（计算数学专业论文）某些二维与三维问题的区域分解算法.pdf

摘要 本文基于自然边界归化的理论，研究了某些二维与三维问题的区域分解算 法主要包括扇形区域外的重叠区域分解算法和半无界区域上的非重叠区域分 解算法对重叠区域分解算法( s c h w a r z 交替算法) ，作者主要针对的是不太规 则的扇形外区域，分析了算法的收敛性并对其进行有限元处理该算法能有效 的解决一些大型问题简单的说明了二维的重叠区域分解算法对非重叠区域 分解算法( d n 交替算法) ，作者将二维问题推广到三维，解决了半无界区域上 的三维d i r i c h l e t 外边值问题并提出了该算法与r i c h a r d s o n 迭代法的等价性， 分析其收敛性及其收敛速度与网格参数 无关同时给出了松弛因子的取值范 围能够缩小计算规模便于实际应用 关键词：区域分解算法；自然边界归化；二维与三维；扇形区域；半无界区域 d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rs o m e2 一da n d3 dp r o b l e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r o u g ht h et h e o r yo fn a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，w es t u d yt h e d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sf o rs o m e2 - da n d3 d p r o b l e m s i tc o n t a i n s o v e r l a p p i n g d o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o do u t s i d ef a n s h a p e dd o m a i na n d n o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o do v e ru n b o u n d e dh a l fp l a n e f o rt h e o v e r l a p p i n gd d m ( s c h w a r za l t e r n a t i n ga l g o r i t h m ) ，t h ea u t h o rm a i n l ys t u d y so nt h e i r r e g u l a rr e g i o no u t s i d ef a n - s h a p e dd o m a i n ，a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h i sa l g o r i t h m i sg i v e n w ea l s od e a lt h i sm e t h o dw i t hf e m t h i sa l g o r i t h mc a ns 0 1 v es o m e l a r g e 。s c a l ep r o b l e m s i ne f f e c t e x p l a i n i n g t h e n o n o v e r l a p p i n gd o m a i n d e c o m p o s i t i o nm e t h o df o r2 一ds i m p l e l y f o rt h e n o n o v e r l a p p i n gd d m ( d n a l t e r n a t i n ga l g o r i t h m ) ，t h ea u t h o rp r o m o t e s2 dp r o b l e mt ot h e3 dp r o b l e m ， r e s o l v i n g3 - dd i r i c h l e to u t s i d ev a l u ep r o b l e mo v e ru n b o u n d e dh a l fp l a n e t h e m e t h o di se q u i v a l e n tt ot h er i c h a r d s o ni t e r a t i v ea l g o r i t h m ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h