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关于有理插值函数存在性的研究 摘要 在有理逼近的研究中，判别有理插值函数的存在性显得至关重要本文给出 了判别一元切触有理插值存在性的一个充要条件及二元有理插值存在性的一个 充分条件全文共分四章 第一章概述研究背景及作者的主要工作 第二章叙述一元有理插值的定义，基本概念及相关定理，并分别介绍了用 l a g r a n g e 插值函数和n e w t o n 插值函数给出的判别插值有理函数存在性的判别 方法及两种方法的比较 第三章利用广义v a n d e r m o n d e 行列式在h e r m i t e 插值中的应用给出了另一 个判别一元切触有理插值存在的充要条件，该方法便于掌握，易于理解 第四章 首先给出了判别二元有理插值函数存在的一个充分条件并运用迭 加的算法写出在存在时相应的二元插值函数，之后又介绍了用l a g r a n g e 插值函 数给出的充要条件，比较得本章给出的方法具有一定的优越性 关键词：有理逼近有理插值切触插值存在性 迭加算法 r e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n a b s t r a c t o nt h er e s e a r c ho fr a t i o n a la p p r o x i m a t i o n i ti sv e r yi m p o r t a n tt od e t e r m i n e t h ee x i s t e n c eo fr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n t h i st h e s i sg i v e st h ee x i s t e n c e c r i t e r i o no fo s c u l a t i n gr a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n db i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n i t i sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eo u t l i n et h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t so b t a i n e d i nt h i st h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef i r s ts t a t es o m eb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r e m ，t h e n w ei n t r o d u c et w ow a y sd e t e r m i n et h ee x i s t e n c eo fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nu s i n g l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nf o r m u l aa n dn e w t o ni n t e r p o l a t i o nf o r m u l a f i n a l l y ，w e c o m p a r et h et w od i f f e r e n tw a y s i nt h et h i r dc h a p t e r ，b ym e a n so ft h eg e n e r a l i z e dv a n d e r m o n d ed e t e r m i n a t ，s a p p l i c a t i o ni nh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ，w es e tu pa n o t h e re x i s t e n c ec r i t e r i o no f o s c u l a t i n gr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；t h i sc r i t e r i o ni se a s i e rt ob em a s t e r e da n dt ob e u n d e r s t a n d e dt h a ne x i s t i n go n e s i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ef i r s tg i v et h ee x i s t e