（应用数学专业论文）变量有误差时线性回归分析.pdf

中文摘要v1 ； 3 f 中文摘要 考虑变量有误差的线性模型y = x 7 p + e 在许多实际问题中，准 确测得我们感兴趣的变量可能是很困难的，或者所需成本很高因此通 常用可观测的替代变量来代替在这篇文章里，我们不对真变量和替代 变量问关系作任何模型假设利用主要数据和核实数据，基于最小二乘 j + 法和核方法，应用参数方法获得卢的估计量，并证明了卢的渐近正态 一 关键间：线性模型降维核实数据渐近正态性 外文摘要 a b s t r a c t ( 一i 咄l e rl i n e a rm o d e l so ft h ef o r my = x 7 口+ e ，w h e r et h er e s p o n s e ：i ；i i ) 1 、。i so l l o n e o u s l ym e a s u r e d a n dt h ep v a r i a t ee x p l a n a t o r yx l qi l l e f l s u l e de x a c t l y ，o rw h e r exi se r r o n e o u s l ym e a s u r e d ，a n dyi s hj e a s u i e de x a c t l 3 。m a n yv a r i a b l e so fi n t r e s ta r ed i 佑c u l to re x p e n s i v e 1i ) el l l f ，a s l l r e d a c c u r a t e l ya n dh e n c ea r eu s u a l l yr e p l a c e db ys u r r o g a t e 、 i li a b e si nt h i sp a p e r w i t h o u ts p e c i f y i n ga n ys t r u c t u r ee q u a t i o n sa n d r l i s lr i t m l i o na s s m n p t i o no ft h et r u ev a r i a b l eg i v e nt h es u r r o g a t ev a r i a b l e ；i p a t ；i l h e i i cm e t h o dw i t ht h ep r i m a r yd a t ai se m p l o y e dt oo b t a i nt h e 一一l i l l l 1 i o lo f 3b a s e dt h el e a s t - s q u a r e dc r i t e r i o na n di c e r n e lm e t h o dw i t h h eh e l po fv a l i d a t i o nd a t a t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t yo ft h ee s t i o m a t o r ) f i sc i e l j r e d k e y w o r d s ：l i n e a rm o d e l d i m e n s i o nr e d u c “o n v a l i d a t i o nd a t a s 3 1 1 ) i ) t i c1 1 0 1 。r e a l i t y i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 关于“核实数据、变量有误差”的概述 在许多实际问题中，准确测得我们感兴趣的变量是很困难的，或者 所需成本很高，或者需要花费大量时间因此通常用可观测的替代变量 来代替，这些替代变量可由一些相对简单的测量方法获得一般地，替代 变量和真正的变量之间的关系相对于经典的可加的误差结构( 见 7 】) 来 说要复杂。事实上，在许多实际问题中，很难指定真正的变量和替代变 量之间的关系也就是说，最现实的情况是不对真变量与替代变量间关 系作任何模型假设然而，这种情况会给获得准确的统计分析带来很大 的困难如果没有额外的观察和信息，由测量误差引起的偏差将很难评 估一种解决方法就是使用核实数据捕捉真变量与替代变量问的关系。 获得核实数据的例子很多，一些例子可在 1 ，2 ，3 ，4 ，1 0 1 等文献中找到如 关于劳动力市场调查报告中的工资和工作时间是有测量误差的。