（信号与信息处理专业论文）非线性时间序列分析辨识、预测与控制.pdf

a b s t r a c t t h es u b i e c to ft h i st h e s i si sn 口n ，f 疗g 讲，拥窖卵r 妇占珊2 d 咖时，w h i c hc o n c e m sw i t ht h e i d e m m c a t i o n ，p r e d i c t i n g ，柚dc o n t r o l l i n g o f n o n l m e a r s y s t e m s o nt h ci d e n t i f i c a t i o no fn o n l i n e a r i t ya 芏l dc h a o s ，w ep r o p o s ear o b u s tc l u s t c r i n g a l g o r i t h m t oi d e n t 两t h eg e o m e t r i c a l 吼m c t l eo f u n d e t l a y i n g 甜r a c t o r si np h a s es p a c e ， p r o p o s et h er o b u s tc r i t e r i o no f t h en o n l i n e a r i t yt e s t ，d e m o n s 妞l t et h ep r e v a l e n c eo f c h a o si ns 锄p l i n gs e r i e so fd y n 锄i c a ln o w s ，d e m o n s t r a t em ei m 圯r e n tn o n l i n e a 武t yo f s p e e c ht i m es e r i e sa n dt h en e c e s s i l y o fn o n l i n e a rs p e e c hf e a t u r e se x t r a c t i o na n d c l a s s i f i c a t i o n ，s u g g e s tas e to f a v a i l a b l ei n d e ) ( t oa c h i e v en o n l i n e a rs p e e c hf e a t u r e e x n 丑c t i o n o nn o n l i n e a rd e n o i s e ，p p e d i c t i o nm o d e li d e n t i f i c a t i o n a n dc h a o t i ct i n l es e r i e s p r e d i c t i o n 。w ep r o p o s e 也ec d t 盯i o no fo p t i m 缸t n l n c a t i o no f w a v d e t 七a s e dn o n l i n 嘲 d e n o i s e ，d e v e l o pan o v e le n 怕p y - b a s e d m e t 圭i o dt ov a l i d a t et l i eo p t i m a la u t o r e g r e s s i v e o r d e ro f n o “i n e a ra u t o r e g r e s s i o nm o d e i s ，e g ，s t a t i co rr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s 0 nm o d e l i n ga n dc o n t r o io fc o m p l e xs y s t e m s ，w ei m p l e m e n ts t o c kp r e d i c t i o nb y m e a n so f t l r nn e u r a ln e t w o r k s ，d e s c r i b eo g yc h a o sc o m r 0 i l i n gm e t h o d k e v w o r d s n o n l i n e a rt i m es e r i e sa n a l y s i sc h a o s n 0 n l i n 鲥t y t e s t i r r e d u c i b l ei n f b