（运筹学与控制论专业论文）广义kortewegdevriesburgers方程解的大时间行为.pdf

硕士学位论文 a l a s t f r s i i i p6 i s 第二部分主要介绍了 本文所需要的一些已 知结果. 在对稀疏波进行光滑化处 理后， 我们进一步给出了 关于光滑稀疏波的一些新的 衰减估计， 这些衰减估计在 后面的l 能量估计中起着很重要的作用. 第三部分首先建立了 解的局部存在性理论， 然后结合先验估计给出了本文的 主 要结果即稀疏波解的 稳定性理论( 见定理3 . 3 ) . 第四部分我们证明了k o r t e w e g - d e v r i e s - b u r g e r s 方程是无粘的b u r g e r s 方程的 一个粘性逼近. 关 键词: k o r t e w e g - d e v r ie s - b u r g e r 。 方程，l z 能 量方 法， 先 验估计， 、 中 心 稀疏 波， 稳定性，一致估计. 硕士学位论文 % i 4 s t e r s t i i f s i s abs trac t i n t h i s p a p e r , w e c o n s i d e r t h e c a u c h y p r o b l e m f o r t h e g e n e r a li z e d k o r t e w e g - d e v r i e s - b u r g e r s e q u a t i o n o n r x r + u ， +pi t ) 二 =a 。 二 二 +b 。 二 ， 二 ， wi t h i n i t i a l d a t e 。 : 二 。 =。 。 ( : ) *u 士 ， 二 一0 , b e r, f i s a s m o o t h c o n v e x f u n c t i o n d e fi n e d o n r . u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t 。 一 0 , 8 e r , ( x , t ) e r x r + , f ( u ) 是定义在r上的光滑凸函数， 即 存在一 个常数a 。 ，使得对任意的。 e r有尸( 司 a . 方 程( 1 .1 ) 称 为 广 义 k o r t e w e g -d e v r ie s -b u r g e r s 方 程 ， 是 因 为 当 a - ) 一 号时 ， 它 是 由著名的粘性b u r g e r s 方程 u 亡 十u u s= f u 二 二 和著名的k o r t e w e g - d e v r i e s 方程 u , +u u ,+u ， 二 二=0 复合 而 得到的 方程( 见参 考文 献匡 ， 叻. 其中k o r t e w e g - d e v r i e s 方 程是由d . j . k o - r t e w e g 和g .d e v r ie s 为 描 述 在浅水的 波 面上波的 传播 而提出来 得( 见 参考参 考文 献 1 8 ) . 因此， 对这类问 题的研究有着重要的 理论意义和应用价值， 也是人们长期 关心的 焦点问 题， 并获 得了 一系 列的 重 要结 果( 见 参 考文献1 , 5 , 1 5 , 1 6 , 1 8 , 3 3 d . 下面我们回顾一下前人在这个问题以及相关问题上所做的工作情况. w i n 和o l e i n i k 1 2 首先在1 9 6 0 年研究了如下粘性b u r g e r s 方程的c a u c h y u t +f ( u ) 二 =“ “出士 ， u士， i t 0 , ( x , t ) e r x r + , 问题: ( 1 . 2 ) 。 : = 。 =u o ( 二 ) 、 x -,士e . 的解的大时间行为.在文章 1 2 中，作者用极值原理证明了问 题( 1 .2 ) 在t 时解的渐近行为跟下面的无粘的b u r g e r s 方程的黎曼问题: 。 * +f ( u ) x =0 ， 衫一， x0， 一净 汉 ( i s ) 了.j! - 、1了 之 厂.