但是， 雇员的工资和工作时间的准确数据可由管理的工资表记录获得又如对 大学校园吸烟行为的调查，通常由问卷调查来评估目前吸烟的行为，但 所采集的数据有误差若对学生的唾液进行化学分析，则所需的成本又 很高于是仅对一小部分研究对象的唾液进行化学分析这里带有误差 的变量( 例如劳动力市场调查报告中的工资和工作时间，校园吸烟行为 的自找报告) 被用作替代变量，相应的对研究对象的一小部分子集的精 确测量被用作核实变量 在核实数据的帮助下，一些统计学家已经基于替代数据发展统计推 断技巧 ( 见f 1 ，3 , 5 ，6 ，8 ，1 0 ，1 4 2 0 】) c a r r o l l 和w a n d 4 对于l o g i s t i c 测 量误差模型发展了使用核回归技巧的半参数方法p e p e 和f l e m i n gf 5 也考虑了一个代替离散随机变量的类似问题s e p a n s k if 1 0 考虑这个 非线性模型y = g l ( x ，8 0 ) + e ，这里9 1 ( ) 是一已知函数，x 有测量误 黑龙江大学硕士学位论文 差，或者y 有测量误差，或者x 和y 者5 有测量误差在每种情况下利用 核实数据他对此模型发展了一种所谓的半参数回归方法也就是在给定 替代变量的条件下没有指定真变量的分布假设，他定义了风的估计 q i h u aw a n g ( 6 l 考虑部分线性模型y = x 7 卢+ g ( t ) + e ，这里x 为有测 量误差的p 维协变量向量，t 和反映变量y 精确测量值得注意的是 q i h u aw a n g 考虑的模型没有包括在s e p a n s k i 所考虑的模型中，因为这 里的9 ( ) 是个未知函数他应用半参数的方法获得和夕( ) 的估计 量，并证得p 的强相合性和渐近正态性以及获得9 ( ) 的估计量的弱相合 收敛率q i h u aw a n g 【8 】仍考虑上面提到的部分线性模型，但这里反映 变量y 有测量误差，t 和协变量向量x 精确测量应用半参数降维的 技巧获得卢和夕( ) 的估计量，并证得卢的渐近正态性 1 2 关于“变量有误差时线性回归分析” 考虑线性模型： y = x 7 p + e( 1 1 ) 其中y 为反映变量，x 是一p 维协变量向量，x 7 是其转置卢是 一p 1 回归参数向量，e 是随机误差，并且假定给定x 的条件下误差 e = y x 7 卢是独立同分布的 在这篇文章里，我们将分别考虑反映变量有误差的情况和协变量有 误差的情况 如果反映变量中的测量误差是可加性的，显然这个问题就转化到标 准的线性模型中，因此使用标准方法就可以解决令y 是代替真正变量 y 的可观察的替代变量我们不假设在给定矿的条件下y 的任何误差 方程或分布假设但是一些核实数据可用于捕提y 和y 的关系在这 种情况下就不能由模型( 1 1 ) 使用标准的方法来作回归分析了为了使 用替代数据l ，我们必须对模型( 1 1 ) 进行变换值得注意的是，一般来 一2 一 第1 章绪论 说在预测未知量y 时，y 和x 都能提供有用的信息，因此假定核实数 据中除了y 和y ，还包括x 取z = ( y ，x ) 令u ( z ) = e y i z ，那么模 型( 1 1 ) 就变换为 u ( z ) = x 7 卢+ e( 1 2 ) 其中= e 一( y u ( z ) ) 显而易见，( 1 2 ) 没有真正地改变( 1 1 ) 因 此，我们能基于( 1 2 ) 发展卢的统计推断 如果协变量有测量误差，令x 是代替真正变量x 的可观察的替代 变量我们仍考虑在给定x 的条件下没有指定x 的任何误差方程或分 布假设与反映变量有误差的情况类似，也需要变换模型( 1 1 ) ，只是x 能提供所有有用的信息令u ( x ) = e x f x ，于是模型( 1 ，1 ) 变换为 y = u r ( x ) 卢+ ( 1 2 ) 7 其中e = e + x 7 卢一矿( x ) 卢同样我们能基于( 1 2 ) 发展卢的统计推断 1 3 本章小结 在本章中，主要介绍了核实数据、变量有误差的实际意义、研究状 况以及本文所要讨论的问题 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章反映变量有误差时线性回归分析 2 1 引言 一般来说在预测未知量y 时，y 和x 都能提供有用的信息根据 第一章所述，我们能基于模型( 1 2 ) 发展卢的统计推断估计卢的一种 很自然的方法首先从核实数据由核回归技巧来估计札( z ) ，然后对主要数 据使用标准方法来估计声但是由于使用带有p + l 维协变量的核函数， 为了可行性，这样的半参数方法将需要一个大的核实数据集也就是说 维数的原因将限制这种方法的使用这就促使我们考虑这种降维模型 我们假设 u ( z ) = m ( n 7 z ) 其中m ( ) 是一个未知函数，o 是一4 - 1 ) 1 的未知参数列向量首 先由s i r 技巧( 见 9 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ) 估计q 然后我们能由带有核实数据的 单变量协变量的核回归技巧估计u ( z ) 最终用解决线性回归分析的标准 方法来估计卢，以及证明卢的渐进正态性 2 2 方法描述与主要结果 令主要数据集包括个独立同分布的观察数据t ( 巧，玛) 2 器t ，核 实数据集包括n 个独立同分布的观察数据f ( m ，m ，x i ) 譬。) ，并且独立 于主要数据集 记x = ( x 1 ，x 2 ，曷) 7 ，r ( y ) = ( r i ( y ) ，r p + t ( 1 ，) ) 7 = ( e y i y e l y 】，- 一，e 【。