r r n a t i o nd i m e n s i o nf u z 巧c l i l s t e r i n g n o n “n e a ri r r e d u c i b l ea u t o c o r r e l a t i o nn o n l i n e a r p r e d i c t i o nm o d e l n o n l i n e a rp r e d i c t i o nm o d e i i d e n t i f i c a t i o nc h a o sc o n t r o l n o n l i n e a rf e a t u r ee x t r a c t i o n 天津大学博士论义 非线性时问序列分析：辨识、顾测和控制 1 导论 科学得以存在的前提是宇宙在时间上的相关性：此时此刻的世界与它的历 史之间存在着复杂而奇妙的联系。探究这种联系、有效地预见未来是科学理论 的中心任务。然而，对于历史与未来之联系的作用方式，却有着不同的认识。 拉普拉斯宇宙观认为，在原则上，世界的未来被其历史精确地决定，人们对于 未来的茫然无知只是由于没有掌握正确的计算模型、缺乏关于历史的完备知识 和充分的计算资源。与之相对的是马尔科夫模型，在这里历史和未来之间的联 系被约减为统计上的相关性，唯象学方法论取代了传统的本体论。公正地说， 这一研究方法的转变，在很大程度上与其说是出于研究者的主观意愿不如说是 屈从于研究对象的复杂性。本体论方法虽显然更具有理智的吸引力，但它在处 理真实世界复杂现象时并不总是有效的。由于人类理智发展的不完备及其可能 存在的固有局限性，研究者愈是接近自然的复杂精妙之所在，愈是能体会到本 体论模型在现实中的苍白无力。 混沌动力系统理论及基于实验的非线性时间序列分析的发展至少在一定程 度上以深刻而简明的方式调和了唯象学和本体论之间的矛盾。作为数学对象的 决定性混沌系统可以表现出丰富而令人惊异的结构。六十年代以来的研究表 明，混沌动力系统提供了一种决定论的框架来实现对相当宽广的一类真实世界 复杂现象的解释( 在传统上，这类现象通常需要高维相空间或独立噪声源才能 描述) 。另一方面，由于w h i t n e y 、t a k e n 、s a u e r 等人在微分拓扑方面的意义 非凡的工作，研究者得以把混沌动力系统这类理论对象与测量时间序列在严格 的数学意义上联系起来。这样，无须构造关于真实世界系统的复杂、同时往往 未必准确的本体论模型，而仅仅考察测量时间序列，即可在嵌入等价意义上研 究其性质；并且，尤其引人注目的是，这种研究保有了混沌动力系统所可能具 有的结构特征及数学意义。例如，在动力系统框架内，可以证明只要嵌入维口 充分大，时间序列x ，f _ l ，2 ，总可以被看作具有如下的自决定性质 爿，5g ( 爿h ，爿f _ 2 一，爿，。) ( i 1 ) 式( 卜1 ) 赋予了非线性自回归模型严格的数学解释，使我们得以舀：决定性范 式内讨论时间序列而不影响其在经验意义上的一般性。 本文关注基于实验的非线性时间序列分析。它利用动力系统的观点处理和 分析测量信号。和传统的线性时间序列分析一样，它涉及时序系统的辨识、预 测、建模和控制等主要方面。但是它与线性时间序列分析有着明显的不同：决 定论的背景哲学及其诸多富有思想魅力的特征方法始终贯穿于非线性时间序列 分析的研究之中。 本文的章节如下展开：第2 章说明动力系统表达能力的充分性；讨论动力 系统理论和混沌理论的相关内容：证明在适当的采样间隔下，类混沌性状在吸 引子的采样序列中普遍存在( 即使吸引子并不具有分形结构) ；讨论嵌入理论 的主要内容：证明构成非线性自回归模型数学解释的结果。第3 章讨论线性模 型辨识的基本理论；说明线性模型的不充分性：讨论非线性模型辨识的理论基 础离散概率熵：提出对于非线性模型辨识具有重要意义的统计指标非 线性不可约自相关的定义及其形式属性，并讨论算法。第4 章讨论确定性检测 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 和非线性检测方法，提出非线性检测的优化统计量：讨论l y a p u n o v 指数谱和 相关维的估计算法：提出不可约信息维的定义、算法、及其与相关维估计算法 的性能比较；提出用以实现吸引子几何结构辨识的模糊聚类神经网络的优化拓 扑结构和鲁棒学习算法；讨论定位混沌吸引子中不稳定周期轨道的方法。