（计算数学专业论文）求解抛物型微分方程的多尺度扩充法.pdf

求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 专业：计算数学 硕生：张力维 指导老师：陈仲英教授 摘要 本文讨论疫耀多尺度扩充簿法求鳃撵物鍪徽分方程裙边傻溷邂。 首先，我锅回灏了一鳌解抛物黧方程的数德方法。然后，阐述在嘴( 0 舯 空间羹多尺度标准或交基的构造。最后，廉用分片二次多项式魏 h ；( o ，1 ) 一标准杰交墓，把多尺度扩宠方法威用到求髌一维抛物罂方程 第一边僮闷题。数值冀爨藏示7 这耱诗葵方法的快速有效性，给出了 准确酶近骰解。 本文共分三章，第一章为绪论，简单介绍抛物方程的背景与发展， 露时分绍了求瓣算子努程懿多尺度扩充方法。 第二牵霞颥了现今解擞物方稔的两种蘩零数值方法，有限差分法 和有限元法。 第三章阐述了如侮运用多尺度扩充方法采解撼携方程，其孛怠捂 多尺度小波基黪梅造，最瑟还窍其镩黪算攒显示j 邀筹法静优越往。 关键谪；多尺度扩充方法，s o b o l e v 空间的多尺度标准正交基， 抛物型微分方稷。 m u l t i l e v e l a u g m e n t a t i o n m e t h o d sf o r s o l v i n g p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r ：c o m p u t i n g m a t h e m a t i c s n a m e ：l i w e i z h a n g s u p e r v i s o r ：z h o n g y i n g c h e r t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h em u l t i l e v e la u g m e n t a t i o nm e t h o d f o rs o l v i n gt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so f p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t l y , w e r e v i e ws o m em e t h o d s n o r m a l l y f o r s o l v i n g p a r a b o l i ce q u a t i o n s ；a n dt h e n , w ee x p a t i a t eh o w t oc o n s t r u c tm u l t i s c a l e o r t h o n o r m a lb a s i si n h ；嘲s p a c e s 。f i n a l l y , t h e m u l t i l e v e l a u g m e n t a t i o nm e t h o d si nc o n j u n c t i o nw i t ht h em u l t i s c a l eo r t h o n o r m a l b a s i so f p i e e e w i s eq u a d r a t i cp o l y n o m i a li n 瓤；鼯) 肇a sa r ca p p l i e dt o s o l v et h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep m b l e m so fo n ed i m e n s i o np a r a b o l i c e q u a t i o n 。