（概率论与数理统计专业论文）基于copula方法的金融风险分析及其应用研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究c o p u l a 理论及其在金融分析上的应用论文在深入研究c o p u l a 理论的基础上，研究了c o p u l a 模型在金融风险分析上的应用，并研究了基于 c o p u l a 理论的组合信用风险模型和投资组合模型的建模问题，最后通过实证研究 了基于c o p u l a g a r c h 模型的我国开放式基金投资组合的风险值问题本文首先 针对线性相关系数与传统统计分析方法的局限性，从而将c o p u l a 理论引入金融分 析领域在深入探讨c o p u l a 理论的基础上，本文系统研究了由c o p u l a 函数导出的 非线性相关性测度及其参数估计问题，并论述了c o p u l a 函数在金融分析上的应用 优势其次，论文在详细讨论c o p u l a 函数在金融风险分析应用的基础上，讨论了 c o p u l a 理论在组合信用风险分析模型和投资组合风险分析模型上的应用问题并 系统地研究了它们的动态建模问题最后，论文不仅深入的研究了可用于投资组 合v a r 分析的蒙特卡罗模拟技术，还探讨了c o p u l a 模型在投资组合风险分析中的 一些具体运用，并结合具有不同边缘分布的c o p u l a g a r c h 模型和蒙特卡罗模拟 对我国开放式基金投资组合的风险值进行了实证研究，结果表明应用该理论计算 投资组合的v a r 是可行的、有效的；它为我国基金投资组合的进一步研究提供了 一种新的思路，为我国基金管理公司评估和管理基金或资产组合的市场风险提供 了新的方法，从而为控制和减少资产损失提供参考 关键词：c o p u l a 函数；金融风险分析；信用风险；投资组合；开放式基金； a b s t r a c t t h i s p a p e rs t u d i e sc o p u l at h e o r ya n d i t s a p p l i c a t i o n i nt h ef i n a n c i a l a n a l y s i s o nt h eb a s i so fi n d e p t hs t u d yo fc o p u l at h e o r y ，t h ep a p e rs t u d i e st h e c o p u l am o d e li nf i n a n c i a lr i s ka n a l y s i sa p p l i c a t i o n s ，t h e nb u i l d sc r e d i tr i s km o d e l s a n dp o r t f o l i om o d e l sb a s e do nc o p u l at h e o r ya n ds y s t e m a t i c a l l ys t u d i e st h e i r d y n a m i cm o d e l i n gp r o b l e m s f i n a l l y ，t h ep a p e ra d o p t sac o p u l a g a r c hm o d e lo n o u ro p e n e n df u n dp o r t f 0 i i ov a l u e - a t r i s ki s s u i n gf o ra ne m p i r i c a ls t u d y f o rt h e s h o r t a g e i nt h et h e o r yo ft h el i n e a rc o r r e l a t i o nc o e m c i e n ta n dt h et r a d i t i o n a l m e t h o d so fs t a t i s t i c a la n a l y s i s ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e sc o p u l at h e o r yo nt h ef i e l do f f i n a n c i a la n a l y s i s o nt h eb a s i so fi n - d e p t hs t u d yo fc o p u l at h e o r y ，t h ep a p e r s y s t e m a t i c a l l yd e r i v e sf r o mt h ec o p u l a f u n c t i o n so ft h en o n l i n e a rc o r r e l a t i o n m e a s u r ea n ds t u d i e st h ep a r a m e t e re s t i m