（信号与信息处理专业论文）数字图像非线性畸变校正方法研究.pdf

摘要 数字图像非线性畸变校正方法研究 作者简介：陈选育，男，1 9 7 8 年8 月出生，2 0 0 5 年9 月师从于成都理工大学李灿平 副教授，于2 0 0 8 年0 6 月获硕士学位。 摘要 随着摄像机技术的不断发展，其应用已经非常普遍。然而摄像机在图像拍摄、 传输过程中，输出图像质量不是很高，有时存在很大的变形，未能达到输出图像 要求。这是由于摄像机内部光学镜头组、传感器敏感元件材料和生产工艺及外部 复杂的拍摄环境所造成。为了提高图像定量分析的结果，必须对这类图像进行校 正。通常采用两类校正方法，分别为光学校正和数字校正。数字图像校正是利用 数学分析方法，结合数字图像处理技术对摄像机摄入的图像进行校正，以达到图 像分析的目的，是数字图像处理的一个重要研究分支。随着数字图像处理技术的 发展，采用数字图像技术进行畸变校正逐渐盛行。 图像畸变可分为线性畸变和非线性畸变，据此，数字图像校正可分为线性校 正和非线性校正。线性校正技术国内外已经有很多相关方面的研究，非线性校正 则比较少，文章主要针对摄像机获取的视频图像，采用数字图像校正方法对非线 性畸变图像进行了深入的研究和分析。 首先，阐述了图像校正的背景和意义，图像畸变校正技术分类及图像校正国 内外研究现状。然后，针对伴随图像的噪声问题，介绍了各种去噪处理方法，分 析了各自去噪效果的优劣，以减小噪声对图像校正的干扰，同时介绍了摄像机标 定模型。 其次，文章在介绍了两种基本的几何校正方法一直接法和间接法的基础上， 探讨分析了基于畸变率的图像几何校正和非线性有理逼近模型。在总结前人研究 成果的基础上，分析其算法存在的不足，提出l m b p 神经网络非线性校正算法。 然后，结合所做项目遇到的实际问题，分析该算法性能优势，用此算法实现图像 校正。 最后，对论文研究成果进行了总结，提出了未来研究的方向。 关键词：图像畸变线性校正非线性校正畸变率 j 始s e a r c n0 n 州o n n n e a rl 妇s t o r n o ni j o r i e c l l o n nl tn j 一 j m e t h o do fd i g i t a lh n a g e i n t r o d u c t i 册o f a u t h o r ：c h x u 柚- y u ，m a l e ，b 咖i na u g i i s t ( m t h ) o f1 9 7 8 ( y e 砷， w 嬲伊a n t e dt h em 嬲t e rf m mc h e n 罢r d uu i l i v e 墙i t yo ft 池o l o g yw h o s et u t o rw 舔 p r o f c s s o ru c a np i n g ( n 锄e ) w i t hc o n t i n u o u sd e e l o p m t0 fp i c k t i pc a m e r at e c l l i l o l o g y ，i t sa p p l i c a t i i s v e r ) ，p o p u l a r h o w e v e ri nt h ei m a g eo fp h o t 0 伊a p h y 锄dt m s m i s s i o np r o c e s s ， t h e o u t p u tq u a l i t yo fj m a g ei sn o tv e 巧h i 曲，a n dh 觞al o to fd i s t o n i o ns o m e t i m e s ， i t f a i l e dt om e e tr e q u i r e m e n t so ft h eo u t p u ti m a g e t h i si sd u et oi n t e m a l0 p t i c a l l e 璐 孕o u po fc a l i l e r a ， s e n s o r ss e n s i t i v ec o m p o n e n t s m a t e r i a l s ， p r o d u c t i o np r o c e s s e s 卸d c o m p l e xe x t e m a le n v i r o n m e n tc a u s e db yt h es h o o t i n g i i lo r d e rt oi m p r 0 v et h er e s u l t s o fi m a g eq u a n t i t a t i v e 锄a l y s