b i l ，】) 7 ，a 1 = c o v ( r ( y ) ) = c o , ( e z l 卅) ，r + ( y ) = ( r ：( y ) ，磁+ 1 ( y ) ) 7 = ( r i ( y ) 矗( ) ，r p + l ( y ) a ( ) ) 7 ，这里，y ( ) 是y 的 密度函数互，是五的第j 个分量，i = 1 ，2 ，7 l ，j = 1 ，2 ，p + 1 令 4 第2 章反映变量有误差时线性回归分析 嘲耻去宴毛硒( 等) 庐，肘， 船，= 去娄t ( 等) ， 这里1 ( ) 是一核函数，h ，。是一窗宽对每个固定的6 0 ，令 五a ( y ) = m n z ( 厶( y ) ，6 ) ， 砌2 ( 器) 小。， a n = 去骞c 岛a c 巧，c 龟“巧，7 一( 去妾氟a c b ，) ( ：骞矗。a c 巧，) 7 令瓯是对应于a 。的最大特征值的特征向量由z h u 和f a n g 9 ，我们 能用a 。估计0 1 然后由 k 觎z - z 2 ) k k 2 ( 警) 估计u ( z ) = m ( 0 7 z ) ，这里h 2 ，。是一窗宽，( ) 是一核函数定义p 的估计量是 文，( 口) = 丙1 ( 如( 历) 一碍卢) 2 + ；瞒一霹卢) 2 ( 2 2 1 ) 的最小值也就是解等式 专玛( 如( z a 一碍卢) + ：五( k 一碍) = o ， ( 2 - 2 2 ) 得到卢的估计量 反，= 宝：k _ 。，( 2 2 3 ) 这里 厶，- v 2 丙1 ，玛巧+ 去萎五碍， a 叫2 专；，玛( 勺) + ：萎础 ，= n + l i = l 由卢的估计量，我f f 】有下面的定理 黑龙江大学硕士学位论文 定理2 2 i 在本章第3 部分定义的假设条件下，我们有 丙( 良，一卢) 与n ( o ，y ) ， 这里 v = 一k - 。， u = e ( z ) x 7 卢) 2 x x 7 】 + a e f ( y e y i z ) 2 x x 7 】 + e ( y x 7 卢) 2 又y 7 + 2 e 【( ，一e 【y f 矧) ( y x 7 f 1 ) x x 7 ) = 2 e x x 7 注记2 2 1 反的渐进协方差由 亿，_ 一妻：知 亿，n ，+ 亿，n k 】 。- - t 一致估计，这里。在上面有定义，并且 玩，l = 而1 ( 如( 扬) 一巧反，) 2 玛巧， 。j = n + 1 、” 亿，n 2 = = a ( k 一色。( z i ) ) 2 x t x i 。i = 1 + ( 班一x j 卢。，) 2 x i 辫 + 2 ( m 一砬。( 五) ) ( k 一碍风，v ) 磁研) ) 注记2 2 2 如果我们由 旧搿， 第2 章反映变量有误差时线性回归分析 2 3 假设条件与证明 为了证明我们的结果，我们必须引进一些关于x ，fy ，e ，“( ) ，r ，k 。( ) i = l ，2 ，h i 。i = 1 ，2 的假设在陈述假设条件之前，我们给出下列记号 对任意的向量a 和b ，令l l 。一圳= e a i b 。i ，这里a ；和b 。分别是 a 和b 的第1 个分量 ( a x ) el x l ，l o o ，并且e x 再 。，r = l ，2 ，p ( a y ) s u p ；c e y 2 i z = z 】 0 及熙o n 。o ，满足n p ( z ( z ) 柳) 一0 - ( a e ) e f e 别= 0 并且s u p ：c e f e 2 i z = z j 。 ( a ) e x x 7 】是一正定矩阵 ( a ，u ) u ( ) 有一阶有界偏导数 ( a k 1 ) 托( ) 是一关于0 对称且有有界支撑( - 1 ，l 】的4 阶核函数 ( a 玛) 尬( ) 是一有有界支撑的1 阶非负有界核函数 ( a h 。) 当n _ o 。时，对于正数c 1 1c 2 且满足；+ 鲁 c 1 ；一c 2 ，有 h i 。n n 一“，b 1 7 , 一o h 2 , n ) ( 1 ) 礼镌，。叩奄。o ( 3 ( 2 ) n ；i 十1 ) _ 0 ( 3 ) 茅。o ， ，_ _ v ( 4 a 0 ) ! _ a ，其中a 为一非负常数 此外包括q i h u aw a n g 8 】中的条件彤) 和兄) 下面我们将基于以上的假设条件首先证明定理2 2 1 注意到 良，一p = 嚣i l ( a n , n ( 卢) + a 。