i s a l g o r i t h mi sa l s oa n a l y z e da n dt h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h i sa l g o r i t h mi su n r e l a t e dt o t h em e s hp a r a m e t e r 厅t h ev a l u er a n g eo fr e l a x a t i o nf a c t o ri sa l s og i v e n t h es c a l e o ft h ec a l c u l a t i o ni sr e d u c e d ，a n dt h ea l g o r i t h mt h e r e f o r ec a nc o n v e n i e n tb eu s e di n p r a c t i c e 1 ( e yw o r d ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ；n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ；2 da n d 3 一d ；f a n - s h a p e dd o m a i n ；u n b o u n d e dh a l fp l a n e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金壁互些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：童翔签字日期：扣f 。年午月弘日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权 金墼上些太 三l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：多乏豹 签字日期：声p 年中月弘日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：易 签字日期力f d 年千月2 f 日 电话： 邮编： 致谢 时间飞逝，转眼间，三年的研究生求学生活即将结束，站在毕业的门槛上， 回首往昔，颇多感慨，心中思绪万千。值此毕业论文完成之际，我谨向所有关 心、爱护、帮助我的人们表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿。 本论文是在导师王寿城的悉心指导下完成的。三年来，导师渊博的专业知 识，严谨的治学态度，精益求精的工作风格，平易近人的人格魅力对我影响很 大，王老师对我的教育和培养，将使我终生受益。论文从选题到完成，每一步 都是在导师的指导下完成的，倾注了导师的大量心血，在此我向我的导师王寿 城教授表示深切的谢意与祝福! 本论文的完成也离不开其他各位老师、同学和朋友的关心与帮助。感谢研 究生期间的所有代课老师，朱功勤老师，苏化明老师，檀结庆老师，林京老师 等等，他们都是我以后学习的方向。感谢同门的师兄师姐们，在科研过程中给 我以许多的鼓励和帮助。回想整个论文的写作过程，虽然有不易，却让我除却 浮躁，经历了思考和启示也更加深切的体会了数学的精髓和意义，因此倍感珍 惜。还要感谢0 7 数学3 5 班的全体同学，这个集体团结友爱、志向高远。我能 成为这个大家庭中的一员感到非常荣幸，正是有了这样一批兄弟姐妹，才使我 在求学的过程中充满力量。 最后我要感谢我的父母、家人，没有他们，我的大学不可能取得如此成绩。 面对熟悉的亲人，我们反而很难表达爱意。或许只有借助这样的机会，我才能 放开声音对父母说声“谢谢”! 在我2 5 年的人生、1 8 年的求学生涯中，他们给 了我太多的帮助和支持，是父母的鼓励和支持使我得以安心求学。 最后想对自己说，硕士研究生学习的结束又是一个新的生活的开始，在今 后的岁月里，不论做任何事情，都要认真努力，不断成就自己的梦想和更加精 彩的人生。 