i s ， t l l i st y p eo fi m a g em u s tb ec o r r e c t e d i tu s u a l l yu s e s t w ot y p e so fc 0 玎e c l i o nm e t h o d s ， n a m e l y 叩t i c a lc 0 r r e c t i o na n dd i 舀t a lc o r r e c t i 伽 d i 舀t a li m a g ec o r f e c t i o nu s e st h eu n i to fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sm e t h o da n dd i 舀t a l i m a g ep r o c c s s i n gt e c l l i l o l o g yt oa d j u s tt h i si m a g ew h i c hi ss h o tb yp i c k u pc a m e r as o a st 0a c h i e v ei m a g ea i l a l y s i s p u 印o s e i ti s 觚i m p o r t 觚tr c s e a r c hb r a n c ho fd i 舀t a l i l n a g ep r o c e s s i n g a i o n gw i t hd e v e l o p m e n to fd i 舀t a li m a g ep r 0 c e s s i n gt e 咖l o l o g y ， i ti s 伊a d u a l l yp r e v a l e n tt ou s et e c h n o l o g yo fd i 百t a li m a g cc o r r e c t i o nt oc a 盯yo nt h e a d j u s t m e n to fd i s t o n i o n i m a g ed i s t o n i o nm a yd i v i d ei n t ol i n e a r 粕dn o n l i n e a rd i s t o r t i o n a c c o r d i n 酉y ， t l l e d i 舀t a li m a g e n c t i o nc a nb ed i v i d e di n t ol i n e a ra n dn o n l i n e a rc o f r c c t i o n t e c h n o l o g yi nt h ef i e l d so fl i n e a rc 0 e c t i o nh a sal o to fr e l e v a n td o m e s t i ca n df o r e i 印 r e s e a r c h ， b u ti sf e w e ri nt h ef i e l d so fn o n l i n e a rc o r r e c t i o n t 1 l e 硪i c l em a ：i l l l ya i m e d a tt h ev i d e oi i l l a g ew h i c ht h ep i c k u pc a m e r ag a i n e d ， u s i n gd i 西t a l i m a g ec o n e c t i o n m e t h o df o rn o n l i n e a f d i s t o n i o no ft h ei i i l a g ei sd e e p l ys t u d ya n da n a l y s i s f i r s t ， t h ea r t i c l e0 u t l i n e dt h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fi m a g ec o n e c t i 锄， t e c l i i l o l o g yc l a s s i f i c a t i o no fi m a g ed i s t o r t i o nc o r r e c t i o na i l di t sp r e s e n td o m e s t i c 趾d f o r e i 印r c s e a r c hs i t u a t i o n t h e n ， f o ra c c o m p 锄i e di m a g e sb yt