n u m e r i c a le x a m p l e s s h o wt h a t t h e s em e t h o d sa r e c o m p u t a t i o n a l l ye t t i c i e n ta n dt h e yg i v ea c c u r a t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s k e y w o r d s ：m u l t i l e v e la u g m e n t a t i o n m e t h o d s ，m u l t i s c a l eo r t h o n o r m a l b a s i si ns o b o l e v s p a c e s ，p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 1 1 抛物方程简介 第1 章绪论 很多的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不 只受到一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，此时需 要引入抛物型微分方程来描述并求解。事实上，大多数的抛物方程都与某个实际 问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的。然而这样的实际问题大 多来源于物理学范畴，所以抛物方程也被称为一类数学物理方程，它从一开始就 是一门应用性极强的数学分支。数值求解抛物方程具有重要的理论和实际意义。 我们在考察空间某物体g 的热传导问题时，以函数“y ，z ，f ) 来表示物体g 在位置y ，z ) 及时刻f 的温度。依据传热学中的傅立叶试验定律和热量守恒定 律，我们可以推导出下面的热传导方程： 珊a 2 磐+ 熹+ + 肥y , z , t ) a f订+ 矿+ + ， ， ) 我们在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的 渗透，半导体材料中的杂质扩散等。我们可以导出同上面类似的扩散方程。这种 传导方程就是最典型的抛物方程。在这类热传导问题中也有很复杂的 g i n z b u r g - l a n d a u 方程。它具有十分丰富的物理背景和内涵，近2 0 年来特别引 人注目。例如b e n a r d 对流i l l ，t a y o r - c o u e t t e 流 2 ，平面p o i s e u i l l e 流 3 ， 化学湍流的问题 4 ，在非平衡态中的变相，等离子体中的漂移耗散波，以及在 发热的放电器中的电离波都能导致g l 方程。这些都是有非常重要实际研究价值 的问题。 如今，基于抛物型微分方程的图像处理是图像处理领域的一个重要分支，其 应用几乎覆盖了整个图像处理领域，包括图像分割、图像滤波、图像识别、动态 图像分析等等。除了热传导方程滤波器之外，利用非线性抛物方程进行图像处理 串垂丈学碛学像论文求解抛穆墼擞分方程髓多墨壅茎! 墨茎整 于近几年有了较多的研究。例如在 1 6 中把下面这个抛物方程作为最好的一类滤 波器用在图像处理中以满足多种要求的光滑性 j 詈一。删秘) ) l ”脚 ， l “o ，0 ) 一“。o 。 这令方程导爨了a m s s ( a f f i n em o r p h o b g l c a ls c a l es p 黼磅髯子，它满足了平移不 变、灰度平移不变、仿射不变、数学形淼学不变等多种不变性。 近三十多年来，抛物方程的数值理论和方法都有了很大的发展，而且在各个 科学技术的镁域中应鼹也燕来愈广泛。 1 2 抛物方程数值解概述 随着抛物挺微分方程的应用越来越广，抛物方程的数值解法也窝褥越来越重 要，很多科学技术问题的数值计算包含了抛物方程的数值解问题。抛物方程是十 玲复杂的研究对象，秘使燕线性豹方程，瞧荀鞋受杂裂缀难处理静穗发；至于菲 线性方程，大多还只能分茹针对各种具体闺题，提出个剐的解决办法。在这个过 程中，随着抛物方程研究的内容越来越率富，各种新方法不断涌现，不断丰富和 发展了抛物方程数值勰法戮筑的内容，磷翼尊也促进了谗多其它数学分支的发展。 懿今，撇褥方程主要存黼大解法：裔簸差分方法积宥限元方法。这两类方法 在应用上有不同的侧重，有限差分方法主漤集中在依赖予时间的f 司蹶，而有限元 方法列侧重予定态闯题( 攒煎型方法) ，能瞧可推广到樾物型方程。趱有限差分 法移舂陵元法酋先都要将连续溺题离散纯；对求解医域作弼格帮分，弼有隈个网 格节点代替涟续区域；其次将微分算子离敞化，从而把微分方程的寇解问题转化 为线性代数方程组的求解阅题。有限差分法和有限元法的主要区别楚璃教让的第 = 步。毒限熬分法是麸定鳞游麓豹镦分秘欷分形式出发，蔫数蓬该裔_ 嵇数值获势 公式导出相成的线性代数方程组。