a t i o np r o b l e mo fc o p u l af u n c t i o n s ，a n dt h e n d i s c u s s e st h ea d v a n t a g ew h e n w eu s et h ec o p u l af u n c t i o ni nt h ef i n a n c i a l a n a l y s i s s e c o n d l y ，w ed i s c u s s e sc o p u l a 如n c t i o na p p l i c a t i o n si nt h ef i n a n c i a lr i s k a n a l y s i si nd e t a i l ，a n dt h e nb u i l d sac o p u l a b a s e dc r e d i tr i s ka n a l y s i sm o d e la n d p o r t f | o l i or i s ka n a l y s i sm o d e l f i n a l l y ，t h ep a p e rs t u d i e st h ea n a l y s i so fm o n t ec a r l o s i m u l a t i o nt e c h n o l o g yw h i c hc a nb eu s e df o r t h ep o r t f o l i ov a ri n d e p t h ，t h e n e x p l o r e st h ep o r t f i o l i or i s ka n a l y s i sm o d e lo ft h es p e c i f i cu s eo fc o p u l at h e o r y ，i n c o n j u n c t i o nw i t ht h ed i f f c r e n te d g eo ft h ed i s t r i b u t i o no nt h ec o p u l a g a r c hm o d e l a n dt h em o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，t h ep a p e rs t u d i e sc h i n a so p e n e n df u n dr i s ki na p o r t f 6 l i oe n l p i r i c a l l y t h er e s u l t so fe m p i r i c a lr e s e a r c hs h o wt h a tt h ea p p l i c a t i o no f t h et h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o no fv a r p o r t f o l i oi sf e a s i b l ea n de f f e c t i v e ，w h i c hp r o v i d e s an e ww a yo ft h i n k i n gf o ro u ri n v e s t m e n tp o r t f o l i of u n df u r t h e rr e s e a r c h t h es t u d y p r o v i d e san e wm e t h o df o fo u rf u n dm a n a g e m e n tc o m p a n i e sa s s e s sa n dm a n a g et h e f u n d so rt h em a r k e t “s kp o r t f o l i o ，s oa st op r o v i d er e f e r e n c ef o rt h e mt oc o n t r o la n d r e d l 】c et h e1 0 s so fa s s e t s k e yw o r d s ：c o p u l af u n c t i o n s ；f i n a n c i a lr i s ka n a l y s i s ；c r e d i t “s k ；i n v e s t m e n t p o r t f l o l i o ；o p e n - e n df u n d s ； m 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：高牺桷日期：溯年6 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：高栖榜 聊签名：铂黼 日期： 日期： 6月 月 ，日 砂日 柝叩 硕士学位论文 第1 章绪论 2 0 0 8 