（理论物理专业论文）五维超对称黑环吸引子机制和维度约化的研究.pdf

a s p e c t so f5 ds u p e r s y m m e t r i cb l a c kr i n g s ，a t t r a c t o r a n dd i m e n s i o n a lr e d u c t i o n a u t h o r ，ss i g n a t u r e ：绱虽 s u p e r v i s o r ss i g n a t u r e ： e x t e r n a lr e v i e w e r s ： e x a m i n i n gc o m m i e x a m i n i n gc o m m i t t em e m b e r s ： d a t eo fo r a ld e f e n c e ： m a y2 0 0 9 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：芦。1 年5 月z 8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王永浇 签字日期：2 。c 年箩月娼e l 导师签名：心、一泰 签字日期：3 对年厂月ge l l 致谢 致谢 值此毕业论文完成之际，谨在此向多年来给予我关心和帮助的各位老师和同学 表示衷心的感谢! 首先要诚挚的感谢我的导师陈一新教授三年来对我的精心培养。陈老师治学严 谨，诲人不倦。回顾这几年的求学生涯，陈老师教给了我持续的支持和鼓励，感谢 陈老师给我提供了宝贵的机会，使我有幸在本学科最前沿的领域进行研究。此外， 陈老师渊博的知识，令我深深体会到学海无涯仍需继续努力。这些都使我终生受益 匪浅。 其次我还要特别感谢近代物理中心给我诸多教诲和帮助的各位老师，感谢罗民 兴、金洪英、张宏、戴建辉、张剑波、朱国怀、郑波、许晶波、鲁定辉等老师给予我的 教育和帮助! 感谢曹超、陈霖、曹巧君、杜一剑、李剑龙、李圣文、蒋卫建、刘海 山、马骞、邵凯南、苏奇平、王庸、王浏诚、徐青、徐三成、吴伟、肖勇、尹志、张 珠峰等同学和朋友，感谢他们对我学 - - j 和生活上的帮助，使我愉快的度过了在江南 的美好时光。 最后，感谢父母多年来对我的养育，感谢一直在背后支持我的妻子岳园。 浙江大学博士学位论文 摘要 摘要 本论文主要分为两个部分，第一部分讨论了在超引力理论中的黑洞所具有的吸 引子机制，研究了五维空间中超对称黑环解所具有的吸引子机制，第一次给出了黑 环的一阶吸引子流方程。第二部分讨论了五维引力模型约化到三维时，所得到的非 线 生s i g m a 模型和超对称解之间的关系，研究了在陪集空间g 2 f 2 ) s o ( 4 ) 作为靶空间 时超对称黑环解的情况。 本文首先对黑洞吸引子机制的发展和现状做了综合的评价，简单介绍n = 2 ，d = 4 超引力中的吸引子机制和在弦紧化背景下多吸引子流方程。然后介绍在高维 引力下，存在着不同于4 维及其以下维度的空间上的黑洞解的拓扑性质的黑环解。 接下来我们介绍如何# f j f 羽v e r ys p e c i a lg e o m e t r y 或者称r e a ls p e c i a lg e o m e t r y ( 实 特殊几何) 来构造5 维n = 2 超引力下的一般的多中心黑环解。详细研究并推广了 黑洞吸引子流方程到5 维黑环解的情况，得到了在吉彭斯一霍金空间上的黑环解的一 阶吸引子流方程，同时也得到了决定规范场的约束方程。接着我们分析了黑环一阶 流方程组的性质。发现对其中的一个方程积分，可以精确地得到电性的中心荷磊。 对另一个方程取全微分，我们可以重新得到一个二阶的黑环流方程( 曾被k r a u s a n d l a r s e n 提出) 。此外，对超对称黑环的一种极限b m p v 黑洞做了些讨论。 本文的后半部分先简单介绍g 。( 2 1 的李代数，然后讨论如何从5 维最小超引力模 型约化到4 维，进一步到3 维，接着利用非线，l 生s i g r n a 模型和超对称解之间的关系， 研究在陪集空i 日- g 2 ( 2 ) s 0 ( 4 ) 作为靶空间时超对称黑环解的情况。考虑稳定解的具 有r u ( 1 ) u ( 1 ) 对称性条件，我们约化五维超对称黑环到二维获得了一个非线性 l 约s i g m a 模型。分析靶空间g 2 ( 2 1 s o ( 4 ) 的代数结构，我们获得了在超对称黑环下的 守恒流和超对称约束。这些守恒流是依赖于角坐标的，为了得到守恒荷，我们积分 这些流沿着环s 1 。分析所得到的积分结果，我们找到了对应着超对称黑环电荷q 和 角动量山的守恒荷。黑环的渐进解b m p v 黑洞作为特例被给出，对其半经典波函数 也给了简单的讨论。 