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非代数多项式空间曲线性质的研究 摘要 为了克服代数多项式空间曲线曲面造型的不足，很多学者提出了基于非代 数多项式空间的其它形式的曲线曲面造型方法。本文在他们研究的基础上，主 要做了以下工作： 第一，在研究四次c 一曲线性质的基础上，讨论了与给定多边形相切的分段 四次c b 6 z i e r 曲线和四次c b 样条闭曲线和开曲线。所构造的c b 6 z i e r 曲线是 c 连续的，且对切线多边形是保形的。四次c b 样条闭曲线和开曲线是c 3 连续 的，且对切线多边形也是保形的。所构造曲线段的控制顶点由切线多边形的顶点 直接计算产生。最后以实例表明，本文的方法是有效的。 第二，在讨论三次h b 6 z i e r 曲线性质的基础上，提出了三次h b 6 z i e r 曲 线的任意分割算法，即对三次h b 6 z i e r 曲线上任意一点p f f 1 ( o t 口) ，求该点 把曲线分成的两个子曲线段只( ，) ( os f ，) 与j 口( f ) ( o t 口一f ) 的控制参数和控 制顶点；给出了三次h b 6 z i e r 曲线与三次b 6 z i e r 曲线的拼接条件，以及三次 h b 6 z i e r 曲线在曲面造型中应用的例子。采用本文方法所得结果简单、直观， 有效地增强了三次h b 6 z i e r 方法控制及表达曲线形状的能力。 第三，给出了五次h b d z i e r 曲线的细分公式，并且证明了细分过程产生的 控制多边形序列收敛于原曲线。在收敛性的基础上，证明了五次h b 6 z i e r 曲线 的两个重要性质：保凸性和变差缩减性。 关键词：四次c b 6 z i e r 曲线；四次c b 样条曲线；切线多边形；保形曲线；三 次h b d z i e r 曲线：b d z i e r 曲线；分割；拼接；五次h b d z i e r 曲线：细 分：控制多边形 r e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so fc u r v e si nt h e n o n a l g e b r a i cp o l y n o m i a ls p a c e a b s t r a c t i no r d e rt oo v e r c o m et h es h o r t c o m i n g so fc u r v e sa n ds u r f a c e sm o d e l i n gi na l g e b r a i c p o l y n o m i a ls p a c e ，m a n ys c h o l a r sp r o p o s eo t h e r f o r m so fc u r v e sa n ds u r f a c e si nt h e n o n a l g e b r a i cp o l y n o m i a ls p a c e b a s e do nt h es t u d yo ft h es c h o l a r s ，t h i st h e s i sd o e ss o m e s t u d ya sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h r o u g ha n a l y s i so f t h ep r o p e r t i e so fq u a r t i cc c u r v e s ，w ep r e s e n ta na p p r o a c h o fc o n s t r u c t i n gp l a n a rp i e c e w i s eq u a r t i cc - b 6 z i e rc u r v e sa n dq u a r t i cc bs p l i n ec u r v e s w i t ha l le d g e st a n g e n tt oag i v e nc o n t r o lp o l y g o n t h ec - b 6 z i e rc u r v es e g m e n t s a r ejo i n e d t o g e t h e rw i t h c 1c o n t i n u i t ya n dt h eq u a r t i cc - bs p l i n ec l o s e dc u r v e sa n do p e nc u r v e sa r e c 3c o n t i n u o u s a l lc u r v e sa r es h a p ep r e s e r v i n gt o t h e i rt a n g e n tp o l y g o n s a l lc o n t r o l p o i n t so ft h ec u r v es e