（运筹学与控制论专业论文）弹性系统振动传递的反馈镇定和能观测性.pdf

摘要 本报告应用黎曼几何方法研究弹性系统振动传递的反馈镇定与能观测性在可验 证的几何条件下，获得变系数波方程与任意中面薄壳的一致能量衰减率和能观测性不 等式本报告共四章 第一章考虑变系数波方程振动传递的镇定问题，在边界和传递边界附近分别加边 界反馈控制和分布反馈控制，应用黎曼几何方法和迹估计，我们证明了所考虑问题的 一致能量指数衰减性 第二章研究变系数波方程振动传递的非线性边界反馈镇定问题，应用第一章中的 方法碍到了所考虑问题的一致能量衰减率 在第三章中，我们考虑中面为任意形状的n a g h d i 壳振动传递的边界反馈镇定问 题，在关于中面的可验证的几何条件下，证明了系统的能量指数衰减率 第四章建立了中面为任意形状的浅壳振动传递的能观测性不等式，特别地，如果 只能加边界控制时，我们给出了类似于波方程与板方程的关于材料的y o u n g 膜量和 p o i s s o n 系数的条件，它们是建立能观测性不等式所必需的 关键词镇定，能观测性不等式，波，壳，r i e m a n n 几何 a b s t r a c t i nt h i sr e f o r t ，w es t u d yt h ef 色e d b a c ks t a b i l i z a t i o r ia n do b s e r v a b i i i t y t h et r a n s m i 8 s i o nf o rt h ee l a s t i c i t ys y 8 t e m sb yt h er i e m a n n i a ng e o m e t r ym e t h o d u n d e rt h e c h e c k a b l eg e o m e t r i cc o n d i t i o n s ，u n i f o r me n e r g yd e c a yr a 乞e sa n do b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t i e sa r ee 8 t a b h s h e df o rt h et r a n s m i s s i o no fw a v ee q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e m c i e n t sa n d t h i ns h e l l sw i t ham i d d l es u r f a e eo fa n ys h 印e t h i sr e p o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h es t a b i l i z a t i o no ft h et r a n s m i s s i o no fw a v ee q u a ， t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e 伍c i e n t s b yi n t r o d u c i n gb o t hb o u n d a r yf b e d b a c kc o n t r o la n d d i s t r i b u t ef e e d b a c kc o n t r o ln e a rt h et r a n s m i s s i o nb o u n d a r y ) w ep r o v et h eu n i f o r me x - p o n e n t i a ld e c a yo fe n e r g yf o rt h ep r o b l e mb ym e m a n n i a ng e o m e t r ym e t h o d sa n ds h a r p t r a c e t h ea i mo fc h a p t e r2i st os t u d yt h en o n l i n e a rb o u n d a r ys t a b i l 切a t j o no ff h e t r a n s m i s s i o no fw a v ee q u a t i o n sw i 乞hv a r i a b l ec o e m c i e n t s 。t h eu n i f o r me n e r g yd e c a y r a t ef o rt h ep r o b l e mi sd e r i v e df r o mt h em e t h o do fc h a p t e r1 i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h eb o u n d a r ys t a b i i i z a t i o no ft h et r a n s m i 8 s i o nd r o b l e m o fn a g h d i sm o d e lb yb o u n d a r yf e e d b a c k sw h e r et h em o d e lh a sam i d d l es u r f a c eo fa n v s h 印e t h ee x p o n e n t i 血d e c a yr a t ef o rt h ep r o b l e mi s p r o v e du n d e rs o m ec h e c k a b l e g e o m e t r i cc o n d i t i o n so nt h em i d d l es u r f 犯e i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s hs o m eo b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t