( ) ) ，( 2 3 1 ) 这里 1 n + n a 。，( 卢) = 寺玛( 如( 历) 一巧卢) ， j = n + l a 。( 卢) = 置慨一碍卢) 黑龙江大学硕士学位论文 为了证明定理，我们先证明下列引理 引理2 3 1 在定理22 1 的条件下，我们有 a 州( 卢) = 丙1 扬。 +志i登=n-l-。妻i=1堡盟h。,jz(zi) + 印( 证明令 a n ，= 嘉玛( 锄( 历) 一“( 历) ) ， a 脚= 寺玛吁 注意到 勺= e j 一( b u ( z j ) ) = u ( 历) 一x 了卢 我们有 a 。，( 卢) = a n ，1 + a n ，2 ( 2 3 2 ) 显然 a n ，= 斋玛( 百。( 五) 一“( 乙) ) + 专玛( ( 历) 一( 弓) ) ，= n + 1，= n 十1 = a n 3 + r n m( 2 3 3 ) 由q i h u a w a n g 【8 的证明，我们有 y n 1 = o e ( n i ) ， 这里 令 n e5 k 2 ( 掣)篆型) 戤卜酉i = 1 硒 尬( 警等型) 4 = 1 钆t 一，笺喜婴譬 一8 第2 章反映变量有误差时线性回归分析 扎。一l1 芒y 取乙) 一龙( 乃) u ( z j ) 舢一2 专i 圣，玛型蔫铲燮 5 去娄k 配( 氇导) 鹕) = 面1 喜玛( 氇) a ，3 = a n 4 + f n 2 这里 一专，薹乃盟塑黹渊址幽 在附录中我们将证明 r v ，2 = o p ( ；) 结合( 2 3 2 ) 一( 2 3 6 ) ，我们有 a 。，_ v ( ) = a ，4 + a ，2 十o p ( 一 ) 从而引理2 3 1 得到证明 引理2 3 2 在定理2 2 1 的条件下，我们有 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) , n ( a 。，- v ( p ) + a 。( 卢) ) 与n ( 0 ，矿) ， 这里 v = 层 ( “( z ) 一x 7 口) 2 x x 7 】 + a e 【( y e y f 司) 2 x x 7 十e 【( y x 7 卢) 2 x x 7 】 + 2 e 【( y e y i z ) ( y x 7 z ) x x 7 ) 证明令v j = ( ，z j ) ，k = m ，五) ，i = 1 ，2 ，n ；j = n + 1 ，札+ 并且 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 皿，；( 蜴，k ；h 2 ，“) = 五6 i + 玛j x j ( y z u ( 乃) ) 玛( 掣) 2 ，。儿( 乃) 然后，由引理2 3 1 我们有 1 n + n “ 厕五“) + 五”2 赤，三，善虬( 州沌加“” 对任意p 维向量7 ，令 讥( 弘y ；h 2 ，。) = r 皿。( y ；h 2 ) ， 2 丽1 ，三，i = 1 如( 州渤 显然地，v 是一两个样本的统计量，并且 e ( 以y ；h 2 。) i v 】7 r x e + 7 7 x ( y e y i z ) 由( a “) 和( a 硒) ，有 e ( 阢y ；h 2 ，n ) j u 】7 7 x c ，y 7 x ，( 珏( z ) 一扎( z ) ) 鲍( 生甍妻导) 厶( z ) 如 十瓦磊面厂一 _ r x ( 2 3 1 0 ) 注意到 e ( 以y ；h 2 ，。) = e e 【妒。( 配v ；h 2 m ) l u ) ：e 型盟笔黼墼 ( 2 s m ) n 2 n ，z ( 石j 并且 几叫驯尬( 子似枷z = ，埋专1 ( u ( z 十h 2 一 ) 一u ( z ) ) k j ( 口7 口) 如( z + h 2 m v ) d v 硼p + 2p 刍+ l ， 掣删咖以z + h 2 , v ( 2 3 1 2 ) 这里五和钆是z 和v 的第i 个分量，并且目= ( 0 1 ，+ 1 ) ，0 0 1 1 由( a 让) ，( a 尬) ，( 2 3 1 1 ) 和( 2 3 1 2 ) ，有 l 目 如( uy ；h 2 ，。) 曼c h p 。+ 。1 ( 2 3 1 3 ) 1 0 一 田 鲫 3 3 口 第2 章反映变量有误差时线性回归分析 由条件( a ) 和竹 客+ 1 ) 斗0 ，我们有 而e 妒。( 阢y ；h ：a , n ) 】0 ( 2 31 4 ) 由( 2 39 ) ，( 2 3 1 0 ) 和( 2 3 1 4 ) 及s e p a n s k i 和l e e 1 0 的引理b ，1 证得 1 n + n ” 赤；至。