h en o i s ep r o b l e m s ，i t i n t r o d u c ea v a r i e t yo fm e t h o d s o ne l i m i n a t i n gn o i s e ， 锄a l y z e de 骶c t so ft h ep r o s 锄d c o n s o ne l i m i i l a t i n gn o i s ed e a l i no r d e rt or e d u c en o i s eo nt h ei m a g cc o 碳斌i o n i n t e r f b r c n c e s i m u l t a n e o u s l y 锄e r ad e m a r c a t i n gm o d e lw a s i n t r o d u c e d s e c o n d ，t h ea r t i c l ep r e s e n t sm ob 硒i cg e o m e t r i cc o r r e c t i o nm e t h o d s - d i r e i t 龃d i 成都理工大学硕士学位论文 i n d i r e c tm e t h o do nt h eb a s i s0 ft h a t ，也ed i s c u s s i o nh 弱a n a l y z e di m a g eg e o m e t r i c c o r r e c t i o nb 弱e do nd i s t o n i o nr a t i o 觚dr a t i o n a la p p r o x i m a t i o nb a s e do nt h e n o n l i n e a rm o d e l s u m m a r i z i n gt h er e s u l t so fp r e v i o u ss t u d i e s ，d e f c c t sw h i c hl i ei n f b m e ra l g o r i t h m sw e r e 锄a l y z e d i to 骶r sl m b pn o n l i n e a rc o r r e c t i o na l g o r i t h mo f n e u r a ln e t w o r k t h e n ， t k 0 u g h t h ep r a c t i c a lp r o j e c tp r o b l e mt h a th a u sb e e n e n c o u n t e r e d ， a d v a l l t a g e so ft h ea l g o r i t h mp e r f b 皿a n w 雒觚a l y z e d 觚dt h ci m a g e c o r r e c t i o nw a sr e a l i z e dw i t ht l l i sa 1 9 0 r i t h m f i n a l l y ， t h er e s e a r c ha c h i e v e m e n t s0 ft h ep a p e r 撇s u m m 盯i z e d ，t h ef h t l i r c r c s e 鲫c hd i r e c t i o ni sp r o p o s e d 1 【e yw o r d s ：i m a g ed i s t o n i o n l i n e a rc o n e c t i o n n o n l i l l e a rc 0 玎_ c c t i o nd i s t o n i o n r i l t i o 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛都堡王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 件递蠢 i 、 ，窘年s 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛都堡王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权虞都理互太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：阵迭昏 靴做臌轹托事 l 埘年 s 月髟日 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 论文选题背景及意义 近些年来，随着摄像机技术的不断发展，其正在工业、交通、医疗、军事等 领域得到广泛应用。