n c ec r i t e r i o no fb i v a r i a t er a t i o n a l i n t e r p o l a t i o na n di t sr e p r e s e n t a t i o nf o r m u l au s i n go v e r l a ya l g o r i t h m ，t h e nw e i n t r o d u c et h ee x i s t e n c ec r i t e r i o nw i t h l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n b y c o m p a r i n gt h e m ，w ea r r i v ea tac o n c l u s i o nt h a tt h ew a yg i v e ni nt h i sc h a p t e ri s m o r ef i e x i b l e 一 k e y w o r d s ：r a t i o n a la p p r o x i m a t i o n ，r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，o s c u l a t i n g i n t e r p o l a t i o n ，e x i s t e n c e ，o v e r l a ya l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得盒目g 王些左堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同t 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：崔吞蓉签字日期：如年；月；日 学位论文版权使用授权书 本字位论文作者完全7 解盒月b 些鑫堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 罡些超堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名碓蓉畚聊签名；该钆玲 签字日期：硒年易月； 日 签字日期：沙嘭年6 月；日 学位论文作者毕业后去向：盐诫、即犯雪阮 工作单位：；嫩诫t | 币氟辱阮电话：口引j 一跏哦i 甥 通讯地址：监碡黼南洛j 雩 邮编：船争”2 致谢 值此论文完成之际，我衷心感谢我的导师黄有度教授，本文是在他的悉心指导下 完成的。导师黄有度教授始终坚持严格教学，不辞辛劳，诲人不倦，给我留下了深刻的 印象对我的学习和工作产生了深远的影响，并将对我今后的教学研究带来积极作用。 在学习期间，我也得到了朱功勤教授、檀结庆教授、苏化明教授、邬弘毅教授等 给予的关心帮助，在此衷心的感谢他们 感谢我的2 0 0 3 级研究生同学马锦锦、严琴、侯萌萌、陈亚婷、孙倩、盛敏、张 伟红、杜炜、徐应物等给予的帮助。 还要感谢我的父母、亲人、朋友所给予的支持和帮助。 最后，要感谢评阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 他们在百忙中给予的批评指正。 作者：崔蓉蓉 2 0 0 6 年5 月于合工大 第一章绪论 1 1 研究背景 插值法是古老而实用的数值方法。一千多年前我国对插值法就有了研究， 并应用于天文实践。显而易见，人们不能每时每刻都用观测的方法来决定“日 月五星”的方位，如何通过几次观测所得到的数据来补足各次观测的间隔时间 内“日月五星”的位置呢，这就引出了插值法。 插值法是函数逼近的重要方法。在许多实际问题以及科学研究中，所遇到 的函数往往不便于计算或处理( 例如求导或求积分) 。有时函数f ( x ) 不能直接 写出表达式，需要根据实验观测或其他方法来确定与自变量的某些值相应的函 数值。例如给定了函数，( x ) 在【拉，b 】中互异的n + 1 个点的值厂 ) ( j = 0 , 1 ，聍) ，或 称为给出了函数的一个表，我们的任务就是根据这个表，寻求某一函数妒( x ) 去 逼近f ( x ) ，如果要求妒( x ) 在一处与，( t ) 相等，就称这样的函数逼近问题为插值 问题，称妒 ) 为f ( x ) 的插值函数，x t 为插值节点。也就是说，插值函数妒( x ) 在珂+ 1 个插值节点x t 处与f ( x i ) 相等，而在别处就让妒( x ) 近似地代替f ( x ) ，寻找这样的 函数p ( x ) ，其办法是很多的，伊( x ) 既可以是一个代数多项式或三角多项式，也 可以是有理分式。自然，选择妒( x ) 的函数类不同，逼近f ( x ) 的效果就不同。如 果选择的函数是代数多项式，就成为代数插值问题。关于代数插值的研究已有 很多。例如有l a g r a n g e 插值公式，a i t k e n 逐步插值法，n e w t o n 插值公式，h e r m i t e 插 值公式等。