（计算数学专业论文）基于小波的积分微分方程的数值解.pdf

摘要 小波分析是一门新兴理论，由于它具有时频局部化特点和多尺度特性，所 以被广泛地应用于各种领域。小波分析是f o u r e r i 分析的发展和完善小波分析 的发展是以解决实际问题应用为出发点，而后上升到辐射多学科的理论，所以 小波分析一次又一次形成研究热潮，成为国际研究热点小波变换克服了传 统f o u r i e r 变换的不足，在时域和频域都具有良好的局部化特性，小波在数值分 析、信号处理、图像处理等领域有重要的应用价值。由于对高频成分采用逐渐 精细的时域或频域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。从这个意义上 讲，它被誉为数学显微镜，可以预料在以后将成为科技工作者经常使用的重要 的数学工具。 小波分析是二十世纪九十年代出现的一门新的数学方法，是数学的重要分 支，是继f o u r i e r 分析之后的一个突破性进展，是目前应用数学中一个迅速发展 的研究领域，它具有丰富的数学理论，应用十分广泛，是工程应用中强有力的方 法和工具，给许多相关领域带来了崭新的思想，并使其被越来越多数学研究工作 者所关注。由于小波兼有光滑性和局部紧支撑性质，与传统的有限元、有限差 分方法比较，能更好的处理积分和微分方程的数值求解问题。尺度函数与小波 的构造对小波分析理论和应用的研究都具有重要的意义本文详细阐述了小波 理论的基本知识，首先详细介绍多分辨率分析的基本性质，并通过分析和讨论 得到多分辨率分析本质的特征，给出了多分辨率分析的简洁定义。 微分方程，积分方程及积分一微分方程出现在自然科学领域当中并且占有 重要的地位如何解积分( 微分) 方程( 这是问题的关键对于具体的积分( 微分) 方 程( 组) ，除非极为特殊的情形，很难求出它的精确解，因此数值解或近似解受到 了众多研究者的极大关注本文我们研究了小波分析在积分和微分方程中的应 用。 全文共分四章： 第一章介绍了小波分析的基础理论包括小波和小波变换的定义、性质，一 维、二维多尺度分析和小波基，还有小波的一些应用。最后简单介绍了一下积 分和微分方程的发展及研究现状。 摘要m 第二章提出了第一类f r e d h o l m 积分方程的的改进算法一一线性l e g e n d r e 多 小波一g a l e r k i n 方法，用正交小波基把积分方程离散化为线性方程组，再对线性 方程组迭代求解。由于小波的正交性稀疏了系数矩阵，使得本文提出的改进方 法计算量更少，而解的精度几乎不受影响。并且，我们给出了二个数值计算例 子，给出的二个数值例子的计算结果表明了我们利用的小波基是稳定的而且也 说明了采用的多小波一g a l e r k i n 方法可以通过较少的运算得到较精确的计算结 果。 第三章研究了线性f r e d h o l m 积分微分方程的数值解问题，在这章里，我们 推导出了c a s d 、波的积分矩阵算子p ，并给出了p 的一般形式，通过c a s t j 波的 正交性和积分矩阵算子p 把p r e d h o l m 积分微分方程转化为一个线性代数方程问 题，最后通过数值算例的计算结果表明，我们利用的小波基是稳定的，并且得到 较精确的计算结果。 第四章我们用变分迭代法求解了n 阶积分微分方程的数值解问题，通过 变换把这个问题转化为常微分积分方程组问题，再利用我们推导的变分迭代 公式有效的求解了这个问题，最后通过数值算例的计算结果表明，并与其他方 法h p m ( h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ) 相比，我们所采用的方法更简单更有 效，在计算时间上更迅速。 关键词：小波，多小波，正交性，第一类f r e d h o l m 方程，积分一微分方程，变分迭 代法，n 阶积分微分方程 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i s ，a so n eo ft h em o s te x c i t i n gt o p i c st oe m e r g ef r o mm a t h - e m a t i c a lr e s e a r c h ，h a saw i d er a n g eo fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n sd u et oi t st i m e - f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o na n dm u l t i - s c a l ea n a l y s i sp r o p e r t y w a v e l e ta n a l y s i si st h e d e v e l o p m e n ta n dp e r f e c t i o no ft h ef o u r i e ra n a l y s i s s i n c et h ed e v e l o p m e n to ft h e w a v e l e ta n a l y s i si st h eb a s i st os o l v es o m ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，a n dt h e n ，i td e - v e l o p si n t oa r a d i o a c t i v em u l t i - - d i s c i p l i n e dt h e o r y , n o wi th a sb e c o m eah o tf i e l d i nt h er e s e a r c hi n t e r n a t i o n a l l y w a v e l e tt r a n s f o r m sc o m p l e m e n tt h es h o r t c o m i n g s o ff o u r i e r - b a s e dt e c h n i q u e sb e c a u s eo ft l l e i rf l e x i b l et i m e - f r e q u e n c yw i n d o w s w a v e l e t sa r ew i d e l ya p p l i e di nn u m e r i c a la n a l y s i s ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ep r o - c e s s i n ga n ds oo n b e c a u s eo ft h eh i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n tg r a d u a l l yr e f i n e d u s i n gt i m ed o m a i no rf r e q u e n c yd o m a i ns a m p l i n gs t e p ，w h i c hc a nb ef o c u s e do n t a r g e ta n yd e t a i l s i nt h i ss e n s e ，i tp r a i s e da sm a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p e ，i tc a n b ep r e d i c t e di nt h ef u t u r ew i l lb e c o m eas c i e n c ea n dt e c h n o l o g yw o r ko f t e nu s e a ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lt 0 0 1 w a v e l e t sa r ean e wm a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e a r i s i n gi n1 9 8 0 s t h ew a v e l e t a n a l y s i st h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c sa n d i sar e s e a r c h f i e l dd e v e l o p i n gr a p i d l yi na p p l i e dm a t h e m a t i c sp r e s e n t l y i th a sa b u n d a n tm a t h - e m a t i c a lt h e o r i e sa n dc o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o n ，a n di sa p o w e r f u lm e t h o da n d t o o li ne n g i n e e r i n g - i tb r i n g sn e wi d e a st om a n yf i e l d s i th a sd r a w nm o r ea n dm o r e m a t h e m a t i c a lr e s e a r c h e r s a t t e n t i o n s b e c a u s et h ew a v e l e t sh a v et h es m o o t ha n d l o c a lc o m p a c tp r o p e r t y , c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n df i _ n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，i ti sam o r eu s e f u lm e t h o df o rs o l v i n gi n t e g r a la n dd i f f e r e n - t i a le q u a t i o n s t h ec o n s t r u c t i o no fs c a l i n gf u n c t i o na n dw a v e l e ti sv e r yi m p o r t a n t t ot h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i s t h i sp a p e rd e s c r i b e si nd e t a i l t h eb a s i st h e o r yo fw a v e l e t f i r s t l y , t h ep a p e rs u m m a r i z e st h ec h a r a c t e r i s t i c so f m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ( m r a ) a n de l i c i t st h ee s s e n t i a lc h a r a c t e r i s t i c so fm r a ， a n dt h e nw eg i v et h es i m p l e s td e f i n i t i o no fm r a a sw e l l - k n o w n ，i n t e g r a l ( d i f f e r e n t i a l ) e q u a t i o n ( s ) a r i s ei nv a r i e t yf i e l d so fs c i - a b s t r a c t v e n c ea n de n g i n e e r i n gt e c h n i q u ea n