（应用数学专业论文）具自反馈和连续型信号函数的二元神经网络模型的定性研究.pdf

摘要 本文研究具自反馈的二元神经网络模型： 譬z y ：“f ( 巾x ( t ：裟g k ( y ( t ：嚣( 勘， 【岁= 一+一r ) ) +一r ) l、l ， 的动力学性质，这里，信号函数，g 是r 啼r 上的连续可微单 调递增的有界函数例如肌a j l l l ( n i 都是这类函数) o 我 们分三章对模型( e ) 进行了定性研究。第一章研究了，：0 时模 型方程收敛点的唯陛和全局吸引性，多个平衡点的稳定| 生以 及收敛域的分界。在第二章中研究了r ，0 时模型方程平衡点的 存在性和稳定性问题以及稳定域。在第三章中我们研究了时滞 对稳定性的影响。 关键词：神经网络，7 自反馈j 吸引域? 时滞，稳定性，收敛性， 分支，周期解? 7 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h ed y n a m i c so ft h ef o l l o w i n gn e u r a l n e t w o r k so f t w on e u r o n sw i t hs e l f - f e e d b a c k f 量= 一x + f ( y ( t f ) ) + 9 0 ( ，一f ) l 1 岁= 一y + f ( x ( t r ) ) + g ( y ( t r ) 1 w h e r e ? s i g n a lf u n c t i o n s a n dga r ec o n t i n u o u s ，d i f f e r e n t i a b l e i n c 蚴i n g n d b 0 h n d e 蜘w c hd s a 吣咄去t h e me s j s c o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ri 。w ec o n s i d e rt h em o d e lf e ) w i t ht i m e d e l a y f = 0a n d s t u d y t h e u n i q u e a n d g l o b a l a t t r a c t a b i l i t yo f s t a b l ee q u i l i b r i ao ft h es y s t e m ，f u r t h e r m o r e ，w e d i s c u s st h es t a b i l i t yo f e q u i l i b r i a sa n d t h eb o u n d a r yb e t w e e nt h e b a s i n s o fa t t r a c t i o no ft w os t a b l ee q u i l i b r i ao ft h es y s t e m i n c h a p t e 2 w ec o n s i d e rt h e c a s ew h e r e1 oi nt h em o d e lf e ) ，w e s t u d yt h ee x i s t e n c e , s t a b i l i t y , b a s i no f a t t r a c t i o no ft h ee q u i l i b r i a s o f t h es y s t e m i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nt h er e s u l tt os h o wt h a tt h e s t a b i l i t yo f n e u r a ln e t w o r k ( e ) m a y b ei n f l u e n c e d b yt i m ed e l a y k e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r k s ，s e l f - f e e d b a c k , b a s i no f a t t r a c t i o n ， t i m e d e l a y , s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e , 6 咖r c a t i o n ， p e r i o d i c s o l u t i o n 绪论 万物之灵的人类，拥有高度发达的大脑而优越于其它任何生物。