（应用数学专业论文）具退化性的同宿轨分岔与异宿轨分岔.pdf

第i 页 具退化性的同宿轨分岔与异宿轨分岔 应用数学专业 研究生朱长荣指导教师张伟年 人们研究同宿轨分岔的问题已有很久的历史前人从几何的观点出发，利 用p o i n c a r 6 映射去构造m e l n i k o v 函数，函数的零点就对应着同宿轨的保持人 们也常称该方法为m e l n i k o v 方法后来，人们利用该方法去研究高维系统的退 化同( 异) 宿轨分岔时就显出许多局限性8 0 年代初期，由s n c h o w 、j k h a l e 、p j h o l m e s 、j m a l l e t p a r r e t j e m a r s d e n 和k j p a l m e r 等先后 发展起来的、用泛函分析的观点来处理这类问题他们的方法是利用f r e d h o l m 更替原理来得到m e l n i k o v 型函数1 9 8 6 年，c m b l a z q u e z 用l y a p u n o v - s c h m i d t 约化的方法考虑了一类抛物型方程的同宿轨的分岔问题在文章中，他 没有考虑同宿轨是退化的情形，而且对扰动系统的周期映射也没有给出讨论 在本文第二章中，我们将研究一类抛物型方程的退化同宿轨在周期扰动下得到 保持的条件我们不仅把c m b l a z q u e z 的结果推广到退化同宿轨，还得到 扰动系统出现混沌的一个判据利用f r e d h o l m 更替原理，我们得到一个非线 性代数方程组方程组的零点就对应着扰动系统同宿轨得到保持和出现混沌。 关于退化偏微分方程的退化同( 异) 宿轨的保持性的研究，是十分重要而且 困难的问题前人研究了一类退化偏微分方程，s o b o l e v - g a l p e r n 方程，的解的 存在性、唯性和光滑性，但没有考虑这类方程的有界解的分岔在本文第三章 中我们就研究这个退化偏微分方程有界解的保持性我们采用两次投影，先将 齐次方程的退化部分投影掉、研究非退化部分产生的强解的存在性和唯一性， 由强解定义出解算子，即发展算子；接着，将齐次方程的非退化部分的有界解 和无界解投影开、研究发展算子的指数二分性利用指数二分性，研究非齐次 方程的f r e d h o l m 更替性定理在最后我们将研究退化非线性s o b o l e v - g a l p e r n 方程的退化同( 异) 宿轨的分岔问题，给出有界解得到保持的一个判据 第i i 页四川大学博士学位论文 在考虑有界解的分岔问题时前人解决了这样一个问题：在同宿轨是退化的 情况下给出扰动系统的0 1 分岔，即扰动系统要么不存在要么存在有界解但 不清楚带退化同宿轨的系统到底能扰动出多少个线性独立的同宿轨在本文第 四章中，我们给出了扰动系统出现多个同宿轨的一个判据实际上，如果未绕系 统沿同宿轨的线性变分方程的有界解个数为d ，我们证明了在无穷维空间中存 在d 个余维为蒯的通过零点的分岔流形f k ，k = 1 ，d ，r 1 r 2 f d ， 使得当扰动函数任意取自于零点附近的集合n ( r + 1u ur d ) 时，扰动系 统一定会出现k 个线性无关的同宿轨我们的结果推广了扰动系统出现o 1 分 岔的结果，解决了扰动系统多个线性无关有界解并存的问题 近年来，关于从同宿轨分岔出次调和解的问题引起很多学者的兴趣在同 宿轨是非退化的情况下，他们研究了偏微分方程、时滞微分方程的次调和分岔 也有学者研究了常微分方程的退化同宿轨分岔出次调和解的问题但他们的方 法不能用去研究耦合方程的次调和分岔本文第五章中，我们将研究弱耦合方 程组在退化同宿轨附近如何分岔出周期解我们的方法是；先将方程组分成快 和慢系统，将慢系统的解用快系统的解表示出来，实现了方程的解耦；再考虑 带退化同宿轨的快系统我们得到了当耦合系统的同宿轨破裂时，在适当条件 下能分岔出次调和解的判别条件，从而解决了耦合方程的次调和分岔问题 中心构型的分岔问题是十分重要的，该问题与中心构型的个数有关前人 发现了金字塔形的中心构型。也发现了由两个正多边形套的中心构型的分岔， 但由他们的结果不清楚金字塔形的中心构型是否会发生分岔本文第六章将研 究这个问题我们把中心构型的存在性问题转化为研究向量场平衡点的问题， 证明了当n 4 7 2 时，存在一对非平面中心构型；但当n 4 7 3 时，非平面 的金字塔形的中心构型不存在这个结果与r m o e c k e l 和c s i m o 在1 9 9 5 年 发现的结果很不一样因为他们文章的结果表明，对n 4 7 3 时，两层套的 空间中心构型能从平面分岔而来 关键词：同( 异) 宿轨，分岔，m e l n i k o v 方法，l y a p u n o v - s c h m i d t 约化 指数二分性 第i i i 页 b i f u r c a t i o n so fh o m o e l i n i ea n dh e t e r o c l i n i cs o l u t i o n s w i t hd e g e n e r a c y g r a d u a t es t u d e n t ：z h uc h a n g r o n g s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n t h es t u d yo fb i f u r c a t i o n so fh o m o c l i n i c ( h e t e r o c l i n i c ) o r b i t sa r i s em u c hi n - t e r e s t i n gi nh i s t o r y ，o n et r a n s f e r e dt h ep r o b l e mt oc o n s i d e rt