善虬( , 1 7 ；h 2 , , l | ) 与( 0 ， 这里 = e 【( u ( z ) 一x 7 卢) 2 7 7 x x 7 卅 + a e ( ，一e f l ，f z 】) 2 7 7 x x 7 ，y 】 + e f ( y x 7 卢) 2 r x x 7 州 + 2 e 【( y e y i z ) ) ( y x 7 卢) 7 7 x x 77 ) 因7 是任一p 维列向量，故此结论和( 2 3 8 ) 证得引理2 3 2 成立 引理2 3 3 。n o 证明由弱大数定律证得引理2 3 3 成立 定理2 2 1 的证明注意到 、丙( 反，一卢) = 、丙_ 一1 ( a 。，( 卢) + a 。( 卢) ) + 、丙( 宝i k 一一1 ) ( a 。，( 卢) + a 。( 卢) ) ( 2 3 1 5 ) 等式( 2 3 1 5 ) ，引理2 3 2 及引理2 3 3 共同证得定理2 2 1 成立 2 4 附录 ( 2 3 6 ) 的证龋显然v n , 2 能分髁成如f 形式 仉：一，羹。玛盟塑雒缆 地 j 如( 句) ，孑( 历) ! j + 三# y 亟刍! = 盔! 垒! 垡刍! ! ! 垒! 垒! 二垦! 刍! 一。彖j 、 z t z 1 f z o z 订 x i i z ( z j ) 佻( 可 讹) ；船) , f z ( z j ) ”n prnj=n+1) ) p ( 丽wl e ) lu 儿( 历) ；厶( 历) j 、l o j ， n + ，1、 p ( i ，z ( 弓) 一，z ( 乃) l ；驰 ( 2 4 ，1 ) 由( a 拖) ( 2 ) 和( a z ) 很容易得到 l e 【五( 弓) l 乃 一尼( 历) c h 2 ，n ( 2 4 2 ) 这里c 是不依赖于历的常数，j = l t + 1 ，礼+ n 由( 2 4 2 ) ，对于足够大的1 1 p ( 1 尼( 勿) 一f z ( z a i ；叩) 茎_ p ( i 厶( 弓) 一e z ( z a i ；帅) = e p ( i z ( 历) 一e 厶( 历) l ；帅) i 扬】 ( 2 4 3 ) 黑龙江大学硕士学位论文 应用假设条件( a 鲍) 和( a z ) 以及r a o ( 1 9 8 3 ) 第3 章( 4 9 ) 的证明原理 到( 2 4 3 ) ，我们有 p ( h 何r ，2 2 l ) sg n 端。e x p 一c 札q h 2 ，。) ( 2 4 4 ) 注意到，假设条件( a h 2 ，n ) 意味着礼嘲。e z p 一c n 叩n h 2 ，。) _ 0 因此有 丽2 2 与0 对任意e 0 ，我们有 n + 、 p ( 1 、r ，2 3 i ) pl u f z ( 弓) ”) ) v 2 n + t n p ( f z ( 历) ) 由假设条件z ) ，我们有 2 5 本章小结 姻t n 媳与0 本章考虑反映变量有误差的情况，利用核实数据和主要数据，基于 最小二乘方法和核方法，获得了卢的估计量，并证明了它的渐近正态性 第3 章协变量有误差时线性回归分析 第3 章协变量有误差时线性回归分析 3 1 方法描述与主要结果 令主要数据集包括n 个独立同分布的观察数据 ( b ，蜀) n j _ + 。n + 1 ) ，核 实数据集包括礼个独立同分布的观察数据 ( k ，五，墨，) ；n ，) ，并且独立 于主要数据集 通过应用核实数据，在x = 孟的情况下用x 的核回归来估计( 12 ) 中的回归函数u ( 奎) u ( x ) 的估计量定义如下： 五蚝( 掣) 训2 丽i = 1 ， 娲( 掣) 这里k 3 ( ) 是一p 维核函数， 3 ，。是一窗宽定义卢的估计量是 文，v ( ) = 专( 巧( 岛) 卢) 2 + ：( k 一胃卢) 2 ( 3 l - 1 ) 的最小值也就是解等式4 - - 1 寺j = n + l 瓯( 蜀) ( k 一( 蜀) 卢) + 去善墨( k 一霹卢) = o ， ( 3 1 2 ) 得到卢的估计量 风，_ = i k 4 n ，n ， 这里 宝州= 嘉( 毫) ( 蜀) + ：玉霹， 1 n + n 1 n ，= 寺萎，锄( 岛) b + ：善墨k 由卢的估计量，我们有下面的定理 定理3 1 1 在本章第2 部分定义的假设条件下，我们有 、( 良，一卢) 与n ( o ，矿) ， 黑龙江大学硕士学位论文 这里 v = e 一1 u e ， k = e ( y 一矿( x ) p ) 2 ( x ) u 7 ( x ) 】 + a 吲( ( x 一“( 贾) ) 7 p ) 2 “( 贾) 矿( 贾) 十e ( 1 ，一x 7 卢) 2 x x 7 + 2 e f ( y x 7 卢) ( ( x 一“( x ) ) 7 仂x 钍7 ( x ) ， = e 【“) “7 ) j + e x x 7 】 注记31 1 魔的渐近协方差由 ，= i k k ，n i + 碥，n 2 n , n 一致估计，这里e 。