（凝聚态物理专业论文）外场作用下相对论气体的非广延参数的物理性质研究.pdf

摘要 本文简要论述了传统的玻尔兹曼吉布斯统计的内容并指出了它所面临的困 难。为了解决这些困难，物理学家t s a l l i s 受分形几何的启发，提出了非广延 ( t s a l l i s ) 统计力学理论。我们介绍了非广延统计力学理论的主要内容，并且 指出了当今非广延统计力学中所面临的一个很重要的问题：如何理解非广延参量 g 的物理含义问题。从某种程度上讲，这个问题决定了非广延统计的科学意义和 应用前景。本文的主要工作就是研究非广延参数的物理性质并对它的物理意义做 出合理的解释。基于实际情况，我们考虑了一个包含个粒子相对论气体，气 体处于一个相对论的电磁场中，每个粒子受洛伦兹四力作用，粒子的演化可以用 粒子的分布函数来描述。这样的系统在宇宙中是常见的，具有很典型的意义。我 们从系统的动力学出发，考察了粒子的分布函数，并根据广义的输运方程，分析 了这个系统的非广延参数和系统的物理参数之间的联系，给出了非广延参量口与 物理参数的表达式，赋予非广延参数g 以真实的物理含义，得出了自己的结论： 在相对论电磁场中，系统的非广延参数口是和系统的温度梯度联系在一起的。最 后我们对非广延统计的前景做了展望，我们认为，非广延统计力学能够描述具有 长程相互作用和温度不均匀性的非平衡系统。 关键词：非广延参量留温度梯度非广延熵h 定理 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r , w er e v i e wt h et r a d i t i o n a lb o l t z m a n n - g i b b ss t a t i s t i c sa n dt h e d i f f i c u l t i e so ft h e m i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m s ，t s a l l i s ，ap h y s i c i s t ，i n s p i r e db y m u l t i f r a c t a lo rh i e r a r c h i c a l g e o m e t r y , b r i n g sf o r w a r dt h es oc a l l e dn o n e x t e n s i v e s t a t i s t i c s a f t e rab r i e fi n t r o d u c t i o no fn o n e x t e n s i v es t a t i s t i c s ，w ep o i n to u ta n i m p o r t a n tp r o b l e m e x i s ti nn o n e x t e n s i v es t a t i s t i c s ：t h e p h y s i c a lm e a n i n go f n o n e x t e n s i v ep a r a m e t e rq i ns o m ed e g r e e ，t h eu n d e r s t a n d i n go ft h ep h y s i c a lm e a n i n g o fqh a sb e e nc r u c i a l l yi m p o r t a n ti nn o n e x t e n s i v es t a t i s t i c sm e c h a n i c s t h ep u r p o s e s o fo u rw o r ka r et r y i n gt og i v et h ep a r a m e t e rqac l e a ru n d e r s t a n d i n go ni t sp h y s i c a l p r o p e r t i e s a f t e rad e 印c o n s i d e r a t i o no ft h ea c t u a lp h y s i c a lc i r c u m s t a n c eo fo u rw o r l d ， w ee s t a b l i s har e l a t i v i s t i ce l e c t r o m a g n e t i cm o d e l t h i ss y s t e mi n c l u d e sn - p a r t i c l e s a n di sp u tu n d e rar e l a t i v i s t i ce l e c t r o m a g n e t i cf i e l d am a t h e m a t i c a le x p r e s s i o no ft h e n o n e x t e n s i v ep a r a m e t e r q i sd e d u c e db a s e do i lt h er e l a t i v i s t i ct r a n s p o r te q u a t i o na n d t h eg e n e r a l i z e dn - p a r