而有限觉法是从定解问题的变分形斌出发，用 r i t z - g a l c r k i n 筒法导出的相废的线性代数方程组，但慕涡数要按特定方式选取， 疆置稻祷统瓣r i t z - g a l c r k i n 法爨主要区溺在于，它应瑟榉象函数方法撬供了一耱 选取“局部蒸函数”或“分片多项式空间”的新技巧，从而在很大程廉上克服了 2 中山大学硕士学位论文 求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 r n z g a l e r k i n 法选取基函数的困难。 1 3 多尺度扩充方法简介 多尺度扩充算法自2 0 0 2 年由z c h 吗a n dyx u 在 5 】中提出来解包括第一 类和第二类的算子方程。这种方法是基于算子的像空间和算子方程的解空间的两 种直和分解，以及一种矩阵分割方法，来解算子方程的。这个方法还需要用到特 殊的多尺度小波基，来有效的解离散线性系方程组。这些扩充方法允许我们发展 快速、准确和稳定的数值算法解算子方程。特别地，对第二类方程，它提供了专 门的分割技巧来发展这种算法。这些方法被应用于求解使用多尺度方法的矩阵压 缩策略生成的线性方程组。对于这种算法，他们提出了计算复杂度和收敛阶的分 析。 本文继承了【5 】中的一般理论框架，将多尺度扩充方法应用于求解抛物型微 分方程初边值问题。我们修改了多尺度扩充法的理论环境，以便适用于解包含时 间变量抛物方程的g f l e r k i n 方法。多尺度扩充方法的应用还需要利用相应的 s o b l c v 空间里的多尺度标准正交基。为了这个目的，我们描述了在单位区间上 s o b l e v 空间这种基底的构造方法。这些基底在使用多尺度扩充法解常微分方程的 边界值问题上有很重要的作用。首先这些基底不是象有限元法中的基底是均匀剖 分，而是多尺度剖分，且在各剖分区间上是分片多项式。然而正是由于基底的这 个多尺度性导致了多尺度扩充方法具有特别的性质，使得相应的离散抛物方程的 刚度矩阵具有多尺度层次性。其中基底的构造应用了在【6 ，7 】中提出的通过压缩映 射族中在不变集e 上构造小波基的思想。然后我们结合构造出来的多尺度标准正 交基，来求解抛物方程。最后的数值算例显示了多尺度扩充算法在解微分方程时 是稳定的，快速的和准确的。特别是在解决大型问题上有很好的应用前景。 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 1 4 综述 总的来看。这些解抛物方程的方法中，有限元法的区域剖分很灵活，但计算起 来比较费时，而有限差分法的区域剖分是等距的，对于不规则区域的情形比较难 于处理。而这两种方法在剖分加细的时候，它们得到的相应的系数矩阵的条件数 会随规模的增大而变大，出现病态的情形。然而本文所采用的多尺度扩充方法相 应于上面两种方法有以下的优点： 1 随着剖分的加细，相应的系数矩阵的条件数不会增大，具有稳定性。 2 多尺度扩充方法在求解过程中采用了特殊的矩阵分割技巧，使得大大提 高了求解过程的速度。 4 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方迭 第2 章抛物型方程的两种数值解法 许多物理与工程的问题，要求数值求解抛物方程： 詈一a ( x f ) + 啦归他t ) ( 2 - 1 ) 上式中f ) g ，g 为z t 平面上某区域，在g 内，函数日严格为正，d 0 。就 维而言，通常考虑下列三种形式的定解问题： ( a ) 初值问题。此时，g 为带状区域( 一* 石 。o ) ( o t t ) 。若给出初 始条件 u l ，ol 妒 ) ，一0 0 工0 0 ，( 2 - 2 ) 则( 2 - 1 ) ，( 2 - 2 ) 构成初值问题( 或称c a u c h y 问题) 。 ( b ) 半无界域的初边值问题。此时，g 为带状区域o 0 ) ( 0 t ts r ) 给出初始条件 u l ，- 0 - 妒 ) ，0 。 将( 2 - 筠莰写势 或写成嘲爨形式 愆，瓣 7 一2 r a 6 7 u ；十“尸+ 引， “+ l - 2 ，撑( g 一2 ，) 甜+ 鞋1 十2 矿。( 2 - 2 5 ) 2 ，2 擞携方纛麴骞限元法 用麓分方法解偏微分方程，一般来说，解得的皱果就是准确解“在节点上的 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 近似值，而古典的变分近似方法，是将近似解用有限维子空间中的基函数来表示。 