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基于多尺度分析的图像压缩 摘要 图像信息在现代通信过程中扮演着越来越重要的角色。然而图像信息数据 量巨大，人们需要对图像数据进行必要的压缩以节省数据存储空间和提高信道 利用率。上世纪8 0 年代小波技术的发展使得图像压缩技术上了一个新的台阶。 小波变换能够大大提高图像的压缩效率。而且这种多尺度变换方法消除了离散 余弦变换( d c t ) 引起的方块效应。通过嵌入式编码可以随时结束解码，并可 以得到在截断处码流所对应的恢复图像，实现图像的渐进传输。 本文在对小波系数进行分析的基础上先后对几种流行的嵌入式编码算法进 行研究和试验，提出了一种改进的零树编码算法，提升了重建图像的峰值信噪 比。详细介绍了提升格式小波变换原理，分析了如何利用提升方案来构造小波。 这种提升格式能够进行快速、本位运算。通过试验证明提升格式同传统小波相 比具有构造简单、运算速度快的优点。 虽然小波适合捕捉图像的点奇异性，但是它对于线奇异性来说并不是很有 效的方法。脊波变换是在r a d o n 变换域上把线奇异性转变成点奇异性来处理， 所以它对于含有线奇异性的图像是比小波更好的逼近方法。本文研究了脊波系 数的特点，并以此设计出了基于脊波变换的压缩算法。实验表明该算法能够提 高图像压缩的性能。 脊波能够对直线边缘进行很好的稀疏逼近，然而自然图像大多是纹理丰富、 边缘呈曲线状，脊波就不是很好的表示方法。本文介绍了一种新的图像表示方 法：c o n t o u r i e t 变换。它的多分辨特性和多方向性使得它能够有效地捕捉光滑的 曲线。本文对c o n t o u r l e t 变换应用于图像压缩进行了初步的探讨，说明了其图 像压缩的潜力。 关键词：图像压缩；小波变换；脊波变换；c o n t o u r l e t 变换；多尺度分析 i m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do nm u l t i s c a l ea n a l y s i s a b s t r a c t t h ei m a g ei n f o r m a t i o np l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nm o d e mc o m m u n i c a t i o n w e n e e dt oc o m p r e s st h ei m a g ew h i c hh a sh u g ed a t ai no r d e rt os a v et h es t o r a g ea n d i m p r o v et h ee f f i c i e n c yo ft h ec h a n n e l i n19 8 0 s ，p r o f i t i n gf r o mt h ew a v e l e tt h e o r y d e v e l o p m e n t ，t h ei m a g ec o d i n gh a sab e t t e rp e r f o r m a n c e t h ee f f i c i e n c yo fi m a g e c o m p r e s s i o nc a nb ei m p r o v e dv e r ym u c hb yu s i n gw a v e l e tt r a n s f o r m i na d d i t i o n ，t h i s m u l t i r e s o l u t i o nt r a n s f o r mi sf l e ef r o mb l o c ke f f e c ti nc a s eo f t h ed i s c r e t ec o s i n e t r a n s f o r m ( d c t ) w i t ha l le m b e d d e db i ts t r e a m ，t h er e c e p t i o no fc o d eb i t sc a nb e s t o p p e da ta n yp o i n ta n dt h ei m a g e e a r lb ed e c o m p r e s s e da n dr e c o n s t r u c t e d an e wm o d i f i e de m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t si n c o d i n g ( e z w ) a l g o r i t h mi s p r o p o s e d a f t e r r e s e a e h i n g s e v e r a l p o p u l a r e m b e d d e d c o d i n ga l g r i t h m t h e e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h en e wa l g o r i t h mi m p r o v e dt h ep e a ks i g n a ln o i s er a t i o f p s n g ) o tt h er e c o n s t r u c t e di m a g e as i m p l ec o n s t r u c t i o no fs e c o n dg e n e r a t i o n w a v e l e t s ，t h el i f t i n gs c h e m e ，i sp r e s e n t e d s u c hl i f l i i l gs c h e m ec a r ll e a dt oaf a s t e g i n p l a c ec a l c u l a t i o no ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m a n dt h ee x p e r i m e n t st e s t i f yt h el i f t i n g s c h e mi sb e t t e rt h a nt r a d i t i o n a lw a v e l e t w a v e l e t sa r eg o o da tc a t c h i n gp o i n ts i n g u l a r i t i e s ，b u tf a i lt or e p r e s e n te f f i c i e n t l y s i n g u l a r i t i e sa l o n gl i n e so rc u r v e s t h er i d g e l e tt r a n s f o r mi st h eb e s ta p p r o x i m a t i o n m e t h o df o rt h ei m a g ew i t hl i n e a rs i n g u l a r i t y t h ei d e ai st om a pal i n es i n g u l a r l yi n t o a p o i n ts i n g u l a r i t yu s i n gt h er a d o nt r a n s f o r m t h er e l a t i v i t yb e t w e e nt h er i d g e l e t c o e f f i c i e n t si sd i s c u s s e d a n da l la l g o r i t h mf o ri m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do nr i d g e l e t t r a n s f o r mi sd e s i g n e d t h ee x p e r i m e n t sr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e da p p r o a c hc a n a c h i e v eh i 曲e rc o m p r e s s i o nr a t i oa n dp s n r ，a sw e l la sb e t t e rv i s u a lr e s u l t r i d g e l e tr e p r e s e n t a t i o ns o l v et h ep r o b l e mo fs p a r s ea p p r o x i m a t i o no fs m o o t h o b j e c t sw i t hs t r a i g h te d g e s h o w e v e r ，i ni m a g ec o d i n g ，e d g e sa r et y p i c a l l yc u r v e d r a t h e rt h a ns t r a i g h ta n dr i d g e l e t sc a n n o ty i e l de f