（凝聚态物理专业论文）n分量开边界bariev模型的精确解及其热力学性质.pdf

摘要 多分量b a r i e v 模型是一个非常重要的物理模型，它可以用来研究高温超导现象。 人们对一维周期性b a r l e y 模型做了广泛的研究，其精确解可用b e t h ea n s a t z 方法得 出，基于这个精确解，人们研究了系统的热力学性质，如比热、磁化率等。虽然开边界 条件下二分量和三分量b a r i e v 模型也已有一些研究，但| v 分量开边界b a r i e v 模型 的精确解及其热力学性质至今还没有人给出；另一方面，系统的边界效应也是凝聚态 物理中一个重要问题。因此，研究多分量开边界b a r i e v 模型是一个很有意义的课题。 在这篇文章中，我们首先从分量开边界b a r i e v 模型哈密顿量的一般形式出 发，利用坐标b e t h ea n s a t z 方法得到了系统的两体散射矩阵和反射矩阵，以及系统可 积所应满足的一些自恰性条件。根据此条件，构造了满足可积性条件的哈密顿量。接 着借助量子反散射方法，运用两体散射矩阵和反射矩阵，构造了双行m o n o d r o m y 矩 阵、转移矩阵和系统的边界反射方程，从而详细证明了系统的精确可解性。在此基础 上，从顶点模型的观点出发，我f j n 用y a n g - b m x t e r 方程和边界反射方程给出了双行 m o n o d r o m y 矩阵的矩阵元之间的对易关系。然后通过构造转移矩阵的参考真空态并 利用嵌套b e t h ea n s a t z 方法，给出了系统的能量本征值，本征矢和b e t h ea n s a t z 方 程。至此我们得到了一维分量开边界b a r i e v 模型的精确解。根据弦假设，分别在 排斥和吸引势两种情况下求解b e t h ea n s a t z 方程，得到了系统的热力学b e t h ea n s a t z 方程( t b a ) 和自由能，并分析了t b a 在一些极限情况，如基态、强相互作用耦合和 弱相互作用耦合下的一些性质。 关键词：多分量b a r l e y 模型，开边界，嵌套b e t h ea n s a t z ，量子反散射方法，热力学 a b s t r a c t m u l t i c o m p o n e n tb a r i e vm o d e li so n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n tm o d e l si nc o n d e n s e d m a t t e rp h y s i c s ，w h i c hi sr e l e v a n tt ot h eh i g h t cs u p e r c o n d u c t i v i t y i th a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e di nt h ep e r i o d i cc a s e ，i t se x a c ts o l u t i o ni no n e d i m e n s i o nc a nb eo b t a i n e d t h r o u g hb e t h ea n s a t zm e t h o da n ds o m et h e r m o d y n a m i c sh a v eb e e nc a l c u l a t e ds u c ha s s p e c i f i ch e a ta n dm a g n e t i cs u s c e p t i b i l i t y , a l t h o u g ht h e r ea r eaf e ww o r k sa b o u tt h e s o l u t i o no ft w o - a n dt h r e e - c o m p o n e n to p e nb a r i e vm o d e l s ，t h es o l u t i o na n dt h et h e r m o - d y n a m i c so ft h eo n e - d i m e n s i o n a ln c o m p o n e n tb u r