i i i 浙江大学博士学位论文 关键词：黑洞吸引子黑环非线性s i g m a 模型g 2 ( 2 ) 群 a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yd i v i d e di n t ot w o p a r t s t h ef i r s tp a r tp r o v i d e st h ei n v e s t i g a t i o n o ft h ea t t r a c t o rm e c h a n i s mo ft h eb l a c kh o l ei nt h es u p e r g r a v i t ya n dt h es t u d yo fa t t r a c t o rm e c h a n i s mo fs u p e r s y m m e t f i cb l a c kr i n g si nf i v e d i m e n s i o n a ls u p e r g r a v i t y , a n di ti s t h ef i r s tt i m et h a to n e o r d e ra t t r a c t o rf l o we q u a t i o n so fb l a c k r i n g si so b t a i n t h es e c o n d p a r ti sd e v o t e dt od i s c u s sn o n - l i n e rs i g m am o d e la n dt h es u p e r s y m m e t r i cs o l u t i o n si nt h e b a c k g r o u n do ft h ed i m e n s i o n a lr e d u c t i o nf r o mf i v ed i m e n s i o n st ot h r e ed i m e n s i o n s ，a n d d os o m e w o r ko nt h es t u d yo ft h es u p e r s y m m e t r i cb l a c kr i n g si nt h e t a r g e ts p a c e sb yu s e o f t h ec o s e ts p a c eg a 2 ) s o ( 4 ) f i r s t l y , t h eh i s t o r ya n dr e c e n tp r o g r e s so ft h ea t t r a c t o rm e c h a n i s mo fb l a c kh o l e si s r e v i e w e d n e x t ，w es i m p l yi n t r o d u c et h ea t t r a c t o rm e c h a n i s mi nn = 2 ，d = 4s u p e r g r a v i t y a n dm u l t i c e n t e ra t t r a c t o rf l o we q u a t i o n si nt h eb a c k g r o u n do f s u p e r s t r i n g m e a n w h i l e ，i n h i g hd i m e n s i o n s ，ab l a c kr i n g ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt o p o l o g i c a l l ys p h e r i c a lb l a c kh o l e s i nf o u ro rl o w e r d i m e n s i o n s ，i si n t r o d u c e d t h e n ，w ei n t r o d u c et oh o w t ou s et h er e a ls p e c i a lg e o m e t r y ( v e r y s p e c i a lg e o m e t r y ) t o s t u d yt h em u l t i c e n t e rb l a c kr i n gs o l u t i o ni n5 dn = 2s u p e r g r a v i t y ，a n ds h o wh o wt oe x t e n d t h eb l a c kh o l ea t t r a c t o rt o5 db l a c kr i n ga t t r a c t o r ，a n do b t a i nt h ef i r s t o r d e ra t t r a c t o rf l o w e q u a t i o n sf o rt h eg e n e r a ls o l u t i o n so fm o