t i c l ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni nt h ef r a m e w o r ko ft s a l l i ss t a t i s t i c s i nt h i se l e c t r o m a g n e t i cs y s t e m , t h en o n e x t e n s i v ep a r a m e t e rqi sc o n n e c t e dw i t ht h e t e m p e r a t u r eg r a d i e n ti ns p a c e - t i m e i th a sad e v i a t i o no fo n ed u et ot h ei n h o m o g e n e i t y o ft e m p e r a t u r ef i e l d s ow eh a v eo b t a i n e dac l e a ru n d e r s t a n d i n go ft h ep h y s i c so f q 1 r e l a t e dt ot h et e m p e r a t u r eg r a d i e n ti ns p a c e - t i m ec o o r d i n a t eo ft h es y s t e m w e a l s op r o p o s et h a tt s a l l i ss t a t i s t i c sc o u l db es t a t i s t i c ss u i t a b l ef o rd e s c r i b i n g n o n e q u i l i b r i u mp r o p e r t i e s o f s y s t e m s w i t h i n h o m e g e n e o u st e m p e r a t u r e a n d c o u l o m b i a nl o n g r a n g ei n t e r a c t i o ns y s t e m s k e yw o r d s ：n o n e x t e n s i v ep a r a m e t e r q ，t e m p e r a t u r eg r a d i e n t ，n o n e x t e n s i v e e n t r o p y , ht h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特另l j j j n 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：寅1 束姻月 签字日期： 2 口d 7 年6 月争日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘壅盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：文f 悯 导师签名： 签字日期：功d 7 年6 月f 争日 签字吼哕年月日 天津大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 经典热力学和统计物理学及其面临的困难 物质是由大量的微观粒子组成的，构成物质的大量微观粒子，在不停的进行 着无规则的运动，我们称之为物质的热运动。热力学和统计力学就是研究热运动 的规律及热运动对物质宏观性质的影响的- - f - j 科学【1 捌。 热学是研究热的产生和传导，研究物质处于热状态下的性质及其变化的学 科。人们很早就有冷热的概念。对于热现象的研究逐步澄清了关于热的一些模糊 概念( 例如区分了温度和热量) ，并在此基础上开始探索热现象的本质和普遍规 律。关于热现象的普遍规律的研究称为热力学。到1 9 世纪，热力学的研究已趋 于成熟。 物体有内部运动，因此就有内部能量。1 9 世纪的系统实验研究证明：热是 物体内部无序运动的表现，称为内能，以前称作热能。1 9 世纪中期，焦耳等人 用实验确定了热量和功之间的定量关系，从而建立了热力学第一定律：宏观机械 运动的能量与内能可以互相转化。就一个孤立的物理系统来说，不论能量形式怎 样相互转化，总的能量的数值是不变的，因此热力学第一定律就是能量守恒与转 换定律的一种表现。 在卡诺研究结果的基础上，克劳修斯等科学家提出了热力学第二定律，表达 了宏观非平衡过程的不可逆性。例如：一个孤立的物体，其内部各处的温度不尽 相同，那么热就从温度较高的地方流向温度较低的地方，最后达到各处温度都相 同的状态，也就是热平衡的状态。相反的过程是不可能的，即这个孤立的、内部 各处温度都相等的物体，不可能自动回到各处温度不相同的状态。应用熵的概念， 还可以把热力学第二定律表达为：一个孤立的物理系统的熵不会随着时间的流逝 而减少，只能增加或保持不变。当熵达到最大值时，物理系统就处于热平衡状态。 深入研究热现象的本质，就产生了统计力学。它是在热力学的基础上建立和 发展起来的。十九世纪，钟爱原子论的玻耳兹曼和才华出众的麦克斯韦，从分子 运动论和气体动力学出发，在等概率原理和分子混沌假设的基础上，提出h 定 天津大学硕士学位论文第一章绪论 理和分子速率所遵从的麦克斯韦速率分布函数，并进而建立了统计力学。