i e v sm o d e lu n d e ro p e nb o u n d a r y c o n d i t i o n sh a sn o tb e e ng i y e no u ty e t o nt h eo t h e rh a n d ，t h eb o u n d a r ye f f e c t si sa l s o a ni m p o r t a n tt o p i ci nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s ，w h i c hi sc l o s e l yr e l a t e dt of i n dt h e e x a c ts o l u t i o nw i t ho p e nb o u n d a r i e si no n e - d i m e n s i o n t h u si ti sa ni n t e r e s t i n gw o r k t os t u d ys u c hs y s t e mw i t hn o n t r i v i a lb o u n d a r i e s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ef i r s tc o n s t r u c tt h ei n t e g r a b l eb o u n d a r yi n t e r a c t i o nt e r m si n h a m i l t o n i a nf r o mt h eg e n e r a l i z e dh a m i l t o n i a no ft h en c o m p o n e n tb a r i e vm o d e lu n d e r o p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n st h r o u g ht h ec o o r d i n a t eb e t h ea n s a t zm e t h o d d u r i n gt h e c o u r s e ，w ea l s od e r i v eo u tt h et w o - p a r t i c l es c a t t e r i n gm a t r i xa n dt h er e f l e c t i n gm a t r i x t h e n ，w es e tu pt h ed o u b l e - r o wm o n o d r o m ym a t r i xo ft h eh a m i l t o n i a n ，t h et r a n s f e r m a t r i xa n dt h er e f l e c t i o ne q u a t i o no ft h es y s t e mw i t ht h eh e l po ft h es c a t t e r i n gm a t r i x a n dt h er e f l e c t i n gm a t r i xb ye x p a n d i n gt h ey a n g - b a x t e rr e l a t i o na n dt h er e f l e c t i o n e q u a t i o n ，w eo b t a i nt h ec o m m u t a t i o nr e l a t i o n so ft h ee l e m e n t so ft h ed o u b l e - r o wm o n o d r o m ym a t r i x a f t e rd e f i n i n gt h er e f e r e n c es t a t e ，w es o l v et h ee i g e n v a l u ep r o b l e m o ft h et r a n s f e rm a t r i xa n dg i v et h eb e t h ea n s a t ze q u a t i o n sa n dt h ee n e r g ys p e c t r u m o ft h eh