n 在上面有定义，并且 亿，n i = 嘉 ( 巧一( 岛) 良，v ) 2 也。( 岛) 簖( 岛) ， j = n + l 、 n 亿，n 2 = ； 【( ( 恐一矗。( 寇) ) 7 每。，) 2 砬。( 赢) ( 克t ) 】 。i = 1 + 慨一霹。风，_ ) 2 五j 彳j + 2 ( 一邵风，) ( ( 五一如( k ) ) 7 风，_ ) 蜀螺( 拖) 3 2 假设条件与证明 令萨是一定义在印上的连续函数族，并且满足 伊0 。 伊一，、 研面面胍，唧) 一致有界，0 茎i 1 + i 2 + + i ”k ( d x ) s u p x e x 鼻 2 = 胡 0 和p 0 满足l ( 面) l m i i n i _ 州 ( 2 ) 如是一自阶核函数，这里k 是( a 钍) 7 中的k ( a x ) ( 1 ) 存在一正常数序列 满足n p ( & ( x ) 叩) - - + 0 第3 章协变量有误差时线性回归分析 ( 2 ) 奴萨 ( a h 3 ，。) ( 1 ) n 3 2 p ，。，2 _ 0 0 ( 2 ) n ；一0 ( a ，。) 等_ a ，其中a 为一非负常数 ( a ) e b ( k b 7 ( 贾) 】+ e x x 7 】是一正定阵 下面我们将基于以上的假设条件证明定理3 1 1 注意到 良，一卢= 妻i k ( a 。，- ( 卢) + 五。( 卢) ) ， 这里 n + n a 叫( 卢) = 丙1 如( 蜀) ( 均一( 蜀) p ) ， 瓴剐= i 1 善n 础一删 为了证明定理，我们先证明下列引理 引理3 2 1 在除了( a ) 和( a e ) 7 之外的定理3 1 1 的假设条件下，我 们有 证明令 这里 由弱大数定律 容易看到 与e 宝。，= 宝。，i + 宝。，2 ，n + n 一，圣。姒城( 马)j = n 十l 宝n , n 2 ；n 五碍 宝。朋与e x x t 】 1 7 一 ( 3 2 1 ) 黑龙江大学硕士学位论文 t = 丙1 u ( 葛) “7 ( 墨) + 万1 “( 砌砒 j = ”十1j = n + 1 1 u + n + 寺( 缸。( 蜀) 一u ( 蜀) ) 矿( 蜀) 4 j = n + 1 n + n + 面1 ( 吐。( 蜀) 一“( 岛) ) ( 如( 蜀) 一乱( 彰) ) 7 j = n + l = 竞 v 。+ 竞) 。+ 意n ( 3 , 1 n 。+ 宝5 ：) ， 由弱大数定律 金) 。鸟e 皿( 又) u r ( 戈) 】 由( 2 3 6 ) 的证明，我们有 艘t l , n l 与0 妻k ，与0 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 宝与0 ，(32n1 5 ) o 、， l o 。o ， 综合( 3 2 1 ) 一( 3 2 5 ) 我们证得引理3 2 1 成立 令u j = ( 玛，勺) ，k = 隅，x d ，i = 1 ，2 ，n ；j = t t + 1 ，+ n 引理3 2 ，2 在定理3 1 1 的所有假设条件下，我们有 这里 k ； 3 ，。) + o r ( 1 ) 霍。t ( ，k ；b ，n ) = 仳( 蜀) q 。凰( ( 五一玛) s 一) ( x i u ( 玛) ) 一 壤。段( 蜀) 1 k 3 ( 一玛) 3 ，。) ( x 。- 一u ( 玛) ) 7 z u ( x j ) & ( 玛) i = 1 ，2 ，弼j = 礼+ 1 ，- ，佗+ n 证明很容易得到 一1 8 一 。m 州m 杰 | | 国“厕 第3 章协变量有误差时线性回归分析 何氖棚，= 去羔1 “c 蜀b + 嘉兰。亟与笋勺 1 n r + n “( 髟) ( f ( 毫) 一u ( 岛) 矗( 蜀) ) 7 卢 、f 等1 l e ( x j ) + 、a 1 + 、4 ，2 + a _ ，3 ，( 3 2 6 ) 这里 “南) 2 志善五蚝( ( 豆一蜀) b n ) j 矗( 蜀) = n h l ：, n i = 1 娲( ( 囊一岛) 九。，n ) ， a w = 一面1 ( 如( 岛) 一u ( 蜀) ) ( 屯。( 蜀) 一u ( 岛) ) 7 卢， 氟z 一，妻。盟巡糕燃学勺， 忙一，薹，剑她芎黜黯熊 应用证明( 2 3 6 ) 的原理，我们有 v n a i 与0 ，i = 1 ，2 ，3 ( 3 2 7 ) 由( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) 证得引理3 2 2 成立 g l 理3 , 2 3 在定理3 1 1 的假设条件下，我们有 ( 以，( 卢) + a 。