代数多项式的特点是运算简单不论是函数值的计算、微分、积分等 都能方便地运算，它的另一特点是在整个数轴上有任意阶导数，因此，在某种 意义下，代数多项式是逼近光滑函数的重要工具。事情又总是有两面性的，当 函数，( 力在某点a 附近无界，或当x - - h m 而八功趋于某一实数时，采用多项式 作f ( x ) 的插值函数，即使把插值点适当加密，插值效果仍然很差，因为：一方 面，多项式不能反映在某点口附近无界的函数性态，另一方面当x _ o 。时多项式 的值总是趋于无穷，但是有理分式 a x + b x 一矗 却能刻画在x = a 附近无界，又保证当x m 时趋向定值爿的函数的性态。这就 说明对于选取有理函数为某类函数的插值函数的研究是十分有意义的。 多年来，作为有理逼近研究重要组成部分的有理函数插值的理论及其应用 一直是计算数学领域中引人注目的课题。国际上关于有理逼近的研究成果十分 丰富，国内的一些著名的学者也取得了一系列有价值的研究成果( 详细内容参 见文献 2 ， 4 ，) 对于事先任意给定的插值条件，有理插值函数并不是总存在 的，而其他结果，诸如唯一性、算法、误差估计等，在叙述其结论时也总是假 定所讨论的有理插值函数是存在的，如果存在性问题得不到很好的解决，势必 影响这些结果在使用上的确定性。因此无论从理论上还是实际应用上，有理函 数存在性的研究都显然至关重要。在有理函数插值的研究中，之所以会出现有 理插值函数不存在的情况，是因为对于事先任意给定的插值数据点，相应的有 理插值函数的分子、分母往往会出现含有插值节点的公因子，从而使得该有理 插值函数出现不可达点，而这种情形在多项式插值中是不可能出现的，因而有 理函数插值比多项式插值要复杂得多，也困难得多。 1 2 本文所做工作的概述 关于有理插值的存在性的问题，已有学者进行了研究，并得到一些很的结 果，并给出在存在的情况下有理插值函数的表达式( 参见文献 1 3 ， 1 5 ) 。在 第二章中，主要介绍了分别运用l a g r a n g e 插值公式和n e w t o n 插值多项式来判断 有理插值函数存在的方法，并对两者进行了比较，第三章中，本文作者运用了广 义v a n d e r m o n d e 行列式在h e r m i 把插值中的应用( 文献 1 2 ) ，给出了判别一元有 理切触插值存在的另一种方法，在第四章中，作者又在文献 1 5 的基础之上给出 了一种新的算法即迭加算法，它可以解决用文献 1 6 中的方法不能解决的某些 二元有理插值问题，且运算具有较大的灵活性。 2 第二章一元有理插值存在性的研究 有理函数逼近的研究是非线性逼近研究领域的一个重要分支，在前面研究 背景中，我们已经阐述了研究有理函数插值的重要性。本章内容是这样安排的： 2 1 有理插值问题的一般提法，2 2 一元有理插值存在性的判别方法及数值例 2 1有理插值问题的一般提法 设( x ，y ，) ，i = 0 , 1 ，m + h 是与y = f ( x ) 有关的坍+ 胛+ 1 个型值点，其中 一( f = 0 , 1 ，m + 即) 互异，y ，= f ( x ，) ( f = 0 , 1 ，r e + n ) p ( 工) = q 工。，g ( x ) = 6 j 一，所谓 有理插值问题，乃是寻求有理分式函数 啪，= 鬻= 嚣舞 亿， 使之满足如下条件 她) 2 裂2 f ( x j ) , j 姐。 ( 2 1 _ 2 ) 并称，而，z 为插值节点，m = f ( x ，) ( f = 0 , 1 ，m + 聆) 为型值，式( 2 1 2 ) 称 为插值条件，式( 2 1 1 ) 中的。 ) 称为插值函数，厂( x ) 称为被插函数 首先，介绍一些相关的概念和性质 定义2 1 1 【1 1 下列两个有理函数 n = 鬻俨鬻 称为恒等，如果存在一个非零常数口，使得 p 2 ( z ) = 口p l ( z ) ，q 2 ( x ) = a q l ( x ) 并记_ ( x ) ；七( x ) 由( 2 1 3 ) 所示的两个有理函数_ ( x ) 与吒( x ) 称为等价的，如果 p 1 ( z ) q 2 ( x ) ；p 2 ( 工) q 2 ( x ) 并记为1 ( 工) ，2 ( x ) 显然，按上述定义所确定的“等价”概念是个等价关系，即 1 )，( 工) r ( x ) 2 ) 若1 ( x ) 屹( x ) ，贝0r 2 ( 石) ，1 ( x ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 3 )若 ( x ) 屹( x ) ，r 2 ( x ) _ ( x ) ，贝01 ( x ) 吩( x ) 其中_ ( x ) ，也( 工) ，吩( x ) ，( x ) 均为有理函数 定义2 1 2 1 1 l 一个有理函数是最简分式函数，是指把p ( x ) 与q ( x ) 的最大公 因子约去后所得的有理函数 命题2 1 1 t 1 1 两个有理函数1 ( x ) 与屹( x ) 