（概率论与数理统计专业论文）两类离散风险模型的破产研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，而其核心问题是破产理论 的研究。现代风险理论主要是借助随机过程等数学工具发展起来的， 它为各金融风险部门的经营管理提供了理论依据和实际操作指导。 本论文应用经典鞅论和随机点过程等理论研究分析了离散情形带常 利率的泊松模型和双险种的二项风险模型，得到了与破产相关的一 些重婴变量的表达式或性质。 本文主要由四部分组成。 在第一章中，我们简单的介绍了风险理论的历史、现状与主要成 果，其中重点阐述的是有关古典风险模型的问题，并且给出了本文研 歹己的主要内容和主要结果。 在第二章中，我们简单的介绍了广义p o i s s o n 过程、m a r k o v 过程、 瞅 每：一些基本的知识。这些知识是本文的理论基础。 往第三章中，我们介绍了推广的泊松模型：在经典的风险模型 中，保费的收取是连续的且理赔过程是一个复合p o i s s o n 过程。本章 讨论了在离散情形下将保费的收取随机化，同时将理赔过程推广为 一个广义复合p o i s s o n 过程，并且考虑了带有常利率的情形，从这三 。h j 。对经典的风险模型加以推广，并用鞅方法得到了破产概率的 上界。 存第四章中，我们将经典的复合二项风险模型推广，将保单收 入过程推广为一个与索赔过程独立的二项过程。这样，盈余过程包 含两个二项过程。用鞅方法得到了最终破产概率的上界及其具体表 达式。 关键词鞅，破产概率，l u n d b e r g 系数，广义p o i s s o n 过程 a bs t r a c t t h er i s k t h e o r y i st h eb a s i c d i s c i p l i n e o fl e a r n i n gf i n a n c i a l m a t h e m a t i c sa n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s u r a n c ea n di t sc o r ei s t h es t u d yo ft h er u i nt h e o r y m o d e mr i s kt h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e d m a i n l yv i as t o c h a s t i cp r o c e s so fm a t h e m a t i c a lt o o l s ，w h i c hp r o v i d e sa m a n a g e rw h o i ss e r v i n gi nf i n a n c er i s kd e p a r t m e n tw i t ht h e o r yb a s i sa n d p r a c t i c a lg u i d a n c e i nt h i st e x t ，t h et h e o r yo fc l a s s i c a lm a r t i n g a l e a n d s t o c h a s t i cp o i n tp r o c e s sa r ea p p l i e di ns t u d y i n gg e n e r a l i z e dp o i s s o n p r o c e s sw h o s ep r e m i u mi s as t o c h a s t i cp r o c e s sw i t hc o n s t a n ti n t e r e s t f o r c ei nd i s c r e t es i t u a t i o na n dt h eb i n o m i a lr i s km o d e lw i t hd o u b l et y p e i n s u r a n c e f i n a l l yw eo b t a i n s o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r so ft h e v a r i a b l e sa b o u tr u i n f o u rc h a p t e r sc o n s t i t u t et h i st e x t i nt h ef i r s tc h a p t e r , w es i m p l yi n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ep r e s e n t c o n d i t i o n sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h er i s kt h e o r y , a n dw ee s p e c i a l l yp a y m o r ea t t e n t i o no nt h ec l a s