人脑 既是一个极其庞大而又复杂的系统，又是一个功能极其完善的系统，人类 当前所面临的重大科技研究课题之一，是要揭示大脑活动的机制和人类智 能的本质，人工神经网络作为人脑生物神经系统的模拟，其研究自l 9 43 年心理学家m c c u 【l o c h 和数学家p i t ts 在数学生物物理学会会刊 ( b u l l e t i no fm a t h e m a t i c a lb i o p h y s ics ) 上发表，总结生物神经元的 一些基本生理特性，并提出形式神经元的数学描述与结构方法( 即m - p 模 型) 的论文 3 0 以来，历经了兴起、萧条、兴盛三个曲折的发展阶段。标 志神经网络研究兴盛时期的到来是美国加州理工学院生物物理学家 j h o p f i e l d 教授于1 98 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇文 章。1982 年他在文 2 9 】中提出了h o p f i e l d 神经网络模型，这种模型具有 联想记忆的能力，他在这种神经网络模型的研究中引入了能量函数 【l y a p u n o v 函数) ，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学 的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络的稳定性判据，并指 出信息存储在网络中神经元之间的连接上，这一成果的取得使神经网络的 研究取得了突破性进展。1 98 4 年，h o p f i e l d 在文 16 中设计与研制了他 所提出的神经网络模型的电路，并指出网络中的每一神经元可以用运算放 大器来实现，所有神经元的连接可以用电子线路来模拟。这一方案为神经 网络工程实现指明了方向。同时他也进行了神经网络应用研究，成功地解 决了复杂度为n p 的旅行商( t s p ) 计算难题，引起人们的震惊。这些成果 的取得激发了越来越多的人投入到神经网络研究中来，从而带来了神经网 络研究的兴盛期随着近些年来神经网络研究的不断深入，i f l 越来越认 识到：由于人工神经网络独特的结构和处理信息的方法，它们在诸如信号 处理、模式识别、优化计算等许多实际领域具有广泛的应用前景，因此， 神经网络的研究现已引起了包括应用数学，计算机科学、人工智能、认识 科学、信息科学、微电子学，自动控制与机器人，脑神经科学、军事科学 等学科领域内的科技工作者的巨大热情和广泛兴趣，人们普遍认为它将使 电子科学和信息科学等产生革命性的变革，并将促使以神经计算机为基础 的高技术群的诞生和发展，正因为如此，多年来，美国、德国、日本、加 拿大等众多国家十分重视人工神经网络的研究，并在此研究领域投入了大 量的人力和财力。我国于上世纪90 年代初开始人工神经网络研究，虽已 获得了一些好的结果，但目前投入的人力和研究经费尚少，仍处于起步阶 段。 人工神经网络研究是一个众多学科领域交汇的系统工程，从而需要这 些交叉学科研工作者的共同参与。至今为止，国内外人工神经网络研究工 作者已建立了大量的网络模型，并对其进行了研究。在这些模型中，有相 当大一部分为微分方程模型，如著名的h o p f i le d 模型，g r o s s b e r g 模型， c e l l u l a r ( 细胞) 神经网络模型等。这些模型绝大部分由工程技术学科的 研究工作者所建立，它们的研究由于缺少应用数学工作者，特别是微分方 程研究者的充分参与，使得多年来对这些模型的动力学行为的研究主要呈 现在数值模拟方面，致使众多模型的动力学行为至今仍未得到充分的揭 示，特别是对具有时滞的微分方程神经网络模型，其动力学行为的定性研 究结果更少。而由于网络中神经元之间信号传输需要一定时间的客观事 4 实，微分方程神经网络模型中具有时滞更加符合客观实际，因此，人工神 经网络的深入研究迫切需要一批应用数学工作者，特别是微分方程研究者 的加入事实上，国内外众多的微分方程研究者已经注意到了这一领域的 重要性，近年来纷纷将主要精力投入到这一领域的研究中，并已获得了许 多优秀成果 二元神经网络是结构最为简单的神经网络。然而，即使简单的二元神 经网络模型也具有十分丰富的动力学行为，至今为止，已有许多文献对二 元神经网络模型的动力学行为进行定性研究，获得了许多优秀的结果如文 15 - 28 等，但据我们所知，到目前为止关于二元神经网络的大部分结果 是针对不带自反馈的模型 f i = 一l , x + ( y ( ，一f i ) l l 夕= 一u y + g ( x ( t f 2 ) ) 在本论文中，我们研究下面的带有自反馈和连续型信号函数的二元神经网 络模型的定性性态。 