等价的充分必要条件是，l ( x ) 与，2 0 ) 的 最简分式函数亏( x ) 与弓( x ) 相等 今后只要两个有理分式函数是等价的，则把它看成是一个有理分式函数 而不加以区别，或者说把互相等价的有理分式函数看成是一个函数在这个意 义上，有 定理2 1 1 【1 1 若有理插值问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 有解，则其解必唯一 一般说来，有理插值问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 是一个非线性问题但是当有理 分式函数，( 砖：粤掣是插值闽题( 2 1 2 ) 的解时，当然也有 g 【列 p ( ) 一f ( x i ) g ( 葺) = 0 ，i = 0 ，1 ，m + 肝， 即 ( r + 一l f - 1 + + a i x i + ) 一，( t ) ( 以群+ 一l 掣- 1 + + b l x j + ) = 0 ， i = o ，1 ，m + n ( 2 1 5 ) 它是关于未知数，c r e _ l , - - 玎l ，6 1 0 以，吃+ ，b l ，6 0 的一个线性方程组 方程组( 2 1 5 ) 与有理插值函数( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的关系由下面的定理2 1 2 做出 了回答 定理2 。l 。2 【1 7 1 有理插值函数( 2 1 。1 ) ，( 2 1 。2 ) 有解的充分必要条件是：线性方 程组( 2 1 5 ) 的任意非平凡解p + ( x ) ，g + ( x ) 在约去一切公因子( 即约化为两互质多 项式) 后所得的多项式4 ( x ) ，b ( x ) 仍然是线性方程组( 2 1 5 ) 的解 爿( ) 一，( t ) 曰( t ) = o ，i = o ，1 ，。，m + ”( 2 1 6 ) 为了给出便于应用的存在性定理，已有学者做了相关研究，并得出了一些有 益的结果例如n m a c o n 和d e d u p r e e 在文献【1 7 】中给出的有理插值函数存 在性的判别方法，其主要内容如下： 记口 1 x o蠢x ：y ox 。y a y o i x l墨x ；y lx i y ! 长y l ji；!；i； l x m 。nx 2 m 。，x ：。，y x m 。h y - n y 。+ ， 1 xx 2。一x4 yx yt t x y ( 2 1 7 ) 若不恒为零，则有 定理2 1 3 【1 7 1有理插值问题( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 有解的充分必要条件是各个矩 阵40 = 0 ，1 ，+ 玎) 是非奇异的。 其中：a 是矩阵 彳= 1 x ox 0 2 式。y qx 。x y a 1 而x ?矸m而乃 矸m 1 x 。h nx 2 m h x m m - 。i ny 。x m 。n y 。东。y m h ， ( 2 1 8 ) 去掉第i 行后余下的元素按原来的结构次序组成的矩阵 若卢恒等于零，则有 定理2 1 4 【1 7 1 若对i = o ，1 ，m + n ，4 的秩是一个常数，则一定存在有理 函数0 。= p q 满足插值条件( 2 1 2 ) 上述定理的优点是根据型值点可直接判断有理插值问题解是否存在，但 是计算量比较大，因为要判断满足插值条件( 2 。1 2 ) 的有理函数。= p q 是否存 在需要计算m + n + 1 个仰+ n ) x + n ) 矩阵的秩 另外，还有一些其他的方法来判断有理插值存在的条件，并给出了相应的 有理插值函数( 参见文献【1 8 】，【1 9 1 ) ，虽然有上述一些结果，但总的说来，对有理函 数插值存在性的研究还不多，在下一节，我们给出了分别利用l a g r a n g e 插值公 式和n e w t o n 插值公式，判断有理插值函数存在的代数方法，并在判断出该有理函 数存在时，给出其具体表达式 2 2 一元有理插值存在性的判别法则及数值例 我们知道，多项式l a g r a n g e 插值是适定的( 参见文献 2 0 ， 2 1 1 ) ，但有理插 值函数却未必存在( 参见文献 1 7 ， 1 1 ) ，到目前为止，有理插值方法已有许多算 法，比如s 协e r 算法，砌把删到差商算法，舶胁r 算法及肌。他砖算法等( 文献 1 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 4 ) ，但是没有类似于多项式l a g r a n g e 插值的能够揭示插值结构的显式 插值公式，下面内容就是运用了j 已昭m ，舻插值公式给出判断有理函数插值函数 存在的充要条件具体内容如下： 记矿 1xo z 孑” 1 x l x i m + “ 1 x ，+ 。 x ： v = ( ，巧，+ 。) ，v = w b l ( ) ： 蜡：。 ，( i = 0 ，1 ，r ，m + n ) 引理2 2 1 “” 设p ( x ) 是在处以咒为函数值的一元次插值多项式， ( i = 0 , 1 ，- - ，n ，n = m + 玎) ，贝0 有 nk p 。( x ) = ( 垆y ，) x 。， 定理2 。2 1 】卵满足有理插值条件( 2 1 2 ) 的有理函数( 2 1 1 ) 存在的充分 必要条件是，如下方程有全非零解( 即存在一解，其所有分量都非零) 6 揣。b o ) 6 墨。b ( o y 0 6 黝i y 0 6 黝2 y 1 6 乳 y l b 氍2 6 ：? f 6 ：鬈” y 。+ 。6 ：= 砷 y m + n b i n 。+ 2 ”1 y o b 戮y 6 搬。y 。+ 。6 z ：” 叩。 如果方程组( 2 2 1 ) 的全非零解都存在，且( ，确，。) 7 是其一个全非零解，则 函数，( x ) = ( b t ( “y 。叩，) x 7 上二生三一 ( 6 f 叩。) x 。 6 y鲜 。 = cxc 。 = )0 p 即亦 是满足插值条件( 2 1 2 ) 的有理插值函数 例1 试求满足插值条件r l , l ( 一1 ) = 5 ，_ ，( o ) = 2 ，1 。i ( 1 ) = 3 的有理插值函数 。2 糍 解有题意得令x 。= - 1 ，z t = 0 ，x 2 = 1 矿= i 噬” m 噬1 1 0 矿：l 一1 2 1 2 编 研 珑 - 1 2 1 2 k 一2 编 吼 珑 = 0 叩制* 3 卜 取f = 3 ，则得到一个全非零解卵= ( 一1 ，1 ，3 ) 7 故有定理2 2 1 知 毒= y i r ，a = 0 , 1 ，2 ) 得善= ( 一5 ，2 ，9 ) 7 ， ，、善。( 萎。6 f y 肌) x 。2+7 x 亿“2 专蕾丽b 2 等昔 ( f 叩，) x 。 1 + 一 例2 试求满足插值条件r 1 1 ( 0 ) = 1 ，1 。，( 1 ) = 0 ，1 。( 2 ) = 0 的有理插值函数 ，1 ( x ) = 螋f l o + f l , x 解由题意得令= 0 ，x 1 = 1 , x 2 = 2 矿= l l00 3 221 2 l 211 2 鞠 加执如 。l = 1j 2 2o l 1i 1 o i l 一 矿 1lllllllllj 0 l 4 o 1 2 舫 y o 矽篇，硼2 12-1l12 1 罐 则方程组1 醪m 醒兑矽j i3i oj i ：? 玎制* 卜 = 0 由于方程组的解不是全非零解，故由定理知此时的_ ，( x ) 不存在 该方法存在的问题是如果要增加一个新的节点，矿。则需要新计算，不便于 应用，而在文献 1 5 中，作者运用了n e w t o n 插值多项式，对上述方法作了很多改 进，使其计算更加简单、快速 主要内容如下： a - o ( x ) = 1 设( 2 2 2 ) i ，( o = ( x x o ) ( x x i ) 一( x x 一1 ) ，j = 1 ，2 ，m + ，z 及y 的逆矩阵 其中 v = 矿= 10 1 q ( 薯) 1 m ( 如) 1 q ( + 。) 0 o 吐( 屯) 哆( 靠+ 。) 0 o o k + 。( z 。+ 。) 00 0 d t ”0 0 醌d 2 。识职吣 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) = 瓦1 丽，州。) _ i 。q ( _ 碰，) ：2 上，后：，+ l ，m + 竹；- ，：o ，1 ，m + n x 1 一x k ( 2 2 5 ) 引理2 2 2 “” 设q n ( x ) 是在t 处以咒为函数值的一元次插值多形式， ( i = 0 , 1 ，n ，n = m + 聆) ，贝0 有 nl g ( x ) = 吼+ ( q 。渤( z ) ，= li = 0 定理2 2 2 “”满足插值条件( 2 1 2 ) 的有理分式函数( 2 1 1 ) 存在的充 分必要条件是方程组： o ) 。d n ( 十o ) 2 勰 儿碟 乩端 删 + ，碟+ 1 1 + 。d 裟+ 1 1 ： 识m 础。y m + ，碟+ l 芝2 ： d ( n + 2 碟：种 此+ ：碟：2 ： + ：碟：”y m + 。碟：帕 存在一组解【q 0g l ，一，q 7 满足吼0 ，k = 0 , 1 ，m + 竹，且 r ：里盟： q ( x ) g o g o + 薹( 喜 + 塞f 圭 t = i j = 0 0 ，l ，m 碰”y i q ，l q ( x ) 其中吼= q ( x k ) ，k 讲。吼l q ( x ) g o 吼 9 2 ： q m + ” ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 定理2 2 2 不但给出了有理插值函数( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 有解的充分必要条 件，还给出了有理插值函数的表达式而方程组( 2 2 6 ) 的系数矩阵前m 行的元 素来自矩阵y ，后 行的元素也与v 。