dp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h e s ef i e l d s m e t h o d s o fs o l v i n gt h e s ee q u a t i o n st h u sb e c o m eak e yf a c t o ri ns u c hf i e l d s f o rs u c he q u a - t i o n s ，e x c e p ts o m es p e c i a lc a s e s ，e x a c ts o l u t i o n sa r ed i 伍c u l tt od e r i v e db ya n d , - l y t i c a lm e h t o d s a sar e s u l t ，n u m e r i c a lm e t h o d so ra p p r o x i m a t em e t h o d sr e m a i n o fm u c hi n t e r e s t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i st o i n t e g r a la n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ： t h ec h a p t e r1p r e s e n t st h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e t sa n a l y s i sw h i c hi n c l u d e s t h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fw a v e l e t sa n dw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，t h ed e f i n i - t i o no ft h em u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dw a v e l e tb a s i s f i n a l l yw ei n t r o d u c et h e d e v e l o p m e n to fi n t e g r a la n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dr e s e a r c hs t a t u s a ni m p r o v e dn u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h ew a v e l e tm a t r i xt r a n s f o r m m e t h o di si n t r o d u c e da n da n a l y z e df o rt h ef r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n so ft h e f i r s tk i n di nc h a p t e r2 t h em e t h o dc o m b i n e st h em u l t i - w a v e l e tb a s i st od i s - c r e t i z et h ei n t e g r a le q u a t i o nw i t ht h eg a l e r k i nm e t h o d ，f o l l o w i n gb ya ni t e r a t i v e m e t h o df o rs o l v i n gt h er e s u l t i n gd e n s ea n dn o n s y m m e t r i cl i n e a rs y s t e m t h ec o m - p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi sf o u n dt ob er e d u c e dw i t h o u ts a c r i f i c i n gm u c ha c c u r a c y o ft h es o l u t i o n f i n a l l y ，t w oi l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r ei n c l u d e dt od e m o n s t r a t e t h a to u rw a v e l e t sp r o v i d ei ss t a b l e a n di ti ss h o w nt h a to u ra l g o r i t h my i e l d sv e r y a c c u r a t er e s u l t sb yl e s sc o m p u t a t i o n a lc o s t c h a p t e r3i n t r o d u c e st h ec a sw a v e l e t sa n dt h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i sa p p r o x i m a t e db yt h ec a sw a v e l e t s t h ec a sw a v e l e to p e r a t i o n a lm a t r i xp o fi n t e g r a t i o ni sf i r s tp r e s e n t e da n da g e n e r a lp r o c e d u r et og e n e r a t et h i sm a t r i x pi sg i v e n