f i c i e n tr e p r e s e n t a t i o n an e wi m a g e r e p r e s e n t a t i o n ，c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，i sp r o p o s e d t h ec o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，w h i c h i sm u l t i r e s o l u t i o na n dm u l t i d i r e c t i o n a le x p a n s i o n ，c a nb ea p p l i e de f f i c i e n t l yt o c a p t m - es m o o t hc o n t o u r s ac o m p a r a t i v es t u d yb e t w e e nt h ec o n t o u r l e ta n dt h e w a v e l e ta n a l y s i sa n dt h ep o t e n t i a lo f t h ec o n t o u r l e tt r a n s f o r mf o ri m a g ec o m p r e s s i o n a l ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：i m a g ec o m p r e s s i o n ；w a v e l e t t r a n s f o r m ；r i d g e l e tt r a n s f o r m ； c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ；m u l f i s c a l ea n a l y s i s n l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下( 或我个人) 进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谓j 的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得江西师范大学或其它教育机构的学位或证 书雨使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名 关于论文使用授权的说明 日期：畔占叼 本人完全了解江西师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即学校有权保留送交论 文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名汹导师签名：i 兰蛲期 世吗 基于多尺度分析的图像压缩 第一章绪论 1 1 图像压缩的必要性和可能性 在现代通信工程中，语音、图像和数据是通信的三个基本对象( 或基本形 式) 。图像中包含极其丰富的信息，图像通信传送的信息量远远超过其他的通信 手段。图像信号虽然携带大量的信息，但是它所占用的带宽和存储空间都很大。 以一幅中等分辨率的真彩色图像( 分辨率为6 4 0 x 4 8 0 x 2 4 b i t ) 为例，其比特数为 6 4 0 x 4 8 0 x 2 4 = 7 7 3 m b ( 兆比特) ，需要约7 7 3 + 8 - - 0 9 2 m b ( 兆字节) 的存储空间。 一个1 g b 的硬盘只能存储这种图片1 0 0 0 多幅。如果是视频信号，以2 5 帧秒的 速度显示，其速率要达到1 8 4 m b s 。一个容量为6 4 0 m b 的c i ) - r o m 光盘只能存放 约2 8 s 这种视频信号。这显然对处理图像信息的设备和通信效率带来很大的不 便。所以对图像信号实行数据压缩势在必行。 在图像信号中存在大量的冗余“1 。其中之一就是结构上的冗余( 或称为像 素间的冗余) ，表现为图像存在很强的空伺相关性。可以采用适当的映射技术， 解除这种相关性，达到减少这种冗余的目的。另一方面，人眼对图像分辨率的 要求都有一定的限度，这就产生了心理视觉上的冗余。我们完全有可能通过压 缩来减少图像的精度，同时不影响图像的视觉效果。还有一种冗余就是图像在 统计上的冗余。即编码冗余。它来自于被编码信号的概率分布的不均匀性。采用 统计编码，如哈夫曼编码、算术编码等，则可以大大地减小平均码字长度。从 而消除被编符号的统计冗余度。当这三种冗余中的一种或多种得到减少或消除 时，就实现了压缩图像的目的。 