这种基函数，一般采用幂函数，三角函数等初等函数，又要求在区域的边界上满 足约束条件。如果是二维不规则的区域，则往往很难实现。以下我们要讨论的有 限元方法，也是基于变分原理，由于选择了特殊的基函数，使它能适应一般的区 域。这种基函数是与区域的剖分有关的，近似解“表示为基函数的线性组合，而 线性组合中的系数，又是在剖分的节点上或其导数的近似值。所以有限元方法 既是基于变分原理，又具有差分方法的一些特点，并且适合于复杂的区域和不同 粗细的网格。正是具有这些特点，6 0 年代以来，有限元方法得到很快的发展， 适应性也愈来愈广泛。在这种情形，通常是把时间变量t 视为参数处理，从而可 以采用g a l e r k i n 有限元法。 我们以热传导方程为模型介绍有限元法。 考虑热传导方程的边值问题 罢粤+ f ( x ，吐o ；z ；址，o ， 百。孑+ ，) ，o z 2 ，o ， u ( x ，o ) 一妒( 】0 ，0 s x f ， u ( o ，f ) - u ( t ，f ) 一0 , t ) 0 ( 2 2 6 ) 。 ( 2 2 6 ) 2 ( 2 2 6 ) ， 百先注葸，如果崮定t ，u ( x ，f ) e c 。，则 - 尝一五1 9 2 i u 一厂弘( 砂如一o ，v v ( x ) h ：，f ，o ，( 2 - 2 7 ) 其中h ：为s 。b l e v 空间。对粤v 利用分部积分法并注意边界条件( 2 2 6 ) ，则由 d x 。 。 ( 2 2 7 ) 导出 上e v + 罢罢一声地v v ( x ) h 扣，o ( 2 - 2 8 ) 如果对固定的t ，0 ，u ( x ，f ) h ：，且满足变分方程及初始条件( 2 2 6 ) ：，则 称“ ，t ) 是抛物型方程边值问题( 2 2 6 ) ，( 2 2 6 ) ，的广义解。 g a l e r k i n 方法或有限元法就以变分方程( 2 2 8 ) 为出发点。 设0 ) o ) ， ) 为h ：中一组线性无关函数，用k 表示由静，的线性 组合构成的子空间。所谓g a l e r k i n 方法，乃是求形如 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 ，f ) 2j 善1 z j o ) 妒j 。) ( 2 - 2 9 ) 的解，使其系数满足方程 上等v + 警罢一扣进乩巩啊，0 ( 2 - 3 0 ) 如此确定的0 ，t ) 就是( 2 2 6 ) 1 ( 2 2 6 ) ，的g a l e r k i n 方法近似解。 将h 。的表达式( 2 - 2 9 ) 代入( 2 - 3 0 ) ，得到 骞f 堕d tj ，o 妒，池t ，o 堕d x 尘d x 一上触一0 v v ，0 ， 或者，写成等价形式 专觏d t 啪出上警警妒j f ，识出| o ， ( 2 - s t ) i 一1 ，2 ，n 它是关于p ，o ) 的常微分方程组。 ( 2 3 1 ) 的初始条件可以由原初始条件( 2 2 6 ) ：给出。最常用的给法是按( 2 2 9 ) 定义的x ，0 ) 满足条件 上o o ，o ) 一妒o ) ) 识出- 0 , i - 1 , 2 , ，n 于上式代入“一o ，o ) 的表达式即得决定卢j ( o ) 的方程组 砉一，( 。疆乃仍出一j c 妒吼出，f - 1 2 ， ( 2 - 3 2 ) 解之即得p ( o ) ，从而得出初值o ，o ) 。善f j ( o 如- 记 肛( f ) - ( 肛- ( f ) ，以。矿， ，o ) - ，识出，l ，识出) 7 ， 并用k ，m 表示n 阶矩阵，其第f 行第，列元素依次为 警警妣一帆祝 显然眉，膨均为对称矩阵，而且还是正定的。事实上，对任何肛，据定义， 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 c 脚，一瓤警誓蝴一 一z e 轴竹，唼蠢即，皿 一j 0 z 百o u h 灿一阱， ( 脚，p ) 2 三“竹妒啪舭 。上( 善觚) ( 善邺，冲 j ： 一) 2 d x 一2 利用矩阵眉，m ，( 2 3 1 ) 式可以写成下列形式： f 坐+ 雄一， f233)dt 。 i i 七i n ( 2 - 3 2 ) 可以写成为 脚。一妒， f 2 - 3 4 ) 式中p 。p ( 0 ) ，缈。妒舻缸，。