h em e l n i c o vf u n c t i o ns i n c et h ez o r e so fi tc o r r e s p e n d e dt ot h ep e r s i t e n c eo fh o m o c l i n i c ( h e t e r o c h n i c ) o r b i t e a r l y , m e l n i k o vf u n c t i o n sw a sc o 璐t m c t e df r o mg e o m e t r i cv i e w p o i n t b u t i t i sd i f f i c u l tt og e n e r a l i z et oh i g h e rd i m e n s i o ns y s t e m s ，i n8 0 s ，s n c h o w ， j k h a l e ，p l h o l m e s ，j m a l l e t p a r r e t ，j e m a r s d e na n dk l p a l m e r u s e da l t e r n a t i v ep r i n c i p l et oo b t a i nt h em e l n i c o v t y p ef u n c t i o n t h em e t h o d i s8 0g o o dt h a tt h e r ei sn or e s t r i c t i o ni nt h ed i m e n s i o n t h ep e r t u r b a t i o n s o fp a r a b o l i ce q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e di nc h a p t e r2 i 1 9 8 6 c m b l a z q u e z d i s c u s s e db i f u r c a t i o n sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n s b u th ed i dn o tc o n s i d e rt h ed e - g e n e r a t ec a s e sa n dg i v ef u r t h e rd i s c u s s i o nf o rt h ep o i n c a r em a p w ei n v e s t i g a t e t h eb i f u r c a t i o n so fd e g e n e r a t eh o m o c l i n i co r b i tf o rp a r a b o l i ce q u a t i o nu n d e rp c - r i o d i cp e r t u r b a t i o n s w en o to n l ye x t e n dt h er e s u l to fc m b l a z q u e zb u ta l s o c o n s i d e rt h ec h a n t i cm o t i o n sf o rt h ep e r i o d i cm a p m a n ya u t h o r sh a ds t u d i e dt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds m o o t h n e s sf o r d e g e n e r a t es o b l e v g a l p e r ne q u a t i o n s b u tt h e yd i dn o tc o n s i d e rb i f u r c a t i o n s o fb o u n d e ds o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ep e r s i s t e n c eo fb o u n d e d s o l u t i o n sf o rt h ed e g e n e r a t es o b l e v - g a l p e r ne q u a t i o n s t w op r o j e c t i o n si su s e d t h ef i r s to n es e p e r a t e st h ee q u a t i o ni n t od e g e n e r a t ea n dn o n d e g e n e r a t ep a r t t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es t r o n gs o l u t i o nf o rt h en o n - d e g e n e r a t ep a r t a s ee s t a b l i s h e d f r o mi tw ed e f i n et h es o l u t i o no p e r a t o r ，t h ee v o l u t i o no p e r a t o r a n o t h e ro n ei st oo b t a i ne x p o n e n t i a ld i c h o t o m ya n df r e d h o l ma l t e r n a t i v ef o r t h ee v o l u t i o no p e r a t o r f r o ml y a p u o n v - s c h m i d tr e d u c t i o