w i t ht h eo r t h n o r m a la n dt h eo p e r a t i o n a lm a t r i xo fi n t e g r a t i o np o ft h ec a sw a v e l e t s ，t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sr e d u c e dt oas y s t e m o fl i n e a re q u a t i o n sw h i c hc a nb es o l v e dw i t hn e w t o ni t e r a t i v em e t h o d f i n a l l y , t h r e ei l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r ei n c l u d e dt od e m o n s t r a t et h a to u rw a v e l e t sp r o v i d e i ss t a b l e a n di t i ss h o w nt h a to u ra l g o r i t h my i e l d sv e r ya c c u r a t er e s u l t sb yl e s s c o m p u t a t i o n a lc o s t i nc h a p t e r4 ，w es o l v en t h - o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yc h a n g i n g t h ep r o b l e mt oas y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n du s i n gt h ev a r i a - a b s t r a c t t i o n a li t e r a t i o nm e t h o dw h i c hw ed e r i v e s o m ee x a m p l e sa r eg i v e na n dt h er e s u l t s r e v e a lt h a tt h em e t h o di sv e r ye f f e c t i v ea n ds i m p l ec o m p a r e dw i t ht h eh o m o t o p y p e r t u r b a t i o nm e t h o d k e y w o r d s ：w a v e l e t ，m u l t i w a v e l e t ，o r t h o n o r m a l ， f i s tk i n d ，i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，v a r i a t i o n a l i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n f r e d h o l me q u a t i o no ft h e i t e r a t i o nm e t h o d ，n t h - o r d e r 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：鲰l 议签字嗍垛钿方日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名、揣虱 导师签名： 致谢 本文是在我的导师韩丹夫教授的精心指导和严格要求下完成的入学五年来， 韩老师严谨的一丝不苟的治学态度和学术上的敏锐洞察力对我产生了深刻的影响， 我正是在韩老师的谆谆教导下，不但在学业方面有了相当的提高，而且在科研能 力方面也有了长足的进步。韩老师经常教诲我们在学 - - j 上要多思考和交流，并在 百忙之中坚持每个星期主持讨论班，给予了我良好的学 - - j 环境和机会，通过这些 途径，我在其中得到了很多有用的知识和想法，逐步进入了科学计算的广阔领域。 在这里，我衷心地感谢他对我的培养。 借此机会，我还要感谢程晓良教授、黄正达教授和吴庆标教授给予的指导和 帮助。还要感谢胡贤良师兄及朱静芬、刘静师姐以及武鹏、周天和、蒋冬冬、练晓 鹏、邵新平，陈纪文、张宋宋等各位参加讨论班的兄弟姐妹，和他们在一起学 - - j 的 日子是非常愉快。 最后我还要感谢我的父母以及所有关心我的亲人，感谢他们的养育之恩，他 们的关怀和期望是我不断进步的动力。 第一章背景介绍 1 1小波分析的由来及发展 小波分析的发展历史最早可追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范正交 基【1 】，不过当时还没有“小波 这个概念。1 9 8 1 年，s t r s m b e r g 对h a a r 系进行 了改进，构造了一组具有指数衰减且有限次连续可微的正交基2 1 ，这些工作为 小波分析奠定了基础。1 9 8 4 年，法国地质物理学家m o r l e t 在地质勘探中尝试使 用小波变换，这个变换中的参数随频率的高低不同而变化，并可用来进行时一频 局部分析。此方法在地质数据处理中取得了巨大的成功，由此建立起了m o r l e t t j 、 波f 3 1 ，并把它用到了信号分解中。随后，m o r l e t 与理论物理学家g r o s s m a n n 以 及法国数学家m e y e r 共同展开了对m o r l e t 方法的系统性研究。 真正的小波热潮开始于1 9 8 5 年，m e y e r 证明了一维小波的存在性，并构造 了具有一定衰减性质的光滑小波函数妒( z ) ，其二进制伸缩和平移生成的函数系 奶，七：= 2 砂( z 一后) ；歹，k z ) 构成了l 2 ( r ) = ，( z ) 可测，厶i f ( x ) 1 2 出 o 。) 