作者：王文莉 2 0 0 9 年4 月6 日 第一章绪论 1 1 自然边界元法 在实际生活中，有许多问题都可以归结为不同形式的数学模型，它们表现 为偏微分方程的边值问题，区域上的变分问题或者边界上的积分方程这些不 同的数学形式在理论上是等价的，但在实践上并不等效，它们分别表现为有限 差分、有限元方法和边界元方法等不同的数值计算方法 边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方 法它本质上是边界积分方程法，7 0 年代开始被称为边界元法它以定义在边 界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组 求解也就是把微分方程的边值问题归化为边界上的积分方程然后利用各种离 散化技术求解对微分方程作边界归化的思想早在上世纪就已出现，但将边界 归化应用于数值计算并为此目的深入研究边界归化理论则是从上世纪6 0 年代 才开始的随着电子计算机的广泛应用，也使得有限元蓬勃地发展人们将有 限元技术与经典的边界归化理论相结合，为边界积分方程在工程技术和科学计 算中的应用打开了新局面于是有了边界元法c a b r e b b i a ，g c s i a o ， w l w e n d l a n ，j c n d e d e l e c 以及我国的冯康，杜庆华等人对这一方法的发展 与推广都做了大量的工作边界元法已被广泛用于弹性力学、断裂力学、流体 力学、电磁场和热传导等领域的科学研究和工程技术的数值计算 边界元法由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散更 方便，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数 方程组又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数， 而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度特别是对于边界变量 变化梯度较大的问题由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限 远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题边界元法 的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀 介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立 的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制对一般 的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只 要离散边界的优点 边界归化有很多途径我们可以从同一边值问题得到许多不同的边界积分 方程这些积分方程可能是非奇异的，可能是弱奇异的，可能是c h a u c h y 型奇 异的，也可能是强奇异的这些差异是因为边界归化途径不同而产生的不同 的边界归化途径导致不同的边界元法我国学者冯康在1 9 7 8 年的赴法国，意 大利的讲学中，首次提出了一种全新的边界归化方式一正则边界归化i lj 由于 这种边界归化保持能量不变，原边值问题的许多有用性质如双线性对称性、强 制性等均被保持，从而积分方程的解存在唯一性及稳定性等结果也随之而得这 一优点也保证了边界归化与经典有限元方法能自然而直接的地耦因此，这种 正则边界归化就被称为自然边界归化【2 1 基于自然边界归化的边界元法称为自然边界元法，它是由g r e e n 函数和 g r e e n 公式出发，将微分边值问题归化为边界上强奇异积分方程，然后化成相 应的变分形式在边界上离散化求解的一种数值计算方法随着超奇异积分方程 的计算问题在二维领域中得到解决【3 1 ，自然边界元方法获得了极大的发展到 八十年代中期，自然边界元的研究工作就已经在二维领域中取得了许多重要的 成果【4 。1 1 】余德浩的专著【1 2 l 的出版则是自然边界元方法区域成熟的重要标志该 书建立了边界元法的一般理论框架，并系统的研究了二维调和问题、重调和问 题、平面弹性问题和s t o k e s 问题的自然边界元法及自然边界与有限元的耦合算 法此后 1 3 及 1 4 又分别研究了二维及三维h e l m h o l t z 方程边值问题的自然 边界元法 自然边界归化在各种边界归化中占有特殊的地位并具有许多优越性首先 自然积分方程是由原边值问题唯一确定的，它准确的反映此边值问题的解的互 补的微分边值之间的本质关系，而一般边界归化得到的边界积分方程取决于规 划途径及所选择的基本解自然边界归化在通过不同的途径得到的自然积分方 程对同边值问题只能得到一个自然积分方程其次，在进行数值计算时，刚度 矩阵的对称正定性，近似解的稳定性，以及在处理无穷区域及断裂区域时保持 理想的精度，等等特别是对于圆周边界的情况，自然边界元刚度矩阵还有某 种循环性，于是我们并不需要及时全部矩阵系数，而只要计算大约半行系数就 可以了这样一来，与一般边界元方法由于刚度矩阵系数计算的复杂性使得边 界元降维的优点在很大程度上被抵消不同，自然边界元方法减少了计算量 1 2 基于自然边界归化的区域分解算法 由于并行计算机的问世并且日益普及，经典的串行格局不适用于并行计算 机，传统的算法受到挑战如何构造高度并行的算法是提高计算速度的关键。 