) , d w t a ) = ( 霹一p 丽，盯入确得。 肋入= p v x a v 万- - 一p 7 r x f l ( 1 ) 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 这里p d sj d d 入分别是指d w p 和d w t 的相关系数与a 厅i 和a 厅礤 的相关系数记z = 仃s 瓦，y = 一口咖，z = 一谫尹，u = 臼面歹则 c o v ( x ，y ) = o r s 盯a p s a _ e - a t t ) a 删加一竿( 竿卅 删小竿( 竿叼 c 伽( z ，z ) = 一p 仃s p s 7 r t e 伽( z ，u ) = o a s p 8 d t 以地，砰分别表示变量i 的期望和方差，则 地= 一 一 令 x l = 弘z = p u = 弘z = 0 ， 程= a 2 t ， a o b 笼一p z f i x p l = 吒= p 2 t ，盯! = p 2 t ( 1 可订) ，2 ：鲁弘2 c o v ( x ，y ) 0 扣謦 p 4 = y 一肛! ， c o v ( x ，u ) 0 z o c 伽( z ，z ) 仃z 仃z 1 一e - a tl e - 2 a t z p z t t z + 2 a u 一弘u c 鲫( z ，y ) c o v ( w ，y ) o 0 寸 0 z o 譬 0 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 则( x l ，y l ，z 1 ) ，( x l ，y l ，w 1 ) 均服从三维正态分布。其密度函数为： f ( x l , y l , z l , i ) = 南e 印 一丽1 ( 钆l f ( x l , y l , w l , 2 ) = 南e 印 一橱1 ( x l , y l , w 1 ) 2 ( z ，u ) 服从二维正态分布 ( x l ，w 1 ) = 其中 一南( 茁；- - 2 p 4 x l w l - i - w m 耻卜 1 一砖 伪伪一p l p l p 3 一p 2 伪船一p 1 1 一p ； j d l 晚一船 耻卜l 。 1 1 1 z 可 名 ，-_-i-l。-i-i-i-i- 1 1 l 1 研 玑 ，j-ii-111。i-。-_一 一 = 、liiiilil-、 陇风； 一 一 甲 3 2 一 p p 0 协 纰 卜 土刚 i l ，一 一l 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究2 6 f1 一虞p a p 5 一p lp i p 5 一伪1 拉云1l 麟咱1 一虞m 一肪l 一尚 i lp l p 5 一晚p i p 4 一p 51 一虞夕 第三节带有违约风险的定价公式 设有违约风险的欧式看涨期权的到期支付为x ( t ) ，则x ( t ) = ( 蹄一 k ) + 厶r t ) + ( s t k ) + 告厶r t ) ，第一部分为企业在合约期间不出现违约 时的支付，第二部分是违约发生时的补偿支付其中( 岛，一k ) + = m a x s t k ，o ) ，v d r 为补偿率，d 为企业的确定性债务 根据资产定价理论， 【5 】，【a 6 1 ，期权在0 时刻的价格是在f o 的条件 下，到期随机贴现因子孥( 即定价核) 与收益x ( t ) 之积的期望( 违约风险 的市场价格的作用通过定价核体现出来) 即； 础= 功 x ( t ) z l f o 】 = 勖【( ( 曲一k ) + 厶r q + ( 曲一k ) + 告厶r 研) 署l 昂】 = e 1 一易+ 易一& 其中 e l = e q s r r 髓一p i 。s t k ) z i f o e 2 = e o k e _ 竞、一pi 涔t k ) 7 0l f o 岛= e q s t ( 1 一e 一础) 告厶s t k ) 7 0i f o 及= e q k ( 1 一e f 咖) 告厶s t k ) 立l f o 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论婴壅 下面分别计算每一部分 e 1 = e q 【岛e 印 ( 7 一譬) t + 仃s 丽) e f o ta t , d t i ( 勖 k ) e 印 ( 一r 一譬) t 一廊孙】 = p e y e z 厶驴一c ) 】岛e 丝声 = 岛e 旷华盥麝麝扩x l e y , e a z z , f ( x l ，y l , z l ，1 ) d x l d y l d z l 其中； 令。 