s i c a lr is km o d e l f i n a l l yw ep r e s e n tt h em a i n c o n t e n to ft h ist e x ta n dt h em a i nr e s u l to fm y r e s e a r c h i nt h es e c o n dc h a p t e r , w eo u t l i n et h ek n o w l e d g ea b o u tg e n e r a l i z e d p o i s s o np r o c e s s ，m a r k o vp r o c e s s ，m a r t i n g a l ea n ds oo n t h i sk n o w l e d g e i sa l s ot h ef o u n d a t i o no ft h et e x t i nt h et h i r dc h a p t e r , w ei n t r o d u c e t h eg e n e r a l i z e dp o i s s o nr i s k m o d e l ：i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，t h ec o l l e c t i o n o fp r e m i u m si s c o n t i n u o u sa n dt h ec l a i mp r o c e s si s ac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s t h i s p a p e rd i s c u s st h er a n d o mp r e m i u m s i nt h ed i s c r e t es i t u a t i o n ，a tt h es a m e t i m eg e n e r a l i z et h ec l a i mp r o c e s st oag e n e r a l i z e dc o m p o u n dp o i s s o n p r o c e s sw i t hc o n s t a n tf o r c eo f i n t e r e s ti nc o n s i d e r a t i o n f r o mt h et h r e e a s p e c t st og e n e r a l i z et h ec l a s s i cr i s km o d e l ，a n do b t a i nt h eu p p e rb o u n d o ft h er u i np r o b a b i li t yb ym a r t i n g a l ea p p r o a c h e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w eg e n e r a l i z e t h ec l a s s i c a l c o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e lt oab i n o m i a lp r o c e s sw h i c ht h ep r e m i u mi n n e r p r o c e s si n d e p e n d e n tw i t h t h ec l a i mp r o c e s s t h e n t h es u r p l u sp r o c e s s i i i n c l u d e st 、ob i n o m i a lp r o c e s s e s u s i n gm a r t i n g a l ea p p r o a c h e st oo b t a i n t h l p p e rb o u n d o ft h er u i np r o b a b i l i t ya n d i t se x p r e s s i o n k e yw o r d sm a r t i n g a l e ，r u i np r o b a b i l i t y , l u n d b e r ge x p o n e n t ， g e n e r a l i z e dp o i s s o np r o c e s s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了论文中特另i d t l 以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或 其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作 j ，j 少墒犬均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：磊 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 j 工f 节沦文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允许学位论文被 d _ t i ，a 和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩 ij 或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论 义收求剑中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服 务。 