g m e n t sc a l lb ec a l c u l a t e ds i m p l yb yt h ev e r t i c e so f t h eg i v e nt a n g e n t p o l y g o n f i n a l l ys o m en u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h a tt h em e t h o d 百v e n i nt h i sp a p e ri s e f f e c o v e s e c o n d l y , b a s e do nt h ea n a l y s i so f t h ep r o p e r t i e so fc u b i ch b 6 z i e rc u r v e s ，as u b d i v i s i o n a l g o r i t h mi sp r o p o s e d ，t oc o m p u t et h ec o n t r o lp a r a m e t e r sa n dc o n t r o lp o i n t so ft h et w o s u b c u r v e s 只( f ) ( o f “) a n d 匕一，( f ) ( o f 口一，。) s u b d i v i d e d b ya n yp o i n t pf f 1 ( o f 口) o fc u b i ch b 6 z i e rc u r v e s t h ec o n n e c t i o nc o n d i t i o n s b e t w e e nc u b i c h b 6 z i e rc u r v e sa n dc u b i cb 6 z i e rc u r v e sa r ed e r i v e da n dt h ea p p l i c a t i o n so f c u b i ch b 6 z i e r c u r v e si nt h es u r f a c em o d e l i n ga r eg i v e n t h eo b t a i n e dr e s u l t s ，w h i c ha r es i m p l ea n d i n t u i t i o n i s t i c ，c a ne f f e c t i v e l yi m p r o v et h es h a p er e p r e s e n t a t i o n a n dc o n t r o lo fc u b i c h b 6 z i e rc u r v e s t h i r d l y , a ne f f e c t i v es u b d i v i s i o nf o r m u l a f o rh b 6 z i e rc u r v e so fd e g r e ef i v ei sp r e s e n t e d f u r t h e r m o r e ，i ti sp r o v e dt h a tt h ec o n t r o lp o l y g o n sg e n e r a t e db yt h es u b d i v i s i o nc o n v e r g e t ot h eo r i g i n a lh b 6 z i e rc u r v e so fd e g r e ef i v e t w oi m p o r t a n tp r o p e r t i e s ，t h ev a r i a t i o n d i m i n i s h i n g ( v - d ) p r o p e r t ya n dc o n v e x i t yp r e s e r v i n gp r o p e r t y , a r ep r o v e d f o rh - b 6 z i e r c t l r v e so fd e g r e ef i v e k e y w o r d s ：q u a r t i cc - b 6 z i e rc u r v e ；q u a r t i cc - bs p l i n ec u r v e ；t a n g e n tp o l y g o n ；s h a p e p r e s e r v i n g ；c u b i ch b 6 z i e rc u r v e s ；b 吾z i e rc u r v e s ；s u b d i v i s i o n ；c o n n e c t i o n ； h b 6 z i e rc u r v e so fd e g r e ef i v e ；s u b d i v i s i o n ；c o n t r o lp o l y g o n 插图及表格清单 图2 - 1 控制参数口对曲线的影响5 图2 - 2 二边形的凸性7 图2 - 3 切线多边形在切点p 一处形成拐点7 图2 - 4 四次c b 样条曲线的一段( 口= , d 2 ，2 5 ，3 ) 8 图2 - 5 元和口对与给定切线多边形相切的分段c b 6 z i e r 曲线的影响1l 图2 - 6 与给定多边形相切的四次c b 6 z i e r 闭曲线1 2 表2 - 1 切点调节参数取值1 2 图2 - 7 与给定切线多边形相切的四次c b 样条闭曲线1 2 图2 - 8 与给定切线多边形相切的四次c b 样条开曲线13 图2 - 9 由四次c b 样条曲线绘制的童装衣袋的纸样1 3 图3 - 1 一簇h 。