i e sf r o mb o t hb o u n d a r ya n d d i s t r i b u t e dc o n t r o l sf o rt h et r a n s m i s s i o no fs h a l l o ws h e l lw i 恤am i d d l es u r f a c eo fa n v s h a p e i np a r t i c u l a r ，i fo n l yt h eb o u n d a r yc o n t r o l sa r ea l l o w e d ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n so ny o u n g sm o d u l u sa n dp o i s s o n sc o e m c i e n to ft h em a t e r i a lf o rt h eo b s e r v a b i l i t v i n e q u a l i t y ，w h i c hi ss i m i l a ra st h o s ei nt h ec a s eo fw a v ea n dp l a t ee q u a t i o n s k e y w o r d ss t a b m z 砒i o n ，o b s e r v a b l l i t yi n e q u a l i t y lw a v e ，s h e l l ，r i e m a n n i a ng e q m e t r v c h a p t e r1 s t a b i l i z a t i o no ft h e ， 1 r a n s m i s s i o i lo f e q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e 毋c i e n t s 1 1i n t r o d u c t i o n l e tqb eab o u n d e dd o m a i ni n 世。w i t h8 m o o t hb o u n d 盯ya q ：= r = s l u a s s u 功e t h a ts 2l sn o n e m p t ya n dr e l a t i v 由o p e nl nra n d 两n 夏= 0 l e ts ow i t h 丽n 贾= 磊n 瓦= 0b eas m o o t hh y p e r s u r f a c e ，w h i c hs e p a r a t e sqi n t ot w od o m a i n s ，n 1a n dq 2 ，s u c h t h a ts 1cr 1 = a n la n ds 毫 r 2 = a q 2 l e t 甜b ead o m a i nn e a rs ds u c ht h a ts jc cq ， d e n o t eu = n 七nu ，南= l ，2 w bc o n s i d e rt h ef o i i o w i n gs y s t e m 钍；+ 口 一4 让i + m ) k “i = o ，i n n t r + ， u 七( z ，o ) = u 2 ( z ) ，札：( 。，o ) = u l ( z ) ， o nq 女， 盘= 1 ，2 ， 翟 。“s 。r 十， ( 1 筹十f ( 咖：扎。n s 2 m u 一，。，筹一筹，。n 岛嘀 一一喜妊出，考) 一以 地， 。玎。蛳a r e c ”妇咖圳n 贮鲁2 塞叼考 = c 一e u 疵n o r m 甜 。fra _ n d 岛p o j n t j n gt o w a r dt h ee x t e r i o ro fqa n dn i ，蝴= a 上，a = ( 盘d ) i sam a t r i x f u n c t i o n w e8 u p p o s et h a t o f = ( i ，矗) 7 1 鼹“， ( 1 1 3 ) f o rs o “l ec o n s t a n t 0 ，口1 ，口2a n dm a r ep o s i t i v ec o l l s t a n t s ，x u kd e n o t e st h ec h a r 孔t e r i s t i c f u n c t i o no f u i nn ，f ：岛叶且p 三( 岛) i s8 u c ht h a tf ( 写) f o 0 q比 等 。湖 a 白 f o 。 r e c e n t l y t h ee x tc o n t r 0 1 l a b i h t ya n db o u n d a r ys t a b i l i z a t i o no ft h et r a n s m i s s i o no f e l a s t i c i t y8 y 8 t e m sw i t hc o n s t a n tc o e m c i e n t sh a 、r eb e e ns t u d i e db ym a i l ya u t h o r s f 0 re x a i n p k ， l i n e a rs t a b i l i z a 七i o no ft h ew a ee q u a 土i o nw 8 sa n a 王y z e db yl i ue “【27 】a n dl i u ( 2 5 j l i ur 2 5 j s t u d yt h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) i nt h ec a s eo fc o n s t a n tc o 枷丘c j e n t s f b ro t h e rr e s u l t s ，w er e f e rt o l a g n e s e 16 】，l i ue