年下半年爆发的金融危机，不仅席卷了美国更波及全球在危机的冲击 下，发达经济体身陷衰退，世界经济举步维艰，全球经济增长速度大幅放慢金 融危机使各个国家、各个行业都不同程度的受到了影响此次由美国金融危机演 变而来的全球金融危机，表面看来，是由美国低收入者的房贷所引发的实质上， 本次危机起源于对上次危机的救赎，即2 0 0 1 年美国网络经济泡沫破灭后，美联储 为刺激经济，将利率降到l 左右水平，并同时放松对贷款的管制，众所周知， 低利率匹配的资产通常是低质量的但在刺激经济的目标下，过度的信贷以及信 用风险互换等衍生工具的滥用，终致危机恶化而贯穿始终的是，无论监管者、 金融机构和个人都存在忽视风险管理的因素因此在当前的国际情况下，本文利 用c o p u l a 的理论和方法，对中国金融市场的风险进行研究，有着重要的理论意义 和现实意义 1 1 金融风险概述 金融风险是指金融机构在货币资金的借贷和经营过程中，由于各种不确定性 因素的影响，使得预期收益和实际收益发生偏差，从而发生损失的可能性 2 0 世纪7 0 年代初世界石油危机造成证券市场大幅波动，西方国家的投资者开 始重视风险的研究；老虎基金和量子基金等大型套利基金近年的没落进一步表明 风险管理的重要性尤其是我国成功加入w t 0 ，国内金融机构面对即将到来的 全球金融一体化的挑战，就更突出了金融风险管理的重要性伴随开放式基金、 特别是股指期货等衍生金融产品的推出，风险控制和管理必将成为金融业更重要 的课题近年来，随着世界金融市场的日趋规范、壮大，各金融机构之间的竞争 也发生了根本性的变化，即从过去的资源掠夺转变为内部管理与创新方面的竞 争，从而导致了各金融机构的经营管理发生深刻的变化，金融风险管理成为现代 金融机构管理的基础和核心证券市场作为金融市场的重要组成部分，剧烈的波 动性和巨大的交易量使其当之无愧地成为金融风险管理的主体同时期货期权交 易通常以保证金的方式进行交易，其杠杆效应可能导致以极小概率出现的极端情 况会带来突如其来的巨大损失，典型的案例如英国巴林银行倒闭从巴林银行的 倒闭到美国长期资本管理公司的破产，都说明了在证券投资中加强风险控制的重 要性和必要性如何对证券风险进行有效的计量和管理，是市场各方面对的重要 课题实证研究表明，v a r 模型作为目前发达证券市场上测量市场风险的主流方 法，对证券市场上的风险管理有重要的借鉴意义 基于c o p u l a 方法的金融风险分析及其应用研究 传统的a l m ( a s s e t l i a b i l i t ym a n a g e m e n t ，资产负债管理) 过于依赖报表分析， 缺乏时效性；利用方差及卢系数来衡量风险太过于抽象，不直观，而且反映的只 是市场( 或资产) 的波动幅度；而c a p m ( 资产定价模型) 又无法融合金融衍生 品种在上述传统的几种方法都无法准确定义和度量金融风险时，g 3 0 集团在研 究衍生品种的基础上，于l9 9 3 年发表了题为衍生产品的实践和规则的报告， 提出了度量市场风险的v a r ( v a l u ea tr i s k ：风险价值) 方法已成为目前金融界测量 市场风险的主流方法稍后由j p m o r g a n 推出的用于计算v a r 的r i s km e t r i c s 风险 控制模型更是被众多金融机构广泛采用目前国外一些大型金融机构已将其所持 资产的v a r 风险值作为其定期公布的会计报表的一项重要内容加以列示 同时，随着金融工具及其衍生物越来越多元化，其带来的不确定因素也越来 越大，因而金融市场的风险也就越来越高金融市场间的关系更是变得日趋复杂， 更多的呈现出非线性、非对称及厚尾等特性，金融波动和危机的频繁出现使组合 风险管理和金融市场间相依关系分析成为国内外关注的焦点通过c o p u l a 方法， 可以从边际分布和一个连接它们的c o p u l a 函数，得出其联合分布；同时，还可以 通过c o p u l a 函数将风险分解成单个金融资产的风险和由投资组合产生的风险，这 大大的简化了联合分布的计算问题，也更准确地衡量出金融资产组合所可能面临 的实际风险另外，c o p u l a 还是研究随机变量相依结构的有效工具，c o p u l a 方法 导出的一致性和相关性测度可以更广泛、更有效的捕获各种金融资产的相关信 息因此，基于c o p u l a 方法的金融风险研究成为国内外学者研究的焦点 1 2 基于c o p u l a 方法的金融风险研究现状 c o p u l a 函数可以理解为“相依函数”或者“连接函数”，它是把多维随机变量的 联合分布用其一维边际分布连接起来的函数c o p u l a 方法最早由s k l a r ( 19 5 9 ) 在 文【1 】中提出，由于g e n e s t 和m a c k a y ( 19 8 6 ) 、j o eh ( 1 9 9 3 ) 等人的进一步发展，使 c o p u l a 成为构造多元联合分布和分析随机变量间相关结构的重要工具( 参见 【2 3 】) ；而n e l s o n ( 1 