a m i l t o n i a ni nt h ef r a m e w o r ko fq u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o dw ea l s o d e r i v eo u tt h et h e r m o d y n a m i cb e t h ea n s a t ze q u a t i o n sa n df l e ee n e r g yb a s e do nt h e s t r i n gh y p o t h e s i sf o rb o t hr e p u l s i v ea n da t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s t h e s ee q u a t i o n sa r e d i s c u s s e di ns o m el i m i t i n gc a s e s ，s u c ha st h eg r o u n ds t a t e ，w e a ka n ds t r o n gc o u p l i n g k e yw o r d s ：m u l t i c o m p o n e n tb a r i e vm o d e l ，o p e nb o u n d a r y , n e s t e db e t h ea n s a z q u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，t h e r m o d y n a m i c s 1 l 西北大学学位论文知识产权声明书 妒 山7 9 6 6 7 6 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：j 蟹i 址指导教师签名： 伊缉和，细7 口。f 年细，f 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：不j 三阮 伽扩年争月，z 日 幂缝爨婴聃勿垒立蚕；”攀 第一章引言 人们通常运用统计的方法研究多粒子体系的宏观热学性质及其变化规律。由g i b b s 1 1 引入的配分函数在统计力学中起着很重要的作用，这是一个非常重要的热力学特性 函数。对一个温度为丁的热力学体系，其微观态s 对应的能量为e ( s ) ，配分函数可 被定义为 z = e z p 一e ( s ) k t ， ( 1 1 ) s 式中k 是玻尔兹曼常数。借助配分函数，我们很容易得到体系的很多宏观量，比如熵 s 、自由能f 及任一力学量x 的平均值 ： s = 一k t i n z ，f = e t s ， = z 。x e x p 一e ( s ) k t ( 1 2 ) 运用自由能还可得到系统的一些其它热力学量，例如内能u 、比热c 、磁化率y ： v = 掣烈0 亍f ) ，c = - t 2 杀( 斋) ，x = 一磊( 嘉) ， ( 1 。) 式中为总粒子数，髫为磁场强度。 这时求解一个热力学体系就转化为求该体系的配分函数。但遗憾的是，一个实际 物理学体系的配分函数非常复杂，很难求解，所以人们不得不建立模型来求解，其中， 包含下面涉及到的可积模型( 又称精确可解模型) 。可积模型是统计物理中一种非常重 要的模型，通过该模型可以使原本复杂、难以精确求解的物理体系的配分函数变得简 单而易于求解。在可积模型的研究中，提出了许多重要的概念和方法并得到了很多有 意义的结论，它们已在凝聚态物理、量了通信、共形场等许多领域f 2 9 1 都有极为广泛 的应用。量子可积系统的研究不仅深刻地揭示了数学、物理学等领域中一些不同分支 之间的相互联系，更为重要的是其中所涉及的一些新概念、新方法、特别是一些新的 代数结构 1 0 - 1 2 1 ，为物理学相关问题的研究提供了更为广泛的基础。 可积性实际上表示的是系统的运动学情况或者动力学方程的解或者与热力学性质 相关的热力学函数( 一般指的是配分函数) ，可以严格地用基本函数解析的表示出来，但 在不同的问题中其具体表述方式有所不同。对一个具有个自由度的力学系统，如果 存在个相互独立的整体运动积分厶( p ，q ) ( i = 1 ，2 ，) ，并且相互对合，即任 2 意两个运动积分的溶松括号为零，即 l i , l j ) - w d l i o l 。