t i o ne q u a t i o n sf o rn = 2s u p e r g r a v i t yi nf i v e d i m e n s i o n a lg i b b o n s h a w k i n gs p a c e m e a n w h i l e ，w ea l s og e tt h ec o n s t r a i n te q u a i t o n s w h i c hd e t e r m i n et h eg a u g ef i e l d s w ea n a l y z et h ef i r s t - o r d e rf l o we q u a t i o n so fb l a c k r i n g a n df i n dt h a tt h ei n t e g r a t eo fo n eo fe q u a t i o n sa g r e e sp r e c i s e l yw i t ht h ee l e c t r o n i cc e n t r a l c h a r g e 磊m o r e o v e r , t a k i n gt h ed i v e r g e n c eo f t h eo t h e ro n e w ec a nr e p r o d u c et h es e c o n d - o r d e rf l o we q u a t i o n ( w h i c hh a v eb e e no b t a i n e db yk r a u sa n dl a r s e n ) a l s o ，t h ec a s eo f b m p vb l a c kh o l e ，t h el i m i to fb l a c k r i n g ，i sd i s c u s s e d i nt h el a s tp a r to ft h i st h e s i s ，f i r s t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fl i ea l g e b r ao f g 2 ( 2 ) ， t h e ns h o wh o wt or e d u c ef i v ed i m e n s i o n sm i n i m a ls u p e r g r a v i t yt of o u rd i m e n s i o n s ，f u r - v 浙江大学博士学位论文 t h e r , t ot h r e ed i m e n s i o n s b yu s eo ft h er e l a t i o nb e t w e e nt h en o n l i n e rs i g m am o d e la n d t h es u p e r s y m m e t r i cs o l u t i o n s ，w es t u d yt h es u p e r s y m m e t r i cb l a c k t i n g si nt h eb a c k g r o u n d o f t h ec o s e ts p a c eg 2 ( 2 ) s 0 ( 4 ) w i t ht h er u ( 1 ) u ( 1 ) i s o m e t r yo f t h es t a t i o n a r ys o 1 u t i o n s ，w er e d u c e5 ds u p e r s y m m e t r i cb l a c kr i n gs o l u t i o n st ot w od i m e n s i o n sa n do b t a i na n o n - l i n e a rs i g m am o d e l a n a l y z i n gt h ea l g e b r as t r u c t u r eo fg 2 ( 2 ) s 0 ( 4 ) ，w eo b t a i nc o n s e r v e df l u xa n ds u p e r s y m m e t r yc o n s t r a i n t so fs u p e r s y m m e t r i cb l a c kr i n g s i nt h ec o n t e x t o f b l a c k r i n g s ，t h ec o n s e r v e df l u xi sd e p e n d e n t o f a n g u l a rc o o r d i n a t e i no r d e rt oo b t a i nt h e c h a r g e si n d e p e n d e n to fc o o r d