而后吉 布斯在其发表的巨著统计力学的基本原理中，创立了统计系综的方法，建立 起经典平衡态统计力学的系统理论，对统计力学给出了适用任何宏观物体的最彻 底、最完整的形式。经典统计理论自此有了非常完整的自洽性。统计力学应用 了数学中统计分析的方法，研究大量粒子的平均行为。统计力学根据物质的微观 组成和相互作用，研究由大量粒子组成的宏观物体的性质和行为的统计规律，是 理论物理的一个重要分支。 处于平衡状态附近的非平衡系统的主要趋向是向平衡状态过渡。平衡态附近 的主要非平衡过程是弛豫、输运和涨落，这方面的理论逐步发展，已趋于成熟。 近2 0 一- - 3 0 年来人们对于远离平衡态的物理系统，如耗散结构等进行了广泛的研 究，取得了很大的进展，但还有很多问题等待解决。 传统的热力学和统计物理学经过几个世纪的发展，已经非常成熟，它的成功， 使物理学发展到了一个前所未有的高度。人们用热力学和统计物理学指导生产实 践和生活实践，极大的促进了生产力的发展。科学的发展表明，任何理论都不是 万能的，热力学和统计物理学也是如此。近年来的研究表明，在通常系统中，也 就是存在短程相互作用或短时记忆过程的系统中，传统的热力学和统计物理学是 一种有力的统计工具，但在某些情况下，例如在长程作用系统中，或非欧氏空间 中，它是不适用的。这就是说，在某些情况下，它是有局限性的，主要表现在以 下方面【3 , 4 1 ： 1 ) 包含长程相互作用的系统； 2 ) 长程微观记忆过程，例如非马尔可夫随机过程； 3 ) 包含时空相关性且拥有类( 多重) 分形结构的保守或耗散系统： 4 ) 纯电子等离子体中的二维湍流； 5 ) l 6 v y 反常扩散； 6 ) 团簇或介观系统； 7 ) 离子轰击固体中声电反常热能化： 8 ) 太阳中微子； 9 ) 星系的奇异速率分布； 1 0 ) 等离子体中的反转轫致辐射； 2 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 ) 黑洞等； 传统统计的局限性表明了，有些物理系统已经超出了它所能描述的范围，能 描述这些物理系统的理论，只能是不同于传统统计的一种新统计理论。为方便起 见，我们把传统统计所不能描述的系统称为非广延系统，把它能描述的那些物理 系统称为广延系统。传统统计只能描述广延系统，相应的，传统热力学的研究对 象也被限定在了广延系统中。 正如相对论和量子力学是对经典力学在高速运动和微观领域两方面的限制 和发展，我们需要一种新的热力统计理论，来描述传统统计理论无法解释的那些 现象，非广延统计力学就是在这样的背景下出现的。 1 2 非广延热力学的诞生 正如我们在第一节中讲的那样，传统的玻尔兹曼吉布斯统计虽然取得了巨大 的成就，但是也面临着很多困难。因为任何一个理论都不是万能的，都有它的适 用范围，超出了这个适用范围，这个理论就不再适用，必须发展新的理论来改进 原有理论。新的科学理论的出现，总是对旧的理论重新作出界定，使其在更精确 的意义上成立。狭义相对论否定了经典力学在描述高速运动物体时的适用性，量 子力学则在微观粒子运动的范畴内否定了经典力学的适用性。与此类似，非广延 热力统计理论的提出与进一步发展，限定了传统的热力学和统计物理学的适用范 围，前者适用于描述非广延系统；后者适于描述广延系统。 非广延系统包括【孓9 1 ：包含长程相互作用的系统；长程微观记忆过程，例如非 马尔可夫随机过程；包含时空相关性且拥有类( 多重) 分形结构的保守或耗散系 统；纯电子等离子体中的二维湍流；l 6 v y 反常扩散；团簇或介观系统：离子轰击 固体中声电反常热能化；太阳中微子；星系的奇异速率分布；等离子体中的反转 轫致辐射：黑洞等。非广延系统之外的，那些传统的统计仍然适用的系统，就是 广延系统。 非广延热力统计理论的建立是通过对熵取最优化的基础上而实现的，除此 外，还要再加上归一化条件和内能限制的第三种定义。因此，非广延热力统计理 论的非广延性直接来自非广延熵。非广延性就是熵的非可加性或伪可加性，从数 学上说，就是q 一对数函数的非可加性或伪, - - i 力n 性 j o q 3 1 ： 天津大学硕士学位论文第一章绪论 i n g ( x + y ) = i n 9 ( 工) + l n g ( y ) + ( 1 一q ) l n g ( x ) t n g ( y ) ， q 一对数的定义为： m ) = l n q 兰寄， ( 1 2 ) 熵的非广延性与我们的直觉是相违背的，但是它并不违背事实，这是非广延 热力统计的最大特征。 很明显，非广延性的出现是因为非广延参数g 的存在，它对1 的偏离标志着 非广延的程度。虽然现在对非广延参数的普遍物理意义仍然没有搞清楚，但是无 疑可以肯定的是，它与系统的微观动力学有着联系。 以非广延为特征的热力学统计理论，已经被一系列的实验所证实，现给出几 个例子： 1 ) t s a l l i s 非广延分布能够恰当地描述一个2 维纯电子等离子体的亚稳平衡 裂1 4 】； 2 ) 与基于经典热力学的更复杂的模型给出的分布相比，用非广延统计得出 的相应于经典理想气体的t s a l l i s 分布与观察到的星系团的速度分布符 合地更好【4 】； 3 )用非广延统计力学的方法，对太阳内部核反应速度进行估算，预言了一 个中微子流，这一预言与观察到的数据相符。