有关，而矿。1 中元素由递推关系式( 2 2 5 ) 算出不需要求逆矩阵，大大减少了计算量 用爿和s n , 示, t y n n ( 2 2 6 ) 的系数矩阵和解向量空间，设只是系数矩阵a 9 的第，列元素，并记 4 = ( 屈，届，局一岛+ p ，岛+ 。) ， ，2 0 ，1 ，m + n - 推论2 2 3 “”若d i m s = 1 ，则满足插值条件( 2 1 2 ) 的有理分式函数，( x ) 存 在的充分必要条件是：方程组( 2 2 6 ) 的任一组非零解【q o ，g l 一，g ，+ 。】7 均满足 吼0 ，k = o ，1 ) 1 一，m + n 推论2 2 4 3 设【q o , q l ，一，q m + 。】7 是方程组( 2 2 6 ) 一组非零解，若对某个 i o ( o f 0s ) ，有钱= 0 ，则d e t a = 0 该推论也可以表述为：对方程组( 2 2 6 ) 的一组非零解，吼，g 】7 ，如果 对i = 0 ，l ，m + 门，4 均是非奇异的，则吼0 ，k = 0 ，1 ，m + 玎，亦即满足插值条件 ( 2 1 2 ) 的有理分式函数0 。( x ) 存在 例3 已知x o = - 2 ，葺= 一1 ，屯= o ，x 3 = 1 ，x 4 = 2 ，y o = - 3 ，y l = - 2 ，y 2 = 2 儿= 一2 试求r 2 , 2 ( x ) 使之满足插值条件r 2 , 2 ( x ) = m ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 解 m = n = 2 ，由递推关系式( 2 2 5 ) 得 v ： 由定理2 2 2 解方程组 1 1l 三 一1 三 22 11 11 6226 1l1l1 2 46462 4 得其基础解系为 l _ _ 2 4 41 2 1_ 4 1 2 - 2 4 38 - 1 240 6_ 4l 1 280 68 _ 2 q o g l 吼 g | 七 。，芸，圭，；，- 7 ，t 为常数 取 吼，吼，g 】= 【2 4 ，1 1 ，4 ，3 ，8 r ，由定理2 2 2 知满足插值条件得有理分式函数 吃2 ( x ) 一定存在，由式( 2 2 7 ) 知 即 g ( x ) = 2 4 1 3 ( x + 2 ) + 3 ( z + 2 ) ( x 十1 ) ， p ( x ) = 一7 2 + 5 0 ( x + 2 ) 一1 2 ( x4 - 2 ) ( x + 1 ) r2：里盟：一2 2 ( 2 + 7 x - 6 x 2 ) 口( x 1 4 4 x 一3 x 2 直接验证r 22 ( t ) = y i ，i = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 第三章切触有理插值函数存在性的判别方法 3 1 引言 切触有理插值是类似于多项式中的h e r m i t e 插值的一种插值，即设己知 x 1 工2 - - ，) 再记口，行n + 1 列矩阵f 为 k = ( v 护) 。( 。)( v g ) 脚 嘶一1 j ；1 ，2 ，w c o o x l o o - c o1 x ；嘶一1 卜o 0- c ol x ；8 ，一1 卜1 00 c 。a 一- l il ( “。一1 ) “，一1 ) 1 2 c 0 n x n l 。q c _ x ? 。 c 妒，。x n 一” ( 3 1 2 ) 现在我们引进+ 1 行+ 1 列矩阵如下 矿：矿f 五，t 1 ： l 口l ，口；j k ： k 称v 为结点向量b ，) 与重度向量姣。，吼) 的广义 v a n d e r m o n d e 矩阵 下面设一，x 。互异，则由文献 1 2 3 知矿存在逆矩阵v ，记 矿= ( k “，k q 。1 1 ；曙“，疃”，曙“，曙4 1 ) ， ( 3 1 3 ) 且记矿) = 6 5 j 1 6 y ： 6 j ：； ( 1 j = 0 ，口，一1 ；i = 1 ，s ) 引理3 1 2 “2 1满足插值条件( 3 1 1 ) 的一元n 次多项式p ( 可表为 驰，= 啦! = ok ，= 1 勘t r = o 的斟7 ， 本文先针对a = 2 ( i = 1 , 2 ，j ) 的情形进行讨论，此时插值问题变成寻求有 理分式函数p ( x ) q ( x ) r ( m ，胛) ，m + n + l = 2 = 2 s 使得( 新舞l 卅，删 川，s ， 这时c s z ，可写为l = ： ( 3 1 3 ) 写为矿= 磴钟 卵0 ： 碟9 甜” 计” ： 拶 将口，= 2 ，七= 0 , 1 代入( 3 1 4 ) 式 疆鲫矿= 啦 舻 ： 6 6 6 j 5 ，1 ： 6 k ： ( 3 1 5 ) 10，j 3 2作者所得插值公式的推导 为了讨论方便，引入下列记号： f 玩，2 野：，玩川2r j j 2 i = 靠j = i ，j = 1 , 2 ，s l 邑，= 髟，善：川= 毛 p = 妒z + 矿，后：m + 1 ，肌州仁”一，。 