i n a t e s ，w ei n t e g r a t et h e s ec h a r g eo v e rs 1 a n a l y z i n gt h ei n t e g r a lr e s u l t s ，w ef i n dt h ec e r t a i nc o n s e r v e dc h a r g e sc o r r e s p o n d i n gw i t ht h ee l e c t r i cc h a r g eq a n da n g u l a rm o m e n t u m 如o f s u p e r s y m m e t f i cb l a c kr i n gr e s p e c t i v e l y as p e c i a le x a m p l e ， b m p vb l a c kh o l e ，a st h el i m i to ft h es u p e r s y m m e t r i cb l a c kr i n gs o l u t i o n ，i ss t u d i e d ，a n d t h es e m i c l a s s i c a lw a v ef u n c t i o no fb l a c kh o l ei sd i s c u s s e d k e y w o r d s ：b l a c kh o l ea t t r a c t o r ，b l a c kr i n g s ，n o n l i n e a rs i g m am o d e l ，l i eg r o u p g 2 ( 2 ) v i 目次 目次 致谢i 摘要i i i 目次 1 绪论1 2 黑洞的吸引子现象 9 2 1 n = 2 ，d = 4 超引力中的黑洞吸引子机制9 2 2 超弦背景下的吸引子机制和劈分的吸引子流2 0 3 黑环及其吸引子流方程2 5 3 1 五维超对称黑环2 5 3 2 弦论中的超对称黑环3 1 3 3 吉彭斯霍金空间上黑环的一阶吸引子流方程3 9 3 4 超对称黑环的吸引子流方程的性质研究4 4 4 维度约化和非线l 生s i g m a 模型4 9 4 1 g 2 的李代数及其陪集空间的介绍4 9 4 2 四维超引力的约化和三维的p a r a 四次凯利流形州3 d 5 5 4 3 五维超引力和非线性s i g m a 模型5 8 4 4 d = 5 ，n = 1 最小超引力下的兄xu ( 1 ) xu ( 1 ) 对称性解6 1 5总结。7 3 附录7 5 参考文献。7 5 作者简历。9 l l 浙江大学博士学位论文 n 术语表 图目录 2 1 模场在吸引子方程下的演化无论模场在无穷远取任意值x ，最后模 场都会演化到固定的吸引子点兄1 7 2 2 在双中心黑洞附近的具有相同7 - 的面。类比于电荷的情况，实线可以 看做是相同7 一的等势面，虚线可以看做是类似于电力线的引力场线。2 3 3 1 黑环度规下的坐标图示。这个草图描述四维平坦空间中的固定常数西和 妒的截面图( 也是对应妒+ 7 r ，砂+ 7 r 的图) 。虚线圆环所表示的球面对应着x 取 值【一1 ，+ 1 1 ，实线圆环所表示的是一个环面对应着y 取值【_ 。，一1 】。渐进无穷 远位于x = y = 一1 处。 3 2 ( p ，o ) e 标下黑环的以固定值t ，咖和矽时候的截面图。实的圆环对应着p l r 固定值下的曲面，虚线对应的是e 取常数值环的位置位于p = r ， e = 7 r 2 处。本图采用文献【7 8 1 中的图例。 3 3 三荷黑环所带电荷q i 的积分示意图 3 4 三荷黑环磁荷俄的积分示意图 4 1 嘉当分解下的g 2 ( 2 ) 的根图。其中y o 和日是两个零根。 i x 4 5 7 7 3 ，j 3 3 3 i ，j 浙江大学博士学位论文 x 绪论 1 绪论 二十世纪的两大物理理论基石：量子力学和广义相对论。量子力学在描述微观 尺度的世界取得了巨大的成功，而在大尺度的宇宙学领域也可以用广义相对论给出 精确地描述。然而，在构造一个自洽的量子的引力理论的时候，我们却遇到了理论 的不可重整的问题。 弦理论目前是公认的最有希望的一种实现量子引力的理论【1 1 。它不光能作为一 个低能有效理论来描述e i n s t e i n f f 寸广义相对论，而且它能够给出一个有限的描述来 反映量子引力效应。考虑到来自弦理论的修正，我们可以超越量子理论和广义相对 论理论进而得到新物理的预言。 我们知道在自然界中，引力在四种相会作用之中是相对最弱的，在目前的实验 条件，找到一个可以验证弦理论的预言的目标是很困难的。我们需要寻在一个区 域，其中具有强的引力效应，而且可以有明显的宏观的观测来验证。这个目标就 是“黑洞”。一般的黑洞的具有质量，角动量和电荷( 或者还有磁荷) 这三个参量。 只要这三个基本参量确定，这黑洞就被唯一确定下来。