如在保安系统，随着楼宇建设的增加和社会保安系统需求的 增长，网络摄像机用于保安系统的需求将会快速增长。与传统的监控系统相比， 网络摄像机有如下优点：减少线路种类，便于安装；可方便地与其他计算机网络 应用集成；可进行双向通讯；图像的存储、传输与管理简便可靠；可灵活地增加 监控点；性能高，成本低，使用维护费用少：另外，在我国包括北京、天津、上 海等多个大城市都已在主要交通干线上安装了监控设备，一些国道上也安装了监 控设备。在道路交通监控领域网络摄像机在性能与价格方面有明显的优越性。一 方面，网络摄像机由于采用最先进的数字技术对视频图像进行采集处理和压缩编 码，使得在保证图像质量的前提下存储和传输视频图像变得方便快捷，视频图像 可以在指挥中心、分中心之间自由切换。另一方面，随着网络技术与服务的发展， 宽带网络j 下在快速地伸展到城市的各个角落，在这种情况下，网络摄像机无需专 门布线就能够方便地得到应用，与传统监视设备相比组成监控系统要简便得多， 成本也会大幅度降低。再者网络摄像机由于具有双向传输功能，不仅具备监视的 全部功能，而且能在控制室内操作道路上的各类交通管理设施，如丌关红绿灯， 警示灯，调节监控器等，这也是传统设备无法比拟的。在为交通系统提供监控手 段的同时，网络摄像机还能够为大众提供道路交通状况的服务，司机可以根据自 己看到的路况决定要走的路线。摄像技术还在水下探测、视频会议和视频点播 ( v o d ) 、病床护理监控、工厂车间生产过程监控和远程技术指导等领域发挥 着极大的优势，给人们工作和生活带来方便。 然而摄像机在图像拍摄、传输过程中，输出图像质量不是很高，有时存在很 大的变形，未能达到输出图像要求。这是由于摄像机内光学镜头组、传感器敏感 元件材料和生产工艺等原因，线列或面阵红外成像器件各敏感单元响应率曲线的 斜率和截距互不相同，在不同条件下( 天气、照度、摄像位置和角度等) 获取的两 个或多个图像一般会有所不同。同一场景的多幅图像的差别可以表现在：不同分 辨率、不同狄度属性、不同的位置( 平移和旋转) 、不同的比例尺、不同的灰度 属性等差异，它们通常被称为多模态图像。对于拍摄条件、拍摄设备的不同，导 致拍摄得到的图像存在各种畸变，在1 m m 2 视场中，放大5 倍成像为7 6 8 5 7 6 的图像时，有大约2 个像素的非线性畸变，即约为2u 的误差。畸变的存在，影 响图像的视觉效果，尤其不利于基于图像分析的定量分析领域。需要对多模念图 像进行几何校正，然后对图像进行配准。因此，专门针对数字图像非线性畸变校 正研究有重大意义。 1 成都理工大学硕士学位论文 1 2 数字图像畸变校正技术 在图像处理领域，对图像畸变按处理方式可分为两类：光学校正和数字校正。 光学校正主要用于早期的遥感图像处理，现在的应用已经不多。除了对框幅式的 航空照片( 中心投影) 可以进行比较严密的纠正以外，对于大多数动态获得的遥 感影像只能进行近似的纠正。 1 2 1 光学系统设计中图像校正技术简介 摄像机成像过程中存在三种畸变，分别为径向畸变、离心畸变和薄棱镜畸变， 造成图像在径向失真和切向失真，如图1 1 所示。一般认为，在短焦距光学镜头 中，由于径向畸变起主要作用，而离心畸变和薄棱镜畸变则影响较小，因此校正 的主要是径向误差。 一、 ，即 所有被研究的点都位于透镜前方。利用相似三角形原理容易求得关系如下： 三；一j l ：j l ( 2 6 ) 一；一。一= 一 、l 。i ， fz ff z 上。一j l ；j ，- ( 2 7 ) 一i 一一= 一 三一， tz tf z 从而得出空间三维点的像平面坐标： 工；卫坠 ( 2 8 ) 工= = 一 l z - 芍) | 一z v 。里( 2 9 ) v 一l 一 l 、z y ， f z 式2 8 、2 9 给出了三维点向图像平面投影形成图像这一过程的公式描述，建 立了二维图像坐标与三维摄像机坐标之间的关系，称为成像变换。因此这两个公 式构成了一个成像摄像机的基本数学模型。 2 3 4 摄像机标定模型 图像坐标系o x y ；摄像机坐标系0 c 茗。咒z 。；世界坐标系仉x w 匕z 。从世界 小阱 像 其中只2 兰蔓兰 ，2 乏 。 吒：厂主，y 。，监 ( 2 1 1 ) 1 7 成都理工大学硕士学位论文 一( 1 + 娥) 吒，y 。一( 1 + 娥) 咒 ( 2 1 2 ) 式2 - 1 2 中群一彳+ 刃，k 为一阶径向畸变系数。 实际图像坐标系到计算机图像坐标系的转换： - c ，+ s ，h ，y = c y + s y y d ( 2 1 3 ) 式中心，c ，) 为主点o 的像素坐标即主点坐标，( ，s y ) 为图像平面单位距离上 的像素数。 