第5 章讨论非线性去噪方法，提出小波去噪的优化细节截断判据；说明简单非线性 预测在高嵌入维下的失效，提出克服失效的改进算法；讨论基于神经网络的全 局非线性预测模型：提出预测复杂性定义及基于预测复杂性的非线性模型辨识 方法；讨论长程预测方法，给出优化长程预测算法。第6 章给出基于时间延迟 反馈网络的股票市场预测实例：讨论迅速发展着的混沌控制技术；说明非线性 语音特征抽取的必要性，并给出值得考虑的非线性特征抽取指标。第7 章总结 全文并展望相关领域的发展趋势。 天津大学博士论文 非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 2 非线性时间序列分析的数学基础 本章的主要目的是为全文的讨论建立理论框架。这一框架遵循动力系统+ 的 观点。我们将利用混沌动力系统理论解释非线性时间序列引人注目的特征：混 沌( 在传统上，这经常需要引入独立的噪声源来加以描述) ；利用嵌入理论为非 线性时间序列分析方法建立严格的数学解释。 2 一l 动力系统基础 动力系统的理论基础是由彭加勒、l y a p u n o v 等人在二十世纪初期前后奠定 的。作为一种有力的数学模型，它研究如下形式的常微分方程组“： x = f ( x ) ，f e c ( e ) 这里x = x l 工2 ，i 表示宰，c ，( e ) 是定义于r ”上的开集e 上的一阶连续可微函 d r 数的空间。 动力系统实际上具有更一般的表达能力。粗略地说，一般的常微分方程及 其差分方程可以分别看成是有限维动力系统和离散动力系统( 即由动力系统所 确定的流妒，见下文) ，偏微分方程及其差分方程可以分别看成是无穷维连续和 离散动力系统，而拓扑和几何中的微分流形上的方程可以看成是微分流形上的 动力系统 1 。这样动力系统几乎涵盖了人们用来建模动态( 时间相关) 现象的 所有数学方法的表达能力。这里一个可能的例外是脉冲耦合现象 3 1 9 。通常， 为描述这类现象需要引入类似占函数的数学工具。但是一方面，脉冲耦合并非 一种广泛存在的动力机制：另一方面，苛刻地说无限强度是一个数学概念而非 物理概念，这使我们有理由相信占函数与其说是更准确地反映了事物的本身， 不如说是为了数学描述和处理的需要而引入的近似方法。在大多数的情况下， 只要适当地选取考察的层次和时间空间尺度，为真实世界现象建立一种涉及无 限强度概念的模型并不是必需的。这暗示了动力系统作为描述真实世界动态现 象的数学模型的有效性。 为了表述和理解的方便以及内容的完整性，下面给出一些与本文的目的相 关的动力系统的基本结果。 一、动力系统解的存在性和初始条件依赖性 定义2 一l l 如果x ( ，) 满足：在区阳上可微，x ( f ) e ，x ( ，) = f ( x ( f ) ) + 本文中的动力系统一般指连续动力系统，需要讨论离散动力系统时，我们将特别地说明。 “本文中的动力系统如不特别说明指自治动力系统，即时问，不显式地出现丁向量场方j = l i ! f 中的系统。对于非自治动力系统，有简单的一般方法将其自治化托 自治化方法也可参 见定理2 一卜4 的证明。 天津大学博士论文 非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 2 非线性时间序列分析的数学基础 本章的主要目的是为全文的讨论建立理论框架。这一框架遵循动力系统+ 的 观点。我们将利用混沌动力系统理论解释非线性时间序列引人注目的特征：混 沌( 在传统上，这经常需要引入独立的噪声源来加以描述) ；利用嵌入理论为非 线性时间序列分析方法建立严格的数学解释。 2 一l 动力系统基础 动力系统的理论基础是由彭加勒、l y a p u n o v 等人在二十世纪初期前后奠定 的。作为一种有力的数学模型，它研究如下形式的常微分方程组“： x = f ( x ) ，f e c ( e ) 这里x = x l 工2 ，i 表示宰，c ，( e ) 是定义于r ”上的开集e 上的一阶连续可微函 d r 数的空间。 动力系统实际上具有更一般的表达能力。粗略地说，一般的常微分方程及 其差分方程可以分别看成是有限维动力系统和离散动力系统( 即由动力系统所 确定的流妒，见下文) ，偏微分方程及其差分方程可以分别看成是无穷维连续和 离散动力系统，而拓扑和几何中的微分流形上的方程可以看成是微分流形上的 动力系统 1 。这样动力系统几乎涵盖了人们用来建模动态( 时间相关) 现象的 所有数学方法的表达能力。这里一个可能的例外是脉冲耦合现象 3 1 9 。通常， 为描述这类现象需要引入类似占函数的数学工具。