这一结果被称为黑洞无毛发 定理( n oh a i r t h e o r e m ) ，或黑洞唯一性定理( u n i q u e n e s st h e o r e m ) 。直觉上，一个黑洞 是指一个时空的区域，在其中的任何东西( 包括光) 都不能从其中逃脱出去。一个 更精确度的定义是指对一个黑洞是一个渐进平坦的时空，这个时空包括一个区域在 其中光线是不能到达类光无穷远的时空区。经典黑洞是广义相对论下e i n s t e i n 方程 解，黑洞拥有一个事件视界。1 9 7 3 年，j d b e k e n s t e i n 首先发现了黑洞具有热力学性 质，这样的系统具有的熵是和黑洞的视界面积有关的【刁黑洞的热力学的主要性质 可以归结为下面的两条基本定律： 1 第一定律：当黑洞达到平衡态时，它的质量的改变可以写成下面的形式： d m = t d s + 圣d q + q d j 其中s 黑洞的熵，西是表面势，q 是角速度。 浙江大学博士学位论文 2 第二定律：黑洞的熵s 可以写成 s = i a ( 1 2 ) 在任何不可逆过程中，黑洞熵总是增加的。 上面的性质和定理都是在经典背景下提出的，通常认为从黑洞中是不会跑出任 何东西的。如果具有类似热力学的性质，那么黑洞就应该有像热力学系统一样具有 热辐射。不久，由于霍金辐射的发现【3 】，这个想法被证实，进一步确定了黑洞是具 有热力学性质的。然而从统计力学的角度，我们熟知熵是作为衡量一个微观系统的 自由度的度多少的量。然而从广义相对论理论中，我们知道，黑洞附近的所有的物 质都将掉入黑洞中进入一个奇点，这个奇点是隐藏在黑洞视界背后。所有的自由度 在经典意义下由于奇点的存在而被掩盖住，这样使得我们对于理解黑洞的微观自由 度的理解十分的困惑。这使得我们相信一定存在着某些隐藏的自由度，这样使得我 们想到了超弦理论。这个理论是存在于十维的空间，可以通过隐藏其中的六维的自 由度而得到我们所生活的四维时空。在1 9 9 6 年，s t r o m i n g e r 和v a f a 从弦理论中构造 出一个五维的黑洞【4 】，通过计算它的微观态的数目而得到和宏观熵一致的结果。 这样当紧化超弦理论或者m 理论到较低的维度，或者通过卷曲一组膜在紧致流 形的环路上时，我们就可以重新的构造出相应的黑洞解来。然而在紧化的过程中， 通常会带来许多不同类型的模场。这么模场出现在一般的黑洞解的度规中，当黑洞 解在无穷远处的时候，即时空是渐进平坦的时候，这些模场会有非零的一般取值。 结果就可能存在这样的危险性，即黑洞的熵不仅仅依赖于黑洞荷，也有可能依赖于 这些模场在无穷远处的取值，而这些取值可以是连续变化的。我们知道黑洞的微观 态数目应该是整数值，则相应的黑洞应该依赖于电荷，磁荷或者角动量这些取分离 整数值的量。而模场在无穷远却是可以连续变化，故黑洞的微观态不应该依赖于模 场的无穷远取值。 为了解决这样的矛盾，首先需要认识到一个黑洞的熵是由在视界面附近的解的 行为决定的，而不是依赖于无穷远处的行为。这样我们可以确定模场的变化是依赖 于半径坐标，其在视界面附近的取值应该完全由黑洞的分离取值的量决定，比如荷， 角动量，而与无穷远的取值无关。也可以认为，如果依赖半径坐标的模场的演化由 一个微分方程控制，则这个解在视界面附近是确定的，不依赖于解在无穷远的边界 2 绪论 值。这个视界面上的解称为吸引子。对于黑洞微观上的描述吸引子的存在是必须得 条件。 黑洞吸引子( b l a c kh o l ea t t r a c t o r s ) 是最近几年来弦理论的一个重要的研究课题。 吸引子机制在理解黑洞物理扮演着重要的角色，并且已经被广泛研究了有十几年。 吸引子机制最早是在n = 2 ，d = 4 超引力的黑洞解中发现的在1 9 9 5 年，f e r r a r a ，k a l l o s h 和s t r o m i n g e r z , t ：究了这样的一个带电荷和磁荷分别为( p a , q a ) 的d = 4 ，n = 2 1 均超对 称黑洞【5 一。其中和矢量多重态( v e c t o rm u l t i p l e t s ) 相关的模场可以利用复投影坐 标托，a = 0 ，1 ，佗y 表示，在黑洞解的条件下模场的渐进取值可以是任意的。这 些模场是与电磁场耦合的，是作为半径的函数而改变。当模场接近视界附近时， 吸引子机制最直接的应用是在t y p e h 弦紧化在复的三维c a l a b i y a u 流型c k 上在 这样的背景下考虑到低能极限，十维的超弦作用量可以约化到一个d = 4 ，n = 2 的 超引力有效作用量。这样的超引力作用量包含的场是由流型c k 来决定。从数学 的角度来解释吸引子机制，按照m o o r e 的观点阴：在t y p e l i a ( i i b ) 作为约化背景 下，c a l a b i y a u 流型k a h l e r 结构( 复结构) 将流动( f l o w ) 到一个在黑洞视界上的固 定点，这个点就是通常说的吸引子。 