（计算数学专业论文）markowitz模型的改进及算法研究.pdf

摘要 证券投资组合主要讨论由多种证券构成的组合作为一个整体的风险与收益 的关系，以及投资者如何在组合中合理地分配自己的投资金额等问题。证券投 资组合是一种高风险的投资活动，证券投资组合优化有助于投资者避免或分散 较大风险，以获得更大收益，是一种非常有效并且十分重要的方法 现代投资组合理论研究开始于2 0 世纪5 0 年代，以m a r k o w it z 的论文证券 组合选择 为标志，在其后半个多世纪的发展中，该理论不断趋于成熟，在实 践中也得到了广泛应用，m a r k o w i t z 因其开创性工作获得了1 9 9 0 年的诺贝尔经 济学奖。 我国内地证券市场开始于2 0 世纪9 0 年代，距今不过2 0 年左右时间，同发 达资本主义国家几百年的证券市场相比，还显得不够成熟。为了维护我国证券 市场的稳定和良性发展，国家出台了许多规定，这就使得我国证券市场同西方 国家相比，有很大的不同，而以m a r k o w i t z 为基础建立起来的投资组合理论就 不能全盘照搬，必须在改进的基础上加以吸收。 有鉴于此，本文在仔细研究了m a r k o w i t z 经典投资组合理论的基础上，结 合我国国情，主要做了如下几方面的研究工作： ( 1 ) 考虑到我国证券市场的实际情况，通过逐步添加限制条件的方法，尝 试建立了一个基于买空卖空限制、交易费用限制、最小交易单位限制等限制条 件的投资组合模型，该模型更加符合我国证券投资组合领域的实际情况。 ( 2 ) 本文建立的模型，是既有部分变量取离散值、又有部分变量取整数值 的混合型非线性非光滑规划问题，该问题用已有的数学规划方法解决比较困难。 为此，本人依据分支定界法原理给出了一种该问题在m a t l a b 中的实现方法，并 用该方法来解决所建立的投资组合模型。 ( 3 ) 考虑到遗传算法作为一种生物仿生算法，它对所要求解问题没有规定 是线性还是非线性、连续还是离散、单峰还是多峰等限制条件。因此，本文尝 试将遗传算法经过适当改进后引入所建立模型的求解中。 ( 4 ) 为了比较分支定界法和遗传算法在模型求解中的效果，本文以上海证 券市场5 0 指数为例，通过计算结果，可验证两种算法的有效性。 关键词：证券投资组合：m a r k o w it z 模型；投资限制；分支定界法：遗传算法 a b s t r a c t t h em a i ns t u d yo fp o r t f o l i os e l e c t i o ni st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr i s ka n dr e t u r n a b o u tt h ev a r i o u ss t o c kc o m b i n a t i o n ，a n dh o wt h ei n v e s t o r a s s i g n sr e a s o n a b l e i n v e s t m e n ti n p o r t f o l i o s e l e c t i o n p o r t f o l i os e l e c t i o ni sah i g h - r i s ki n v e s t m e n t a c t i v i t i e s t h eo p t i m i z a t i o no fp o r t f o l i os e l e c t i o nc a nc o n d u c i v et ot h ei n v e s t o r s a v o i d so rd i s p e r s e sb i g g e rr i s l 【，t og a i nb i g g e rr e t u r n ，s oi ti sav e r ye f f e c t i v ea n d i m p o r t a n tw a y m o d e r np o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r yb e g a ni nt h e1 9 5 0 s ，w i t hm a r k o w i t z s p a p e r ”p o r t f o l i os e l e c t i o n ”a sas y m b 0 1 i nt h es u b s e q u e n td e v e l o p m e n to fo v c rh a l fa c e n t u r y , t h et h e o r yi sc o n t i n u e dt om a t u r e ，a n di sa l s ow i d e l yu s e di np r a c t i c e m a r k o w i t zw o nt h e19 9 0n o b e lp r i z ei ne c o n o m i c sf o r h i sp i o n e e r i n gw o r k c