但是一方面，脉冲耦合并非 一种广泛存在的动力机制：另一方面，苛刻地说无限强度是一个数学概念而非 物理概念，这使我们有理由相信占函数与其说是更准确地反映了事物的本身， 不如说是为了数学描述和处理的需要而引入的近似方法。在大多数的情况下， 只要适当地选取考察的层次和时间空间尺度，为真实世界现象建立一种涉及无 限强度概念的模型并不是必需的。这暗示了动力系统作为描述真实世界动态现 象的数学模型的有效性。 为了表述和理解的方便以及内容的完整性，下面给出一些与本文的目的相 关的动力系统的基本结果。 一、动力系统解的存在性和初始条件依赖性 定义2 一l l 如果x ( ，) 满足：在区阳上可微，x ( f ) e ，x ( ，) = f ( x ( f ) ) + 本文中的动力系统一般指连续动力系统，需要讨论离散动力系统时，我们将特别地说明。 “本文中的动力系统如不特别说明指自治动力系统，即时问，不显式地出现丁向量场方j = l i ! f 中的系统。对于非自治动力系统，有简单的一般方法将其自治化托 自治化方法也可参 见定理2 一卜4 的证明。 天津大学博士论文非线性时阃序列分析：辨识、预测和控制 则x ( f ) 称为微分方程组x = f ( x ) ，f c 1 ( e ) 在区间，上的解。并且，解x ( f ) 一般 不唯一。 定义2 一卜2 给定x o e ，如果有：气，x ( f 0 ) = x o ，x ( f ) 是微分方程组 x = f ( x ) ，f c 。( e ) 在区间，上的解，则x ( f ) 称为初值问题： x = f ( x ) f c 1 ( e ) x ( f o ) = x o 在区间，上的解。 定理2 一卜l 2 ( 基本存在唯一性定理) 设e 是胄”上包含x 。的开集，则存 在口 0 使得定义2 一卜2 中规定的初值问题： x = f ( x ) f c ( e ) x ( o ) = x o 在区间卜口，d 】上有唯一的解x ( r ) 。 证明：利用了经典的彭加勒顺序近似方法，见参考文献2 。 定理2 一卜2 2 ( 初始条件依赖性定理) 设e 是r ”上包含x 。的开集，则 存在玎 0 和占 0 使得对于所有的y k ( x 。) ，初值问题： x = f ( x ) f c 1 ( e ) x ( 0 ) = y 有唯一的解u ( ，y ) c ( g ) ，这里g = 【_ 口，口】f ( x o ) c 胄“，并且u ( ，y ) 对于 ，卜日，口 是二阶连续可微的。 证明：见参考文献2 。 。 定理2 一卜3 ( 最大存在区间定理) 2 设e 是r ”上的开集，f c ( e ) ， 则对于任意x 。e ，存在着一个最大区间，使得初值问题在其上有唯一的解 x ( ，) ，即如果初值问题在区间，上有一个解y ( f ) ，则，c j ，y ( f ) = x ( f ) ：此外， 最大区间j 是开集，即，= ，) 。 证明：见参考衰帻昏 ； 。，。 ，、 ， 4 天津大学博士论文 非线性时间序列分析：辨识、项测和控制 二、动力系统流或轨道的性质 定义2 一卜3 设e 是r ”上的开集，对于x 。e ，令( f ，x 。) 是初值问题在它 的最大存在区间，( x 。) 上的解，则对于f ，( x 。) ，由蛾( x 。) = 妒( f ，x 。) 所定义的映 象巧，：e _ e 称为微分方程组x = f ( x ) ，f c 1 ( ) 的流或者向量场f ( x ) 的流；类 似由丸。( f ) = 妒( f ，x 。) 所定义的欧象妒。：，( x 。) _ e 称为微分方程组( 以x o 为始 点) 的轨道。 设e 是r ”上的开集，记q ；尺e ，可证微分方程组x = f ( x ) ，f e c ( e ) 的 流或轨道有下列性质： 性质2 一l l 2 c 1 ( q ) 。 证明：见参考文献2 。 性质2 卜2 2 如果( f ，x o ) q ，则存在x o 的邻域，使得 ，) u c q ， 集合矿= 以( u ) 是e 中的开集，并且有九( 氟( x ) ) = x ，x c ，和 正，( 识( y ) ) = y ，y 矿。 证明：见参考文献2 。 性质2 1 3 2 v x o e ，若，( x o )，j ，( 破( x o ) ) ，贝0 有s + f ，( x o ) ， 戎+ ，( x 。) = 纯( 破( x o ) ) 。 证明：见参考文献2 。 性质2 一卜4 微分方程组的轨道戎0 ：，( x o ) 呻e 在有限时间内不会相交。 证明：反证法， 设轨道。在有限时间内相交。 令 只； y i 政。( f ；) = y ，九( f ：) = y ，f ，f 2 ) 表示轨道丸。