1 2 图像压缩编码的过程 图像压缩系统是由两个结构块组成：编码器和解码器。图像f ( i ，) 被输入 到编码器中，编码器将输入的数据转换为数字码流；到接收端，解码器又将接 收到的码流重建为图像夕( f ，) 。其中编码器包含映射变换器、量化器和符号编 码器；而解码器包含符号解码器和反映射变换器。系统框图如图卜1 所示： 基于多尺度分析的图像压缩 攀匮瓶 ；编码暑 。磊一m 锶 信道 i 蔓苎曼j 图1 1 静止图像压缩原理框图 在图像的编解码过程中，量化的过程是不可逆的。量化时存在量化误差， 这种误差是不可避免的，只能尽可能地减少。要实现无损压缩，在编码时不能 够对变换矩阵进行量化。 1 3 小波图像压缩的发展历程 最早的图像压缩理论是基于2 0 世纪4 0 年代末香农( s h a n n o n ) 附信息理论。 通过合理的编码去除数据统计上的冗余，即编码冗余。如h u f f m a n 编码、算术 编码等。但是这种编码没有从根本上解决图像压缩的问题，压缩率非常的低。 到了5 0 、6 0 年代，由于受到客观条件的限制，图像压缩技术仅停留在预测编码、 亚采样以及内插复原等技术的研究。到了6 0 年代末研究人员突破了香农 ( s h a n n o n ) 的信息论的框架，提出了变换编码技术，采用的是二维离散傅立叶变 换，此后相继出现了采用其它变换方法的变换编码，如离散余弦变换( d c t ) 嘲。 d c t 因其比较好的能量集中性和对图像像素的去相关性在图像压缩领域扮演者 重要的角色。1 9 9 1 年制定的静止图像编码标准( j p e g ) 0 1 就是将d c t 作为其核 心算法。 在另一方面，上世纪8 0 年代中期小波理论以其良好的时频局域特性和多分 辨能力很快在诸多领域得到了广泛的应用。小波变换适合人眼观察事物的习惯， 在图像表示方面比d c t 更加稀疏，能够在较大的压缩比下仍能够保持很好的图 像重建质量。它的压缩性能明显要优于d c t 压缩。为此1 9 9 9 年确立的新一代静 止图像压缩标准( j p e g 2 0 0 0 ) 。1 就是把小波变换作为其核心技术。同小波系数 相适应的各种量化方法相继提出( 如e z w 、s p i h t 、s p e c k ) 嘲m ”1 ，从整体上提 升了小波图像压缩的性能，同时还能实现图像的渐进传输。 寻求图像的稀疏表示方法是图像处理领域一个重要课题。研究者发现，小 波变换对于点奇异性的一维信号能够达到最优逼近，但是图像往往是由很多线 基于多尺度分析的图像压缩 奇异性组成，用小波来逼近这种图像就不是最好的选择。脊波理论嘲和 c o n t o u r l e t 变换“”就是在这种情况下提出来的。目前基于这两种多尺度分析的 图像压缩研究还不够成熟，有待进一步研究。但是它在图像压缩方面的潜力不 容忽视，在不久的将来必将会大显身手。 1 4 图像压缩性能的评价 在数字图像处理中，如何评价一幅图像的质量，对我们判断处理方法的好 坏有重要的作用。评价一种图像压缩技术的性能主要有三个重要的指标：压缩 比、图像的重建质量、压缩和解压的速度。 1 压缩比 压缩比是常用的衡量指标。它是指压缩以后表示图像信息的数据与压缩之 前图像数据大小( 比特数) 之比。 、压缩比= 器悉 m ， 图像压缩的目的就是在不影响图像重建质量的条件下，尽可能地提高压缩 比。 2 图像的重建质量 图像的重建质量的评价方法一般分为主观评价和客观评价两种。图像质量 的主观评价方法中又分两种评价计分方法，就是国际上通行的5 级评分的质量 尺度和妨碍尺度，如表1 1 所示。它是由观察者根据自己的经验，对被评价图 像做出质量判断。在有些情况下，也可以提供一组标准图像作为参考，帮助观 察者对图像质量做出合适的评价。一般来说，对非专业人员多采用质量尺度， 对专业人员则使用损伤尺度为宜。 表1 1 两种尺度的图像5 级评分 等级 质量尺度损伤尺度 5 优无觉察 4 良刚觉察但不讨厌 3中 觉察并有点讨厌 2 差讨厌 l 劣难以观看 基于多尺度分析的图像压缩 在实际工作中一种对图像质量定量的描述用的也比较多。在静止图像和视 频图像领域中常用的图像质量的客观度量是均方误差，其定义为： 蠢2 赤善善【厂( f ，d 一夕( f ，) 】2 ( 1 - 2 ) 式( 1 - 2 中，m 和n 分别为图像的垂直和水平方向的像素值；，( f ，) 和于( f ，) 分别为原始图像和解码后重建图像的像素值。 由此可定义图像的另外一个客观度量指标是峰值信噪比( p e a ks i g n a ln o i s e 。一_ 1 0 培鲁_ 1 0 培摹面2 5 5 面x2 5 5 裔) m 3 ) m n 鲁鲁r 7 o 其中昂一，为原始图像的峰一峰值，在一般的处理中图像被均匀量化为2 5 6 个电平，其峰一峰值为2 5 5 。 