b 4 z i e r 曲线1 5 图3 - 2h b 6 z i e r 曲线精确表示的悬链线l5 图3 - 3 三次h b 6 z i e r 曲线的中点分割1 7 图3 4 三次h b 6 z i e r 曲线的任意分割( ，。= 3 a 5 ) l7 图3 - 5h b 6 z i e r 曲线与b 6 z i e r 曲线的g 1 光滑拼接1 9 图3 - 6 花瓶旋转曲面2 0 图3 - 7h b 6 z i e r 曲面的几何意义2 1 图3 - 8h b 6 z i e r 曲面2 l 图4 1 五次h b 6 z i e r 曲线的基函数( 口= 7 ) 2 4 图4 - 2 五次h b 6 z i e r 曲线( 口= 万) 2 4 图4 - 3 五次h b 6 z i e r 曲线的细分2 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金妲王些丕堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：千救 一一、p 、 签字日期：呷年吁月 g 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆_ 王些叁堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 a 曼王些太堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：车疵 导师签名： ，、，、 签字日期：工i 唧年节月捃日 学位论文作者毕业后去向： ：l ：作单位： 通i | 1 f 地址： f 轨b 签字日期：2 叼年付月lp 日 i 乜衍： 邮编： 致谢 三年的时间转瞬即逝，我的研究生生活就要结束了。回首三年的研究生生 活，感慨颇多! 首先，我要衷心的感谢我的导师檀结庆教授，本学位论文是在檀结庆教授 的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益 求精的工作作风，深深地感染和激励着我。两年多来，檀教授不仅在学业上给 我以精心指导，同时还在思想上、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向檀 老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意! 还要感谢朱功勤教授、朱晓临教授、黄有度教授、林京教授、邬弘毅教授、 苏化明教授、唐烁教授、江平副教授、郭清伟副教授，感谢他们在我学习阶段 的传道，授业，解惑，他们渊博的学识和高尚的师德给我留下了深刻的印象! 激励着我不断地前行! 感谢我的师兄弟们，他们是张莉、邢燕、刘植、李志明、李声锋、谢进、 霍星、李方、方中海、屠静、张洁、汪飞等，感谢他们在这三年中给予我的帮 助! 感谢3 1 班的全体同学，大家相互帮助、共同进步，一起度过了难忘的两年多的 时光! 感谢家人对我在生活上的帮助和精神上的支持，让我顺利地完成了学业! 最后，感谢审阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者， 感谢他们在百忙之中给予的批评指正和宝贵意见! 作者：王燕 2 0 0 9 年3 月 1 1研究背景及现状 第一章绪论 曲线曲面造型技术是计算机辅助几何设计( c a g d ) 和计算机图形学的 一项重要内容，自由曲线盐面作为其中的一个重要分支，在汽车、轮船、飞 机、模具、艺术品等产品的设计中有着重要的应用，它们是计算机辅助几何 设计研究的主要几何形状。 随着人们生产技术水平的提高，曲线曲面造型理论也得到了发展和提 高，主要经历了以下几个重要的发展阶段：f e r g u s o n 曲线曲面一b 6 z i e r 曲线 曲面一b 样条曲线曲面n u r b s ( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 曲线曲面。 国内外的学者对此做了深入的研究 i - s t ! 。 b 6 z i e r 曲线曲面具有一系列优良的性质，如几何与仿射不变性、凸包性、 对称性、端点插值性等；且具有如d ec a s t e l j a u 求值、离散、升阶、插值、包 络生成算法等简单易用的计算方法，很好地解决了整体形状控制问题l i t j 2 1 。 