图2 7 带有一阶径向畸变的针孔模型 2 3 5 摄像机标定算法 由以上摄像机模型可以看到，需标定的外部参数包括r 和t ，如式2 1 0 中所 示，共1 2 个，但因r 为单位正交矩阵，必须满足6 个正交约束，故实际上只有 6 个外部参数需要标定。 需标定的内部参数有6 个，即主点坐标( c ，c ，) ；图像平面单位距离上的像素 ( s 。，s ，) ；有效焦距厂；镜头径向失真系数k 。其中s ，由硬件厂商提供。对所需求 解的摄像机内外参数可按照以下步骤逐步获取。 确定s 。由于摄像机焦距同时在x 和y 方向上缩放图像，因此，可垂直拍 摄一个圆环，然后计算其在水平方向和垂直方向上的像素直径比，由于s 。已知， 则可求出s ，。 求取主点坐标( c 。，c ，) 。当摄像机的有效焦距变化时，相应的图像发生缩放， 而光轴不变，故光轴与图像平面的交点( 主点) 不变。用相机的不同焦距拍摄同一 景物，然后计算其缩放中心即得主点坐标。假定摄像机的焦距由厂1 变为，2 ，由 式2 1 3 得： 1 8 第2 章畸变校正相关技术 ! 生旦：竺1 2 = ( 2 - 1 4 ) 一= 一 l ，- - 4 ， “1 一q h 一勺 整理后用向量表示为： h 一屹：一“，】kc y 】2 = 比：h 一比， ，： ( 2 - 1 5 ) 式中 ，u ) 为在有效焦距五下某特征点的像素坐标， ：，屹) 为同一特征点在 有效焦距厂2 下的像素坐标。选择多个特征点，利用最小二乘法即可线性解出 他，c y ) 。 求取旋转矩阵r 中的，吃，吩和平移矩阵t 中的屯和f ，。由于本研究标定 模板采用的是共面点进行标定，故z 。= 0 ，由式2 1 0 式2 1 3 得： 【匕y 。k k z 。x d y ，蜀一x d 】【1 厂2 + 1 _ 吩f ，+ 矿= t k ( 2 - 1 6 ) 式2 1 6 中o 。，y 。) 为标定点的世界坐标；( x 。，匕) 为标定点对应的图像坐标； 列向量的6 个元素为未知量。对于每一个标定点，利用其已知的世界坐标和相应 的图像坐标，列出如上的一个方程，取6 个以上标定点，用最小二乘法求该超定 方程即可得到，吃，= i ，吩，t 和f ，。 根据r 的正交性，计算r 的其余参数。 吩= l 一吒2 一孑 吃= 1 一孑一孑( 若，：l + ，2 吩 o ，则厂6 取负号) ； ，7 。厂2 r 6 一吃吩 气5 一吃 为2 吒吩一吃 如果下面计算的有效焦距，为负号，则毛，屹，巧，的符号与上面相反。 求解有效焦距厂，径向畸变系数k 和平移分量f ，。由公式2 1 2 得： 吒2 厂妻2 志2 厂端 沼m ， 咒5 厂尝2 尚2 厂黼 协1 乃， 整理可得如下含未知数厂、k 、c 的线性方程： h 删一艺卜 ，厂口；：乞r = 髟c ( 2 1 8 a ) ，厮一匕】 厂，咙乞 f ；匕c ( 2 1 8 b ) 式中日= + ，2 y 。+ ；，；眠+ 吩y 。，；c = ，7 x 。+ y 。用最小二乘法联合 解线性方程组，即可得厂、k 、f ：的解。如果厂 o ，则将其反号，其余参数符号 参考步骤4 。 成都理工大学硕七学位论文 第3 章畸变校正原理与算法 3 1 基本几何校正技术 对于获取的图像，在一个数字图像处理系统中，图像的正规化、去噪等预处 理后，还要对图像的畸变进行几何校正，即校正图像获取过程中所造成的各种几 何畸变，以达到图像处理的要求。 几何校正分为两种：即几何粗校正和几何精校正。几何粗校正是针对引起畸 变原因而进行的校正。由于这种畸变的是按照比较简单和相对固定的几何关系分 布在图像中的、因而它比较容易校正，进行校正时只需将传感器的校准数据、遥 感平台的位置以及卫星运行姿态等一系列测量数据代入理论校正公式即可。几何 精校正是利用控制点进行的几何校正，包括两个步骤： ( 1 ) 构建一个模拟几何畸变的数学模型，以建立原始畸变图像空间与标准 图像空间的某种对应关系，实现不同图像空间中像元位置的变换，即找到原始图 像坐标和畸变图像坐标之间的几何变换关系t ，对畸变图像的坐标进行t 变换， 实现图像的几何校正；由于经过几何变换后的像素点不一定回落在离散的坐标点 上，所以要重新确定空间中像素点的狄度值。 ( 2 ) 利用这种对应关系把原始畸变图像空间中全部像素变换到标准图像空 间中的对应位置上，完成标准图像空间中每一像素灰度值的计算。 实际上，几何精校正是用一种数学模型来近似描述图像的几何畸变过程，并 利用畸变的数字图像与标准图像之间的一些对应点( 即控制点数据对) 求得这个 几何畸变模型，然后利用此模型进行几何畸变的校j 下，这种校正不考虑畸变的具 体形成原因，而只考虑如何利用畸变模型来校正图像。