9 9 8 ) 则在文【4 】中比较系统地介绍了c o p u l a 的定义、构建方法、 a r c h i m e d e a nc o p u l a 及相关性但直到二十世纪九十年代末，随着计算机技术、 统计推断方法迅猛发展和多元建模问题的不断发展并日趋完善，c o p u l a 方法作 为相关性分析和多元统计分析的工具，才开始应用到金融领域e m b r e c h t spa ， m c n e 订a 和s t r a u m a n nd ( 1 9 9 9 ) 首先在文【5 中将c o p u l a 理论引入金融风险管理， 探讨了在金融市场中采用线性相关指标度量相依性有其局限性，使用c o p u l a 函 数导出的相依性指标更加符合金融市场的实际随后b o u y ee ，d u r r l e m a nv 和 n 像e 曲b a l i ( 2 0 0 0 ) 在文 6 】中系统地介绍了c o p u l a 在金融领域的一些应用，把金融 风险分析推向了一个新的阶段，自此c o p u l a 在金融领域的应用取得了许多有意 义的成果 硕士学位论文 r o b e r t od e m a t t e i s ( 2 0 0 1 ) 对在文 7 】中c o p u l a 函数，特别是阿基米德c o p u l a 函数作了较为全面的总结p a t t o n ( 2 0 0 1 ) 在文【8 】中还提供了一个c o p u l a 模型的2 阶段最大似然估计方法，解决了c o p u l a 建模过程中的参数估计问题r o c k i n g e r m ( 2 0 0 1 ) 在文 9 】中对在金融风险管理中刻画金融资产收益的联合分布这样一个 重要的问题进行了研究得到的结论是，金融资产的收益的分布大多是厚尾分布， 其联合分布函数可以通过c o p u l a 函数来刻画对于一个特定组合的风险值，可 以选用合适的联合分布通过蒙特卡罗模拟来计算 r o m a n oc ( 2 0 0 2 ) 在文【1 0 】中用c o p u l a 进行了风险分析，应用c o p u l a 可以将金 融风险分为两部分：个体风险和其相依的结构风险，同时可以用多元极值函数通 过蒙特卡罗模拟来刻画市场风险c l a u d i or o m a n o ( 2 0 0 2 ) 在文 1 1 】中对意大利股 市收益率进行了c o p u l a 分析h u ( 2 0 0 2 ) 在文【12 】中提出了混合c o p u l a 函数，即 m i x e d c o p u l a 函数的概念，即把不同c o p u l a 函数进行线性组合，其中的相关参数 可以度量变量间的相关程度，线性组合系数可以反映变量间的相关模式这样就 可以用一个c o p u l a 函数来描述具有各种相关模式的多个金融市场的相关关系了 d a v i d em e t ( 2 0 0 4 ) 在文【1 3 】中用c o p u l a 对一些信用衍生品( 如c d o 和b d s ) 的定价和风险分析进行了研究，发现了t c o p u l a 较合适于金融数据分析；h u l l ， w h i t e ( 2 0 0 4 ) 在文【14 】中用c o p u l a 建立了多标的资产的信用衍生品定价模 型g o o r b e r g h ，g e n e s t 和w e r k e r ( 2 0 0 5 ) 在p a t t o n 的基础上设计出新的动态演进 方程并用在时变c o p u l a 中对期权定价进行了研究( 参见【15 】) j i n gz h a n g ， d o m i n i q u eg u e g a n ( 2 0 0 6 ) 在文【16 】中构造了拟合优度的统计检验量来判断样本 数据在进行动态c o p u l a 建模时适用的模型结构，也就是时变相关c o p u l a 模型 与变结构的c o p u l a 模型的统计推断 国内学者从2 0 0 2 年开始将c o p u l a 理论应用在金融数据分析中，张尧庭( 2 0 0 2 ) 在理论上尤其从概率论的角度探讨了c o p u l a 在金融上应用的可行性( 参见 【1 7 】) 对c o p u l a 的分类研究和实证分析则在近年内不断发展，韦艳华( 2 0 0 3 ) 在文 1 8 中系统的介绍了c o p u l a 理论在金融中的应用，以沪深股市的相关性分析 为例简要说明了c o p u l a 理论的建模方法及应用，通过实证验证了所建的c o p u l a 模型的有效性韦艳华( 2 0 0 4 ) 在文【19 】中结合了t g a r c h 模型和c o p u l a 函数， 建立了c o p u l a g a r c h 模型，并对上海股市各板块指数收益率序列问的条件相关 性进行了分析，得出不同板块的指数收益率序列具有不同的边缘分布孙志宾， 顾岚( 2 0 0 4 ) 在文【2 0 中讨论了c o p