我们面临的科学与工程问题是如此的好大，计算能力的提高于计算机与计算方 法的两方面发展，而区域分解算法就是在这种背景下应运而生。 区域分解算法的思想可以追溯到1 8 7 0 年德国数学家h a s c h w a r z 【1 5 】提出 的著名的s c h w a r z 交替法，但是s c h w a r z 本意是借用交替法论证非规则椭圆型 方程解的存在性与唯一性直到本世纪五十年代，才有人把s c h w a r z 方法用于 计算，但未引起计算数学家的特别注意六十年代，k m i l l e r i i6 j 是最早把 s c h w a r z 方法用于计算的数学家，我国数学家康立山1 1 7 以8 】推广了s c h w a r z 方法 用于数值计算上唐维伯【】也应用数值解的渐进展开，论证了矩形上p o i s s o n 方程的s c h w a r z 交替法收敛速度与重叠域的关系1 9 8 7 年以后有关区域分解算 法的文献在数值分析核心杂志中逐年增多九十年代这一方法已经成为计算数 学的热门领域 区域分解算法就是把计算区域q 分解成若干子域磊= u 孬。，子域q j 的形状 ，= i 尽可能规则，于是原问题的求解转化为在子域上求解相比较于其他方法，区 域分解算法有更多的优越性： 1 ) 它把大问题化为若干小问题，缩小计算规模 2 ) 子区域形状如果规则( 如长方形) ，其上或者运行使用熟知的快速算法， 如快f o u r i e r 变换( f f t ) 、谱方法、f 方法等；或者已经有解决这类规则问题的 高效率软件备用 3 ) 允许使用局部拟一致网格，无需使用整体一致网格甚至各子域可以 用不同的离散方法进行计算 4 ) 允许在不同的子域使用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物 理实际情况 5 ) 算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行的 把自然边界元法同传统的有限元方法及区域分解算法结合起来，就产生了 基于自然边界归化的区域分解算法这种区域分解算法有重叠和非重叠两种类 型其基本思路是先引入人工边界，将原无界区域化为一个有界区域和一个规 则的无界区域，然后通过交替求解这两个子域上的问题来获得原问题的近似解： 有界区域上的子问题用通常的有限元方法求解，无界区域上的子域问题则用自 然边界元方法处理该方法的特点是：刚度矩阵就是标准的有限元刚度矩阵， 它是带状稀疏的；在人工边界的有界区域上直接应用有限元标准程序，而涉及 自然边界归化的计算又及其简单，因此大大简化了计算，显著的减少了计算量 1 3 研究现状 如今，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法在数学方面， 不仅在定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差 分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行 性和可靠性提供了理论基础在方法与应用方面，现在，边界元法已应用到工 程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规范化；对非线性问 题，其方法亦趋于成熟在软件应用方面，边界元法应用软件已由原来的解决 单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序 包发展 我国约在1 9 7 8 年开始进行边界元法的研究，目前，我国的学者在求解各种 问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，并且发展了相应的计算软件，有 些已经应用于工程实际问题，并收到了良好的效果 科学和工程计算中遇到的无界区域问题，数值求解这类问题一直是人们关 注的热点由于区域的无界性，这给数值计算带来了困难虽然经典的边界元 方法可以用于求解无界区域问题，但在实际处理上，涉及到大量奇异积分的数 值计算，计算量大冯康教授和余德浩教授首创并发展起来的自然边界元方法 【l 2 】【6 】1 1 2 】【2 0 - 