采用几何精校正后的校正 效果如图3 1 所示。 ( a ) 畸变图像 ( b ) 校正后图像 图3 1 几何精校正对比图 第3 章畸变校正原理与算法 3 1 1 空间坐标变换 实际工作中常以一幅图像为基准，去校正另一幅几何失真图像( 如图3 2 ) 。 通常设基准图像f ( x ，”是利用没畸变或畸变较小的摄像系统获得的，而有较大几 何畸变的图像用g ( x ，y7 ) 表示，下图是一种畸变情形。 g t 掣1 ( a ) 基准图像( b ) 畸变图像 图3 2 图像畸变示意图 设两幅图像几何畸变的关系能用解析式3 1 描述为： 萨嬲 1 ) 通常啊 ，) ，) 和也 ，) ，) 可用多项式来近似表示为： ( 3 2 ) 当= 1 时，畸变关系为线性变换， j x 2 口+ 口1 0 x + 口o l y ( 3 3 ) i y 一6 钿+ 2 j l + l y 式3 - 3 中包含口加、口。o 、a o l 、b 驴包o 、1 6 个未知数，至少需要3 个已知点来 建立方程式，求解未知数。 当n = 2 时，畸变关系式为： f _ 口o o 棚- 声棚。- ”口2 0 t _ 口1 1 矽蜘。2 广 ( 3 - 4 ) l y 一6 0 h d + 6 i o x + l y + 6 2 0 x 2 + 岛1 砂+ 2 y 2 包含1 2 个未知数，至少需要6 个己知点来建立关系式，求解未知数。 3 1 2 直接法 几何精校正方法可分为直接法和间接法两种。直接法就是利用若干已知点坐 标，根据式3 5 ： 2 1 y y 如 助 hv箭v箭 。v自。v向 = = ，y 成都理工大学硕士学位论文 x ；群o ，y 4 荟荟_ ；工盯y “ ( 3 5 ) y 。 7 ：o ，y ) 5 塞薹6 ；x h y 吖 求解未知参数；然后从畸变图像出发，根据式3 5 关系依次计算每个像素的 校正坐标，同时把像素灰度值赋予对应像素，这样生成一幅校正图像。但该图像 像素分布是不规则的，会出现像素挤压、疏密不均等现象，不能满足要求。因此 最后还需对不规则图像通过灰度内插生成规则的栅格图像。 3 1 3 间接法 间接法也称为反变换法，是从输出像素出发，一次一个地将输出像素映射回 到输入图像中，以便确定其灰度值。设恢复的图像像素在基准坐标系统为等距网 格的交叉点，从网格交叉点的坐标( x ，y ) 出发，若干已知点，求解未知数。根据 式3 6 推算出各格网点在已知畸变图像上的坐标( 石，y ) 。 卜呜o ，y ) = 薹咿y 7 9 筹， ( 3 6 ) 卜 ：o ，y ) 一y l l ”。u 由于( x ，y ) 一般不为整数，不会位于畸变图像像素中心，因而不能直接确定 该点的灰度值，而只能在畸变图像上，由该像点周围的像素灰度值通过内插，求 出该像素的灰度值，作为对应格网点的灰度，据此获得校j 下图像。 另外应注意，采用直接法进行图像的几何运算时会产生两个问题：第一，在 对图像进行拉伸放大的区域，显然会存在空像点；第二，在对图像进行压缩的区 域，显然会出现原图像中的多个像素对应一个像点。这两个问题都会产生像素跃 越现象，其结果会搞乱原图像像素间的自然顺序关系。相对来说，用间接法内插 灰度比较容易，所以一般采用间接法进行几何纠正。 3 1 4 像素灰度内插方法 灰度插值即重采样，是用标准图像空间中的像元点f 位置反求其在原始畸变 图像空间的共扼点g ( x ，y ) ，然后再利用某种方法确定这一共扼点的灰度值，并 把共扼点的灰度值赋给标准图像空间对应点厂o ，y ) 。常用的像素灰度内插法有 最近邻元法( n e a r e s tn e i g l l b o r ) 、双线性内插法( b j l j n e a r ) 和三次内插法( c u b i c ) 三种。 这三种方法的描述如下： ( 1 ) 最近邻元法 第3 章畸变校正原理与算法 在待求点o ，y ) 的四邻像素中，将距离这点最近的相邻像素 ，z ) 灰度赋给该 待求点。如下图3 3 所示： 工l 假j ) 图3 3 最近邻法示 该方法最简单，效果尚佳，但校正后的图像有明显锯齿状，即存在灰度不连 续性。 ( 2 ) 双线性内插法 该方法输出的像素值是它在输入图像中2 2 领域采样点的平均值，它根据某 像素周围4 个像素的灰度值在水平和垂直两个方向上对其插值。为了说明问题， 不妨先来看一个简单实例入手。我们知道四点确定一个平面函数，属于过约束问 题，问题描述如下： 单位正方形顶点已知，求正方形内任一点的厂 ，y ) 值。 解这种问题，首先假设平面函数， ，) ，) = 织+ 妙+ c 砂+ d ，其中口、b 、c 、d 为常 系数。