的规范正交基，后来称为m e y e r 基，为小波分析学科的诞生和发展做出了重要的贡献。特别应指出的是，1 9 8 6 年 m a l l a t 在多尺度逼近的基础上提出了多尺度分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ， 简称m r a ) 的概念1 6 】，为小波基的构造提供了一般的途径。多尺度分析的基本 思想是把信号投影到一组互相正交的小波函数构成的子空间上，形成了信号 在不同尺度上的展开，从而提取了信号在不同频带的特征，同时保留了信号 在各尺度上的时域特征。若从逼近的角度来讲，如果把尺度理解为镜头，当尺 度由大到小变化时，就相当于将镜头由远及近接近目标，在大尺度空间中，对 应远镜头下观察目标，只能观察到目标的大体形状，而在小尺度空间里，对应 近镜头下观察目标，可以观察到目标的细致部分，即随着尺度由大到小的变 化，在各尺度上可以由粗到精地观察目标( 逼近函数) ，这就是多尺度思想。之 后人们构造出大量的小波，其中包括具有指数衰减的b a t t l e l e m a r i e 小波和 第一个双正交小波t c h a m i t c h i a n 小波等；1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 构造了紧支撑的光滑正交小波基- - d a u b e c h i e s 基，并给出一套完整地构造理 第一章背景介绍 2 论 4 】。该小波得到了非常广泛的应用，为小波应用研究奠定了基础。她的专 著t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) ) 也被公认为是小波分析的纲领性文献。1 9 8 9 年， 作为正交小波基的推广，c o i f m a n n ，m e y e r 和w i c k e r h a u s e r 等又引入了正交小 波包的概念。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基本样条函数的所谓的板正交小 波函数，并讨论了具有最好局部性的多尺度分析的生成函数及相应的小波函 数。1 9 9 1 年，g o o g m a n ，l e e 和t a n g 给出了多小波的概念，即尺度函数和小波 可由多个函数构成。1 9 9 2 年，c o h e n ，d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 给出了紧支集双 正交小波的构造方法，多小波和双正交小波克服了正交小波的一些缺点，可使 小波兼顾更多的实际应用中需要的性质。此后，崔锦泰、王建忠及m e y e r 进一 步充实了小波分析理论f 5 1 至此，小波分析才真正形成为一门学科为了适应 各种应用的需要，近年来又相应的提出了提升小波( s h i f t i n gw a v e l e t s ) 、插值小 波( i n t e r p o l a t i n gw a v l e t s ) 和多带小波( m u l t i b a n d sw a v e l e t ) 等概念。最近有许多 学者把小波应用到积分方程问题，随之出现t l e g e n d r e j 、波，s i n - c o s i n b 波，小 波一配置方法，小波有限元法等等。 1 2f o u r i e r 变换 1 2 1 l v ( r ) ( 1 p o o ) 空间 实数轴冗上所有满足：1 p a ) 测度为o ) 0 ，我们定义： 眦卜粕( 学卜喇一砒j , k er , 则 奶，七( z ) ，歹，k r ) 构成2 ( 冗) 的小波框架或正交小波基。 在实际计算中，应用更广泛的是二进制小波，我们只需取离散参数a o = 2 ，b o = 1 就得到二进制小波，即： 奶，七：嚣2 2 矽( 2 ，x 一七) ，歹，k z 1 3 3 多分辨率分析 1 9 8 6 年，m s m t i h 和t b a r n w e l l 提出了共扼镜像滤波器组的概念，这为二 进紧支撑小波的的构造提供了契机。紧接着m e y e r 3 l 与m a l l a t 合作提出了多分辨 分析( m r a ) 理论 第一章背景介绍 6 定义1 7 设h 是一个可分的h i l b e r t 空间，如果 ( 1 ) g k k z 是h 的s c h a u d e r 基，即对任意的函数f ( x ) h ，都存在唯一 的 锄) 七z 1 2 ( z ) 使得，( z ) = 七z 鲰( z ) ； ( 2 ) 存在常数a ，b 使得对任意的 ) 挺z z 2 ( z ) ，恒成立 a 川2 i l c k g 七( x ) 1 1 2 b 蚓2 k e zk e zk e z 则称 肌) 知z 为h 的r i e s z 基。 定义1 8 若 巧) j z 是l 2 ( 冗) 的闭子空间序列，满足： ( 1 ) 单调性：k 是一个嵌套的序列，即 c 忙1cv ocuc ( 2 ) 逼近性：所有的k 的并集在l 2 ( r ) 中是稠密的，即u 俺zv j = l 2 ( r ) ；所有 的k 的交是零函数，即n f zy j = o ) ( 3 ) 平移不变性：任意的y ( x ) y j ，都有f ( x k ) y j ，v k z ( 4 ) - - 进制伸缩相关性：f ( x ) 巧号f ( 2 x ) y j + l ，k z ( 5 ) r i e s z 基的存在性：存在g ( x ) y o ，使得 夕( z 一后) ，k z ) ，构成k 的r i e s z 基。 则称闭子空间序列 巧) j z ，是l 2 ( r ) 的一个多分辨率分析( m r a ) 。 从定义( 1 8 ) ，我们容易证明 9 ( z 一七) ；k z ) 构成了巧的r i e s z 基。 