h i n e s em a i n l a n d ss t o c km a r k e tb e g a ni nt h e1 9 9 0 s ，s oi ti sl e s st h a n2 0y e a r s u n t i ln o w t h ed e v e l o p e dc a p i t a l i s tc o u n t r i e ss t o c km a r k e t sh a v es e v e r a lh u n d r e d y e a r sh i s t o r y , i nc o n t r a s to u rs t o c km a r k e ti s n tm a t u r ee n o u g h i no r d e rt os a f e g u a r d c h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e ts t a b i l i t ya n dh e a l t h yd e v e l o p m e n t ，t h es t a t eh a sa d o p t e da n u m b e ro fd e c r e e s ，s oi tm a k e sc h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e tv e r yd i f f e r e n t ，c o m p a r e d w i t hw e s t e r nc o u n t r i e s ，b a s e do nm a r k o w i t z sp o r t f o l i ot h e o r yc a r ln o tb ec o m p l e t e l y c o p i e d ，i ti sm u s tb ea b s o r b e do nt h eb a s i so fi m p r o v e d f o rt h i sr e a s o n ，t h i sp a p e rs t u d i e dc a r e f u l l yt h ec l a s s i c a lm a r k o w i t zp o r t f o l i o t h e o r yi sb a s e do nt h ea c t u a ls i t u a t i o ni no u rc o u n t r y t h em a i na c h i e v e m e n ti sa s f o l l o w i n g ： ( 1 ) t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ea c t u a ls i t u a t i o no fc h i n a ss e c u r i t i e sm a r k e t ，b y g r a d u a l l ya d d i n gc o n s t r a i n t s ，w ca t t e m p tt oe s t a b l i s hac o n s t r a i n e dp o r t f o l i os e l e c t i o n m o d e lb a s e do nt h en os h o r tb u ya n ds a l e ，t r a n s a c t i o nc o s t sa n dm i n i m u ml o t c o n s t r a i n t s t h em o d e li sm o r ei nl i n ew i t ho u ra c t u a ls i t u a t i o ni nt h ef i e l do f p o r t f o l i o ( 2 ) t h em o d e l ，w h i c hi se s t a b l i s h e di nt h ef i r s tp a r t ，i sap a r to ft h ev a r i a b l e st a k e d i s c r e t ev a l u e s ，s o m ev a r i a b l e st a k ei n t e g e rm i x e d - t y p en o n l i n e a r & n o n s m o o t h n p r o g r a m m i n gp r o b l e m t h ep r o b l e m 埘t l it h ee x i s t i n gm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g m e t h o dt os o l v ei sm o r ed i f f i c u l t t ot h i se n d ，ib a s e do np r i n c i p l eo fb r a n c h a n d - b o u