z l = z x + 丽- 1 旌= 秒+ 两- 1 z 1 - - z l - f 网- 1 c = 噎券韭 仃r 、_ o zp 2 p 3 一p 1p 、p 3 一阮 1 一p l 9 1 9 2 一船 矿zp l p 2 一船1 一p 1 2 1 一船2 o r xp l p 3 一班 成p 3 一p 1 p 1 舰一船 p 1 p a p 2o - z 1 一p 1 2 1 一p 3 2p 2 p 3 一p 1 纯船一p l1 一p 2 2 0 r y p 、p 3 一p 2p l 阮一p 3o z = ：z 1 + k = ：y l + 醚 = ：魂+ 霹 忙砖耻1 非完全市场下的有信用风险的期权窒俭堡迨婴童 则 e 1 = s o d - 竿仁伫f - t 州- 0 0 e 捕a m 4 ，玑，z 4 ) d x 4 d y 4 d z 4 0 0jo o ，一一，一c 十 i = s o e p 暂- 唑掣e 2 - 舍i r n ( c k 1 ) 下面用同样的方法来计算易 易= e q k e 一詹咖厶岛 k ) e x p ( - - r p - - ，) t z 3 w 孑 i f o f 1 2 一 = k e p , - 譬t 助【e y le 吒z t 厶z 。 一c ) 】 = k e 脚一譬t 厂+ 厂+ o o 厂+ o oe a f y l e a z z l ，( z l ，y l ，z l ，e 1 ) d x l d y l d z l j 一j - - o oj c 取 z i = z l + 网- 1 y 2 = y l + 网- - 1 z 4 2 - - z l + 网- 1 0 成船一p lp l p a p 2 唧1 一虞p i p 2 一船 o r zp l 化一伪1 一p 1 2 1 一p s 2 0 p l p 3 一化 p 2 p 3 一p lo 譬p l p 2 一p 3 p 1 船一艘仃z1 一p 1 2 1 一p s 2 p 2 p s p l 0 成船一p l1 一, 0 2 2 p l 船一成p 1 砌一船吒 = ：z l + 矸 = ：y 1 + 磺 = ：z l + 霹 咖砖耻，引 则 e 3 = e 2 = 一k e 脚一哇学e 2 - 高i f n ( c k ) 筠v t = is t k ) 7 一oj 瓿e q s r 璺v ti s k ，等，玩【研d ( 一 e 一詹m ， k ) 票1 历1 磊 助【d t 厶曲 k ) 】一e q s t d t i ( s t 刚e 一启咖】) 赢( 磁一鹾) = s o e x p ( r 一等) t + 盯s 丽虿) d o e 印 一丢( 蠢+ = s o v 0 7 r o e 一华t 【e x le u i ( x x c ) 】 = s o v o r o e 一掣te f e x x e 钆u t ，( u 。) 如1 山1 做变量替换 x 2 = x l 一+ ( y y p 4 ，y 2 = y l g y + m a j = ( 一以) 2 2 m ( a , 一m ) ( q p 4 a = ) + ( o y p 4 a = ) 2 = s 汛 f l o e 一掣t 盎l 芝l 善一响峨 e 一币丽1 ( z 池2 耽肌均) 如2 嘞 = n ( c + 一p 4 a ! ，) =2 2 ( 1 _ 刁 + 一 ! ，) 2 丌网 = s o v o t r o e4 詈+ 口2 m - + h e 匆 e 氏x x e 3 - e u t 厶z 。 一c ) 】 ：s o v o l r o e - 盔笋t + 如厂+ o o 厂+ o o 厂+ e x x e 可l e 钆u 1 ，( z 1 ，y 1 ，u 1 ，z 2 ) d x l d y l d w l ，一o o- ，一，一c 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 则 z i = x l j - 网- 1 y 4 3 - - y l + 网- 1 u 主= u 1 + 网- 1 纵店一j d lj d l 胚一化 a y1 一p ip l p 4 一p 5 儿p l p 4 一p 51 一p 1 2 1 一船2 吼p i p 5 一, 0 2 p 4 p 5 一阮。