、 ro u -一 u t = o 吩 石 万 士学位论文 t 1 .1 sp f r s i h i si s 有 着紧密的 联系. 众所周知( 比 如 可 参考文献咚 ， 2 6 , 3 5 ) ， 如果f ( 司是r上的 光 滑凸函 数，那么问题( 1 .3 ) 的解可由如下三种情形来获得. 情形1 . 若。 一 。 + ， 则问 题( 1 .3 ) 的 解。 ( x , t ) = u 气 x / t ) ， 其中 : f ( 。 一 ) t , u r ( 二 / t ) ( f , ) 一 ( 二 / t ) , f l ( 。 一 ) t 二 f l ( u + ) t , ( 1 .4 ) 二 全f ( u + ) t 十亡、.性、 一- 这里。 r ( x ， t ) 被称为中心稀疏波. 情形 2 情形下， 若 。 _=。 +，则问 题( 1 .3 ) 有唯一的常数解u ( x , t )= u_= u+.在这种 通常我们考虑下面更一般的问题: u t +f ( u ) 二 =0 ( 1 . 5 ) 。 。 = 。 =。 。 ( : ) . 对于问 题( 1 .5 ) ，我们有下面两个结果( 可见参考文献( 2 7 ) : ( i ) 如 果。 u g c , 并且在r有界， 则问 题( 1 .5 ) 在0 0 ，则( i ) 中的解。 ( x , t ) 是一个整体的光滑解. 情形3 . 若。 _ u + ， 则问 题( 1 . 3 ) 的解称为激波即u ( x , t ) = u ( : 一 s o ， 其中 x s t 妇.j -十 uu !哎!、 -一 这里的s 称为激波速度，满足r a n k i n e - h u g o n i o t 条件s =f ( + ) 一f ( 。 一 ) u + 一 u一 在此基础上， 有许多的作者开始了对问 题( 1 .2 ) 的解的 大时间 行为的研究 ( 见 参考文献呻 ， 1 0 , 1 7 , 1 9 , 2 0 , 2 2 , 2 6 d ， 这些研究工作，可粗略 地概括为下面三种情 寻 硕士学位论文 i i s c e r s t h e s i s 情况1 . 若。 一 2 ) 的 假设下， 建立了问 题( 1 .7 ) 解的 存在性，唯一性， 连续依赖性以及解的光滑化等一整套理论，并采用f o u r i e r 变 爵 硕士学位论文 u % sr f r 气1 ， “ 卜 换和参量变值法给出了 解u ( x , t ) 的表达式为 (一 ) 一 : (一 卜 一 + 12 厂 、 “ (一 卜 一 (一 )己一 这里s ( x , 约为方程。 : 一 p u 二 二 + b u m 二 二 =。 的基本解 s ( 二 ，) 一 1 i 。 一 ， 2 + = e ) x d # ai r jr 2 . a m i c k ，b o n a 和s c h o n b e k ( 见 1 ) 使用h o p f - c o l e 变换。 ( : ， t ) =一 0 . / 0 研究 了问 题 ( 1 .7 ) 解的大时间行为，粗略的讲，即在二 。 e l ( r ) n h 2 ( r ) 的假设条件 下，问 题( 1 . 1 ) 的解。 ( x , t ) 满足 iiu ( , t ) iil 2 ) r ) c ， t 一 lc l t - a( 1 . 8 ) 和im, t m l - 2 ) 范数的衰减估计( 详细结论见参考文献 1 中的 。 此 外 ， 作 者 指 出 ， 只 要 无 -u(x ) 0 。 ， 贝 ” 由 (1.8 ) 给 3 . k a r c h ( 见1 5 ) 最近 又 进一步深 入地研究了问 题( 1 .7 ) ， 减弱了 对初值n o ( 二 ) 的条件限制，得出:在。 o e l ( r ) n l 2 ( r ) 的假设下，如果问 题( 1 . 1 ) 的解u ( x , t ) 满 足iiu ( , t ) iil 2 (r ) 。 +时， 1 . b o n 。 和s c h o n b e k 4 证明了 问 题( 1 .1 ) 存在唯一的 行波 解0 ( 二 一 c t ) 连接。 - 和u + 两点，并且当“ ;1 时，行波解是单调的. 2 . b o n 。 和r a j o p a d h y e 3 在的 基础上， 进一步研究了 行波解的 渐近行为， 得到了行波解的渐近稳定性理论. 3 . r a j o p a d h y e 3 2 又在!3 , 4 的 基础上， 对问题( 1 . 1 ) 的 解及其一阶导数的l 2 模 进行了 细致的 研究，指出问 题( 1 . 1 ) 的 小扰动解是渐近稳定的 ， 并给出了 在某一 个适当的带权的护空间内扰动解关于时间t 的衰减估计. 准确的说就是当t - + 0 时 ， 扰 动解 及 其一 阶 导 数 分 别以( 1 + t ) - + 和( l + t r i 的 速 度 衰 减. 4 . n i s h ih a r a 和r a j o p a d h y e 2 8 最近进一步完善了3 2 的 结果， 给出了 解的 任 意阶导数的衰减估计. 据我们所知， 到目 前为止，问 题( 1 . 1 ) 在u - 二 、的情形下还没有被考察过. 本文采用与文献 ! 1 , 5 , 7 , 1 5 不同的方法即l i 能量法对问题( 1 .1 ) 在 。 一。 +的 情形下进行了研究，主要得出了如下二个方面的结果. i . 问 题( 1 . 1 ) 整体光滑解( 光滑稀疏波解 的 渐近稳定性. 粗略的讲就是当t *0 0 时问 题( 1 . 1 ) 的解u ( 二 ， t ) 满足s u p i u ( x , t ) 一 。 r ( 二 / q-0 ， 其中。 r ( 二 / t ) 是中心稀疏 孟 c r 波满足( 1 .4 ) 式( 详细叙述请见后文的定理3 .3 ) . 1 1 . 问题 ( 1 . 1 ) 解。 ( x , t ) 的 粘性逼近.即当p , b 。 时，u ( x , t ) *u ( x , t ) ， 其中 一肇 硕士学位论文 i a s 丁 卜 r 、 i h f i s 试 x , t ) 是问 题 u t +f ( u ) 二 =0 , 。 : 二 。 =。 。 ( : ) 。二 士 ， :*士 0 o , 的解. 记号: 本文所采用的数学符号绝大部分都是标准的，但为了本篇文章的完整 性，我们在这里补充几点: 1 . 在不致引起混淆的 情况下，我们用认“ = 0 , 1 , 2 , . . .) 有时甚至用c来表示正 常数，并且在不同的不等式中，这些常数是可以变化的. 2 . l r ( r ) ( 1 p o o ) 记为通常意义下定义在r二( - 0 0 , 0 0 ) 上的l e b e s g u e 空 间 定 义 范 数 ， ，。 (。 ， = ( 力 f (x )i 叫 ， 兰 ， o0, iif lil - = iif ll- 一 倒f (x )l， 并 且当p = 2 时， 我 们 把ii iil = ( r ) 简 记为卜一 3 . h ( r ) 记为r 上的l 一 阶s o b o l e v 空间， 4 . 为简单起见，il f ( t , t ) iil ， 和 日 a, t ) ii h i 定 义 范 数 .了 日。 !(二 ， 一 (惠 half ill= o 分别简记为lif ( t ) lil ， 和 l f ( t ) li h v . 硕士学位论文 t i a si f r 5 i i i f si s 第二部分: 稀疏波解的光滑化 首先，我们考虑如下的无粘b u r g e r s 方程的黎曼问题: w rt + w r w r = 0 x 0 . 当w _ w 十 时， 众所周 知问 题( 2 . 1 ) 的解w 气 二 ， t ) 被称为中 心稀疏波， 即w 气 x , t ) 二 w r ( x 1 t ) ，其中 xw _ t , 上动叭 一- w r ( x i t ) w_ t 0 , q 告 ， k 。 是 一 个使得 凡 ( 2 . 2 ) 人 (1f - + =1 成立的常数.由 于w o ( x ) 在r上单调递增，根据特征线法我们可知 问 题( 2 . 2 ) 在rx r 十 存在整体光滑解.