第一章绪论 今天人们习惯用“风险 这个词来表达各种可能发生的灾害和不利的事 件因为我们确确实实生活在一个充满风险的自然环境和社会环境之中风险 已经或多或少的成为现代生活无法回避的内容当然，所面临的具体问题不同， 每个人对风险这个概念的理解和描述也各不相同，同一个词汇可能用来表达不 同的意思，例如，一个社会心理学家可能用“追求风险刺激”来解释某种少年 违法行为，这时他对风险的理解与证券分析人员在讨论股票投资时用到的风险 的概念是有很大差异的，本文所研究的是保险学中的风险问题 1 1 风险理论的历史 在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率 或“不确定后果之间 的兹异程度 等等而在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险 又常被区分为纯粹风险和投机风险两种从风险的属性来说，有人主张风险应 该是客观存在的，因而应该客观地度量，也有人强调风险是一个因人而异的主 观概念总之，要对风险这个概念给出一个明确的，能够被普遍接受的定义几 乎是不可能的，引用f i s c h h o f f 教授的话说：“人们对怎么定义风险的争论比对 怎么度量风险的争议还要大得多 用数学方法分析风险，即精算数学它源于瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 于 19 0 3 年发表的博士论文，至今已有超过百年的历史风险理论中破产理论的研 究既有实际的应用背景，也有概率论上的理论基础事实上，一类最重要的随 机过程，即p o i s s o n 过程，j 下是l u n d b e r gi l 】首次在这篇论文中提出的不过， l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r l dc r a m e r 为 首的瑞典学派完成的，c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上， 川时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论，现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的 工作共同为经典破产理论奠定了坚实的基础 随着随机过程等理论的发展，继c r a m e r1 3 1 之后，g e r b e r1 5 1 ，g r a n d e l l 1 2 1 和a s m u s s e n 等人系统地论述了风险理论的思想，其后，波兰的t o m a s zr o l s k i1 6 4 1 等人在其著作中对这一理论进行总结推广完善，至此风险理论的研究已经进入 r 棚义寸成熟的阶段 爻j ：风险理论的著作有很多，其中以下三本比较重要： ( 1 ) h a n su g e r b e r ，1 9 7 9 ，a ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a lr i s kt h e o r y 它 以严谨的概率论基础，论述了非寿险中的主要课题这是一本现代风险理论的 专著，它将重点放在上个世纪才引入到风险理论中的一些内容，并且巧妙运用 鞅方法得到了破产概率的某些重要结果 ( 2 ) g r a n d e l l ，1 9 9 1 ，a s p e c t so fr i s kt h e o r y 在此书中作者提出了对风险理 论发展具有重要作用的经典风险理论模型，并且在此基础上研究了更新风险模 型、c o x 模型、平稳风险模型以及几类基本风险模型下的破产概率等 ( 3 ) a s m u s s e n ，2 0 0 0 ，r u i np r o b a b i l i t i e s 在这本书中，作者运用矩阵分析、 模拟等方法对风险理论的核心问题破产概率问题作了全面的论述 关于风险理论我们还有一点需要提一下，由于保险业本身的需要和发展， 许多破产以外与破产有关的问题开始被关注八十年代末开始，一些与估算经 营期间财产数额、赤字，续保及兼并的可行性的数学理论及内容开始出现例 如对破产瞬间前后财产余额分布，对引起破产的赔偿金数额的分布，破产到恢 复期间最大亏损程度的分布，以及破产持续时间的研究，代表性的文献有 