2 2 】与经典的边界元方法相比具有独特的优点；易实现，数值稳定性 好，与有限元基于同一变分原理，可与有限元自然直接的耦合 近年来，有大量的文献都是有关与自然边界元法的内容目前，椭圆外域 上的自然边界元法的研究工作在调和问题中取得了很大的进展，如二维 h e l m h 0 1 t z 方程外问题【2 3 - 2 4 1 ，三维问题【2 5 】和各向异性外问题【2 6 1 ，且都对重叠和 非重叠区域进行了分析而对于接近于长条形区域边界形状的人工边界，如椭 圆或椭球外区域上的自然边界元方法的研究也有了成果【2 7 1 1 4 本文研究内容 区域分解算法具有具有很强的健全性和并行处理功能适合解决各类不规则 的区域论文的主要内容是根据区域算法的特点，将区域分解成两个区域，在 一个区域内使用有限元方法，在另一个区域使用边界元方法 第一章是绪论，主要介绍了自然边界元法和基于自然边界归化的区域分解 算法的大致情况以及研究现状第二章给出了相关的预备知识简述了口( q ) 空 间和s o b 0 1 e v 空间的某些概念，以及一些函数、公式和定理并给出了几个重 要的边值问题，研究了其解的存在唯一性第三章研究了平面无界区域上的区 域分解算法主要包括重叠区域分解算法和非重叠区域分解算法其中着重研 究了一种扇形无界区域外的重叠区域分解算法，构造一种分解该区域的方法使 得算法得以进行，分析了算法的收敛性，并对其进行了有限元处理第四章的 主要内容是半无界区域三维问题的区域分解算法这时候的区域是空间半球形 外的区域，在其上用的是非重叠区域分解的d n 算法，给出了离散情形的d n 算法并分析了它的收敛性这种方法对于实践的科学和工程问题的求解非常有 效，并能缩小计算规模 论文采用理论分析，公式推导等研究方法在前人研究成果的基础上，在第 三章和第四章中研究了某些特定区域上的二维和三维问题的区域分解算法论 文首次对这种不规则的区域进行了研究，得到了较为满意的结果，也有较好的 应用前景，同时提供了思路，丰富和发展了区域分解算法的研究和应用领域 第二章预备知识及相关理论 2 1 引言 在研究基于自然边界归化的区域分解算法时，需要涉及一些概念、引理、 定理和公式为了方便查阅本章第二节将逐一给出三。( q ) 空间和s o b o le y 空 间的定义及其定理第一类的b e s s e l 函数及第一类球b e s s e l 函数几种 p o i s s o n 积分公式，p o i s s o n 边植问题和椭圆型方程边植问题 2 2 ( q ) 空间和s o b 0 1 e v 空间2 8 1 2 2 1 p ( q ) 空间 设q 是只”的有界开集，用x = ( 西，) 表示足”中的点，e ( q ) 表示q 上由可 测函数构成的等价类，即视几乎处处相等的可测函数为同类函数，对1 p 定 义函数空间 口( q ) 垒 甜e ( q ) ：上i “i p 出 o ，f _ 1 ，2 ，m ，a = 1 则 f = l l l 石厶l l 竭i zi l n l i 厶i i s c h w a r z 不等式当p = g = 2 时，h 0 1 d e r 不等式为 0 厂g q ) 訇i 川r ( q ) b ) 定义2 2 1令区域qc 掣，d ( q ) 或c 芋( q ) 表示q 中具有紧支集的无穷次可 微函数( c 。函数) 的集合 d ( q ) = 似c 。( q ) ：s u p pz ，c c q ， 即对“d ( q ) 在q 内具有任何阶连续偏导数而且在q 的边界破上 d 口“k = 0 ( 0 q 口l 0 i l x0 y c i i x i i x ，v z x 该定理的意义就在于l l 矗一x 虬专0 毛专x 则有i l 一圳y 兮。矗一x 定理2 2 3 ( 迹定理)存在c 肼= c d 珊f o ，使得 1 l 缈i i o 锄ci | 伊l i l p ， v 伊c 1 ( q ) 定理2 。2 4 存在c 埘= c d 邶f o ，使得 l l 1 ，| i o ，船cl i 矽l i 器i i 矿i l ：釜，v v h 1 ( q ) 定理2 2 5 对于，存在c m = c d 船f o ，使得 l l ，f l o p ，锄c l | ，i l 鼢i l 缈l f l ，v ，1 p ( q ) 关于迹算子，有下述定理 定理2 2 6设区域q 具有线段性质，则 ( i ) ，( ) = 磁( q ) ， ( i i ) 的值域日2 ( m ) 是r ( 孢) 的一个稠密子空间 对于日吖2 ( 铀) ，定义 们，施2 ，! 