u l a 理论中存在的一些问题和未来要解决的问 题的一些思想和方法史道济，姚庆祝( 2 0 0 4 ) 在文 2 1 】中给出了相关结构c o p u l a 、 秩相关系数s p e a r m a np 与k e n d a l lf 和尾部相关系数7 7 ，以及这三个关联度量与 c o p u l a 函数之间的关系，以及各个相关系数的计算方法吴振翔、叶无一、缪柏 其( 2 0 0 4 ) 在文【2 2 】中运用阿基米德c o p u l a 函数给出了确定最小风险( v a r ) 投 基于c 叩u l a 方法的金融风险分析及其应用研究 资组合的方法张明恒( 2 0 0 4 ) 在文 2 3 】中研究了多金融资产的风险价值计量方 法，利用c o p u l a 函数、混合分布和j a c o b 矩阵，构造了多金融资产风险价值的 c o p u l a 计量方法刘国光，许世刚( 2 0 0 4 ) 在文 2 4 】中利用c o p u l a 方法实证研究 了深圳a 股、b 股投资组合的风险值结果表明，基于c o p u l a 方法估计的投资组合 风险值比方差协方差方法估计的投资组合风险值更接近实际数据刘大伟，杜子 平( 2 0 0 6 ) 在文【2 5 中基于c o p u l a 方法，对m a r k o w i t z 现代投资组合选择理论与 v a r 计量方法进行了重构，为投资组合选择与计量提出了一种新的思路，将动态 c o p u l a 函数、a r m a g a r c h 模型、半参数估计方法结合到了一起，以期解决投 资组合中不同金融资产间非正态、非线性、时变相关性及相关模式对投资组合的 配置及风险度量v a r 的影响吴振翔，陈敏，叶五一，缪柏其( 2 0 0 6 ) 在文 2 6 1 中 结合c o p u l a 及g a r c h 模型的预报功能，建立了投资组合风险分析的 c o p u l a g a r c h 模型利用这个模型，对我国股票市场实际组合投资问题进行了 风险分析，并给出了最小风险组合的具体形式 朱世武( 2 0 0 5 ) 在文【2 7 】中基于c o p u l a 函数讨论了度量违约相关性的方法； 徐晓肆，任若恩( 2 0 0 6 ) 在文【2 8 】中使用蒙特卡罗方法对正态c o p u l a 和t c o p u l a 进行比较，说明t c o p u l a 对度量服从厚尾分布的贷款风险比正态c o p u l a 更精确； 欧阳资生( 2 0 0 8 ) 等在文 2 9 】中讨论了如何利用c o p u l a 连接函数对多元金融数 据的相依结构进行统计建模，并且利用我国国债数据进行实证分析，得到了不同 组合的风险值詹原瑞( 2 0 0 8 ) 等在文【3 0 】中分析了不同c o p u l a 函数的特点基 础上结合信用风险模型，建立了信用违约互换组合( b a s k e tc r e d i td e f a u l ts w a p ) 定价模型，并且给出了具体的计算步骤 1 3 研究思路和论文创新点 1 3 1 研究思路 本文首先介绍了金融风险的理论背景，然后研究了c o p u l a 的理论及其基本类 型和参数估计，以及将c o p u l a 方法应用在金融风险的分析上优势和新成果，接着 重点研究了c o p u l a 方法在信用风险模型、投资组合模型中的应用最后，通过实 证介绍了具有不同边缘分布的c o p u l a g a r c h 模型在开放式基金的投资组合风 险度量中的应用，为国内外研究者提供了一种全新的研究基金投资组合风险的方 法 1 3 2 框架结构 基于以上想法，本文的基本框架安排如下： 第一章，绪论本章从研究金融风险出发，阐述了本文的研究背景及选题意 义，综述了基于c o p u l a 方法的金融风险分析的国内外研究现状，同时介绍了本文 硕士学位论文 研究的基本思路与主要内容，并对本文的创新之处进行了说明 第二章，c o p u l a 的基本原理及其参数估计首先，首先针对线性相关系数与 传统统计分析方法的不足，从相关性角度出发阐述了c o p u l a 的产生原因其次， 介绍了c o p u l a 函数的基本原理及其类型最后，本章研究了c o p u l a 函数的参数估 计方法 第三章，c o p u l a 理论在金融风险分析中的应用在深入了探讨c o p u l a 理论的 基础上，本章系统论述了c o p u l a 函数在金融分析上的应用优势，并深入研究了 c o p u l a 函数在金融分析上的具体应用 第四章，基于c o p u l a 方法的组合信用风险度量模型首先论述了信用风险及 信用风险管理，然后对单个信用风险的计量进行论述，最后提出了基于c o p u l a 方法的违约概率的相依模型，从而利用c o p u l a 方法对组合信用风险进行了度量 第五章，基于c o p u l a 方法的投资组合风险度量模型首先论述了投资组合风 险的度量工具一v a r 