n dm e t h o dp r e s e n t sap r o b l e mi nm a t l a b ，t h ei m p l e m e n t a t i o no fm e t h o d sa n d u s i n g t h i sm e t h o dt os o l v et h ep o r t f o l i om o d e le s t a b l i s h e d ( 3 ) t a k i n gi n t oa c c o u n tt h eg e n e t i ca l g o r i t h ma sab i o l o g i c a lb i o n i ca l g o r i t h m ，i t d o e sn o td e m a n dt h e r e q u i r e dc o n s t r a i n t so ft h ep r o b l e mi s l i n e a ro rn o n l i n e a r , c o n t i n u o u so rd i s c r e t e ，as i n g l ep e a ko rm u l t i p l ep e a k s ，e t c t h e r e f o r e ，t h i sp a p e r a t t e m p t st os o l v et h ec o n s t r a i n t sm o d e lb yu s i n gt h ei m p r o v e dg e n e t i ca l g o r i t h m ( 4 ) t oc o m p a r et h ee f f e c ta b o u tt h eb r a n c ha n db o u n d m e t h o da n d g e n e t i c a l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h em o d e l ，t h i sp a p e r i ns h a n g h a is t o c ke x c h a n g e5 0i n d e x ，f o r e x a m p l e ，b yt h ec a l c u l a t i n gr e s u l t s ，w ec a n s e et h ev a l i d i t ya n dm e r i t so ft h et w o a l g o r i t h m s k e yw o r d s ：p o r t f o l i os e l e c t i o n ；m a r k o w i t zm o d e l ；c o n s t r a i n e dp o r t f o l i o ； b r a n c ha n db o u n dm e t h o d ；g e n e t i ca l g o r i t h m m 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 |口 签名：座盔l 羞一日期：丕笠丝：丝 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：越导师签名：益q 日期：皿丝够 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 改革开放已3 0 年有余，我国也从计划经济体制向市场经济体制逐步转换， 随之而来，我国的金融体制也发生了巨大的改变，其中最引人注目的就是资本 市场的开放。资本市场的崛起打破了计划经济体制下银行间接融资一统天下的 格局，把直接融资的市场机制引入了金融领域。证券市场作为资本市场的重要 组成部分，也得到了快速的发展，在我国经济领域中发挥了重要作用。 从1 9 9 0 年沪深两地股票交易所开市算起，我国内地资本市场从无到有，从 d , n 大，时至今日，已取得很大发展，成为经济生活的重要组成部分。经过近 2 0 年努力，我国证券市场在改革证券监管体制、改革股票发行制度、扶持高新 技术企业、完善上市公司管理制度、培育机构投资者等方面，已取得明显进展， 已初步建立起证券市场的基本框架。在市场快速发育过程中出现了一批规模较 大的证券公司、投资公司、财务公司和各种各样的“投资基金”。证券投资基金 数量的增多、品种的多样化，不仅大大丰富了市场的产品，更成为市场的一只 中坚力量，对于市场的稳定发展起到了不可磨灭的作用。总之，在我国这样一 个新兴市场上，随着证券金融市场的不断发展，证券投资出现了新的热潮。投 资组合管理的实践活动已经开始了，并且已形成了相当的规模。 证券投资是一项收益与风险并存的投资形式，投资人需要且应该了解及掌握 能正确指导他们投资决策的理论和分析方法。证券投资是一个复杂问题，需要 考虑进去的因素很多，且各因素对最优解会产生不同的影响。因此，熟悉掌握 金融动态、投资理论并运用与之相符的数学分析模型和方法，去解决证券投资 组合问题，即求出在满足不同“收益一风险 条件下的证券投资组合，在投资期 内实现投资组合收益最大化或所承担的风险最小化，得到能够令人满意的投资 效果。