骶， l ，o p 2 则l i | | l ，2 铀是日2 ( a q ) 上的一个范数，切在此范数下“2 ( a q ) 是一个b a n a c h 空 间 上述几个定理证明见 3 0 注：几个定义【2 9 3 0 j 对偶空间：片u 2 ( a q ) 的对偶空间记为日1 陀( a q ) ，其范数为 弘+ 日加( 施) ，悯k = s u p 掣 e h “( 讹) l i l i l 2 m h 1 ( q ) = 矽1 2 ( q ) 磁( q ) 的定义：砩( q ) = 丽q 、： 1 ，日1 ( q ) ：1 ，：o ) 焉( q ) 的定义：硪( q ) = v 日2 ( q ) ：，= o ，托v = o 广义导数：设“，为q 上局部可积函数，若 l z d 口础= ( 一1 ) z n ，出，v 妒c ；( q ) 成立，则称1 ，为“的口次导数其中 d 口= 卵砑，e = 詈，口= ( ，) ，i 口l - 2 。 c j 1 g r e e n 公式：1 ) “或v 出= 一a 。“眺+ l 洲坼d 仃，i = 1 ，2 ，n 2 ) l 融删咖出= 一厶“吡+ l 考谢盯， v “日2 ( q ) ，v 日。( q ) 3 ) l ( “一甜 ，) 出= 一( “a ，1 ，一1 ，a ，”) d 盯， v 材，1 ，日2 ( q ) 4 ) l “v 出= l 2 “诎一l a ，材谢盯+ l 甜a ，谢盯， v 材日4 ( q ) ， 1 ，日2 ( q ) 定理2 2 7 设最( q ) ( 七o ) 为q 上次数七的多项式全体，= d i m 最( q ) ， 又设z ( 形，p ( q ) ) ，f = 1 ，2 ，p 【1 ，叫，使得z ( g ) = o ，v l f ，g 丑( q ) 时， 就有口：o ，则存在厶= c d 瑚f 0 ，使得 f | vf i “，p ，n c r q i1 ，k + ，p ，o + iz ( 1 ，) i ，v ，形+ 1 ，p ( q ) i 宣l 这个定理也可以换一种说法：如果形p ( ( 七1 ) 上的有界线形泛函厶，岛，k ， 对于任何次数七一1 次的任何非零多项式不同时为零，则模i i k p 皿与 i “b 皿+ i 厶 ) i 等价，即j 常数盯， o 使得对v “幻( q ) 都有 ，= l 口【i ”k 积q + l 厶( z ，) | 】qj 甜 n 所i2 ，i 。，p 皿+ i 厶( z ，) i 】 2 3 若干函数和边值问题 2 3 1 若干函数【2 9 1 第一类b e s s e l 函数，即为b e s s e l 方程x 2 y ”+ 砂r + ( x 2 一v 2 ) y = o 的解： 抛) = ：霎志( 妒， 协) = 姜( - 1 ) 7 志铲” 第一类球b e s s e l 函数，即为球b e s s e l 方程x 2 y ”+ 2 砂+ 【z 2 一砸+ 1 ) 】少：0 其中一个 蛳加唇善趴 1 e g e n d r e 多项式： y = 乃( x ) = 委( - 1 ) 七面矗一- 2 七它等价于一种微商形= 0二l 厅：v 一托，：v 一二托j ： 式( r 。d r i g u e s 公式) p f ( x ) = 南刍( x 2 1 ) ， 连带l e g e n d r e 函数y = p _ ( x ) = ( 1 一x 2 ) 詈竺塞掣( o 聊z ) 它等价于下式 ( r o d r i g u e s 公式m = 南( 2 声筹_ 1 ) ，) 2 3 2 边值问题 几种p o i s s o n 积分公式 时= 吾萋驰胤盯1 删n 警如警圳础， 如期= 吾善啪；r ，s 抽警s m 警硼： 甜( ，p ) = ( 秒) = 去r ”【艺g l “饯，扫) c 。s ( p p 少( p i ) 】柏， 甜(，驴)=兰竺乏芝竺r疗i瓦_i瓦兰曼差丢妒，硒 p o i s s o n 边值问题 p 。is s 。