髓：y ：裟二紫g g ( y u ( t 岛 l 夕= 一+ 厂b ( r r ) ) +一r ) l “7 获得了一系列的新结果。这里f ，g 是信号函数，它在( 一o 。，+ o 。) 上连 续、可微、单调递增且有界，f 表示突触时滞，为非负常数。 第一章具零时滞二元自反馈神经网络模型的定性分析 在本苹里，我们考虑下面的具自反馈二元神经网络模型： 艇叫| 盘 占燃 ( 1 。) b = 一y + 厂0 ) + g ( y ) a u 即模型( e ) 中f = 0 的情形。这里f ，g 满足的条件同模型( e ) 。 设5 u p 厂( x ) f ，i g ( x ) f s m ，脚为正常数，r 为全体实数集合。由此有： 一x ( ，) 一2 m 掣一x ( f ) + 2 肌， ( 1 2 ) 一y ( f ) 一2 掣一y ( y ) 十2 。 这样，系统( 1 1 ) 有一个不变集d = x ，y ) 杠 - 2 m ，l y l 2 ，玎j 且容易证明d 还是全 局吸引子，从而，方程( 1 1 ) 的轨线均正向有界。 下面我们讨论( 1 1 ) 的平衡点的存在唯一性及其全局吸收性。 定理1 1 ：若存在非负常数口，使q + b 1 ，且对e r 有f7 ( e ) b 与g7 ( e ) a ，那么系统( 1 i ) 存在唯一的平衡点，且是全局吸引的。 证明：由轨线的有界性和平面极限集理论，易知平衡点的存在性。 下面证明平衡点的唯一性。 设平衡点为( z + ，y + ) ，则它必满足： f x + + f ( y + ) + g ( x + ) = 0 ， 【一y + f ( x ) + g ( y ) = 0 。 也即 j x + = 厂( y ) + g ( x + ) ， 【y + = ，( x + ) + g ( y ) 。 咿：矧 则系统( 1 1 ) 的平衡点必为f 的不动点，下面我们证明f 的不动点的唯一性， 从而也就证明了( 1 1 ) 平衡点的唯一性。 规定r 2 中模为k ；瑚= h + 。假设( x - _ ) ，以( x ：，y ；) 是f 的两个不同的平 ( x y i ? - - 一x y ! * 1 j l = f f ； 一f ； 忖( y w g ( x 卜厂) 一g i t s ( x i ) + 占( y ? ) 一厂( x ：) 一g ( y ：) j i f 厂( 臼) ( y ：一y ：) + g ( 目! ) ( x ? 一x i ) j i t ( 臼，) ( x j x ：) + g ( 臼。) ( j ，? 一y ：) l ( + d ) 0 y 卜y ；i + j x 卜x ：1 ) 邓圳般：珊 其中0 1 p 4 是y i 与y ；之间的一个数，0 2 ，岛是r ；与z ：之间的一个数 因为+ 口 l ，所以上式不可能成立。故系统存在唯一的平衡点b ，y ) 。 又因为( 1 1 ) 的发散量d i v ( 11 ) = 一2 + g 。( x ) + g ( y ) 一2 0 一d ) 1 ，x ，( o ，) ，0 r l ； ( 1 4 ) x 扩( x ) + g “( x ) ) x ，x ( o ，r ) ； f ( x ) x ，x ( - r ，0 ) 。 又由于f ( x ) 有界，所以必存在x ； o 使得f ( x t + ) = x ：，f ( x 2 ) = x ；。不 然就与f ( x ) 的有界性矛盾，这样，a 1 ( x l + ，x ? ) ，0 ，a 2 ( x ；，x ；) 就是系统( 1 1 ) 的平衡点且由条件( 1 5 ) 可知a 。，与爿：分别是第三象限和第一象限内唯一的平 衡点，所以系统有且只有三个平衡点。下面证明系统( 1 1 ) 不存在闭轨。 易验证y = x 是( 1 1 ) n 轨线，所以若有闭轨，它必不能穿过y = x ，也即它 必位于y = x 的两侧，而两侧又不存在其它奇点，根据在平面上任何闭轨线所 包围的区域中必有奇点的结果，系统必不存在极限环。 r 为了讨论a 。，o ) i a 2 的稳定性，我们先给出一个引理。 引理i i ：对于定理1 2 证明中的奇点al ( z ：，x ：) ，a ：( x ；，x ：) 和函数f ( x ) 我 们有 f + ( x ? ) 工：，0 ( x ：，o ) ，这就 与f ( x ) = x ，。矛盾，所以f ( x ：) 1 ，同理f ；) l ，所以( 1 6 ) 得证。 下面的定理1 3 给出了奇点a l ，o ，a 2 的类型以及收敛域的大小。 