的定义及其产生背景；然后具体研究了三种基于c o p u l a 的 v a r 的计量方法：解析方法，用c o p u l a 变换相关系数的v a r 的分析方法，蒙特卡 罗模拟法；最后，对这三种方法进行了比较 第六章，基于c o p u l a 方法的投资组合风险测量模型的实证研究本章以开放 式基金一华安创新基金的前十大重仓股构成的投资组合为样本，采用具有不同边 缘分布的g a r c h c o p u l a 模型和蒙特卡罗模拟方法对该基金投资组合的风险值 进行研究，计算出投资组合的v a r 通过以上的研究，最后得出结论 1 3 3 论文创新点 第一，本文通过c o p u l a 函数进行金融风险的分析具有一定的实际意义一方 面，c o p u l a 可用于构造灵活的多元分布，我们可以选择不同的边际分布通过合适 的c o p u l a 连接起来，使得c o p u l a 模型具有更强的刻画现实金融序列分布的能力和 更强的适应性另一方面，只需先求出各个风险变量的边际分布函数，再求出适 合的相关结构c o p u l a 函数，就能求出其联合分布函数，由此可见，c o p u l a 函数为 求取联合分布函数提供了一条便捷、准确的通道 第二，本文首先针对线性相关系数与传统统计分析方法的不足，将c o p u l a 理论引入金融分析领域在深入探讨c o p u l a 理论的基础上，本文系统研究了 c o p u l a 函数的基本原理及其类型，以及各类c o p u l a 函数的参数估计方法，并对 c 0 p u l a 函数的在金融风险分析中应用的优势及其具体的应用进行了研究 第三，论文在详细讨论c o p u l a 函数在金融风险分析应用的基础上，一方面， 构建了基于c o p u l a 理论的信用组合相依模型，从而可以对组合信用风险进行度 量；另一方面，构建了基于c o p u l a 理论的投资组合风险分析模型，具体研究了三 基于c o p u l a 方法的金融风险分析及其应用研究 种基于c o p u l a 的v a r 的计量方法，并对这三种方法进行比较 第四，由于g a r c h 类模型能更好的描述金融收益序列的时变波动、偏斜、 高峰、厚尾等分布特性，因而c o p u l a g a r c h 具有更强的刻画现实金融序列分布 的能力和更强的适应性本文利用g a r c h 模型和t g a r c h 模型分别刻画了边缘 分布的性质，并通过实证检验选择出最优的c o p u l a g a r c h 模型，对我国的开放 式基金投资组合的风险进行分析，并对该模型进行了检验，使之更具有说服力本 文的实证结合我国证券市场和投资发展的现实，并应用m a t l a b 等软件进行蒙特卡 罗模拟，对我国开放式基金的投资组合的风险值进行了实证分析，可有效的应用 在基金的风险评估上 硕上学位论文 第2 章c o p u l a 的基本原理及其参数估计 本章从相依性的角度出发，首先简要叙述了用相关系数描述相依性及其不 足；而c o p u l a 从结构上对相依性加以揭示，较完全的反映了随机变量间的相依 性其次研究了c o p u l a 函数的基本原理，基本类型及其参数估计 2 1 相关性 2 1 1 线性相关系数 相关系数在实际应用中是一个出现频率很高的词语，它是反应随机变量之间 相依关系的统计量对于相关系数的定义，从不同角度出发，有多种定义方法， 实际中最常用的要算是线性相关系数了 定义2 1 1 ( 线性相关系数) 两个随机变量x ，】，的总体线性相关系数为： 舭肛尚 ( 2 1 ) 这里c 6 v ( x ，】，) 表示x ，】，之间的协方差，胁( x ) ，肋( 聊分别表示x ，】，的方差； z ，】，的样本线性相关系数为： p ( x ，y ) = 蔫 ( 2 2 ) 心s 之s ； 这里为样本协方差，瓯和母为样本标准差 线性相关系数有很多优良性质： ( 1 ) 正仿射不变性 如果p ( x ，d = p ，x = 以+ 6 ， r = c 】，+ d ，其中口 0 ， c 0 ，6 ，d 尺则 p ( x ，】，) = p ( 2 ) 在( x ，】，) 服从正态性假设下，线性相关系数可充分反应x ，】，之间的独立 性，即p ( x ，】厂) = 0 营x ，y 独立 ( 3 ) 在正态性假设下，线性相关系数同x ，】，边缘分布完全决定了( x ，】，) 的联 合分布函数，即完全体现了x ，】，之间的相依关系 ( 4 ) 易于计算 只要知道( x ，l ，) 的二阶矩，即方差和协方差，就可以很方便的根据( 2 1 ) 或( 2 2 ) 计算出x ，】，之间的线性相关系数 正是这些性质，人们在实际中往往用线性相关系数来分析随机变量间的相依 关系在金融工程中，为了分析的方便，常假设某些金融变量具有正态性，由于 基于c o p u l a 方法的金融风险分析及j e 应用研究 线性相关系数对正态性随机变量相依关系的完美描述，使得线性相关分析成为金 融工程中最基本的分析方法之一 