他) 这样一来，g a l e r k i n 方法把解抛物方程i b i s ( 2 - 2 6 ) 化为解常微分方程组 ( 2 _ 3 3 ) 。同时在特殊选取基函数妒时，就导出了有限元法。 n 节点o - x 。c 气c t h 一，t h f 将区间 o ，z 剖分成单元，- b ，。，x ，1 ， 并记h ，- 五一x 。取妒，0 ) 为由下式定义的山形函数： 仍 ) 一 此时( 2 3 3 ) 1 1 1 为有限元方程。 x x ： 1 + 了f 二，石一l x 。， 工一工= 1 。i 一，“甜+ l ，( 2 - 3 5 ) o 在别处 j 一1 , 2 ，一1 ， 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 容易算出 于是我们有 【) ，盟d x 堕d x 出一i 1 + i 1 ， l c 警警d x _ “l - 旦一警警d xf f i - 音， l c 等誓出m o , 当1 i ，埘， i 舾= 扣k a 2 3 l 一仍仍+ ，d r - 吉+ ，i 竹竹。- ：一。， 1 e 竹妒，出| o ，脚一加埘 1 + l i b 2 一l l h 2 m 。三 6 1 1 h ， l i b 2 + 1 h 3 2 ( h 1 + h 2 ) h 2 h 2 2 0 2 + h 3 ) 一l l h - l 1 k 一1 + l i b ” h 1 2 ( - l + ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) 特别当i l ， 时有眉一( 2 1 一c ) h ，m - 鲁( 4 j + c ) ，其中c 为我们所熟悉的矩阵 c - 矩阵置是刚度矩阵，m 称为质量矩阵。 当基函数取成( 2 - 3 5 ) 时，则有“，f ) 一胁( f ) ，因此，在这种情形初值取成 胁( o ) - 妒瓴) 是方便的。 我们这里讨论的是最简单的基函数，还可以采用很多其它的形状函数。 为了最后求得抛物型方程的数值解，必须求解常微分方程组( 2 3 3 ) 。然而注 1 6 。胁o 1 0 l 1 o 0 1 中山大学磁士学位论文 求解抛物型辙分方程的多尺度扩隽方法 意到，在有限元方法中矩阵置为病态矩阵，因此( 2 3 3 ) j 1 常是s t i f f 方程- 一般蘩 嗣豫式方法隶解。 最简单而且最常用的方法是改进的e u l e r 折线法，将其用于( 2 - 3 3 ) 的具体形 式如下。 膨学+ 置掣一耖“+ f 。( 2 - 3 9 ) 矿为p 以) - 卢 f ) 的近似值。当撼函数为( 2 3 5 ) 时，它是我们所熟悉的六点对称 揍式的变 摹。( 2 - 3 9 ) n - j 馥写失 三( 2 m + 试) 芦“l 一丢( 2 m 一尉) 矿+ 三( ，“+ ，q ( 2 - 4 0 ) 实际计熬时，先对发端矩阵作三角分解 委( 2 艏+ ) 。燃， 上 而每层的计算就归结为两步回代过稷： f1掣 | 秘“”一言( 2 掰一毽) 矿+ ；，“+ ， 1h 。 三，： ( 2 m ) i 船“1 一1 , “1 ” m ”叫 浚：( 2 - 3 9 ) 剃放2 3 3 ) 麴等徐辍分形式 j i f ( p “- p , ) - f “1 ( d q 雌) + ，( f ) ) 出 用梯形公式导出。我们还可以利用右矩阵公式导出隐格式以及与差分法中带权0 戆六纛格式懿黯应冀滚。 以上的有限元方法，完全使用于一般的抛物溅方程，包括多维情形。在一般 情形所得到的方程仍可写为( 2 - 3 3 ) 及( 2 - 3 9 ) 的形式，而m 及嚣为相应椭圆型方程 豹震爨雉簿爱嚣l 痰簌簿。 中山大学硕士学位论文 求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 第3 章抛物方程的多尺度扩充方法 3 1 简介 本章我们主要讨论抛物型初边值问题的多尺度扩充方法。在( 5 】中提出了一 种求解包括第一类和第二类算子方程的多尺度扩充方法。这个方法需要用到特殊 的多尺度小波基，来有效地求解离散线性方程组。本章继承了【5 】中的一般理论 框架，以及进一步发展了的解第一类算子方程的特殊形式( 参见 1 1 1 ) ，给出求 解抛物方程的多尺度扩充方法。多尺度扩充方法的应用需要利用相应的s o b o l c v 空间里的多尺度标准正交基。