定理1 , 3 ：若系统( 1 1 ) 满足条件( 1 3 ) ，( 14 ) ，( 1 5 ) e 一1 + g ( o ) 一厂( 0 ) 0 ， 五2 = 一l + g ( d ) 一厂( d ) d 。 所以0 为鞍点，另一方面，容易验证y = x ，y = 一x 都是( 1 1 ) 的轨线，其中一条 为原点0 的稳定流形，一条为不稳定流形。 下面我们分析a 2 的奇点类型。 作变换： f x ：x z ：， 【，= y y ：。 则原方程变为 j i = 一x x ：+ f ( y + j ，：) + g ( y + x ：) ， 抄= 一，一y ：+ ( + x ：) + g ( y + 戈) 。 其原点处的线性化方程为： f 岩= ( - 1 + g 。( x ：) 弦+ 厂( y ：) y ， l p = 厂( x ：) + ( 一1 + g 。( y ：) ) f 容易求得其特征方程的根为： 由引理1 1 知2 1 0 注意到f ( x ) 单调增数，故必有厂( 。2 ) 0 ，从而 五! = 一1 + g ( ；) 一f ( z ：) 一1 + g ( x ：) + ( x ：) = 见 o 的情形，即模型： ；：二厂f 叭( x ( ：= t 驾：甙g ( “y ( t 嚣。 c ：， 1 岁= 一y +一f ) ) 十一f ) ) 。 这罩f ，g 满足的条件同模型( e ) 。 下面分两部分讨论( 2 1 ) 的稳定性问题与收敛性问题：第一部分主要介绍 与时滞无关的全局稳定性，以及时滞与收敛速度的关系。第二部分主要介绍 ( 2 1 ) 具多个收敛点时的时滞无关稳定性以及收敛域的分界。 在许多情况下，时滞微分方程的动力性质要比相应常微分系统( 即系统r = o 时) 复杂得多，这种差别主要是因为无论时滞多小，系统( 2 1 ) 的状态 空间总是无穷维的，为了得到系统( 2 1 ) 在状态空间的解，必须首先给出它的初 始条件r ( 目) ，y ( 臼) 0 卜f ，d ， 这样方程( 2 1 ) 的状态空间是 s = c ( 【_ l o lr ) c ( 卜f ，d l r ) 。这里，c ( i ，r ) 是指映区间，至l w , , 一或- r 的连 续函数的集合，s 是一个无穷维的b a n a c h 空间。 对于初始条件o = ( 驴1 ，驴2 ) j ，方程( 2 1 ) 存在一个唯一的解z ( t ，由) ；( x ( t ，由) ，y ( t ，中) ) 使得x ( 臼) = l ( 口) ，y ( o ) = 2 ( 口) ，口卜r ，0 j ， 且，o 时，z ( t ，) 是系统( 2 1 ) 的解，对于这样的解，我们定义z 。( 中) = ( x t ( 中) ，y t ( 巾) ) 且石，( 妒) ( 臼) = x ( t + o ，) ，y f ( ) ( 臼) = y ( t + o ，) ，0 一 t ，o 】。这样，乙( ) s ，z ，是系统( 2 1 ) 在状态空间中的一个半流。 2 1与时滞无关的全局收敛性 为了后面讨论的需要，我们先介绍一个引理 引理2 1 ：考虑下列时滞微分方程 ( 2 2 ) 这单1 。! n c ，( 卜r ，o l r ) 一r ”是全连续的，( 。) = 。且( 2 2 ) 的解连续依赖 于初始条件声5 丌c ，( 【- f ，o i ) ，z ( t ，) 表示( 2 2 ) 过( o ，( b ) 的解。 f = l 如果矿：川z r c i r 是一个连续的l y a p u n 。v 泛函，我们定义v 沿( 2 2 ) 的导数如f ： 掣b ：，= 勘s u p j ) 叫妒) 】4 2 3 ) 假设存在一个非负函数盯( ，) 和6 ( ，) ，当，斗0 0 时有口( ，) 一，且 舷。班嘲掣 蛳( 棚 ( 2 4 ) j j ( 22 ) 的零解x = 0 是稳定的且每一个解有界，另外，若6 ( r ) 是正定的，则( 2 2 ) 的每一个解当，一。趋向于零。 定理2 1 ：如果厂( 臼) + g ( 臼) h 1 ，函数 x ( ，) 是k f ，+ 。 上的非负一元连续函数，且对t t o 有如下的不等式成立： d + x ( t ) 一a x ( t ) + b y e ( t ) ， ( 2 5 ) 其中：r，、su9譬?，ro为常数，则当rto有：tt 工( 1 = 一fss f x ( ，) x ( t o ) p 一。( t o ) 其中五为下面超越方程： a = a b e l 7 的唯一正根。 