北京市海淀区清华大学附中2019年中考数学调研（3月）试卷（含解析）

2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（3月份）一、选择题1计算（+1）2019（1）2018的结果是（）A +1B1CD12阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+30的两实数根，则+的值为（）A4B6C8D103在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）Aabc0，b24ac0Babc0，b24ac0Cabc0，b24ac0Dabc0，b24ac04如图所示，四边形ABCD是边长为4cm的正方形，动点P在正方形ABCD的边上沿着ABCD的路径以1cm/s的速度运动，在这个运动过程中APD的面积s（cm2）随时间t（s）的变化关系用图象表示，正确的是 （）ABCD5如图所示，ABC中，ABAC，过AC上一点作DEAC，EFBC，若BDE140，则DEF（）A55B60C65D706如图，水平地面上有一面积为30cm2的扇形AOB，半径OA6cm，且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则点O移动的距离为（）A20cmB24cmC10cmD30cm7在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（）A小明的影子比小强的影子长B小明的影子比小强的影子短C小明的影子和小强的影子一样长D无法判断谁的影子长8如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（）A8B10C10.4D129如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（）ABCD10现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A（1，2，1，2，2）B（2，2，2，3，3）C（1，1，2，2，3）D（1，2，1，1，2）二、填空题11若x4+6x2，则x的取值范围为 12关于x的分式方程的解是 13如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（2，3），嘴唇C的坐标为（1，1），若把此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，则与右眼B对应的点的坐标是 14如图，是由四个直角边分别为3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是 15如图，在ABC中，BC6，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧EF上的一点，且EPF50，则图中阴影部分的面积是 16如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60，得到正方形DEFG，此时点G在AC上，连接CE，则CE+CG 三、解答题17先化简，再求值：（ +），其中x+，y18解不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来19如图，已知RtABCRtADE，ABCADE90，BC与DE相交于点F，连接CD，EB（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：CFEF20如图，在RtACB中，C90，AC3cm，BC4cm，以BC为直径作O交AB于点D（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与O相切？请说明理由21（10分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：发言次数nA0n3B3n6C6n9D9n12E12n15F15n18（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率22已知顶点为P的抛物线C1的解析式是ya（x3）2（a0），且经过点（0，1）（1）求a的值；（2）如图将抛物线C1向下平移h（h0）个单位得到抛物线C2，过点K（0，m2）（m0）作直线l平行于x轴，与两抛物线从左到右分别相交于A、B、C、D四点，且A、C两点关于y轴对称点G在抛物线C1上，当m为何值时，四边形APCG是平行四边形？若抛物线C1的对称轴与直线l交于点E，与抛物线C2交于点F，试探究：在K点运动过程中，的值是否会改变？若会，请说明理由；若不会，请求出这个值23如图，在ABC中，ACB90，CDAB，（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；（2）已知AB10，AC8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题1【分析】先利用积的乘方得到原式（+1）（1）2018（+1），然后利用平方差公式计算【解答】解：原式（+1）（1）2018（+1）（21）2018（+1）+1故选：A【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍2【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值【解答】解：x1，x2是方程x2+6x+30的两实数根，x1+x26，x1x23，则+10故选：D【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解此类题目要会将代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1x23【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确【解答】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a0；抛物线的对称轴在y轴右侧，则x0，即b0；抛物线交y轴于负半轴，则c0；abc0，抛物线与x轴有两个不同的交点，b24ac0，故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线与x轴交点情况，是解题的关键4【分析】分别判断点P在AB、在BC上分别运动时，APD的面积s（cm2）的变化情况进行求解即可【解答】解：点P在AB上运动时，APD的面积S将随着时间的增多而不断增大，排除B点P在BC上运动时，APD的面积s随着时间的增多而不再变化，应排除A和C故选：D【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况进行求解，注意排除法在本题中的灵活运用5【分析】由DEAC，BDE140，可计算出A，再利用等腰三角形的性质求出C，最后利用EFBC及同角的余角相等得到DEF的度数【解答】解：DEAC，BDE140，A50，又ABAC，C65，EFBC，DEFC65所以A错，B错，C对，D错故选C【点评】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质6【分析】结合图形，则O点移动的距离即为优弧AB的长，根据扇形面积公式进行计算【解答】解：由题意可得出：点O移动的距离为扇形的弧长，面积为30cm2的扇形AOB，半径OA6cm，30l6，扇形弧长为：l10（cm）故选：C【点评】此题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，利用S扇形弧长圆的半径求出弧长是解题关键7【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长故选：D【点评】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短8【分析】由矩形和菱形的性质可得AEEC，B90，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，四边形AECF是菱形AECFECAF，在RtABE中，AE2AB2+BE2，AE21+（5AE）2，AE2.6菱形AECF的周长2.6410.4故选：C【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键9【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1圆的直径正好是大正方形边长，根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，大正方形的边长为，则大正方形的面积为2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为故