为了这个目的，我们描述了在单位区间上s o b o l e v 空间这类基底的构造。这些基底在使用多尺度扩充法解常微分方程的边界值问题 上有很重要的作用。首先这些基底不是象有限元法中的基底那样相应于单尺度剖 分，而是多尺度剖分，且在各剖分区间上是分片多项式。然而正是由于基底的这 个多尺度性导致了多尺度扩充方法具有特殊的性质，使得相应的离散线性方程组 的系数矩阵具有多尺度层次性。基底的构造应用y 6 ，7 】中通过压缩映射族。在 不变集昂上构造小波基的思想。我们结合构造出来的多尺度标准正交基，应用多 尺度扩充方法求解抛物型微分方程初边值问题。数值算例显示了多尺度扩充算法 在解微分方程时是稳定的，快速的和精确的。这种方法特别在解决大型问题上有 很大的优点。 3 。2 多尺度扩充方法 多尺度扩充方法解算子方程已经在文章【5 】中发展和分析。本节将针对微分 算子方程讨论这种方法，并使得这个方法能应用到数值求解抛物型微分算子方 程，成为求解这类问题的快速算法。 我们用h 表示一可分的h i l l ) c r t 空间，配有内积( _ ，) 和诱导范数”0 。假设r 是 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度哟法 一个从h 映到h 的线性算子，h 为已知。我们考虑算子方程形式： t u 一，( 3 2 1 ) 其中“e h 待求。假设算子r 有一种分割方法，r 可以写为两个线性算子a 和b 的 和，其中a 是r 的主要部分，b 是a 的扰动。于是，方程( 3 - 2 - 1 ) 可写为 4 “+ b u - ，( 3 2 2 ) 我们下一步描述关于算子a 和b 的假设。令v 为h 的子空间，它自己形成 一个h i l b e r t 空间，配有内积i ， 和范数，我们还假设v 到h 的嵌入是紧的。 我们需要算子a 是从空间h 的一个子空间到h 的线性映射，而且满足条件： c 日。) a 的定义域，用d o ) 表示，在范数l j 下，是空间v 的线性稠密子集， 也就是说 取面一v ( 日：) 双线性形式 a ( u ，v ) | ( v ，“) 在d ( - 4 ) x d ) 上是有界的，也就是说，有一个常数m ，0 满足对任意的 “，v d 口) i p ，a u ) ism n i v i ( 也) 算子4 是对称的，即 ( v ，a u ) - ( a v ，“) ，“，v d o d ) 并且是正定的，即存在一个常数口，o 满足对所有的v d 似) 有 d ，a v ) z - i v l 2 下面的引理在【8 】中已经介绍过。然而，为了方便和清楚起见，我们仍给出 完整的叙述。 引理3 2 。1 如果h 是一个h f l b c r t 空间，a ：h h 满足条件( 日1 ) ，) ，则彳能 够被唯一的延拓为定义在空间上v 的连续线性算予a ，且( j ) 一 ，4 】是v 上的 1 9 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 一个内积，它的诱导范数i i 等价于。 证明：对一个固定的“e d 口) ，从( 日：) 可以知道( ，a u ) 是v 上的连续线性泛函。 由r i e s z 表现定理，存在唯一一个元素y l u e v 满足对任意v e v ( v , a u ) - 【v ，五】 使用条件( 日，) 和( 日：) ，算子j ：d o ) 一v 能够被唯一延拓为v 上的一个连续线 性算子a ，且满足对所有的v e v l y j a “ s m m i( 3 2 - 3 ) 实际上，对任意的v ，如果h d ) ，我们令4 “一彳“；否则，因为在意 义下d o ) - v ，所以存在一个序列恤， c d 似) 满足在意义下“j 一，当 ，一m ，由假设僻：) 又可得到忸“ 在v 中收敛。所以我们能够定义 山- l i m t t u ，其中极限点a h 与恤， 的选取无关。很容易由( h ：) 和( 也) 证明 j _ 对所有的h 。v v ，有 v j a 胡一阻h “ ，o 2 - 4 ) 和 p ，加】a 口m 2 ( 3 2 5 ) 因此，0 ) 。- ，a 也是v 上的一个内积。由方程( 3 2 5 ) 和( 3 2 - 3 ) ，( j ) 。的诱导范 数l l 等价与f l 。证毕 现在我们转去描述算子丑的假设。