因此，非广延统计热力学 也许能为著名的太阳中微子问题提供部分的可能的解释【1 5 】； 以上现象涉及的都是复杂系统，对于复杂系统传统的波尔兹曼吉布斯( b - g ) 统计所不能描述的。而非广延统计力学的优势恰恰在于它能描述一系列复杂系 统。从某种意义上讲，非广延统计力学的出现是热力学和统计力学的发展的必 然结果。 1 3 本文的研究目的和主要工作 非广延统计( t s a l l i s 统计) 到现在为止仍然是一个不完善的理论，还处在不断 的发展之中，有很多问题还没有解决。其中许多问题都涉及非广延参数q 的主要 性质。在这里，我们主要研究了非广延参数的主要性质，并着重讨论了它的物理 4 天津大学硕士学位论文第一章绪论 意义问题，这也是非广延统计物理学需要解决的极其重要的问题 1 6 - 1 8 】。如果不解 决非广延参数的物理意义问题，非广延统计力学就仅仅是一堆数学公式，没有实 际的物理意义，有关它的研究就会失去科学意义。因此，正是在这样的背景下， 我们通过一个简单相对论气体模型，建立了可观测物理量与非广延参数q 的联 系，从而赋予q 以真实的物理意义，给出了自己的结论。 5 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 2 1 熵 第二章非广延热力学和统计力学简介 熵是经典热力学中一个很重要的概念，1 9 世纪由克劳修斯( c l a u s i u s ) 提出。然 而真正使熵成为统计物理学的基石的却是玻尔兹曼和吉布斯的开创性工作。一个 系统的玻尔兹曼吉布斯熵( b g 熵) 可以写成【2 1 ： 归一化条件： j 粥= 一七p i i n p i ， w p ，= 1 ， f - 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 这里p i 是系统处于第i 个微观态的几率， 七是玻尔兹曼常数 ( = 1 3 8 1 0 。2 3 j k ) 。不失一般性，我们取七= 1 。如果每一个微观态有相同的 几率p j = 1 w ( 等概率假设) ，我们就得到了著名的玻尔兹曼原理： s b g = k l n w( 2 3 ) 由( 1 ) 式我们容易得到玻尔兹曼熵具有：非负性，凹性，广延性和稳定性。 所谓广延性，我们是指，如果a 和b 是两个相互独立的系统，也就是力柑= p 巧b ， 那么我们就很自然的得到： 品g ( 4 + b ) = s b g ( 彳) + g ( b ) ， ( 2 4 ) 关于稳定性我们将在以后讨论。我们可能很自然的认为熵式( 2 1 ) 是从系统的 微观动力学演化而来，然而，到今天我们也没有完全从第一性原理而得到【2 0 1 。实 际上( 2 1 ) 式是一个假设。为了认识这一点，我们先了解一些有关的历史背景。 爱因斯坦在1 9 1 0 年曾这样说【2 1 】：“为了计算形，我们需要从系统的分子 动力学进行考虑。那么我们就怀疑没有从完整的分子动力学理论或其他描述系统 6 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 的基本过程的理论出发的玻尔兹曼原理是否有意义。 在著名的热力学一书中，e n r i c of e r m i 讲到2 2 】：“系统的熵通常等于 组成它的各部分熵的总和。这种情况只在系统的总能量等于各个部分的能量之和 或者系统做功等于各部分做功之和的情况下成立。但是这些条件并不太明显，在 某些情况下可能并不成立。 l a s z l ot i s z a 于1 9 6 1 年这样讲到【2 3 】： 这种情况不同于几率尸的可加性，它的有效性也不能通过一般的原理推断出 来。这就要求热力学系统的相互作用能量是可以忽略的。这样的假设和系统是均 匀的紧紧的联系起来。从分子的角度讲，可加性和均匀性可以看作是包含多粒子 系统在分子问作用力是短程力的情况下的近似。 p e t e rl a n d s b e r g1 9 7 8 年这样讲到【1 】： “为描述长程力，需要对热力学进行修正，其中一些问题有待进一步研究。” 综合考虑以上陈述，我们认为可能存在不同于玻尔兹曼熵的物理熵，这样的 熵适合描述反常系统。这样的反常系统包括： ( i ) 涉及粒子间长程力的多粒子系统中的亚稳态； ( i i ) 小系统( 例如粒子数在1 0 0 - - 2 0 0 之间的系统) 中的平衡态； ( i i i ) 星系系统； ( i v )某些耗散系统； ( v )非马尔可夫中间态和一系列违背遍历性的系统。这样的系统的项空间可 能是多重分形的，或者是分层的结构。 正是从这样的角度出发，1 9 8 8 年，t s a l l i s 提出了以玻尔兹曼统计为基础的广 义熵【2 4 1 。这种广义熵( s = 品g ) 依赖于一个参数g ，q 是一个实数，它的大小 由系统的微观动力学决定。这种熵似乎能够描述很多种自然或者是人造的系统。 我们将要看到这种熵包含了很多性质。在本文中，我们将用一种类比的方法介绍 熵的形式。 这里需要说明的是：我们通过类比的方法得到了广义熵s 。的形式，而不是用 推导的方法。为什么不推导它呢。如果我们知道如何从第一原理推导玻尔兹曼熵 & g ( 如，具有短程相互作用哈密顿量的系统) ，我们就能仿照这样的做法来推 导。