起初人们研究的是具有超对称的黑洞的吸引子，范围从最早的n = 2 翌j n = 4 ，8 等 具有更高超对称性的黑洞 8 - 1 0 】。引力的高阶修正和高维旋转的吸引子也被研 究 1 1 - 1 3 。后来人们又发现了非超对称黑洞也具有吸引子现象 1 4 - 1 9 】。这时人们才意 识到黑洞的吸引子现象是因为黑洞系统要求的取极值情况，而不是超对称性所要 求的【1 4 1 。同时对黑洞吸引子的性质和应用也在各种背景下进行了广泛研究 2 0 - 2 8 】。 一个重要的发展是在2 0 0 0 年，d e n e f 在弦的背景下研究了吸引子 2 9 】，并引入了复合 组态( c o m p o s i t e c o n f i g u r a t i o n s ) 的概念，给出了一个多中心的吸引子的解。d e n e f 利 用数值分析的方法研究了t y p e i 队在c a l a b i y a u 上的紧化这样的一个模型，利用s p l i t f l o w 图像，预言了各类模空间边界上是否存在有荷，这里的模空间包括m a r g i n a l s t a b i l i t y 和c o r r e s p o n d i n gd e c a yp r o d u c t s ，进而阐明了存在着多中心的吸引子。另外 一个也很重要的发展是量子吸引子的发现【砌。 黑洞吸引子机制的研究因为o s v 猜想而重新被大家广泛的关注。在2 0 0 4 年， 浙江大学博十学位论文 o o g u r i ，s t r o m i n g e r 和v a f a 猜测存在着这样的一个关系式 3 1 1 ： z b h = i 磊凹1 2( 1 3 ) 这里日是t y p ei i 超弦紧化在c a l a b i y a u 上这样的背景下的的一个四维b p s 黑洞 的超对称配分函数，互是二次量子化的拓扑弦的配分函数，配分函数的取值 是在模空间的吸引子点，由黑洞所带的电荷和磁荷决定。这个猜想一开始在大 的g r a v i p h o t o n ( 引力光子) 荷条件下，利用微绕的方法验证成立的。这样如果猜 想是正确的话，那么b p s 黑洞的微观系综可以看作是拓扑弦配分函数所确定的 w i g n e r 波函数。o s v 猜想暗含着宏观b e k e n s t e i n h a w k i n g w a l d 熵其实是黑洞自由 能1 0 9 的l e g e n d r e 变换。猜想的动机实际上是希望能在热力学极限下，在不同 的统计系综之间解释宏观的超引力下的b h w 熵的微观起源。通过变换，微观退化 态( m i c r o s c o p i cd e g e n e r a c i e s ) 的积分表达式也可以利用拓扑配分函数表示出来。这 样利用吸引子机制的o s v 猜想就打开了一扇让人们更清楚的理解黑洞微观熵的窗 口。 目前吸引子的发展，不管是4 维或者更高维的情况，通常研究的都是黑洞解在球 对称的情况下。我们知道在高维的时空，唯一性定理并不成立。第一个精确地例子 i 圭e m p a r a n 和r e l l 在2 0 0 1 年首次提出的一个在纯引力情况的不满足唯一性定理的一 个黑洞解【3 2 1 。他们在4 + 1 维e i n s t e i n 的真空下发现了一类新的渐进平的旋转地带有 角动量的视界面的拓扑结构为s 1 s 2 的新黑洞解，这个解被称作黑环。随后带电荷 的黑环 3 3 】也被找到。特别在五维时空下发了具有超对称性的黑环 3 4 1 ，使得这个领域 引起了广泛的关注。近几年有不少相关的研究【3 9 1 。详细的综述参看文献【删。自 然的，我们想到黑洞的吸引子机制在高维黑环解得情况下，能不能推广过去? 这方 面得工作已经最先由k r a u s 和l a r s e n 进行了研究【4 1 1 。利用黑环解下的b p s 方程，他 们发现了超对称黑环解的流方程，这个方程描述了模场构成的流在规范场的背景下 的演化。黑环的吸引子机制只需依赖磁偶极子荷就可以确定在视界面附近标量场的 取值。但是，需要注意的是在文献【4 1 】中的流方程是一个二阶的微分方程。这样我们 自然地想存在不存在类似于黑洞吸引子流方程那样的一阶方程【5 ，6 】，如果存在，性 质是怎样的? 这个问题我们将在本文中给出详细的解答。 另一方面我们知道在d 维中的自相互作用的引力场理论，可以用过维度约化来 4 绪论 获得一个三维的引力耦合非线一陛s i g r n a 模型的理论【4 2 1 。这样的s i g m a 模型是一个从三 维的基空间( 闵氏或者欧氏) 到几维靶空间上的一个全纯映射。这样得到的靶空间 通常是一个陪集空间g h ，这里g 是靶空间上的整体对称群，日是g 上的局域迷向 子群。对于具有这样结构的体系，可以使得我们用群的性质来研究相应的物理性 质。