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 该引理的证明略去，下面的引论说明了方程( 2 7 ) 的根五与r 之间的关系 引理2 3 ：k l v g f f l l ( 2 7 ) 的唯一正根兄随时滞的增大而变小。 证明：根据( 2 7 ) 式利用隐函数求导法则求出凳 ) l 驴2 ( 臼) 恍( o ) ( r e s p 驴： ) ，曰 _ f ，0 1 。易见，当 y 时，u = p s ， u 妒 是s 中一个歼集。 利用s m i t h 3 中定理25 我们可以证明下面的定理： 定理2 3 ：若厂p ) o ，g p ) o ，o r ，则系统( 2 1 ) 就会产生最 终强单调的半流，也即 若妒且妒妒。，贝4 z ，( ) z ，( 妒) 、对于，22 r 。 ( 2 8 ) 为给出此定理的证明，我们先介绍h a ls m i t h 3 1 9 8 7 1 q 6 的一些符号和定 理。 考虑下面的f d e 它的线性化方程为 z ( f ) = f ( x ，) ，厂：c 寸r ” 这里，l ( t ，) ：c 寸最是一个有界的线性映射，且关于t 连续，c ，= 兀( c h ， ；l o 】，r ) 。将上= ( 上卜l 2 上。) 表示为下面的标准形式 上川) 2 戮一( o ) d q v p ，) ，l 姚” 这里，7 口：r r 斗r 且( ，) b y - - 巧，o j 是有界变差的。 我们假设： ( k ) 对所有c ? ，办( o ) = o ，l ，( ，) 0 ，尺，c ? = 移i s 眵0 ( i ) 矩阵a ( l ) ( t ) 定义为： 、 4 ( 上) ( ，) = c o l ll ( t ，p 1 ) ，( ，p 2 ) 上( r ，p 。) = 1 7 1 ，( o ，) ：= 1是不可约的。 下面给出两个定义： 定义1 ：矩阵a = ( “) 。不可约，是指v $ , q - 集，c ， f ， 使得a “o 定义2 ：f 是在u 中合作的，如果任意y u 上= d f ( v ) 符合条件( k ) 。 f 在u 中是合作的且是不可约的，如果f 在u 中合作且符合下列条件： ( i ) 对所有妒u ，l = d f ( ) 符合( i ) ； ( i i ) 对所有0 0 ，存在i 使得对任意妒u 和任意小正数s ， 1 。卜rj + s ，v b 0 ( 表示l s 测度) 这里，7 ( ，) 是指上= 矽( ) 。 定理2 3 的证明：根据系统( 21 ) 可写出 由此有， 刚，= ( ：象品：党剖兹曷 洲肛( ：z 掰f 搦譬高泼黜矧l y 2 ( o ) + 。( l ( 一f ) 弦l ( 一r ) + g ，( 一f ) b ，( 一f ) j 很容易得出 r h l 2 0 ，0 = o ； 0 , - f 0 0 ： 一f 移2 ( 一f ) l p = 一f 1 0 ，0 = 0 ； ，7 l2 = 0 ，一r 0 o ； l g ( 妒。( 一f ) l 口= 一r ； f o ，臼= o ；j o ，曰= o ； ，7 ：l = 0 ，一r 0 o ：r 1 2 = 0 , - f o ，s r ，条件i k ) 就满足 下面计算a ( l ) ( t ) 一 i - l + 。篱) ，岛牝淤州 = 嚣力篓1g 愁，j( 1 ( 一r ) ) 一十 ( 2 ( 一r ) 川 这是因为 7 1 2 ( o ，) = f 劬：( 一r ) ) 0r 2 1 ( o ，) = 厂。( 妒1 ( 一r ) ) o 所以 ( 4 ) 爿( ) ( f ) 不可约，条件( i ) 得到满足。 由( 4 ) 容易验证条件( i i ) 得到满足，所以f 是合作且不可约的 根据h a ls m i t h 3 1 1 9 8 7 1 中的定理2 5 得到本文的定理2 3 。 s 中的常数解是指一个平衡点z ( t ) = ( a ，b ) ，也即x ( t ) = a y ( t ) = b ，t t ，其中 口，b 为常数，从定理1 2 中可以得到a l ，0 ，a 2 是系统( 2 1 ) 的平衡点且 a z 1 ) 所生成的特征子 空间，它是s 中的一个超平面，根据( h a l e 5 】9 7 7 ，7 3 节) 且 = v ，我们把 户( ) 明确表示为： p ( ) = 哦( o ) “+ 2 ( o ) + 厂。