由 文献 2 3 , 2 g , 侧 我们有下面的引理: 引理2 . 1 . 问 题( 2 .2 ) 在rx r + 上存在唯一的 整体光滑解w( 二 ， t ) 满足下列性 质: ( ) 对任意的( 二 ， t ) 任 r x ( 0 , o o ) , w - w( 二 ， t ) 0 ; ( 沟 对任意的实数p ，当1 p 0 0 时，存在一个仅依赖于p , 4 的常数几.。 使得 硕士学位论文 v; 【 i t i ! h i s i i iiw ( t ) iip p g c p ,9 i i lln ( e p - 1 d 1p , ill t - p + 1 ) , iiw- ( t ) 日 l l c p 。 n u n ( : ” 一 、 p ，: ” 一 ， ， 一 2 q ) 一 p - 1 ii w二 二 ( t ) h pl i ii w二 二 ( t ) iil p c p ,g m i n c p ,9 m i n ( e p - 1 7u , a ( e , u l , t ) ) : 知 一 “p , b ( e , 7v , t ) ) 其中 a ( e , iu , t ) = e 3 p d p ( 1 + e v w t ) 1 - 4 p + 6 2 (p - , )( 一 = q )w 一 p - ,t - 一 (” 一 ) ( + 专 + : (2 ， 一 ， ) ( 一 , )场 - 澎t - q )w = q t ” 一 = 9 b ( e , tb , t ) = e 3 p l7v p ( 1 + e 1u t ) 一 51, + 6 (3 p - 2 )( 一 - )2 , 一 罕t 一 ” (1 + ,3- q )+ q + e p p - 1 ) (1 一 1 q ) w - 罕t 一 ” 一 罗; ( i i i ) 存 在一个仅依赖于q 的常数c q 使 得 .黯 iil 一 j r 黯 dx : : 一 (e j, e1一 “ 。 一 “ 一 一 2q .赞一j r 赞、 、 二 一 、 ，: 、， ) 其中 y ( e , lb , t ) = : 一 1 d w一 一 ia + e 4 w ( 1 + w e t ) - 6 + : “ 一 9= q w 一 7= q t 一 3. q (iv) a e a z wx 0 , 1 + k 0 , w s s 0 此外，当二 。 1 时， w 0 ( 二 。 ) i _ 2 g 6 ( k 9 v we ) 一 0 iw o ( 二 。 ) i + ;( 2 . 1 1 ) 对( 2 .4 ) 式两边求全微分并利用( 2 .5 ) 式， 得到d x o = 利用( 2 .6 ) 式，可以得到 a x ( ) . =dx 口x 并 注意 到w o ( x o ) 。 ， ，w= _ .1 j w y d xr= j r j 叼( x o ) i 叫 ( x o ) ( 1 +叫 ( x o ) t ) ad x 。 一 / + / _ 肇 a士学位论丈 u a i 尺 叭 -叭口、: 、 在 x 0 0 内 ，叫 ( : 。 ) = 一 2 e = v w q k q ( 1 + ( : 二 。 ) 2 犷 q - e x o 0 . 令; =w; ( 二 。 ) t ， 则d ; 二 w o ( x 0 ) t d x 0 ， 因 此 八 一 厂 w o(0)t 以zn夕 u口u i w o ( x 0 ) i y ( 1 +y ) 4 、 2ge(k qw e )一 “ 一 一 “ j x (1 + ， )一+ “ 、 ( 2 . 1 2 ) 同 理 ， 我 门 可 对 j=o1 w o(xo)(1 + w o(xo)t)6 xo 十 c r 丽 iw o (xo)14t=而 dxojx w o(xo)(1 + w o(xo)t)8 =1 1 +1 2 +i s . ( 2 . 1 5 ) 硕士学位论又 i i k s t e r s i l f f si s 接下来，我们对1 1 , i z , 1 s 分别进行估计: : : 二 4- “ 一 f l. w o, ( 二 。 ) 11 + 0 。 