然后，代入已知四点的坐标值有： f ，q = d ( q o ) 。? + 鼍 ( 3 7 ) ，( 0 ，1 ) 一6 + d ，( 1 ，1 ) 一口+ 6 + c + d 分别求出常系数，则函数厂o ，y ) 的表达式为： ， ，y ) _ 【，q 0 ) 一，( 0 ，0 ) k + 【，( 0 ，1 ) 一厂( 0 ，0 ) l y “，( 1 ，1 ) + ( 3 8 ) ，( 0 ，0 ) 一，( 1 ，o ) 一，( 0 ，1 ) b 秒+ 厂( o ，0 ) 假设，( 0 ，0 ) 一2 ，厂g 0 ) 一3 ，厂( 0 ，1 ) 一1 ，g 1 ) 一4 ，则 ， ，y ) 一x y + 2 砂+ 2 ( 3 9 ) 双线性内插法是利用待求点四个邻域像素的灰度在水平和垂直两个方向上作线 性内插。如图3 4 所示，下面推导待求像素灰度值的计算式。 对于a ，_ + y ) 有 ，o ，歹+ v ) 一【，o ，_ ，+ 1 ) 一，g ，j ) 】1 ，+ ，o ，j ) ( 3 - 1 0 ) 对于a + 1 ，j + ，) 有 厂g + l j + 1 ，) = 【，o + 1 ，j + 1 ) 一，o + l j ) 1 ，+ 厂g + 1 ，j ) ( 3 - 1 1 ) 对于o + “，j + ，) 有 成都理工大学硕士学位论文 ，o + “，j + ，) - 【，o + 1 ，歹+ v ) 一，g ，j + ，) k + ，o ，j + v ) i ( 1 一“) ( 1 一l ，) 厂o ，j ) + ( 1 一“) 讧 ，o ，j + 1 ) + ( 3 1 2 ) “( 1 一y ) 厂a + 1 ，j ) + “ ，口厂o + 1 j + 1 ) 图3 4 双线性内插法 另外，还有一种双线性插值，0 ，y ) 是经坐标校正后得到的，并设 o x 1 ，o y 1 。 首先通过一阶插值线形插值可得厂g ，0 ) 和厂 ，1 ) 分别为： j 厂o ，0 ) = ，( o ，o ) + 研厂g o ) 一厂( o ，0 ) 】 ( 3 1 3 ) l ，o ，1 ) = ，( o ，1 ) + z 【，( l 1 ) 一，( o ，1 ) 】 然后对垂直方向做一阶线形插值得出厂0 ，y ) 为： ， ，y ) - ， ，0 ) + h ，o ，1 ) 一，0 ，0 ) 】 一z 【，g o ) 一厂( 0 ，o ) 卜y 【厂( o ，1 ) 一厂( 0 ，0 ) 】+ ( 3 - 1 4 ) 夥【，q 1 ) 一厂q o ) + ，( 0 ，o ) 一，( 0 ，1 ) 】+ ，( 0 ，o ) 从而对原图像中不存在的像素点都可以用该式计算出其近似值而不是直接用它 的临近像素点的值来代替。 该方法要比最近邻元法复杂，计算量大。但没有灰度不连续性的缺点，能保 持较好的图像边缘细节，精度最高，结果令人满意。它具有低通滤波性质，使高 频分量受损，图像轮廓有一定模糊。 ( 3 ) 三次卷积法 三次卷积法利用三次多项式s ( x ) 来逼近理论上的最佳插值函数s i n ( x ) x ，图 3 5 为其函数曲线，数学表达式为： r 1 2 i x l 2 + i 工1 3 o 墨i 工i 1 s ) 一 4 8 i 工i + 5l z1 2 一i 石1 3 1s i 工i 2 ( 3 1 5 ) i o i zi 2 第3 章畸变校正原理与算法 图3 5 三次插值曲线 如果在变换后的坐标附近能找到个1 6 邻点，则可采用此法待求。像素( z ，j ，) ( 如图3 6 所示) 的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权内插得到。可推导出 待求像素的灰度计算式如下： ，o ，y ) 一彳b c ( 3 - 1 6 ) 其中a ，b ，c 分别表示如下： 彳= 【s ( 1 + v ) s p ) b = ，“一1 ，歹一1 ) fq ，j 一吣 ，o + 1 ，j 一1 ) ，a + 2 ，歹一1 ) c = s ( 1 + m )s ( h ) 向量a 、c 中m 、 ，分别表示为： 最大整数部分。 s ( 1 一v )s ( 2 一v ) 】 厂o 一1 ，)厂“一1 ，+ 1 )厂q 一1 ，j + 2 ) ，o ，歹)，o ，歹+ 1 )，o ，歹+ 2 ) 厂a + 1 ，j )厂( f 一1 ，j + 1 )厂( z 一1 ，j + 2 ) ，o + 2 ，j f )，( f + 2 ，j + 1 ) ，g + 2 ，歹+ 2 ) s ( 1 一“)s ( 2 一“) “= 工一旺】，y ；y 一【y 】，回表示取括号内值的 图3