3 压缩速度 衡量图像压缩性能的另一个指标是压缩和解压的速度。在图像通信中，我 们需要对图像的实时处理，如果压缩和解压的速度太慢，通信需要等待的时间 太长，不利于整个通信的完整实现。而对于视频图像来说，这更是一个致命的 弱点。随着d s p 技术和大规模集成电路的发展，硬件的处理速度越来越快，很 大程度上降低了压缩算法对于时间上的要求。特别对于静止图像来说算法处理 速度的要求远远没有视频信号那么高。这给我们开发新的算法带来了很大的空 间。 所以说衡量一个静止图像压缩算法的性能时要尽可能的实现在高的压缩比 下又能达到很好的视觉效果和高的峰值信噪比，同时又兼顾压缩处理的速度。 1 5 本文的主要内容及研究工作 本文以多尺度分析方法为依托，研究了基于多尺度分析的图像压缩理论及 应用。比较深入的研究了小波变换理论及基于小波变换的图像压缩算法，提出 了一种自适应的零树编码算法；研究了小波的提升算法，并且利用提升算法的 优势结合集合分裂嵌入块编码( s p e c k ) 算法对图像进行压缩，在压缩耗时方 面取得了较好的效果，非常适合小波压缩的硬件实现。最后，对新的多尺度分 基于多尺度分析的图像压缩 析工具有限脊波变换( n m ) 和c o n t o u r l e t 变换作了介绍，并将他们用于图 像压缩进行了探索。全文的安排如下： 第一章为绪论。简单介绍了当前图像压缩的必要性、图像压缩的原理并且 重点讨论了测评图像压缩算法性能的方法。最后介绍全文的安排和主要研究工 作。 第二章主要介绍小波理论；介绍连续小波变换、离散小波变换、多分辨分 析理论及n a l l a t 算法。为本文的后面章节做好铺垫。 第三章主要讨论基于小波变换的图像压缩。讨论了小波变换后系数之间的 相关性、小波基的选取、零树编码并提出了一种保留低频系数的图像压缩算法。 通过实验数据说明其压缩性能。 第四章介绍了提升小波变换理论，讨论了如何由经典小波得到其提升格式。 比较了卷积方法和提升方法在压缩性能上的区别，并且引入一种速度较快的 s p e c k 算法。通过对比试验说明提升格式的优势所在。 第五章介绍了r i d g e l e t 变换这种新的多尺度分析工具。讨论了正交有限脊 波变换系数之间的相关性，并根据这种相关性提出了一种改进的s p i h t 算法。 通过实验说明r i d g e l e t 变换的优势与缺点。 第六章简单介绍c o n t o u r l e t 变换。对基于c o n t o u r l e t 变换的图像压缩进 行了探讨。 第七章是对全文工作的总结和展望。概括了全文的主要研究内容并且对于 研究工作中一些问题提出了一些个人的设想。 基于多尺度分析的图像压缩 第二章小波变换的基本理论 传统的傅里叶变换在平稳信号分析和处理中发挥了重大作用。但是对于一 些常见的非平稳信号来说，它们的频率是随时间发生变化的，如语音信号、图 像信号等。而分析这种信号需要了解某些局域时段上所对应的主要频率特性， 即信号的时一频局部化特性。傅里叶变换对这种时一频局部化要求无能为力。为 了克服傅里叶变换的这种不足，1 9 4 6 年d g a b o r 提出了一种g a b o r 变换。之后， 又进一步发展为短时傅里叶变换( s h o nt i m ef o u r i e l t r a n s f o r m ，s 呵) ，又称 为加窗傅里叶变换。但由于s t f t 的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时 间和频率无关，而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。1 9 8 2 年 法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质数据时，基于群论首先提出了“小波分析” 这一概念。后来，i d a u b e c h i e s 完美地构造了一系列平滑、紧支撑和正交的小 波基“”。小波变换良好的时频局域特性彻底解决了加窗傅里叶变换中窗函数的 宽度无法随着频率变化而变化的弱点。现在，小波变换已经成为各种理论分析 和工程应用的重要工具，如信号分析、图像处理、模式识别等领域。 2 1 小波变换的基本概念 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析 方法，它具有多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的特点，而且时频两域都 具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，时间 窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。 