to f 2 6 ，a 船s i l a 【1 a n do q u e n d o 【29 】 i nt h i sc h 印t e r ，w ec o n 8 i d e rt h es t a b i u z a t i o no ft h et r a n s m i 8 s i o nf o rt h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) w i t hv 缸i a b kc o e m c i e n t sb yu 8 i n gav e i 了d i 丑色r e n tm e t h o d ，n a h l e l 矾t h er k m a n n i a ng e o m e t r y m e t h o d ，w h i c l li s 矗r s ti n t r o d u c e di n t ot h eb o u n d a r yc o n t r o lp r o b k mb yy a o 【3 7 】f o rt h e 似a c t l yc o n t r o i l a b i l i t yo fw a v ee q u a t i o n s b yi n t r o d u c i n gb o t hb o u n d a r yf e e d b a c kc o n t r o i a n dd i s t r i b u t ef e e d b a c kc o n t r 0 1n e a rt h et r a i l s m i s s i o nb o u n d a r y ，w ee s t a b l i s ht h eu n i f o r m e n e r g ye x p o n e n t i a ld e c a yr a t ef o rt h ep r o b l e m ( 1 ，1 1 ) w i t h o u ta i l yr e s t “c t i o no no la n d0 2 a n dt h et r a n 8 m i s s i o nb o u r l d a r y i ts h o u i db em e n t i o n e dt h a t ，j no c a s e ，w ed on o th a v et h e s t r o n g e rg e o m e t r ya s s u m p t i o n so nq ，w h i c hi 8n e c e s s a q 7i nl i u 2 7 】a n df b n ge n f 9 i ， 1 0 】 1 1 1s o m en o t a t i o n s i nt h i ss u b s e c 乇i o n ，w ei n t r o d u c es o m en o t 缸i o n st h 缸w i ub eu s e di nt h ef o l l o w i n g i ti s m e n t j o n e dt h a ta 1 1d e 丘n i t i o n sa dr 1 0 t a t i o n sa r es t a n d a r da n dc l a 3 s i c a li n l i t e r a t u r e s s e ew u e t “ 3 6 s u p p o s e t h a t 0 f = ( f l ，矗) 丁皿“( 1 1 ，4 ) a ( z ) = ( o 玎( z ) ) ， g ( 正) = ( g f j ( z ) ) = 且一1 ( z ) ( 1 1 5 ) ( 1 - 1 6 ) f 0 re a c h 。r “，w ed e 丘n et h ei n n e rp r o d u c 9 ( ，) = ( 一，) a n d o r m o v e rt h et a n g e n t s p a c e 赆= 舻b y 9 ( x ，y ) = ( x ，y ) 目= 9 巧( z ) 啦岛，l x l 9 = ( x ，x ) ；，( 1 1 7 ) 喇= 砉锄毫，y = 喜晟去e 鸥，z 舻 固 2 n 豫0 白f 茁 ” o 。矧 t h e i li t i se a s yt oc h e c kt h a t ( 时，9 ) i 8ar i e m a n n i a nm a n j f o l dw i t hm e t r i c9 d e n o t et h e l e v i c i v i t ac o n n e c t i o ni nm e t r i c9b yd l e t 日b eav e c t o r 矗e l do n ( 孵，g ) ，t h e nc o v a r i a n t d i 如r e n t i a ld ho f 日d e t e r m i n e sab i l i n e a rf o r mo n 嗡瓞窑，f o re a c hz 即，b y d 日( x ，y ) = ( d y 日，x ) 口，v x ，y 嘴 ( 1 1 9 ) w h e r ed y 日i st h ec o v a r i a n td 盯i v a t i v eo fv e c t o rf i e l d 日w i t hr e s p e c tt ox d e n o t ev t h e g r a d i e n to fui r i e m a n n i a _ nm a n i f o l d ( r “，g ) i tf 0 1 l o w s 丘o ml e m m a 2 1i ny a 0 37 乞h a t v g u 1 2s t a t e m e n to fm a i nr e s u l t ，i bo b t a i nt h es t a b i l i z a t i o no f t h ep r o b l e m ( 1 ，l 1 ) ，t h ef o l l o w i n gh y p o t h e s i sa r ea s s u n l e d h 1t h e r ee x i s t sav e c t o r 矗e l d 日o nm e m a n n i a nm 衄i f 0 1 d ( r “，9 ) s u c ht h a t f b rs o m ec o n s t a n tb 0 d 日( x ，x ) 6 1 x 臣v x 豫：，。