选：C【点评】用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长的关系10【分析】根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择【解答】解：A、2有3个，不可以作为S1，故A选项错误；B、2有3个，不可以作为S1，故B选项错误；C、3只有1个，不可以作为S1，故C选项错误；D、符合定义的一种变换，故D选项正确故选：D【点评】考查了规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律二、填空题11【分析】直接利用二次根式的性质得出关于x的不等关系进而得出答案【解答】解：x4+6x2，x40，x60，解得：4x6故答案为：4x6【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键12【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题【解答】解：两边乘（x+1）（x1）得到，2x+2（x1）（x+1），解得x2，经检验，x2是分式方程的解x2故答案为x2【点评】本题考查分式方程的解，记住即为分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验13【分析】根据点A的坐标，在点A的右侧2个单位作y轴，点A的下方3个单位作x轴，建立平面直角坐标系，然后根据右眼的坐标，求得向右平移3个单位长度后的对应点的坐标即可【解答】解：如图，根据左眼A的坐标是（2，3），建立直角坐标系，右眼B的坐标为（0，3），向右平移3个单位后，右眼的坐标为（3，3）故答案为：（3，3）【点评】本题以平移变换为背景，考查了坐标系中点的平移规律在平面直角坐标系中，平移点的变化规律是：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减确定出直角坐标系的位置是解题的关键14【分析】根据几何概率的求法：针扎在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面面积的比值【解答】解：根据勾股定理可知正方形的边长为5，面积为25，阴影部分的面积正方形的面积4个三角形的面积2543425241，故针扎在阴影部分的概率【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率关键是得到大正方形的边长15【分析】由于BC切A于D，连接AD可知ADBC，从而可求出ABC的面积；根据圆周角定理，易求得EAF2EPF100，圆的半径为2，可求出扇形AEF的面积；图中阴影部分的面积ABC的面积扇形AEF的面积【解答】解：连接AD，BC是切线，点D是切点，ADBC，EAF2EPF100，S扇形AEF，SABCADBC266，S阴影部分SABCS扇形AEF6故答案为：6【点评】本题考查了切线的性质，圆周角和圆心角的关系，扇形的面积等，求得EAF100是关键16【分析】过G点作GMAD，GNCD垂足分别为M、N点，通过证明DAGDCE，得到CE+CGAC，在等腰直角AMG和GNC中，分别求出AG和CG长度即可解决问题【解答】解：过G点作GMAD，GNCD垂足分别为M、N点在DAG和DCE中所以DAGDCE（SAS）AGCECE+CGAC在RtDMG中，DG2，MDG30，MG1，DMAMG是等腰直角三角形，所以AG在RtGNC中，GNDM，GCN45，GCAC+，即CE+CG+故答案为+【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形进行线段的转化三、解答题17【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：当x+，y时，xy1，原式xy（xy）3xy3【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型18【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式2x+53（x+2），得：x1，解不等式2x1，得：x3，则不等式组的解集为1x3，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键19【分析】（1）根据RtABCRtADE，得出ACAE，BCDE，ABAD，ACBAED，BACDAE，从而推出CADEAB，ACDAEB，CDFEBF；（2）由CDFEBF，得到CFEF【解答】（1）解：ADCABE，CDFEBF；（2）证法一：连接CE，RtABCRtADE，ACAEACEAEC（等边对等角）又RtABCRtADE，ACBAEDACEACBAECAED即BCEDECCFEF证法二：RtABCRtADE，ACAE，ADAB，CABEAD，CABDABEADDAB即CADEABCADEAB，CDEB，ADCABE又ADEABC，CDFEBF又DFCBFE，CDFEBF（AAS）CFEF证法三：连接AF，RtABCRtADE，ABAD又AFAF，RtABFRtADF（HL）BFDF又BCDE，BCBFDEDF即CFEF【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角20【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CDAB，易知ACDABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长（2）当ED与O相切时，由切线长定理知ECED，则ECDEDC，那么A和DEC就是等角的余角，由此可证得AEDE，即E是AC的中点在证明时，可连接OD，证ODDE即可【解答】解：（1）在RtACB中，AC3cm，BC4cm，ACB90，AB5cm；连接CD，BC为直径，ADCBDC90；AA，ADCACB，RtADCRtACB；，；（2）当点E是AC的中点时，ED与O相切；证明：连接OD，DE是RtADC的中线；EDEC，EDCECD；OCOD，ODCOCD；EDOEDC+ODCECD+OCDACB90；EDOD，ED与O相切【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识21【分析】（1）根据B、E两组的发言人数的比求出B组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中B组的人数为10，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出C组、F组的人数，补全直方图即可；（2）根据扇形统计图求出F组人数所占的百分比，再用总人数乘以E、F两组人数所占的百分比，计算即可得解；（3）分别求出A、E两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解【解答】解：（1）B、E两组发言人数的比为5：2，E组发言人数占8%，B组发言的人数占20%，由直方图可知B组人数为10人，所以，被抽查的学生人数为：1020%50人，C组人数为：5030%15人，B组人数所占的百分比为：100%20%，F组的人数为：50（16%20%30%26%8%），50（190%），5010%，5，样本容量为50人补全直方图如图；（2）F组发言的人数所占的百分比为：10%，所以，估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数为：500（8%+10%）90人；（3）A组发言的学生：506%3人，所以有1位女生，2位男生，E组发言的学生：508%4人，所以有2位女生，2位男生，列表如下：画树状图如下：共12种情况，其中一男一女的情况有6种，所以P（一男一女）【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据B组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口22【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）首先得出GQKPOK（ASA），进而得出顶点G在抛物线C1上，得出2m2（33）2，进而得出答案；（3）利用函数对称性表示出A点坐标，再表示出KC，PF的长，进而得出其比值【解答】解：（1）抛物线C1的解析式是ya（x3）2（a0），经过点（0，1），1a（03）2，解得：a，（2）A、C两点关于y轴对称，点K为AC的中点，若四边形APCG是平行四边形，则必有点K是PG的中点，过点G作GQy轴于点Q，在GQK和POK中，GQKPOK（ASA），GQPO3，KQOKm2，OQ2m2，点G（3，2m2），顶点G在抛物线C1上，2m2（33）2，解得：m，又m0，m，当m时，四边形APCG是平行四边形；的值不会改变；理由：在抛物线y（x3）2中，令ym2，解得：x33m，