2 1 1 连续小波变换“州埘“” 设( f ) l 2 ( r ) ( r ( r ) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅里叶变换为矿( 口) 。当矿( 国) 满足以下允许条件： q = l 咩舨佃 ( 2 1 ) 时，我们称】；f ，( f ) 为一个基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 。将母函数( f ) 经 伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为： 儿j ( r ) = i 口一缈( 三兰) ( 2 - 2 ) 基于多尺度分析的图像压缩 、式中b r ，a r + 分别为伸缩因子和平移因子。 对于任意的函数，( f ) r ( r ) 的连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m 。c w t ) 为： ， ( 口，6 ) = ( 厂，j ( o ) - - i 口r 啦工侧矿( 气争( 2 - 3 ) 其中，旷( t - 二) b 是y ( 上鸟的复共轭。 其逆变换为： 巾) = 亡f 亡吉乃( 啪m 三云堡脚 ( 2 川 2 1 2 离散小波变换 从连续小波逆变换公式( 2 - 4 ) 可知，厂( f ) 可以由小波变换( 口，6 ) 完备地 表示，即可以将厂( f ) 按照小波基函数族 j o ) 进行分解，其展开系数就是小 波变换盯( 口，6 ) 。但是由于a ，b 是连续变化的，各个小波基函数之间不一定都是- 相互正交的，这种表示有可能存在冗余。要使得这种冗余性消失，可以将参数 4 ，b 离散化，找到线性无关的基函数。在实际运用时，需将连续小波变换离散 化处理。 取a = a ：，6 = 七口：，其中a 。 l ，b o r ，由此得到离散化的小波函数： 肚o ) = a 0 2 妒( 啄7 t 一勋b ) ，工z ( 2 5 ) 则f ( o 的离散小波变换为： 。 巧( j ，七) = a 0 2 【，( ，) 矿( 啄t 一哦弦 ( 2 6 ) 当a 。= 2 ，6 0 = l 时，式( 2 - 6 ) 变为二进小波变换： 舶 盯u ，k ) = 2 2 i 厂( f ) 泓2 1 t - k ) d t ( 2 - 7 ) 其中小波函数为： 一 妒o ) = 22 妒( 2 1 t 一动， j , ke z ( 2 - 8 ) m e y e r 和s t r o m b e r g 已经证明，存在一些小波y ( f ) r ( r ) ，使得其所对应 的离散二进小波函数妒从( f ) 在p ( r ) 空间构成标准正交基。这些小波被称为正交 基于多尺度分析的图像压缩 小波1 ”。 2 2 多分辨分析“”o 阃“” 在实际应用中，信号厂( f ) 往往都是离散的，利用公式( 2 7 ) 求信号的离散二 进小波变换比较困难。1 9 8 8 年s m a l l a t 在构造正交小波基时提出了多分辨分析 ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 的概念，克服了这种不便它从空间的概念上形象地 说明了小波的多分辨特性。 若平方可积空间上2 ( r ) 是有一系列的嵌套的闭子空间) c r ( r ) 构成，如 果其满足下列条件，我们就称 为多分辨率分析( 也称多尺度分析) 。 ( 1 ) 包容性w z ：c y “i( 2 9 ) ( 2 ) 逼近性 ( 3 ) 伸缩性 ( 4 ) 平移不变性 ( 5 ) r i e s z 基存在性 姆巧2 止u ：v ，= r ( 置) 魑巧= 2 巧= o ) i + 。i e z 。 矿( 功巧营矿( 2 工) 巧“，z ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 佗- 1 2 ) 矿妒o + 七) ，七z ( 2 - 1 3 ) 3 伊( 工) ：劬o 一七) ) 。e z 对于是一个稳定的基。 实际上，在上面的多分辨率分析逼近中，存在着一个函数妒o ) r ( r ) ，使得 伊，i = 2 ：5 妒( 2 石一j ) ，_ ，k z ( 2 - 1 4 ) 在内形成一个标准的正交基，其中伊( 曲被称为尺度函数。它就是多分辨分析 的生成元，也称为9 ( 膏) 生成了一个多分辨分析。所以多分辨分析又称为多尺度 分析。