q ， h 2s 1a n d & s a t i s 黟可双两n 瓦= 0 ，a n d 日( z ) 扩s0 ， o ns l ( 1 2 ，1 ) ( 1 2 2 ) r ，e m a r k1 2 12 冼ee z i s t e 竹c e0 ， e c t o r 正e f d 日m 且 吐s6 e e np r 0 e d 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o 池e 西，6 u 妇n 。tn e s s a 付 n e o rt ed r i g i n 俐f b m 缸op 诌“如蹭t d9 妇es o m ee z b m p k s0 ，u e c t d r 正e f d s 础i c s 口墙由t k c d n d i i d n 5 日，j ，日2n n d 鼠3 ，日e 他叫eg f eo n e e x 啪p l e2 2 。l l e tab eg i v e nb y 山= 一嘉( e 蚪v 赛) 一苗( 酽+ v 骞) r i e m a n n i a nm a n i f o l d ( 鼹2 ，g ) h a sam e t r i c 9 = e 一。一”如出+ e 一。一”d g 曲 l e tn = ( z ，掣) il o 1 e t p ( z ) = 0 2 ( c ，+ 蛋) 一1 ( 卢王) ，( 2 27 ) t h e n ，p ( 。) i sap o s i t i v e ，c o r l t i n u o u s ，s t r i c t l yi n c r e a s i n gf u n c t i o nw l t hp ( o ) = 0 a n d “= ：! ：u 。= ：l ：u l = ：i ：i ：8 c 茹，= ：i 羔： y ： u em 。( 删u ；矾n 也t 乩za n d 。，筹一等。n 岛) b yu s i n gt h es i m i l a ra r g u m e n t sa si nk o i n o r n i k 【1 4 】，a n d 七h a n k st ot h em o n o t o n i c i t y a n dt ot h eg r o w t hc o n d h i o n so n ，w ec a _ i lo b t a i nt h ew e l l - p 0 8 e d n e s sf o rt h ep r o b l e m ( 2 1 1 ) f 0 r 出l g i v e n i l l i t i a l d a t a ( 如，u 1 ) 磁l ( n ) x l 2 ( n ) ，t h e p r o b k m ( 2 1 1 ) a d m i t sa u n i q u e 9 1 0 b 甜w e 址s o l u t i o n u g ( r + ，璐。( n ) ) nc 1 ( r + ，l 2 ( n ) ) ( 2 2 8 ) f u r t h e r m o r e ，i f ( u i ，“1 ) yn 现1 ( q ) ) 珥l ( n ) ) a n d ，i sg l o b a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ， t h e nt h es 0 1 u t i o nh a st h ef o l l o w i n gr e g l l l a r “y ： 牡l ( r + ，y ) nw 1 ，( r + ，日；。( q ) ) nw 2 o 。( r + ，2 ( q ) ) ( 2 2 9 ) s u p p o s eu i st l eu n i q u eg l o b a lw e 8 ks o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 2 1 1 ) ，w ed e f l n et h e c o r r e s p o n d i n ge n e r g yf u n c t i o n a lb y 即，= ；互m 2 + 。c 叫害。灯差骞 出 o m a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 2 1a s s u m e 矾。t 丑且彳 。垃7 巩e n ，如rs o m e 乃 0 踯) 茎s ( 去叫，v t 蜀 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ，0 rn “s 。f u z t o n s “对t ep 6 f e 矾偿j 。i ，叫i 拙( 珏o ，u 1 ) 日；、( q ) xl 2 ( q ) ，“疵e 他s ( ) 诂t 五e c o 竹m c t i o ns e m 匆u ps n i b i w o n d s ( ) - o ，s t _ 。 爰印) + 邪) = o ，即) = 即) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 ，1 3 ) 脚h e r eg ( z ) t sd 啦n e d 蚵 g ( z ) = 。一( j + p ) 一1 ( 石) 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