【酽”= 6 ：f ，l z ( 3 1 6 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 定理2 3 1 满足插值条件( 3 1 5 ) 的有理分式r 。( 工) = p 肼( x ) 瓯( x ) 存在的充分必要条件是方程组( 记m + 阿= n ) b o o ) ： 6 i 0 ) 配攀 b ( i , 1 ) ： 蜊 配紫 硼0 醪1 b ( s , o ) j 6 瓦掣 i 磴0 o o o 0 0 0 ( 3 2 3 ) 存在一组解叩：慨，_ 2 ，玩。，_ 2 ，) 1 满足_ 2 川= 仉o ，j = l ，2 ，s 此时有 2 舞5 善 y j ，一 ( 3 2 4 ) 证明先证必要性设存在有理分式函数r 。，。( x ) = p m ( x ) q 。( z ) 满足 插值条件( 3 1 5 ) ，记 轨= 幺( _ ) ，斫= 贬瓴) ，孝。= 匕( x ) ，告净咒( x ) ，i = l ，2 ，s 由( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 知 1 4 拭 百 磷 。脚 ；闽。脚 j l r 一琉一巩一仉一玑；一玑一玑 m u h 啦 螂；啭礤醪 、rkr， 一毒一触|绣一烈 l 一* 6 6 ，童i，mn旦h目，、【rfl q=n2s1i-0 1 = 1k - - 0 警卜7 q ( z ) = 等滓7 ij nf2 j 1 亨( t ) 1 p m ( 垆l = 0 善k = 0 旨严7i 毕1 二j 隰酽m 警- o ，扎， 12 。i彳( t ) ( 3 2 5 ) i 蕃酽昔划圳“， 且由文献 2 3 知( 3 1 5 ) 等价于孝，= 巴( x ，) = q 。( x ，) r 。( x ) = 玑z ，仉o ； ， 爿= e ，) = ( q 。0 ，) r 。( x ，) ) = 仇，+ 叩；，i = 1 , 2 ，s 陵掣朋警- o ，扎， 陡2 s1 矿警- o ，扎， 且_ 2 ，一1 = 协，= 1 , 2 ，s 此时方程组( 3 2 4 ) 存在一组解 叩= 瓴，玩，_ 2 。，_ 2 ，) 7 ， 满足玩一= 玑o ，= 1 , 2 ，s 这就证明了必要性 再证充分性 设即= ( _ ，_ 2 ，_ 2 。，- 2 。) 为方程组( 3 2 4 ) 的一组解， 且满足_ 2 川= 叩o ，= 1 , 2 ，s ， 记岛，= 玩五，+ 玩，五，邑川= 玩川 h ，= 1 ，s 其中 ，= ，兀川= 乃，_ ，= l ，s 黼绷式q = n 蕃2 s 矽i t - - - o，警卜， fi = lt；n科f 。，、占j3 土、互( t ) 匕。荟 荟杰k = o 铲”警卜7f = u 【i - 1托：l 由( 3 1 4 ) 知 q ( _ ) 2 玩川，g ( 善- ) 2 锄，只( x ，) = 磊h ，e - ( 一) ：磊，：l ，2 ，j 又因为，7 满足方程组( 3 2 3 ) ，即 f 喜耖竹警圳b ， f 善2 s 矿，擎砘b 小 。s ， l ，= lk = o厅! 。 由式( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 知式( 3 2 6 ) 化为 蕃2 s 驴i ”警她“， 隰2 si 秽警：o ，l ，- 一， 由此可知观埘，c 3 0 k ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 定理3 3 2 ”3 满足插值条件( 3 1 5 ) 的有理分式r 。( x ) = 只( 工) 或( x ) 存在的充分必要条件是方程组( 记m + ”：n ) 2 0 。啦。识 - 等” 站“硝 礤一 对“秽， 一 仉 ： 一 硅n ( 3 3 9 ) u 拈舞= 瓣 慨叭。， 例2 设 厂( x ) = s i t l 等，葺= 一l ，恐= o ，屯= l 求胄单( x ) = p 3 ( x ) q ： ) 使之满 足插值条件r ”( t ) = f ( x ，) ，r 3 ，：( 工) = 厂) ，i = 1 , 2 ，3 显然f ( x o ) 2 工= 一1 ，z = o ， = 1 ，石= o ，石= 詈，刀= o 首先写出矩 阵v 和v 由 知 v = c o o ( x ) = 1 ， q ( x ) = ( 工一x o ) o j o ( x ) = ( x 一) = ( x + 1 ) ， c o = ( x ) = 一x o ) 2 = 0 + 1 ) 2 ， 鸭( x ) = ( x x , ) o h ( x ) = x ( x + 1 ) 2 ， c o a x ) = ( x x o ) 2 ( z 一五) 2 = ( x + 1 ) 2 x 2 ， a , a x ) = ( x x 2 ) c 0 4 ( x ) = ( x 1 ) ( 茁+ 1 ) 2 x 2 1 01 111 ol2l 12 44 4 0l4 81 24 识；础观；秽础秽础；秽 v = l 01 一l一11 2 1 2l 一三一三11 三 424 三三 o1一三1 4444 由式( 3 3 8 ) 求出刃“，写出方程组( 3 3 9 ) 解之得 显然有 2l一2l00 一三一一11 1 土0 424 三一101 一三三 4444 三一1 一一7 o 一10 42 2 4 一三一一1 兰。