但它仍然存在拼接和局部修改的问题，并且对于工业设计中常见的圆锥曲线 如圆弧等，b 6 z i e r 曲线只能近似地表示。有理化方法的引入弥补了这个缺陷， 在19 9 1 年国际标准化组织i s o 正式颁布的工业产品数据交换的s t e p 标准 中，把n u r b s 作为自由曲线曲面的唯一定义1 2 6 1 ，而国际著名的c a d 软件公 司也把造型系统首先建立在n u r b s 的数学基础上。但是，有理形式也不可 避免地带来了一些负面影响，如： ( 1 ) 有理形式的曲线在微分、积分运算上遇到了麻烦甚至是不可克服 的困难，而微分是求曲线的边界导矢曲率等几何量、积分是求物体的重心、 惯性矩等物理量所必须的计算； ( 2 ) 以多项式和有理多项式这两种形式来表示的曲线益面系统之间， 不能直接进行数据的交换和传递，限制了系统的应用范围： ( 3 ) 有理形式的曲线需要更多的计算时间和存储空间。 由于生产实践的需要，人们不断探索着新的曲线曲面造型方法。近几年 相继出现了一些基于非代数多项式空间的其它形式的曲线曲面造型方法，这 些方法克服了基于，2 次代数多项式空间s p a n 1 ，f ，t ” 的有理曲线曲面模型的 不足，同时兼顾了有理曲线曲面的优点。如p o t t m a n np s t 提出了螺旋样条的理 论和方法，张纪文 3 9 - 4 3 1 将代数和三角多项式混合，得到了类似于：f e r g u s o n 曲线、b 6 z i e r 曲线、b 样条曲线的三种曲线，提出了c 样条曲线的理论和方 法。作为新颖的曲线曲面造型方法，c 曲线和通常的三次曲线具有十分相似 的性质，但是因为具有形状参数口，可以根据需要调整曲线的形状，使之能 够满足工程上的各种要求，而且能表示一些超越曲线( 诸如工程中的螺旋线、 摆线、正弦函数曲线等) ，避免了有理化形式，便于计算机表示和实现。在前 人。研究的基础上，文献【4 4 和 4 5 1 分别基于三角多项式空间 s p a n 1 ，c o s t ，c o s m t 和空间s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s m t ，s i n m t ) 构造了三角样条； 2 0 0 1 年，m a i n a r 等1 4 6 1 给出了基于空间s p a n 1 ，f ，c o s t ，s i n f ，c o s 2 t ，s i n 2 t 、 s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s t ，t s i n t 等的某些b 基，但这些基都不包含高阶自由型多 项式曲线。对此，2 0 0 3 年文献【4 7 矛n2 0 0 4 年文献【4 8 1 分别研究了基于空间 s p a n 1 ，2 ，广2 ，c o s t ，s i n f ) 的n 次c b 6 z i e r 及非均匀代数三角b 样条( n u a t ： n o n u n i f o r ma l g e b r a i c t r i g o n o m e t r i cb s p l i n e ) 曲线曲面的构造，提出了多项 式和三角函数混合的曲线曲面模型，将文献3 9 4 3 的结果推广到了高维空间， 并讨论了某些类似于b 6 z i e r 曲线的诸如端点性质、凸包性质、升阶等基本性 质，这种新颖曲线曲面模型的最大优点是包含了高阶自由型多项式形式又兼 有三角函数的形态，引起了广大学者的普遍关注。 在最近短短几年里，很多学者对于低次c b 6 z i e r 曲线做了大量的研究： 王成伟在文献 4 9 和文献【5 0 】中讨论了与给定切线多边形相切的三次 c b 6 z i e r 曲线和c b 样条曲线：文献【5l 】讨论了低阶c b 6 z i e r 曲线的升阶； 樊建华等 5 2 - 5 5 1 讨论了c b d z i e r 曲线、曲面的分割、拼接、形状修改及其在曲 面造型中的应用：樊建华在他的硕士学位论文【5 6 】中系统的阐述了c b 6 z i e r 曲线曲面的理论；文献 5 7 】、【5 8 讨论了四次c 曲线的性质，给出了正弦曲线 的表示方法，并利用c b 6 z i e r 曲线，给出了圆弧的一系列表示方法，并讨论 了这些表示方法的相互关系：金义明等1 5 9 - 6 0 1 讨论了五次c b 6 z i e r 曲线的生成 及其性质；徐松1 6 1 1 研究了三次c b 6 z i e r 曲线上曲面的可展性：杨勤民等1 6 2 讨 论了c 曲线上的拐点和奇点；何玲娜、王国昭 6 3 1 讨论了五次c b 6 z i e r 曲线的 细分公式，证明了细分过程产生的控制多边形序列收敛于原曲线，并在收敛 性的基础上，证明了变差缩减性和保凸性；文献 6 4 】讨论了空间曲线的 c b 6 z i e r 插值，构造了一条空间g c 2 插值条件下的c b 6 z i e r 曲线；文献【6 5 