在有限时间内所有交点的集 合，记，；i n f ，l 丸( ，) = y ，则存在个y o b ，使得，y 。= i n “，ly 只 。 再以y 0 为初始点，构造如下初值问题： x = f ( x ) f c ( e ) x ( o ) = y o 由解的基本存在唯一性定理( 定理2 一卜1 ) 可知上面的初值问题在区间卜a ，口】 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 上有唯一的解。，( ，) ，由性质( 2 l 一3 ) ，或。( ，) 2 破，( ，+ ，。) ，即微分方程组在 ，。一口，y 。+ 口】上有唯解，这与，y 。= i n “，f y 毋) 矛盾，故只为空集。 三、连续动力系统和离散动力系统之间的转换 由微分方程组x = f ( x ) ，f c ( e ) 可以求解出形如氟：e e 的离散动力系 统；另一方面，我们注意到对于满足一定条件的离散动力系统谚：占一占，也 存在着特定的动力系统使得后者的解恰为前者。这种等价关系使我们的讨论可 以主要关注于连续动力系统而不失一般性。 定理2 一l 一4 对于给定初始条件的p 阶递归函数z = g ( 。，一_ 2 ，x 。) ， g c 1 ，若z = g 。g 。g ( x p - l ，z m ，托) 对于初值x p - l ，以，k 和，的闭 形式存在且对，连续可微，则存在着一个p + l 维连续动力系统的初值问题，使 其在最大区间上的解恰对应于g ( ) 。 证明：将z = g ( 置+ z 。，z 。) 写为向量形式： x t x f - l j 。+ 其中季l = g ，暮i = x ( 1 ) ，f 1 ；记电；辱 则x ，= 电( x 。) = 屯。电( x 。) = = 电。电。电( x 川) ，这里共有，一p + 1 个函 再记妖f ，) ；乜。电“。电( ) ，式右端共r p + 1 个函 数复合，则有x 。= f x 川) ；构造非自治系统的初值问题：王。= 吾呶，x 川) x ，( p ) = x 。，再自治化，获得p + 】维自治系统的初值问题： 王= 鲁地i ) ly = l f x l ( p ) = x ， l 联黔零， 6 一 叩 墨z ；置 rl酬l = 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 即为该初值问题的解。 定理2 一卜4 指出通过增加相空间的自由度，可以把可能是不可逆的映象和 由连续动力系统的流所确定的可逆映象联系起来。这种通过更一般化的考察观 点( 例如增加维数) 来获得对问题的更方便的表述和更深刻的理解的方法是常 见的。下面给出一个简单的算例。 例子2 卜l ：求= 硝。，口 0 所对应的连续动力系统。 解：易得一= 口托，记y ；，矿( y ，托) ；口7 扎，则初值问题： j z = 丢舢矧却毗 l多= 1 x ，( 1 ) = 五 ly ( 1 ) = 1 的解即对应于x = 趔。 四、平衡点附近的线性化 并不存在一般的方法求出任意动力系统的解析解，但是存在若于近似方法 研究动力系统解的几何结构和稳定性。其中最为基本，也是较为重要的是平衡 点附近的线性化。 定义2 1 4 动力系统x = f ( x ) ，f c 1 ( ) 的向量场f 如果是线性函数，即 有f ( d x + 6 v ) = 以“x ) + 6 f ( v ) ，则称其为线性动力系统。 并不存在一般的方法求出任意动力系统的解析解，但是有若干近似方法研 究动力系统解的几何结构和稳定性。其中最为基本，也是较为重要的是平衡点 | ；f 近的线性化。 由于非线性和混沌，非线性动力系统解的拓扑和几何特征往往十分复杂。 但是我们可以利用对具有一般的解析解法 2 3 的线性动力系统的解析结果来 对非线性动力系统解的一些重要的定性特征加以研究和分类。例如，由线性动 力系统的启发，可以将微分方程组在平衡点附近的不变流形( 粗略地说，不变 流形是f 叶。o 时系统的轨道) 分类为鞍点、结点、焦点和中心等形式。下面我 们将首先介绍求解线性系统的一般方法和示例；再说明如何借助平衡点附近的 线性化方法将这种解法推广到平衡点附近的非线性系统；最后对动力系统的平 衡点加以分类。 定义2 一卜4 定义于上r ”开集e 的动力系统x = f ( x ) ，f c 1 ( 占) 的向量场 7 天津大学博士论文非线性时问序列分析：辨识、颅测和控制 f 如果是一个 n 矩阵，即有x = 4 x ，则称其为线性动力系统。 