( o ) 亡r e - r s + v ) q ) 2 0 ) d s + g ( o ) “e - r ( s * v ) 1 出 + - 厂( o ) 亡，p - r ( s + v ) ( b l ( s ) d s 十g ( o ) 罡，e - r s + v ) 2 ( s ) s s ，( 29 ) 这里v = ( _ ，) 是g 7 ( y ) 矿= 0 的解，g 7 是g 的转置，可以证明：当f 充分小 时 是唯一的一个实部大于零的根，在这种情况下，0 点有一个维的不稳 定流形和余维为1 的稳定流形5 ，这个稳定流形在o 处与e 相切。这样，e 与。在o 点可看成局部相吻合，所以b 能用e 也即i , v 5 来估计，故 b = 移s | j d ( ) = o 要想了解时滞对分界b 的影响，可以在s 中取常函数 ( a b ) 代替式( 2 9 ) 中的痧i ，痧! 取不同的r 值进行分折。 第三章二元自反馈神经网络中时滞对稳定性的影响 3 1h o p f 分支周期解的存在性 在此章中，为了计算上的方便，我们把模型( e ) 中信号函数指定为 厂( x ) = g ( ) = a t a n h ( c x ) ，这时( 2 1 ) 也就是下列的二维具时滞的神经网络动 力系统： 艇端均鼬僦二焉：叭酬酬7 - 叫r ) + a t a n ha t a n h ( c x ( t b ， 1 岁= 一少( ，)b ( ，一f ) ) +一f ) l ” 其中r 0 ，a ，c 为可选的参数，它们在非线性神经网络电路均有各自的物理意 义。容易证明，系统( 3 1 ) 存在平凡的吸 i 子( o , o ) ，并且若它还存在其他非平 凡的吸引子( t o y o ) ( x 0 二+ y o ：0 ) 则( - x 0 , - y o ) 也是系统的非平凡的吸引子。 关于系统( 3 1 ) 的吸引子的个数的详细讨论这里不给出，但我们可以肯定， 系统( 3 1 ) 有奇数多个吸引子，下面首先讨论吸引子( 0 , 0 ) 的稳定性态与时 滞的关系。( 3 1 ) 关于( o ，o ) 的变分方程为： 艇端：瓮端淼a c x ( t 二， 【夕= 一y o ) + 口c d o f ) j +一f ) 。 对应的特征方程为 ( 旯) = 五2 + 2 2 + 1 2 a c e 一。7 五一2 a c e 一。= 0( 3 3 ) 假设无时滞( 即r = 0 ) 时，方程( 3 3 ) 的根均具负实部，实际上只要 2 - 2 口。 o ， (34)1 i 一2 a c 0 。 、。 成立即可，置f 不断增大，依据特征方程根对参数f 的连续依赖性，下面寻找一 个临界值to ，它具有如下性质：当r o ，f o 时，( 3 3 ) 的特征根均具负实部； 当r = r 0 时，( 3 3 ) 具有纯虚根；而当r 7 0 时，( 3 3 ) 有正实部的特征根，也就是说， 随f 从0 增大到大于7 0 ，平凡吸引子( 0 ，o ) 从渐近稳定变为不稳定，即时滞r 的增大能使平凡吸引子的稳定性态发生变化。由第二章已经知道l d c i 三2 时 方程全局渐近稳定，由( 3 4 ) 知d c 1 2 下面按a o - - ；来考察该方程的性态。 t 所以要想出现不稳定，只能d c 一二。 2 下面求时滞的临界值0 ，将五= i w ，代八( 3 3 ) 式并分离开实部和虚部 得到下面两式： i 一：+ 1 2 a c 0 ) s i n w r 一 ) a c c o s ( o r = 0 c35 刚 【2 a ) 一2 a c 0 ) c o s 0 ) r + 2 a c s i n 0 ) r = 0 。 1 35 b ) 将( 3 5 a ) c o s c o t - ( 3 5 b ) s i n 0 ) r 及( 3 5 a ) s i n 0 ) r + ( 3 5 b ) c o s r 写成矩阵向量 的等式形式得： - 0 ) + 1 - 2 0 ) 黛捌= 协2 a 。c 甜 记a = 甜4 + 2 二+ 1 a i = 2 a c 0 ) ! + 2 a c 二= ( 一2 a c c o ! 一2 a c ) 易知有c 一d 1 _ 2 l ，尉= 等，i + j “ f ( ) ! 2 + j a 2 = ( 2 a c 0 ) 2 + 2 a c ) 2 + 2 ( 2 a c 0 ) 2 + 2 a c ) 2 一( 国4 + 2 ! + 1 ) 2 = 沏2 + 1 ) 3 ( 4 a 2 c2 一甜2 1 ) ：0 由此有： 旷瓜i 嘲：丽c o s _ 毫1 1 溉而= 冬，c 而= 丽1 一二日cc 由上面的分析我们可以得出下面引理。 引理3 1 ：如果d f 一妻，那么当 c o s - t 一! i 邛2 赢 时，系统( 3 1 ) 将不再全局渐近稳定且它的线性变分系统( 3 ) 将有周期解， 且该周期解的频率为： 。