】 讨论了c 曲线的拼接及其在曲面造型中的应用；林上华在文献 6 6 】中将 c b 6 z i e r 曲线参数口的取值区间从【0 ，万】扩展到 0 ，2 z r 】，将均匀c b 样条曲线 参数口的耿值范围逐阶扩大，并论证了基的正性，所得结果提高了c 曲线的 造型能力；叶正麟等1 6 7 1 完整地讨论了平面c 曲线和平面c b 6 z i e r 曲线的奇拐 点和凸性性质；c b 6 z i e r 曲线和已有曲线曲面之间的相容性也得到了研究， 例如，文献6 8 讨论了c b 6 z i e r 曲线与n u r b s 曲线的光滑拼接条件；赵玉林 6 9 1 在他的硕士论文中研究了高阶c b 6 z i e r 曲线曲面的性质及其应用：吴荣军 等1 7 0 1 对有理c b 6 z i e r 曲线进行了形状分析，得出曲线上含有奇点、拐点和曲 线为局部凸或全部凸的条件，讨论了权因子变化对曲线形状图的影响；2 0 0 7 年，文献【7 1 讨论了c 曲线和h 曲线的p a t h 问题：林新辉 7 2 1 在他的硕士学 位论文中系统地讨论了c b 6 z i e r 曲线降阶逼近问题。c b 6 z i e r 曲线曲面的理 论日趋完善。 在三角代数空间曲线曲面研究的过程中，发现c 曲线曲面理论也存在缺 陷，比如，c b 6 z i e r 曲线不能精确表示双曲线和抛物线，而这些曲线在工程 中是经常用到的。鉴于此，许多学者开始研究双曲代数空间的曲线曲面，其 中具有代表性的有：文献 7 3 提出了基于空间s p a n 1 ，t ，2 ，t - 2 , c o s h t ，s i n h t 的 代数双曲样条曲线曲面模型，使用该曲线模型可精确表示双曲线和悬链线， 它的导数和积分均易于计算；文献 7 4 进一步分析了h b 6 z i e r 曲线的形状： 杨勤民 7 5 1 在他的硕士论文中讨论了低次h b 6 z i e r 曲线的简单性质；文献 【7 6 。7 8 】中讨论了h b 6 z i e r 曲线的中点离散公式和拼接等性质：钱江【7 9 l 给出了 h b 6 z i e r 曲线的第二种表达形式，构造了与多边形各边都相切的四阶h b 6 z i e r 曲线；吴荣军1 8 0 l 对平面三次h b 6 z i e r 曲线进行了形状分析，得出了平面三次 h b 6 z i e r 曲线的完全形状分布图。与c b 6 z i e r 曲线的理论相比较，h b 6 z i e r 曲线曲面的理论还有待进一步研究。 1 2 本文研究内容和结构安排 本文在分析、研究相关文献资料的基础上，主要针对非代数多项式空间 的曲线曲面作了以下几方面的工作： 1 、给出了与给定控制多边形相切的分段四次c b 6 z i e r 曲线和四次c b 样条闭曲线和开曲线： 2 、提出了h b 6 z i e r 曲线的任意分割算法，研究了h b 6 z i e r 曲线与b 6 z i e r 曲线的拼接条件，并给出了h b 6 z i e r 曲线在曲面造型中应用的例子； 3 、给出了五次h b 6 z i e r 曲线的细分公式，并且证明了细分过程产生的 控制多边形序列收敛于原曲线。在收敛性的基础上，证明了五次h b 6 z i e r 曲 线的两个重要性质：保凸性和变差缩减性。 全文共分五章。第一章是本文的绪论，介绍了本文的研究背景和现状， 以及本文的研究内容和结构安排；第二章给出了与给定控制多边形相切的四 次c 一曲线；第三章提出了三次h b 6 z i e r 曲线的任意分割算法，研究了h b 6 z i e r 曲线与b 6 z i e r 曲线的拼接条件，并给出了h b 6 z i e r 曲线在曲面造型中应用的 例子：第四章讨论了五次h b 6 z i e r 曲线的细分公式，同时证明了由细分产生 的控制多边形序列收敛于原曲线；第五章对本文工作做了总结，同时对今后 的工作提出了一些想法。 第二章带有给定切线多边形的四次c 曲线 张纪文在文献 3 9 。4 3 】中提出了三次c 一曲线并给出了相应的应用，陈秦玉 等又在此基础上利用一组新的基底 s i n t ，c o s t ，r 2 ，t ，l 构造了四次c 曲线：四次 c b 6 z i e r 曲线和四次c b 样条曲线【5 引，并进一步研究了它们的性质，它们具 有一般b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线的性质：端点插值性质，凸包性，离散等， 还可以精确地表示圆弧、椭圆及正弦曲线。因此，c 曲线可以在c a d c a m 系统的曲线建模和表示中得到很好的应用。 关于与给定多边形相切的样条曲线，已有很多学者做了深入的研究 1 4 9 - 5 0 1 8 1 - s 3 1 。本章在此基础上研究了与任意多边形相切的分段四次c b 6 z i e r 曲 线和四次c b 样条曲线，所构造的曲线对切线多边形具有保形性，每段四次 c b 6 z i e r 曲线和四次c b 样条曲线上的控制点由切线多边形的顶点计算得 到，曲线的局部修改比较方便，也可以通过控制参数口改变曲线的形状，达 到设计的要求。 