譬p i p 4 一p 5 p i p 5 一p 2 1 一p 1 2 1 一p 5 2p 4 p 5 一p lo x p a p 5 一, o l1 一p 4 2 o y p l p 5 一p 2p l p 4 一p 5o a 3 = c 砰，碹，聪，2 ( 篓 e i = & f l o e 口2 + 五t - i - # y + 商a 2 ( c 一研) e 4 = = ：z 1 + 矸 = ：y l + 磷 = ：u l4 - 磺 彘 场 场砑厶s t k ) 】一s q v r 7 r r e j 孑咖厶s r k ) 】) 瓦k ( 硪一磅) e l = e q d t l s r k 】= d o e ( r 一譬) t 助 e u l s t k ) 】：d o e r 一譬) t e q 【e 钆“，- 厶3 t k 】 = d o e ( 卜和j 佃厂 = e 啪m 1 ，u 1 ) 如1 山1 ，一o oj c 一韭塞全查堑王鲤查焦旦垦堕塑塑拯室丛里迨婴壅 3 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ - _ _ _ - _ _ - _ _ - - _ - 一一。 做变量替换： x 2 = x l + 儿m ，c - d 2 = 0 9 1 一 a j = ( p 4 a u ) 2 + 2 ，- 2 ，a u 2 + 吒 = d o e ( r 冯n 岛ef 研b e 印卜 帮2 如 ：玩e ( r 一和+ 焉( e m ) 日= 奶【e ( r 一和+ 研d 。e i ( x l k ) 】 = d o e ( r 一譬) t 玩 e 儿w l e # 分+ a u y l i ( 舻c ) 】 = d o e ( ，一舾eef e a , , , w l 桫m 1 ，2 ) 慨d y l 凼 取 z 4 = x 4 + 网- 1 旌= 玑+ 一1 u 三= 龇+ 高 0 p 4 p 5 一p ip l p 5 一p 2 1 一虞p i p 4 一p 5 p l m p 51 一p 1 2 i p 5 2 0 p l p 5 一晚 p 4 p 5 一p 1o 譬p l p 4 一p 5 p 1 p 5 一p 2 儿1 一p 1 2 1 一p 5 2p 4 p 5 一p i 0 p 4 p 5 一p i1 一p 4 2 p l 店一p 2p l p 4 一p 5 = ：z 4 + g t = ：y 4 + 耐 = ：u 4 + 砖 非完全市场下的有信用风险的期权定价理论研究 忙阿感咖2 酸= d o e 。一嗟七hj 二三j 二三芒e 2 - - 篙f ( 龇叫心溉d y 4 d w 4 ：d o e ( r 一譬) t 机+ 2 - 篙n ( c k ) 从而有违约风险期权的价格公式： = 岛e 旷氅磐e 耦( c 一时) 一k e 驴空学e 南( c 一研) + 警e ( 一掣册禹( c + a x - p r a y ) o n 。 。 一警e 一竽2 2 狮簟+ 晌a 2 ( c k 1 a )n 。、一 一华e ( r 一帆禹( c 呻钆) + 百c ( r - 譬) t + 如+ 耦( c k 1 璺) ( 木) o n 。 。1 1 ， 、7 4 关于文【3 1 】中违约风险市场价格h 的确定方法论文【3 1 】在入遵循均值 回复过程且与标的资产，企业价值都相关的情况下，用鞅定价方法推导出可能违 3 2 约的欧式看涨期权的价格公式，即 = 岛唰e 日旷雩+ 万a 丽5 】( e + _ _ e h p i a u ) 一k e 印( e 日p 箩一r t + ! 奠_ h 卑2 ) - ( c + e h p l a ) + 警e 训r 一争2 哆t + 志) ( c + o x - - p 2 0 z ) 一警e 嘶h 时( r 一争譬肘志】( 。一研) 一警酬争移墨n 鼎( e + 肫) + 菩t t t2 酬e 一譬) + 志) ( e k 2 ) ) 鉴于( 木) 与( 木木) 均为考虑违约风险市场价格影响时的同一期权的价格， 令( 木) 与( 宰木) 两式相等，再根据e 日竺1 + h 可以给出文【3 1 】尚未给 出的h 的计算式其中： c = 垫囊! ! 三呈! 三 0 “t a 1 = c 研，碹，砖，1 ( 篓 a 2 = c 研，磁，1 ( 篓 非完全市场下的有信用风险的期权定价理