对此问题的探讨和解决对于证券市场的繁荣和基金市场的发展都具有良 好的推动意义。 1 武汉理工大学硕七学位论文 1 2 研究进展综述 1 2 1 证券组合的研究进展 众所周知，现代投资学体系的形成也就是近5 0 年来的事情，2 0 世纪5 0 年 代之前，金融投资研究不过是整个经济学领域中毫不起眼的一个旁支，这个领 域仅有一些含混不清的“大拇指法则 和对所观察到的财务数据的文字性描述， 距离严谨的科学体系还很遥远。 到了1 9 5 2 年，芝加哥大学的博士生h a r r y m m a r k o w i t z u l 在他的论文中，发 表了仅有1 4 页的论文证券组合选择，标志着现代投资组合理论的发端，同 时还显示着可以用数学方法严谨定量的研究投资组合。到了1 9 5 8 年2 月，美国 经济学家j a m e st o b i n 在经济研究评论 ( t h er e v i e wo fe c o n o m i cs t u d i e s ) 杂志发表了作为处理风险行为的流动性偏好( l i q u i d i t yp r e f e r e n c ea s b e h a v i o r t o w a r dr i s k ) 一文，阐述了他对风险收益关系的理解。1 0 多年后， 在m a r k o w i t z 组合理论的基础上，s h a r p e ( 1 9 6 4 ) 幢、l i n t n e r ( 1 9 6 5 ) 口1 、 m o s s i n ( 1 9 6 6 ) “1 揭示，在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市 场组合资产的线性组合。如此一来，所有资产的均衡价格都可以归结为无风险 债券价格与市场组合市场价格的线性形式。该模型及其定价结果即成为著名的 资产资本定价模型( c a p it a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，简称c a p m ) 。 2 0 世纪7 0 年代后，c a p m 理论得到了一系列的发展，并开始对投资者和共同 基金的投资组合和资产评估方法产生重大影响。在s h a r p e - - l i n t n e r - - m o s s i n 单期标准c a p m 的基础上，b l a c k ( 1 9 7 2 ) 推导出无风险不存在情况下的“零贝塔” c a p m ，m e r t o n ( 1 9 6 9 ，1 9 7 1 ，1 9 7 3 a ) 则提供了连续时间内的c a p m ( 称为i c a p m ) 。 然而，r o l l ( 1 9 7 7 ) 对c a p m 的实用性提出了尖锐的批评，从而使得金融学家们开 始思考如何对c a p m 大厦进行根本性的革新而不只是添砖加瓦。金融学大师级学 者r o s s 陌1 提出了基于无套利原则的套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ， 简称a p t 理论) ，该理论被公认为是更加成熟的资产定价模型。 然而，2 0 世纪7 0 年代对金融投资界而言，有一件更为激动人心的事件，那 就是b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 推导出了简单的期权定价公式，以及m e r t o n ( 1 9 7 3 b ) 对该定价公式的发展和深化。很有意思的是，当b l a c k - - s c h o l e s 的期 权定价公式发表时，世界上第一家期权交易所一芝加哥期权交易所还没有成立。 2 武汉理工大学硕士学位论文 还需要指出的是，b l a c k - - s c h o l e s 公式的应用范围远不止于期权定价，几乎所 有形式的金融衍生证券以及公司债务等，都可以用b l a c k - - s c h o l e s 公式或其变 种进行估价。b l a c k - - s c h o l e s 公式给投资者和银行家在衍生金融资产的交易中 带来了便利，成为金融投资领域理论和实践中光彩灿烂的不朽丰碑。 在随后的几十年中，人们对m a r k o w i t z 经典模型又提出了很多改进睁嘲，通 过加入不同因素使模型更加丰满更加符合实际应用情况。对于模型的求解人们 也提出了很多解法，因为该模型为组合优化问题，规模大、变量多，寻求满足 约束条件下使目标函数达到最大或者最小的解，这个解不可能为精确解，只能 是最优解，所以人们在不断寻找能得到最优解的更好方法，使目标函数达到最 优，实现投资组合在满足一定风险条件下，收益达到最大或收益一定的情况下， 风险水平最低。 另外，由于用传统的数学优化方法求解复杂的投资组合问题往往不是十分有 效，而启发式算法却能很好的解决该问题。因此，大批学者应用启发式算法( 如 遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法、蚁群算法、粒子群算法、人工神经 网络等) 求解复杂的投资组合问题，取得了很好的效果。 