= 4 a2 c2 一l 下面一部分我们主要证明：当日c ；时，时滞能导致非线性系统( 3 1 ) 的h o p f 分支周期解的产生。为此，我们设f ( - 8 + ，f o + d ) ，占是一个小正 数。 关于时滞导致的h o p f 周期分岔已经被b e l a i r 6 1 1 9 9 2 ，1 9 9 3 1 t ”，b a b c o c k 和 w c s t e r v i l l e l 8 1 1 9 8 6 1 ，d e s t x h e 【9 1 【1 9 9 4 埘论过。b e l a r 【6 1 1 9 9 3 中，对一个纯量方程 的分岔解的稳定性进行了研究。m a r k u s 和w e s t e r v e l t j 1 9 8 6 6 】对对角矩阵的 系统的稳定性进行了研究。 因为r = 7 0 时系统( 3 2 ) 的特征方程有纯虚根，所以当r = 7 0 时，系统( 3 7 ) 有周期解，我们来探索非线性系统( 3 1 ) 是否存在周期解，运用方法主要是 局部h o s p f 分岔定理。在下一部分中我们给出分岔周期解的估计，方法主要 是扰动级数法与f r e d h o l ma l t e r n a t i v e 定理s m i n g e r 【“1 1 9 7 3 。 对( 3 3 ) 运用隐函数求导法则可求得： d 2 d f 二墨竺丝1 2 2 五+ 2 + f ( 旯2 + 2 五+ 1 ) 一2 a c e 一。7 当f = 7 0 时，f w 0 是日( 五) = 0 的个根，此时， ( 孰。= 一i c o o ( - c o ：+ 2 0 2 0 i + f ) 2 七i + 2 + r o ( 一吐，：十2 k f + 1 ) - 2 a c ( c o s 6 0 0 r o i s i n a ) o f o ) = ! 竺i 二! ! 竺! 二竺i ! ( 2 一t o c o ：+ r o 一2 a c ( c o s c o or 0 ) + i ( 2 c o o + 2 0 ) o f o + 2 a c s i n e o o r o ) ：垦竺i 二! 垒! 二竺i 二竺! 耋! ! 二! ! ! 竺! 竺! ! ! 二! ! ! 竺! ! 竺! ! ! ! ! 竺墅竺! ! ! ! 怛一z o j + f o 一2 a c c o s c o o r oj + ( 2 0 ) o + 2 0 2 0 f 。4 - 2 a c s i n c o o r o ) = r ( 筑 ：! 竺i ! ! 二! q 竺i 鱼二! ! ! 竺! ! 竺! 鱼! 二土竺i 竺! 廷竺! ! 鱼竺! ：! ! 堕塑竺! 鱼) ( 2 一f 。吐，；- 4 - f o 一2 a c c o s c o o r o ) ：+ ( 2 c o o + 2 r 0 0 3 0 + 2 a c s i n c o o f o ) 2 2 雨希舞如 ( 3 ，) 在前面，我们已经证明了f 乃s ( s 一o f o ) s i n ( s + c o o r 。) +a3 c 3 ( c o l r o + ( u 。r i ) s i n ( s 一2 0 ) o f o ) s i n ( s + 。f o ) d s = 0 。 积分( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) 得 ( 3 2 1 ) - - 0 ) 1 以二c ：s i n 2 0 ) o f 。一a 3 c3 l r o + ，o f i ) s i n 3 c o o r o a 2 c2 b l f 。+ o f l ) s i n 2 d o o f o 十口：c ! g o o ( lr o + ) o r i ) c o s 2 c o o f o + c 1 3 c 3 lr o + c o o ) s i n 2 c o o f o + 0 9 1 0 2 , o + a c o ) l s i n a ) o r o 一日! c2 ( l r 。+ 0 2 , o r l ) s i n 2 c o o f o a c 妇1 f o + c o o f l ) s i n c o o f 。 十1 2 c c o o 妇ir o + 。f i ) c o so r o + a 2 c 2 ( 珊l f o + o r l ) s i n 2 c o o f o + _ ( - 0 1 0 ) 0 一! 华c 。慨”2 卑( 吣嘲) c o 渤舰 + a c ( o o ( c o i f o + 缈o f l ) c o s a ) o r o + a c o ) j ( 吐，l f 。