近年来，随着人们发现正态性假设与金融数据分布特点的不相符，也由于线 性相关系数对相依关系描述的某些局限性，秩相关系数这一类描述随机变量间相 依关系的统计量，逐渐为金融工程研究者们所重视 2 1 2 秩相关系数 顾名思义，秩相关系数是建立在秩统计量基础上的统计量，较常用的有 k e n d a l l 相关系数和s p e a r m a n 相关系数 定义2 1 2 ( k e n d a l l 相关系数) x ，】，为两个随机变量，其分布函数分别为互，最， ( x ，】，) 的联合分布为f ，则x ，j ，之间的k e n d a l l 相关系数为： 肛( x ，y ) = 研( 五一五) ( x k ) o 卜研( 五一五) ( i e ) o 】 这里( 五，誓) 与( 置，k ) 独立同分布，且( 墨，k ) = ( x ，】，) 样本k e n d a l l 相关系数为： 虞= 击s 劫【( 毛一_ ) ( 一乃) 】 o ”l o 其中，s 忉( ) 为符号函数，即s 咖( x ) = o x = o 【一l x o 定义2 1 3 ( s p e a r m a n 相关系数) x ，】，为两个随机变量，其分布函数分别为e ， e ，( x ，】，) 的联合分布为f ，则x ，】，之间的s p e a r m a n 相关系数为： 肛( x ，y ) = p ( 巧( x ) ，e ( 】，) ) 其中，p 为线性相关系数 样本s p e a r m a n 相关系数为： 6 ( ，口础( 置) 一阳腑( 巧) ) 2 愈( x ，d = 1 一i 万下一 其中翮尼( 置) = 1 + 拌 ，i t 给定的一随机变量向量x = ( 五，而，) ，边际分布函数向量为 f = ( 墨，e ，e ) ，联合分布函数为g ，若巧，旺，e 为连续函数，则根据s k l a r 定理，存在唯一确定的c o p u l a 函数c ，使得 g ( 而，屯，) = 尸( 五五，五恐，咒) = c ( e ( 薯) ，e ( 恐) ，e ( ) ) 显然这样确立的c o p u l a 函数满足c o p u l a 函数定义中的三条性质事实上， 根据概率积分变换，对随机变量x 和l ，如果他们的分布函数以，e 是连续的， 则随机变量u = 瓦一，= e 。1 在【o ，l 】上是均匀分布的 为直观起见，下面以二元c o p u l a 函数c ( 材， ，) 为例，来说明c o p u l a 函数的基本 性质： ( 1 ) 对于变量甜和1 ，c ( 甜，1 ，) 都是递增的；即若保持一个边缘分布不变，联合分 布将随着另一个边缘分布的增大而增大； ( 2 ) c ( o ，1 ，) = c ( 材，0 ) = o ，c ( 1 ，1 ，) = ，c ( 甜，1 ) = “；即只要有一个边缘分布的发生概 率为0 ，相应的联合分布的发生概率就为o ；若有一个边缘分布的发生概率为1 ， 则联合分布由另一个边缘分布给出； ( 3 ) v 甜l ，甜2 ，h ，v 2 o ，1 】，如果“l ”2 ，v l 吃，那么 c ( ，v 1 ) 一c ( ，屹) 一c ( 屹，m ) + c ( ，屹) o ；即若边缘分布甜和1 ，的值同时增大，则相 应的联合分布的值也增大； ( 4 ) 对任意的，砧2 ，h ，v j o ，l 】，有i c ( ，h ) 一c ( 甜2 ，吃) i i 甜。一“2 i + l m v 2 i ； 基于c o p u l a 方法的会融风险分析及其应用研究 ( 5 ) 若“和v 独立，则c ( 甜，) = 洲 其中性质( 1 ) ， ( 2 ) ，( 5 ) 可以扩展到三维甚至更高维的情况，但性质 ( 3 ) ，( 4 ) 只在二维情况下才成立 2 3c o p u l a 函数的类型 几种常用的c o p u l a 函数 2 3 1 正态c o p u l a 函数和t c o p u l a 函数 1 多维正态c o p u l a 函数 假设刀个随机变量的相关性矩阵为r ，显然r 为正值的对称矩阵，且 幽昭( r ) = 1 记r 为相关矩阵为r 的刀维标准正态分布函数刀维正态c o p u l a 函 c ( “l ，甜2 ，甜。) = r ( - 1 ( 甜i ) ，一( z f 2 ) ，一( 甜。) ) = 七( k 、引e x p 卜吾y 。r 。y 】嘲帆 ( 2 5 ) ( 2 万) 2 l 尺i 二 其中。1 ) 为一维标准正态分布函数的逆函数 根据( 2 3 ) 式，可计算出多维正态c o p u l a 密度函数为： 。，委1 e x p ( 一昙x 欠一t x ) “( _ ) ，( ) ，? ( ”= 赭2 垦号差一 2 高唧卜秒盯1 垮1 、 石 其中f = ( - 1 ( “1 ) ，- 1 ( 甜2 ) ，_ 1 ( ) ) 2 多维t c o p u l a 函数 与多维正态c o p u l a 函数相似，可以推出多维t - c o p u l a 函数的表达式记瓦p 为相关矩阵为r ，自由度为d 的刀维标准t 分布函数则刀维t c o p u l a 函数定义为： c ( 甜l ，甜2 ，材。