定理2 一卜5 2 ( 线性系统基本定理) 令4 是n h 矩阵。则对于给定的 x 月”，初值问题： x = 爿x x ( 0 ) = x n 有唯一的解x ( ，) = e x o 。 证明：见参考文献。 这样，根据矩阵指数的运算规则和定理2 一卜5 ，我们可以一般地求解任意 线性动力系统。下面我们以二维线性微分方程组为例，示例说明线性系统解的 定性特征。 由线性代数理论 4 ，任意2 2 方阵4 总可以由相似变换化成标准型b ， 即彳= p 。b p 。这里根据爿的特征值的取值，b 取如下三种形式之一 i ，占= ( ： ，t ，占= ( ：j ) ，t ，b = ( ：) 其中i ) 对应于爿可对角化的情形；i i ) 对应于4 有一个二重实特征根且不可 对角化的情形；i i i ) 对应于4 有一对复特征根口6 i 的情形。 推论2 一卜l 二维系统i ：4 x ，4 是2 2 矩阵的解为如下形式： x ( r ) = p e ( f ) 尸一1 x ( 0 ) 这里p 是使4 化成标准型可逆阵，根据爿特征值取值的不同。e ( f ) 可能取下列 三种形式之一： i ，爿可对角化的情时e c ，= ( ：0 ii ) 爿有一个二重实特征根且不可对角化的情形时 e ( r ) = f 譬篡 ，爿有一对复特征姒删盼e “( 篡：嚣 o 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 图2 一l l 示例了4 可对角化且两个特征根同为负的情况下r2 线性系统的 解。其中a ) 中的系统有两个相等的实根；b ) 中的系统横轴所对应的实根的小 于纵轴所对应的实根；c ) 中的系统横轴所对应的实根大于纵轴所对应的实根。 图2 一卜2 示例了彳可对角化且两个特征根的符号相异时r 2 线性系统的解。其中 a ) 中的系统横轴所对应的实根的绝对值等于纵轴所对应的实根的绝对值；b ) 中的系统横轴所对应的实根的绝对值大于纵轴所对应的实根的绝对值；c ) 中的 系统横轴所对应的实根的绝对值小于纵轴所对应的实根的绝对值。图2 一l 一3 示 例了a 不可对角化时r 2 线性系统的解。其中a ) 中的系统有一对复特征根 口6 i ，且口0 ；b ) 中的系统有一对复特征根口坊，且口= o ；c ) 中的系统 有一个负二重实特征根。上述三图均未示意爿经过相似变换矩阵j d 作用后的情 形，p 的作用是一种线性变化，并不改变流形的定性特征。 。侈 彳 卜 o ( a ) 谚 砀卜 忒房 刁 o ( b ) 一1o1 ( c ) 图2 卜l爿可对角化且两个特征根同符号时二维线性系统的解 9 1 5 0 5 1 ， o o 1 5 o 5 1 ， o o 1 5 0 5 1 0 0 天津大学博士论文 非线性时间序列分析：辨识、顼测和控制 ( a ) f c ) 图2 卜24 可对角化且两个特征根异符号时二维线性系统的解 ( a ) 渺 舔孓 o ( c ) l o 1 5 o 5 1 0 0 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 图2 一l 一3爿不可对角化时二维线性系统的解 由于线性动力系统有般的解析解法，一个直接的思路是通过将非线性动 力系统在某些条件下化为线性动力系统来研究其解的定量和定性性质。实现这 一思路的方法是平衡点附近的线性化。 定义2 一卜5v x + e 如果使f ( x ) = 0 ，则x 称为微分方程组，x = f ( x ) ， f c 1 ( e ) 的平衡点或不动点。线性系统x = d 厂( x ) x 称作微分方程组x = f ( x ) ， f e c l ( 占) 在x 处的线性化。 。 线性化方法的依据在于如果x = 0 是一个平衡点，则，( i ) 在o 附近的泰勒 f 展开为( x ) = 矿( o ) x + 圭d 2 厂( o ) ( x ，x ) + 。这样在。的一个小邻域内) 厂( o ) x 将 z 成为厂( x ) 很好的一阶近似。 利用在平衡点附近的线性化技术，可以对一般的非线性动力系统的的不动 点进行分类。 定义2 一卜6 设x + 为微分方程组，x = f ( x ) ，f e c ( e ) 的平衡点，其雅可 比矩阵巧( x ) 的特征值为 ，如，凡。则 x 称为双曲平衡点，若r e 丑0 ，七= l ，2 ，打； x 称为中心，若x 不是双曲平衡点 x 称为汇，若r e o ，七= 1 ，2 ， x 称为鞍点，若x 为不是源或汇的双曲平衡点； x 称为结点，若x 是源或汇且 r ，七= l ，2 ，月 x 称为焦点，若x 是源或汇且j 丑g r 。 