j o 慨l i o 锨l ij 1 = 。姗= 1 ，) ( 14 ) 式中口= ( q 1 ，q 2 ，- q y ) 和p = ( p l ，p 2 ，p n ) 分别是广义坐标和广义动量，则称这 样的系统是可积的，这称为刘维尔定理。而在量子情况下，对具有个自由度的力学 系统，如果存在个独立的守恒量五溉口) ，满足 五，弓 = 五一岛l i = 0 ，( i ，j = 1 ，一，) ( 1 5 ) 则称该量子系统是可积的。 那么，任给一个统计模型，怎么来证明该模型可积呢? 主要有以下两种方法：( 1 ) l a x 对方法。它是广泛使用的证明系统l i o u v i l l e 可积性及寻找系统守恒量的有效工 具。l a x 对是定义在系统相空间中的两个函数l ，m ( l a xp a i r 或l a x 对) ，致使动力 学变量( p ，q ) 的演化方程等价于它们所表达的演化方程d l d t = 【l ，m ，其中 ， 是李 代数对易括号。l a x 对在证明系统可积性方面有十分重要的作用，运用它很容易构造 出系统的守恒流i ( l ) ，要求d i ( l ) d t = 0 。对一个经典的一维粒子系统，l a x 证 明f 1 3 对一些给定的裙互作用势，可以找到两个n n 的厄密矩阵三和a ，这两 个矩阵满足l a x 方程d l d t = i a ，l 1 ，并且行列式d e t l w 1 1 是一个动力学常数。 把该行列式按u 展开，可找到个对合的运动积分，于是系统是可积的。c a l o g e r o 和m o s e r 1 4 1 已经证明了对应的量子系统也是完全可积的。( 2 ) 量子反散射方法。由 f a d d e e v 和t a k h t a j a n 1 5 于1 9 7 8 年提出的量子反散射方法( 代数b e t h ea n s a t z 方 法) 为研究一维可积系统提供了一个强有力的丁具。对通常一维系统，只要找到系统 的y a n g - b a x t e r 关系，人们就可构造出守恒量的生成泛函，由此可求得无穷多守恒流， 同时y a n g - b a x t e r 关系也为精确求解系统提供了基本对易关系，因而y a n g - b a x t e r 关 系是判断系统是否可积的充分条件。 严格而言，一有限系统是否可积取决于人们是否能够找到足够数量的相互独立的 守恒流，如果仪从守恒量的数目来判断系统的可积性是不充分的，对有限系统可以肯 定上述无穷多守恒流是不完全独立的，但守恒量是否完备则很难确定。就我们所知， 到目前为止该问题还没有严格的数学证明。虽然无法证明，但从量子反散射方法的基 本构造中人们相信守恒量的完备性应该能得到保证。因为量子反散射方法提供了求解 系统的一个有效途径，故系统是完全可积的。b e t h ea n s a t z 方法也是汪明系统是否可 3 积的一种常用的方法，运用它已成功求解了h x x x 自旋链模型【1 6 、k o n d o a 模型【1 7 1 、c a l o g e r o - m o r s e 模型 14 等一系列模型。但该方法要求直接寻找出体系的能谱和本 征波函数，在未求出其本征谱前，人们并不能确信系统是否一定可积。 自c h e r e d n i k 1 8 1 和s k l y a n i n 1 9 1 研究有限体积系统的可积性以来，人们越来越注 意到系统可积性对边界条件的依赖关系。其原因不仅来自理论自身的魅力，更在于它 可应用于其它许多领域如统计系统中与边界相关的临界现象【5 ，7 、共形场论的可积 形变理论【8 】和弦理论 9 】的研究中。s k l y a n i n 用推广的量子反散射方法研究了h x x z 模型在一定边界条件下的解f 2 0 卜在他的推算中r 矩阵必须具有p 和t 对称性、幺 正性及交叉对称性。鉴于己知的r 矩阵大部分不满足上述性质，人们将s k l y a n i n 方 法推广到p t 对称性、幺正性和交叉对称性 2 1 或p c t 对称性、幺正性和弱交叉对 称性系统【2 2 1 ，利用这一方法可构造各种具有开边界条件的系统。在这一方案中，反射 方程起着十分重要作用，它与y a n g - b x t e r 关系一起共同构成了精确求解体系的基本 关系，同时也给出了守恒流的生成泛函。 