我们假设算子曰满足下面条件 饵) b 的定义域，用d 佃) 表示，是空间v 在范数i f 意义下的一个线性稠密 子集，也就是说 丽- v ， 并且，还有 o ( a ) cd c 8 l 2 0 中山大学硕士学位论文 求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 饵，) 双线性型 b ( u ，v ) 一d ，b u ) 在某种意义下是有界的，即存在常数m ，0 , 0 t6s 1 满足对所有的“，v e d p ) 有 忙b “) i s m 例v 门m 下一个引理注意到算子口的紧延拓性。为了陈述这个结果，我们用v j 表示 跟空间v 一样的集合，且配有内积( ，。) 的空间a 引理3 2 2 如果算予彳和b 满足条件( 日。) - ( 日，) ，则b 能够被唯一的延拓为上 的一个线性紧算子。 证明：从条件( 也) ，v 到h 的嵌入性质和引理3 2 1 ，我们得到对任何一个固定 的“d p ) ，p ，b u ) 是上一个连续线性泛函，也就是说，存在一个依赖于m 的 常数c ，使得 似b u ) sc 乩，v v e v a 由r i e s z 表现定理，存在唯一的一个元素蠡，使得对任意的v 有 ( v ，丑“) 一( v ，面) 。 跟引理3 2 1 同样的方法，算子霞能够被唯一的延拓为定义在整个空间v 上的 一个连续线性算子足。而且足还是一个紧算子。为了证明这一点，注意到由( 日，) ， 我们有对任意的h ，y lv ，妇1t m 啡i “w 则存在一个常数c 使得 j k v l s u p l 0 ，k v ) 1 一s u p i p ，j 勖) 。s c r v i ：6 i 卜旷。 川j 1i i 1 对任意一个有界集g c u ，从v 到h 嵌入的紧性，我们得知g 有一个在h 收敛 的序列七，j 。根据上面的不等式，序列忙+ v 在v j 中也收敛，则隐含着k g c 中山大学硕士学位论文 求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 是一个相对紧集。所以算子k 在u 上是紧的，所以算子k 也是紧的。证毕 如果把假设条件( 也) 换成可选条件，引理3 2 2 仍然成立。 ( 叫) 曰一b ，对任意的，存在常数m ，和o t6 ，s 1 使得下面不等式中 任意一个： 对任意的“，v e d ( b ) 成立。 l ( v , b i u ) i s 肘，i u v l “屯坩， i ( v , b j u ) 卜m ，i v l ! , , t 1 _ i t i i ， 我们将用n “v ) 和6 ( h ，v ) 来表示他们的廷拓。这意味着 4 0 ，v ) - ( v ，“) 。，吣，v ) - ( v ，肠) 。，v e v 在这些符号下，我们引进方程( 3 2 2 ) 的弱形式： 口以，v ) + b ，v ) 一，( v ) ，( 3 - 2 - 6 ) 其中，( v ) o ，f ) 。再次使用r i e s z 表现定理。存在g k ，使得对所有的v u ，一) i ( n g ) 。 因此，方程( 3 2 6 ) 能够被写为 ( v ，n ) 。+ ( v ，缸) 。- ( v ，g l ( 3 2 - 7 ) 对所：f f 的v e 成立，或者等价于 ( ，+ x 弘一g ( 3 2 - 8 ) 显然，如果方程( 3 2 - 2 ) 有一个解“d 口) ，! i l i j u 也是方程( 3 2 8 ) 的一个解； 然而，2 r 程( 3 - 2 - 8 ) 的解不一定是方程( 3 - 2 - 2 ) 1 黼- 。方程( 3 - 2 - 8 ) 的解称为原始方程 ( 3 - 2 - 2 ) 的广义解( 弱解) ；方程( 3 - 2 - 2 ) 的解( 如果它存在于d 似) 中) 称为古典解。 我们知道对任意的，h ，方程( 3 - 2 - 8 ) 是唯一可解的当且仅当零空间 ( ，+ 叼一 o ) 现在我们来讨论如何应用于抛物型问题。 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 下面我们来考虑抛物型方程的混和问题：求“- “( ，t ) h 2 ( q ) n h ：( q ) i n 。+ t u = ， 工q ，0 ts r ( 3 2 9 ) 1 u 一0 ，x e a q ，o t t ，( 3 2 9 ) 2 l u u 0 0 ) ，x 6 q ，t 一0 ( 3 - 2 - 9 ) 3 其中q 是r “中具有l i p s c h i t z 连续边界的有界区域，u t 。