d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 8 8 ) ，d i c k s o n ( 1 9 9 2 ，1 9 9 3 ) ，d i c k s o u 和w a t e r s ( 1 9 9 3 ) ， p i c a r d ( 19 9 4 ) ，p i c a r d 和l e g e v e r ( 19 9 4 ) 等另外，d u f r e s n e 和g e r b e r ( 19 91 ) 对带 干扰的复合p o i s s o n 过程的研究，首次把破产概率分解为摆动和跳跃有关的分量 形式，令人耳目一新，这项研究为理论与实际问题的研究开拓了新领域 1 2 经典风险模型 1 2 1l u n d b e r g - c r a m e r 经典破产模型 保险公司在，时刻的盈余由下式给出： ，( ，) u ( t ) = u + c t - 以，o 七= l 其中u 为初始资本，c 为保险公司单位时间内收取的保险费，即保费率， x 。( k 1 ) 表示保险公司第k 次的理赔额，n ( t ) 则表示到时刻，为止发生的理赔 总次数。 上述模型的第一个基本假定为独立性假定： 假定1 ( 独立性假定) 设 鼍；足l j 是恒正的、独立同分布的随机变量序列，记 f ( x ) = e ( x l x ) v x 0 ， 2 = e x i 】= “1 一f ( x ) 协； ( f ) ；f 0 ) 是以五( 旯 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； 五；七1 ) 与 ( r ) ；f 0 ) 相互独立。 盈余过程 u ( ，) ；，0 ) 的一条样本轨道示于图1 1 中 | j 五五 五瓦 图1 1 以下恒记 n ( t ) s ( ，) = 以 v t 0 ， k = l 它表示到时刻，为止发生的理赔总金额。由模型的独立性假定知 目s ( f ) 】_ e i n ( t ) e x , 】= 舡f 为确保保险公司稳定经营，通常要求 订一e 【s ( ，) 】= ( c - 2 a ) t 0 ； f 0 即c 础 为此，需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设c = ( 1 + 秒) 舡 其中秒 0 ，则称p 为相对安全负载。 由p o i s s o n 过程具有齐次独立增量性和模型的独立性假定知， c t - s ( t ) ；t 0 ) 为 齐次独立增量过程，这样，出强大数定律得 l i m u ( f ) = + o o ，口s 不过，这并不排除在某一瞬j 、日j 盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产 。 以下恒记丁为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ；u ( t ) 0 ，i n f # = 0 0 具有正解。 m x ( r ) = l + 三r 彳 ( i - 2 ) 蒜鬻一萝鬻挚若 困卜2 4 往总到 詈p 【- 川x ) k = 1 詈肛，k = 南 ( 1 - 3 ) 因此，非负函数詈【1 一，( x ) 】，石2 0 不是一个概率密度函数，但若令 m ) = p 服昙【l 川x ) 】，坛o 由( 卜3 ) 式知f ( x ) 为一概率密度函数，这便解释了调节系数r 命名的由来。 定理1 1 ( l u n d b e r g - c r a m e r ) 荇假定l ，2 ，3 成立，则有下列结论成立： ( 1 ) 甲( o ) = 南；( 1 - 4 ) ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 q j ( u ) ，) ( 1 8 ) = e i x ( t ) it f 】尸( 丁s t ) + e x ( t ) lt t p ( t ，) 注意到，当t ，时，u ( t ) 0 ，从而 x ( t 、= e 一月u l 这样，在( 卜8 ) 式两端令，专o 。，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理， 即得 p 一砌= e x ( t ) it 】p ( 丁 o o ) + e x ( o o ) it = o o p ( t = o o ) 又因l i m u ( t ) = 佃，口s 故知x ( ) = 0 ，a s 从而有 e 一肌= e x ( t ) i t o o p ( t o o ) 由此知 ，一r u 瞰砂。雨斋盯面 再注意到u ( t ) 1 ，由上式即知 甲( “) p 一，v u 0 从而l u n d b e r g 不等式( 卜5 ) 式得证。 2 ) 更新方程法 设中( “) = 1 - q - ( u ) = 尸( u u ) o ；t 0 i 【，( o ) = 材) 它表示初始盈余为z ，时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率。 