强关联系统在凝聚态理论中的有着很重要的应用。一个重要的例子就是已被广泛 研究的h u b b a r d 模型【2 3 3 0 】和超对称t j 模r 2 3 1 3 1 3 5 1 。h u b b a r d 模型最早被用来解 释过渡金属化合物的磁性质，后来发现它和费米液体理论，高温超导中的氧化铜平面 都有联系，其量子涨落亩圊一格点上的库仑排斥作用弓 起。超对称t j 模型描述了在 每个格点上最多只能容纳一个电子的强关联可积系统，它可被用来描述高温超导中的 c o p p e r - o x i d e 平面，其量子涨落来源于相邻格点间的反铁磁自旋交换作用。h i r s h 于 1 9 8 9 年提出了一个新的模型f 3 6 ，3 7 1 ，用于解释高温超导现象。其中电子和空穴的跳跃 与能带的填充情况有关，依赖于末态是否为电子所占据。这种关联跳跃如是排斥性的， 它会减少跳跃项的振幅：如是吸引性的，则增加跳跃项的振幅。直接计算表明f 3 8 1 一维 h i r s h 模型的散射矩阵不满足y a n g - b a x t e r 方程。尽管不可积，但h i r s h 模型中存在 c o o p e r 型的空穴对，对高温超导的研究仍具有重要意义。 b a r i e v 于1 9 9 1 年提出了一个改进的可积模型 3 9 j ，与h i r s h 模型比较可看出b a x i e v 模型仅在一个方向上有关联，因此可以看作是半个h i r s h 模型。b a r i e v 后来将该模型 推广到具有任意分量( 分量) 的i 觏 4 0 1 ，并证明了该模型的可积性。其基态、激发态、 关联函数、高温极限、强相互作用耦合极限和弱相互作用耦合极限等情况下的一些热 力学性质在文献i 3 8 ，4 0 - 4 5 1 中已被详细的讨论。以上所有这些工作都是在周期性的情况 下完成的。同样我们也可讨论开边界条件下b a r i e v 模型的可积性及其热力学性质。文 4 献4 6 1 运用坐标b e t h ea n s a t z 方法，证明了在一种固定边界条件下二分量开边界b a r i e v 模型的可积性，并给出了系统的能谱和b e t h ea n s a t z 方程。在文献f 4 7 1 中，f o e r s t e r 等 人用量子反散射方法详细地研究了二分量开边界b a r i e v 模型的可积性问题，给出了两 类对角形式的边界k 矩阵，并由此导出了四种可积边界场，最后用坐标b e t h ea n s a t z 方法给出了系统的b e t h ea n s a t z 方程和能谱，而文献4 8 1 用同样的方法详细地研究了 三分量开边界b a r i e v 模型的可积性问题，给出了三类对角形式的边界矩阵和九种 可积边界场，并用坐标b e t h ea n s a t z 方法给出了系统的b e t h ea n s a t z 方程和能谱。这 就启发我们研究一分量开边界b a r i e v 模型的可积性问题。 本文第二章从一般形式的一分量开边界b a r i e v 模型的h a m i l t o n 量出发，利用 坐标b e t h ea n s a t z 方法，给出系统可积性对边界场的限制，求解这些方程，我们给出在 一种固定边界条件下可积的h a m i l t o n 量；第三章用量子反散射方法对模型的转移矩 阵进行严格的对角化，求出系统的能量本征值、本征函数及系统的b e t h ea n s a t z 方程； 第四、五章分别详细讨论系统在排斥、吸引相互作用情形下的一些热力学性质，给出 b e t h ea n s a t z 方程的解的一般形式，求解b e t h ea n s a t z 方程得到热力学b e t h ea n s a t z 方程( t b a ) 及自由能函数的确切表达式，并讨论系统在一些极限情况如基态、强相互 作用耦合及弱相互作用耦合下的一些热力学性质；第六章讨论系统在吸引相互作用情 形下的热力学性质；第七章给出结论并作一些讨论。 5 其中 第二章 n 分量开边界b a r i e v 模型的构造 考虑到边界相互作用， r - 分量开边界b a r l e y 模型的h a m i l t o 量一般可写为 h 。女，。 h = 。