例如可以用群的有限变换来构造一个新的解 4 3 伽。 我们知道，最早人们发现从1 1 维超引力约化到3 维可以诱导一个陪集结构 为e s ( + s ) s 0 ( 1 6 ) 的非线一陛s i g m a 模型 4 5 , 4 6 。后来人们也发现了约化5 维的最小超 引力 4 7 , 4 8 1 至0 三维空间也可以得到其相应的所谓的隐藏对称性，最先这个对称性 是t l m i z o g u c h i 和o h t a 所研究【4 9 1 ，随后对于这样的维度约化，c r e m m e r ，j u l i a ，l u 和p o p e 利用对偶的方法也对其对称性进行了研究【砌。通过维度约化方法从5 维 到3 维，我们可以获得一个3 维的引力耦合上一个陪集结构为g 2 ( + 2 1 s 0 ( 4 ) 0 9 非线 l 生s i g m a 模型( 对于3 维的洛伦兹号差的空间) 【4 9 。5 1 1 ，或者3 维欧氏空间上的结构 g 2 ( + 2 ) ( s l ( 2 ，r ) s l ( 2 ，r ) ) 0 9 s i g m a 模型。对这个非线i 生s i g r n a 模型的性质讨论， 可以参看文献【5 2 1 。在上面这些文献中的这个陪集的矩阵表示是一个1 4 维的伴随表 示。而用7 7 的矩阵表示的形式在文献【5 3 】中给出。利用这样的陪集空间的矩阵表 示则可以产生新的解的形式，即，所谓的生成技术( g e n e r a t i n g t e c h n i q u e ) 。目前有很 多相关的工作【5 4 5 s 。 最近，在5 维最小超引力维度约化到三维这个背景下，b e r k o o z 和p i o l i n 提议了 利用非线性s i g m a 空间上的陪集空间g 2 ( + 2 ) ( s l ( 2 ，r ) s l ( 2 ，r ) ) 的对称性，来研究 了5 维的超对称黑洞的性质【铜。他们利用g 。代数找到了一个描述黑洞守恒荷的方 法，并利用相应的超对称约束得到了黑洞的半经典波函数。他们的工作是把非线性 模型应用在五维黑洞解的背景下，我们自然期望这样的方法也能推广到黑环的情况 中去。我们在本文的后半部分将推广上面的方法，应用陪集代数的性质来研究具有 对称性r u o ) xu ( 1 ) 的超对称性的黑环解的情况。 本论文的安排分为两个部分。本论文主的第一部分将讨论了在超引力理论中的 黑洞所具有的吸引子机制，我们工作的重点是研究了五维空间中超对称黑环解所具 有的吸引子机制，第一次给出了黑环的一阶吸引子流方程，这组方程形式类似于黑 洞的情况，但是此流方程不是一个仅仅依赖于半径坐标的方程，还依赖于角度坐 浙江大学博士学位论文 标。第二部分将讨论高维引力模型约化到低维时，所得到的非线一陛s i g r n a 模型和超 对称解之间的关系，研究了在陪集空间g 2 f 2 ) s 0 ( 4 ) 作为靶空间时超对称黑环解的情 况。 本论文的具体结构如下：第二章介绍基本的n = 2 ，d = 4 超引力中的吸引子机制 和在弦紧化下背景下的多吸引子流方程。在节2 1 中我们首先简单介绍了所谓的特殊 几何( s e p e c i a lg e o m e t r y ) 基础。然后介绍了在4 维，n = 2 超引力背景下，当要求费米 场的超对称变换为零，可以得到一组一阶的微分方程，该方程控制着模场的演化， 在视界面附近模场能被吸引到某个确定的取值中去，与该模场在无穷远处的取值无 关。这就是吸引子方程。一个简单的例子在本小节的最后被展示。然后在节2 2 中， 介绍利用聊e i 队紧化在c k 上的低能近似对应着4 维，n = 2 超引力这样一个结果，重 新写出特殊几何的一种描述。在弦紧化的背景下构造了多中心黑洞的吸引子流方 程。 第三章我们推广了黑洞吸引子流方程到5 维的黑环的情况，得到了黑环解的 吸引子流方程。我们首先在节3 1 中简单介绍如何利) 羽v e r ys p e c i a lg e o m e t r y 或者也 称) 9 r e a ls p e c i a lg e o m e t r y ( 实特殊几何) 来构造5 维n = 2 的超对称的一般的在吉彭 斯霍金基上的多中心黑环解。在节3 2 介绍当1l 维超引力紧化在p 上时对应的超对 称三荷黑环解。介绍了黑环不同的坐标系统，可以用不同的坐标来研究其物理性质。 详细介绍了如何计算了黑环的电荷q 和偶极子荷g 。接着简单介绍黑环具有的两个 渐进性质，分别对应于黑弦和b m p v 黑洞解。在节3 3 我们将从最一般的超对称黑环 解出发，利用实特殊几何的性质和作用量的稳定性条件，获得在五维吉彭斯霍金空 间中的n = 2 超引力的一般解的一阶吸引子流方程组。同时我们也得到了约束方程 这些约束方程决定了规范场a 7 和一形式u 。此外，当考虑解的超对称性条件，我们 获得( 多中心) 超对称黑环的一阶流方程。