；r ，d ) = 瓦。( 乙- 1 ( 甜1 ) ，乙- 1 ( 材2 ) ，乙- 1 ( 甜。) ) = 嘉。卜。n + 扣1 嘞亿7 ， 其中1 ) 表示t 分布函数的逆函数 硕，卜学位论文 c?czzt，z，z，z。，t；足，c，=错 蚶；r ( 字) 。i 剖1 首 f c 争 r c 争 ”( 1 + 塑羔) 半 - j 乞百 ( 2 8 ) 一，户一2 d + l 、， 珥( 1 + 告) 2 其中f = ( 石1 ( ) ，石1 ( ) ，石1 ( ) ) 2 3 2 阿基米德c o p u l a 函数 正态c o p u l a 函数和t c o p u l a 函数之所以被广泛应用，是因为可以较容易地 通过蒙特卡罗方法对它们进行模拟阿基米德c o p u l a 函数在分析上更容易处理， 它们都有相似的表达形式，而多元阿基米德c o p u l a 函数因其具有对称性、可结 合性( 如c ，c 心，坞) ) = c ( c ，吃) ，) ) 以及计算简单等诸多良好特性，也得到了 研究者的广泛重视 定义2 3 1 ( 阿基米德c o p u l a 函数) ：设函数伊满足： ( a ) 矽为连续函数 ( b ) 对所有甜 0 ，1 】， ) 0 时，( 0 ) = ，c l a y t o nc o p u l a 函数的表达式便可以简化为： 沪( 坼，甜2 ) = ( 町口+ 甜；口一1 ) 一石 3 f r a n kc o p u l a 函数 令伤( f ) = 一l i l 等等，其中秒尺 。) ，通过( 2 9 ) 式得到f r a n kc 。p u l a 函数 的表达式为： “心) = - 扣+ 壁掣】 2 3 3 经验c o p u l a 函数 经验c o p u l a 函数由p a u ld e h e u r v e l s ( 1 9 7 9 ) 提出，它是完全根据历史数据建立 的c o p u l a 函数，以二维随机变量为例，它的定义为： 定义2 3 2 ( 经验c o p u l a 函数) ：记( 黾，儿) ，j | = 1 ，2 ，刀为一个二维随机变量的刀 个抽样，经验c o p u l a 函数e 定义为： g ( 三，2 ) = n 刀 其中1 f 刀， 甩甜聊6 p ，q 厂( x ，y ) ： x 为取值空间，其中r 为正定对称矩阵将式 一喾一譬如i 一半扣孕， 一 r ( 詈)r ( 等) 2 2 备 d 。 基于c o p u l a 方法的会融风险分析及其虑用研究 + 半善纵+ 譬) 二 i = lj = l l ， ， ( 2 1 3 ) 与正态c o p u l a 函数的参数估计相比，通过e m l 方法对t c o p u l a 函数进行 参数估计要复杂很多，而且这种方法的估计过程需要大量的数据，并在数值计算 上非常巨大，在此我们不做深入讨论 2 4 2i f m ( i n f e r e n c ef u n c t i o n sf o rm a r g i n sm e t h o d ) 方法 用i f m 方法对c o p u l a 参数估计的方法由j o e & x u ( 1 9 9 6 ) 在文 3 2 】提出， 它继承了c o p u l a 函数理论的最基本的思想：将边际分布函数的参数与相关性函 数的参数分开讨论i f m 方法将( 2 1 0 ) 式化为以下形式： ，( 口) = l i l c ( 鼻( 而，红；臼) ，互( _ 。k ；p ) ，e ( 吒以；臼) ：口) + m z ( 再 ；乡) ( 2 1 4 ) ( 2 14 ) 式的特点便在于它将参数向量分为边际分布参数向量9 = ( q ，眈) 与c o p u l a 参数向量口两部分对口的估计分为以下两步： 第一步，先通过e m l 方法对边际分布参数口= ( 鼠，包) 进行估计比如对第 f 个标的资产，我们有估计：谚= a 玛渺l i l z ( 薯 ；秒) 第二步，通过多= ( 反，晓) 估计口： = a r g 警善l n c ( e ( 而咖( w ，e ( w 咖) 值得指出的是，在模型为正态c o p u l a 函数的情况下，需要估计的参数只有 相关矩阵r ，用e m l 或i f m 方法估计的结果是相同的 2 4 3c m l ( c a n o n i c a lm a x i m u ml i k e l i h o o d ) 方法 c m l 方法由r o m a n o ( 2 0 0 2 ) 在文【3 3 】提出，它的特点是假设边际分布为经 验分布 设置( ) 为随机变量置的经验分布函数，其定义为：对所有x r ， t ( x ) ：- 亭1 置立 c m l 方法分两步进行： 第一步，先应用经验分布将原始数据置= ( 五，墨，咒，) ，七= 1 ，2 ，转化 为单变量均