十磕砒， x 旨1 ，l + + 呶0 1 2 ( _ 一1 ) n x n x + 1 n ? 2 x + 2 n n x + f 一1 ) n ( 2 ，1 ) 其中，弓+ 。、c j + 。n 、n j + 。n = 弓h _ v c j + 。分别是位于j 格点具有分量口的粒子 的产生、湮灭和粒子数算符。n 是分量总数。工是链的总长。危( z ) 是一个阶跃函数，如 果 0 则 ( z ) = 1 ，否则危( z ) = 0 。”表示相互作用强度，可取任意实数，” 0 表示排斥相互作用。三曙。如。是开边界系统的左边界相互作 用项，而日。如，是系统的右边界相互作用项，呱，；是边界上只有一个粒子时的耦合 强度系数，口。，玎是边界上有两个粒子时的耦合强度系数，以m 2 一l 是边界上有 个粒子时的耦合强度系鼗。 2 1 b e t h ea n s a t z 和能谱 一般而言，任意给定边界耦合参数呶，并不能保证系统的可积性。下面我们将根 据系统满足可积性的要求，来确定系统的边界耦合强度系数。根据标准的b e t h ea n s a t z 方法，当系统有肌个粒子时，h a m i l t o n i a n 量( 2 1 ) 的本征态可设为 皿肌) = ，( 。 却) 6 ( 2 2 ) q口+ 加 a+q 蜘 如 p xe 心hq 町 + 0 、 + 町 + + 勺 叫 + j ， ， h 州 删 | | + 扎 h n + n盯 + ” n + n vy 盯 蜘 十 口 ：i 0 q吐 他同 m d 劬 k 虬 z 其中波函数取如下形式 ，c z - ，z 札，。，。= e p e q e p a q e x p ( t 釜j = l * 聊z 叮 p = 南( z q 。，z ，z ) ( 2 3 ) 式中z ，是粒子所处的位置，1 0 ) 是所有格点均无粒子时的参考真空态， 0 ) = f 0 ) ， o ) i 表示第j 个格点的真空态。p 表示个互不相等的波数硒或一岛的一个置 换，p 是置换p 的宇称，如果置换是偶的，且有奇数个取负值，则e p = 一1 ；若有偶数 个取负值，则p = 1 。q = ( q ，q 帆) 是c 个粒子的位置的置换，它使粒子的位置 满足1 z 。，。墨l ，。是置换q 的字称。在以后的计算中，在没有 特别说明的情况下，我们将略去雹换q ，直接写成f ( x 。，z 。) 的形式。比如 在只有两个粒子的情况下我们采取如下约定：如果z 1 茁2 则，( l ，z 2 ) = f i 2 ( z 1 ，z 2 ) ， 若。l2 石2 则f ( x l ，z 2 ) = ，2 lx 2 ，z 1 ) 。在多粒子的情况下我们也采取类似的约定。 将试探鳃( 2 2 ) 代入薛定谔方程 日l 札) = e f 札) ，( 2 4 ) 在所有粒子分开足够大的条件下( 即陬一x j + ( o 。一叮j ) i i 1 ) ，得到 = e ，。( z q l ，z 一1 ，茁时，z 町+ l ，z q ) ( 2 5 ) 由此方程可得h u m i l t o n 量的本征值 2 2 两体散射矩阵和风枞部分的可积性 ( 2 6 ) 为了得到两粒子的散射矩阵，我们考虑札一2 粒子分得足够开，而只有两个粒子 7 局 一 m h so0 札博 2 j e 靠得很近，边界上没有粒子时，由薛定谔方程得方程组 j + 1 2 y ：c o s g 。) ( ，z 十l ，z 钻，) l = j = e ”局，) + 局，( ，+ l ，+ 1 + 南( ，z 毋+ 2 ，z 酊，) + 局( ，z 毋+ l ，z 竹一1( 2 7 ) j + 1 2 c 。s ( k ) 危，( ，) l = i = e 吖尼( + i ，) 十允( ，- 1 1 ) + 南，( ，+ 1 ，) + ，。，( ，。一l ，z 钉，) ， ( 2 8 ) 其中q 和q 7 是这样两个置换：( 2 q j = q + 。，+ 。= 。，当f j ，j + 1 时q m = q 将波函数的试探解( 2 3 ) 代入方程( 2 7 ) ( 2 8 ) 可得 铲”，“。岫“( 岛，砖，+ ，七p 。) = 瑶麓( 等一下k p j + l o , - - f r * + 心。叫。，k p 一 ( 2 9 ) s 一矩阵的非零元为 踞( k ) = 1 ，蹈( k ) = 面s i i n 丽( k ) ( p ) 、 蹭( ) = 面s i i n 而( i t ) e x 鼬州口a ) ) ( 。