n 第一边值问题j 一“= q 中： 【甜2u ， 斑2 上 f 一“= 厂，q 中， p o h s o n 第二边值问题 丝：g ， a q 上 l d 疗 f 一“+ g “= 厂，q 中， h s o 傅二边值问题 皇砌- g ，触上 二阶椭圆型方程边值问题 考虑如下问题 盛坳吖爱 亿3 ， lzx il i 甜= 0 ， 施上 ” 其中6 p ( q ) ，6 o ，厂r ( q ) 下面导出其对应的变分问题v ，磁( q ) ，由g r e e n 公式 鼬刖融+ l 6 融= l 触 令 口( ) = 肜砌删+ 6 融 ( 2 3 2 ) 则若甜是原微分方程边值问题的解，“必满足下述变分问题：甜叫( q ) ，使得 口( ) = 触，v v 磁( q ) ( 2 3 3 ) 反之，若“是( 2 3 3 ) 的解，则仍然用g r e e n 公式， ( 一“+ 6 “一门诚= o ，v v 或( q ) 由于d ( q ) 在职( q ) 中稠密，从而 一”+ 6 ”= 厂，在d ( q ) 中 即方程( 2 3 1 ) 在分布意义下成立，因此从广义解的意义上，( 2 3 1 ) 等价于 ( 2 3 3 ) 现在来考虑( 2 3 1 ) 的解的存在唯一性由p o i n c a r e 不等式可见 口( 则) i 跏1 2 出爿，c v v 硪( q ) 即口( ，) ( 2 3 2 ) 是磁( q ) 椭圆的，又 i 口( 甜，v ) i r ，p ( o ，口) ，r = ( 尺，l p ( o ，口) ， r ，= 驴，o ) l ， r ) ，r ：= ( ，口) l ， r r 问题( 3 2 1 ) 的解甜在无穷远处满足条件l i m 甜= o r ( 3 2 1 ) 此时问题( 3 2 1 ) 解满足表达式如下： 时娜= 吾善叩娜f 础舢i n 警幽譬加蹦，州( 3 2 2 ) 及 豢= 一奇薹乙f 则s ；n 警面n 警拶 2 3 ， 詈= 参茎乙r 郴s t n 警商n 等拶暑砌( 踟) ( 3 2 4 ) 其中q ，乙的取值详见 3 8 ，( 3 2 2 ) 为p o i s s o n 积分方程( 3 2 4 ) 称为自然积 分方程 3 2 2s c h w a r z 交替法 对区域q 进行如下处理： 用半径为尺和r ”的圆狐r 和r l i 包围r 俾 r ” r i ) 记 q l = o ，们ir ， r ，o 9 口，p ，9 ) q ， r l = ( ，o ) f r ， r ) ) ，r 2 = ( r ，口) l r ， 尺，o r ” ， q l i = q ln q ；，q 1 2 = q ln q 2 ，q 2 2 = q 2n q i 其中q ；表示q - 的补集( f = 1 ，2 ) r l 构造如下s c h w a r z 算法： 给定初值“o 日1 ( q ) ，甜2 川，“2 m ，厅= o ，l ，分别满足 缸2 州+ 励2 州= o ，q 1 内， 甜2 ”+ 1 = 0 ，r l u r 2 ， 掣：岛 r 上， - 2 g ， l 工 ” “2 舯1 = “加， r 上 ( 3 2 5 ) f 钟2 斛2 + 肛2 肿2 = o ， q 2 内， 长o ， 裟2 吐 2 l “2 胂2 = “2 肿1 ， r ”上 ll i m 甜2 2 = o l ，卜p 求解( 3 2 5 ) 时可采用有限元法，而问题( 3 2 6 ) 实际上并不需要求解，因为只需 要知道r 上“2 州的值，“2 棚可以用p o i s s o n 积分公式( 3 2 2 ) 得到易知 “2 ”日1 ( q 2 ) ，”2 州日1 ( q 1 ) 延拓“孙，“2 州如下： 1k = “知， 及 “2 ”b = 甜2 川 于是有甜2 州一甜2 ”联( q 1 ) ， 甜2 肿2 一甜2 1 尉( q 2 ) 令 口( 州) = 珑( “，力= ，( 砧v y 一肋删p ， - p 协 问( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 可以表示为如下的变分形式 jd q i ( 叱m ) = o ，v v l 磁( q 1 ) ，( 3 2 7 ) l “2 1 一“2 “珥( q i ) 和 j 珑：( 材2 聃2 喵吃) = o ， v v 2 磁( q 2 ) ， ( 3 2 8 ) l “2 舯2 一材2 ”1 1 磁( q 2 ) 置y = 磁( q ) ，k = 磁( q 。) ，f = l ，2 用矿表k 的正交补空间，设气：y 一形，f = l ，2 ， 表示y 到k 按( ，) 的正交投影 则( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 可写为 巩。( “2 斛1 一材知，m ) = d b ( 甜一“孙，v 1 ) ， v v l k ， 岛： 加一材2 ”1 ，屹) = 一“2 ”1 ，v 2 ) ， v v 2 吒 进而有 甜2 ”+ 1 一甜2 “= 最( 甜一“2 ”) ， 刀o 材2 ”一甜2 ”一= 最( “一“2 ”一1 ) ， 刀1 ( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 0 ) 可改写为 ”