首先，根据首次索赔发生的时刻互和首次索赔额x j 的大小，对生存概率运用全 概率公式，可得 6 ( z f ) = e 【( u + c t ，一墨) 】= r a e - , , or ”( “+ c f z ) 卵o ) a t 令x = “+ c t ，上式变为 卿) = ”p r 吣一z 矽( z ) d xf 栩椰 这表明( “) 是可微的。在上式两端对u 求导，可得 ( 炉兰c 卿) 一昙r 卿一z 矽( z )c “ 上式两端从0 到，积分，可得 唧) 叫0 ) - 互c 上嘞胁+ 导上f ，嘞一绷1 州z ) ) 幽 化简整理得 o p ( t ) = ( 。) + 兰c 上( ，一z ) 【l f ( z ) 】出 因l i m o ( u ) = 1 ，则在上式两端令，j 佃，即得 o o 于是有 1 州o ) + 曼cf 【l 川z ) k 叫o ) + 詈 甲( 。) = l 一( o ) = 詈= r b 从而( 1 - 4 ) 式得证。 进而 唧) _ 1 _ 害f 【1 川z ) k + 垒c 唧_ z ) 【1 州z ) 】龙 小尝 1 川z ) 弘一詈f 【1 - 唧叫】【1 川z ) 】出 从而得 甲( ，) = l 一( r ) = 兰cj f o 【l 一，( z ) 】龙+ 兰cf 甲。一z ) 【l 一，( z ) 】出 ( 1 7 ) 7 由于 昙肚心，k = 南 即知( 1 - 7 ) 式为瑕疵更新方程。为此在( 卜7 ) 式两端同乘以e 甩( r 为调节系 数) 并令 ) = 脚( 班郇) = j c o 【l 州z ) k ，化) = 詈p 【1 - 心) 】 即得 彳( f ) = 口( ，) + f 爿( 卜z 矿( z ) d z 从而由关键更新定理即知 l i m e r t = l i m 郇，2 南圯其噼f 叩渺2 志 这表明l ，i 。m 。c w p ( 一t m ) = 1 ，( 卜6 ) 式得证。 注可进一步算得l u n d b e r g c r a m e r 近似式中常数 c = 告，其帆咖p 扭( 垆l = m 如) 一1 办( 尺) 一； “ f e l l e r 引入的更新论证技巧和g e r b e r 引入的鞅证明技巧已成为研究经典破 产论的主要数学工具。在大量的破产理论研究文献中，所使用的方法基本上都 1 3 论文的主要内容和结果 经典的风险模型为描述单一险种的风险经营过程提供了各种数学模型。但 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，考虑到用单一险种的风险模型描述风 险经营过程的局限性，本文建立了双险种的二项风险模型。同时在推广泊松模 型的时候把利率因素引入了该风险模型中。 本文的主要内容为第三章、第四章： 在第三章中，我们介绍了推广了的泊松模型模型：在经典的风险模型中，保 费的收取是连续的且理赔过程是一个复合p o i s s o n 过程。本部分讨论了在离散 情形下将保费的收取随机化，同时将理赔过程推广为一个广义复合p o i s s o n 过 程，并且考虑了带有常利率的情形，从这三个方面对经典的风险模型加以推广， 并用鞅方法得到了破产概率的上界。同时给出了在不考虑利率时的特殊情况下 的破产概率的具体表达式，并给出一个具体实例。 在第四章中，我们将经典的复合二项风险模型推广，将保单收入过程推广 为一个与索赔过程独立的二项过程。这样，盈余过程包含两个二项过程。随着 保险公司业务规模的不断扩大，经营单一险种对于保险公司来说是不符合实际 的，讨论多险种风险模型更能与保险公司实际运作相符合。 9 第二章预备知识 弟一早耿宫划伏 本章主要介绍了本文所用到的一些基础知识。 2 1m a r k o v 过程 设t 是一个有序集 定义2 1 1 ( m a r k o v 过程) 设有概率空间( q ，p ) 上的以( 甲，) 为状态空间的随 机过程孝= f ( ，) ；，t ) ，及f 上的一族子盯一代数 f ；，t ) 使对v s r ， 只cf 设孝对 f ；，t ) 是适应的，这时，我们称( q ，f ，p ，孝， e ) 是一个以 f ) 为参考仃一代数族的马氏过程，如果对v s f t ，b ，都有下式成立： m k 1 ) 尸( 国；孝( ，o j ) b 1 只) = p ( c o ；4 ( t ，缈) 斜f ( s ，) ) ，m k 1 ) 又称为马氏性 特别，当f = 盯( f ( “，) ；z ，t ) ( v t t ) 时，则称善是( q ，f ，尸) 上的马氏过程 命题2 1 2 善是( q ，f ，p ) 上的一个马氏过程，当且仅当对v n l 及 ，l ，2 ，。 ，川t ，都有下式成立： m k 2 ) p ( 善o 。+ 。，c o ) b i 善( f 。，) ，孝( f 。，) ) = p ( 善( f 。，c o ) b i 孝( f 。