卢) ( 21 0 ) 式中s 口见扛) 是个符号函数，当z o 时，s i 9 n ( 。) = l ，当z 0 时，s i g n ( x ) = 一l 。 易证两体散射矩阵满足y a n g - b a x t e r 方程。 在一般情况下，由y a n g - b a x t e r 方程就可保证系统( 周期条性条件) 的可积性。但 在系统含有多体相互作用的情形下是不充分的。在这种情形下需要验证非平庸的多体 作用的方程。 当有三个粒子靠得很近，其它所有粒子分得很开，且边界上没有粒子时，由薛定 8 谔方程可得如下关系式 j + 2 2 o o s ( ) 几，叩，”) l = j = e 2 ” ，( 一，。+ 1 ，z ，z ，- ) + ，( 一，z ，z ，z 一1 ，) l + e 1 ，( ，z ，z 一1 ，z ，一) + ，( 一，。，z + 1 ，z ，) 】 + ，( - ，茁，。一1 ，z ，) + ，( - ，z ，z + 1 ，z ，) ， ( 2 1 1 ) j + 2 2 c o s ( b ) ，( = e 2 1 ，( ，z + 1 ，x + 1 ，z + 1 ，一) + ，( 一，z + 1 ，x ，z ，) + e ”汐( 一，z ，z + l ，z ，t ) + ，( 一，z + 2 ，z 十1 ，茁，) j + ，( ，z + 1 ，z + 2 ，。，) 十，( - ，z + 1 ，。+ 1 ，2 1 ，一) ， ( 2 1 2 ) j + 2 2 c o s ( k v 。) ，( f = j = 9 2 9 【，( ，。，。，。，) + ，( ，。+ 1 ，嚣+ 1 ，z ，- ) + e ”【，( 一，z + 1 ，z 。+ 1 ，- ) + ，( ，z + 1 ，z ，。一1 ，) 】 + ，( 一，z 十2 ，z ，z ，) + ，( - ，z + 1 ，z l ，。十1 ，- ) ( 2 1 3 ) 将波函数( 2 3 ) 代入上式并借助方程( 2 9 ) ，我们可证明以上三个方程总是成立的。当 有n ( 3 nsn ) 个粒子靠的很近，且边界上没有粒子时，我们可给出由薛定谔方程 得到的方程组的一般形式，并且发现这些方程的解是两体散射矩阵，由于表达式较复 杂，故略去。 2 3 边界反射矩阵和可积边界条件 现在考虑边界上有粒子时的情况。当左边界及右边界上仅有一个粒子时，由薛定 谔方程可得 f ( ，= 0 ，) = 吼，。，( ，= 1 ，) j ；1 ，e ， ( 21 4 ) f ( ，= l + 1 ) = o - l 。，( ，码= l ，) j = 1 ，帆( 21 5 ) 9 将波函数( 2 3 ) 代入上式得到如下边界方程 a 嘶m ( 砩。，碎。) = k 。( 一警) a q i 一一c ( 一，b 。) a 嘶嘞( b 。，b ) = ；( 警) a a q l c r q n e ( b 、，一) 其中 虼( ；) = 瓦0 1 l , a i e i k 西- - 1 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 争端e “啦圳( 2 1 8 ) 分别称y ，矿为左反射和右反射矩阵。 当系统左边界上有两个粒子( o ， 2 ) 时，由薛定谔方程可得 e 1 ，( ，z z ，= 1 ，。= 0 ，) + ，( ，z ；。= 0 ，z ，。= 1 ，) = ( 盯l m + 0 - 1 ，n 2 + 仃l m 。2 ) ，( ，盈l = l ，z 1 2 = 1 ，) ，( 2 1 9 ) 当系统右边界上有两个粒子( a ， q 2 ) 时 一，( ，。t ，= l + 1 ，z ，。= l ，) + ，( ，甄。= l ，z t 2 = l + 1 ，) = ( d r l m + o - l ，。2 + 0 l m 。) ，( ，z ；。= l ，z 赴= l ，) ，( 2 2 0 ) 当系统左边界上有三个粒子( a 1 0 2 0 3 ) 时 e 2 ”，( ，z ；l = 1 ，z 。2 = 1 ，z b = 0 ，) + e ”，( ，l = l ，。2 = 0 ，z a = 1 ，) + ，( ，z 1 = 0 ，。t 2 = 1 ：，z 1 3 = 1 33 = ( 吒。