这表明，信号在r ( 胄) 上的多分辨率近似是完全由其尺度函数决定，它在 2 分辨率上的近似就是在空间h 上的投影。 由于尺度函数基 妒j ) 组成的空间巧中满足巧c 巧。，将巧+ 中的信号投影 到中时必定会产生一个细节差异，我们可以将这个差异在另一个与正交的 空间肜中描述，即有： + 。= y ，o ，w z ( 2 1 5 ) 基于多尺度分析的图像压缩 形上巧，w z ( 2 _ 1 6 ) 我们称空间既为小波空间，它是r ( r ) 中所有函数在分辨率2 7 上的细节差 异信号的集合。可以证明，必定存在一个函数妒( f ) r 僻) ，使得 ， y = 2 一7 2 矿( 2 x - k ) ，歹，i | z ( 2 1 7 ) 在内形成一个标准的正交基，所以 的，。 = ，e z = 缸。铂 我们称( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 为正向小波变换。同时，根据双尺度方程， 写成： 勺训纵。( 工) = 勺，。+ 嘭，。吩j ( z ) = o ，。岛纺。m 。+ 嘭。g l c j + l 甜+ t e zfez自旺e z 厂、 = 纺w i + g - 2 d jl ，e z t e z t e z 对比上式可知： ( 2 2 s ) ( 2 2 9 ) 式( 2 - 2 7 ) 可 但一3 0 ) = e h j - 2 i 十g d j ，i 我们称( 2 3 1 ) 为反向小波变换。 这是一个逐步分解的多分辨过程。根据( 2 9 ) 空间的嵌套性质c + l 我 们可以把尺度空间v o 分解重构示意图如图2 - 1 所示 丧z 丧菱丧z 丧z 太 ( a ) 一维m a l l a t 分解 ；f 露譬譬 2 5 2 小波变换的滤波组“小埘 以上的正向( 分解) 和反向( 重构) 小波变换实际上可以分别看成为一组 址k = 勺 地似类 基于多尺度分析的图像压缩 分解和重构滤波器组。前向变换由两个分析滤波器石( 低通) 及季( 高通) 和 下采样构成，逆变换由上采样和两个合成滤波器h ( 低通) 及g ( 高通) 构成。 其结构图如图2 - 2 所示。并且正交小波滤波器 ，g ，石，季具有以下关系： g k = ( 一1 ) 1 4 噍，k z ( 2 3 2 a ) = k ，七z ( 2 3 2 b ) 磊= g - i ，k z ( 2 3 2 e ) 所以只要给出规定条件的低通滤波器鬼，就可以按照上式得到其他的三个 滤波器，实现小波分解和合成，进行信号的多分辨分析。如图2 2 所示，输入 信号被滤波后经过亚采样得到_ 个低通信号三p 和一个高通信号h p 。重建算法 需要在凹和胛中每两个点之间插入零值进行上采样。分解滤波器组中的 “上2 ”代表2 取1 的下采样：在重构过程中“个2 ”代表相反的过程，是两个 数据之间插入一个0 的插值运算。 。p 沪胛一妒臣h 。 l 匪) 沪凹一一刮 图2 - 2 小波分解和重构算法滤波器组 2 5 3 二维m a l l a t 算法的分解和重构“” 二维信号的小波分解是通过r ( r 2 ) 空间的二维多分辨分析进行的。这种二 维多分辨分析可以通过r ( r ) 空间的一维多分辨分析的张量积来实现。设妒( x ) 和妒( y ) 分别构成哆和空间的标准正交基，则二维空间哆e ( r 2 ) 可以表示 为： 吁= 吁o ( 2 - 3 3 ) 则尺度函数伤。( x ，y ) 构成哆空间的标准r i e s z 基，即作： 纺。月( z ，j ，) = 2 j 矿( 2 x m ，2 y 一埘) = 纺，( x ) 纺，( y ) ( 2 - 3 4 ) 由r ( r ) 空间的一维多分辨分析可知：，= 吁。町，嘭= 矽。吖。所以 晴i 霸主：】：； 焉鬻三辣( 町。吖) = ( 固) o ( 吁。吖) o ( 町o ) o ( 町。吖) 上式说明，一个二维低通空间可以分解为四个小空间的正交和：一个近似 基于多尺度分析的图像压缩 空问和三个近似空问和细节空间的组合空间。 类似一维小波分解，可得二维小波分解和重构公式： = i 1 反。焉。叼 ( 2 - 3 6 a ) 厶k , j e g j = i 1 丘。磊一：。c 才 ( 2 - 3 6 b ) 嘭= 妻蠡。磊。 ( 2 3 6 c ) 厶k , l e z 础= 豇：缸。础 ( 2 - 3 6 d ) ：纠“ 、 嘲= ； k 。砧岛+ k 鼎剃+ 成硝+ 岛卜硝 ( 2 3 6 0 i 艚i 口i j e z，j 二维离散信号的小波变换也可以看成滤波器组的作用。图2 - 3 ( a ) 和( b ) 所表示的就是一个二维小波分解和重构的滤波器组的作用过程。