，) ) 命题2 1 3 下列诸条件等价： 1 ) f 是( q ，f ，尸) 上的一个马氏过程 2 ) 对一切j ，t 及有界实函数f ( 甲，) ，下式成立： m k 3 ) e ( ( 善( ，缈) ) i e ) = e ( 厂( 善( ，缈) 悟( s ，) ) ) ； l o 3 ) 令f 5 = 仃( 孝( “，) ；甜j ) ( 将来的仃一代数) ，对任意有界实函数 足( d ，) = f 5 ，下式成立： m k 4 ) ( g ( 国) l f 5 ) = e ( g ( 甜) 眵( s ，) ) ； 4 ) 对任意有界实函数f 只与g f 5 ( v s t ) ，下式总成立： m k 5 ) e ( ( 缈) g ( 缈) 悟( s ，) ) = e ( ( 缈) 眵( s ，) ) e ( g ( 缈) 眵( s ，) ) 2 2 鞅 定义2 2 1 ( f 一鞅1 7 1 ) 实值过程m = m ( ，) ，o 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的f 0 ，m o ) 为只一可测； ( 2 ) 对于任意的f 0 ，e o m o ) i 】 s 0 ，增量o ) 一g ) 有参数为彳( 1 - - s ) 的p o 括s d ”分布，即 对k = 0 ，1 ，2 ，有： 帆) _ 聃足 ：掣p 叫h ) 这里五0 是常数，称为过程的强度或发生率。 ( 3 ) 具有独立增量 性质2 4 2 齐次p o i s s o n 过程 o l ，o ) 在任意时刻，( f o ) 不可能有跃度超过 1 的跳跃。即对应的点过程没有重点，可用如下数学式表达： 尸( 硌= o 或1 ，对每一，( o ，o 。) ) = 1 或尸( 存在，o ( o ，) ，使得 蠢) 2 ) = o 这里 ，0 ) 表示点过程 ( f l f o ) 在时刻b 发生的点数。 定理2 4 3 下列一组条件是有限值计数过程 ( ，) ，f 0 ) 为齐次p o i s s o n 过程的 充分必要条件： ( 1 ) p ( n ( o ) = 0 ) = 1 ； ( 2 ) 对任意的，0 和h 0 ，当h 专0 时 尸 ( ，+ 厅) 一n ( t ) = 1 ) = c t h + o ( h ) ， ( 2 - 5 ) 和p n ( t + 厅) 一n ( t ) 2 ) = o ( h ) ； ( 2 - 6 ) ( 3 ) 具有独立增量。 2 5 广义齐次p o is s o n 过程 定义2 5 1 ( 齐次p o i s s o n 过程) 有限值计数过程 ( f ) ，0 ) 称为广义齐次p o i s s o n 过程，如果它满足t y , j 条 件： ( 1 ) p ( 0 ) = o ) = l ； ( 2 ) 有平稳增量； ( 3 ) 有独立增量。 下面给出广义齐次p o i s s o n 过程的一个刻划： 定理2 5 2 若 ( ，) ，0 ) 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意s 0 ， ，的概率母函数g ，( s ) 必形如g ，( s ) = e 加6 沪1 这里五。是某一常数， g ( s ) 2 丢万t s 。 是某一正整数值随机变量x f 二三 l a仍 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 三1 的概率母函数。其中a 给出过 p 3 ) 程在任一个点发生时刻有k 个点同时出现的概率。由此可知，广义齐次p o i s s o n 过程是这样的点过程：它的点发生时刻形成一个强度为五的齐次p o i s s o n 过程， 而在各个点发生时刻所发生的点数是有相同分布 威，七1 ) 的独立随机变量。 事实上，我们有广义齐次p o i s s o n 过程的又一刻划： 引理2 5 3对于如上给定的参数为五和a 的广义齐次p o i s s o n 过程 而i ，) ( ，) ，o ) 为一复合p o i s s o n 过程，且( ，) = 置，其中 ( 1 ) z 为n 上的离散随机变量，且p ( x = k ) = 厩； ( 2 ) m ( t ) 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程。 性质2 5 4 在定理2 5 2 的条件下，若e x , = ，则 1 4 e n ( t ) = 枷 ( 2 - 9 ) i j 卜明 e ( f ) = q ( s ) b = 2 t e 饥g 删g ( s ) b = 2 t e x t = 础f 注：在以后的讨论中，不确指某个x ，则用x 表示，x 的拉普拉斯变换 定义为o ( v ) = e e 一订= e 嘶户t 2 6 条件期望 性质2 6 1 ：条件别望的基本性质： e 陋防i g 卫= e 防】； 若x 为g 一可测，贝, j e x l c = x ； x ya sj e 防i g 】e 【y i g 】； e x l c 】= e u xg ； 设x 和x y 期望存在，且y 为g 一可测，则：e x r l c = r e x l g 】 条件期望平滑性：设g l ，g 2 为fi 拘y ：o - 代数，i f l g ic g ：，则： 陋阻l g ：】g 。】