由于从系统的微观动力学出发最终导致遍历性，而这恰恰是我们现在仍 7 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 无法做到的。其中我们上边提到的方程( 2 1 ) 就是一个基本假设。这就要求我 们也必须做同样的假设。因此，我们通过一种类比的方法得到了广义熵s 。的形 式。 我们从系统的动力学出发，得到玻尔兹曼吉布斯( b g ) 统计是很困难的。数 学家f l o r i st a k e n s l 9 9 1 年曾经这样讲到【2 5 1 ： “b 的值由这些教条决定：如果系统的第i 个微观态的能量是巨并且系统的 温度是r ，那么我们有，p ，= e x p - e ，k t z ( t ) ，其中z 仃) = ，e x p - e ，k r ， ( 归一化条件j p ，= 1 ) 。这就是所谓的吉布斯分布。这样的教条是很难证明的， 即使是像罗素( r u e l l e ) 这样的大物理学家也认为这个问题是深奥而且是难以完全 证明的。 数学上有一个传统，当没有理论可用时， 就用“教条”( d o g m a ) 这个词来 代替 2 6 】。可能有些读者会困惑：我们竟然无法从系统的微观动力学出发来证明玻 尔兹曼吉布斯( b g ) 统计成立。然而在理论物理中确实存在这样的一个现象：这 样的“教条在理论物理中是被广泛应用的，而且在很多情况下是适用的。但对 于某些系统( 所谓的复杂系统) ，这样的“教条”却并不成立1 2 2 数学性质 2 2 1 类比的推导法 设想最简单的微分方程： 砂n _ 2 u 傲 初始条件为y ( o ) = 1 时，其解是y = 1 。 再进一步，次简单的微分方程 ( 2 5 ) 字：1 ，( 2 6 ) 出 在同样的初始条件下，其解是y = l + x 。复杂程度再次增加时， 8 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 咖 = y ， a x 它的解是： y = e 。， 该函数的反函数是 y = i n x ， 这个反函数满足著名的可加性， 1 1 1 ( x a x b ) = l n x a + 1 n ， ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 现在的问题是，如何再次增加复杂性，在( 2 9 ) 的基础上前进一步呢? 一 个可能的选择是砂d x = 口+ 砂，但是这样一来，就出现了两个参数，它只增加 了数学计算上的复杂性，而并未增加函数本身的复杂性。在这里，我们还有另外 一种选择， 咖一， 五一少 ( 2 1 1 ) 这个方程只有一个参数，当留一埘，q = 0 和q = l 时，方程又回到了微分方程 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 和( 2 7 ) 。可以看出，此方程脱出了线性的范围，具有了非线性特 征，其本身的复杂性当然增加了。方程( 2 1 1 ) 的解是 l y = 【1 + ( 1 一g ) x 】卜9 三白。， ( 2 1 2 ) 上面定义的函数可以称之为q 一指数函数，其反函数为 y ：t x l q _ 一1 一- i n ，工，q y = 一三工。 。 1 9 。 ( 2 1 3 ) 一般称之为g 一对数函数，当q j l 时，式( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 会回到( 2 8 ) 这个方程满足伪可加性条件： 9 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 i n g ( _ x b ) = i n gx a + i n g + ( 1 一q ) ( t n gx a ) ( 1 i l g ) ， ( 2 1 4 ) 到这里，可以看出，在增加复杂性之后，方程( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 是对方程( 2 8 ) ( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 式的一种很自然的发展。 在力学系统中，由方程( 2 5 ) 到方程( 2 1 3 ) 的发展是一个复杂度逐渐增 加的过程，既然微分方程( 2 8 ) ( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 是对传统b g 统计的数学描述 方法，那么我们要发展的新统计采用方程( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 作为其数 学描述，就是一种很合理的选择了。 2 2 2 非广延熵 如果我们将方程( 1 ) 写成另一种形式( k = 1 ) ： 耻一喜，= 善w p il n p 加去地寺， 品g = 一，= p ，l n = ( 1 n ， ( 2 1 5 ) 这里( ) 兰：，( ) p ，。l n l lp ，的值叫做吃惊度( s u r p r i s e ) 或不期望度 ( u n e x p e c m e s s ) 。所以，p 。= 1 对应于确定，也就是0 不期望值【2 7 1 。 