nf o rt h ed e g e n e r a t e e q u a t i o n s w eg i v eac r i t e r i o nf o rt h ep e r s i s t e n c eo fb o u n d e ds o l u t i o n 第i v 页l 蛋j l l 大学博士学位论文 m a n yw o r k sd e a l e d w i t ht h ee x i s t e n c eo fb o u n d e ds o l u t i o nf o rt h ep e r t u r b e ds y s t e m i ti sn a t u r a lt oa s kh o wm a n yb o u n d e ds o l u t i o n sc a 3 b eb i f u r c a t e df r o mt h ed e g e n e r a t eo n e i nc h a p t e r4 ，w eg i v eo n eo fc r i t e r i o n st o e n s u r et h ec o - e x i s t e n c eo fl i n e a r l yi n d e p e n d e n th o m o c l i n i co r b i t sb i f u r c a t e d f r o md e g e n e r a t eo n e s l e tdd e n o t et h en u m b e ro ft h eb o u n d e ds o l u t i o n sf o r t h ev a r i a t i o ne q u a t i o na l o n gt h ed e g e n e r a t eh o m o c l i n i co r b i t t h e nt h e r ea r e n e i g h b o r h o o d ，t ，c o n t a i n i n g0 ，a n ddm a n i f o l d sn ，w h i c ht h r o u g ho r i g i nw i t h c o - d i m e n s i o nk d ，= 1 ，d ，s u c ht h a tw h e np e r t u r b a t i o ni st a k e nf r o ms u b s e t t n ( g ( r k + 1 u u r d ) ) ，t h ep e r t u r b e ds y s t e mh a skl i n e a r l yi n d e p e n d e n th o - m o c l i n i cs o l u t i o n s t h i sr e s u l ta n s w e r st h ec o - e x i s t e m c eo fb o u n d e ds o l u t i o n s r e c e n t l y ，m a n yr e s e a r c h e r sd i s c u s s e dt h es u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o n sf o rh a m i l - t o n i a na n ds i n g u l a rs y s t e m t h ew e a k l yc o u p l e ds y s t e mi sc o n s i d e r e di nc h a p - t e r5 w ei n v e s t i g a t es u b h a r m o n i cs o l u t i o n sw i t hl a r g ep e r i o db i f u r c a t e df r o m b o l w - u p e dh o m o c l i n i co r b i t f r o mf r e d h o l ma l t e r n a t i v e s ，w eo b t a i na c r i t e r i o n f o rt h ea p p e a r e n c eo fas u b h a r m o n i cs o l u t i o nf o rt h ep e r t u r b e ds y s t e m i ti si m p o r t a n tt of i n dc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n si nc e l e s t i a lm e c h a n i c s t h e p y r a m i d a lc e n t r a lc o n f i g u r a t i o ni sf o u n d i ti s n o tc l e a ri ft h es p a c i a lc e n t r a l c o n f i g u r a t i o nc a z lb eb i f u r c a t e df r o mp l a n a ro n e s i nt h el a s tc h a p t e r ，w ef i n da l l o ft h ep l a n a ra n ds p a t i a lc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n so fp y r a m i d a n dw eo b t a i na n i n t e r e s t i n gp h e n o m e n o n t h ew o r ko fr