、 ( 1 + 叫( 二 。 ) t ) 6 d x . : c q e a - q 。 一 9 ( 1 + id k q e t )- 6 / iw o ( x o ) i1+ 0 d x o j lx o l 三1 c , e ,-v ( 1 + w e t ) - 6 ( 2 . 1 6 ) 引入变量替换， =我们得到 12 : j u m 川 t 叫( 二 。 ) t ， 由( 2 .1 1 ) iw n, ( 二 。 ) ii y ( 1 +y ) 6 1w o ( x o ) i d y : c ( 2ge(k 9vwe )一(24(29 一 )e(k 。一 )一 vl j x i叫( 二 。 ) i 十 告 y ( 1 +y ) , d y ( 2 . 1 9 ) 、约勺 -一叨 g c q s ， 一 专 。 一 9 -一宁 c 9 e 4 w t - 1 t - 1 j x ( 1 + y )一 6 + 1 己 ， -一叮 1 叫 ( 二 。 ) i3 y ( 1 + y ) 8 d y 公 哪 ./扣 和 i g c . t v : 、 !“一 4 一 “ 一 一 _ x (10+ z,)- c, -v 、 ( 2 . 1 8 ) c g e 3 一 = a 111 一 = a t 一 一 六 ，结合( 2 . 1 5 ) , ( 2 .1 6 ) , ( 2 . 1 7 ) , ( 2 . 1 8 ) 我们得到 i 赞 dx -y (8, w , t)r ( 2 . 1 9 ) 1一q -y ( 6 , w , t ) 二 : 卜 t9 w +e 3 _ 乏 一 一 a + 64d(1+ f e t ) - 6 9叨= 9 t ， 一 3- 9 1 5 司 uasre s ur= 另一方面，利用( 2 .1 3 ) , 我们得到 f r w xx dx : c .l r 0 ( 二 。 ) 2 二 。 ) i 4 /八坛 w; ( 二 。 ) d x o +cd x o c96 4 一 2 711 一 v + 吼e 4 - 2 e u i c q 4u e 4 . ( wo (: 。 ) ) ( 2 . 2 0 ) ( w . ( x o ) ) 十 舌 d x u 产(r广1儿 户/汀! 由( 2 . 1 9 ) 和( 2 .2 0 ) 就得到了恤 约中的第二个不等式， 引理 2 . 1 证毕. 现在令。 ( x , t ) =( f , ) 一 ( w( x , t ) ) ，代入( 2 . 2 ) 式得到 十f ( 叫二 二0 , ( 2 . 2 1 ) * = 。 =二 。 ( : ) =( f ) 一 w o w ) 、。 士 ， : *士 0 0 叨切 !哎!、 记 ” 尹 污兰， 由 ” 理 2 .1 ， 我 们 可 得 到 下 面 的 ” 理 : 引理2 . 2 . 问 题( 2 .2 1 ) 在rx r 十 上存在唯一的 整 体光滑解。 ( x , t ) 满足下面的 性质: ( )对任意的( x , t ) e rx r + , u _ w ( 二 ， t ) 0 ; 恤)对任意的 实数p , 当1 p 0 0 时， 存在一个仅依赖于p , 4 的常数几。 使得 ilw x ( t ) iil p ! c p ., n ll n ( e p - l ill p , u t - p + l ) , 1。 : 二 ( t v 呈 ， 三 心e ! 。 .。 二 .1 ( 0 1 1 m 1n ( : ， ， 一 ,u p , s (p - 1 )“ 一 : y ) _ pl p 三 c p 9x r u n ( n u n ( e p - t u , a ( e , u 号: 一 ， 一 p - 1. y , t ) ) ， 。 二 二 二 ， ( t ) 日 呈 ， -c p .9f 4 p - l u p ， b ( e , ii , t ) ) ， 硕士学位 论文 i i a s t f r s t ! i f si s 其中 ( i i i ) ( e , 2l , t ) = e 3 p 46 p ( 1 + e fit ) 1 - 4 p + 6 2 (p - l )( 一 六 )云 一 昭: 一 一 (; 一 )( 1 + 1 ) + e ( 2 p - 1 )( 1 一 . q 。 