又令v 。v ：，v 。，“，“、和w ，屿，。分别是 ，如，丸中所有满足 r e 九 o 和r e = 0 的特征值所对应的特征向量( 显然有 门+ n 。+ 。= ) ，则巧( x ) 的特征向量空间可以分解为以下线性独立的三部 分： 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 稳定子空间：e 。= s p a n v l ，v 2 ，v 。) 不稳定子空间：e ”= s p a n ，“2 ，“ 中心子空间：= s p a n ，w 2 ，w 。) 。 五、彭加勒映象。 彭加勒映象是研究动力系统稳定性和分岔的一种重要理论工具。在非线性 时间序列分析和混沌控制 7 中，它也是一种重要的分析方法。引入彭加勒映象 至少有以下三方面的益处： a ) 维数消减：彭加勒映象的建构至少可以消减相空间的一个自由度，从而 导出一个更便于研究的低维系统。 b ) 全局动力系统：对于低维问题( n 4 ) ，彭加勒映象的数值计算可以提 供关于动力系统的全局动力行为的深入而细致的洞察。这方面的例子可以参考 5 6 。 c ) 概念澄清：许多在某种程度上难以说明的动力系统概念可以通过彭加勒 映象有效地澄清或阐明。一个这方面的例子是动力系统的周期轨道的稳定性 7 8 。利用彭加勒映象，这类问题可以被归约为映象的不动点的稳定性。后 者可以简单地利用通过对映象在不动点附近线性化而得到的特征向量加以研 究。 彭加勒映象的思想十分简单：如果1 1 是微分方程组x = f ( x ) ，f c 1 ( ) ， 的一条过点x 。周期轨道，是一个正交r 于x 。的超平面，又x 且x 充分靠近 x 。，微分方程组的解在f _ o 时经过x ，则妒( f ，x ) 将在x 。附近再次交于p ( x ) 。 映象x p ( x ) 被称做彭加勒映象。上述条件可以适当放宽，即只要求是一个 交r 于x 。，与r 在x 。不相切的光滑表面。在这种情况下，称光滑表面截断 厂于x 。下面的定理暗示了彭加勒映象j d ( x ) 的存在性和其一阶导函数d j p ( x ) 的 连续性。 定理2 一卜6 2 令e 是r “上的开集，f c ( e ) 。假定妒( r ，x 。) 是微分方程组 x = f ( x ) 的一个周期为7 的周期解且环 r = x 尺”ix = 庐( f ，x o ) ，0 s r 5 7 1 ) 被包含于e 中。令是一个正交r 于x 。的超平面，即 = ( x 尺”i ( x x o ) f ( x o ) = o 天津大学博士论文非线性时间序列分析：辨识、预测和控制 则存在一个万 o 和x 6 ( x 。) 上的唯一的连续可微的函数r ( x ) 使得 f ( x o ) = 丁。并且对所有x 儿( x o ) ，有 ( r ( x ) ，x ) 证明：见参考文献2 。 定义2 一卜7设r ，万和f ( x ) 的定义如定理2 一卜6 ，则对于 x 0 ( x 。) n ，函数p ( x ) = 矿( f ( x ) ，x ) 称做r 在x 。处的彭加勒映象。 由定理2 一卜6 ，知p c 1 ( ，这里u = 6 ( x o ) n 。同样由定理2 一卜6 和 隐函数存在定理，知f 如果在e 上是解析的，则p 在u 上也是解析的。彭加勒 映象的不动点x 对应于微分方程组x = f ( x ) 的解妒( ，x ) 的周期轨道。不失一般 性，可以假定相空问的原点被平移到x 。，这样有x 。= o ，= r ”1 ， p ：尺”n | v 。( o ) 寸r ”。，d p ( 0 ) 可以被表示为个0 1 ) 0 1 ) 矩阵。此外， 考虑时间反演f 寸一f 的微分方程组x = 一f ( x ) ，易知若p 存在且属于c 。，则p _ 1 也存在且属于c 1 。 作为一个特例，考虑平面系统的彭加勒映象。对于平面系统，彭加勒映象 成为相对于基准点( 不失一般性，设为o ) 的偏移s 标量函数，目砂被定义于 f s f 占上( 尸r o ，= 0 ) 。为了研究环r 的稳定性如何被p r o ，所决定，我们需要 引入位移函数： d ( s ) = p ( 一5 对位移函数显然有吖0 j = o ，d ( s ) = p 。( 5 ) 一l ：此外，由微分中值定理， d ( s ) = d 。p ) s 这里1s i 0 ，使得对于任何x 4 和x 在4 中的任何占邻域虬( x ) c a ，j y 。