m o e c k e la n dc ，s i m oi m p l e st h a t ，f o r n 4 7 3 ，t h es p a t i a lc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n sc a nb eb i f u r c a t e df r o mp l a n a ro n e s ， i e ，t h en o n - p l a n a rc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n sc a l lb ea l m o s tp l a n a ro n e s t h i si si n c o n t r a s tt ot h ef a c t st h a tt h e r ei sn on o n p l a n a rp y r a m i d a lc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n s f o rn 4 7 3 ，a n da n ys p a t i a lp y r a m i d a lc e n t r a lc o n f i g u r a t i o n sa r ef a rf r o m p l a n a ro n e s - k e yw o r d s ：h o m o c l i n i c ( h e t e r o c l i n i c ) o r b i t s ，b i f u r c a t i o n s ，m e l n i k o v m e t h o d ，l y a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n ，e x p o n e n t i a ld i c h o t o m y 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归四川大学所有，特此声明 哥吁勘： 弘魏：朱粝荦 如7 碍 致谢 衷心感谢我的博士导师张伟年教授多年来张老师倾注大量心血，不遗余 力地培养、指导和帮助我张老师广博的知识，循序善诱的讲解，对动力系统 敏锐的洞察力，无时无刻不在影响，启迪和激励我，使我努力做得更好我尤 其应该向张老师学习的是他勇于挑战困难的精神有时为了一个具体问题，他 会用上几十天，甚至几个月，努力而为之，锲而不舍之张老师以身作则，不 仅影响着我的治学态度，也使我们能以一种积极而友善的态度去对待所有人、 所有事借这个机会，我还要感谢师母和张老师全家有时我们为一些具体问 题讨论至深夜，他们都无怨无悔地支持着张老师的工作，这使得张老师能将所 有精力投入到培养我们学子身上 衷心感谢张世清教授的指点张老师是我的硕士导师，指导我学习和研究 天体力学中的中心构型张老师一直关一t ；- 着我的成长，他的帮助和建议让我受 益匪浅为了开阔我的视野，张老师多次资助我外出学习和研究正是由于张 老师在这些活动中无私的关心和帮助，才使我走进数学的大门不仅如此，在 生活上，张老师也时时关心我，使我能度过一个个难关我也衷心感谢李安民 教授他给我们讲授了现代微分几何，这是我一直想学而又没学懂的- - f - j 课 昕了他的课，让我大受裨益我还要感谢四川大学数学学院的所有老师他们 不知疲倦地努力工作，一切为培养学生出发，为我们莘莘学子创造了良好的学 习和科研环境，这些环境是我能顺利完成学业的必不可少的条件 我还要感谢所有的师兄师弟，师姐师妹们我们愉快的合作和共同的进步， 尤其是在树有良好风气的讨论班上的一个个精彩发言，使我难以忘怀 我要衷心地感谢我的家人，包括爸爸、妈妈、岳父母、妻子和女儿他们一 直都是默默无闻地、无怨无悔地支持和关心我的学习和科研工作尤其是岳父 母和妻子，他们几乎包揽了所有家务，以这种特有的方式全力支持我的学习和 工作还有快到两岁的女儿，在我疲惫不堪的时候，她会倒在我怀中，甜甜地 微笑着叫我一声爸爸，这是我能加倍努力地高质量地完成本论文的重要动力 最后，让我再一次发自肺腑地感谢所有关心和帮助过我的老师，同学和朋 友，所有这些关心和帮助都是完成本论文必不可少的条件 第一章绪论 几百年来，对动力系统的研究一直受到数学家、物理学家、控制论专家等 的关注在这类问题中，天体力学起着十分重要的作用牛顿在考察行星的运动 规律时，发展出了万有引力定律并同时创立了微积分从微分方程角度来看， 可以说人们对动力系统的研究就开始了十九世纪以前，分析在研究动力系统 时占据着统治地位十九世纪末二十世纪初，p o i n c a r 6 和l y a p u n o v 创造性地 将分析的和几何的方法结合起来，去研究微分方程的定性性质，即微分方程的 定性理论后来人f f j 也称之为微分方程的几何理论该理论本身包含了微分方 程的特解( 平衡解、周期解，同( 异) 宿轨等) 或解族( 不变流形等) 的存在性， 这些解在系统发生微小改变时的稳定性或不稳定性；也包含了一些全局性的问 题，如整体吸引子的存在性、系统的结构稳定性等等内容常常一个从应用中 得到的、有意义的微分方程，包含了很多个控制参数这些参数容许在一定的 参数集中变动一个很自然的问题是；当参数变化时微分方程的定性性质会发 生改变吗? 有时，参数的改变将意味着系统的动力行为发生根本性的改变，这 种行为就是人们常说的系统发生了分岔使系统的动力行为发生改变的参数值 称为分岔值分岔是非线性动力学中非常普遍的现象如描述电子回路中电流 的v a nd e rp o l 方程。