2 1 带有给定切线多边形的四次c b 6 z i e r 曲线 2 1 1 四次c b 6 z i e r 曲线及其性质 给定五个控制顶点岛+ ，( = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) ，口是一个任意实数，且0 o r 万，则 下列曲线称为一条关于参数口的四次c b 6 z i e r 曲线【5 3 l ： e ( ，) = u o 4 ( f ) 匆+ u 1 , 4 ( ，) 岛+ l + i 1 2 , 4 ( ，) 岛+ 2 + u 3 4 ( ，) 岛+ 3 + u 4 , 4 ( ，) 6 + 4 ( 2 1 ) 其中4 ( ，) ，u l 4 ( f ) ，t 2 ，4 ( ，) ，u 3 ，4 ( r ) ，u 4 ，4 ( ，) 称为四次c b 6 z i e r 基函数，其表达式为： 啡) = 怒蛳邛( ，) 州，) ) ( 去) 2 ， u o 4o ) = “4 ，4 ( 口一f ) ，u 1 , 4 ( ，) = 1 1 3 4 ( 口一，) ，1 2 4o ) = 1 一m ，4 ( ，) 其中： b 4 ( f ) = t 2 2c o s c ( t ) ，s = s i n c ( c r ) ，c = c o s c ( a ) ，s = s i n ( a 2 ) ，c = c o s ( , z 2 ) ， s i n c ( ，) = ，一s i n ，c o s c ( ，) = 1 一c o s t ，z ( f ) = s i nc ( t ) s ，0 ， 口，0 口刀 显然，对于给定的控制顶点6 ，6 ，+ l ，6 ，6 ，小匆+ 。，我们可以得到一簇由参数口控制 的四次c b 6 z i e r 曲线，如图2 1 所示。 图2 一l 控制参数货对曲线的影响 四次c b 6 z i e r 基函数满足权性和正性，即： ( 1 ) u 0 , 4 0 ) + 甜i 。4 ( ，) + “2 4 ( ，) + 吩，4 0 ) + 4 0 ) 三1 ； ( 2 ) u i 。( r ) o ，( 江o ，l ，2 ，3 ，4 ) 。 四次c b 6 z i e r 曲线有许多类似于b 6 z i e r 曲线的性质：端点插值性、几 何不变性等，它依赖于控制参数口，这增加了曲线构造的自由度。 ( 1 ) 端点性质： e ( 0 ) = 6 ，e ( 口) = 包+ 。，e ( o ) = k ( 6 + 一岛) ，e ( 口) = k ( 岛+ 。一匆+ 。) ( 2 2 ) 其中，k = 2 s b , 位) 。 ( 2 ) 凸包性：曲线位于控制多边形的凸包内。 ( 3 ) 极限性质：相同的控制多边形下，当口j0 时，四次c b 6 z i e r 曲线收敛于 四次b 6 z i e r 曲线。 2 1 2 与平面多边形相切的四次c b 6 z i e r 曲线 设有一个切线多边形( v o ，“，圪) ，其多边形的顶点为v o ，k ，k ，且 v o = 圪。假设待构造的分段四次c b d z i e r 曲线在切线多边形第f 条边杉+ 。上的 切点为： 只= ( 1 一旯，) 杉+ 允，+ ，f = o ，1 ，刀一l ( 2 3 ) 式中丑( 1 4 丑 3 4 ) 是切点调节参数。 为了在每相邻两切点p ，p + ，之间构造一段四次c b 6 z i e r 曲线 e ( ，) ( f _ 0 ，l ，姐一1 ) ，其相应的控制点选取如下： 包= 只一。 6 ，+ = p 一。+ 百1 ( 杉一一。) 6 f + 2 = 形 ( 2 4 ) h i + 3 - = p 一言( 巧+ 。一杉) 6 ，+ 。= 鼻 于是，第f 段四次c b 6 z i e r 曲线为 4 e ( t ) = 吩，。( ，) 匆矿0 f 口 ( 2 5 ) j = o 利用四次c - b 6 z i e r 曲线端点性质( 2 2 ) 式以及( 2 4 ) 式，对i = o ，1 ，玎，得 到如下结果： e ( o ) = 岛= p 一。 e ( 口) = 匆+ 。= 霉 趴o ) = m + 1 - 岛) = 筹( 杉叱。) ( 2 t 6 ) e ( 口) = k ( 6 ，+ 。一6 ，+ ，) = 等( 巧+ 。一杉) 显然有e ( 口) = e + 。( 0 ) ，耳( 口) = 歌( 0 ) 。由此可知， ( 2 5 ) 式表示的分段四次 c b 6 z i e r 曲线是c 1 连续的，且与每条边形k + ，相切。 下面我们证明该分段四次c b 6 z i e r 曲线对切线多边形是保形的。将( 2 3 ) 式代入( 2 4 ) 式知，第f 段曲线的四次c b 6 z i e r 控制点为： 包= 只一。= ( 1 一五一。) 杉一，+ 五一，形 b i + 1 只一。+ 去( k k 一，) = 一。+ 百1 + 五) ( k 一杉一。) 