( p ) ) 与n ( 0 ，y ) ， 这里 矿= 目【( y u ( 戈) r 卢) 2 u ( 文) 让( 文) 7 】 + a e 【( ( x u ( x ) ) 7 卢) 2 扎( x ) u ( x ) 7 + e 【( y x 7 卢) 2 x x 7 】 + 2 e 【( y x 7 卢) ( ( x “( x ) ) 7 p ) x “( x ) 7 ) 证明令 皿n = x i e i 十皿n 1 然后，由引理3 2 2 我们有 黑龙江大学硕士学位论文 佩氐“国“刃) - 赤；萎，善虬戌 m ) 十叩( 1 ) ( 3 2 8 ) 对任意p 维向量，y ，令 妒。( 以y ；h 3 ，。) = 一y 7 皿n ( 矿矿；h 3 一) ， 2 丽1 j 三。善( 州池一 显然地，是一两个样本的统计量，并且 日【( 矿；h 3 ，。) i v _ ( ( x u ( x ) ) 7 卢) 矿u ( x ) + 7 7 x ( y x 7 卢) ， ( 3 2 9 ) e ( 阢n 3 ，。) j 卅= r 孔( x ) e 。7 7j 娲( ( 孟一x ) h 3 ，。) ( 札( 叠) 一秕( y ) ) a ( 峦) d 苗 臻。& 曙) i rj b ( ( i 一2 t ) h 3 ，。) ( 钍( i ) 一u ( 贾) ) 矗( 圣) d 歪 镌m y s c ( x ) 由假设条件( a u ) 7 ，( a x ) ，( 2 ) 和( a 自3 ) ， 项的绝对值分别由 器吲 丽c h k a , , 1 “( 贾) ( 3 2 1 0 ) 右边的第2 项和第3 控制因此 e 【如( uy ；h a 。) l u l _ , f f 札( x ) e ( 3 2 1 3 ) 由( a a _ ) 和( a 3 ，。) ( 2 ) ，有 、厢e 【妒。( uv ； 3 。) = 、e 【e f 妒。( 职v ； 3 ，。) i ( ，1 】 5c 、 1 。_ 手o ( 3 2 1 4 ) 由( 3 2 9 ) ( 3 2 1 3 ) 和( 3 2 1 4 ) 及s e p a n s k i 和l e e 1 0 的引理b 1 证得 赤；，薹虬( ，k ；h 2 ，n ) 与( o ，仃2 ) ， ，= n 十jl = l 这里 m 嘲 2 2 p 第3 章协变量有误差时线性回归分析 仃2 = e ( y u ( x ) 7 卢) 2 7 7 “( x ) u ( 义) 7 7 + a e ( ( x 一“( x ) ) 7 卢) 2 ，y 7 “( x ) 乱( x ) 7 7 】 + e ( 1 ，一x 7 卢) 2 7 7 x x 7 州 + 2 e f ( y 一( x ) 7 p ) ( ( x 一“( x ) ) 7 卢) r x “t x ) 7 7 】) 因7 是任一p 维列向量，故此结论和( 3 2 8 ) 证得引理3 2 3 成立 定理3 2 1 的证明注意到 、( 风， ，卢) = _ 1 ( a 。，( 卢) + a 。( ) ) + 、( i k 一一1 ) ( a 。，_ v ( ) + a 。( 卢) ) ( 2 3 1 5 ) 等式( 3 2 1 5 ) ，引理3 2 1 及引理3 2 3 共同证得定理3 2 1 成立 3 3 本章小结 本章考虑协变量有误差的情况，利用核实数据和主要数据，基于最 小二乘方法和核方法，获得了口的估计量，并证明了它的渐近正态性 黑龙江大学硕士学位论文 结论 本文考虑带有核实数据的误差在变量线性模型的统计推断问题这 种误差在变量模型有很大的应用价值因为在实际应用中，我们受成本、 技术、时间的限制，有时很难测得我们感兴趣的变量而本文屏弃经典的 可加的误差结构，借助核实数据捕捉真变量与替代变量间的关系，这更 加符合实际情况本文全面地考虑了反映变量有误差和协变量有误差两 种情况而且在考虑反映变量有误差的情况时，采用了降维的技巧如 果不采用这种技巧，在理论上也会得到相应的渐近结果但是在实际应 用中高维的协变量向量要求大的核实数据集，这在实际应用中是很难获 得的或者需很高的成本才能获得可见这种降维的技巧更加有实用性 本文仅考虑了估计的渐近性，还可以考虑估计的强相合性，构造渐近正 态置信区间，以及作假设检验等 致谢 致谢 转眼间三年的学习生活即将结束，在此论文完成之际，我要向所有 在学习上和生活上帮助过我的老师和同学表示感谢特别要感谢的是我 尊敬的导师王启华教授在读硕士的这三年时间里，我在学习方面的每 一点进步都离不开王老师悉心的指导和热心的帮助，在生活中，王老师 也同样给予了我无微不至的关怀王老师渊博的知识，严谨的治学态度， 刻苦勤奋的学习精神和一丝不苟的工作态度将是我在今后的工作和学习 中效仿的楷模 我还要特别感谢黑龙江大学数学科学学院的各位领导，老师和同学 们，他们都曾经在我的学习中给予过我大量的指导和帮助还有在生活 上给予我的所有关怀和照顾 黑龙江大学硕士学位论文 参考文献 1r jc a r r o l la n dm p w a n d ，s e m i p a r a