由巧c 巧+ l 为三2 ( 冗) 的两个闭子空间知，必存在唯一的闭子空间cl 2 ( r ) 为巧在k + 中的正交补，即： 巧+ l = ko ，k 上，z ，( 1 1 ) 由( 2 ) ，进一步我们有l 2 ( 冗) 空间的多分辨率分解： l 2 ( 冗) = q z 设甄中相应的基函数为妒( z ) ，称为小波函数，把妒( z ) 整平移 砂( 一k ) ：k z ) 则 构成空间的一组标准正交基，从而 2 砷( t x 一七) ；j ，k z 第一章背景介绍 7 构成空i 司的一组标准正交基。 定义 奶，七( z ) ：= 2 考矽( 2 j z 一后) ；歹，k z ， 则( 奶，七h 知z 构成己2 ( r ) 的一组标准正交基 设 k b z 中相应的基函数为妒( z ) ，称为尺度函数，由它生成的 巧) j z 的基 的一般形式为： 叻，七( z ) ：= 2 主妒( 2 ，z 一后) ；j ，k z ， 于是我们得到巧= s p a n 叻，k c z ) 设对于任意的函数，( z ) l 2 ( 冗) 在协，七上的投影系数为勺，七，在奶，知上的投影 系数为呜，七，则对应于空间分解( 1 1 ) 式，( z ) 的展开式为： ，( z ) 垡也，知奶，知+ 勺，鼍向歹，k z ， j k j k 上式中的第一个和式为，向) 的小波展开，其中小波基是小波函数砂( z ) 经过伸缩 和平移构成的；第二个和式是f ( x ) 在巧中的展开式，其中基函数是由尺度函 数妒( z ) 的平移而构成的，这两个和式是互补的，随着f ( x ) 的不断分解，第二个 和式逐渐进入第一个和式，直到第二个和式趋于0 ，此时f ( x ) 就被分解为小波 级数： ，( z ) 垡呜，七吻 j 詹 在实际应用或计算中，第二个和式不可能完全为零，则它就作为f ( x ) 与小 波展开之间的误差保留下来。 1 3 4 细分函数( r e f i n a b l ef u n c t i o n ) 定义1 9 ( z ) 是一个细分函数，如果满足下列的细分方程： ( z ) = 2 a k ( 2 x - - 尼) ，n e z r ， ( 1 2 ) 崩z 这里 o _ i c ) 梃z 是r 上的一个有限紧支序列，并且 a k = 1 ， 七z 这个序列称为细分函数( z ) 的滤波系数( m a s k ) 第一章背景介绍 8 定义序列 a k 的f o u r i e r 变换为： a ( ) ：= a k e 叫，比r 缸z 对细分方程( 1 2 ) 式两边进行f o u r i e r 变换，我们得到： 函( ) = 2 咖( j ) ( 荨) = a k e - i k f 2 参( 2 ) = a ( 2 ) 参( 2 ) k 6 zk 6 z 所以细分方程( 1 2 ) 式可以改写为下列的形式： 矽( ) = a ( 2 ) ( 2 ) ，r ( 1 3 ) 迭代上式( 1 3 ) 式，得到： ，l 参( ) = 6 ( 2 哪) a ( 2 一j ) ，他n j = l 如果参( ) 在= o 连续，我们有$ ( ) = 参( o ) n 1a ( 2 一j ) 如果函( o ) = 1 ，我们容易 看出( z ) 就是细分方程( 1 2 ) 式的正则解。 定义1 1 0 细分方程l 2 ( 兄) 称为正交细分方程，如果 ， ( ( 一后) ，) = ( z 一后) ( z ) 如= 以， v k z ，r 引理1 3 设。为趾的有限紧支滤波系数，且a ( 0 ) = 1 ，则为正交细分函数的 充分必要条件是 l a ( ) 1 2 + i a 悠+ 7 r ) 1 2 = lk 冗 尺度函数( z ) 和小波函数矽( z ) 相应的两尺度方程为： ( z ) = 2 口k ( 2 z - 后) ， 七z 妒( z ) = 2 b k ( 2 x - - 后) ， ( 1 4 ) 七i z 其中巩= ( - 1 ) 1 - k a l 一七，鲰为滤波系数， k ) 为高通滤波器或小波滤波器， 毗) 为 低通滤波器。对( 1 4 ) 式两边进行f o u r i e 变换： 6 ( 2 e ) = 日( ) 参( ) ， 第一章背景介绍 9 上式中 日( ) g ( ) 妒( 2 ) = g ( ) ( f ) ， = n k e k ， k 6 z = e 丽= b k e k ， 七z 而 a k = 屈1 ( 考) 万砷z = 去厂珊嗽心 b k = 去日( ) e 强专d = ( 一1 ) 1 b 1 幽 ( 1 5 ) 从以上各式可以看出，构造紧支集的正交小波矽( z ) 的关键是先构造具有紧支集 的正交尺度函数。如果咖( z ) 是紧支集的，则由式( 1 5 ) 可以看出数歹l j a k 仅含有 限个非零元素，此时相应的两尺度符号日( ) 变为三角多项式。从而数列 k ) 也 是只有有限项非零。再有式( 1 4 ) 可以推出( z ) 具有紧支集。在文献【5 5 】中，作者 给出了紧支集正交小波的构造。 随着小波分析理论的进一步发展与完善，许多小波基函数也应运而生，每 一组小波基都有其特殊性质，都可以被用来解决不同的实际问题。目前不可能 有哪一组小波基是万能的，能适合任何问题，这对小波基的构造提供了广阔的 发展空间。因此也激发了许多数学家和其他领域的专家的研究兴趣，来研究适 合他们问题的小波基。 1 4 小波应用 信号处理已经变成了当代科学技术发展的重要部分。信号处理已广泛使 用于通信( 电视与电视，数据传送，音频辨识) ，卫星图像的发射与分析，医学 成像，减少b 超、c t 、核磁共振成像的时间，等等，所有这些都涉及复杂的时 间序列的分析与说明，信号归根到底是时间的函数，信号处理的目标是准确的 分析，有效的编码，快速的传递，再就是仔细的重构。研究稳定的信号的理想 工具是f o u r i e r 变换，而非稳定的信号，其中瞬变不能事先知道发生，需要不同 于f o u r i e r 分析的技术一- 4 , 波变换来分析，对某一信号进行f o u r i e r 变换和小波 变换来实现信号在频域内的表现形式，f o u r i e r 变换在处理时域上有突变信号的 第一章背景介绍 1 0 不足之处，而通过小波变换到小波域的信号表示方法则可以清晰的看出信号在 各个时域点的变化情况。 小波分析的应用范围很广，