岛+ ：= 形 勿+ ，= 只一丢( k + 。一) = 杉+ ( 五一丢) ( 巧+ ，一杉) 包+ 。= 只= ( 1 一乃) k + 五杉+ 注意到切点参数l 4 丑 3 4 ，( f - o ，1 ，n - 1 ) ，因此岛，岛小包匆6 ，+ 。构成一个 凸四边形，且凸性与二边形( 小杉，杉+ 1 ) 相同( 如图2 2 ) 。由c b 6 z i e r 曲线的保 凸性1 5 0 l 知，e ( ，) 是凸的，且凸性与( k 小形，杉+ ，) 相同。 设杉是切线多边形的转折点，即矢量一：杉一。一与矢量杉一。杉杉杉+ 。方向 相反，这时第i 一1 段曲线与第f 段曲线凸性相反，且在切点尸处形成一个拐 点，如图2 - 3 所示，因此上面构造的分段c b d z i e r 曲线拐点与切线多边形转折 点个数相等，即该曲线对其切线多边形是保形的。 综上可知，本文构造的分段四次c b 6 z i e r 益线是c 连续的且保形的。 6 v i + 1 v 图2 - 2 二边形的凸性 图2 - 3 切线多边形在切点只一i 处形成拐点 曲线绘制步骤： 步骤l 输入切线多边形的各顶点，k ，k ，圪圪 步骤2 选择切点调节参数元及切点p ： 1 4 a 3 4 ，( f - o ，l ，聆一1 ) 只= ( 1 一力，) 巧+ a + l ，f = o ，1 ，n - 1 步骤3 确定控制顶点岛+ i ( = o ，l ，2 ，3 ) ，即： 6 ，= 足。 6 ，+ 。= 只一。+ 丢( k 一一。) 6 ，+ ：= 杉 h i + 3 z 一丢( 杉+ 。一杉) 岛“= 步骤4 根据( 2 5 ) 式作出第i 段四次c b 6 z i e r 曲线 2 2 带有给定切线多边形的四次c b 样条曲线 2 2 1 四次c b 样条曲线及其性质 设p o ，p l ，p 2 ，见+ l 刃i + 2 ，p 柑是给定的控制顶点，n + 3 5 ，口是任意的一个 实数，且0 口万，则下面的曲线定义为四次c b 样条曲线 5 s l ： 只( ) 5 只砜4 ( 7 ) + 只+ 1u i , 4 ( ) + 只+ 2 ( 7 ) + 只+ 3 址，。( 7 ) + 只+ 4 玑4 ( 。( 2 7 ) = ( 4 口2 ( 1 - c o s a ) ) 1 【s i n t c o s t ，2 f l l m p , t 9 , + i 易+ 2p i + 3 只+ 4 】7 其中，。( ，) ，u ( ，) ，u 2 ，。( f ) ，u 3 ，。( ，) ，u ，。( ，) 称为四次c - b 样条基函数，其表达式为： u 0 , 4 ( ，) = i 夏i 石二1 面 2 s i n a s i n ，+ 2 c 。s 口c 。s ，+ ，2 2 口，+ 口2 2 】 q 。( ) =4 a 2 ( 1 一c o s 【- - 6 s i n a s i n t 一6 c o s o t c o s t 一2 c o s t 一2 t 2c o s a 一2 t 2 + 2 c t t + 4 a t c o s c r + 4 c o s c r 一2 a 2c 1 3 s c g + t z 2 + 4 】 呸。o ) =4 a 2 ( 1 一c o s a ) 6 s i n a s i n t + 6 c o s a c o s t + 6 c o s t + 4 t 2c o s o c + 2 t 2 2 口f - 4 口t c o s c t 一8 c o s a 一2 a 2c o s 口+ 口2 4 】 。( ，) =4 a 2 ( 1 一c o s a ) 一2 s i n a s i n t 一2 c o s 口c o s t 一6 c o s t 一2 t 2c o s 口一2 t 2 + 2 口，+ 4 c o s a ：+ c r 2 + 4 】 虬_ o ) = m = 4 a 2 ( 1 一c o s 口) 2 c o s t + ，2 2 】 2 s i n 口一6 s i n1 2 6 s i n1 2 - 2 s i n120 2 c o s 口- 6 c o s 口一26 c o s t 2 + 6- 2 c o s 口一62 l一2 c o s 口一22 + 4 c o s 口 - 2 c o s 口一2 l - 2 口 2 a + 4 a c o s 口 - 2 口一4 a c o s 口2口0 口2 24 c o s 口一2 a 2c o s+ 口2 - i - 4 口2 8 c o s 6 1 ：一4 2 a ：2c o s4 c o s o f - i - 4 - i - 口2 2 显然，对于给定的控制顶点b ，b + ，a 彩n 和p 1 彬我们可以得到一簇由参数 口控制的四次c b 样条曲线，如图2 - 4 所示。 剀2 4 四次c - b 样条曲线的一段( 口= = 2 ，2 5 ，3 ) 四次c b 样条曲线具有很多类似于四次b 样条曲线的性质： ( 1 ) 权性： ( 2 ) 极限性质：相同的控制多边形下，当口j0 时，四次c b 样条曲线收 敛于四次b 样条曲线。 ( 3 ) 端点性质： o 、， 万o - ， b = 、，o4 u 。脚 p ，( o ) p , c a ) = 石杀丽( ( 2 c o s a + 口2 _ 2 ) 易+ ( 2 - 2 c o s a + c r 2 - 2 0 r 2 c o s 口) p j + l + ( 2 - 2 c o s a + 口2 2 a 2e o s a ) p , + 2 + ( 2 c o s a + a 2 2 ) 易+ 3 】 = 石杀而 ( 2 c o s a ! + c t z - 2 ) + ( 2 - 2 c o s a + a 2 - 2 0 r c o s a ) + ( 2 2 c o s c t + 口。一2 a 2c o s 口) 易订+ ( 2 c o s a t + 口一2 ) p ，+ 4 】 ( o ) 2 否赢【( s i n 口一口) b + ( - 3 s i n a + c t + 2 c t e o s a ) p ，+ i ( 3 s i n a - c t - 2 a e o s a ) p ，+ 2 + ( - s i n a + 口) b + 3 】 p ；( 口) 。i 夏可f i 乏而【( 3 n 口一口) 易“+ ( - 3 s i n a + a + 2 a c o s a ) p f + 2 + ( 3 s i n a - a - 2 a c o s o r ) p j + 3 + ( 一s i n 口+ 口) b + 4 】 矾o ) 2 奇( b p j + i _ + p o 以口) 2 壶( b + i 另+ 2 _ p i + 3 + p j + ) 烈o ) 2 瓦石二1 而( - 2 s i n a 易+ 6 s i n a 易+ - 6 s i n a a + z + 2 s i n a 易+ 3 ) m ) 2 砑丽i ( - 2 s i n a b + i + 6 3 n 口p ，+ 2 - 6 s i n a 另+ 】+ 2 s i n a 易+ 4 ) 由端点性质可得： b ( 口) = b + i ( o ) ，( 口) = p , - l ( o ) ，袱口) = 以l ( o ) ，p t ( a ) = 以l ( o ) 因此四次c b 样条曲线是c 3 连续的。 2 2 2 与平面多边形相切的c 3 连续的四次c b 样条闭曲线 对于切线多边形( v 0 ，k ，圪) ，其多边形的顶点为，k ，圪，且= 圪，定 义样条曲线的控制顶点如下： p 3 ，= k ，圪+ l = p 3 + i = ( 1 一五，) 形+ 名巧+ 。 p 3 ，+ 2 = , u j + ( 1 一h ) 杉+ i ( i = 0 ，1 ，行) p 3 。3 = p o ( 2 8 ) p 3 月+ 42 p l p 3 52p 2 p 3 * 62 乜 式中0 丑，“ 1 为切点调节参数。 于是，由控制多边形( p o ，p i ，p 3 舢) 定义的四次c - b 样条曲线为： 只( f ) = 4 u 4 ( ，) 只+ = o ，l ，3 n + 2 ，0 ，a ) ，= 0 ( 2 9 ) 它是与给定的多边形( v o ，k ，k ，v 0 ) 每边相切的c 3 连续闭曲线，且曲线拐 点个数与给定多边形的凹凸性变化次数相同，即曲线对给定的多边形具有保 9 形性，下面将进行证明： 由四次c - b 样条曲线的端点性质可以证明p j ( ，) ( = o ，3 ，6 ，3 n ) 的起点落 在给定多边形的第江j 3 条边kk + 。上，且与该边相切。 事实上，由四次c b 样条曲线的端点性质及( 2 8 ) 式知： 只( o ) 2p 3 即) 2 砑丽1【( 2 c o s a + a f t - 2 ) p 3 ，+ ( 2 2 c o s a + 口2 - - 2 a 2c o s a ) p 3 f + l + ( 2 2 c o s a + 口2 2 0 r 2 c o s a ) p 3 f + 2 + ( 口2 + 2 c o s a 一2 ) p 3 ，+ 3 】 = ( 1 一) 巧+ f ，巧+ 。 其中： 1 2 4 a 2 ( 1 - c o s a ) ( 2 c o s a + a 2 - 2 ) + ( 2 - 2 c o s a + 口2 2 a 2 c o s c r ) ( 1 一从) + ( 2 2 c o s c r + 口2 2 口2 c o s 口) 丑】( o ， 1 ) 1 只( o ) 。西，( o ) 2 爵高【( s i n 口一口) p 3 ，+ ( - 3 s i n c t + c t + 2 c t c o s a ) p 3 川 + ( 3 s i n a 一口一2 a c o s a ) p 3 ，+ 2 + ( 一s i n 口+ a ) p 3 ，+ 3 】 = ，；( 杉+ 。一杉) 这里：，；= ( 2 s i n c r - 2