如果我们引入g 一熵： s q - - ( t 寺= 喜加，去= 鲁， f 2 1 6 ) 在g _ 1 的极限下，我们得到彤= p e 叫m 一p i 1 + ( g 一1 ) l n p , ，熵回到玻尔 兹曼吉布斯熵，即墨= l 如果是等概率( p i = l l w ) 我们直接得到： s：w1-q-1：lng形，1一q 9 ( 2 1 7 ) & 是广义熵而不是玻尔兹曼吉布斯熵的简单替换。由q - l o g 函数的伪加性对 于任意k 我们有： 幽：地+螋岫)坐挲，kkkk 、“ 岔 1 0 ( 2 1 8 ) 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 如果a 和b 是两个独立的系统( 力”= p b ) 。9 = 1 ，q 1 分别对 应于广延，超广延和亚广延的情况正是从这样的意义上讲，我们把广义的统计力 学称为非广延统计力学。 如果a 和b 是独立的，那么我们就能得到( 2 1 8 ) 式，但是如果a 和b 之 间具有比较强的关联性，那么就可能存在q 满足： s ( 彳+ b ) = s ( 彳) + ( b ) ， 、。 口 、 ( 2 1 9 ) 同时也恢复了广延性，但是熵的形式发生了变化，我们通过两个例子来说明这一 有趣的现象： ( i ) 由n 个近独立粒子所组成的系统满足矽( ) ( 1 ) 。它的熵s q ： s q ( n ) = i nw ( n ) 等， ( 2 2 0 ) 当且仅当g = l 时才具有广延性。换句话说，s ( ) n l n a 芘n ，这是我们通 常见到的情况。 ( i i )如果组成a 系统的各个组分是相互关联的，我们就有w ( n ) p ( 户 0 ) 。熵由下式给出： s q ( n ) = i n w ( n ) 1 n p i ( 1 - q ) _ - 1 ， ( 2 2 1 ) 当且仅当g ：矿三l 一三 1 时才满足广延性。换言之，就是当艺( ) o c 是广延的。 p 1 通过以上两个例子我们可以得出这样的结论：对于独立的系统，它的熵是非广延 的，而对于具有强关联的系统，它的熵是广延的1 2 319 8 8 年t s aiiis 关于熵的推导 1 9 8 8 年，物理学家t s a l l i s 受分形物理学的启发，提出了非广延熵& 口4 1 。t s a l l i s 在1 9 8 8 年的推导和上面的推导稍微不同，当0 p ，( g 1 ) ， 1 ) 。如果q = 1 ，那么= p i 。很多物理现象或者受 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 小概率事件影响或者受常概翠事件的控制。这一点就像分形中发生的那样，但我 们必须选择g l ， 是低几率抑制而高几率被加强( 1 i m 一。群一o ) 。这里的参数g 和分形几何中的g 是不同的( 为了区别，我们在非广延统计力学中以表示分形几何中的参数g ) 。 但是分形几何中的方法无疑对统计物理学有参考意义。正是基于此，我们将这种 方法引入了统计物理学。 2 4 毛和s h a n n o n k h in c hin 公理体系 s h a n n o n 和k h i n c h i n 在二十世纪中叶先后给出了两个类似的，对熵函数的形 式作出限制的公理体烈2 8 】【2 9 1 。 他们指出，在合理的物理条件下，从这个公理体系得出的熵形式只能是玻尔 兹曼熵品g 。 s h a n n o n 公理的内容是： 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵s ( b ，仍，p ) 必须是连续函数； 2 ) 熵函数s ( p 。= p 2 = = p = 1 w ) 随着状态数w 单调增加； 3 ) 如果两个微观态的概率，满足条件 则有 岛。 2p i p j 占， s ( a + b ) = s ( a ) + s ( 曰) ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 4 ) 设一个系统可分为两个子系统l 和m ，总的状态数w = 睨+ ，定义 p l = ：仍， p m = 篡+ 1 ，j p ， ( 2 2 4 ) 因此有 p l 七p m = 1 ， 1 2 ( 2 2 5 ) 天津大学硕：上学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 这个定理指出，当且仅当熵s ( p 。，p 2 ，p 矽) 取成式( 2 1 5 ) 的形式时 s ( 届，p 2 ，p ) ：s ( p l , p m ) + p l s ( 旦，p r r l ) + p u s ( p w c + l ，当) ， ( 2 2 6 ) p lp lp mp m k h i n c h i n 公理的内容： 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵s ( p 。，p ：，p w ) 必须是连续函数； 2 ) 熵函数s ( p 。= p 2 = = p w = 1 w ) 随着状态数w 的增加而单调增加； 3 ) 零概率的状态被认为是不存在的，即 s ( p 1 ，p ，0 ) = s ( p l ，p ) ， 4 ) 当且仅当熵函数s ( p 。