利用实特殊几何，我们分析了一阶流方 程组中的方程的性质，发现如果对其中的一个方程进行积分，可以精确地得到电性 的中心荷磊，正如在文献【4 1 】里一样。此外，对另一个方程取全微分，我们可以重新 得到一个二阶的流方程，这个方程曾被k r a u sa n dl a r s e n 在文献【4 1 】中得到。在最后 一部分，我们展示了一个特殊的例子，作为超对称黑环解的一种极限一b m p v 黑洞 解。 6 绪论 在第四章将讨论5 维引力模型约化到3 维时，所得到的非线陛s i g m a 模型和超 对称解之间的关系，我们的工作重点研究了在陪集空间g 。f 2 ) s 0 ( 4 ) 作为靶空间 时的超对称黑环解的情况。在节4 1 我们介绍了李群g 2 及其李代数的一些知识。 在节4 2 简单回顾一下4 d 超引力耦合佗个矢量多重态约化和3 维的情况，获得了 l y , p a r a - q u a t e r n i o n i c k i h l e r ( p a l - a 一四次凯利) 流形作为靶空间的非线性s i g m a 模型。在 节4 3 中，利用节4 2 的背景知识进一步介绍五维超引力约化到三维得到的非线 i _ 聿s i g m a 模型。在节4 4 考虑五维n = l 最小超引力情况，利用稳定解具有的r u o ) 对 称性条件，我们约化超对称黑环到三维获得了一个非线性的s i g m a 模型。进一步，考 虑额外的u ( 1 ) 对称l 生n s i g m a 模型，我们获得了一个二维的有效拉氏量，这个作用 量依赖坐标p 和0 ，可以用来描述在靶空间上的一个类弦的物体的测地线运动。利用 这个非线l 生s i g m a 模型的靶空间是对称空间g 2 ( 2 ) s 0 ( 4 ) ，我们分析了g 2 ( 2 ) 的对称性 代数，并且研究这个代数对应的超对称黑环的守恒流和超对称约束。在黑环解得情 况下，守恒荷是依赖于角坐标的，为了获得独立于坐标的守恒荷，我们积分这些守 恒流沿着角环s - 。在一个冗长的计算之后，我们获得了积分常数分别对应着超对称 黑环的电荷q 和角动量如的守恒荷。黑环的渐进解b m p v 黑洞的情况也给了简单的 讨论，相应的半经典波函数也被重新得到。第五章是最后的总结和讨论。 浙江大学博士学位论文 8 黑洞的吸引子现象 2 黑洞的吸引子现象 “吸引子机制的定义：在接近黑洞的事件视界附近的过程中，模场丢失 所有的初始条件的信息，而其取值仅仅依赖于黑洞所带的电荷和磁荷。自 从1 9 9 5 年f e r r a r a ，k a l l o s h 和s t r o m i n g e r 5 】发现黑洞具有这样的吸引子机制之后，有 关这方面的研究很快称为大家关注的热点。持续二十多年的这方面的研究一直备受 关注，特别是2 0 0 4 年由于o s v 猜想 3 1 】的提出使得黑洞的吸引子机制再次激起研究 者的极大的兴趣。较新的综述可以参看文献 5 7 , 5 8 。本章主要介绍d = 4 ，n = 2 的超 对称黑洞的吸引子机制。在节2 1 ，我们简单介绍在n = 2 ，d = 4 超引力中存在的吸 引子机制及其所需要用到的特殊几何的相关知识。在节2 2 介绍在弦的背景下的吸引 子机制和多吸引子流的情况。 2 1 n = 2 ，d = 4 超引力中的黑洞吸引子机制 2 1 1特殊几何 n = 2 的超引力耦合n 个n = 2 的矢量多重态的模型可以利用所谓的特殊几 何( s p e c i a lg e o m e t r y ) 5 9 , 6 h 来研究。一个详细的介绍特殊几何的综述可以参看文献 6 刁 考虑由佗个矢量多重态的下的复标量场z i 所构成的空间，这个空间是具有凯 利( k 苴h l e r ) 度规g 疗的凯利一霍奇( k i h l e r - h o d g e ) 流形，一个凯利霍奇流形是特殊 尝x a , i 流形( s p e c i a lk d h l e rm a n i f o l d ) 的条件是：其上存在这一个具有三指标的完全对 称的协变全纯截面七，并且它的共轭反全纯岛露是协变的。其上曲率满足所谓 的“特殊几何”约束： r 订佩= g i 9 g z c n + g i m g z ) + g l p q 唧g 即 ( 2 1 ) 上面的约束实质上来源于n = 2 的局域超对称代数，可以从比安基恒等式( b i a n c h i i d e n t i t i e s ) 所展示出的辛结构中导出上面的方程。一个特殊的凯利流形可以利用凯 利一霍奇流形上的2 n 十2 维的平坦辛丛来构造，并且这个流形上存在着具有辛结构 9 浙江大学博士学位论文 的截面，这个辛结构的截面写成下面的形式： i i = ( l r ，m r ) ， r = 0 ，1 ，m ，( 2 2 ) 上面的辛结构满足协变全纯条件： 珐= ( 玩一去玩) = o ， ( 2 3 ) 其中d 露是协变微分，k 是凯利势( k i