1 2 2 遗传算法的研究进展 遗传算法起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。早在上世纪4 0 年代， 就有学者开始研究如何利用计算机进行生物模拟的技术，他们从生物学的角度 进行了生物的进化过程模拟、遗传过程模拟等研究工作。进入2 0 世纪6 0 年代 后，美国密执安大学( u n i v e r s i t yo fm i c h i g a n ) 的j o h n h h o l l a n d 教授及其 学生们受到这种生物模拟技术的启发，创造出了一种基于生物遗传和进化机制 的适合于复杂系统优化计算的自适应概率优化技术遗传算法。下面是在遗 传算法的发展进程中一些关键人物所做出的一些主要贡献。 1 j h h o l l a n d 2 0 实际6 0 年代，h o l l a n d 认识到了生物的遗传和自然进化现象与人工自 适应系统的相似关系，运用生物遗传和进化的思想来研究自然和人工自适应系 统的生成以及它们与环境的关系，提出在研究和设计人工自适应系统时，可以 借鉴生物遗传的机制，以群体的方法进行自适应搜索，并且充分认识到了交叉、 变异等运算策略在自适应系统中的重要性。 3 武汉理工大学硕士学位论文 7 0 年代初，h o l l a n d 教授提出了遗传算法的基本定理模式定理( s c h e m a t h e o r e m ) ，从而奠定了遗传算法的理论基础。1 9 7 5 年，h o l l a n d 出版了第一本 系统论述遗传算法和人工自适应系统的专著a d a p t a t i o ni nn a t u r a la n d a r t i f i c i a ls y s t e m s n 司( 自然系统和人工系统的自适应性) 8 0 年代，h o l l a n d 教授实现了第一个基于遗传算法的机器学习系统分 类器系统( c l a s s i f i e rs y s t e m s ，简称c s ) ，开创了基于遗传算法的机器学习的 新概念，为分类器系统构造出了一个完整的框架钔。 2 j d b a g l e y 1 9 6 7 年，h o l l a n d 的学生b a g l e y 在其博士论文中首次提出了“遗传算法” 一词n 司，并发表了遗传算法应用方面的第一篇论文。他发展了复制、交叉、变 异、显性、倒位等遗传算子，在个体编码上使用了双倍体的编码方法。这些都 与目前遗传算法中所使用的算子和方法相类似。他还敏锐地意识到了在遗传算 法执行的不同阶段可以使用不同的选择率，这将有利于防止遗传算法的早熟现 象，从而创立了自适应遗传算法的概念。 3 k a d ej o n g 1 9 7 5 年，d ej o n g “6 1 在其博士论文中结合模式定理进行了大量的纯数值函数 优化计算实验，树立了遗传算法的工作框架，得到了一些重要且具有指导意义 的结论。例如，对于规模在5 0 到i 0 0 的群体，经过l o 到2 0 代的进化，遗传 算法都能以很高的概率找到最优或近似最优解。他推荐了在大多数优化问题中 都较适用的遗传算法的参数，还建立了著名的d ej o n g 五函数测试平台，定义 了评价遗传算法性能的在线指标和离线指标。 4 d j g o l d b e r g 1 9 8 9 年，g o l d b e r g 出版了专著 0 时，表明这两种证券的收益率同向变动；仃。0 时，表明这两种证券 的收益率反向变动：仃“一0 时，这两种证券的收益率没有关系，两者没有协同 变化的趋向。 将两两证券之间的协方差计算出来，就可以得到协方差矩阵： 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 y o ： 仃2 1 ； 盯j 、r l 0 1 2 仃； o r n 2 仃l o 2j i v 盯寻 标准化后的协方差，称为相关系数。证券f 与证券j 之间的相关系数记为岛， 根据定义，它由下式给出： 驴老 相关系数衡量了两个证券收益率的相互影响，符号表示影响的方向，大小计量 了影响的程度。 ( 1 ) l p 舶i 一1 ，表明证券a 、b 的收益率完全相关，心、如之间存在确定 的线性关系。其中，p 舶一1 ，表明证券彳、召的收益率之间完全正相关；p 一日a - 1 ， 表明证券么、口的收益率之间完全负相关。 ( 2 ) i p 脑 c 1 ，表明证券么、b 的收益率不完全相关，心、只曰之间存在一 种线性回归关系，i p 彻l 越大，它们之间的关系越密切。其中，o p 船 1 ，表 明证券彳、曰的收益率不完全正相关；一1 o ，艰口买进第i 种证券，需付出o 2 的手续费) “l 1 1 0 3 ，h + 。一一， o ，( 即卖出第f 种证券，需付出o 3 的手续费) 买进和卖出时，交易成本不相同，是因为沪深a 股规定卖出时要收取0 1 的 印花税，而买进则不收。 