+ c o o r i ) s i n a ) o f o l 3 二2 j a2 c 2 c o o ( c 0 1 f o + o f i ) c o s z c o 。f 。+ l a c s i n c o 。f 。一c 0 1 c o 。a c c o s c o 。r o 一日2 c 2 c o 】s i n 2 a ) + d 3 c 3 ( 棚 + 0 2 , 而) s i n 3 c 0 0 0 + 口：c ! ( 出 + c o ) s i n 2 c 0 0 f 0 一a 2 c 二o ( c 0 1 r o + c o o ) c o s 2 c o o r o a 3 c 3 ( i f o + c o o f i ) s i n 3 0 ) o f o = 0 ， c o l 口2 c ! c o s 2 c o o f 。+ d 3 c 3 ( 1 f o + o f i ) c o s 3 a ) o f 。+ 口二c ：( 珊0 1 + c o l r q ) c o s 2 c o o f o + c 1 2 c 二o ( c o l r o + c o o r l ) s i n 2 a ，o c o c 3 c 3 ( c o o f l + 0 3 l r o ) c o s 3 c o o r o + l a c o ) i c o s c o o f o + a 2 c2 ( o f l + l f o ) c o s 2 c o o r o + a c ( o ) o r l + l f o ) c o s c o o r o + a c ( o o ( c o o f l + c o c o i ) s i n c o o r o a2 c 2 ( c o o q + c o o ) 1 ) c o s 2 c o o f o 一l c o ； 一a c g o o c o l s i n c o o f o + a 2 c 2 c o o ( 国1 r o + o f l ) s i n 2 a j o f o + a c 0 2 , o ( c o o + c i ) l r o ) s i n a ) o r o a c ( o ；( c o i f o + 吐，o f l ) c o s c o o r o n 2 c 2 晓，o ( 0 9 l f o + c l c o 。) s i n 2 0 ) o f o a c ( 0 1 c o s c o o r o a c f o l os i n c o o r o( 3 2 3 ) + a2 c 2 吐) l c o s 2 c o o 一a 3 c3 ( c o o f i + r o c o i ) c o s 3 0 ) o r o a 2 c 2 ( o r l + r o 1 ) c o s 2 c o o f o 一口2 c 2 o ( o q + 7 2 0 0 ) i ) s i n 2 c o o f o + a 3 c ( c o o r l + c o c 0 1 ) c o s 3 a 】o f o = 0 。 、 可以算出 c o s c o o f o = z a c c o s 2 c o o v 0 = 繁， c o s 3 ( o o 2 - 0 = 1 - 再3 a 2 r c 2 4 e ( 3 2 4 ) f g z ( 3 2 2 ) 干u ( 3 2 3 ) 得到 s i n c o o r o - 4 瓣j a 2 磊c 2 _ 1 所”2 r 。= 可4 4 a 2 c 2 - i 斓咖r 。2 , j 4 a 1 2 c 2 - 矿1 ( a 2 c 2 - 1 ) ， ( 3 2 4 ) 胁一竽一孚一锋+ 卜。一华一半一字讽卜。 l ( 警一矧”c 一扣。忆! c 铀。一o 。 解此方程组得q = 0 ，r = 0 。由此，系统( 3 1 6 ) 可简化为 f 脚。x i ( s ) + x 1 ( s ) - - a c x i ( 5 。f 。) 一口砂1 ( j 一。f 。) ：o ， l 。y ，( s ) + y ( s ) 一日秒( 5 珊。f 。) 一日“。( j 一曲。“) ：o 。 3 t 2 5 这正好与系统( 31 5 ) 相同，所以我们可以找到系统( 3 2 5 ) 的一个非平凡周期 ：p ”咖“p u1 n ) 队。卜) h c o s s - c o o s i n s - 以巾飞0 ) j r 2 再比较方程两边占3 的系数得到 ，