- e 防| g l 】 ( 2 1 0 ) 设q ，c ，为实数，x ，y ，c i x + 岛y 的期望存在，则： e k 。x + c 2 yg = q e x l g + c ：e y i g 】 ( 2 - 1 1 ) 第三章离散情形常利率下保费随机收取的复合泊松模型 在经典的风险模型中，保费的收取是连续的且理赔过程是一个复合p o i s s o n 过程。本章讨论了在离散情形下将保费的收取随机化，同时将理赔过程推广为 一个广义复合p o i s s o n 过程，并且考虑了带有常利率的情形，从这三个方面对 经典的风险模型加以推广，并用鞅方法得到了破产概率的上界。 3 1 模型的建立 定义3 1 1 设“0 ，给定概率空间( q ，f ，p ) ，甩= 0 , 1 ，2 ，令 n ( n )m ( ) u ( 玎) = “( 1 + ，) ”+ z x ，( 1 + r ) ”墨一( 匕l + 州- l + l + + k + * - - + w i ) ( 1 + ，) 肛五( 3 一1 ) 其中： ( 1 ) 材表示保险公司的初始资本，常数，表示利率； ( 2 ) ( n ) ；玎= 1 , 2 ，) 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程，表示保费的收取 过程，z 表示第i 次保单到达时收取的保费，它是独立同分布的，其分布函数为： c ( x ) ，矩母函数为：m ( r ) = e e 脯】，f l _ e x ，】= 仃； ( 3 ) m ( 胛) ；门= 1 , 2 ， 是强度为的广义齐次p o i s s o n 过程，其中：它的 点发生时刻形成强度为的齐次p o i s s o n 过程 聊( n ) ； = 1 , 2 ，) ，而在各个点发 生时刻发生的点数是具有相同分布 e ，门= 1 , 2 ，) 的独立随机变量毗，即： m ( n ) 尸 = 刀) = 只( 玎= 1 ，2 ，) ，显然有：m ( 疗) 2 w 。，r 表示第i 次的索赔额， i _ l 它是独立同分布的，其分布函数为：只( x ) ，矩母函数为：m ，( ，) = e e 】，且 研r 】= c r y ； (4) x ，i = 1 , 2 ，) ， r ，i = 1 , 2 ，) ， ( 门) ，胛= 0 , 1 ，2 ，) ， m ( 门) ， = 0 , 1 ，2 ，) 是相互独立的。称过程 u ( 力) ， = 0 , 1 ，2 ，) 为离散情形常利率 1 6 下伊赞随机收取的广义复合p o i s s o n 模型，令理赔过程 m ( ”) s ( 门) 2 ( + 坼i + l + - + 匕i + - - - + w , ) ( 1 + ，) ” ，；l 令 s 。) ( 刀= 0 , 1 ，2 ，) 表示保费收取的时间， 瓦) ( 疗= 0 , 1 ，2 ，) 表示索赔发生的时 刻，其中瓦= 0 ； z 。) ( 拧= o ，1 ，2 ，) 表示索赔发生的时间间隔，则有瓦2 z 。 k = l 破产w f 麴jr 2 i n f t ：u o ) ，破产概率表示为：甲 ) 2 尸( f ) 2 p u ( u o ) ) ，由 f 卸 于破产只可能发生在索赔发生的时刻，所以：甲( z f ) 2 尸 u ( u ( 瓦) ) 形 玩 +卜 彬 帅一 = 圩s ： e e e 蹦】”只2 m r ( s ) p , 由于l 。的矩母函数与k 无关，所以l 。为同分布的。 - f n i i f _ nl 。为相互独立的。 因为：v n l ，a cr ，k ，1 , 2 ，3 ，( 江1 , 2 ，3 ，刀) ， 尸( ( l a l ，= k 1 ) ( 2 a 2 ，w 2 = k 2 ) ( 三，a ，彬= k ，) ) = 尸( ( k + 匕+ + k ，a i , 彬= k 1 ) ( k 。+ l + 圪。+ 2 + + 乓。+ k ：a 2 ，= k 2 ) ( 坎。+ + k 。一。+ l + + k 。+ + 石a 。，= k 。” = 尸( ( k + k + + k a i ，r v , = k i ) p ( y k 。+ l + k 。+ 2 + + k ，+ k ：a 2 ，r v 2 = k 2 ) 尸( 圪i + + 以一。+ l + + k l + + k a 。，既= k 。) 然后对所有的k 。1 ，( f = 1 , 2 ，3 ，疗) 相加得： p ( ( 上l a 1 ) ( 2 a 2 ) ( 三。a 。) ) = p ( l l a 1 ) p ( 2 a 2 ) p ( l 。a 。) 所以厶是相互独立的。 综合以上两点定理得证。 这样l 。的分布函数就为：t 。( x ) 2 研尸【_ + k + + 0 ， e x p 一r y ( 瓦) ，行0 】) 不是鞅。 引理3 3 1 ( l u n d b e r g 不等式) 如果e l l 】 0 ，因此办( ，) 在( o ，+ o 。) 上单调递增。 如下图所示： ji h i ( 厂) 木 尸。 jl ：7 1 ，l r 7 办( 0 )