所以新的投资组合在第t + 1 期的总交易成本可表示如下： 善e 川4 善“t _ ，l 综上分析，则考虑交易成本限制的投资组合模型为： 模型i i h m a x i m iz e ( 1 一a ) 善川t a 善再j + i x j 4 + i o # j + i - - 善+ 1 i x i j + l - - x i , ti 黔以 毛之o ii1 2 ，刀 其中，a 代表风险规避系数，一表示投资证券的数量，x t 川分别表示第f 种证 券在第f 期和第t + l 期的投资比例，+ ，表示第f 种证券在第r + 1 期的期望收益 率，川表示第f 种证券与第种证券在第f + 1 期的期望收益率的协方差，t 朋 表示第i 种证券在第，期到第t + 1 期的交易成本率。 武汉理工大学硕士学位论文 3 4 考虑最小交易量限制的模型 m a r k o w i t z 模型假定股票份额可以无限分割，投资者可以购买1 股甚至是 0 5 股，因此，所求解的投资组合模型中投资比例取值为连续实数，对应的有效 前缘为一条连续曲线。但实际上，在交易过程中，每个国家都是以整数股进行 交易的，且有最小交易单位。在美国，规定最小交易单位为1 0 0 股，日本为1 0 0 0 股，而在我国证券市场上要求最小交易单位为一手，即1 0 0 股，每次交易量必 须是一手的整数倍。针对这种情况，很多学者对m a r k o w i t z 模型进行了改进， 如m a n s i n i 与g r a z i a ( 1 9 9 9 ) 脚1 将各证券改成以最小交易量为最小投资单位，使 投资组合的形成过程更接近现实状况。研究并证明，若加入最小交易量限制时， 投资组合问题将会是一完全非线性问题，因为在该情况下，投资组合的有效前 缘是一系列的离散点组成的一条间断曲线而非连续曲线，故此时无法以传统的 二次规划方式寻找投资组合的最优点或有效前缘，而在m a n s i n i 与g r a z i a 的研 究中，所依据的投资组合理论并非m a r k o w i t z 的投资组合理论，而是k o n n o 与 y a m a z a k i ( 1 9 9 1 ) h 的平均绝对误差模式( m e a na b s o l u t ed e v i a t i o nm o d e l ；m a d m o d e l ) 来替代m vm o d e l ，只是m a dm o d e l 并未考虑资产间的异同点，已偏离了 m a r k o w i t z 模型的实质，将因此导致估计风险( e s t i m a t i o nr i s k ) ，因此，构造 以m a r k o w i t z 模型为基础的最小交易量的投资组合问题就有理论和现实上的必 要性。 如果m a r k o w i t z 模型中的决策变量t 仍表示各个证券的投资比例就有可能 造成较大的误差，而且如果不考虑无风险资产，就有可能与t 一1 的规定相矛 盾，所以，在这里把决策变量t 定义为第f 种证券投资的手数。显然，一取值为 非负整数。 因此，考虑最小交易量限制的投资组合模型为： 模型i v ： 删毗e 喀警_ 砉套等等 武汉理工大学硕士学位论文 酗a 蚰 毛e n 砖2 0 , i 一1 2 ，刀 其中，a 代表风险规避系数，毛表示第f 种证券的投资单位数( 非投资比例) ， 以“手 为单位，a 表示第f 种证券每手交易的市场价格，b 表示可投资金额上 限，表示全体自然数集。 3 5 具有投资限制的投资组合模型 综合考虑以上三种投资限制及将风险一收益无差异曲线纳入投资组合模型 中，现在来尝试建立具有投资限制的投资组合模型。考虑最小交易量限制时， 又要将交易成本加入考虑，需要将交易成本除以召( 可投资金额的上限) ，则修 正后的交易成本为交易成本占开始时总投资金额的比例。所以，考虑到风险偏 好程度、不允许买空卖空限制、交易成本限制、最小交易量限制的投资组合模 型为： 模型v ： i l i a x i m iz e ) ：| ；半“，一a 羹龚半半r 籼 x i d + l - - x i d p 廿i , t + l s u ”e c t t 。 善h 觑一曰 x i n x j o , i 一1 2 ，i i 其中，a 代表风险规避系数，它的取值范围为【0 , 1 】，a 越大表示越规避风险，在 这里考虑a 为以下离散值：0 1 ，0 2 ，0 3 ，o 4 ，o 5 ，0 6 ，0 7 ，0 8 ，0 9 。 这些离散值的大小就表示了对风险的规避程度，而且离散化后就可以定量的计 算出在不同的风险规避条件下投资组合的最优值。刀表示投资证券的数量， 武汉理工大学硕士学位论文 x i ，j r j 分别表示第f 种证券在第，期和第f + 1 期的投资单位数( 非投资比例) ， 以“手”为单位，吒“表示第f 种证券在第，+ 1 期的期望收益率，m 表示第f 种 证券与第，种证券在第f + 1 期的期望收益率的协方差，k m 表示第，种证券在第， 期到第，+ 1 期的每交易单位数的交易成本，口表示可投资金额上限，a ，为第f 种证券在第，+ 1 期的每手交易的市场价格。 模型v 是一考虑到了风险规避、最小交易量限制、交易成本限制的投资组 合模型，该模型与我国证券市场