+ 吼。，+ 吼。) i = 1 i j ，( ，z t 。= i ，。2 = 1 ，z = i 当系统右边界上有三个粒子( d l 口2 q 3 ) 时 ) ，( 2 2 1 ) e 2 叶f ( ，z ：l = l + 1 ， ，。：2 = l ，z = l ，) + e 叮，( ，z ：i = l ，茁。2 = l + l ，芏b = l ， + ，( 盈。= l ，z 钝= l ，。；。= l + l ， 3 3 = ( 。+ 。，- - 0 - l 。) = 1 i j x f ( ，z ；。= l ，z ；：= lz ；。= l ，) ， ( 2 2 2 ) 当系统左边界上有n ( 3 n n ) 个粒子陋1 a 2 a 。) 时 e ”一1 1 ，( ，z h = 1 ，。= 1 ，z 。一，= 1 ，z ；。= 0 ，) + e 一2 叶，( ，。l l = l ，z 虹= 1 ，墨一l = 0 ，。；。= 1 ，) + e “一3 1 ，( ，z ，。= 1 ，z i ：= 1 ，z l 。一：= 0 ，z h 一。= i ，z ；。= i ，) + + 矿，( ，。，。= 1 ，：= 0 ，蕊一。= 1 ，魏。= 1 ，) + ，( ，z ；。= 0 ，筑：= 1 ，z ；。一，= 1 ， nnn = ( 叽。+ 吼叫+ 吼吣。+ i = i l ji j k x f ( ，蜀。= 1 ，。：2 = 1 ，蜀一l = 1 ， ，z t 。= l ，) + 盯1 卢l 。2 n 。) z ：。= 1 ，) 当系统右边界上有n ( 3 n n ) 个粒子时( o l o t 2 q 。) e ( “一1 ) 町，( ，z t l = l + 1 ，。，2 = 厶，。一。= l + e ( n 一2 ) 1 ，( ，噩1 = l ，z 赴= 工+ l ，z ，。一，= l z 。= l ，) ，z ，。= 厶) ( 2 2 3 ) + e 一3 即，( ，。：。= ，z 毪= l ，z 地= l + l ，。，。h l = 三，= ，。) + _ 。+ e 1 ，( ，工t 1 = l ，。：l ，x l 。= l + i ，。t t l = l ，) + ，( ，z ；= l ，c c i 2 = ，z ：。一l = l ，。h = l + 1 ，) 盯l ，a l 口”a 。) x f ( ，z 。= 三，x i ：= l ，z ；。= l ，z ；。= l ，) 其中i l i 2 i 。，i f = 1 ，札，f = ( 2 9 ) ，( 21 4 ) ，( 21 5 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) ， ( 22 4 ) 1 ，2 ，n ，n = 4 ，5 ，6 ，。联立方程 ( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 及( 2 2 4 ) ，我们可解得关系式 i o i , o i a j “k l ( 。t 吼等0 i 盯l ，d 1 。 d 。 ( e 2 1 1 ) 2( a 。 。， q k ) ! l 生旦塑坠= ( e 2 _ 一1 ) n 一1( n 1 血2 。3 o r l ，n “ 0 1 , 0 1 2 3 ( n - 1 ) = ( e 2 q 1 ) 0 1 ，n 一1 1 1 。) ( 2 2 5 ) + 毗 口c 叮 。 + 畸 dl 盯 。 + ol 盯 。 = 及 等一2 k ，( 啦 吲，等。( e 2 - 1 ) 2 ( 吣0 。妯“ ，等 2 ( 印一1 ) ”1 ( 。 。 。s f b l b ” ( r 1 ( 面，识) t 1 ( 一面，讧) 一1 。d 。l - - 。d 。m ) 。 f 七m b d l ( v 1 ) b d 。( v 2 ) b d 埘( ) j o c ) + 姜觜州，童。丽1 s ( h ) ) 盅j 韶f 吣6 ”玩。( “) xb z ( 口1 ) b d 。( 一1 ) 玩( u k + 1 ) b d 。( u m ) l v a c ) 一舌m希赫，塾。盯硒丽1m m ，、 p ( 诹，i 1 ) l ( 巩，诹一1 ) l ( 沁，讥+ 1 ) l ( 讥，i ，) l ( 1 ( 一百k ，雷吖) 一