当参数在一定的范围中变动时，其p o i n c a r 6 映射会产生 “马蹄”；从生态学中提取出的人口增长模型会发生倍周期分岔我们还可以 举出许多有着重要实际意义的方程，它们都会有分岔现象人们常常研究的分 岔有局部分岔和非局部分岔比较常见的局部分岔有鞍结分岔、跨临界分岔、 音叉分岔、h o p f 分岔和多重奇点分岔；非局部分岔主要是同宿轨分岔和异宿 轨分岔本文将要研究非局部分岔 为了叙述的方便，我们约定全文用下面的记号用x ，y 表示b a n a c h 空 间，r “表示维欧式空间q ，“，y ，等表示b a n a c h 空间的开子集，b ，( r ) 表示以零为中心r 为半径的开球d ；h 表示h 的关于第i 个变量的一阶偏导 数，色， 表示h 的关于第i 和j 个变量的二阶偏导数，相似的记号也可以相 1 第2 页 四川大学博士学位论文 似地被定义，d h 表示h 的第阶导数记jcr ， c ( q ，y ) = ，：q r i d 2 f 是连续的，f = 0 ，1 ， 四( z y ) = 咖c 2 ( z y ) is u p i d 2 i e 4 0 ，投影算子尸( t ) ，q ( t ) = ，一p ( ) ，t j ，使得 ( a ) t ( t ，s ) 尸( s ) = p ( t ) t ( t ，s ) ，其中t s ； ( b ) 限制t ( t ，s ) j 冗( o ( 。) ) ，t2s ，是冗 ( s ) ) 到冗( q ( t ) ) 上的同构，并且令丁( s ，t ) 是t ( t ，s ) 的逆映射； ( c ) i t ( t ，s ) p 0 ) i b e 一口( t 一“，t s ， 1 t ( t ，5 ) ( f p ( s ) ) 1 b e 一口扫一”，s t 我们这里简要描述一下无穷维空间上的指数二分性的简单性质( 参见【3 4 】) ， 对于有穷维空间上的指数二分性，请参见【1 4 】算子a 被称为扇形算子，如 果a 是闭、稠算子。且存在实数a 和毋( o ，吾) ，使得集合s a ，：= a i i a r g ( a 一训”，a 在a 的预解集p ( a ) 中对于算子a ，存在实数n 1 使 得r e c r ( a 1 ) 0 ，其中a 1 = a + a l l ，由此我们可以定义a 1 的分数次幂钟， o 0 ，1 】定义如下；令x 。= d ( 钟) ，在空间x 。上定义图模h 。= i a 弘l ，其 中z x n ，则x 。是一个b a n a c h 空间假定b ( t ) 关于t 是h s l d e r 连续的，则 方程未+ a x = b ( t ) z 有唯一解z = 4 t ，下，x o ) 满足z ( 7 - ，f ，：t o ) = x o ，x o x 。 令t ( t ，下) 是由t ( t ，下) z o = z ( t ，7 ，z o ) 定义的解算子，我们就有下面的定理： 定理1 3 1 假定a 是扇形算子，a ( t ) 一a 是有界的且局部h s l d e r 连续的， 如果方程一，3 j j 在r 上存在具有指数p 0 的指数二分则对5 - 1 生何局部 有界h s l d e r 连续的，：r x ，方程一a ( ) z = l ( t ) 在r 上存在唯一有 界解 第8 页 四川大学博士学位论文 1 4 本文主要结果 考虑一个系统的有界解在小扰动下的保持性是微分方程定性理论十分重要 的研究课题之一对此，人们先后发展出了很多方法来研究，如m e l n i k o v 方 法、f r e d h o l m 更替原理等等特别是在高维系统中，用m e l n i k o v 方法对它 的研究要比低维系统更困难，人们往往用f e d h o l m 更替原理更为方便 1 9 8 0 年，s n c h o w 、j k h a l e 和j m a l l e t p a r r e t 首次引入f r e d h o l m 更替原 理来研究平面d u f f i n g 方程的同宿轨的分岔条件1 9 8 4 年，k j p a l m e r 将 l h e d h o l m 更替原理应用到高维非h a m i l t o n 系统的同宿轨在扰动下的保持性， 他的结果甚至对于非周期的非自治扰动都成立9 0 年代，j g r u e n d l e r 先后 在r 。中研究了双曲不动点的稳定流形和不稳定流形的交是高维的情形与 此同时，很多研究者【8 ，9 ，3 1 ，4 9 ，7 8 ，8 0 】等也在无穷维空间中考虑有界解的分 岔问题1 9 8 6 年，c m b l a z q u e z 9 】在无穷维空间中考虑了抛物型方程的同 宿轨的分岔问题，在同一篇文章中，他得到了s h a d o w i n g 引理可是他的结果 对退化同宿轨的分岔并不适用。而且也没有对扰动系统的周期映射给出更进一 步的讨论1 9 9 5 年，w z h a n g 7 8 】考虑了抛物型方程的f r e d h o l m 更替性定 理和指数二分性接着他们的工作，在第二章中我们利用f r e d h o l m 更替原理 去研究下面的抛物型方程的扰动问题： 圣+ a x = ，( z ) + e g ( z ，t ，e ) 其中g ( z ，t + t ，) = 9 ( z ，t ，e ) ，a 是扇形算子在研究方程的退化同宿轨的保持 性时，根据l y a p u n o v - s c h m i d t 约化，我们实际上得到一个分岔函数一m e l n i k o v 型函数分岔函数的零点就对应着扰动系统同宿轨得到保持这个分岔函数其 实是一个非线性代数方程组不仅如此，我们还给出了这个非线性代数方程组 可解性的一个判别条件很有意思的是：当e 0 时，这个可解性条件也是扰 动系统出现混沌的条件 第三章，我们主要研究下面的方程： ， 杀( ，( ) ) + l ( t ) u ( t ) = ，( u ( f ) ) + e 夕( ) ，t ，) 1 4 本文主要结果第9 页 这个方程有一个特点；当算子m 退化时就是退化偏微分方程在研究