一三土 吼 坑 研 啸 瑰 嗡 吐篆， 点，o ，罴，卜为任意蝴， = 万一2 ，哺= 1 ，吼= 7 t 一2 均不为零，有定理3 3 2 知满足插值条件得有理 分式马：( x ) 存在，由式( 3 3 1 0 ) 得 q 2 ( 功= ( 万一2 ) 一2 ( 万一3 ) ( 苫+ 1 ) + ( 万一3 ) ( z + 1 ) 2 ， b ( 上) = ( 2 一万) + 2 ( 厅一3 ) ( x + 1 ) + ( 4 一石) ( x + 1 ) 2 + 0 5 ( 石一4 ) ( x + 1 ) 2 工 故马：( x ) = g ( x ) q 2 ( x ) 即为所求 可以验证该结果与例l 结果是相同的 第四章二元有理插值函数存在性的判别方法 二元有理插值问题是一元有理插值的自然推广由于点集的复杂性，它比一 元情形复杂得多，文献 1 6 ， 7 分别给出了判别二元有理插值函数存在的充分 条件，并给出了相应的有理插值函数，本文则是在文献 1 5 基础上也给出了一个 判别方法，并运用了迭加的算法写出二元有理插值函数的表达式该方法具有较 大的灵活性，更便于实际应用 4 1 引言 设给定插值结点 = r ，乃) ( t ，乃) r 2 , j = o ，1 , - - - , m + n ；i = o ，1 ，m + l q 一办 共有塑生旦生攀个结点，称兀为三角形网格，其中x 。 t 靠+ 。 咒 + 。 问题：己知鱼生兰生掣个不同点( b 乃) ，以及相应的函数值厶求作 二元有理函数r ( 以y ) = 舍篆宝，其中( 五y ) ，。( y ) 都是关于墨y 的多项式，使之 满足插值条件： r ( x iy ，) = 厶，j = 0 , 1 ，一，m + n ；i = o ，l ，一，m + 订一j ( 4 1 。1 ) 我们先引入下列记号： i = 1 【q ( x ) = ( x x o ) ( x 一工i ) ( x x j 一1 ) 1 0 1 q ( 玉) 1 q ( 恐) 1 q ( + 。) 及哟逆矩阵 矿= 0 0 0 0 0 ) 2 ( x 2 ) 0 a h ( x , + 。) k + 。( + 。) 穰0 00 研讲“0 0 d 黑础。z 碟 2 3 ( 4 1 2 ) 经过计算，我们得到下列递推公式 d 。( k ) - 叱( 叱( 咿冉( _ 一置) 碰，) ：2 上，七：，+ l ，m + 门；，：0 ，1 ，”+ 玎 x j x k 记& 表示次数确多项式集合，且心“x ) = 詈：p 乙，g 瓦 。) 引理4 1 1 “”满足插值条件r ( x 。) = 以，k = 0 , 1 ，埘+ r t 的有理分式函数 ，= 存在的充分必要条件是方程组： ： d 3n 2 d y o d 墨 儿d 墨 ： 蜘d 黑 d 嬲 y m + l d 黯” + l d 器” y m + l 碟+ 1 y d 然帕 存在一组解 g o 川1 ，一，q 】7 满足吼o ，k = 0 , 1 ，m + h ，且 ，f x l ：塑： g ( j ) mrk + 善l 善 月， + 蕃【委 0 ，1 ，- m d 7 ，g ，k ( x ) 其中吼= q ( x 女) ，k g o 吼 9 2 ： g 。 4 2 本章主要结果 现要求出满足插值条件( 4 1 1 ) 的有理函数r ( x ，y ) ，给出如下迭加算法 为了叙述方便，将已知数据排成如下矩形 2 4 辨哆砝 帆 唧：州 y y ，伸川 m 戤愀艘；假 d m n m ) x (k 扛 、 go 肮 d + x ox lx 2码x y o氐z 。厶厶 厶。 ) ，】 。； ，六。 厶一l l y m ”l厶，卅+ h ； y m ，o - 卅+ ” 记国，( y ) = ( y y o ) ( y y 1 ) - ( y y j - i ) f = 厶兀厶 。 厶。 矗。彳，五磊。厶+ 。， 五。石。 。 矗。 ( 4 2 1 ) 不妨设f 的行数从0 开始计算 第0 步：f 的第。行元素不变，记为f ”，i = o l 1 一，m + 聆； 第1 步：f 的第1 行各元素由掣替换，记龇，f = o ，1 ，研+ 玎一1 ； ql mj 第2 步：f 的第2 行各元素由立量粤暑塑丝逻替换，记为昕n ，f - o ，1 ，埘+ 雄一2 ； 哆【咒) 第所+ n - - 1 步：f 的第m + 珂一1 行元素由 立