，p ：，p 彤) 取成式( 2 1 5 ) 的形式时，有 s ( 么+ 口) = s ( 彳) + s ( 召l 彳) ， ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 其中，s ( b i a ) 是条件熵。 这套公理体系保证了传统的玻尔兹曼熵s 占g 或s h 釉o n 熵形式的唯一性。为了使 这套公理体系能在更广泛的意义上适合于描述推广后的熵，s a n t o s 在1 9 9 7 年【3 0 】， a b e 在2 0 0 0 年【3 1 】分别得到了这两个公理的推广形式。 s a n t o s 公理的内容： 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵s ( p 。，p ：，p 矿) 必须是连续函数； 2 ) 熵函数s ( p 。= p 2 = p = l w ) 随着状态数w 的增加而单调增加； 3 ) 如果两个微观态的概率p ? 和p ? ，满足条件 则有 功伽= 尼乃占， r 2 2 9 ) s ( a + b ) k = s ( 彳) 后+ s ( 曰) i | + ( 1 一q ) ( s q ( a ) k ) ( s q ( b ) k ) ，( 2 3 0 ) 4 ) 一个系统可分为两个子系统l 和m ，总的微观状态数w = 呒+ ，定义 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 p l = ：p i ，2 己矧 ， p 材= 私， 因此有 p + p = 1 这个定理指出，当且仅当熵满足： s ( p ，p ：，p ) ：七颦， 口一1 时，等式： ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) s ( 届，仍，p ) ：s ( p l , p g ) + p l q s ( p l 一，堕) + p sq s ( p w c + 1 ，丝) ，( 2 3 3 ) p lp lp mp m a b e 公理的内容： 1 ) 对于所有的变量和概率分布来说，熵s ( a ，p 2 ，p 矿) 必须是连续函数； 2 ) 熵函数s ( 易= p 2 = p 矿= l w ) 随着状态数w 的增加而单调增加； 3 ) 零概率的状态被认为是不存在的，即 s ( p 1 ，p ，0 ) = s ( p l ，办) ，( 2 3 4 ) 4 ) 且仅当熵函数s ( b ，p ：，p ) 取成式( 2 3 2 ) 的形式时，有 半= 半+ 半州刊半半， 亿3 5 ， 其中，s ( b i 爿) 是条件熵。 很明显，s a n t o s a b e 公理体系是很重要的，它保证了非广延熵薯是对b g 熵的唯一可能的推广形式，它使得非广延熵保持了自玻尔兹曼熵那里继承来的， 除广延性外的所有性质。 2 5 关于几种形式的熵的讨论 1 4 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 作为对传统玻尔兹曼熵的一种推广，除非广延熵& 外，还有r e n y i 熵。实际上， 早在t s a l l i s 之前，r e n y i 3 2 1 就提出 r e n y i 熵： 墨_ h i x p i q ：足坐掣， ( 2 3 6 ) 9 l 一口l 一口 、 在非广延统计的研究过程中，还出现另一种熵，称为归一化非广延熵【3 3 】 s q n 三s q m 2 志， ( 2 3 7 ) 这两种熵都是非广延熵的单调函数，并且，当q 一1 时，它们都回到传统 的玻尔兹曼熵。 那么，这里很自然的问题就是：为什么不能用这两者之一代替非广延熵岛， 去推广b g 统计力学呢? 这个问题的另一种提法就是，包括非广延熵在内，这三 种推广熵哪个才是真正有物理含义，在实际的物理系统中有其对应实体的熵呢? 由于这前两种推广熵是非广延熵s 。的单调函数，仅从s a n t o s - - a b e 公理体 系是无法判断哪种推广熵才是实际物理体系的熵函数的。 作为一个描述物理体系的熵函数，它至少要满足两个条件：凹凸性条件和 稳定性条件。 熵函数的凹凸性的定义【2 4 1 ：设一个包含w 个微观态的体系有两种概率分布， 和， 给定一个参数旯，0 o ， ( 2 3 9 ) 天津大学硕士学位论文 第二章非广延热力学和统计力学简介 即非广延熵是凹的，它是满足凹凸性条件的。它的等价描述是： “鲁a u 娥 z ( 2 4 0 ) 而对于熵和e 。来说，并非对所有的q 0 ，它们都满足式( 2 3 9 ) ，也就 是说，它们是不满足凹凸性条件的。 这里的稳定性条件，指的是热力学稳定性条件，它指由于涨落，系统偏离其某一 个临时态后，若能回到这个状态，则这个状态就是热力学稳定的，否则就是热力 学不稳定的。这个条件实际可从最大熵原理得到说明【3 4 1 。 为方便起见，我们先从玻尔兹曼统计的框架内讨论这个问题。