孚，t 为二阶一致椭 a t m 一再毒。告，+ 军。，蚩一， a q ( - a j i ) ，b j ，c 为x 的充分光滑函数，存在常数口。使得双线性形式 毗吐。正( i o u 可o v + 莩6 ，o uv + c u v 口 ，“) a oj 卜婿，h ：( q ) 对应的令h ：| r ( q ) v i h ：( q ) ，配有内积l ，v 】- 0 ，v ) 。- 0 ，v ) ( 其中( 。，1 ) 表示 r ( o ，1 ) 的内积) 和范数i v i - i i 。，对所有的“，v v 。 ( 3 2 9 ) 相应的变分问题( 弱问题) ：求“一h ( j f ) h ：( q ) ，0 1 ， 对任意非负整数h ，我们用x 。表示h ：( i ) 的子空间，其中的元素都是阶分片线 性多项式，以j ，芦1 ，一1 z 小。为节点。很容易看出，这个子空间序列有嵌套性 质，即 z 。c 以“， o n e n o ( 3 3 - 4 ) 从x 的定义，我们可以得到z 的维数： d i m x 。- - m ) l z 4 - m 注意到，特别地，x 。表示满足齐次边界条件的七阶多项式的空间，且当t 2 m 时 x 。一 0 1 当k 2 m 时，我们有 x o s p a n t “( 1 一f ) ：，z 女m ) 下一步，我们在内积( ，) 。的意义下考虑h ：( ，) 空间的正交分解。假设s 。和s ： 是h ；( ，) 的两个子集，用5 ，珏秘2 表示s i 和s 2 的直和，有性质：讹5 ，v s ： u ，v ) 。- 0 由( 3 - 3 - 4 ) 的嵌套性质，对每个n ，我们令形表示z 。在并中的正交补，即 以一x o 形( 3 - 3 - 5 ) 然后重复分解得到 以。瓦0 。o o 。暇( 3 - 3 - 6 ) 计算得到睨的维数为 0 ) i d i m 睨- x ( n ) - x ( n - 1 ) 一( 七一卅) ( f 一1 ) f “1 。 主坐查兰堡主堂垡笙苎 查塑垫塑型塑坌查堡坚墨垦室芏至变鲨一 一旦空间形给出，空间矾都可以递归地构造。为了描述这种构造，我们需要仿 射映射族m 。曩协：e c z 。 ，其中 丸_ 坐，e z ， ( 3 3 7 ) p 这些映射定义了关联空间工的区间，的分割，我们将证明他们能被用于定义补 空间暇。结合这些仿射映射，我们定义算子族t ：r ( i ) - * l 2 ( i ) ，e e z 。， 印净- 2 - m v 。霄1 魂( 1 ) ( 3 - 3 - 8 ) 下面的引理3 3 1 引理3 3 4 在 1 1 】中提出，但为了本篇文章的叙述方便， 我们又完整的叙述出来。从下面这个引理中，我们可以看成算子t ，e z 。是从 h o ( i ) 到h ：( i ) 等距算子。 引理3 3 1 ( f ) 对e z 。，是从h ：( i ) 到h ：( i ) 的映射： ( f f ) 如果b ，e z 。，则对任意“，v e h ：0 ) ， 伍“，v ) 一d 。( “，v ) 。 ( 3 3 9 ) 证明：( f ) 的证明只要对t “，h h ：( i ) 求导即得证。 ( f f ) 当e e 时，因为t “和t ，v 的支集不相交，所以伍“，t t v ) ，一0 当e e 时，由算子的定义，我们得到 ( 酗，即) 。卢一( 1 】o 。筇1 ) o ) o 。1 ) ( f 矽 因为丸是仿射，所以我们有： ( “。虻1 ) 协1 = 岸“h 恤1 。町1 ( 3 - 3 - l o ) 将上式代入最后一个积分得到： ( t “，t v ) 。厶( 。) o 枷。筇1 ) ( f ) o 洄。虻1 ) ( f 渺 。j ：n o ) v ( t ) d t - 0 。我们选择x 。空间的基函数为 h o ) = - , 蜀0 一f ) ，t 0 ，1 1 空间蹦的标准正交基函数为： h 。) - 【一- 曩3 t ：+ + & t , 一2 ，f t e 0 ( 1 1 1 ：2 7 , 2 1 i 晰警纂，+ 以，苏君 和，f 一0 , 1 的图形显示分别如图3 - 3 - i ，3 - 3 2 。 m o 图3 3 1 图3 3 2 中山大学硕士学位论文求解抛物型微分方程的多尺度扩充方法 3