m e t r i ce s t i m a t i o ni nl o g i s t i cm e a s u r ee r r o rm o d e l s ，j r o y s t a t i s t s o c s e r b 5 3 ( 1 9 9 1 ) ，6 5 2 6 6 3 2g d u n c a na n dd ，h i l l a ni n v e s t i g a t i o no ft h ee x t e n ta n dc o n s e q u e n c e s o f m e a s u r e m e n te r r o ri nl a b o r - e c o n o m i c ss u r v e yd a t a j l a b o re c o n3 ( 1 9 8 5 ) ，5 0 8 - 5 3 2 3m s p e p e ，i n f e r e n c eu s i n gs u r r o g a t eo u t c o m ed a t aa n dav a l i d a t i o n s a m p l e ，b i o m e t r i k a 7 9 ( 1 9 9 2 ) ，3 5 5 3 6 5 4j w i t t e s ，e l a k a t o s ，a n dj p r o b s t f i e l d ，s u r r o g a t ee n d p o i n t si nc l i n i c a l t r a i l s ：c a r d i o v a s c u l a rd i e a s e s ，s t a t i s t m e d 。8 ( 1 9 8 9 ) ，4 1 5 4 2 5 5m s p e p e ，t r f l e m i n g ，ag e n e r a ln o n p a r a m e t i cm e t h o df o rd e a l i n g w i t he r r o r si nm i s s i n go rs u r r o g a t ec o v a r i a b l ed a t a j a m e r s t a t i s t a s s o c 8 6 ( 1 9 9 1 ) 1 0 8 1 1 3 6q h w a n g ，e s t i m a t i o no fp a r t i a ll i n e a re r r o r i n v a r i a b l e sm o d e lw i t h v a l i d a t i o nd a t aj m u l t i v a r i a t e a n a l 6 9 ( 1 9 9 9 ) 3 0 6 4 7w a f u l l e r ，m e a s u r e m e n te r r o rm o d e l s ，w i l e y , n e wy o r k ，( 1 9 8 7 ) 8q h w a n g d i m e n t i o nr e d u c t i o ni np a r t l yl i n e a re r r o r i n r e s p o n s er o o d e l sw i t hv a l i d a t i o nd a t a ，j o u r n a lo fm u l t i v a r i a t ea n a l y s i s ，8 5 ( 2 0 0 3 ) 2 3 4 2 5 2 9i 。x z h u kt f a n g a s y m p t o t i c sf o rk e n e le s t i m a t o ro fs l i c e di n v e r s er e _ g r e s s i o n a n n s t a t i s t 2 4 ( 1 9 9 6 ) 1 0 5 3 1 0 6 8 1 0j h s e p a n s k i ，l f l e e ，s e m i p a r a m e t r i ce s t i m a t i o no fn o n l i n e a re r r o r - i n v a r i a b l e sm o d e l sw i t hv a l i d a t i o ns t u d y j n o n p a r a m s t a t i s t i c s 4 ( 1 9 9 5 ) 3 6 5 3 9 4 一2 4 参考文献 1 1n d u a n ，kc l i ，s l i c i n gr e g r e s s i o n ：al i n kf r e er e g r e s s i o nm e t h o d ，a n n s t a t i s t 1 9 (