将一个系统 分为两个内能和熵都相同的子系统，a 和b ，因此有 u ( 彳) = u ( b ) ， s ( 彳) = 5 ( b ) ， ( 2 4 1 ) 现从b 系统拿出一部分能量u 给a 系统，那么总系统的熵将从最初的2 s ( u ) 变 成s ( u + a u ) + s ( u a u ) ，最大熵原理要求能量转移后的熵不大于最初的熵， 即 2 s ( u ) s ( u + a u ) + s ( u 一u ) ， 这就是熵的热力学稳定性条件( t s c ) ，当u 一0 时，上式化为微分式 s ， 万o ， ( 2 4 2 ) f 2 4 3 ) 这是熵的凹凸性条件。所以对于玻尔兹曼熵来说，热力学稳定性条件和凹凸性条 件是等价的，它们实际是一个条件。下面将会看到，对于非广延的t s a l l i s 熵来说， 这两个条件是不等价的。 在非广延统计力学( n s m ) 的框架下，将条件( 2 4 1 ) 加以修改。其中，熵 变为非广延熵，满足等式( 2 3 2 ) 所描述的非广延关系。而且，在给定条件下 只= 1 ， 1 6 天津大学硕士学位论文 第二章非广延热力学和统计力学简介 p ，9 q 2 商1 - ，j i - j j 系统能量满足可加性，是广延量， u q ( 彳+ 占) = u q ( 彳) + u q ( b ) ， ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 与刚才的讨论类似，从b 系统拿出一部分能量给a 系统后，总系统的熵将发生变 化，根据最大熵原理，同时考虑熵的非广延性( 1 2 1 6 ) ，有 2 s i q ( ( u q ) + + ( 1 u - ) q + ) 毛s q ( ( u q 一) 2 u k ) + ( 1 一q ) s q ( u q + u ) & ( 一a u ) k ，( 2 4 7 )i ( + u ) + - 咒( 一u ) + ( 一+ u ) 叉( 一 、。 这明显不同于( 1 4 7 ) 式，在a u 一0 时，它的微分式为 等州刊卜等- ( 剥2 卜 亿4 8 ， 与在玻尔兹曼统计的情况不同，这个条件与非广延熵的凹凸性条件是不等价的。 正如文献 3 4 所宣称的那样，这种不等价性直接来自熵的非广延性，正是因为这 样，在非广延统计力学中，必需将凹凸性条件和热力学稳定性条件，同时列为物 理熵所满足的必要条件。 从上面的分析可知，非广延t s a l l i s 熵是符合这两个条件的，它应该是存 在物理对应实体的物理熵。而r e n y i 熵和归一化熵掣都首先不满足凹凸性条 件，因而不是有物理意义的熵形式。 除了上述提到的三种熵外，人们在研究非广延统计的过程中又提出了另一种称为 陪同熵的熵3 5 1 ， & ( p ) ) 三k 1 ( w 另i ) 一l l q 其中 只 是陪同分布概率，定义为 1 7 ( 2 4 9 ) 天津大学硕士学位论文第二章非广延热力学和统计力学简介 p 三上，(250i t r )1 一，、一。， p i 9 ， 可以看出，陪同熵与t s a l l i s 非广延熵的关系极为密切，仅凭凹凸性条件和热力学 稳定性条件，是无法确定这两个熵哪个是物理熵的。为了将它们从根本上区分开 来，我们从动力学角度，分析它们的动力学稳定性。 莱斯基( l e s c h e ) 在二十多年前的一篇论文中3 6 1 指出，传统的玻尔兹曼熵满 足一种非常有趣的性质，他将这种性质命名为稳定性。如果两种概率分布彼此非 常接近( 可以认为它们产生于同一个实验的差异轻微的两次测量过程) ，它们之 间的差异只能导致有限的结果。也就是说对于概率分布的任何物理函数，尤其是 对熵来说，概率分布的微小变化只能引起物理函数的连续微小变化，在物理系统 中不存在将这种小变化放大的机制，即系统对于概率分布的微小变化是稳定的， 这种稳定性无疑是一种动力学稳定性。为避免和热力学稳定性条件混淆，我们现 在称它为实验坚韧性( e x p e f i m e n m lr o b u s t n e s s ) 。这种性质后来由阿贝( a b e ) 在非 广延统计力学中进一步发剧3 7 1 。 为定量描述这种性质，我们首先在同一个物理系统的两种概率分布 ( 尼) 和 ) ) 间，定义一种距离 d 三怕一p 0 兰兰。p ，一只7 i ， 再将这两种概率分布所对应的熵的相对间隔尺定义成如下形式 r 三兰! ! 旦! ! ! 二兰! ! 旦! ：1 2 ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 其中趾是所考虑的熵在给定条件下所能达到的最大值，比如，玻尔兹曼熵g 的 最大值是k l n 形。我们认为，当且仅当，对于任意给定的小量f 0 来说，存在一 个小间隔皖 0 ，满足下列条件： d 疋j h 0 是稳定的，而归一化熵掣对任何q 1 是不稳定的。t s a l l i s 等在文献 1 0 】中，进一步指出陪同熵也是不稳定的。他们在这篇论文中还总结到：非广 延熵疋对所有的g o 是凹性的；瑞利熵譬和归一化熵掣对o l 则不是凹性的；陪同熵对g 1 是凹性的，对0 g 1 时， 出现幂率尾；( i i i ) 若g 1 ，且幂指数方程为负值时，出现高能截断1 2 6 2 勒让德结构 热力学中的勒让德变换结构对任意g 都是成立的，并且允许我们和传统的 热力学建立联系删。 对任意推专= 嘉 胙帆既 同样可以证明自由能满足： 兰一码= 一古l n 。乙， 其柚弦篙旦1 - q 一以 内能满足： 一易h 一 最后，比热容满足