一 罕t ” 一 裸 b ( e , u , t ) = e 3 p 9bp ( l + e u t ) 一 5 p + e (3 p - 2 ) ( 一 9 q ) u _ 军t 一 ， (1 + q )+ q + e (3 ， 一 )( 一 = ). q 。 一 3 y - 1 t _2 q t ” 一 军 存在一个仅依赖于q 的常 数c 。 使得 - x x 一人 ow 4 1 w x dxr : 、 m in (e2v , 11令iil i 一 jr 令“ : 、 一 : 一 =4 。 一 12 t 一 ， u e , y ( e , u , t ) ) 其中 -t ( e , fl , t ) 一 : 卜 专 。 一 9 t 一 一 v + e 4 i(1( l + fl e t ) - g + e 3 一 v 。 一 = v t 一 a i v ) 1 ( 司 对任意的实数p .当1 p 0 0 时，存在一个仅依赖于p 的常数仇 使得 llw x ( t ) lli , g h(fl)c,(1+ t ) - p + 1 募 夕 a= 气 三了 全又 ii。 二 二 ( t ) iil i h(v)c,(1+ : ) 一 j p - 1 ii。 二 二 二 ( t ) iiy v h ( u ) c p ( 1 + t ) 一 p + l i。 二 二 二 二 ( t a l h ( u ) c p ( 1 + t ) 一 s n _ , 日 应iil : 一 j 峻、 : 。 咖 )(1 + )一 ， 应iil : 一 厂 噬 d x : c h (u )(1 十 )一 z 其 中h ( u ) 是 一 个 与” 有 关 的 函 数 且lim h (uu - . 0 ) 一 0 . ( i i i ) la l a r w l x 0 , 1 + k 4 ; ( i v ) 当亡 、二时s u p iw ( x , t ) 一 r u r ( x / t ) i *0. 赞 1 .+ w _ w 热x ) 的逼近函数w 0 ( 二 ) 即问题( 2 .2 ) 的初始函数，一般采用 一w + t a n h e : 的形式， 这种情形下， 我 们 仅 仅 有 .iw! x iw 一 = 0 w 0 ( x ) 二 t - 0 ) ( 0 q 。 使得 iv d h . m.则存在一个仅依赖于 m的常数 t ， 使得问 题( 3 .1 ) 存在唯一的解 v ( x , t ) e x 2 m( o , t o ) . 由于证明方法是标准的，故我们省略详细的证明过程. 为了 得到问 题( 3 . 1 ) 解的 整体存在性， 理. 引理3 . 2 ( 先验估计) . 对于 某正常数 ( 3 . 1 ) 的一个解，则 我们还需要一个先验估计，即下面的引 t和m， 假设v ( x , t ) e x 2 m ( o , t ) 是问 题 lw (t)llh t + 关 (.，、( ).， + ll vx(t )il ir. )dt : c o(m ) (.一 、 1 + “ (。 )， (3 .2 ) 其中c o ( m) 是一个不依赖于t与 m有关的正常数，h ( u ) 是 u的函数且满足 忽h ( u ) = 0 证明:引理3 .2的证明可分为两步. 第一步:推导出。 ( 二 ， t ) 的l a 估计. 、肇一) 、学 位 论 文 ， /ea rn a i ri e si s 方程( 3 .1 ) 两边同乘以 ，得到的结果在r上关于 二积分得到 1 d2 w t 分d x + 加f (v + 。 ， 一 “ w )x “ + “ r vx “ 一 。 jr 一“ + 6 r 一“二 ( 3 . 3 ) 等式( 3 . 3 ) 的第二项我们估计如下: f , v (“ + ? ， 一 (w )x “ 一 jr 一 ( rv+w f (s) * 一 ，(? ) 二 + (，(一卜 ，(叨 ， 一 (w )v) w 5卜 一 j r “ + w ， 一 (w ， 一 “ (w )v ) ? “ w , v d x( 3 . 