( x ) 和 ， o 使， ( ，x ) 一( ，y ) | 万。 定义2 2 5 ( 混沌) ：设妒( r ，x ) ，f 人，是r ”上的动力系统，4 r ”是 ( ，x ) 的吸引子。( ，x ) 称为在爿上混沌，若： ( 1 ) 爿拓扑可迁： ( 2 ) ( f ，x ) 在爿上具有初始条件敏感性； ( 3 ) 妒( r ，x ) 的周期点在彳中稠密。 需要指出的是目前尚没有关于混沌的公认定义，我们在这里的定义以动力 系统观点阐述了d e v a n e y 1 4 对于混沌的三个本质特征的描述。事实上有晚近 的结果表明定义2 2 5 中的条件( 2 ) 可由( 1 ) 和( 3 ) 推出 1 5 二、混沌的存在判据 根据我们的知识，不存在充分必要的方法解析地判断动力系统是否是混沌 的( 事实上，如前目所指出的，即便是混沌的定义也尚未完全统一) 。但是确实 存在一些局部的结果帮助研究者推测动力系统的轨道结构。其中最为著名结果 是由l it 一y 等在1 9 7 5 1 6 年获得的( 事实上该定理是s a r k o v s k ii 在早些时 候证明的一个定理的特例 1 7 ) 。该结果证明了个满足一定条件的离散动力系 统如果具有周期3 轨道，则必然具有任意周期轨道。 定理2 2 一l 1 6 设厂：卜l ，1 】呻卜1 ，1 连续，且厂具有周期3 轨道，则 1 ) 对任意n ，有乍周期轨道。 天津大学博士论文非线性时问序列分析：辨识、预测和控制 2 ) 存在不可数集4 卜l ，1 】和 o ，使得对于任何x ，j ，彳，x y ，有 而| 厂( x ) 一( y ) 断 ! 迪。j 厂( x ) 一厂( y ) 卢0 证明：见参考文献1 6 。 定理2 2 1 讨论的是一维离散动力系统。我们注意到该定理可以推广到任 意维的离散动力系统。并且，对于满足一定条件连续动力系统，适当选择采样 间隔，其吸引子总是包含任意周期的轨道。我们的结果总结如下： 定理2 2 _ 2设f ：b 哼b 连续，b 为对上“无洞”的( 即b 上所有闭路 径都是同伦等价的) 有界闭集，且f 具有周期3 轨道，则 1 ) 对任意n ，f 有疗周期轨道。 2 ) 存在不可数集彳 一l ，1 r 和占 o ，使得对于任何x ，y 4 ，x j ，有 而l 厂( x ) 一厂( y ) 险占 ! 堑坠。_ 。i 厂2 ( x ) 一，( y ) j _ o 证明：1 ) 首先证明r 上“无洞”的有界闭集b 与 o ，l r 等价。当b 为凸集时， 选取b 中的一个闭超立方体c ，然后分别沿着c 各边的方向，利用等比线性压 缩变换将b 压缩映射到c 上，再利用连续的一一映射将变换到单位超正方体 0 ，1 上。由于等比线性压缩映射是连续的一一映射，且连续映射的复合仍为连 续映射，故从b 到 o ，1 r 的变换为连续一一映射。一般她，若b 不是凸集，需先 不断地利用局域等比线性压缩变换消除日的非凸部分，直至将其映射为凸集。 记n 。为从b 到 o ，l r 的连续一一映，则其逆存在且连续，记为n ，。 t ： o ，1 【0 ，1 】，t ( y ) = 0 y l i y 2 1 一y i i y 1 2 y 2 2 y t 2 这里o 弘。儿：是”的二进制表示，y = 【m ，y 2 ，儿】7 【o ，1 r 。易证r 是连续的 一一映射，故其逆映射t 。存在且连续。 ： o ，1 】j 卜l ，1 ，2 ( z ) = 如一三) 2 这里z 【0 ，1 】，易证j v ，是线性一一映射，故其逆：。存在且连续。 f ：卜l ，1 】斗【一l ，l 】，f ( ) = 2 。t 。n i 。f 。n l 一。t 。2 - 1 ( ) 天津大学博士论文非线性时问序列分析：辨识、预测和控制 显然f 连续。 令p 是的一个3 周期点，即o 厂( p ) = p 。则2 。t 。n ，( p ) 一l ，l 】是 f 的一个3 周期点。因为 f 。f ( 2o t 。n l ( p ) ) = j v 2 。t 。n i 。f 。n l 。t 。2 。2 。t 。n i 。f 。n i 。t 。j v 2 1 ( 2 。t 。n i ( p ) ) = 2o to n l o f o f ( p ) = 2 。to n l ( p ) 类似地，令q 是f 的一个n 周期点，则n 。t 。2 - 1 ( q ) 是f 的一个h 周 期点。因为若fo f o o f ( q ) = q ， 则2 。t 。n lo f 。f 。f 。n i