分解滤波器先 对图像的行进行分解，然后再对列进行分解。每次分解产生4 个子带厶，以， 且0 和乒吨，分别对应于低通滤波信号和水平、垂直、对角这3 个方向的高通 滤波信号。 ( a ) 二维小波分解 儿 l h 皿 腰 ( b ) 二维小波重构 圈2 - 3 二雏小波分解与重构基本过程 基于多尺度分析的图像压缩 图2 - 4 是图像的二级二维小波小波分解的示意图： lh u 1 i l l l u i lh i - i i l l 2 l 上 l h l l l h 2 li - l 2 l i - i l h i - i l ( 4 珩方向一维小波变换彻列方向一维小波变换( c ) 二级二维小波变换 图2 - 4二维小波变换 张量积二维小波变换是一种可分离小波变换。这种张量积小波变换首先对 图像每一行分别作一维小波变换，经过类似于一维小波变换的亚采样形成左右 两部分数据( 如图2 - 4 a ) 。其中，左边为对所有行进行一维小波变换后图像的低 分辨率( 近似) 信息，而右边数据则对应高分辨率( 细节) 信息。然后，对行 变换后系数的所有列进行一维小波变换，经过亚采样得到四个类型数据，即二 维小波变换系数( 如图2 - 4 b ) ： ( 1 ) - h h 子带是由两个方向利用高通小波滤波器誊卷积后产生的小波系数， 其表示图像的对角边缘特性。 ( 2 ) h l 子带是在行方向利用低通小波滤波器h 卷积后，再用高通小波滤波 器季在列方向卷积后产生的小波系数，其表示图像的水平方向奇异特性。 ( 3 ) 埘子带是在行方向利用高通小波滤波器季卷积后，再在列方向用低通 小波滤波器办卷积后产生的小波系数，其表示图像的垂直方向奇异特性。 ( 4 ) 皿子带是由两个方向利用低通小波滤波器厅卷积后产生的小波系数， 其是图像的近似表示。这一子带可以进一步进行处理产生多分辨率分析( 如图 2 4 c ) 2 6 小结 本章主要介绍了小波变换的定义、小波变换的性质、双正交小波以及小波 变换的多分辨分析和m a l l a t 算法。本章理论主要是为论文以后几个章节做铺垫， 后续部分将在小波变换理论基础之上对基于小波变换的图像压缩问题进行深入 的研究和探讨。 基于多尺度分析的图像压缩 第三章基于小波变换的图像压缩 小波变换因其良好的时频局部特性和与人眼视觉特性相符的变换机制，已 经成为当前图像压缩编码的主要研究方向之一。基于小波变换的图像压缩方法 突破了s h a n n o n 信息论的框架，能够获取高的压缩比。小波变换用于图象编码的 基本思想就是把图象进行多尺度分解。先将图像进行二维小波变换，分解成不 同空间、不同频率的子图象，再根据特定的需要对小波系数进行量化编码。系 数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。”。实践 证明基于小波的图像压缩要比基于离散余弦变换的图像压缩性能要好。在新的 静止图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 中就是将小波变换作为其核心技术“1 。基于小波变换 的图像压缩原理框图如图3 一l 所示： 目茬一际浆 _ 唾卜咂夏卜艨磊 一卤 图3 - 1 基于小波变换的图像压缩框图 3 1 小波系数的分布特点 利用小波变换进行图像编码的实质就是将小波系数分成重要系数和非重要 系数，然后对重要系数的位置和灰度值进行有效的处理，用较少的比特数来表 示这些信息。所以有必要了解小波系数的特点，并以此来选择合适的编码方式。 图像经过二维小波分解之后，被分成几个子带。如果进行二级分解，则可 以得到低频子带l l ，两个水平方向的子带且毛、地，两个垂直方向的子带皿、 三且和两个对角线方向的子带h h 2 、h h , 。一个灰度级为2 5 6 、大小为5 1 2 5 1 2 的图像p e p p e r s 经过二级小波分解后的结果如图3 2 所示。 图3 - 2 p c p p c 侣图像经过小渡二级分解后的示意 基于多尺度分析的图像压缩 在系数中，不同的子带内的系数分布极不均匀，各个子带内的系数大小、 所处的重要性是不相同的。表3 1 给出t p e p p e r s 像经过二级小波分解后各个子 带内系数的最大值、最小值、均方差和它们所占总能量的比例。 表3 1小波分解后各子带的能量分布情况 子带最小值最大值均方差能量比例 l l 2 2 558 9 7 2 0 9 19 90 7 3 0 232 1 5 32 5 ，2 802 3 u 七2 1 7 83 0 032 82 3o2 8 啦 1 0 89 97 59 7 4 400 4 m 1 8 451 1 61 1 40 1 9 h i t1 7 61 4 651 05 30 1 6 h h ,一5 55 0