4 ) 同时， 。 1 v . ， 二 d x + 。 / 。 。 二 二 d x 、 a / w x v d x 、 2 /i - 2 - x / w 、 : 结合( 3 .4 ) 和( 3 .5 ) ，我们从( 3 .3 ) 得到 委 票 / : ， d : 十 / 。 二 ， d x + / 。 呈 d x : c ( / / 峻、 + ， “ / 应、 .(3 .6 ) 。 j r j r j rj r w. j r wx j 等式( 3 . 6 ) 两边关于时间t 在! 0 , t 上积分并利用推论2 .3 ，我们得到 1lu (o l1j + 关 (二 (, )11 2 + llvx (r )日2) d - : c o(llv。一 + h (u ) 其中c o 是一个常数. 第二步:导出v x ( t ) 的l z 估计. 把( 3 . 1 ) 两边同 乘以( - v x x ) 并在r上关于: 积分得到 d t , vxr “ + f f vxxr“ 一 人 vxx4“ + w ， 一 (v)x “ 一 。 fr 一 “ 一 fr 一 、 二 “ ( 3 . 7 ) ( 3 . 8 ) 影iis:lit s fiiesi 右边第一项估计为: f (了 ( + ? 卜 ， (? )二 “一 f r v-x f (v + ? ，二 “ + f vxx(f (vr + 叨 ， 一 “ (w )w s dx 一 f - f(vr + w )一 “ + 4v1- f(b)w 二 “ 二 ( 3 . 9 ) 其中0 在。 和二 + w之间 .由 先 验假设可 二 ， t ) e x 2 m ( 0 , 叨可 知iiv iih 2 m，当 然国 2 m. 又因为f ( 司是r上的光滑凸函数，故我们可取 f 1 ( m) = s u p i f ( v + 二 ) i , f 2 ( m) = s u p f ( b ) , 川 2 m叫 2 m 其中。 _ 。 +.再取 、1、!lr n目，工，nj 1、esl了.j注几注 ，jz，d0jqd (门己(2、 f ( m) = m a x f , ( m) , f 2 ( m) , 容易看出f ( m) 是一个与m有关的常数。 由( 3 .9 ) 和 ( 3 .1 0 ) 可以得到 无 v- (， ( + w ) - f (w )二 “ : f f (m )lv- v, ld xr+ 人 f (m )r ，一 ，“ /尸 - 4。 二 二 一 2 +2 f 2 ( m) 拼 ilvx (t)112 十 w x lx f _ ,w 2r : il 11。 二 二 ， + c ( m ) s ii。 二 (t) ii2 + / 二 二 v 、 二 下 y户l j r) 这里c ( m) 是一个与m有关的常数. 同时利用柯西不等式得到下面的积分估计: 一 ; f r 一 “ : /24 同理， 一 f r 一 “ 三 誉 人 vz dx ; 五 w zz dx . jr v;二 “ + 62 i(li jr w 二 “ 肇 硕士学位论文 n i a si f r s t h e s i s 由( 3 . 8 ) , ( 3 .1 1 ) ， ( 3 . 1 2 ) 和( 3 . 1 3 ) ， 我们得到下式 1 d j vx d.2 at r 4 j v_2 dx 0 使得 jiv o i12 ， 十 n ( , ) 三。 ， 则问 题( 3 .1 ) 存 在 唯一的 整 体光滑 解 。 a ( o , 0 o ) ; 护) 且当 t “00时满足 s u p iv ( x , t ) i 、0 . 劣 任 月 证明:根据引理 3 .1 和引理 3 .2 知，为了证明问题 ( 3 . 1 ) 存在唯一的整体解 。 ( ， ， t ) e c ( o , o o ) ; h ) ， 我们仅需验证先验假设 v ( x , t ) x 2 m( 0 , t ) , ilv ( t ) iih , 2 m( 3 . 1 6 ) 是合理的. 事实上，在先验假设( 3 . 1 s ) 下，我们已 经证明了( 3 .2 ) .若取77 充分小使得 c o